صفحه 1:
صفحه 2:
مو
ضوع : مشتق
3
کار,
در
2
ها
ى
1
Uv
صفحه 3:
<< مشتق06:۷۵۷۷6) ) ایده‌ی اصلی حساب دیفرانسیل, بخش اول آنالیز ریاضی است که
Fe ee eters riper ار
eae شده‌است.
F(x +h) — FO) لا تاريخجدى مشتق
0
F(x) - f(@) 0 HPL eee tee)
m= ina توت de) a ۳ قراس وی 000 pare ars) |
رت 7۳۳1
ل ا Fore] eee
Mee های افعی میبوطظ 00
2 ASO ce pear mC re mgr,
0 ۳ ۱ |
Pierre de Fermat
صفحه 4:
در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئله‌ی یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و
موضوع تعيين خط مماش بر متحتي در يك نقطه رابطواق وجود ندارد؛ اما اولين كسى كه درياقت اين
دو مفهوم به ظاهر دور از هم, در واقع ارتباط نسبتاً نزديكى با هم دارند آيزاك بارو معلم آيزاك,
نيوتون, بوده است.
اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن, نخستین بار در سال ۱۶۶۶
میلادی توسط نبوتون و به فاصله‌ی چند سال بعد از ess ool نت eon
گوتفرید لایبنیتز, مستقل از يكديكر بديد آمد. اين ١ اشع در 5
اداممی کار خود, باز هم به طور مستقل, بخش دوم آنالیز ریاضی
7
یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل
نیوتون از شیومی استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی
متی پرداحته و از آن براى بست اوردن شرعت لحطداى استقادة
مىكرد. اما لايبنيتز با ديدكاهى هندسى, از مشتق براى بدست آوردن
صرت راقم عماس در متها الستفانه مككرد هر بك أ لبر رو
دانشمند نمادهاى جداكانهاى را براى نشان دادن مشتق به كار
بيشرفت حساب ديفرانسيل و انتكرال در دوران بعد به آكوستن لويى كوشى, برنهارد ريمان و برادران
برنولى, يعنى ياكوب و يوهان. مربوط مىشود. كيوم لوييتال ((1681م6١٠ 06 606ناذ!!أنات, دانشمند
فرانسوی, در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آناليز بىنهايت
کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی
به عنوان معلم برای او نوشته بود.
Newton and
Leibniz
صفحه 5:
lal lass! op gale as USS yeu ea esa DES ICuInS يكن
مشهور است ولی در واقع متعلق به پوهان برنولی بوده‌است.
مقهوم مشتق در شکل بط ماس تاری بسیار کمتی دارد و پرای هندسدانان بویاتی از حمله
اقلیدس, ارشمیدس و آپولونیوس شناخته‌شده بوده‌است. ارشمیدس مفهوم بی‌نهایت کوچک را
ne و دک es ral alts ها
مشتق‌ها و مماس‌ها نمی‌شد.
می‌توان بهره‌گیری از بی‌نهایت کوچک‌ها برای مطالعهی نرخ تغییرات را در ریاضیات هند از حدود
سال ۵۰۰ میلادی مشاهده کرد. آریابهاتا که اخترشناس و ریاضی‌دان بود. از این مفهوم برای
مطالعهمی حرکت ماه استفاده کرد. باسکارای دوم توسعه‌ی قابل توجهی در استفاده از بی‌نهایت
کوچک‌ها برای محاسبه‌ی نرخ تغییرات ایجاد کرد. می‌توان گفت که بسیاری از تعریف‌های کلیدی در
حساب دیفرانسیل از جمله قضیه‌ی رل, در کارهای او دیده می‌شود.
شرف‌الدین طوسی, ریاضی‌دان ایرانی, نخستین کسی بود که مشتق چندجمله‌ای‌های درجه سه را
کشف کرد. کتاب فی المعادلات اه, مفاهیمی از حمله تابع مشتة, و سشینه و کمننه‌ی منحنی را بر ای
توسعه‌ی نوین حسابان مدیون آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتز است که رویکردهای مستقل و یکسانی
را راف مشت وكير و متشتقات قراهم كردتد. تکتمی اصلی کم‌این اعتباررا به آن‌هازداد قضتدى
atl كسانان بو كه فشتق ١ اتكرال را به يكدكر مريسط مركرد آين اصیم بساری از
روش‌های پیشین برای محاسبه‌ی سطح‌ها و حجم‌ها را که از دوران ابن هيثم توسعدى جندانى نيافته
مرن OS oie
صفحه 6:
rene) Caen neers 95 ۱ 71
دو فرماء آیزاک بارو, رنه دکارت. کریستیان هویگنس, بلز پاسکال و جان والیس ب
کسی
نیوتن نخستین کار میتی در سک ره مره کر ی ارهز نها را
توسعه داد كه اكنون 7
000 ا اا ا 0 ا Per
0000 ا ا ا ا الا Sree orY
تحقيق در اين زمينه را تكميل كردند. در همين دوره, مشتق به فضاى اقليدسى و صفحدى مختلط
اگر ((۲,)نقطه‌ای از نمودار تابع ۷-۶0 ااا نقطمى ديكرق ازاين تمودار بانثند.
آنگاه۲)۵-(+۲0-(/۵ و شیب خط قاطع عبارت است از:
= Afls) _ fle+h)-fle)
ae = ا
casw ashy opis antl aSi cult x61 #نامیده می شود. EA cae eC Ee eed
دبستگی داشته باشد به مقداری میل | Pa صفرمیل 245 ا
می کند که به آن شیب خط مماس گفته می شود. به عبارت دیگر, حاصل حد زیر در صورت وجود
ل ل ري را نتیجه می دهد: cae
Him, p MO إن
صفحه 7:
لا تعریف مشتق تابع
feb sly که در همسایگی نقطه ی ۵ lim LOPE ab ayer = (ع) ۸ وجود داشته
مشتق پذیر است. اين حد یکتا را با و(0) "گمایش داده و آن را مشتق) تلیهقطه ی ey
بر طبق اين تعریف, مقدار مشتق برابر نرخ تفییرات cul lade زمانی که بت مربومط
به متغير مستقل به سمت صفر ميل مىكند.
ff (a) = Vig pq تعرنفوم مشتق به صورت زير خواهد بو 20ت كاك a به HL,
نبدی
لا نمادهای مشتق
لایینیتز, نیوتون, لاگرانژ, آرپوگاست و اویلر هر یک نماد ارام را براى نمايش مشتق بكار
hee ا ار ار ل ان حر كد دري به ا
علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصله ی BATS می‌کرد و با سایر
رياضىدانان مكاتبات بسیاری داشت و از اين طريق معايب و محاسن نماهای مختلف را برای
آن‌ها مطرح می‌ساخت.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطه ی
علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.
ع
صفحه 8:
صفحه 9:
8 اعده‌ی زنجیره‌ای,
استفاده a جزنی مشتق fee ee et مشتق
صفحه 10:
صفحه 11:
کاربرد مشتق در بهینه سازی-
Optimization
اگر آتابعی مشتقپذیر در دامنه‌ی ] (يا روی یک بازهی باز) باشد و ۷ یک بیشینه و کمینه موضعی ] باشد, مشتق ۲
coe bumen isis ست اك را قاض هاا اموه ص شو اراس ري
وضعیت نقطه‌ی بحرانی, مشتق دوم محاسبه می‌شود.
این روش, آزمون مشتق دوم نامیده می‌شود. در روشی دیگر که آزمون مشتق اول نامیده می‌شود, علامت ۴" دردو
sow نقطه‌ی بجر انی بر رسی می‌شود.
غالبا مشدوكيرى و مین قاط بعرانی. رورش ساده‌ای برای بافتن کییت‌ها و بیشیخه‌های موضعی است و در
بهینه‌سازی قابل استفاده است. بر بايدى قضيمى مقدار نهايى, يك تابع پیوسته روی یک بازه بسته باید دست‌کم یک
مقدار بنشيئه و كفيته داشته باشد اكر نابم مشت يدير باشد كميته و ببنشينه تنها می‌توانته در نقاط بحرانی با تقاط
انتمابى ظاهد شه‌ند.
هم‌چنین در رسم نمودار, از اين مفهوم استفاده می‌شود. پس از به دست آوردن نقاط بحرانى يك تابع مشتقيذير,
می‌توان نمودار تقریبی را با بررسی صعودی پا نزولی بودن تابع میان نقاط بحرانی رسم کرد.
0
صفحه 12:
در ابعاد بالاتر, نقطه بحرانی تابع اسکالر نقطه‌ای است که گرادیان صفر باشد. آزمون مشتق دوم می‌تواند برای
تحلیل نقاط بحرانی قابل بهره‌گیری باشد. به اين منظور, مقدارهای ویژمی ماتریس هشین مشتقات جزئی دوم
تایه د. تقطده. بح ائه. محاسيه مه .شوند
اگر هممی مقدارهای ویژه مثبت باشند, کمینمی موضعی و اگر همه منفی باشند, بیشینمی موضعی است. اگر
برخی مثبت و برخی منفی باشند, نقطمی زینی است و اگر هیچ یک از موارد بالا نباشد (مثلاً برخی از مقدارهای
ویژه صفر باشند) آزمون بی‌نتیجه است.
کاربرد مشتق در حساب تغییرات
نمونه‌ای از مسائل بهینه‌سازی, یافتن کوناه‌ترین مسیر میان دو نقطه روی یک سطح, با شرط قرار داشتن مسیر
روی سطح است. اگر سطح مورد نظر یک صفحه باشد, کوتاه‌ترین مسیر خط راست است. ولی در سطح‌های
دیگر. نمی‌توان کوتاه‌ترین مسیر را به سرعت مشخص کرد.
این مسیرها ژئودزیک نامیده می‌شوند و یکی از ساده‌ترین مسائل حساب تغییرات, محاسبه‌ی ژئودزیک‌ها است.
نمونه‌ی دیگر, یافتن کوچک‌ترین سطح پر شده توسط یک خم بسته در فضا است. این سطح, سطح کمینه نامیده
می‌شود و می‌توان آن را با حساب تغییرات محاسبه کرد.
0
صفحه 13:
oe در فیزیک دارای اهمیت حیاتی است. بسیاری از فرایندهای فیزیکی با معادلات شامل مشتقات توصیف
مىشوند و معادلات دبفراتسيل خوانده مرشوئد. فيزيك به ويه ب تغييرات کمیت‌ها در زمان سر و کار دارد و
مفهوم مشتق زمانی (نرخ تغییر در زمان) برای تعریف دقیق چند مفهوم مهم. ضروری است. به طور خاص,
مشتقات زمانی موفعیت جسم در فیزیک تبوتنی دارات آهمیت هستد:
02
سرعت لحظه اى يى جسم, مشتق جابجايي آن برحسب زمان است.
v 1
اشتاب لحطه اى يى جسم: مشتق سرعت أن بركست زمان و gas دوم جایبایی جسم اس
1
معادلمی دیفرانسیل, رابطه‌ای میان مجموعه‌ای از تاي‌ها و مشتقات آن‌ها است. معادلمی دیفرانسیل معمولی
گونه‌ای از معادلمی دیفرانسیل است که رابطمی میان تایع‌هایی از یک متفیر و مشتقات آن‌ها را نشان می‌دهد.
معادله‌ی دیفراتسیل جزتینوعی معادله‌ی دیفرانسیل است که رابطه‌ی تایم‌هایی با بیش از یک متفیر و مشتقات جزئی
آن‌ها را بیان می‌کند. معادلات دیفرانسیل در علوم فیزیکی, مدل‌سازی ریاصی و ریاضیات دیده می‌شوند.
0
صفحه 14:
کاربرد مشتق در قضیه‌ی مقدار میانگین
قضيدى مقدار ميانكين رابطهاى ميان مقادير مشتق و مقادير تابع اصلى را به دست مىدهد. اكر (<)؟ تابعى حقيقى
باشد و 3و ادو عدد باشند كه 6 >3, قضيدى مقدا ميانكين بيان مىكند كه شيب (b,f(b))5 (a,fla)) salads 9. ole
برابر با شیب خط مماس بر ] در نقطه‌ای مانند میان دو نقطدى دو است:
کاربرد مشتق در چند جمله‌ای‌های تیلور و سری تیلور
مشتق تأبع(0۳0). بهترین تقریب خطی ممکن آن را در تقطمی دلخواه 0< ارائه مىدهد؛ ولى اين تقزيب می‌تواند
بسیار متفاوت از مقدار واقعی باشد. یکی از شیوه‌های بهبود تقریب, بهره‌گیری از تقریب درجه دوم است.
cee yee a clean aoe cata b yal Len heqigenponelpeslaleysey sc, ل
تايوهايي كه براير با بسط تيلور خود فستند. تابع تحليلي خوائده مىشوتد. توايع دارای تاپیوستگی با گوشه‌های ioe
هركز نمىتوانند تحليلى باشند؛ ولى برخى توايع نرم نيز تحليلى نيستند.
0
صفحه 15:
مفهوم مشتق
و کاربردهای آن
Y jim LRN = FOO
dx heb 7
y= (
xa xa
استاد فرزامی
كارشناس ارشد رياضى - دانشجوى مقطع دکتری
دانش آموخته ممتاز دانشكاه دولتى قبريز
بیش از ده ال سابفه تدريس در دانشكاه و آموزشكاد هاى بور