دانلود پاورپوینت مدل هاي بهينه ياب

عنوان درس :الگو سازي ومدلسازي مدل مورد ارائه :مدل هاي بهينه ياب مقدمه ‏مدل های ریاضی به سه دسته تقسیم می شوند یکی از این سه دسته ،مدل های بهیینه یاب می باشد. ‏در توصيف اين مدل مطالب زير بررسي خواهد شد. .1مدل هاي بهينه ياب به عنوان ابزار برنامه ريزي . .2راه حل نموداري يك مسئله ي بهینه يابي . مدل هاي بهينه ياب به عنوان ابزاربرنامه ريزي مدل هاي برنامه ريزي به اين صورت زير تعريف مي شود :مدل هايي كه برنامه يا طرحي را ابداع مي كنند كه با توجه به وجود منابع و محدودوديت هاي مشخص بهتر از هر برنامه و طرح ديگري به اهداف از پيش تعيين شده ميرسد. به دوعلت تكنيك اي رياضي مورد توجه برنامه ريزان قرار گرفته است .اول آنكه فرايند ارزيابي ((متداول)) مطلوب نمي باشد .دوم آنكه به نظر ميرسد رابطه ي مستقيمي ميان هدف هاي مهم برنامه ريزي و مسائلي كه براي حل آنها تكنيك هاي برنامه ريزي رياضي ساخته شده است ،وجود دارد. راه حل نموداري يك مسئله ي بهينه ياب ‏فرض كنيم كه 50آكر زمين وجود دارئ و مقامات محلي ميبايستي اين اراضي را تنها براي كار بري مس كوني م ورد اس تفاذه ق رار دهن د و همچ نين در اين اراض ي تنه ا اج ازه ي س اخت دو تيپ واح د مسكوني وجود دارد ،واحد هاي مسكوني تيپ Aو .Bت راكم تيپ A، 10خان ه در هرآك ر و ت راكم تيپ B ، 5خانه در هر آكر مي باشد .قيمت هر خانه تيپ A 2000پوند و قيمت هر خانه تيپ B 6000پوند مي باش د .همچ نين بودج ه اي ك ه مقام ات محلي ب راي س اخت اين واح د ه ا در اختي ار دارن د 000 1200پوند است .مقدار ماليات قابل اخذ براي هر واحد از خانه هاي تيپ A، 190پوند و تيپ B 470 پوند مي باشد.  تابع هدف در اين مثال كل مقدار ماليات افزوده شده است .اگر Aو Bنشان دهنده ي واحد مسكوني تيپ A و واحد مسكوني تيپ Bباشند ،پس مقدار ماليات افزوده شده ()B 470 +A190مي باشد .براي مثال اگر ده واحد مسكوني تيپ Aو بيست واحد مسكوني تيپ Bساخته شود ماليات افزوده چنين خواهد بود: 11300پوند=( 470×20پوند )190×10(+پوند) = مقدار ماليات در اين مثال دو نوع محدوديت وجود دارد اول محدو ديت زمين يعني يك دهم + Aيك پنجم Bنبايد بيش از 50 آكر باشد دوم محدوديت بودجه كه مستلزم اينست كه كل هزينه ي ساخت خانه ها نبايد از سر مايه ي مو جود تجاوز كند. به نظfر مي رسfد كfه بfر اسfاس سياسfت بهينfه تمfام خانfه هfا را بfر بايfد از نfوع Bسfاخت زيfرا اين خانfه هfا 470پونfد ماليfات افfزوده بfراي هfر واحfد بfه مقامfات محلي پfرداخت نمfود ،درحاليكfه خانfه هfاي نfوع Aبfراي هfر واحfد بfه مقامfات محلي خواهنfد پfرداخت درحfالي كfه خانfه هfاي نfوع Aبfراي هfر واحfد فقfط 19پونfد ماليfات افfزوده دارد .بfا توجfه بfه بررسfي اوليfه بfدهي اسfت كfه محfدوديت هfا نقش مهم را در حfل مسfئله ايفfا خواهنfد كfرد .چfون مي خfواهيم راه حلي بهينfه رابfا اسfتفاده از شfيوه سfاده ترسfيمي بيfابيم ،بfا تشfريح مفهfوم محfدوديت هfا  الف :تشريح محدوديت زمين : ميدانيم كه ميتوان از اين معادله براي بدست آوردن مقادير مختلف Aو مقادير مكمل Bاستفاده نمود .ميتوان اين مقادير را ا با تغيير ساخت معادله محاسبه كرد ، چنانكه ميتوان مقدار Bرا بر حسب Aبدست آورد و بر عكس.با محاسبه ي اين مقادير جدول زير حاصل خواهد شد. جدول حاصله از محاسبه مقادير AوB ‏A ‏B 0 250 100 200 200 150 300 100 400 50 500 0 اين جfدول نمايfانگر تfركيب هfايي از تعfداد واحfد هfاي مسfكوني تيپ Aو Bاسfت در هfر يfك از این تركيبهfا محfدوديت زمين رعfايت شfده اسfت. يعfني هfر كfدام از مجموعfه هfاي موجfود در در جfدول تنهfا از 50آكfر زمين اسfتفاده مي كنfد اگfر اين نقfاط (مقfادير Aو Bبfراي هfر تfركيب) بfر روي نمfوداري رسfم گfردد ،وخطي اين نقfاط را بfه يكfديگر وصfل كنfد ،نتيجfه بfه صfورت خطي راست مانند شكل ( )1خواهد بود. شكل شماره ي(.)1نمودار محدوديت زمين. 600 ‏A=500‚ B= 0 500 تعداد خانه هاي تيپ A =A=400 ,B ‏A=300, B=100 ‏A=200 , B= 150 200 ‏A=100, B= 200 ‏A=0, B=200 300 250 200 150 100 تعداد خانه هاي تيپ B 50 0 مي توان دقيقًا مراحلي شبيه آنچه انجام شد را براي حل تر سيمي محدوديت بودجه انجام داددر ابتدا محدوديت را به صورت تساوي بيان مي كنيم. ‏ميدانيم كه ‏A 2000 1,200, 000 ‏B= 6000+ A 2000 را از دو طرف كم مي كنيم 000 ,1,200 = B6000 هر دو طرف را بر 6000تقسيم مي كنيم ‏A2000- ‏A =- 200 B با محاسبه ي مقادير A , B جدول زير حاصل خواهد جدول حاصل از محاصبه ي مقادير ‏AوB ‏A ‏B 0 200.0 100 166.7 200 133.4 300 100.0 400 66.7 500 33.4 600 0.0 حال ميتوان از مقادير موجود در اين جدول براي دادن نشان محدوديت بودجه به نموداري صورت استفاده نمود. A=A=600, ‏B=0 600‚ B= 0 ‏A=500 ,B=33.4 600 ‏A=400, B= 66.7 ‏A=400,B=66.7 ‏A=300, B=100 ‏A=300,B=100 400 ‏A=200,B=133. 200 , 4 ‏A=100B=166. ‏A=100, ‏B= 200 7 ‏A=0,B=200 ‏A=0, B=200 250 200 150 تعداد خانه هاي تيپ A شكل شماره ي(.)2نمودار محدوديت بودجه. ‏A + 6000B ≤ 12 00 000 2000 ‏A=200 B= 150 200 100 تعداد خانه هاي تيپ B 50 0 مانن د نمون ه ي قب ل ه ر نقط ه ب ر روي خ ط نماي انگر تركي بي از خان ه ه اي ن وع Aو Bمي باش د ك ه هزين ه ه اي س اخت آن براب ر مح دوديت بودجه استدر حالي كه هر نقطه اي در منطقه ي بارن گ س بز روش ن تركي بي از اين خان ه ه ا است.كه هزينه ي ساخت آنها كمتر از محدوديت بودجه است. ‏ در شكل شماره ي 3هردو محدوديت بر روي يك نمودار ترسيم شده است.اما اين بار منطقه ي رنگي بخش ي از نم ودار اس ت ك ه زي ر دو خ ط محدوديت(محدوديت بودجه و زمين) است. B= 0 ‚600 منطقه ي عملي ((Feasible area ‏A ‏B 600 تعداد خانه هاي تيپ A ‏شكل شماره ي ( )3 محدوديت بودجه 400 محدوديت زمين ‏E ‏C 200 ‏D تعداد خانه هاي تيپ B  هر نقطه اي در در منطقه ي عملي نمايانگر تر كيب تيپ واحد هاي مسكوني است كه به زميني بيش از زمين هاي موجود نياز نداشته ،واز سقف بودجه ي تعيين شده مسكن تجاوز نمي كند .ميدانيم كه هر نقطه بر روي نمودار نمايانگر مقدار ماليات خاص است ،زيرا هر تركيبي از واحد هاي مسكوني تيپ Aو Bرا ميتوان به مقدار ماليات افزوده شده ،تبديل نمود .مقايسه مقدار ماليات به كمك اين معادله ميسر است: = 190A + 470Bمقدار ماليات ماليات نقطه اي كه بيشترين افزايش مقدار ماليات ممكنه را بوجود اورد نمايانگر سياست بهينه يابي است. اگfر مfيزان ماليfات خاصfي را در نظfر بگfيريم مثًال 40000 پونfد مي تfوان محاسfبه نمfود كfه چfه تfر كيب هfايي از واحfد هfاي مسfكوني تيپ Aو Bمتضfمن اين مقfدار ماليfات است ،وبراي كشيدن خط از عبارت زير استفاده ميكنيم. 190A + 470B=40 000 ‏اين عمfل را بfا حfل معادلfه ( ) 190A+470B= 40000ابتfدا براي Aو سپس براي Bانجام مي دهيم. حل معادله براي A ‏B470 + A190 = 40 000 ()B470رااز دوطرف كم كرد وهر دوطرف را بر 190 تقسيم مي كنيم. نتيجه به صورت زير خواهد بود. ‏A= 210 – 2.5 حل معادله براي B ‏A + 470B = 40 000 190 A 190را از دوطرف کم می کنیم : ‏B = 40 000 – 190 A 470 هر دو طرف معادله را بر 470تقسیم می کنیم . ‏B = 85 - ./4 ‏A بنابر این وقتی B = 0 ، A=210و زمانی که A=0 B=85است این دو عدد به ترتیب نقاط نقاط تقاطع خط این معادله با محور های Aو Bنمودار می باشد .بدین ترتیب می توان خط را مستقیمًا و فقط بااستفاده از این دو نقطه ترسیم کرد. 600 تعداد خانه هاي تيپ A محدودیت زمین 400 محدودیت بودجه ‏A+470B=40 000190 200 85 200 تعداد خانه هاي تيپ B بدیهی اسfت کfه هfر چfه از مبfدأ مختصfات دور می شfویم بfر مقfدار مالیfات کfه بfا خطfوط مfوازی نشfان داده می شfوند افfزوده می گfردد .همچfنین میfدانیم کfه از یfک نقطfه خfاص بfه بعfد خطfوط خfارج از منطقfه ی عملی قfرار می گیرنfد .مسfئله مfورد نظfر مfا یfافتن خطی اسfت کfه حfتی االمکfان از مبfدأ دور شfود در حالیکfه حfداقل یfک نقطfه در منطقfه عملی داشfته باشfد. حfداکثر مقfدار مالیfات افfزوده شfده بfا سfاختن 300 واحfد مسfکونی تیپ Aو 100واحfد مسfکونی تیپ B بدست می آید. A=300 . B=100 190A+470B=100 000 ‏B تعداد خانه هاي تيپ A نقطه ی بهیینه ‏A 600 400 368 ‏C 200 ‏D 200 150 تعداد خانه هاي تيپ B 85 با قرار دادن مقادیر ترکیب بهینه َََ(( A=300 , ‏B=100در معfادالت محfدودیت هfا می تfوان عملی بودن آن را بررسی کرد.