مرتب سازی مقايسه ای و مرتب سازی خطی

صفحه 1:
مرتب سازي مقایسه اي مرتب سازي خطي ساختمان داده ها و الگوریتمها 

صفحه 2:
مرتب سازي مقایسه اي © تاکنون چندین الگوریتم مرتب سازي را بررسي کرده ایم. در همه اين الكوريتمهاة اعضاي آرايه با هم مقايسه مي شوند. اين نوع الكوريتم ها را مقايسه اي مي كوييم. © بهترين زمان اجراي الكوريتمهاي بررسي شده در بدترين حالت» ‎a‏ بسا و بوده است. ‎Quicksont, Dergesont, Weapsort —‏ © آيا مي توان الكوريتمي با زمان كمتر از > دما ح ارائه داد؟ © آيا روش ديكري غير از انواع مختلف الكوريتم هاي مقايسه اي؛ براي مرتب سازي وجود دارد ؟ 

صفحه 3:


صفحه 4:
> (es coe: برگهاي درخت یل( را ارتفاع درخت < بیشترین تعداد مقایسه ها و بدترین حالت الگوریتم 

صفحه 5:
حداقل هزینه مرتب سازي © درخت تصمیم يك الگوریتم مرتب سازي باید حداقل بابرگ داشته باشد تا تمام حالات ممکن ترئیب ب‌عدد را در برگیرد. ‎٩‏ بدترین حالت يك الگوریتم » ارتفاع درخت است. © درخت دوديي به ارتفاع | حداکثر 2 برگ دارد. این تعداد برگ باید تمام ترتیبات مختلف را پوشش دهد. اج ادن و (قضیه لسترلینگک ° ‎ol (we)‏ © (م)0 = ‎k‏ > ات موه ع(وله ) باب < جز و © کمترین زمان اجراي الگوريتمهاي مقایسه اي » بسا ه است. - این نتیجه نا امید کننده است ؟ 

صفحه 6:
و | 1/2۵۵ 9 بو we Of] —O ‏ص لم وخ‎ > we OLPUl] 01 +0 HOU = [fhev = HH Por 4 ‏مس‎ wb Off -0][ + 0۳۳ ۸۵ - Kev Sil ‏بط و و(‎ 1 wh POPE] ۵ APU] —ClPUl] -4 

صفحه 7:


صفحه 8:


صفحه 9:
Por ‏)نم‎ 5 uv ‏حل‎ Cf Pf] —O[P[i] + W/ CfA] = [{kev = AI 

صفحه 10:
Por ‏)نم‎ 5 uv ‏حل‎ Cf Pf] —O[P[i] + W/ CfA] = [{kev = AI 

صفحه 11:
Por ‏)نم‎ 5 uv ‏حل‎ Cf Pf] —O[P[i] + W/ CfA] = [{kev = AI 

صفحه 12:
Por ‏)نم‎ 5 uv ‏حل‎ Cf Pf] —O[P[i] + W/ CfA] = [{kev = AI 

صفحه 13:
Por ‏)نم‎ 5 uv ‏حل‎ Cf Pf] —O[P[i] + W/ CfA] = [{kev = AI 

صفحه 14:
مس مر و ‎we Cf] Off] + 0] 0 > | > ۱‏ 

صفحه 15:
مس مر و ‎we Cf] Off] + 0] 0 > | > ۱‏ 

صفحه 16:
{key <= (| مس مر و ‎we Off] [ + Chi -4[/ 01 <‏ 

صفحه 17:
| [Pk fi] 1 9 | Por j}—o dower (1 wd 0000 06 0-4۱ Oeorewent O[P[] 

صفحه 18:
J ٩۱ 19 8 ‏ا‎ ‎0 ‏إن‎ اا‎ 9 q @ 89 4 © © © 8 ‏ان‎ 5 Por ‏مرو نم‎ ) ‏رف 000۵ حل‎ //Prave Of] Off] —Cl@[] 0 // Decrevect C[O[i] 

صفحه 19:
0 9 3 ‏ان‎ ٩ 3 Por ‏بط تم‎ ) ‏رف 000۵ حل‎ //Prave Of] Off] —Cl@[] 0 // Decrevect C[O[i] 

صفحه 20:
&@ 6 8 8 2ه 8ه @ 6 اه 3 8 ‎a]‏ © ) بط تم ‎Por‏ ‏هس ام ‎bo APU]‏ ]01۵ مه 0-۱ ]0 

صفحه 21:
...boop 6۰ ‏م۳‎ €ee es | 5 ee: q ‏إن‎ 0 9 q 2 e S 4 © © EE 9 we Por ‏مرو نم‎ ) ‏رف 000۵ حل‎ //Prave Of] Off] —Cl@[] 0 // Decrevect C[O[i] 

صفحه 22:
‎Q(h)‏ :سا : © 0 و و (000: 6 مسا ‎cbr COL] LOH] + UI OFA] = [ev = 4}]‏ مس مرجم - ‎Loon 8: O(k)‏ |( ع> | - 01 ‎whee Off] —Of] + Of “ll!‏ ۵ج - (۵)0:) مسر اسب ۰ ۳ - تا ‎ob ASH‏ 4 اه راهن ۶ ۰ +01 تس 

صفحه 23:
‎k = O(a) &‏ 060 ع((ماسصمه۲)6 > ۶ آیا این نتیجه تناقضي با حداقل بدست آمده در بخش اول دارد؟ ‏- توجه کنید: در اين الگوریتم هیچ مقایسه اي صورت نمي كيرد! - ننیجه بدست آمده در بخش اول براي الگوریتم هاي مقایسه اي بود 

صفحه 24:
‎Grobe Goritery‏ مرتب‌سازیپایدار ‎ 

صفحه 25:
‎Wolerik ©‏ مورا در سال990) ۰ پیشنهاد کرد. - این الگوریتم. در محاسبات آماري سال ‎MOOD‏ آمریکا بصورت مكانيكي و الكثريكي پیاده سازي و استفاده شد - نتایج سرشماري دوره قبل (10) سال طول كشيده بود. با استفاده از اين ماشین» گزارشهاي آماري اولیه ظرف ‏ هفته! منتشر شد ‎٩‏ اعداد را رقم به رقم و بصورت پایدار مرتب مي کند ‎٩‏ الگوریتم اولیه از پر ارزشترین رقم شروع مي کند © الگوریتم بهبود یافته از پایین ترین ارزش شروع مي کند 

صفحه 26:
۱ 59 ‏انث الك‎ 9۱ ٩۱ 5 ۴۱ | * ewe 9۱ Quix Gort Gaurvple 

صفحه 27:
«اگر با استفاده از اين الگوریتم» دو عدد تا رقم 0 مرتب شده باشند» با مرتب سازي آنها بر اساس رقم 1 : *درصورتي كه رقم ! دو عدد يكي باشدء خاصيت پايداري سبب حفظ ترتيب فعلي آنها مي شود. در صورتي که اين دو رقم متفاوت باشند» ارزش بالاي رقم؛ ترتيب دو عدد را 0 ‎O| 8‏ © زم زم ‎D ‎ ‎۳9 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 28:
‎٩‏ براي مرتب سازي ب عدد دهدهي(سمحه1 امسنی)) که ارقام آنها از 0 تا ‎٩‏ متغیر است» لازم است به نعداد ارقام اعداد (مثلا 2) فرايند مرتب سازي تکرار شود. ‏© با استفاده از ب«) بجهسصد) بعنوان الگوریتم مرتب سازي ارقامیمسانگی می ثوان دید که فرایند مرب سازري هزیکه اي بززاین ‎O(d * (a +h) )‏ دارد که در آن »| تعداد انواع رقم است(براي اعداد دهدهي « ‎(K=dD‏ ‎٩‏ مي توان اين الگوریتم را طوري تغییر داد که در هر فاز بیش از يك رقم را مورد استفاده قرار دهد 

صفحه 29:
آنالیز الگوریتم» ادامه ‎٩‏ اعداد در کامپیوتر بصورت باينري ذخیره مي شوند و از آنجاکه عملگرهاي مقایسه اي بیتها در سخت افزار بصورت دستورات مرو ‎cond cole‏ هوشمندانه است از ارقام دوديي براي مرتب سازي استفاده شود ‎٩‏ هنگام استفاده از اعداد باينري» معمولا بیش از ) بیت بعنوان يك رقم استفاده مي شود. - اگر اعداد 06 بيتي را با رقم 6 بيتي مرتب کنیم» © بار لازم است ‏فرایند مرتب سازي رو ي ارقام مختلف اجرا شود. ‎Corvette Gort‏ 6 یا 9) عدد مختلف را مرتب مي کند 

صفحه 30:
آنالیز الگوریتم - ادامه ‎SI ©‏ عدد مورد نظر براي مرتب سازي ما بيتي باشند و از ارقام بيتي استفاده کنیم» این اعداد ‎a8) d=b/r‏ خواهند داشت. ‏© آرايه 0 مورد استفاده در مم03 :ج00 بايد “©--! رقم مختلف را مرتب كند. ‏© بنابراين هزينه كل الكوريتم برابر است با: ‎Tab) = O(d * (a th) ) = O((b/-)(wtO")) ‎٩‏ بهترین انتخاب « چیست ؟ 

صفحه 31:
آنالیز الگوریتم - ادامه Mab) = O(d * ‏دم‎ ) = Ol(bé-)(or*)) را دی ریت۳ این تابع ‎rE toy‏ بدست مي ‎r= byt > Doub) = Olle) (otO))= O(bevtrcrs) ©‏ اگر اعداد مورد نظر براي مرتب سازي بین (..0- اب باشند: ‎b =d bor, (a,b) = Och) © 

صفحه 32:
© براي حجم برزرگ آرایه ها» بری‌ولی, كارايي خوبي دارد - براي مرتب سازي (00000© عدد ©© بيتيء اين الكوريتم جهار بار تکرار مي شود اماء ببس و ادب حداقل 10) بار تکرار مي شوند(عمل تقسیم آرایه به آرایه هاي کوچکتر 10 بار صورت مي گیرد) © اضف 09 در هر بار تقسيب ناحیه مرلجعه به حافظه را كوجكتر ميسازد. لينويزكيدر يردازندم هاي‌جدید مجهز بسه حافظه سرب( امتیاز يمحسود‌مي‌شود. از لین‌نظر؛ 6.۵ که خوبطرلحيشده باشدء معمولا هم ارز 7) «۲4) كارليي دارد 

صفحه 33:
© در اینجا فرض کردیم آرایه هاي مورد نظر براي مرتب سازي؛ اعداد صحیح هستند؛ به نظر شما براي مرتب سازي اعداد اعشازي جكونه مي توان .از اين الكوريتمها بهنه كرفت © در كتابء الكوريتم ج3) اص ©) بدين منظور معرفي شده است. اين الكوريتم را مطالعه كنيد و سعي كنيد راه حل ديگري هم براي این مساله پيشنهاد كنيد. © مسايل بخش © را حل كنيد 

مرتب سازي مقايسه اي مرتب سازي خطي ساختمان داده ها و الگوريتمها مرتب سازي مقايسه اي تاكنون چندين الگوريتم مرتب سازي را بررسي كرده ايم .در همه اين الگوريتمها ،اعضاي آرايه با هم مقايسه مي شوند .اين نوع الگوريتم ها را مقايسه اي مي گوييم. بهترين زمان اجراي الگوريتمهاي بررسي شده در بدترين حالت، n log nبوده است. – ‏Quicksort, Mergesort, Heapsort آيا مي توان الگوريتمي با زمان كمتر از n log nارائه داد؟ آيا روش ديگري غير از انواع مختلف الگوريتم هاي مقايسه اي؛ براي مرتب سازي وجود دارد ؟ مساله مرتب سازي > a1, a2, a3< :ترتيب ممكن >a1, a2, a3<  >a1, a3, a2<  >a2, a1, a3<  >a2, a3, a1<  >a3, a1, a2<  >a3, a2, a1<  <= a1:a2 <= a2:a3 > <a1,a2,a3> a1:a3 <= > <a1,a3,a2> <a3,a1,a2> > a1:a3 <= > <a2,a1,a3> a2:a3 <= > <a2,a3,a1><a3,a2,a1> Decision Tree for Insertion Sort مساله مرتب سازي > ‏a1:a3 =< > ‏a2:a3 =< > ><a2,a1,a3 ><a2,a3,a1><a3,a2,a1 =< > <= a2:a3 ‏a1:a3 =< > ><a1,a2,a3 ><a1,a3,a2> <a3,a1,a2 ارتفVاع درخت=3=h ‏a1:a2 برگهاي درخت /Leaf Nodes ارتفاع درخت = بيشترين تعداد مقايسه ها و بدترين حالت الگوريتم حداقل هزينه مرتب سازي ‏ ‏ ‏ ‏ درخت تصميم يك الگوريتم مرتب سازي بايد حداقل ‌!nبرگ داشته باشد تا تمام حاالت ممكن ترتيب nعدد را در برگيرد. بدترين حالت يك الگوريتم ،ارتفاع درخت است. درخت دوديي به ارتفاع hحداكثر 2hبرگ دارد .اين تعداد برگ بايد تمام ترتيبات مختلف را پوشش دهد. ! 2h >= n )! h > log(n ‏ n! ≈ (n/e) n ‏Vسترلينگ ( )قVVضيه Vا ) h > n log ( n/e)= nlogn –nloge  h = O(nlogn كمترين زمان اجراي الگوريتمهاي مقايسه اي n log nاست. – اين نتيجه نا اميد کننده است ؟ Counting Sort Counting-sort(A[1..n]) //A is an integer array for i←1 to k // k = max(A[1..n]) do C[i] ←0 for j←1 to n do C[A[j]] ←C[A[j]] + 1 //C[i] = |{key = i}| for i←2 to k do C[i] ←C[i] + C[i–1] for j←n downto 1 do B[C[A[j]]] ←A[j] C[A[j]] ←C[A[j]] –1 //C[i] = |{key ≤i}| Counting Sort - Example A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 B 1 2 3 4 5 2 3 4 Loop 1: Initialization A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 1 B 2 3 4 5 1 2 3 4 C 0 0 0 0 for i=1 to k C[i]= 0 … Loop 2: Counting A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 C 0 0 0 1 5 B for j←1 to n do C[A[j]] ←C[A[j]] + 1// C[k] = |{key = k}| … Loop 2: Counting A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 1 5 B for j←1 to n do C[A[j]] ←C[A[j]] + 1// C[k] = |{key = k}| … Loop 2: Counting A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 1 5 B for j←1 to n do C[A[j]] ←C[A[j]] + 1// C[k] = |{key = k}| … Loop 2: Counting A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 2 5 B for j←1 to n do C[A[j]] ←C[A[j]] + 1// C[k] = |{key = k}| … Loop 2: Counting A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 2 2 5 B for j←1 to n do C[A[j]] ←C[A[j]] + 1// C[k] = |{key = k}| …Loop 3: Cumulating A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 B for 2 3 4 5 C’ 1 2 3 4 1 0 2 2 1 2 3 4 1 1 2 2 j←2 to k do C[j] ←C[j] + C[j -1]// C[k] = |{key <= k}| …Loop 3: Cumulating A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 B for 2 3 4 5 C’ 1 2 3 4 1 0 2 2 1 2 3 4 1 1 3 2 j←2 to k do C[j] ←C[j] + C[j -1]// C[k] = |{key <= k}| …Loop 3: Cumulating A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 B for 2 3 4 5 C’ 1 2 3 4 1 0 2 2 1 2 3 4 1 1 3 5 j←2 to k do C[j] ←C[j] + C[j -1]// C[k] = |{key <= k}| …Loop 4: Placement A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 B 2 3 3 4 5 C’ 1 2 3 4 1 1 3 5 1 2 3 4 1 1 2 5 for j←n downto 1 do B[C[A[j]]] ←A[j] //Place A[j] C[A[j]] ←C[A[j]] –1 // Decrement C[A[j]] …Loop 4: Placement A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 B 2 3 3 4 5 4 C’ 1 2 3 4 1 1 3 5 1 2 3 4 1 1 2 4 for j←n downto 1 do B[C[A[j]]] ←A[j] //Place A[j] C[A[j]] ←C[A[j]] –1 // Decrement C[A[j]] …Loop 4: Placement A 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 B 2 3 3 3 4 5 4 C’ 1 2 3 4 1 1 3 5 1 2 3 4 1 1 1 4 for j←n downto 1 do B[C[A[j]]] ←A[j] //Place A[j] C[A[j]] ←C[A[j]] –1 // Decrement C[A[j]] …Loop 4: Placement A B 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 2 3 1 3 3 4 5 4 C’ 1 2 3 4 1 1 3 5 1 2 3 4 0 1 1 4 for j←n downto 1 do B[C[A[j]]] ←A[j] //Place A[j] C[A[j]] ←C[A[j]] –1 // Decrement C[A[j]] …Loop 4: Placement A B 1 2 3 4 5 4 1 3 4 3 C 1 2 3 4 5 1 3 3 4 4 C’ 1 2 3 4 1 1 3 5 1 2 3 4 0 1 1 3 for j←n downto 1 do B[C[A[j]]] ←A[j] //Place A[j] C[A[j]] ←C[A[j]] –1 // Decrement C[A[j]] آناليز الگوريتم  Loop1: Θ(k) –  Loop 2 :Θ(n) –  for i=1 to k do C[i]= 0 : for j←1 to n do C[A[j]] ←C[A[j]] + 1// C[k] = |{key = k}| Loop 3: Θ(k) – for j←2 to k do C[j] ←C[j] + C[j -1]// C[k] = |{key <= k}|  Loop 4:Θ(n) – for j←n downto1 do B[C[A[j]]] ←A[j]  C[A[j]] ←C[A[j]] –1   Tootal: Θ(k + n) آناليز الگوريتم ‏ T(Countingsort(n))= Θ(n)if k = Θ(n)  آيا اين نتيجه تناقضي با حداقل بدست آمده در بخش اول دارد؟ – – توجه كنيد :در اين الگوريتم هيچ مقايسه اي صورت نمي گيرد! نتيجه بدست آمده در بخش اول براي الگوريتم هاي مقايسه اي بود  Stable SortingمرتبسVVازيپVVVايدار •الگوريتم Counting Sort در صورتي كه دو عضو آرايه كليد مساوي داشته باشند ،ترتيب آنها را حفظ مي كند .اين نوع الگوريتم را مرتب سازي پايدار مي نامند 5 4 3 2 1 3 4 3 1 4 5 4 3 2 1 4 4 3 3 1 ‏A ‏B  Radix SortمرتبسVVازيريشه VاVي Herman Hollerith در سVVاVVل ، 1890پVVVيشنهVاد كVVرد. – – اين الگوريتم ،در محاسبات آماري سال 1890آمريكا بصورت مكانيكي و الكتريكي پياده سازي و استفاده شد نتايج سرشماري دوره قبل 10سال طول كشيده بود .با استفاده از اين ماشين ،گزارشهاي آماري اوليه ظرف 6هفته! منتشر شد اعداد را رقم به رقم و بصورت پايدار مرتب مي كند الگوريتم اوليه از پر ارزشترين رقم شروع مي كند الگوريتم بهبود يافته از پايين ترين ارزش شروع مي كند Radix Sort Example 3 2 9 7 2 0 7 2 0 3 2 9 4 5 7 3 5 5 3 2 9 3 5 5 6 5 7 4 3 6 4 3 6 4 3 6 8 3 9 4 5 7 8 3 9 4 5 7 4 3 6 6 5 7 3 5 5 6 5 7 7 2 0 3 2 9 4 5 7 7 2 0 3 5 5 8 3 9 6 5 7 8 3 9 درستي Radix Sort •اگر با استفاده از اين الگوريتم، دو عدد تا رقم t-1مرتب شده باشند ،با مرتب سازي آنها بر اساس رقم : t •درصورتي كه رقم tدو عدد يكي باشد ،خاصيت پايداري سبب حفظ ترتيب فعلي آنها مي شود. •در صورتي كه اين دو رقم متفاوت باشند ،ارزش باالي رقم tترتيب دو عدد را تعيين مي كند. 3 2 9 7 2 0 3 5 5 3 2 9 4 3 6 4 3 6 4 5 7 8 3 9 6 5 7 3 5 5 7 2 0 4 5 7 8 3 9 6 5 7 آناليز الگوريتم براي مرتب سازي nعدد دهدهي( )Decimal Integerكه ارقام آنها از 0تا 9متغير است ،الزم است به تعداد ارقام اعداد (مثال )dفرايند مرتب سازي تكرار شود. با استفاده از Counting Sortبعنوان الگوريتم مرتب سازي ارقام ،بسادگي مي توان ديد كه فرايند مرتب سازي هزينه اي برابر ) ) Θ(d * (n +kدارد كه در آن kتعداد انواع رقم است(براي اعداد دهدهي )k=10 ، مي توان اين الگوريتم را طوري تغيير داد كه در هر فاز بيش از يك رقم را مورد استفاده قرار دهد آناليز الگوريتم ،ادامه اعداد در كامپيوتر بصورت باينري ذخيره مي شوند و از آنجاكه عملگرهاي مقايسه اي بيتها در سخت افزار بصورت دستورات cpuپياده شده ،هوشمندانه است از ارقام دوديي براي مرتب سازي استفاده شود هنگام استفاده از اعداد باينري ،معموال بيش از 1بيت بعنوان يك رقم استفاده مي شود. – اگر اعداد 32بيتي را با رقم 4بيتي مرتب كنيم 8 ،بار الزم است فرايند مرتب سازي رو ي ارقام مختلف اجرا شودCounting Sort . 24يا 16عدد مختلف را مرتب مي كند آناليز الگوريتم -ادامه اگر nعدد مورد نظر براي مرتب سازي bبيتي باشند و از ارقام rبيتي استفاده كنيم ،اين اعداد d=b/rرقم خواهند داشت. آرايه ‍Cمورد استفاده در Counting Sortبايد k=2rرقم مختلف را مرتب كند. بنابراين هزينه كل الگوريتم برابر است با: ))T(n,b) = Θ(d * (n +k) ) = Θ((b/r)(n+2r بهترين انتخاب rچيست ؟ آناليز الگوريتم -ادامه ))T(n,b) = Θ(d * (n +k) ) = Θ((b/r)(n+2r با مشتق گيري و محاسبه مينيمم اين تابع r = log nبدست مي آيد. ‏r= log n  T(n,b) = Θ((b/logn)(n+2logn))= Θ(bn/logn)  اگر اعداد مورد نظر براي مرتب سازي بين nd -1..0باشند: ‏b =d logn , T(n,b) = Θ(dn)  بحث و بررسي براي حجم برزرگ آرايه ها radixsort ،كارايي خوبي دارد – براي مرتب سازي 2000عدد 32بيتي ،اين الگوريتم چهار بار تكرار مي شود اما mergesort ،و quicksortحداقل 11بار تكرار مي شوند(عمل تقسيم آرايه به آرايه هاي کوچکتر 11بار صورت مي گيرد) Quicksort در هر بVVVار تVVVقسيم ،VنVVاحيه VمراVجعه VبVVVه VحVافظه Vرا كVVوچكتر ميسVVازد .اVينويژگVيدر پVVVردازنده VهايجVديد مجهVز بVVVهV حVافظه Cache VاVمتيازيمحسوبميشVVود .از اVيننVVظر .Q.S ،كVهV خVوبطراVحيشVVده VبVVVاشد ،معموال هم Vارز Radix SortكVVاراVيي دارد تكليف و تمرين در اينجا فرض كرديم آرايه هاي مورد نظر براي مرتب سازي، اعداد صحيح هستند؛ به نظر شما براي مرتب سازي اعداد اعشاري چگونه مي توان از اين الگوريتمها بهره گرفت؟ در كتاب ،الگوريتم Bucket Sortبدين منظور معرفي شده است .اين الگوريتم را مطالعه كنيد و سعي كنيد راه حل ديگري هم براي اين مساله پيشنهاد كنيد. مسايل بخش 8را حل كنيد