مکانیک کوانتومی در فضای فاز

مکانیک کوانتومی در فضای فاز

اسلاید 1: مکانیک کوانتومی در فضای فاز Quantum Mechanics in Phase spaceارائه کننده گان : روزبه برناکمحمد جواد وحید

اسلاید 2: چرا از فضای فاز استفاده می کنیم؟اگر انگاه چه در فضای تکانه وچه در فضای مختصات میتوان برای ذرات مسیر در نظر گرفت.ما برای تشخیص یک سیستم از تابع چگالی در فضای فاز استفاده می کنیم وبا استفاده از معادلات هامیلتون میتوانیم مسیر سیستم را در زمانهای بعدی دنبال کنیم.

اسلاید 3: پس در مکانیک کلاسیک ما مجازیم که سیستم را با یک چگالی که تابعی از مختصه وتکانه تعمیم یافته است مشخص کنیم .ولی در مکانیک کوانتومی یک عملگر است .نوعی تابع چگالی کوانتومی که شرایط زیر را داشته باشد تعریف می کنیم.

اسلاید 4: 1)2)3)

اسلاید 5: در واقع چون داریم با یک تابع چگالی احتمال کار می کنیم کافی است که به ازای هر ذره در فضای فاز فضایی برابر را در نظر بگیریم.با توجه به اصل عدم قطعیت .برای حالت خالص داریم که چگالی احتمال همان حالت اشنای است .

اسلاید 6: مثلا در فضای مکان داریم : پس ممکن است در نظر بگیرم که:= = =

اسلاید 7: تعریف حالات امیخته به این شکل است که ما به صورت تعریف می شود .باید توجه داشت که حالت خالص حالت خاصی از حالت امیخته است .اگر سیستم را بخواهیم به صورت کت نشان دهیم نتیجه حاصل تشکیل شده از مجموع حالت های کوانتومی با ضرایب وزنی که هیچ نوع همبستگی فازی بین کت ها باضرایب وزنی مختلف وجود ندارد .

اسلاید 8: نمایش ویگنر= =

اسلاید 9: نمایش ویگنر در مفهوم به معنی مبادله بین دو چیز است که برای یک تک ذره در یک بعد چنین تعریف میشود :

اسلاید 10: نمایش ویگنر همچنین میتواند از طریق نمایش تکانه به دست اید :

اسلاید 11: از تعریف 15-4 این طور بر می اید که در نتیجه به صورت زیر خواهد بود :اولین خصوصیت :دومین خصوصیت :بر اساس این واقعیت که حقیقی است می نویسیم :

اسلاید 12: وسومین خصوصیت :عبارت غیر منفی زیر است :که به هر حال عبارت غیر منفی برای به کار نمی رود .نمایش ویگنر برای هر عملگری مثل R وبه غیر از به این صورت تعریف می شود:

اسلاید 13: در نتیجه انرژی پتانسیل V(q) برای هربه صورت زیر در می اید : همچنین نمایش ویگنر برای یک تابع از P مثلK(p) به سادگی به صورت زیر می باشد :

اسلاید 14: متوسط متغیر دینامیکی Rدر حالت برابر است با :بنابراین ما احتیاج داریم به بیان ترانهاده محصول دو عملگردر نمایش ویگنر.برای انجام این کار ابتدا باید حدود نمایش را معین کنیم :

اسلاید 15: وسپس باید نمایشهای مکانR, را با توجه به نمایشگر ویگنر وبا به کاربردن معکوس فوریه از (15-4)نمایش دهیم :

اسلاید 16: ساده سازی : تشابه این فرمول به متوسط فضای فاز کلاسیکی عاملی برای شواهد مستقیم وکاربرد عملی نمایش ویگنر میباشد.در اینجا از حاصل چند عبارت که در فصل 2 بدست می اید استفاده می کنیم :

اسلاید 17: اگر ما بگذاریم حالت غیر منفی (2-8) یعنی اینکه عبارت زیر اشکار میشود :با جایگزین کردن در رابطه10-15)خواهیم داشت :

اسلاید 18: ودر نهایت می رسیم به :در مورد خاص خواهیم داشت :

اسلاید 19: اگر ما به صورت تخصصی به سمت حالتهای خالص حرکت کنیم یعنی روابط زیر را داریم :وبنابراین از رابطه (11-15)نتیجه می گیریم که :

اسلاید 20: اگر وفقط اگر باشد که یک حالت خاص است . خواهیم داشت : ودر مورد حالت خا لص خواهیم داشت :

اسلاید 21: مثال: بسته موج گوسی در ابتدا بسته موج گوسی زیر را در نظر می گیریم :از (16-15) :مقدار نیم پهنای rms از توزیعات و بدست خواهد امد .

اسلاید 22: بیشترین مقدار تابع موج گوسی از طریق جایگزین کردن قسمت مرکزی به دست می اید :بنابراین :.

اسلاید 23: وابستگی زمانی تابع ویگنر با توجه به عملگر حالت خواهیم داشت :ازجائیکه H برابر خواهد بودبا:

اسلاید 24: با به کار بردن (15-4) می توان این نمایش را به شکل معادله ویگنر دراورد :

اسلاید 25: حاصل جمع (15-27) و(15-29) معادله ای را برای ارزیابی زمانی تابع ویگنر بدست می دهد :

اسلاید 26: توزیع هوسمی توزیع هوسمی به شیوه ای تعریف شده که غیر منفی بودن ان تضمین شود و یک تفسیر احتمالاتی را به دست دهد . در این تعریف ابتدا لازم است به خاطر داشته باشیم که ساختار توزیع ارایش فضایی چگونه شکل گرفته است .معرفی ویژه بردار مکان :رابطه راست هنجاری : ورابطه کامل بودن صورت می پذیرد.

اسلاید 27: بنابراین چگالی احتمال مکان برای حالت باداده می شود که درمورد خاص حالت خالص ( ) به صورت درمی اید. بایستی این بردارها را به صورت نشان دهیم .در نمایش مکانی به جز تغییر کوچکی در نماد گذاری بردارها شکل (15-9) راخواهند داشت :.

اسلاید 28: مرکزیت این تابع در فضای فاز روی نقطه (q,p) با توزیع گوسی در مکان و تکانه و نیم پهنای rms : و است. برای عملگر حالت توزیع هوسمی به شکل زیر تعریف میشود :

اسلاید 29: برای مورد خاص حالت خالص به شکل زیر در می اید :ضریب بهنجارش تضمین می کند :توزیع هوسمی میتواند به عنوان چگالی احتمال سیستم برای اشغال کردن یک ناحیه نامعلوم در فضای فاز تفسیر شود که نیم پهنای ان و به مرکزیت (q,p) است .

اسلاید 30: در حالت حدی کمترین عدم قطعیت تابع (15-31)در مکان بسیار باریک میشودو بنابراین تقریبی از ویژه تابع مکان بدست می دهد.در حالت حدی تقریبی از ویژه تابع تکانه را به دست می دهد .بنابراین نمایش هوسمی مانند نمایش ویگنر حد واسط میان نمایشهای مکان وتکانه است .. توزیع هوسمی همچنین برابر با یک هموارسازی گاوسی از تابع ویگنر است .اگر بنویسیم :

اسلاید 31: وسپس (15-11)را برای بیان ترانهاده ,به عنوان انتگرالی از دو تابع ویگنر به کار ببریم خواهیم دید :بنابراین توزیع هوسمی را می توانیم با یک هموار سازی گاوسی در مکان و تکانه از تابع ویگنر به دست بیاوریم .

اسلاید 32: توزیع هوسمی از (15-1)و(15-2) پیروی نمی کند . انتگرال تکانه از توزیع احتمال مکان را به دست نمی دهد و انتگرال مکان توزیع تکانه را به دست نمی دهد .از معادلهء (15-34)توزیع مکان هوسمی چنین است :.

اسلاید 33: با به کار بردن معادله (15-31)خواهیم داشت :در واقع این نوعی از پهن شدگی گاوسی توزیع احتمال مکان کوانتومی است که در حد به سمت میل می کند .

اسلاید 34: رابطه مبهم برای توزیع هوسمی به طور کلی میانگین های محاسبه شده از توزیع هوسمی با میانگین های حالت های کوانتومی استاندارد متفاوتند و دلیل ان پهن شدگی احتمالات بیان شده است .برای یک بردار حالت بهنجار مکان وتکانه میانگینرا به صورت و تعریف می کنیم . همچنین میتوانیم میانگین توزیع هوسمی را نیز به صورت های زیر تعریف کنیم :.

اسلاید 35: در واقع میانگین های هوسمی q,p با میانگین های کوانتومی برابرند .بنابراین داریم :

اسلاید 36: تساوی سوم برقرار است زیرا g(q-x) درحوالی q=xمتقارن است.واریانس توزیع تکانه و مکان کوانتومی به صورت زیر است : وواریانسها برای توزیع هوسمی به صورت زیر خواهد بود:

اسلاید 37: برای سادگی و بدون از دست دادن عمومیت ,حالت را کنار می گذاریم به گونه ای که : بنابراین دراینجا نیم پهنای rms حالت پایه است که چگا لی احتمال مکان ان g(q-x) است .و نیم پهنای rms حالت کوانتومی است.

اسلاید 38: با بحث مشابهی میتوان نشان داد :ضرب عدم تعین برای توزیع هوسمی چنین است :از انجا که یک حالت گاوسین است داریم : و در نتیجه :

اسلاید 39: با توجه به کمینه کردن دو جمله اخر نسبت به s خواهیم داشت :بنابراین حاصلضرب عدم تعین برای توزیع هوسمی میشودکه دو برابر بزرگی حد یک حالت کوانتومی است :