معادلات دیفرانسیل - معادله خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

صفحه 1:
درس معادلات دیفرانسیل استاد درس : یزدان پناه 

صفحه 2:
فصل سوم . بخش دوم روش حل معادله خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت 

صفحه 3:
روش حل معادله خطی مرتبه دوم با ضریب ثابت : یادآوری : اگر ([ ور( دو تابع مستقل خطی باشند و همچنین دو جواب از معادله 0 < 46220 + (()2 + "۳ باشند و و6 و و6 دو عدد حقیقی دلخواه باشند, آنگاه 2172© + 6:۱ < 7 جواب عمومی این معادله است. در صورتی که (77)17 و (1)27 اعداد ثابتی باشند » آنگاه برای پیدا کردن 71 و 77 روش ساده ای وجود دارد. نکته : معادله 0 ح ‎by‏ + +7۳ دارای جوابی به فرم ۵*7 < 2 که در آن # یک مضرب ثابت است. 

صفحه 4:
روش حل معادله خطی مرتبه دوم با ضریب ثابت : مثال : مقدار ) را چنان بيابید تا **6 ‎ <‏ جوابی از معادله دیفرانسیل 0 < 27 + "/[3- 1/۳ باشد. ‎y=e* > yl=te™ , yl" = tel‏ ‎y"—3y' + 2y = (t? —3t + 2)e* =0‏ چون همواره 0 < **6. بنابراین بایستی معادله مشخصه 0 > 2 + 36 - 2 يرقرار باشد : t?-3t+2=0 => t=1 , %=2 بنابراین : ۵ ع< ول و *۵2 < ول دو جواب از معادله هستند. 

صفحه 5:
روش حل معادله خطی مرتبه دوم با ضریب ثابت : هم ‎x‏ ‏ادامه مثال : و نو & gy et 262 =e* #0 vy. WO Ya) = 5 yl يس 7 و و مستقل خطی نیز می باشند ء در نتیجه “6262 + ‎Y= Cpe”‏ جواب عمومی معادله است. نتیجه : اگر ] ريشه معادله مشخصه 0 < 9 + غ0 + 2غ باشند ؛ آنگاه ۵ < 1 جوابی از معادله دیفرانسیل ‎y" tay’ + by =0‏ است. نکته : اگرو) ‎tog‏ دو عدد متمایز باشند ؛ آنگاه 6*۳ = ‎yy‏ و 6127 < ول دو تابع مستقل خطی هستند. 

صفحه 6:
روش حل معادله خطی مرتبه دوم با ضریب ثابت : نکته : در مورد ريشه های معادله مشخصه 0 ‎ <‏ + 00 + 2 ممکن است یکی از ۲ حالت زیر رخ دهد : الف ) 0 < ۸ :در این صورت معادله مشخصه 0 < ۶ + ۸6 + 2غ دارای دو ريشه حقیقی متمایز است. بنابراین ۳ 2 ول و 623 > واز دوجواب مستقل خطی از معادله 0 < (0 + (0+ ۳( می باشند و در نتیجه ‎Y‏ ‎ce" + coe‏ = جواب عمومی معادله است. ‏ب) 0 < ۸ :در این صورت معادله مشخصه 0 ۸ + 08 + 42 داراى ريشه مضاعف 22 --21 است. بنابراین ۳ 2 و و 61*7 2 موز دو جواب مستقل خطی از معادله 0 -- ۷ + 1+0 می باشند و در نتيجه ‎tyx ‏26+ ©) > 7[ جواب عمومی معادله است. 

صفحه 7:
روش حل معادله خطی مرتبه دوم با ضریب ثابت : تمرین : نشان دهید که در حالت ب (0 < ۵ تابع ۲6*1۴ 2 لآ جوابی از معادله دیفرانسیل ‎y"+ay' + by =0‏ است. ‏و اما حالت سوم : ‏ج) 0 > ۸ : مى دانيم كه ‎ :‏ (15171)0 + (005)0 ع 9و ‏همچنین اگر در معادله مشخصه 0 < ۶ + 08 + 12 , 0 > ۸ باشد . آنگاه این معادله دارای دو ريشه مختلط به ‎etiqx — eP*[cos(qx) + i sin(qx)] ‏قورت 7717 و70 اسن‎ ‏يا به عبارت ديكر : 5 ‎eP*[cos(qx) — i sin(qx)]‏ — «(ها-صاي 

صفحه 8:
روش حل معادله خطی مرتبه دوم با ضریب ثابت : ‎e(PtiM* = eP*[cos(qx) + i sin(qx)]‏ e(P-!9)* = ePX[cos(qx) — i sin(qx)] توابع بالا جواب هایی از معادله دیفرانسیل 0 < 0 + /(۲0 ‎ht 8 Tj als Ge oe‏ از جواب های بالا هستند . نیز جواب هایی برای معادله هستند : I px =1o(prigix 41 o(p-ia)x y, = eP* cos(qx) 26 +28 I 2 i 1 ie PX ‏زو‎ =+te@riax _ + ep-ia)x Yo = eP* sin(qx) ne ae 

صفحه 9:
روش حل معادله خطی مرتبه دوم با ضریب ثابت : چون ‎eP* cos(qx)‏ < رب و ‎V2 = eP* sin(qx)‏ مستقل خطی هستند. y = e?*[cycos(qx) + cz sin(qx)] : ‏بنابراین‎ جواب عمومی معادله دیفرانسیل 0 < 9 + ۵۵۲+ است.