مروری بر احتمال

مروری بر احتمال سعید موسوی musavi.stat@gmail.co m http://biostat.niloblog.c om 1 تعریف احتمال • اساس منطقی فرآیند انجام استنباط های آماری درباره جامعه با استفاده از داده های نمونه ای ،متکی بر احتمال است. • از نظر شهودی احتمال یک پیشامد غیر حتمی ،اندازه ای عددی است که میزان انتظار ما برای وقوع آن پیشامد را نشان می دهد. 2 آزمایش • فرآیند مربوط به گردآوری داده های مربوط به پدیده ای که برآمد های آن متفاوتند. – جنس اولین دو نوزادی که فردا در شهر به دنیا می آیند – تاثیر آنتی بیوتیک جدید بر یک بیماری عفونی – تمرکز گردوخاک در هوای شهرهای حاشیه کویر – تاثیر رژیم غذایی بر تغییر قد و وزن کودکان • مجموعه تمام برآمدهای ممکن یک آزمایش فضای نمونه برآمدها نامیده می شود و با Sنشان داده می ش7ود. 3 پیشامد • فضDای نمونه آزمایش های ذکر شده – }S={bb,bg,gb,gg – }-,+{=S – }S={c| 0≤c≤1 – }S={(x,y)|x>0,y<0 or y>0 or y=0 ‏x:height, y:wieght • هر زیر مجDموعه از فضای نمونه که دارای ویژگی مشخصی باشد پیشامد گفتDه می شود و با حروف بزرگ A ، Bو ..نشان داده می شود. 4 انواع فضای نمونه • فضای نمونه گسسته :اگر تعداد اعضای آن متناهی یا شمارش پذیر نامتناهی باشد. – نتیجه آزمایش کم خونی – تکرار آزمایش کم خونی تا زمانی که اولین فرد مبتال به کم خونی مشخص شود. – }+,-{=S – }.…,+---,+--,+-,+{=S 5 • فضای نمونه پیوسته :وقتی که فضای نمونه شامل تمام اعداد متعلق به یک فاصله باشد – تمرکز گردوخاک – تغییر قد و وزن بر اثر رژیم غذایی 6 احتمال یک پیشامد • اگر یک فضای نمونه شامل kبرآمد { }e1,…ekباشد که بطور هم شانس رخ می دهند ،احتمال هر برآمد k /1است .اگر پیشامد Aشامل mبرآمد از kبرآمد باشد ،داریم ‏P(A)=m/k 7 فضاي پيوسته • ا) در حالت طول : )2در حالت سطح : )3در حالت حجم : 8 ‏LE ‏P(E)  ‏LS ‏AE ‏AS ‏P(E)  ‏VE ‏P(E)  ‏VS مثال • در یک بانک خون فراوانی گروه های خونی برای 200کیسه خون به صورت زیر است احتمال گروه های مختلف را حساب کنید. ‏n 9 ‏Group 90 ‏O 58 ‏A 42 ‏B 10 ‏AB 200 ‏Total Group n P(X)*100 0 90 45 A 58 29 B 42 21 AB 10 5 Total 200 100 10 اصول احتمال • احتمال تابعی است که بر روی پیشامدها تعریف می شود و دارای شرایط زیر است ‏P(A) ≤1 ≤0 .1 ‏Dت Aꞌ( P(A)+P(Aꞌ)=1 .2پDDیشامد مDتمم AاDس ) ‏P(S)=1 .3 11 قواعد شمارش • این قواعد عبارتند از : • -1قاعده ضرب -2جایگشت (ترتیب) -3ترکیب • از این قواعد در وضعیت هایی استفاده می شود که فهرست نمودن تمام حاالت ممکن آزمایش مقدور نمی باشد ،لذا فقط به ذکر تعداد حاالت ممکن و مختلف اکتفا می شود 12 قاعده ضرب • طرق ممکن انجام عمل در آزمایشی که مرحله اول آن به ‏n1طریق و . . .مرحله Kام آن به nkطریق انجام میگیرد ، عبارت خواهد بود از : ‏n1*n2*….nk • فضای نمونه آزمایش پرتاب 2سکه و 2تاس چند برآمد دارد؟ 13 جایگشت ( ترتیب ) • یعنی تعداد طرقی که می توان rشی را از بین nشی انتخاب نمود بطوریکه r ≤ nو ترتیب قرار گرفتن اشیاء نیز مهم باشد !n ‏ ! )Pr (n r ‏n • به چند طریق می توان 3نفر از بین 10نفر به عنوان نفر اول، دوم و سوم انتخاب کرد؟ 14 ترکیب • تعداد طرق انتخـاب rشی متمـایز از بین nشـی بشرطی که ترتیب قرار گرفتن اشیاء مهم نباشد. !n ( ) !(n r)!r ‏n ‏r 15 عملیات روی پیشامدها • اشتراک دو پیشامد A∩B • اجتماع دو پیشامد AUB • متمم یک پیشامد Ac 16 دو پیشامد نا سازگار • دو پیشامد را در صورتی « نا سازگار » گویند که امکان وقوع همزمان نداشته باشند یعنی با وقوع یکی ،دیگری امکان وقوع نداشته باشد مثل شب و روز )P( A B) P( A)  P(B 17 ‏P( A B) P( ) 0 قضيه جبر پيشامدها • براي هر دو پيشامد دلخواه ‏Aو Bداريم : )P( A B) P( A)  P(B)  P( A B 18 احتمال شرطي • اگر احتمال وقوع پيشامدي منوط به وقوع پيشامد ديگري باشد احتمال شرطي شكل مي گيرد )P( A B ‏P( A B)  )P(B شروط -1 :وقوع Aبه Bمربوط بوده B -2قب ً ال رخ داده ‏P( B ) 0 -3 19 قانون ضرب احتماالت • با استفاده از احتمـال شرطی می توان قانـون ضرب را برای محاسبه احتمال اشتراک پیشامدها بشرح زیر بیان نمود )P( A  B )  P( A)P( B / A یا ) P( A B ) P( B )P( A / B 20 دو پیشامد مستقل • دو پیشامد را « مستقل » می گوییم ،در صورتی که وقوع یا عدم وقوع یکی در وقوع و یا عدم وقوع دیگری هیچ تأثیری نداشته باشد. • چون Aو Bهیچ تأثیری بر روی هم ندارند برای محاسبه احتمال اشتراک آنها بشکل زیر عمل می شود : ) P( A B ) P( A)P( B 21 مثال • فضای نمونه خانواده ای که سه فرزند دارد را مشخص کنید و احتماالت زیر را حساب کنید. .1 .2 .3 .4 .5 22 فرزند اول پسر باشد فرزند اول پسر و فرزند دوم دختر باشد. اگر فرزند اول دختر باشد احتمال اینکه فرزند سوم نیز دختر باشد چقدر است؟ فرض کنید Xتعداد فرزندان پسر باشد احتمال مربوط به مقادیری که Xاختیار می کند را بدست آورید. آیا پیشامد فرزند اول دختر و فرزند دوم دختر مستقلند؟ تمرین • فضای نمونه حاصل از پرتاب دو تاس را مشخص کنید و احتماالت زیر را حساب کنید. .1هر دو تاس فرد باشند. .2اگر تاس اول فرد باشد احتمال اینکه تاس دوم عددی بزرگتر از 3 باشد چقدر است؟ .3اگر Xمجموع برآمد دو تاس باشد احتمال های مربوط به مقادیر مختلف آن را بدست آورید. 23 مثال • در بازی التری برنده کسی است که شش شماره کارت او برابر با شش شماره ای باشد که از بین اعداد 1تا 49انتخاب می شود احتمال برنده شدن چقدر است؟ • از یک دست ورق بازی 4برگ به تصادف انتخاب می شود احتمال اینکه دو برگ آس و دو برگ دیگر صورت باشد چقدر است؟ • از بین اعداد سه رقمی عددی را به تصDادف انتخاب میکنیم احتمال اینکه ارقام این عدد تکراری نباشد چقدر است؟ 24 متغیر تصادفی • تابعی است که روی فضای نمونه تعریف می شود و هر یک از مقادیر آن ،متناظر با یک یا چند عضو از اعضای فضای نمونه است. • متغير تصادفي Xتابعي از فضاي نمونه به زير مجموعه اي از اعداد حقيقي : ‏X : S  A R متغیرهای تصادفی را با حDروف بزرگ التین مثل Zو Yو Xو هر یک از مقادیر انتخابی آنها را با حروف کوچک zو yو xنشان می دهند 25 • تعداد فرندان دختر خوانواده ای که 4فرزند دارد. ‏X:0,1,2,3,4 • مجموع برآمد سه تاس. ‏X: 3,4,…18 • میزان قند خون مردان 20تا 30سال ]Xϵ[a,b 26 انواع متغیر تصادفی .1متغیر تصادفی گسسته ؛ با تعداد مقادیر متناهی یا شمارش پذیر – تعداد فرزندان ،داشتن بیماری و... .2متغـیر تصادفی پیوسـته ؛ با تعداد مقادیر ممـکن نامتناهی و غیر قابل شمارش -سن ،فشار خون....، 27 تابع احتمال • بDه تابعDی کDه بتوان بDا اسDتفاده از آDن احتمال هDر یDک از مقادیر ممکDن متغیDر تصDادفی را مشخDص کرد « تابDع احتمال » یا « توزیع احتمال » گویند • در نظریDه احتمال و آمار تابDع توزیDع احتمال بیانگDر احتمال هر یDک از مقادیDر متغیDر تصDادفی (در مورد متغیDر گسDسته) و یا احتمال قرار گرفتDن متغیDر در یDک بازه مشخDص (در مورد متغیر تصادفی پیوسته) میباشد. 28  تابع احتمال: گسسته باشدX • اگر متغير تصادفي probability function (p.f) P(x) ليDDگاDع چDابDD ت: اشدDDته بDيوسDD پX يDفDصادDDتغير تDگر مDا probability density functionلDتماDحDا (p.d.f) f(x) 29 خواص تابع احتمال • توزيع احتمال بر مبناي ويژگيهايي كه مي تواند اتخاذ كند الزم است در شرايط زير صدق نمايد : )1 )2 30 0 P(x) 1, x D ‏ P(x) 1 ‏ ‏  ‏f (x)dx1 ‏ ‏ تابع توزیع ( تابع احتمال تجمعی ) • تابع توزیع ،تابعی است که به ازای جمیع مقادیر ممکن متغیر تصادفی ، Xاحتمال وقوع مقداری کوچکتر یا مساوی با Xرا نشان می دهد )F(x)=P(X<x تابع توزیع برای متغیر تصادفی گسسته تابع توزیع برای متغیر تصادفی پیوسته 31 مثال • تابع احتمال و توزیع احتمال را برای متغیر تصادفی Xکه تعداد فرزندان دختر خانواده ای با سه فرزند می باشد را محاسبه کنید. 32 تمرین • تابع احتمال و توزیع احتمال را برای متغیر تصادفی Xکه مجموع برآمد های دو تاس می باشد را محاسبه کنید. 33 امید ریاضی متغیر تصادفی • امید ریاضی متغیر تصادفی Xکه با ) E(Xنشان داده می شود همان میانگین موزون است که احتماالت در آن ،نقش ضرایب ( وزن ها ) را ایفاء می کنند .مقدار مورد انتظار ما از وقوع متغیر تصادفی را نشان می دهد. • متغیر گسسته • متغیر پیوسته 34 )E( X )  X P(x ‏E( X ) x. f (x)dx واریانس متغیر تصادفی • این واریانس با ) V(Xنشان داده شده و میزان پراکندگی را حول میانگین ( امید ریاضی ) نشان می دهد 1) V( X ) E( X   )2 2 35 ‏ ‏E(X 2)  ) 2) V( X مثال • برای توزیع احتمال زیر امید ریاضی و واریانس Xپیدا کنید. 14 .1 36 13 .1 12 .2 11 .2 10 .4 ‏x )P(x میانگین نمونه • حالت خاصی از امید ریاضی است ‏n ‏n ‏xi ‏ ‏i 1 ‏X ) (  xi ‏n ‏n ‏i 1 ‏ ‏1 احتمال یا فراوانی هر شخص در نمونه n/1است 37 کاربرد امید ریاضی • امید ریاضی شاخصی مفید برای تصمیم گیری است. • مثال التری( )lottery در بازی التری برنده کسی است که شش شماره کارت او برابر با شش شماره ای باشد که از بین اعداد 1تا 49انتخاب می شود احتمال برنده شدن چقدر است؟ اگر هزینه شرکت در بازی 1دالر باشدو جایزه برنده 2میلیون دالر باشد و متغیر تصادفی Xمقدار پول شخص ،امید ریاضی Xچقدر است؟ 1 1 ‏ ‏7.2x10-8 49! 13,983,816 !43!6 38 ‏ 1 ‏ 49 ‏  ‏ 6 )p(x ‏x$ .999999928 -1 7.2 x 10--8 + 2 million )*-$1.00ب ازنده()*$2,000,000 + Pب رنده(E(X) = P = 2.0 x 106 * 7.2 x 10-8+ .999999928 (-1) = .144 - .999999928 = -$.86 • امید ریاضی منفی نشان می دهد که در هر بار بازی امکان باخت وجود دارد. 39 شرطبندی • اگر چرخ رولت شامل اعداد 1تا 0 ،36و 00باشد و مقدار شرطبندی 1دالر باشد .اگر عدد فرد ظاهر شود شرکت کننده 1دالر برنده می شود و در غیر اینصورت یک دالر می بازد .امید ریاضی پول شرکت کننده را بدست آورید. • اگر یک میلیون بار بازی انجام شود مقدار سود بدست آمده چقدر است؟ 40