مدل سازی سیستم های احتمالی صف با بهره گیری از زنجیره مارکوف با محدودیت چیدمان

صفحه 1:
مدل سازی سیستم های احال صف با بر هگیری از زنجيره مارکیف با حدودیت چیدمان ارائه کننده: فاطمه زارع زاده استادمربوطه: سرکارخانم دکتر سعادت جو 

صفحه 2:
مقدمه ارتباط تنگاتنگ زنجیره هاي مارکوف پیوسته با زمان از یکسو و همبستگي کامل آن با توزیع نمائي از سوي دیگرباعث گردیده است که مدل ه اي احتمالي داراي كاربردزيادي در مسایل واقعي گردند . چرا که توزبع نمائي اکثرآتقریب خوبي از واقعیت"ه اي :موجود بوده:و:زوندحرکت: فرایندها دز زمان:را نعونن با زنچیزه:» اي مارکوف پيوندمي دهد. چیدمان پمپ هاي بنزین در جایگاه هاي موجود درکشور طوري طراحي و احداث شده اند خودروها پس ازاتمام سوخت گيري در خروج از سیستم , بجز خودروهاییکه از اولین پمپ جلو در هر سكو سوخت گيري مي کنند. ازآرادي عمل برخوردار نیستند که اين امر باعث آن مي گردد میا زهان ‎es ary lignes oak cea‏ آنمانین سجدت یاج انتظار جهت دریافت خدمت افزایش یابد .سیستم صف فوق با توجه به نرخ خدمت دهي متغیر ومحدودیت هاي فيزيكي موجود در سیستم نمي توان بااستفاده از مدل هاي موجود, در نتیننتم اصف. مورد تجزیه ختحلبل هرار داد ..پنتن. ابتدا تفیننتتم ضف هوجودازا نز اساس دة عدمت دهنده با اتفاده از مقاهیم:زنجیژه فارکوف ومدل ۸۸/۸/۲ وتعریف پارامترهاي جدید با توسعه مدلسازي کرده و درنهایت با بسط مدل پيشنهادي باپارامترهاي احتمالي, مدل نهايي را استخراج مي نماییم. 

صفحه 3:
انواع سیستم های صف بر حسب چیدمان فیزیکی سيستم هاى صف بر اساس دو عامل نوع كانال ورودی و خدمت دهنده مورد تجزيه و تحليل قرار ميكيرد. الف) سیستم تک کاناله و تک خدمت دهنده 7 © © © © ب) سيستم تى كاناله و خدمت دهنده جندكانه ‎Ee © Eel o.‏ © © . 

صفحه 4:
انواع سیستم های صف بر حسب چیدمان فیزیکی د) سیستم چندکاناله وخدمت دهنده چندگانه 

صفحه 5:
نرخ کارکزد سیستم ۰ در سیستم تک خدمته 643/1 با نرخ ورو 2 ومیانگین زمان خدمت )458 ‎ol‏ کاروارد شده در واءر < زمر برابر است با ۹ )9° ن ری بر انگاه ظرفیت سیستم جوابگوی کل تقاضابر:ی دریافت خدمت نبوده آنگاه شرا 7 رط> ير اکثر سیستم های صف می باشد. كر و آنگاه نرخ کارکردی یا ضريب بهره ورى ناميده مى. شود که بجز سیست ۹1 سیستم های با حالت غيرتصادفى و ارائه غیرگروهی از این رابطه استفاده می کنند. ۱ 

صفحه 6:
معیارهای ارزیایی علکرد سد سیستم های صف : اگر مدت زمان انتظار مشتری ام در سیستم برابر با مدت زمان انتظار انتظار جهد و + 7 - "7عت بعلاوه مدت زمان خدمت دهی باشد آنگاه 1>م6 9 اگردر صف مدل)/3/0) متغير تصادفى (])ا بیانگرتعداد متشي مو393 ور اتستستة در زمان ] و 5 ‎n‏ بيانگ : ‎pala‏ شد ‎A Se a = lim Bar. = BY‏ ب 0 عن ‎P lege‏ نفر در ‏سيستم آاز.رزاتظة زير بدست مى أ | 

صفحه 7:
معیارهای ارزیایی علکرد سد سبستم های صف " میانگین تعداد مشتریان موجود در سیستم در یک بازه زمانی [۲,0] از را.حاه 0 ‎rex de HCL)‏ مس ‎eee 0‏ ‎٠‏ ميانكين تعداد منارى ير - ‎tse‏ 1 ,م در بلند مدت از رابطه زير بده ‏5 كاذ - 7 1 در نتیجه طبق قانون ی زير برقرار است ‏د ص2 

صفحه 8:
زنجیره های مارکرف با زمان پیوسته 5 ارتباط تنگاتنگ زنجیره ‎sb‏ مارکوف پیوسته با زمان از یک سو و همبستگی کامل آن با توزیع نمائی از سوى ديكر باعث كرديده است كه اين مدل ‎sb‏ احتمالی دارای کاربرد زیادی در مسایل واقعی گردند.چرا كه توزیع نمائی اکثرا تقریب خویی از واقعیت های موجود بوده و روند حرکت فرایندها در زمان را بخوبی با زنجیرههای 3 د عار ‎Byft)= pix(t+s)=‏ ‎٠‏ اكر ‎P ij(t)‏ (:- رمم از درجم شعيت أ به [ در ‏فقا ماه يمعسد سسحت ووه ريو برسرار انتققت: ‏د ص2 

صفحه 9:
بیان مساله * با توجه به افزایش به رشد نسبی مصرف سوخت در ایران مدل سازی سیستم های صف سوخت رسانی امری ضروری محسوب می شود. ۰ با توجه به شماتیک زیر ملاحظه میگردد نرخ خدمت دهی متغییر و محدودیت های فیزیکی موجود در سیستم نمی توان از مدل های موجود درسیستم صف استفاده نمود. ۰ لذا ابتدا سیستم را پراساس دو دم: هند در یک ردیف با استفاده از مفاهیم زنجیره مار و و تعریف پارافترهای جدید با توسعه مدل ۷۱/۷/۲ مدل سازی کرده و در نهایت با بسط مدل پیشنهادی در قالب | ردیف, مدل نهایی را استخراج می نماییم. 

صفحه 10:
مدل سازی سیستم صف موجود بر اساس یک ردیف با دو خدمت دهنده مدت زمان خدمت گیری فرد اول با 1) و مدت زمان خدمت گیری فرد دوم با 2) در نظر میگیریم. فقط امکان تشکیل یک ردیف صف وجود دارد. دوخدمت دهنده به صورت سری در شرایط خاص در حال خدمت دهی هستند. تا زمانی که ارائه خدمت به فرد اول تمام نشده باشد, فرد دوم قادر به ترک سیستم نمی باشد. در صورت بیکار بودن هر دو خدمه , فرد به خدمت دهنده اول و در صورتی که خدمت دهنده اول مشغول به کار باشد,فرد دوم قادر به ترک سیستم نمی باشد. در این سیستم اگر خدمت دهنده دوم مشغول کار باشد و خدمت دهنده اول بیکار باشد, نفر سوم در صف نمی تواند به خدمت دهنده اول مراجعه نماید. برای مدل سازی سیستم صف موجود را برحسب مدت زمان ارائه خدمت به دو دسته تقسیم بندی می نماییم. 

صفحه 11:
مدل سازی سپستم صف بر اساس فرض اول * دراین حالت مدت زمان خدمت گیری فرد از خدمت دهنده اول یعنی 11 برابر یا بیشتر از مدت زمان خدمت گیرن* *#د دوم در سیستم یعنی ۲2 می باشدبا توجه به اینکه 1<]2] است, در خواهيم داشت ۰ همانطور که در شکل زیر نیز قابل مشاهده می باشد اگر فرد اول با زمان 11 در حال خدمت گیری باشد, فرد دوه#هم همین مدت زد مال خدمت گیری می ل 3 ‎oT T‏ 0 ۳1 ازه زمنی_ = 2 ته | 4 3 1__خروجی خدمت دهنه ای ‎i 9 4, dy, | 3‏ أهنك زمائى خروجى ‎Sal‏ ‎ODA He‏ | وب ‎SH‏ ‎al n |‏ | 4 علامت هاشور نشان دهنده زمان های بیکاری خدمت دهنده دوم مى باد 1 

صفحه 12:
مدل سازى سيستم صف بر اساس فرض اول ‎٠‏ نرخ خدمت دهي براى :“د اول و دوم برابر خواه ,, _ تد _ کف اهيم دانذ مر ‎te 5 ~ Ay‏ ‏+ 3 2 ‎MIMIC=2‏ ‏مدل سيستم صف بيشنهادى در حالت اول به نوع خاصى ' لودو رد زود ‎_ n=l ‏سل لقال سرت‎ Mn Wy R= 2,3. ‎ 

صفحه 13:
مدل سازى سيستم صف بر اساس فرض اول " انواع وضعيت هاى ممكن در سيستم در حالت اول: رد ‎eas‏ ‏0 __ | سیستم خالی است 00 ام ع سه 0 ششری در حال ‎OG‏ دارای یک مشتری است و لین مشتری در حال خدمت گیری از خدمت دهنده دوم الست سیستم دارای دو مکتری است که در ‎Gat Sale Ji‏ ‎ap ‏2 ور | سیستم دارای 9 مختری است ‏- دیاگرام آهنگ انتقال مدل در حالت اول: ‏از خدست دهدده اول و دوم هستند. ‎ ‎ ‎ ‎2 ‎2 <0 7 2 2۸ 3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 14:
مدل سازى سيستم صف بر اساس فرض اول * با توجه به نمودار آهنگ انتقال و مساوی قراردادن نرخ ورود و خروح هر وضعیت دستگاه معادلات تعادل بصو دستكاه معادلات تعلال سيستم وضعيت ‎AP, = 4,P.0‏ 0 (10) (A+H)Po = AR + 2u)F i (1) A+2M)R, = APy + QU )P, 2 2+2 = AP, + ‏م2‎ 

صفحه 15:
مدل سازى سيستم صف بر اساس فرض اول ‎٠‏ براى محاسبه دستكاه معادلات ابتدا مقدار 50 را بدست آورده و در دستگاه معادلا <ا.گ:۱ ۰ عم گنه لذا با توجه به معادله زیر داریم: ‎mot‏ ‎ ‎eas ‎Py =Cy Py ‏ادر ' يم داشت‎ Yiu ers ‏با‎ ‏جهت محاسبه ۱ سس 3 0 داریم:‎ ‎ ‎allt ‏ور‎ ۵۲2۸-27 ‏۰ لذا در حالت کلی برا سیستم خواهیم داش د ‏م احتداا مجیه ‎٩‏ نفر در ‎[or 3‏ ‎B= 0 ‏عور‎ iden ‏مه‎ 0 ‎ ‎ 

صفحه 16:
مدل سازى سيستم صف بر اساس فرض اول : طبق تعاریف موجود و روابط لیتل -جه به شرط پایداری داریم. * متوسط تعداد اف " ' ' قرط ,تم (ا): ترم لم ماه 5 3ب هر فم هط 2 ‎=D 5‏ + - 2 م کم با 2 ور ‎ ‎ ‎.۰- ‏متوسط زمان انتظا.‎ ٠ ‏شر خبفة‎ ۲ 2 ae O-pF : )۷۷( ‏سیستم‎ ‏علد ار لم ميات‎ ‏انر گرم -1) یر 2 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 17:
مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم ‎٠‏ دراین حالت مدت زمان خدمت گیری فرد از خدمت دهنده اول یعنی 11 برابر یا بیشتر از مدت زد : خدمت گیری ‎yy, > 1,209‏ سیستم یعنی 2] می باشد.با توجه به اینکه است, در نتیجه خواهیم داشت ‏همانطور که در شکل زیر نیز قابل مشاهده می پاشد اگر فرد دوم با زمان 2] در حال خدمت گیری باشد, فرد اول هم م همين يديدت ‏ زمان درحال خدمت گیری ‎chi we‏ وبا اين ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ia 7‏ = 5 08[ اس |( 7 ]#8 : 78 3 ا وس ت دنز ‎i oth | hth | A | Dt | =D Hh,‏ آهنگ زمانی خروجی افراد و | ‎a | | (n=,‏ | 2 او أز خدمت دهنده لول و دوم 8-1 4 3 2 1 خروجی خدمت دهنده دوم ‎atl 0 47 ۸ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 18:
مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم نرخ خدمت دهى براى فت: اول و دوم برا خواهد شد بنابر اين خواهيم داشت ‎AT‏ AT mM? MLS cee 7 ‎iota‏ لين خدمت دهی ‎gd pm‏ ۰ داریم: ‏00 ‎ge‏ تفیل نید ‏بر ‎n= 2,3...‏ م2 ۲ ‎ 

صفحه 19:
مدل سازی سبستم صف بر اساس فرض دوم : انواع وضعیت های ممکن در سیستم در حالت دوم: 0 100 )0,( 117 2 < ور | سپستم داراي 28 مشتری است و صف تخکیل می‌شو #چون در این سیستم همیشه و1 > 7 پس این وضعیت هیچ موقع صورت تمی‌پذیرد: ۰ دیاگرام آهنگ انتقال مدل در حالت اول: 2۸ Uh, 

صفحه 20:
مدل سازی سيستم صف بر اساس فرض دوم * با توجه به نمودار آهنگ انتقال و مساوی قراردادن نرخ ورود و خروج هر وضعیت دستگاه معادلات تعادل سیستم بصورت .. سأکه سلدات تادل سیستم وضیت وها د امه 60 (1,0) (A+ B)Ro = AR + 2H) Fi (1) (A+2m,)P, = AP, + (2H,)P, wea + ‏رو‎ = AP. + 21t,)P.y 20 

صفحه 21:
مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم ‎٠‏ با حل دستگاه معادلات و «-۶۸* گرفتن اينکه می توان مقاد- ا-:- الا... - 21 ‎Pewee Px‏ تنس و نمود. 50 ۱ اعم 4 ‎٠‏ صفی تشکیل نم ما ‎n= 2B ym‏ ۳ 2 ‎Cy ‏و2۸‎ ay ‏با توجه به تعریف موجود محاسبه ۲۸ و 0۲ به صورت‎ ‏زیر خواهد بود:‎ ‎4 ‎2 8 ‏لبیل‎ ‎3 ere) Ay ‏سک‎ n=O) ‏2 2 1 هش رش ‎A‏ 2۸ ‎ ‎a ‎ 

صفحه 22:
2 مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم ‎٠‏ طبق تعاریف موجود و روابط لیتل و با توجه به شرط ‎ ‏پایداری داریم. ‎٠‏ متوسط 2 2 ,سیستم (1): “رم 6 مر 2 4 1 2 2_م وط _ 2 ‎ ‎ ‎hor lee Ss peu: ۹ 2 ‏وم رم -۱) يسرس‎ ‏5 متوسط ز م ‎A‏ مث سيستم ( ثرم -1) ‎mer‏ ‎A 1‏ |2 لي قهشرفضجة- ‎2° mila” (1p)? ‏م‎ ‎ ‎ 

صفحه 23:
23 ارايه مدل تركئبي با فرض دو خدمت دهنده * إدز انين سيستم صقه موجود :زا بن انناس: وى خدمدردهمةنا پازامترهاي بة ترتیب: و «دريك زدیت با استفاده از مقاهیغ زنجیره مارکوف و تعریف پارامترهاي جدیدبا توسعه مدل )۸/۸ مدل سازی نموده ایم . اما واقعیت لین گونه نیست که يكي از اين حالت هارخ دهند,بلکه درواقعیت تركيبي از دو حالت فوق همواره اتفاق مي افتد. پس براي ارا ثه يك مدل تركيبي نیازیه تعریف دو 7زغیر تجدید داریم که ترکيب,م از دو حالت فوق را در بر گیرد . بدین منظور احتمال رخداد حالت اول را ‎wile oul»‏ را واحتمال رخدادحالت دوم رام رمی نامیم. ۰ ابتدا با فرض این که کلاً حالت اول ‎Goo GUT‏ افتد و سپس با فرض اين م8 :88 _ بره تموده , بيس از آنها * ‏وزني مي يم‎ 2 A+ ‘So ‏ميم مئل يا قرض إينكه حلت اول اثفاق‎ ”1 : متفيرهاى تصميم مدل با فرش ایتکه حالت دوم اتقاق بياققد 

صفحه 24:
نتيجه كبرى مدل بيشنهادي در اين مقاله مي تواند يايه و اساس تحليل در سيستم هاي صف با محدوديت هاي جيدمان و شرايط خاص باشد. ۲ د ص2 

صفحه 25:


صفحه 26:
با تشكر از دقت و توجه د ص2 

صفحه 27: