استاتیک

استاتیک

اسلاید 1: فهرست مطالب درس استاتیک :استاتیک اجسام :نیروها در صفحهآنالیز برداریتجزیه یک نیرو به اجزاء آنجمع نیرو ها (بیش از دو نیرو) بوسیله مولفه های آنان روی محورX وYتعادل :قوانین و تعریف تعادل رسم دیاگرام آزاد

اسلاید 2: اجسام صلب و گشتاور :گشتاور نیرو حول یک نقطهگشتاور یک کوپلکم کردن دستگاه نیروها به یک نیرو و یک کوپل عکس العمل ها و تکیه گاهها :انوع تکیه گاه: رابطه عکس العمل نیروها در تکیه گاه با گشتاور عکس العمل استاتیکی نا معین

اسلاید 3: مرکز سطح یا جسم : مرکز سطح و خط (ممان اولیه) تعادل و خواص آن استفاده از مرکز جسم تعیین ممان اولیه بوسیله انتگرالگیری

اسلاید 4: آنالیز سازه ها خمش دیاگرام نیروی برشی و گشتاور خمشی (بار متمرکز و بار گسترده) ممان ثانویه یا ممان اینرسی تعیین ممان اینرسی بوسیله انتگرال گیری روش کار و انرژی برای حل مسائل استاتیک

اسلاید 5: استاتیک اجسام یک نیرو روی یک جسم میتواند از بر آیند چندین نیرو بوجود آمده باشد . که هر یک از آن نیروها همان اثر برآیند را دارند . روابط بین نیروها متفاوت عمل کننده روی یک جسم و وضعیت تعادل آنها تعیین کننده وضعیت نیروهای اعمال شده روی جسم می باشد .

اسلاید 6: نیروها در یک صفحه (ابتدا دو نیرو) نیروی وارده به یک جسم معمولا بوسیله نقطه اثر آن مقدار وجهت آن روی جسم مشخص می شود . معمولا نیرو بوسیله مقدار و جهت آن در مقدار و جهت قابل بررسی است . که دستگاههای مختلف بوسیله واحدهای مختلف مشخص می شود نیرو به وسیله خط راست و زاویه ای که با محور مشخص و ثابت دارد بیان می شود.

اسلاید 7: شواهد تجربی نشان میدهد که دو نیروی Q,P در نقطه A را می توان بوسیله بر آیند آنها یعنی R جایگزین نمود .

اسلاید 8: R نیروی برایند دو نیروی Q,P می باشد و همان اثر آن دو نیرو را دارد و آن را می توان بوسیله شکل زیر نشان داد .

اسلاید 9: آنالیز برداری :همه کمیتهای فیزیکی را که دارای مقدار وجهت باشند می توان بوسیله بردار و قانون لوزی بیان نمود .یا به عبارتی از بردار برای نشان دادن یک نیرو روی جسم استفاده می شود . دو بردار که دارای یک مقدار و هم جهت باشند آنها را دو بردار مساوی گویند گرچه روی یک نقطه در جسم اثر ننمایند. دو بردار ممکن است دارای یک مقدار باشند ولی جهت آنان مخالف باشد .

اسلاید 10: P+(-P)=0

اسلاید 11: تعادل:تعریف: وقتی برایند کلیه نیروهای عمل کننده روی یک جسم صفر باشد جسم در حال تعادل است . قوانین نیوتن : در اواخر قرن هفدهم میلادی اسحق نیوتن سه قانون بنیادی پایه گذاری نمود که علوم مکانیک بر مبنای آن سه قانون استوار است .قانون اول نیوتن : اگر برایند نیروهای وارده به یک جسم صفر باشد چنانچه آن جسم در حال سکون بوده است همچنان در حال سکون خواهد بود . و اگر در حال حرکت بوده است به حرکت خود با سرعت ثابت ادامه خواهد داد . - جسمی که دو نیرو به آن وارد می شود در حال تعادل است اگر دو نیرو دارای یک مقدار و در یک راستا و دارای جهت مخالف باشند .

اسلاید 12: اگرمجموع نیروهای تشکیل دهنده یک چند ضلعی (برایند) برابر صفر باشد جسم در حال تعادل است.F1F2F3F4R

اسلاید 13: مثال : بررسی کنید آیا شرایط تعادل برای شکل زیر برقرار است .

اسلاید 14: تمرین :دو سیم مطابق شکل در نقطه بهم متصل و بارگذاری شده اند با توجه به اینکه75 =α و p=400N نیروی کششی Ac ,Bc را تعیین کنید . ABC

اسلاید 15:

اسلاید 16: جمع نیروها در یک نقطه بوسیله مولفه های آنها بر (بیش از دو نیرو) X و Yروی محور تا کنون وقتی دو نیرو در یک نقطه اعمال میگردید آنها را مورد بررسی قرار دادیم . به روش ترسیمی و هم به روش تحلیلی دو نیرو را مورد بررسی قرار دادیم و برایند را بدست آوردیم . ولی چنانچه سه نیرو یا بیشتر در یک نقطه مورد نظر باشند از طریق مثلث نیروها نمی توان برایند آنها را بدست آورد و می بایست از طریق مولفه های آنها روی محورها برایند را محاسبه نمود

اسلاید 17:

اسلاید 18: تجزیه یک نیرو به دو مولفه عمود بر هم :اندازه زاویه ө از جهت مثبت محور X و خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود .مقدار ө از 0 تا 360 درجه تغییر میکند.

اسلاید 19: مثال :نیروی F=800N روی یک پیچ مطابق شکل اعمال میگردد .اجزاء مولفه های افقی و عمودی نیرو را بدست آورید .

اسلاید 20:

اسلاید 21: مثال : مولف های نیروی F به ترتیب Fx=700N و Fy = 1500 در نقطه A مطابق شکل داده شده اند . مقدار نیروی F و زاویه آن با محور افقی ө را بدست آورید .

اسلاید 22:

اسلاید 23: تمرین : نیروی F به مقدار400N به دو مولفه در امتداد خط a-a و b- b مطابق شکل تجزیه می شود . با دانستن اینکه مولفه F در امتداد خط b-b 150N است زاویه α را بدست آورید .

اسلاید 24:

اسلاید 25: مثال : یک بسته شناور بوسیله دو قایق روی دریا کشیده می شود .اگر برایند نیروهای هر دو قایق برابر 5000N و در امتداد محور بسته شناور باشد تعیین نمائید : الف) کشش طناب هر کدام از قایق ها در صورتیکه 45 α =ب ) مقدار α را بطوری که نیروی کشش طناب دوم حداقل گردد.

اسلاید 26: حل ترسیمی با استفاده از رسم قانون چند ضلعی داریم :

اسلاید 27: حل تحلیلیب) حداقل نیروی کشش طناب : حداقل کشش طناب 2 وقتی اتفاق می افتد که T2 و T1 بر هم عمود باشند بنابراین :

اسلاید 28: حداقل کشش طناب 2 وقتی اتفاق می افتد که T2 و T1 بر هم عمود باشند بنابراین :90

اسلاید 29: اجسام صلب و گشتاوراغلب اجسام در نظر گرفته شده در مکا نیک ابتدایی براساس فرض Rigidity( صلب بودن ) مورد مطالعه قرار می گیرندتعریف یک جسم صلب آن است که تغییر شکل در آن حاصل نمی شود، قطعات واقعی در ماشین آلات بطور مطلق هرگز صلب نمی باشند و معمولا ً در اثر نیرو تغییر شکل در آنها حاصل می شود اما این تغییر شکل به حدی کوچک است که هیچ اثری در شرایط تعادل مورد نیاز برای مسئله استاتیک ندارد .

اسلاید 30: گشتاور دو مفهوم مهم در ارتباط با اثر نیرو روی یک جسم صلب مورد نظر استگشتاور یک نیرو حول یک نقطه گشتاور یک نیرو حول یک محور ( سه بعدی است) علاوه بر آن اثر نیروی F روی جسم صلب به نقطه اثر آن نیزبستگی دارد.

اسلاید 31: گشتاور یک نیرو حول یک نقطهنیروی F را که روی یک جسم صلب اثرمی کند در نظر می گیریم. همانطور که می دانیم نیرو بوسیله بردار که مقدار و جهت آن را تعیین می کند معرفی می گردد AM0FO Mo = F * OA OA = rگشتاور نیرویF حول نقطه O گشتاورMo می بایست عمود بر صفحه ای باشد که شامل نقطه O و نیرو F گردد .

اسلاید 32: مثال : نیروی عمودی 100 N در انتهای میله ای که به یک محور در نقطه O متصل است ، مطابق شکل اعمال می گردد.1. گشتاور حول نقطه 0 2. مقدار یک نیروی افقی را که در نقطه A اعمال گشته وهمان مقدار گشتاور ایجاد نماید . (حول نقطه O ) 3. کوچکترین مقدار نیرو در نقطه A را در صورتیکه همان مقدار گشتاور قسمت 1و 2 ایجاد گردد . 4. به چه فاصله ای از نقطه O نیروی 240 N اعمال گردد تا همان گشتاور قسمت 1و 2 ایجاد گردد . 60◦A100N24 cmO

اسلاید 33: 60◦M0A100 d = 24Cos60o = 12 cm Mo = F * d = 100 * 12 = 1200 N cm 1 2d = 24Sin60o = 20.8 cm24 cm100NA24 cmd60◦Mo = F * d F = Mo ÷ d = 1200 ÷ 20.8 = 57.7 NF ?گشتاور حول نقطه 0مقدار یک نیروی افقی را که در نقطه ا عمال گشته وهمان مقدار گشتاور ایجاد نماید .َAOd

اسلاید 34: حداکثر باشد d زمانی حاصل می گردد که مقدار F حداقل d 24 cm→ حداکثر Mo = F * d 1200 = F * 24 F = 1200 ÷ 24 = 50 NMo = F * d d = Mo ÷ F = 1200 ÷ 240 = 5 cm d = OBCos60o OB = d ÷ Cos60o = 5 ÷ Cos60 24ABO OB =10cm3.کوچکترین مقدار نیرو در نقطه را در صورتیکه همان مقدار گشتاور قسمت 1و 2 ایجاد گردد .A4به چه فاصله ای از نقطه O نیروی عمودی 240 N عمال گردد. تا همان گشتاور قسمت 1و 2 ایجاد گردد . 240NdF

اسلاید 35: تمرین : نیرویی P=450N مطابق شکل به میله در نقطه A وارد می گردد .گشتاور نیرو را در نقطه محاسبه نما یید 30ْ240B 100cmAPB240100BA

اسلاید 36: شرط لازم و کافیشرط لازم و كافي براي تعادل یک سيستم اين است كه برابر صفر باشد. بنابراين : MوR∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Fz = 0 ∑Mx = 0 ∑My = 0 ∑Mz = 0 اين معادلات فوق ، براي بدست آوردن نيروهاي معمول و عكس العملهاي در تكيه گاهها مي باشد . همچنين معادلات فوق نشان دهنده اين است كه هيچگونه انتقال و چرخشي در سيستم در نظر گرفته نشده و در حال تعادل استاتيكي مي باشد .

اسلاید 37: دياگرام آزاد اولين گام براي حل مسائل در رابطه با تعادل يك جسم اينست كه كليه نيروهاي خارجي عمل كننده در جسم را در نظر بگيريم . بنابراين به عنوان اولين راه حل دياگرام آزاد نيروها رسم مي گردد . تعداد زيادي از مسائلي كه با ساختمان واقعي جسم در ر شته مهندسي سروكار دارد ، ممكن است به تعادل نيروها در نقطه منجر گردد .

اسلاید 38: مثال : چنانچه وزنه 736N را بوسيله قرقره و طناب به بالا بكشيم ( مطابق شكل ) ، نيروي كشش هر طناب را مي توان بدست آورد .3050736 NَABC

اسلاید 39: از آنجا كه نيروها در نقطه A ‌ در حال تعادل مي باشند ، مي توان بصورت ترسيمي با استفاده از مثلث نيروها مقدار TAB و TAC را بدست آوردATABدیاگرام آزادTAC736 N3050TACTAB604080736 Nو بر اساس قانون سينوس ها مي توان نوشت

اسلاید 40: بصورت آناليز نيروها نيز ، مي توان جواب مشابه را بدست آورد ..736 Nدو معادله دو مجهول

اسلاید 41: عكس العملها در تكيه گاهها عكس العملها در يك ساختمان دو بعدي جسم را مي توان به سه دسته تقسيم نمود : 1- تكيه گاه با خط مشخص عکس العمل ( جهت مشخص )در اين نوع تكيه گاه ، حركت فقط در يك جهت است و نوع تكيه گاه از لغزش در جهات ديگر جلوگيري مي كند ، مانند : غلطك ، سطح بدون اصطكاك ، سيم ها و طناب ها ، ميله ، فقط يك مجهول وجود دارد .

اسلاید 42: 2- تكيه گاه با جهت نامشخص: دو مجهول نيرو وجود دارد ، اين نوع تكيه گاه از انتقال جلوگيري نموده و نمي تواند از چرخش جلوگيري كند .3- عكس العمل ها در ارتباط با نيرو و گشتاور: اين نوع عكس العملها در تكيه گاههاي ثابت اتفاق مي افتد و هيچگونه حركتي در تكيه گاه وجود ندارد . در اين نوع تكيه گاهها سه مجهول وجود دارد ، دو نيرو و يك گشتاور جهت را مي توان فرض نمود .

اسلاید 43: مثال : نیروی مطابق شکل به تیر زیر وارد می گردد . عکس العملها را بدست آورید .دیاگرام آزادLPL/2L/2ABABP +

اسلاید 44: مثال : نیروی مطابق شکل به تیر زیر وارد می گردد . عکس العملها را بدست آورید .abLAB P

اسلاید 45: abLABPRARBBP+

اسلاید 46: خمش :اگر يك عضو ساختماني طوري طراحي شده باشد كه نيروهاي عمود بر محور خود را تحمل نمايد ، تير ( beam ) ناميده مي شود . بنابراين اختلاف بارگذاري ميله ها در كشش و پيچش با خمش در جهت بارگذاري است . براي مثال شكل AD‌ بارگذاري در خمش را نشان مي دهد .بوسيله دياگرام آزاد مي توان ثابت نمود كه نيروهايي كه روي هر قسمت از قطعه BC اعمال مي گردد برابر با 30KN خواهد بود . 30 KN30 KN8 mA1.2 m1.2 mCBD

اسلاید 47: خمش: اگر یک ساختمان که طوری طراحی شده باشد که نیروی های عمود بر محور خود وارد نماید تیر(beam ) نامیده میشود .

اسلاید 48: حال چنانچه يك تير يك سرگيردار كه نيروي P در انتهاي آزاد آن وارد مي شود را در نظر بگيريم ، و دياگرام آزاد آنرا رسم نماييم ،

اسلاید 49: آنالیز سازه ها وقتی چند قطعه به هم متصل باشند یک سازه فلزی یا ساختمانی را تشکیل می شود .تراس ها : بنا به تعریف تراس ها یکی از مهمترین سازه های مهندسی هستنددر طراحی پلها و ساختمانهای فلزی از تراس ها استفاده می شود . یک تراس شامل قطعات مختلف به هم متصل شده می باشد . هر یک از اجزاء تراس باری را تحمل نموده و تراس در مجموعه نیز باری را تحمل نمی کند. نمونه ساده تراس در شکل زیر نشان داده شده است .

اسلاید 50: عکس العملهای استاتیکی نا معین :وقتی جسم تحت شرایط بارگذاری قابل حرکت نبوده و یا به عبارتی محدود شده باشدمی توان بوسیله 3 معادله 3 مجهول مسئله را حل نمود . حال چنانچه شرایط بارگذاری جسم به نحوی باشد که حرکت جسم محدود نشده باشد و یا به عبارتی تعداد مجهول های مسئله بیش از تعداد معادلات باشدبنابراین در این حالت مسئله را به لحاظ استاتیکی نامعین گویند . و از روش مکانیک مواد، مقاومت مصالح قابل حل خواهد بود .

اسلاید 51: تمرین : تیر شکل زیر به وسیله سه نیرو و دو تکیه گاه در نقاط B, A نگهداری می شود . عکس العمل ها را در تکیه گاه بدست آورید 15KN6KN 6KNBَA3m 6m 2m 2m

اسلاید 52: AB15KN 6KN 6KN3m 6m 2m 2m RA RA=6KNRB

اسلاید 53: نيروهاي داخلي و خارجي و مركز جرم حاذبه يك حسم يا سطحنيروي خارجي عبارت از عمل يك جسم است روي حسم ديگر .نيروي خارجي باعث حركت جسم و يا در حال تعادل نگه داشتن آن مي گردد . نيروي داخلي به نيرويي اطلاقق مي گردد كه باعث نگه داشتن ذرات قطعه يا جسم به همديگر مي گردند. تا جسم به باقي بماند .اگر يك قطعه از چندين قسمت تشكيل شده نيروهايي را كه سبب مي شود جسم بصورت يكپارچه بماند نيز نيروهاي داخلي گويند .وزن هر قطعه را بوسيله يك نيروي واحد w

اسلاید 54: تعيين مركز جاذبه يا نقطه اي كه وزن قطعه اعمال مي گرددتعيين مركز جاذبه يا نقطه اي كه وزن قطعه اعمال مي گرددبراي تعيين مركز جاذبه يك جسم دو مفهوم بكار مي روند 1-مفهوم مركز سطح يا خط 2-مفهوم گشتاور ( ممان ) اوليه يك سطح نسبت به يك محور داده شده ابتدا يك صفحه صاف افقي را در نظر مي گيريم .G( x, y)xyوزن هر قطعه را بوسيله يك نيروي واحد w

اسلاید 55: چنانچه در نقاط اعمال گردد ، براي بدست آوردن مختصات نقطهG (x , y ) ، جايي كه نيروي w اعمال مي گردد گشتاور w را براي محور x و y مي نويسيم و برابر با مجموع گشتاورها جزء قسمت هاي جسم قرار مي دهيم .

اسلاید 56: همانطور كه تعداد اجزا را در صفحه زياد مي كنيم ، اندازه هر جزء كوچك مي شود و در حد مي توان نوشت : وزن مخصوص واحد حجم ضخامت t سطح جزء سطح صفحه Aسطح قاعده

اسلاید 57: در حد ، چنانچه تعداد اجزاء زياد گردد ، سطح ΔA كوچك مي گردد و مي توان نوشت :معادلات فوق ، به معادله مختصات نقطه G از صفحه همگن معروف است . نقاط x و y نيز مركز ناحيه از صفحه ناميده مي شوند انتگرال ∫xdA به ممان اوليه سطح A نسبت به محور y معروف است و با Qy نشان داده مي شود .بنابراين ، مي توان نوشت :

اسلاید 58: انتگرال به ممان اوليه سطح A نسبت به محور y معروف است و با نشان داده مي شود .xyΔAبنابراين ، مي توان نتيجه گرفت كه مختصات مركز سطح را مي توان از فرمول هایزیربه دست آورد .

اسلاید 59: تمرين 1 : مركز سطح شكل زير را بوسيله انتگرال گيري بدست آوريدbhxyyxمرکز المان

اسلاید 60:

اسلاید 61: مثال : بوسيله انتگرال گيري مستقيم ، مركز سهمي شكل زير را تعيين كنيد .از آنجا كه مي باشد ، مي توان مقدار k‌ را بدست آورد .X=a, y=bab

اسلاید 62: در حالت عمودي ab

اسلاید 63:

اسلاید 64: گشتاور خمشي V نيروي برشي رسم دياگرامMگشتاور M و نيروي برشي V را مي توان بر حسب فاصله x كه از يك طرف تير اندازه گيري شده باشد ترسيم نمود .در هر نقطه مي توان M و V را تعيين و دياگرام آنها را رسم نمود .مثال : دياگرام نيروي برشي و گشتاور خمشي را براي تيرساده AB‌و طول L كه نيروي متمركز در وسط آن اثر مي كند رسم نمائيد . ابتدا به روش دياگرام آزاد عكس العمل نيرو ها را بدست مي آوريم .ABL/2L/2LP

اسلاید 65: L/2L/2ABL/2L/2LP

اسلاید 66: یا

اسلاید 67: قبلا عكس العمل نيرو ها را بدست آوردیم .ABL/2L/2LPدیاکرام نیروی برشیدیاکرام کشتاور خمشیVaVb

اسلاید 68: ابتدا به روش دياگرام آزاد عكس العمل نيرو ها را بدست مي آوريم .BabLPمثال : دياگرام نيروي برشي و گشتاور خمشي را براي تيرساده AB‌و طول L با نيروي متمركز رسم نمائيد .

اسلاید 69: قبلا عكس العمل نيرو ها را بدست آوردیم .ABabLPدیاکرام نیروی برشیدیاکرام کشتاور خمشیVaVb

اسلاید 70: بوسيله دياگرام آزاد مي توان ثابت نمود كه نيروهايي كه روي هر قسمت از قطعه BC اعمال مي گردد برابر با 30KN خواهد بود . 30 KN30 KN8 mA1.2 m1.2 mCBD30 KN30 KN

اسلاید 71: ارتباط بين نيروي برشي با گشتاور خمشي M بار گسترده وچنانچه يك تير را كه بارگذاري شده بين دو سطح مقطع به فاصله قطع نماييم ، يك قسمت ( سمت چپ) نيروي برشي و گشتاور خواهد بود و به فاصله نيروي برشي و خواهيم داشت . چنانچه بار گسترده را به شدتq در نظر بگيريم از معادله تعادل نيروها ميتوان نوشت( در جهت عمودي)

اسلاید 72: ABLqdxdx

اسلاید 73: ثابت v=اگر 00dxdx/2

اسلاید 74: معادلات اساسی تیر

اسلاید 75: مثال : دياگرام نيروي برشي و گشتاور خمشي براي تير شكل زيربا بار گسترده به شدت q را رسم نماييد .ALqBxV

اسلاید 76: مثال : دياگرام نيروي برشي و گشتاور خمشي را براي تير مطابق شكل زير به دست آوريد .حداكثر گشتاور در x = 4A9mB6m3mXV=0

اسلاید 77: برای بدست آوردن فاصله از معادله نیز میتوان استفاده نمود.

اسلاید 78: مثال : دياگرام نيروي برشي و ممان خمشي تير يك سر ثابت شكل زير را رسم كنيد . Lxدياگرام نيروي برشي

اسلاید 79: اگر مشتق بگيريم دوباره به q ميرسيم دياگرام ممان خمشي

اسلاید 80: در بحث قبلي ، وزن يك جزء ∆w با سطح آن متناسب بود ، همچنين ممان اوليه به سطح بستگي داشت . ممان ثانويه نه تنها به سطح بستگي دارد ، بلكه به فاصله از سطح تا محور داده شده نيز بستگي دارد Qx = ∫ydA ممان اوليه Ix = ∫y²dA ممان ثانويه )ممان اينرسي( تعيين ممان اينرسي به وسيله انتگرال :ممان اينرسي ، نسبت به محور x يا y dA = dxdydIx = y²dA dIy = x²dAممان اينرسي : ممان ثانويه يا ممان اينرسي يك سطح

اسلاید 81: dA = ( a-x )dyIx = ∫y²dA Iy = ∫x²dA Iy = ∫x²ydx Ix = ∫y²(a-x )dyy

اسلاید 82: ممان اینرسی مستطیلی به صورت زیر میباشد.dA=bdy Ix = ∫y²dA y2bdyIX=

اسلاید 83:

اسلاید 84: ممان اینرسی قطبی :( )

اسلاید 85: محاسبه ممان اینرسی یک سطح نسبت به محور تقارنIxx یا Iyy یا هر محوریقبلا نسبت به محور X داشتیم .xy

اسلاید 86: مثال: ممان اینرسی مثلث مطابق شکل را نسبت به محور x محاسبه کنید .xyLhاز تشابه مثلثb

اسلاید 87: ممان اينرسي به موازات يك محور (محور موازی ) ممان اينرسي I از يك سطح A را نسبت به محور AA مورد بررسي قرار مي دهيم. Axydيك المان dA را به فاصله Y از محور AA در نظر مي گيريم.در حالت كلي ممان اينرسي را مي توان به صورت نوشت . حال محور BB را موازي محور AA كه از مركز سطح A گذشتهدر نظرمي گیریم فاصله اين محور BB از المان dA برابر y مي باشد مي توان نوشت: Y = y + d كه d فاصله بينم محور AA و BB است . y

اسلاید 88: ممان اينرسي سطح نسبت به محور BB مي باشد . ممان اوليه نسبت به محور BB مي باشد كه برابر صفر است . زيرا كه مركز (C) ناحيه مورد نظر روي محور BB واقع است . 0بنا براين ممان اينرسي I كه از فرمول فوق حاصل مي شود ممان اينرسي هر سطحي نسبت به يك محور مي باشد كه برابر با ممان اينرسي آن سطح نسبت به محوري كه از مركز آن سطح مي گذرد به اضافه حاصل ضرب سطح در مجذور فاصله محور مورد نظر تا محوري كه از مركز آن سطح مي گذرد .

اسلاید 89: مثال : ممان اينرسي دايره را نسبت به محور مماس با آن بدست آوريد . dTrمثال : ممان اينرسي زیر را نسبت به محور x با آن بدست آوريد . . yxt1 hyxt2t1. b