مکانیک کوانتومی در فضای فاز

صفحه 1:
مکانیک کوانتومی در فضای فاز ‎Quantum Mechanics in Phase‏ ‎space‏ ‏ارائه كننده كان : روزبه برناک محمد جواد وحيد 

صفحه 2:
چرا از فضای فاز استفاده می کنیم؟ 1 * اگر 0 «-] انگاه چه در فضای تکانه وچه در فضای مختصات میتوان برای ذرات مسیر در نظر گرفت. * ما برای تشخیص یک سیستم از تابع چگالی در فضای فاز. استفاده مى کنیم وبا استفاده از معادلات هامیلتون میتوانیم مسير سیستم را در زمانهای بعذئ دنبال كنيم. ‎0p 0H op oH‏ . ۵69۲ dp og 

صفحه 3:
* پس در مکانیک کلاسیک ما مجازیم که سیستم را با یک چگالی(0 67)مکه تابعی از مختصه وتکانه تعمیم يافته * ولی در مکانیک کوانتومی )یک عملگر است . * نوعی تابع چگالی کوانتومی ( 4)م که شرایط زیر را داشته باشد تعریف می کنیم. 

صفحه 4:
جح لظ ‎ataspldp = (alee (15.1)‏ | (1 " )15.2( + («امام) - وف(« رو)هم / )2 = ‏)15.3( 0< (هبواوم )3 = 

صفحه 5:
در واقع چون داریم با یک تابع چگالی احتمال کار می کنیم کافی است که به ازای هر ذره در فضای فاز فضایی برابر 277 را در نظر بگیریم. با توجه به اصل عدم قطعیت . برای حالت خالص داریم ‏ |#)(/< م که چگالی احتمال همان حالت اشنای ‎Cul w| BY)‏ 

صفحه 6:
‎ —‏ د ‏* مثلا در فضای مکان داریم : ‎(dela = (dv)v|d = ۲ ۱)۵۷(‏ ‎lal’‏ = * پس ممکن است در نظر بگیرم که: ‎2G dD ۳46 ۵ ( 

صفحه 7:
" تعریف حالات اميخته به این شکل است که ‎P‏ مابه صورت ار( رم|ره 2< م تعریف می شود . * باید توجه داشت که حالت خالص حالت خاصی از. حالت اميخته است . * اگر سیستم را بخواهیم به صورت کت نشان دهیم نتیجه حاصل تشکیل شده از مجموع حالت های کوانتومی با ضرایب وزنی که هیچ نوع همبستگی فازی بین کت ها باضرایب وزنی مختلف وجود ندارد . 

صفحه 8:
نمایش ویگتر ‎sa ht <lolq+ Jee dy‏ - 2 0),م ‎S| 1 3‏ _ ۳ داكا م3 موم 1 ‎J‏ و۵24 ,| - ] )- Yolar Z)ol var (anid 

صفحه 9:
نمایش ویگنر در مفهوم به معنی مبادله بین دو چیز است که برای یک تک ذره در یک بعد چنین تعریف میشود : 00 f(g p) = (2m) I ‏ومان؟-و)‎ + dy) et dy. (15.4) 00 

صفحه 10:
۰ نمایش ویگنر همچنین میتواند از طریق نمایش تکانه به دست ايد : 95 ‎(p— shlplp+ gk)et/*dk, (15.5)‏ | -(28) > (مروامم ‎-00 ‏)15.6( « (واماو) - مقلم امم ل ‎٠ (15.7)‏ اماه - ول(ه,و)ميم ۳ / 

صفحه 11:
* از تعریف 6۳-9 اين طور بر می اید که در نتیجو/ . به صورت زیر خواهد بود : / / Pwo(9,P)dgdp = / (alela)dg = Tr(o) . (15.8) J f(g pdqdp-l— Tip) =1 1 arson * ‏دومین خصوصیت :بر اساس این واقعیت که 70 2,6 حقیقی‎ * است می نویسیم : p=p 

صفحه 12:
۰ " وسومین خصوصیت :عبارت غیر منفی زیر است : ‎(ule) 20‏ * كه به هر حال عبارت غير متفی برای انز (6),م به کار نمی رود . * نمایش ویگنر برای هر عملگری مثل ‎]٩‏ وبه غیر ازم به اين صورت تعریف می شود: ‎qulRlq+ ty) "dy. (15.9)‏ - و) / > (0,۶)م7 

صفحه 13:
* در نتیجه انرژی پتانسیل (۷)۵ برای هر(عر -عد) ۵ود)۲ - ‎(xx)‏ ‏به صورت زیر در می اید : Vo(9,P) = fv ‏و)‎ - 4y) 5(y)e”¥/ "dy = V(q). همچنین نمایش ویگنر برای یک تابع از ۴ مثل(1)0 به سادگی به صورت زير می باشد : 1, )6 «( 270 

صفحه 14:
* متوسط متغیر دینامیکی ]در حالت م برابر است با : ‎(A) =TitoR)‏ * بنابراین ما احتیاج داریم به بیان ترانهاده محصول دو عملگردر نمایش ویگنر.برای انجام اين کار ابتدا باید حدود نمایش را معین کنیم : کل وله ‎ria)‏ واماها زر = ‎‘Tr(pR)‏ 

صفحه 15:
" وسيس بايد نمايشهاى ‎Pol‏ را با توجه به نمایشگر ویگتر وبا به کاربردن معکوس فوریه از (09-*4))نمایش دهیم : [ ‏-و) - هام۳‎ gylelat gy) » R(gp= ies 2\Rq= Sham ay = fer, =lg- ¥ y fe? 2.(¢ Dap (a Sina+ 5) 

صفحه 16:
* ساده سازی : (R) = Ti(pR) = | / po(Qp)Re(Qp)dadp. (15.0) * تشابه این فرمول به متوسط فضای فاز کلاسیکی عاملی برای شواهد مستقیم وکاربرد عملی نمایش ویگنر میباشد.در اینجا از اصل چند عبارت كه در فصل © بدست مى ايد استفاده مى كنيم : ‎0<Txpp) <1‏ = 

صفحه 17:
* اگر ما 601( |< م بگذاریم حالت غیر منفی (9-9) یعنی اينکه عبارت زیر اشکار میشود : 1< شام )> 0 * جايكزين كردن( ۲6 :2270 ( 6) ,77 در رابطه ۶ 6-(00)خواهیم داشت : Tre?) = anh ff cole) eel) dad, (15.11) 

صفحه 18:
د " ودر نهايت مى رسيم به : ‎e(ap)dadp < (xh). (15.2)‏ ززم رهام أ > 0 ۴ در مورد خاص "م< م خواهیم داشت : ‎ff toetan)}? dade < (2m), (15.13) 

صفحه 19:
* اگر ما به صورت تخصصی به سمت حالتهای خالص حرکت کنیم یعنی روابط زیر را داریم : _ |( ۷< م ‎p' =|9)(9|‏ * وبنابراین از رابطه (0-00)نتیجه می گیریم که : Keven? = 20h ff et ase we) dad. (15.14) 

صفحه 20:
اگر وفقط اگر ۸-20 باشد که یک حالت خاص است . خواهیم : ‏داشت‎ ‎I {pwla, PY? dq dp = )278( (15.15) ودر مورد حالت خا لص خواهيم داشت : 2 دكن ار ‎rola)‏ ‏0 

صفحه 21:
مثال: بسته موج گوسی در ابتدا بسته موج گوسی زیر را در نظر می گیریم : ‎١ (15.17)‏ مه هس۷۹( شمی2) - (و) از ‎.1d6-d9)‏ ۰ ‎ipy oy?‏ 20 62 توس ‎Pulp) = 2nfi(2na?)/2 [. 5-9 (2 5 2 dy‏ )15.18( 0۵9/۵۵ سل - ‎ah‏ ‏مقدار نیم پهنای ۲۳5 از توزیعانه < ۵۵ و - مد بدست خواهد امد . 

صفحه 22:
* بیشترین مقدار تابع موج گوسی از طریق جایگزین کردن قسمت مرکزی به دست می اید : < ( ) © - 9 (15.19) )نی “مهل #(موسو)سى 1/4 - مم ج2) - (و )لا * بنابراين : PulP) = See aa my Alas? (15.20) 

صفحه 23:
وابستگی زمانی تابع " با توجه به عملكر حالت خواهيم داشت : (صع يعن لع 9 7 06 عر * ازجانیکه !| برایر خواهد بودبا: لاح 23 _ م8 ‎asa‏ دب 2 2 ۵ مرو mn yun PP — P*p), (15.24) we - 3 ‏۷م)‎ - ۷۰ (15.25) 

صفحه 24:
+ — (قص - سير (ثبرام اها جد - (نرام ام كلد ‎+p) — p)- (15.26)‏ ( رام اما رش = 2 0 )15.27( سم - - 8 )مگ ‏* با به كار ‎ae (P-IS) Gry‏ توان اين نمایش را به شکل معادله ویگتر دراورد : ‎ay ‎2 ‏(9,۵)عم‎ = won fe qulela + ay) ‎x [V (a+ gy) —V (9— gy)] ef dy. 

صفحه 25:
+ 2 ‏مر‎ ۳۷ ( Vota) Vlog) = Ey) oe (15.28) 1 ni d"V(q) O° ‏)مگ‎ YE ait) SO Flan) (15.29) n=odd حاصل ‎ul Absles (COIS) 5 (OPIS) eso‏ را برای ارزیابی زمانی تابع ویگنر بدست می دهد : 2 ‏و‎ ۵ 1۷ 0 9 5۳) - ‏و77‎ )8:2,6( + 9 gphalanrt) + OR). (15.30) 

صفحه 26:
توزیع هوسمی ۳۹ زيع هوسمی به شیوه ای تعريف شده كه غير منفى بودن ان تضمين شود و يك تفسير احتمالاتى را به دست دهد . در اين تعريف ابتدا لازم است به خاطر داشته باشيم كه ساختار توزيع ارايش فضايى جكونه شكل كرفته است . 1 0 | | معرفی ویژه بردار مکان : |( |) رابطه راست هنجاری ‎ny :‏ _ (dq) =5(¢- ¢) ورابطه كامل بودن 90-1 [ صورت می پذیرد. 

صفحه 27:
* بنابراین چگالی احتمال مکان براى حالت © با (© |م© » داده مى شود كه درمورد خاص حالت خالص (| )( #|< م( به صورت ‎(Cafe)‏ درمی اید. بایستی این بردارها را به صورت (2 6 | نشان دهیم . در نمایش مکانی به جز تغییر کوچکی در نماد گذاری بردارها شکل (0-6) راخواهند داشت : (2lq,p) = (2m?) M4 ee 9/40" ‏عون‎ ١ (15.31) 

صفحه 28:
مرکزیت اين تابع در فضای فاز روی نقطه (0,0) با توزیع گوسی در مکان و تکانه و نیم پهنای ۲۳05 : 80-5 و = ‎ul Sp‏ برای عملگر حالت توزيع هوسمى به شكل زير تعريف ميشود : ‎٠ (15.33)‏ (مرواماصرو)؟ (28) > (صرو) وم 

صفحه 29:
* برای مورد خاص حالت خالص |/)(/1/< ۵ به شكل زیر در مى ايد * (15.34) ۰ (ظ اصرو)| أ -(2) - (صرو) بوم * ضريب بهنجارش تضمين مى كند : ‎JoulG Ddgdp=1‏ * توزيع هوسمى( ,©),رم ميتواند به عنوان جكالى احتمال سيستم براى اشغال كردن يك ناحيه نامعلوم در فضاى فاز تفسير شود كه نیم پهنای ان 5 39 و _ ال وق به مرکزیت (0,0) است . ‎2s‏ 

صفحه 30:
* در حالت حدی بو کمترین عدم قطعیت ‎(BAUS) al‏ در مکان بسیار باریک میشودو بنابراین تقریبی از ویژه تابع مکان بدست می دهد در ‎costa Cilla‏ 5 تقریبی از ویژه تابع تکانه را به دست مى دهد بنابراین نمایش هوسمی مانند نمایش ویگنر حد واسط میان نمایشهای مکان وتکانه است . . توزیم هوسمی همچنین برابر با یک هموارسازی گاوسی از تابع : ‏ویگثر است .اگر بنویسیم‎ D=(2xh)"(G Holg B= (mh) TH ¢ B( Bp) Pul@ 

صفحه 31:
ا له * وسپس (4-6)را برای بیان ترانهاده ربه عنوان انتگرالی از دو تابع ویگنر به کار ببریم خواهیم دید : ‎٠ (15.38)‏ تت و( لام ( :موم / | = ‎pu (asp)‏ ‏* بنابراین نوزیع هوسمی(1 6),رم‌را می توانیم با یک هموار سازی گاوسی در مکان و تکانه از تابع وبگنر و رو ارم به دست بیاوریم . 

صفحه 32:
* توزیع هوسمی از (4-0)و(0-0) پیروی نمی کند . انتگرال تکانه از( )0 توزیع احتمال مکان را به دست نمی دهد و انتگرال مکان توزیع تکانه را به دست نمی دهد . از معادلهء (180-*0)توزیع مکان هوسمی چنین است : مه( أ ‎Pala) = f ex(ar)dp= (ont)‏ ‎١ )1536(‏ بعلمل (درو اتا لجان مال ۱/0 ‎(enh)! | dp‏ = 

صفحه 33:
* با به کار بردن معادله (00-0)خواهیم داشت : ۳( امه - مام ‎(al) Pde (15.37)‏ سس ۱/2 و 2) | 5 * در واقع اين نوعی از پهن شدگی گاوسی توزیع احتمال مکان کوانتومی (4)| است که در حده و به سمت |( )| ميل مى كند . 

صفحه 34:
رابطه مبهم برای توزیع هوسمی . به طور کلی میانگین های محاسبه شده از توزیع هوسمی با میانگین های حالت های کوانتومی استاندارد متفاوتند و دلیل ان پهن شدگی احتمالات بیان شده است . * برای یک بردار حالت ۳ مکان وتکانه میانگین رابه صورت (0:0|)- 9 ) و( 80 |)- (8) تعريف می كنيم 0 صورت هاى زير تعريف كنيم : 40 - ب, ‎٩‏ 2( ) بلط | < بر 

صفحه 35:
a * در واقع میانگین های هوسمی 0,۲ با میانگین های کوانتومی برابرند . ‎f Koala 2)42, (15.38)‏ - (و)بظ " بنابراین داریم : وف عة ( - وو مره زر - مجه عه إمة د - همه | ها ۶ - )15.39( 90 - و۶ | - 

صفحه 36:
ا ‏ له # تساوی سوم برقرار است زیرا (-9)0 درحوالی 0 متقارن است. ‎{p) x = (p). )15.40 7‏ واريانس توزيع تكانه و مكان كوانتومى به صورت زير است : ‎ca ‏امک دمم‎ oe) ‏و‎ ‎ ‏)15.41( + و (و) بر ((و) - 6 = ‎(Aq)ir‏ ‎(Ap) = / (p — (pn) Prr(p) dp. (15.42) 

صفحه 37:
* برای سادگی و بدون از دست دادن عمومیت ,حالت را كنار مى ‎=O Sula Sa ais‏ 2 بنابراين (س |02 |س)- 2©ى) مه عه (ه - و و( ۲ ‎ann = farratarda= ff a‏ =f 1@|f o@-2) aa] ae عه [2(ه5) + سار ۶ ار = ‎(Aq)? + (a)?. 15.43)‏ = دراينكق 0 نیم پهنای ۲۳05 حالت پایه است که چگا لی احتمال ‏مکان آن (<-0) ی است ۸ نیم پهنای ۲۳05 حالت کوانتومی ‏است. 

صفحه 38:
له * با بحث مشابهی میتوان نشان داد : )15.45( ,8 < بر (هه) بر(وض) ضرب عدم تعين براى توزيع هوسمى جنين است : (097 AD? =|(Ag? + (op? (ap? +(0q?| * از انجا که (2 ]© | یک حالت گاوسین است داریم 5 < 067 و مق 2s (ag ap, =(aglap? EEE, clap? : ‏در نتيجه‎ 

صفحه 39:
له * با توجه به كمينه كردن دو جمله اخر نسبت به 5 خواهيم ‎,2(Ap 2 2A?‏ وها ‏* بنابراین حاصلضرب عدم تعین برای توزیع هوسمی میشود ‎(Ad (AD, =A‏ ‏* که دو برایر بزرگی حد یک حالت کوانتومی است : ‏داشت : ‎(15.46) ‏+2 احم ‎AgAp> 

صفحه 40: