مروری بر احتمال

مروری بر احتمال

اسلاید 1: مروری بر احتمال سعید موسویmusavi.stat@gmail.comhttp://biostat.niloblog.com1

اسلاید 2: تعریف احتمالاساس منطقی فرآیند انجام استنباط های آماری درباره جامعه با استفاده از داده های نمونه ای، متکی بر احتمال است.از نظر شهودی احتمال یک پیشامد غیر حتمی، اندازه ای عددی است که میزان انتظار ما برای وقوع آن پیشامد را نشان می دهد.2

اسلاید 3: آزمایشفرآیند مربوط به گردآوری داده های مربوط به پدیده ای که برآمد های آن متفاوتند.جنس اولین دو نوزادی که فردا در شهر به دنیا می آیندتاثیر آنتی بیوتیک جدید بر یک بیماری عفونیتمرکز گردوخاک در هوای شهرهای حاشیه کویرتاثیر رژیم غذایی بر تغییر قد و وزن کودکانمجموعه تمام برآمدهای ممکن یک آزمایش فضای نمونه برآمدها نامیده می شود و با S نشان داده می شود.3

اسلاید 4: پیشامدفضای نمونه آزمایش های ذکر شدهS={bb,bg,gb,gg}S={+,-}S={c| 0≤c≤1}S={(x,y)|x>0,y<0 or y>0 or y=0} x:height, y:wieghtهر زیر مجموعه از فضای نمونه که دارای ویژگی مشخصی باشد پیشامد گفته می شود و با حروف بزرگ A ، B و .. نشان داده می شود.4

اسلاید 5: انواع فضای نمونهفضای نمونه گسسته: اگر تعداد اعضای آن متناهی یا شمارش پذیر نامتناهی باشد.نتیجه آزمایش کم خونیتکرار آزمایش کم خونی تا زمانی که اولین فرد مبتلا به کم خونی مشخص شود.S={-,+}S={+,-+,--+,---+,….}5

اسلاید 6: فضای نمونه پیوسته: وقتی که فضای نمونه شامل تمام اعداد متعلق به یک فاصله باشدتمرکز گردوخاکتغییر قد و وزن بر اثر رژیم غذایی6

اسلاید 7: احتمال یک پیشامداگر یک فضای نمونه شامل k برآمد {e1,…ek} باشد که بطور هم شانس رخ می دهند، احتمال هر برآمد 1/k است. اگر پیشامد A شامل mبرآمد ازk برآمد باشد، داریم P(A)=m/k7

اسلاید 8: فضاي پيوسته ا) در حالت طول : 2) در حالت سطح : 3) در حالت حجم : 8

اسلاید 9: مثالدر یک بانک خون فراوانی گروه های خونی برای 200 کیسه خون به صورت زیر است احتمال گروه های مختلف را حساب کنید.9GroupnO90A58B42AB10Total200

اسلاید 10: 10GroupnP(X)*10009045A5829B4221AB105Total200100

اسلاید 11: اصول احتمالاحتمال تابعی است که بر روی پیشامدها تعریف می شود و دارای شرایط زیر است0≤ P(A) ≤1P(A)+P(Aꞌ)=1 (Aꞌ پیشامد متمم A است)P(S)=111

اسلاید 12: قواعد شمارشاین قواعد عبارتند از : 1- قاعده ضرب 2- جایگشت (ترتیب) 3- ترکیباز این قواعد در وضعیت هایی استفاده می شود که فهرست نمودن تمام حالات ممکن آزمایش مقدور نمی باشد ، لذا فقط به ذکر تعداد حالات ممکن و مختلف اکتفا می شود12

اسلاید 13: قاعده ضرب طرق ممکن انجام عمل در آزمایشی که مرحله اول آن به n1طریق و . . . مرحله K ام آن به nk طریق انجام میگیرد ، عبارت خواهد بود از : n1*n2*….nkفضای نمونه آزمایش پرتاب 2 سکه و 2 تاس چند برآمد دارد؟13

اسلاید 14: جایگشت ( ترتیب ) یعنی تعداد طرقی که می توان r شی را از بین n شی انتخاب نمود بطوریکه r ≤ n و ترتیب قرار گرفتن اشیاء نیز مهم باشدبه چند طریق می توان 3 نفر از بین 10 نفر به عنوان نفر اول، دوم و سوم انتخاب کرد؟14

اسلاید 15: ترکیب تعداد طرق انتخـاب r شی متمـایز از بین n شـی بشرطی که ترتیب قرار گرفتن اشیاء مهم نباشد.15

اسلاید 16: عملیات روی پیشامدهااشتراک دو پیشامد A∩Bاجتماع دو پیشامد AUB متمم یک پیشامد Ac16

اسلاید 17: دو پیشامد نا سازگار دو پیشامد را در صورتی « نا سازگار » گویند که امکان وقوع همزمان نداشته باشند یعنی با وقوع یکی ، دیگری امکان وقوع نداشته باشد مثل شب و روز17

اسلاید 18: قضيه جبر پيشامدها براي هر دو پيشامد دلخواه A و B داريم : 18

اسلاید 19: احتمال شرطي اگر احتمال وقوع پيشامدي منوط به وقوع پيشامد ديگري باشد احتمال شرطي شكل مي گيرد شروط : 1- وقوع A به B مربوط بوده 2- B قبلاً رخ داده 3- 19

اسلاید 20: قانون ضرب احتمالات با استفاده از احتمـال شرطی می توان قانـون ضرب را برای محاسبه احتمال اشتراک پیشامدها بشرح زیر بیان نمودیا20

اسلاید 21: دو پیشامد مستقل دو پیشامد را « مستقل » می گوییم ، در صورتی که وقوع یا عدم وقوع یکی در وقوع و یا عدم وقوع دیگری هیچ تأثیری نداشته باشد.چون A و B هیچ تأثیری بر روی هم ندارند برای محاسبه احتمال اشتراک آنها بشکل زیر عمل می شود :21

اسلاید 22: مثالفضای نمونه خانواده ای که سه فرزند دارد را مشخص کنید و احتمالات زیر را حساب کنید.فرزند اول پسر باشدفرزند اول پسر و فرزند دوم دختر باشد. اگر فرزند اول دختر باشد احتمال اینکه فرزند سوم نیز دختر باشد چقدر است؟فرض کنید X تعداد فرزندان پسر باشد احتمال مربوط به مقادیری که X اختیار می کند را بدست آورید.آیا پیشامد فرزند اول دختر و فرزند دوم دختر مستقلند؟22

اسلاید 23: تمرینفضای نمونه حاصل از پرتاب دو تاس را مشخص کنید و احتمالات زیر را حساب کنید.هر دو تاس فرد باشند.اگر تاس اول فرد باشد احتمال اینکه تاس دوم عددی بزرگتر از 3 باشد چقدر است؟اگر X مجموع برآمد دو تاس باشد احتمال های مربوط به مقادیر مختلف آن را بدست آورید.23

اسلاید 24: مثالدر بازی لاتری برنده کسی است که شش شماره کارت او برابر با شش شماره ای باشد که از بین اعداد 1 تا 49 انتخاب می شود احتمال برنده شدن چقدر است؟از یک دست ورق بازی 4 برگ به تصادف انتخاب می شود احتمال اینکه دو برگ آس و دو برگ دیگر صورت باشد چقدر است؟از بین اعداد سه رقمی عددی را به تصادف انتخاب میکنیم احتمال اینکه ارقام این عدد تکراری نباشد چقدر است؟24

اسلاید 25: متغیر تصادفیتابعی است که روی فضای نمونه تعریف می شود و هر یک از مقادیر آن ، متناظر با یک یا چند عضو از اعضای فضای نمونه است.متغير تصادفي X تابعي از فضاي نمونه به زير مجموعه اي از اعداد حقيقي : متغیرهای تصادفی را با حروف بزرگ لاتین مثل Z و Y و X و هر یک از مقادیر انتخابی آنها را با حروف کوچک z و y و x نشان می دهند25

اسلاید 26: تعداد فرندان دختر خوانواده ای که 4 فرزند دارد.X:0,1,2,3,4مجموع برآمد سه تاس.X: 3,4,…18میزان قند خون مردان 20 تا 30 سالXϵ[a,b]26

اسلاید 27: انواع متغیر تصادفی متغیر تصادفی گسسته ؛ با تعداد مقادیر متناهی یا شمارش پذیر – تعداد فرزندان، داشتن بیماری و...متغـیر تصادفی پیوسـته ؛ با تعداد مقادیر ممـکن نامتناهی و غیر قابل شمارش- سن، فشار خون،....27

اسلاید 28: تابع احتمال به تابعی که بتوان با استفاده از آن احتمال هر یک از مقادیر ممکن متغیر تصادفی را مشخص کرد « تابع احتمال » یا « توزیع احتمال » گوینددر نظریه احتمال و آمار تابع توزیع احتمال بیانگر احتمال هر یک از مقادیر متغیر تصادفی (در مورد متغیر گسسته) و یا احتمال قرار گرفتن متغیر در یک بازه مشخص (در مورد متغیر تصادفی پیوسته) میباشد.28

اسلاید 29: اگر متغير تصادفي X گسسته باشد : تابع احتمال probability function (p.f)P(x) اگر متغير تصادفي X پيوسته باشد : تابع چگالي احتمال probability density function (p.d.f)f(x)29

اسلاید 30: خواص تابع احتمالتوزيع احتمال بر مبناي ويژگيهايي كه مي تواند اتخاذ كند لازم است در شرايط زير صدق نمايد : 1)2)30

اسلاید 31: تابع توزیع ( تابع احتمال تجمعی ) تابع توزیع ، تابعی است که به ازای جمیع مقادیر ممکن متغیر تصادفی X ، احتمال وقوع مقداری کوچکتر یا مساوی با X را نشان می دهدF(x)=P(X<x)تابع توزیع برای متغیر تصادفی گسستهتابع توزیع برای متغیر تصادفی پیوسته31

اسلاید 32: مثالتابع احتمال و توزیع احتمال را برای متغیر تصادفی X که تعداد فرزندان دختر خانواده ای با سه فرزند می باشد را محاسبه کنید.32

اسلاید 33: تمرینتابع احتمال و توزیع احتمال را برای متغیر تصادفی X که مجموع برآمد های دو تاس می باشد را محاسبه کنید.33

اسلاید 34: امید ریاضی متغیر تصادفیامید ریاضی متغیر تصادفی X که با E(X) نشان داده می شود همان میانگین موزون است که احتمالات در آن ، نقش ضرایب ( وزن ها ) را ایفاء می کنند. مقدار مورد انتظار ما از وقوع متغیر تصادفی را نشان می دهد.متغیر گسستهمتغیر پیوسته34

اسلاید 35: واریانس متغیر تصادفیاین واریانس با V(X) نشان داده شده و میزان پراکندگی را حول میانگین ( امید ریاضی ) نشان می دهد35

اسلاید 36: مثالبرای توزیع احتمال زیر امید ریاضی و واریانس X پیدا کنید.36x1011121314P(x).4.2.2.1.1

اسلاید 37: میانگین نمونهحالت خاصی از امید ریاضی است37احتمال یا فراوانی هر شخص در نمونه 1/n است

اسلاید 38: کاربرد امید ریاضیامید ریاضی شاخصی مفید برای تصمیم گیری است.مثال لاتری( lottery)در بازی لاتری برنده کسی است که شش شماره کارت او برابر با شش شماره ای باشد که از بین اعداد 1 تا 49 انتخاب می شود احتمال برنده شدن چقدر است؟اگر هزینه شرکت در بازی 1 دلار باشدو جایزه برنده 2میلیون دلار باشد و متغیر تصادفی X مقدار پول شخص، امید ریاضی X چقدر است؟38

اسلاید 39: امید ریاضی منفی نشان می دهد که در هر بار بازی امکان باخت وجود دارد.39x$p(x)-1.999999928+ 2 million7.2 x 10--8E(X) = P(برنده)*$2,000,000 + P(بازنده)*-$1.00 = 2.0 x 106 * 7.2 x 10-8+ .999999928 (-1) = .144 - .999999928 = -$.86  

اسلاید 40: شرطبندیاگر چرخ رولت شامل اعداد 1 تا 36، 0 و 00 باشد و مقدار شرطبندی 1 دلار باشد. اگر عدد فرد ظاهر شود شرکت کننده 1 دلار برنده می شود و در غیر اینصورت یک دلار می بازد. امید ریاضی پول شرکت کننده را بدست آورید.اگر یک میلیون بار بازی انجام شود مقدار سود بدست آمده چقدر است؟40