معادلات دیفرانسیل - معادله خطی مرتبه n

صفحه 1:
درس معادلات دیفرانسیل استاد درس : یزدان پناه 

صفحه 2:
فصل سوم . بخش اول 

صفحه 3:
معادله دیفرانسیل به فرم : ‎Dna (x)yO"Y ++ + py (x)y' + po(~)y = r(x)‏ + "¥ را معادله دیفرانسیل خطی مرتبه 11 می گوییم. اگر 0 < (7)2. معادله را همگن و اگر 0 ع ‎(X)‏ 1« معادله را ناهمكن می گوییم. 

صفحه 4:
مثال : - معادله دیفرانسیل ‎3xy’ =sin(x)‏ + "تر یک معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن از مرتبه دو (۲) 4 - معادله دیفرانسیل 0= ‎yA t+ Sy’ + 3y‏ یک معادله دیفرانسیل خطی همگن از مرتبه چهار (۴) 

صفحه 5:
روش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم : شکل کلی یک معادله خطی مرتبه دوم به صورت زیر است : ‎pa)y’ + q@)y = r(x)‏ + “ابر ‏* ابتدا به بررسی معادله خطی مرتبه دوم همگن می پردازیم : ‎y" +p)y’ +q@)y = 0 

صفحه 6:
روش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم : قضیه : اگر ,77 ور( دو جواب از معادله 0 < ‎p(xdy’ + q(x)y‏ + "بر باشند و و6 و و» دو عدد حقیقی دلخواه باشند, آنكاه 62/2 + 617/1 < 7 نيز جوابی از اين معادله است. ترشا ‎a‏ 0 > «()و + "رومام + ۲ ‎(C1 ¥1 + C2¥2)" + PO) CrY1 + C2¥2)' + W)C Cry + C2¥2)‏ > 3104" + py! + ge) y1) + C202" + PO) yo’ + ‏(وز(‎ ‎=> c,(0) + c2(0) =0 

صفحه 7:
روش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم : تعریف : دو تابع ‎f (x)‏ و ‎g(x)‏ را مستقل خطی گوییم » هرگاه تساوی ‎af(x)+ Bg(x) =0‏ نتیجه دهد که 0 > 6 < 0. دو تابعی را که مستقل خطی نباشند را وابسته خطی می گوییم. 

صفحه 8:
روش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم : مثال : دو تابع 5 < ()] و < (9)1 مستقل خطی هستند زیرا به ازای هر عدد حقیقی بایستی : 10 < 65 + 0 x=0 > a(0)+5B=0 > B=0 B=0 > ax+5(0)=0 > ax=0 x=1 4 af1)=0 © ‏ه]‎ ۶ 0( در نتيجه 0 < 6 ‎oye C=‏ و 9 مستقل خطی هستند. 

صفحه 9:
روش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم : : ‏و 52 < ()0 وابسته خطی هستند زیرا‎ F(X) =X wb go: ‏مثال‎ ‎(-5)f@) + (Dg) =0 : ‏و 0 ۶ 1 < © ولی‎ < -5 3۶ 0 : ‏بنابراین‎ ‎af (x) + Bg(x) =0 نكته ‎١‏ : تابع 0 > (2) ] با هر تابعی وابسته خطی است. زیرا اگر ۵ یک تابع دلخواه باشد » آنگاه : 210 (0(6) + 60 1(7) 

صفحه 10:
روش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم : نکته ۲: دو تابع ]و 0 وابسته خطی هستند . هرگاه ] مضرب ابتی از 8 باشد و یا 5 مضرب ثابتى از ] با نکته ۳: دو تابع / و 9 وابسته خطی هستند . اگر و تنها اگر 4- ‏قلجلة ب 0- (4) ذء‎ -0 3 g'f — f'g=0 a 9-9 ۳ §| =o f' 8 | بنابراين دو تابع / و 0 وابسته خطی هستند . اگر و تنها اگر ‏ 0 - 1 ۳ در نتيجه: دو تابع / و 3 مستقل خطى هستد . كرو تنه اكر .20 | 

صفحه 11:
روش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم : تعریف : اگر ]و 0 دو تابع باشند و 6 و 62 دو عدد حقیقی دلخواه باشند . آنگاه به تابع 0 + 6 < ۸ یک ترکیب خطی از توابع و 4 مى كوييم. نکته : اگر ,7 ور دو تابع مستقل خطی باشند و همچنین دو جواب از معادله 0 < ‎٩)2(2‏ + (2)0 + ۳ باشند و و6 و 62 دو عدد حقیقی دلخواه باشند. آنگاه 2172© + ,7 ,6 < 7 جواب عمومی این معادله است. 

صفحه 12:
روش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم : مثال : توابع مستقل خطی ()518 ع< و و( 05)20 ‎Yo‏ جواب های معادله دیفرانسیل زیر هستند : ۲۲۶ 7 بنابراين : 621/2 + 611/1 ‎ <‏ یعنی (6۱605)00 + (6۱502 2 77 جواب عمومی این معادله است.