کنترل پیشرفته

ADVANCED CONTROL Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad Reference: Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999. I thank my students , Saina Ramyar and Parisa Tavakkoli, for their help in making slides of this lecture. . Lectur e5 lecture 5 Stability Topics to be covered include:      Introduction. Input-Output Stability of LTI systems. Internal Stability. Lyapunov Theorem. Stability of Linear Time-Varying(LTV) Systems 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید )BIBO( خروجی-• مفهوم پایداری ورودی • Input-output stability (BIBO) )BIBO( خروجی-• شرط وجود پایداری ورودی • Input-output stable systems • Internal stability(in the sense )مجانبی داخلی (لیاپانوفی و • مفهوم پایداری of Lyapunov and asymptotic) • شرط وجود پایداری لیانوفی و مجانبی • Marginal and asymptotic stability conditions • بررسی پایداری مجانبی توسط معاله لیاپانوف • Internal stability by Lyapunov equation • LTV • بررسی پایداری در سیستمهای Stability analysis for LTV state equation 3 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Introduction مقدمه خاصیت سیستم خطی ‏Linear System property )ytotal(t)  yzs(t)  yzi(t پاسخ ورودی صفر +پاسخ حالت صفر = پاسخ کامل پاسخ سیستمهای خطی را می توان بصورت جمع پاسخ حالت صفر و پاسخ ورودی صفر بیان نمود. -1پایداری ورودی خروجی سیستمهای خطی پایداری ( BIBOورودی کراندار خروجی کراندار) نامیده می شود( .پاسخ حالت صفر ) -2پایداری داخلی سیستمهای خطی پایداری مجانبی نامیده می شود( .پاسخ ورودی صفر ) 4 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 Input output stability of LTI ‏system ‏lecture 5 پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI در سیستم تک ورودی تک خروجی خطی غیر متغیر با زمان ( )LTIخروجی را میتوان بصورت ) (I ‏t ‏t 0 0 ‏y(t) g(t   )u( )d g( )u(t   )d نمایش داد که ) g(tپاسخ ضربه بوده و سیستم در t=0آرام است. تعریف : 1-5یک سیستم را پایدار BIBOگویند اگر هر ورودی محدود خروجی محدود را تولید کند .این پایداری برای پاسخ حالت صفر تعریف شده و سیستم در ابتدا آرام است. قضیه : 1-5یک سیستم SISOتوصیف شده با معادالت ( )Iرا پایدار BIBOگویند اگر و فقط اگر قدر مطلق ) g(tدر بازه [ )∞,0انتگرال پذیر باشد یا ‏ 5 M مOیبOOاشد. ثOOابOت عOدد ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 ‏ g(t) dtM   0 Input output stability of LTI ‏system ‏lecture 5 اثبات قضیه :1-5باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: سیستم پایدار )g(t ) g(tمOطلقا اOنOتگراOOلپOOذیر BIBOمطلقا انتگرال پذیر ‏ سOOیستم پOOایدار BIBO ‏ ابتدا قسمت اول را ثابت می کنیم. فرض کنید ) g(tبطور مطلق انتگرال پذیر است باید نشان دهیم هر ورودی کراندار منجر به خروجی کراندار می شود. ورودی کراندار دلخواه با شرط | ∞ < u(t)| ≤ umرا در نظر بگیرید: ‏ ‏ ‏y(t)  g( )u(t   )d 0 g( ) u(t   ) d um g( )d umM 0 ‏t 0 لذا خروجی محدود است .پس سیستم پایدار BIBOاست. 6 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 Input output stability of LTI ‏system ‏lecture 5 اثبات قضیه (1-5ادامه) :باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: سیستم پایدار )g(t BIBOمطلقا انتگرال پذیر ‏ ) g(tمOطلقا اOنOتگراOOلپOOذیر ‏ سOOیستم پOOایدار BIBO حال به اثبات قسمت دوم قضیه می پردازیم. فرض کنید سیستم پایدار BIBOاست باید نشان دهیم ) g(tبطور مطلق انتگرال پذیر است. نشان می دهیم اگر ) g(tمطلقا انتگرال پذیر نباشد ،به تناقض می رسیم. اگر ) g(tمطلقا انتگرال پذیر نباشد ،آنگاه یک t1وجود دارد به طوری کهg( ) d  : ‏if g( ) 0 ‏if g( )  0 فرض کنید ورودی کراندار زیر را انتخاب کنیم: 7 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 تناقض ‏t1 ‏ 0 ‏1 ‏u(t   )  ‏ 1 ‏y(t)  g( )u(t   )d  g( ) d  ‏ ‏ 0 0 lecture 5 ‏Input output stability of LTI ‏system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI آیا محدود بودن انتگOرال قدرمطلق پاسخ ضربه به معنی محدود بودن پاسخ ضربه است؟ ‏for n  1/ n t n مثال :1-5تابع مقابل داده شده است. ‏for n  t n  1/ n 3 3 ‏n  (t  n)n ‏f (t  n)  ‏n  (t  n)n 4 4 مساحت زیر هر مثلثn2/1 : انتگرال قدر مطلق تابع : 1 ) 2 ‏n ‏ ( ‏n2 تابع مطلقا انتگرال پذیر است اما تابع محدود نیست و برای ∞→tبه صفر میل نمی کند. 8 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI قضیه : 2-5اگر سیستمی با پاسخ ضربه ) g(tپایدار BIBOباشد برای ∞→tداریم: )1خروجی تحریک شده به وسیله t ≥ 0، u(t)=aبه سمت ĝ(0)×aمیل می کند. )2خروجی تحریک شده به وسیله ̥ t ≥ 0،t u(t)=sin ωبه سمت میل می کند که ) ĝ(sتبدیل الپالس ) g(tاست یعنی: )(II ‏ ‏gˆ(s) g( )e d ‏ s 0 اثبات ()1 ‏t اگر برای تمام t ≥ 0، u(t)=aباشد ،داریم: ‏t ‏y(t) g( )u(t   )d ag( )d 0 0 طبق تعریف تبدیل الپالس به ازای s = 0نتیجه می دهد که وقتی ∞→t بخش اول قضیه 2-5اثبات شد. 9 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 ‏ ‏ )y(t)  ag( )d ag(0 0 lecture 5 Input output stability of LTI system LTI پایداری ورودی خروجی سیستمهای )2( اثبات : خروجی عبارتست از، باشدt u(t)=sin ω̥ ورودی برابرt ≥ 0 اگر برای y(t) g( )sin (t   )d g( )[sin t cos   cos tsin  ]d t t 0 0 0 0 0 0 0 sin tg( ) cos d  cos tg( )sin d t 0 t 0 0 0 0 0 :→∞ داریمt لذا برای y(t) sinω t g(τ) cosω τdτ cosω t g(τ)sinω τdτ  0  0 0 0 0 0 است دو انتگرال فوق کراندار است و از طرفیBIBO چون سیستم پایدار  Re[g( j )]  g( ) cosd  Im[g( j )]   g( )sind   gˆ( j )  g( )[cos  j sin ]d 0 0  0 قیقی و موهومی در رابطهOبا جایگزینی بخشهای ح y(t) sinω t Re gˆ( jω   cosω t Im gˆ( jω   gˆ( jω ) sin ω t  gˆ( jω ) 0 0 0 0 0 0 0 10 . اثبات شد2-5 بخش دوم قضیهDr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI قضیه : 3-5یک سیستم SISOبا تابع انتقال گویا و مناسب ) ĝ(sپایدار BIBOاست اگر فقط اگر هر قطب ) ĝ(sدارای بخش حقیقی منفی باشد یا ،به طور متعادل ،در نیمه چپ صفحه sواقع شود. اگر ) ĝ(sدارای قطب piبا درجه تکرار miباشد ،بسط به صورت کسرهای جزئی آن شامل عوامل زیر است: 1 1 1 , ,..., ‏s  pi (s  pi )2 (s  pi )mi لذا تبدیل الپالس Oمعکوس ) ĝ(sیا پاسخ ضربه آن دارای عوامل زیر باشد. ‏mi 1 pit ‏pit ‏pit ‏e ,te ,...,t e می توان نشان داد که هر یک از این جمله ها مطلقا انتگرال پذیر است اگر و فقط اگر piدارای بخش حقیقی منفی است. 11 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI مثال : 2-5پایداری BIBOسیستم مقابل را بررسی کنید. پاسخ ضربه سیستم عبارتست از: ‏ )g(t) a (t  1)  a  (t  2)  a  (t  3)  ...... ai (t  i 2 3 ‏i 1 می دانیم: ‏ )g(t)  a  (t  i ‏i ‏i1 حال است. پایدار سیستم برای آن پایداری BIBOرا تشخیص داد چرا ‏BIBOروی نمی توان از ‏a|<1ولی بصورت |زیر است پس انتقال تابع که ... 12 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI قضیه : 4-5یک سیستم MIMOتوصیف شده با ماتریس ضربه ]) G(t)=[gij(tرا پایدار BIBOگویند اگر و فقط اگر قدر مطلق ) gij(tدر بازه [ )∞,0انتگرال پذیر باشد. قضیه : 5-5یک سیستم MIMOتوصیف شده با ماتریس انتقال ]) G(s)=[gij(sرا پایدار BIBOگویند اگر و فقط اگر هر قطب هر ) gij(sدارای بخش حقیقی منفی باشد. تشخیص پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTIاز معادالت فضای حالت: ماتریس تابع انتقال عبارتست از: ‏x  Ax Bu ‏y Cx Du ‏G(s) C(sI  A) B  D )adj(sI  A ‏G(s) C ‏B D ‏sI  A ‏1 پس اگر کلیه مقادیر ویژه Aدارای بخش حقیقی منفی باشد .در اینصورت ....................ولی اگر ................. 13 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI مثال : 3-5شبکه نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید .معادله حالت این شبکه به Oصورت زیر است ،پایداری BIBOآن را بررسی کنید. )x (t)  x(t)  0u(t )y(t) 0.5x(t)  0.5u(t ماتریس Aو مقدار ویژه آن برابر 1است .مقدار ویژه یک بخش حقیقی مثبت دارد تابع انتقال عبارتست از: ‏ ‏g(s) 0.5(s  1) 1 0 0.5 0.5 تابع انتقال فاقد قطب است پس پایدار BIBOاست. 14 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 پایداری داخلی ‏Internal stability تعریف :2-5پاسخ ورودی صفر سیستم ẋ = Axرا به مفهوم لیاپانوف پایدار(پایدار حاشیه ای) گویند اگر هر حالت اولیه محدود x0پاسخ محدودی را بوجود آورد .عالوه بر این اگر پاسخ به صفر میل کند پایداری مجانبی حاصل می شود. قضیه : 6-5 )1معادله ẋ = Axپایدار حاشیه ای (پایدار لیاپانوفی) است اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه Aدارای بخشهای حقیقی صفر و منفی باشند و آنهایی که دارای بخش های حقیقی صفر هستند ریشه های ساده چند جمله ای مینیمال Aباشند. )2معادله ẋ = Axپایدار مجانبی است اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه Aدارای بخشهای حقیقی منفی باشند. 15 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 پایداری داخلی ‏Internal stability اثبات قضیه – 6-5بخش اول: تبدیل همانندی پایداری یک معادله حالت را تغییر نخواهد داد. ‏x Px ‏x  Ax PAP 1x ‏OناOگر xمOحدود بOOاشد x ͞ ،هOم مOحدود خOواOهد بOOود. PنOOاوOیژه OاOسOتبOOنابراOی : اگر xبرای ∞→tبه سمت صفر میل کند x ͞ ،هم به همین به سمت صفر میل می کند. می توان پایداری Aرا با استفاده از Āمورد مطالعه قرار داد ( .مقادیر ویژه Aو Āیکسان هستند). این پاسخ محدود است اگر و فقط اگر هر درایه هر درایه eĀt برای تمام t≥0محدود باشد. 16 )x  Ax  x(t) eAt x(0 ‏ e 1t te 1t t2e 1t / 2! t3e 1t / 3! ‏ ‏ ‏ 1t ‏ 1t 2  1t 0 e ‏te ‏t e / 2! ‏A: JordanForm chapter ‏ ‏3 eAt  ‏t ‏t ‏ 0 0 ‏e1 ‏te 1  ‏ ‏ ‏ 1t 0 0 ‏e ‏ 0 ‏ ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 پایداری داخلی ‏Internal stability • اگOر یOک مقدار ویژOه دارای بخOش حقیقOی منفOی باشOد ،هOر درایOه ماتریOس eĀtمحدود اسOت و برای ∞→tبه سمت صفر میل می کند. • اگر یک مقدار ویژه دارای بخش حقیقی صفر بوده و فاقOد بلوک جردنی از مرتبه 2یا باالتر باشد ،درایه مربوطه در ماتریس eĀtبرای تمام tها یک ثابت یا سینوسی است که محدود است. ← اثبات کفایت بخش اولیه قضیه 6-5 • اگر Āدارای مقدار ویژه ای با بخش حقیقی مثبت باشد ،هر درایه eĀtبه طور نامحدود افزایش می یابد. • اگر Āدارای یک مقدار ویژه ای با بخش حقیقی صفر و بلوک جردن آن از مرتبه 2یا باالتر باشد eĀt ،دارای حداقل یک درایه خواهد بود که به طور نامحدود افزایش می یابد. اثبات قضیه – 6-5بخش دوم: برای پایدار مجانبی بودن ،هر درایه eĀtباید برای ∞→tبه سمت صفر میل کند. هیچ مقدار ویژه ای با بخش حقیقی صفر مجاز نیست. 17 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Internal stability پایداری داخلی مثال : 4-5سیستم مقابل داده شده است ،پایداری حاشیه ای این سیستم را بررسی کنید. چندجمله ای مشخصه : )( ) 2(  1 چندجمله ای مینیمال : ) ( )  (  1 ‏0 0 0  ‏x  0 0 0  x ‏ 0 0  1 مقادیر ویژه 1- ,0 ,0 : : 0ریشه Oساده چندجمله ای مینیمال پایدار لیاپانوفی (حاشیه اOی ) است. مثال را برای سیستم مقابل تکرار کنید : چندجمله ای مینیمال : ) ( ) 2(  1 18 ‏Dr. Ali Karimpourپایدار حاشیه ای نیست. ‏Oct 2013 ‏0 1 0  ‏x  0 0 0  x ‏ 0 0  1 : 0ریشه ساده چندجمله ای مینیمال نیست. lecture 5 پایداری داخلی و ورودی خروجی Internal stability and input-output stability R(s) s 1 s 2 1 s 1 C(s) مطلوبست بررسی. سیستم مقابل داده شده است:5-5 مثال BIBO پایداری مجانبی و پایداری BIBO stability: C(s) 1 G(s)   فاقد قطب سمت راست پس پایدار R(s) s  2 Internal stability: For internal stability we need state-space model so we 1 x 2  x1  x2 x2 (s)  x1(s) have: s 1 x1(s)  s 1 R(s) s 2 1  x1(s)  R(s) s 1 3 x1(s)  R(s) s 2 x2 (s)  R(s) s 1 s 2 x1 1 s 1 x2 C(s) x1  2x1  r  r ? x 2  x1  x2  r x1  2x1  3r R(s) 3 s 2 x1 + + x2 C(s) 1 19 s 1 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Internal stability and input-output stability پایداری داخلی و ورودی خروجی R(s) s 1 s 2 1 s 1 C(s) مطلوبست بررسی. سیستم مقابل داده شده است:5-5 مثال BIBO پایداری مجانبی و پایداری BIBO stability: Internal stability: For internal stability we need state-space we x1  2x1  3r modelx 2so  x1  x2  r have:  x 1    2 0  x1    3  x   1 1  x   1  r   2    2  x  c  0 1  1   x2  ت راست پس پایدارOفاقد قطب سم R(s) sI- A  x 1 3 + 20 s 2 + 1 s 1 x2 C(s) s 2 0 (s  1)(s  2)  1 s 1   1,   2 1 2 The system is not internally stable (neither asymptotic nor Lyapunov stable). Very important note: If RHP poles and zeros between 20 different part of system omitted then the system is internally Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 پایداری داخلی ‏Internal stability قضیه :7-5 تمام مقادیOر ویژOه ماتریOس Aدارای بخOش حقیقOی منفOی هسOتند ،اگOر و فقOط اگOر برای هر ماتریس متقارن معین مثبت Nمعادله لیاپانوف AM  MA Nدارای جواب متقارن، معین مثبت و یکتای Mباشد. تمرین :12-5قضیه فوق را اثبات کنید. قضیه :8-5 اگر تمام مقادیر ویژه Aدارای بخش حقیقی منفی باشند ،معادله لیاپانوف AM  MA N ‏ به ازاء هر ماتریس Nدارای جواب یکتایی به صورت زیر استM   eAtNeAtdt . 0 تمرین :13-5قضیه فوق را اثبات کنید. 21 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏BIBO stability of LTV systems پایداری BIBOدر سیستمهای LTV رابطه ورودی-خروجی یک سیستم متغیر با زمان خطی ،تک ورودی-تک خروجی: ‏y(t)  g(t, )u( )d ‏t ‏t0 یOک سOیستم داراOی پایداری ورودی-خOروجOی یOا BIBOاسOت در صOورتی کOه هOر ورودی محدود منجOر به خروجی محدود شود. شرط پایداری BIBOاین است که: ‏t g(t, ) d M   t, t andt t 0 ‏t 0 0 رابطه ورودی-خروجی یک سیستم متغیر با زمان خطی ،چندمتغیره: ‏y(t)  G(t, )u( )d ‏t ‏t0 شرط پایداری BIBOسیستم فوق اینست که هر درایه Gبطور مطلق انتگرال پذیر باشد و یا ‏t G(t, ) d M   t, t andt t ‏t 22 0 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 0 0 lecture 5 BIBO stability of LTV systems LTV در سیستمهایBIBO پایداری :در صورتی که معادالت حالت سیستم داده شده باشد x (t)  A(t)x(t)  B(t)u(t) y(t) C(t)x(t)  D(t)u(t) :پاسخ ضربه سیستم G(t, ) C(t)(t, )B( )  D(t) (t   ) :پاسخ حالت صفر سیستم y(t) C(t) (t, )B( )u( )d  D(t) (t   ) t t0 وM2 ط اگرOر و فقOت اگO) اسBIBO(یOخروج-یستم دارای پایداری ورودیOفر سOت صOخ حالOپاس موجود باشند به قسمی کهM1 t t G(t, ) d M   2 0 D(t) M   1 t, t andt t 0 0 23 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Internal stability of LTV systems پایداری داخلی سیستمهای LTV در پایداری داخلی ورودی نداریم لذا با معادله مقابل باید کار کنیم: ‏x  A(t)x جواب معادله حالت فوق عبارتست از: ) x(t)  (t,t )x(t 0 0 پاسخ ورودی صفر سیستم یعنی پاسخ معادله x  A(t)x پایدار حاشیه ای است اگر هر شرط اولیه محدود منجر به حالت محدود شود. ‏x  A(t)x پاسخ ورودی صفر سیستم محدود Mوجود داشته باشد به قسمی که پایدار حاشیه ای است اگر وفقط اگر عدد ثابت و ‏ (t,t ) M  , t andt t 0 24 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 0 0 lecture 5 ‏Internal stability of LTV systems پایداری داخلی سیستمهای LTV در پایداری داخلی ورودی نداریم لذا با معادله مقابل باید کار کنیم: ‏x  A(t)x جواب معادله حالت فوق عبارتست از: ) x(t)  (t,t )x(t 0 0 پاسخ ورودی صفر سیستم یعنی پاسخ معادله   A(t)x xپایدار مجانبی است اگر هر شرط اولیه محدود پاسخ محدودی بوجود آورد که در t  به صفر میل کند. ‏x  A(t)x پاسخ ورودی صفر سیستم وجود داشته باشد به قسمی که پایدار مجانبی است اگر عدد ثابت و محدود M ‏ (t,t ) M  , t andt t 0 و 25 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 0 0 ‏ (t,t )  0 as t   0 lecture 5 ‏Internal stability of LTV systems پایداری داخلی سیستمهای LTV مثال : 6-5سیستم مقابل داده شده است ،پایداری حاشیه ای و مجانبی این سیستم را بررسی کنید. ‏ 1 e  ‏x  A(t)x  ‏x ‏ ‏ 0  1 2t چندجمله ای مشخصه : ) ( ) (  1 2 لذا برای تمام tدو مقدار ویژه در -1داریم. می توان نشان داد که Oماتریس گذار حالت عبارتست از: ‏ e 2(e  e ) ‏ (t,0)  ‏ 0 ‏e ‏ ‏ ‏t ‏t ‏t ‏t واضح است که سیستم نه پایداری حاشیه ای دارد و نه مجانبی. 26 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Exercisesت مرینها  27 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Exercisesتمرینها  28 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Exercisesتمرینها  .را اثبات کنید7-5 قضیه:12-5 تمرین . را اثبات کنید8-5 قضیه:13-5 تمرین 29 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 ‏Answers to selected problems جواب :1-5 ‏Itis notBIBOstable ‏since u(t) sint  y(t) 0.5tsint جواب :2-5خیر ،بلی جواب :3-5 y(t)-6و )y(t) 1.26sin(2t+1.25 جواب :6-5مجانبی نیست ولی حاشیه ای است. جواب :8-5هر دو پایدار BIBOهستند. جواب :10-5پایدار BIBOو حاشیه ای است ولی مجانبی نیست P(t) .تبدیل لیاپانوفی نیست. 30 ‏Dr. Ali Karimpour Oct 2013