اصول مهندسی زلزله

اصول مهندسی زلزله

اسلاید 1: بسم الله الرحمن الرحیمدانشکده فنیجزوه ی درسی اصول مهندسی زلزلهمدرس : دکتر غلامرضا نوریتهیه کننده: حامد نوری

اسلاید 2: تحلیل دینامیکی سازه ها در برابر زلزلهبه سه روش مختلف می توان به تحلیل سازه های مقاوم در برابر نیروی زلزله پرداخت :1 – روش آیین نامه ای یا شبه استاتیکی2 – روش طیفی یا شبه دینامیکی3 – روش معمول دینامیکی

اسلاید 3: انواع ارتعاشات الف – محوری ب – خمشی ج – برشی د - پیچشیانواع تغییر شکل هنگام ارتعاش

اسلاید 4: درجات آزادیتعداد مختصات مستقل مورد نیاز جهت تعیین موقعیت یک جرم مرتعش در هر لحظه ،درجات آزادی آن جرم به شمار می آید. درجات آزادی سیستم های مختلف

اسلاید 5: سختی و میرایی یک جرم در انتهای یک ستون یا یک جرم روی چند چرخ و متصل به یک فنر و یک میراکننده (کمک فنر) مطابق شکل در نظر گرفته می شود.

اسلاید 6: اگر جرم به اندازه تغییر مکان یابد، سختی ارتجاعی ستون در حالت اول و کشش فنر در حالت دوم باعث برگشت به وضعیت اولیه جرم خواهد شد. نیروی اعمالی فوق توسط ستون یا فنر تابع تغییر مکان بوده و نیروی فنر یا نیروی سختی نامیده می شود. این جرم با یک سرعت معین به وضیعت اولیه برگشته و به طرف دیگر متمایل می شود و در حقیقت ارتعاش می نماید . اگر سیستم دارای رفتار ارتجاعی باشد و هیچ اتلاف انرژی صورت نگیرد، جرم همچنان ارتعاش خواهد کرد. ولی در عمل اصطکاک با هوا، اصطکاک بین اجزا سیستم یا اتصالات، گسیختگی مصالح و غیره ، باعث اتلاف انرژی می شوند ، بطوریکه ارتعاش سیستم پس از چند لحظه مستهلک می گردد.نیروهایی که باعث استهلاک انرژی می شوند، نیروهای میرائی نامیده می شوند. u

اسلاید 7: معادله حرکت یک سیستم یک درجه آزادییک جرم که توسط یک فنر و یک کمک فنر به تکیه گاه متصل می باشد یا یک سیستم با رفتار ارتجاعی نظیر قاب شکل زیر ، که تحت اثر نیروی تابع زمان قرار دارند، در نظر گرفته می شود. اگر تغییر مکان بطرف راست باشد، نیروی فنر موثر بر جرم به سمت چپ و بنابراین دارای علامت منفی خواهد بود. بطور مشابه نیروی میرائی در جهت خلاف سرعت بوده و بنابراین به سمت چپ عمل می کند. اگر دیاگرام آزاد سیستم جرم در نظر گرفته شود ، نیروهای موثر عبارتند از : F(t) – ku – cůبا توجه به قانون دوم نیوتن این نیروها برابر جرم ضرب در شتاب می باشند ، پس معادله حرکت به شرح زیر خواهد بود : mü =F(t) – ku – cůیاmü + ců +ku = F(t) (a)F(t)mu

اسلاید 8:

اسلاید 9: ارتعاش آزاد دستگاه های یک درجه آزادی فاقد میرائیبرای حل معادله دیفرانسیل ابتدا بایستی آن را بدون طرف ثانی در نظر گرفت (ارتعاش آزاد) و جواب عمومی معادله را تعیین نمود. mü + ku = 0 ü + ω²u = 0u(t)= A sin ωt + B cos ωt اگر شرایط اولیه بصورت تغییر مکان اولیه و سرعت اولیه در نظر گرفته شود، معادله فوق بصورت زیر در می آید: u(t)= (ů/ω)sin ωt + ucos ωt(a)uů

اسلاید 10: با استفاده از روابط مثلثاتی رابطه ی فوق را می توان بصورتهای زیر نیز نوشت:

اسلاید 11: جواب ارتعاش آزاد دستگاه یک درجه آزادی بدون میرائی با شرایط اولیه و : u.ů.

اسلاید 12: ارتعاش آزاد دستگاه یک درجه آزادی توام با میرائی معادله را با فرض وجود نیروی میرائی و بدون طرف ثانی (ارتعاش آزاد) حل می کنیم :mü + ců + ku = 0ü + (c/m)ů + (k/m)u = 0 (a)»©

اسلاید 13: آن ضریب میرائی که مقدار زیر رادیکال را برابر صفر نماید ، ضریب میرائی بحرانی دستگاه نامیده می شود و برابر است با: (b)

اسلاید 14:

اسلاید 15: حالتی که اکثرا در سازه ها بوجود می آید حالت زیر بحرانی است که در این حالت جواب ارتعاش آزاد دستگاه ، نوسانی خواهد بود.در عمل معمولا مقدار میرائی در سازه ها بصورت درصد یا نسبت بیان می شود. یعنی ،بنابراین مقدار از رابطه برابر است با:S=-ξω±√ ((ξω)²-ω²) = -ξω±ω√ (ξ²-1) = -ξω±iω√(1-ξ²)اگر عبارت ω√(1-ξ²)با یعنی تواتر زاویه ای ارتعاش آزاد با میرائی نمایش داده شود ، S=-ωξ±iωd)C<Ccr(ξ=C/Ccr C=2mωξS(b)ωd

اسلاید 16: با جاگذاری در معادله داریم : با استفاده از روابط مثلثاتی و رابطه اولر ، جواب ارتعاش آزاد با میرائی دستگاه یک درجه آزادی به شرح زیر ساده می شود: s©

اسلاید 17: جواب ارتعاش آزاد دستگاه های یکدرجه آزادی با میرائی با شرایط اولیه و :u.ů.

اسلاید 18: معادله حرکت سیستم یکدرجه آزادی تحت اثر نیروی کلی با وجود میرائیmü+ců+ku = P. sin Ωtمعادله دیفرانسیل فوق دارای یک جواب عمومی و یک جواب خصوصی به شرح زیر می باشد :ΩΩΩ

اسلاید 19: جواب کلی معادله حرکت دستگاه یکدرجه آزادی تحت اثر نیروی هارمونیکی سینوسی در حالت با میرائی ،مجموع و با اعمال شرایط اولیه جهت تعیین ضرایب و به شرح ذیل خواهد بود:A1A2Ωضریب بزرگنمائی دینامیک در این حالت برابر است با :

اسلاید 20: در حالت تشدید و همگامی (رزونانس) که است ، مقدار ضریب بزرگ نمائی برابر است با: β=1

اسلاید 21: تحلیل دینامیکی دستگاه های چند درجه آزادی اگر مدل تحلیلی و ریاضی یک سازه با تعدادی بیشتر از یک جرم متمرکز باشد، به تعداد هر حرکت و چرخش آزاد هر یک از اجرام، درجه آزادی برای آن سیستم خواهیم داشت. حال اگر تعادل هر یک از جرم ها جداگانه مورد بررسی قرار گیرد ، معادله هر یک به صورت زیر در می آید :زیر نویس نشانگر درجه آزادی ام است، در معادله فوق داریم :iiüů

اسلاید 22: با فرض درجه آزادی برای سیستم مورد نظر شکل ماتریسی نیروی اینرسی به شرح ذیل خواهد بود:üüünیا بصورت خلاصه تر زیر می توان نوشت:ü

اسلاید 23: برای نیروهای سختی با توجه به تعریف ضریب سختی که عبارت است از نیروی الاستیک ایجاد شده در درجه آزادی توسط یک تغییر مکان واحد در درجه آزادی یا نقطه در حالتی که درجات آزادی دیگر ثابت و بدون تغییر مکان باشند، خواهیم داشت: و یاij

اسلاید 24: به همین ترتیب برای نیروی میرائی با تعریف بصورت نیروی ایجاد شده در نقطه توسط اعمال یک سرعت واحد در نقطه ، خواهیم داشت :ůijکه ماتریس ضرایب میرائی، بردار سرعت و بردار نیروی میرائی است.[C]{ů}{fD}

اسلاید 25: اگر معادله تعادل کلی درجات آزادی سیستم با چند درجه آزادی نوشته شود، خواهیم داشت:و در نهایت معادله دینامیکی سیستم چند درجه آزادی ، بصورت ماتریسی ذیل نوشته می شود:üů(C)

اسلاید 26: تواتر زاویه ای ارتعاش و مودهای وابسته ( ، )معادله دیفرانسیل را بدون طرف ثانی و در حالت بدون میرایی بررسی می کنیم:[m] {ü} + [K] {u} = {0}جواب این معادله دیفرانسیل ماتریسی بصورت زیر در نظر گرفته می شود :{u} = {a} sin (ωt + θ)مشتق دوم عبارت فوق بصورت زیر است :{ü} = -ω² sin (ωt + θ) {a}با قرار دادن مقادیر فوق در معادله داریم :-ω² [m] {a} sin (ωt + θ) + [K] {a} sin (ωt + θ) = {0}Since sin (ωt + θ) ≠ 0 » [K] {a} - ω² [m] {a} = {0}به شکل ساده شده زیر داریم :[[k] - ω²[m]] {a} = {0}معادله اخیر ، معادله مقادیر مشخصه بوده و می توان آنرا به روشهای گوناگون حل کرد و در نتیجه به تعداد درجات آزادی ، تواتر زاویه ای و بردار مود مربوطه بدست می آید.ωΦ(C)(d)(d)ω(e)

اسلاید 27: باید توجه داشت که از حل معادله مقادیر نسبی دامنه ها حاصل می شود و نمی توان مقادیر مطلق دامنه ارتعاش یعنی را تعیین نمود. نکته : پس از تشکیل دترمینان ماتریس و برابر صفر قرار دادن آن، مقادیر حاصل می شود . باید دقت داشت که کوچکترین تواتر زاویه ای یک سیستم چند درجه آزادی ، مود اول و به همین ترتیب تواترهای دیگر به ترتیب بزرگی نامگذاری شوند . (e){Φ}{a}[[k] - ω²[m]]ω

اسلاید 28: رابطه تعامد مودها یکی از روابط ریاضی مهم و مفید که مودهای ارتعاشی سیستم های چند درجه آزادی دارند ، رابطه تعامد مودها نسبت به ماتریس جرم و ماتریس سختی است . این خاصیت دارای کاربرد اساسی در روش آنالیز مودال سیستمهای چند درجه آزادی می باشد.برای مثال با فرض دو مود و و انجام برخی عملیات ماتریسی ( استفاده از ترانسپوزه برداری و . . .) رابطه تعامد مودها نسبت به ماتریس جرم بین دو مود فوق به صورت زیر خواهد بود: به طریق مشابه نسبت به ماتریس سختی داریم : که تعامد مودها نسبت به ماتریس سختی را بیان می کند.sr

اسلاید 29: حال اگر در روابط فوق فقط از یک مود استفاده شود خواهیم داشت :رابطه اول بیانگر جرم مودی در مود ام و رابطه دوم نشانگر سختی در آن مود می باشد.از جرم مودی در روش تحلیل شبه دینامیکی یا طیفی و برای محاسبه ی وزن موثر مودی استفاده خواهد شد.ii

اسلاید 30: روش آنالیز مودال جهت تحلیل سازه های چند درجه آزادی {u} = [Φ] {y}در رابطه فوق مجهول تغییر مکان فیزیکی بکمک ماتریس مودال به مجهول مودال مرتبط می شود. مشتقات اول و دوم رابطه فوق بصورت زیر است :{ů} = [Φ] {ý}{ü} = [Φ] {ÿ}با جاگذاری مشتقات فوق در معادله ماتریسی تعادل سیستم چند درجه آزادی داریم :[m] [Φ] {ÿ} + [c] [Φ] {ý} + [k] [Φ] {y} = {P (t)}با پیش ضرب رابطه بالا در ترانسپوزه مود ام خواهیم داشت : u[Φ]{y}iÿý

اسلاید 31: اگر ضرب های فوق انجام شود، و با توجه به خاصیت تعامد مودها ، کلیه عبارات بجز عبارت مربوط به جمله ام ،برابر صفر هستند. در نهایت داریم : ÿýبه شکل ساده تر داریم:اگر طرفین رابطه فوق بر تقسیم شود با توجه به روابط زیرÿýMi

اسلاید 32: خواهیم داشت :ÿýi=1,nبا استفاده از انتگرال دیوهامل برای دستگاههای یک درجه آزادی می توان معادله حاصل را حل نموده و در نهایت مجهول بدست می آیند که بردار مختصات مودال را تشکیل می دهند. nny{y}

اسلاید 33: روش طیفی (شبه دینامیکی) تحلیل سازه ها در برابر زلزله روش دینامیکی تحلیل سازه ها برای تعیین تغییر مکانها و نیروهای ناشی از زلزله در سازه ها، علیرغم ارائه نتایج مورد نظر با دقت بسیار خوب ، خیلی پر زحمت و طولانی و وقت گیر می باشد. ولی با عنایت به اینکه در طراحی سازه ها در برابر زلزله معمولا مقادیر حداکثر نتایج مورد نظر می باشند، لذا با محدود نمودن تاریخچه جوابها به مقادیر حداکثر، از حجم عملیات و زمان محاسبات به شکل قابل توجهی کاسته می گردد و مسئله از حالت پیچیده به حالت ساده تر سوق داده می شود. برای دسترسی به این مهم می توان از روش تحلیل طیفی بهره جست.

اسلاید 34: طیف پاسخ دستگاههای خطی اگر یک سیستم فقط تحت حرکت ناشی از زمین لرزه باشد، گرچه مقدار نیروی خارجی صفر می باشد لیکن به دلیل این حرکت، نیروئی برابر بر سازه اثر می نماید که با استفاده از انتگرال دیو هامل جواب معادله به شرح زیر بدست می آید: üاگر عبارت انتگرال فوق برابر در نظر گرفته شود، خواهیم داشت:P (t)=-m ü (t)V (t)

اسلاید 35: مقدار شبه سرعت نامیده می شود ، و تابعی از زمان است. بنابراین در طول زمان ، دارای مقدار حداکثری است که این مقدار حداکثر را با نمایش می دهند. مقدار حداکثر بصورت نشان داده می شود و طیف تغییر مکان نامیده می شود. در نهایت رابطه بین و بصورت زیر می باشد : S d = S v/ωبه علت وجود رابطه های موجود بین ، و می توان منحنی های مربوطه را در روی یک کاغذ لگاریتمی سه جانبه بر حسب یا رسم نمود . نمونه ای از طیف طراحی سه جانبه در صفحه بعد آورده شده است .نکته: در استفاده از طیف های پاسخ بایستی دقت کرد چنانچه حداکثر شتاب مبنای طرح در پروژه یک سازه مقاوم در برابر زلزله (در محل مورد نظر) به غیر از شتاب مقیاس شده طیف مورد استفاده باشد، اعداد قرائت شده از طیف را می باید به نسبت شتاب مبنای حداکثر طرح به شتاب مقیاس شده طیف اصلاح نمود.V (t)S vu (t)S dS vS dS dS vS aTω

اسلاید 36: طیف طراحی معتبر و رایج آمریکا بر اساس زلزله های بزرگ ایالات متحده تهیه شده توسط هاوزنر و مقیاس شده بر اساس شتاب حداکثر a=0.2g

اسلاید 37: تحلیل سیستم های چند درجه آزادی به روش طیفیÿýبا فرض داریم:P (t)=-m ü (t)ÿýü (t)

اسلاید 38: با تعریف ضریب شکل پذیری مودال زلزله در مود ام بصورت زیر :شکل نهایی معادله یک درجه آزادی بصورت زیر در می آید:ÿýüüبرای حل معادله فوق با استفاده از انتگرال دیو هامل داریم :i

اسلاید 39: اگر عبارت انتگرال با نشان داده شود ، خواهیم داشت:V (t)در روش آنالیز مودال ، طبق تبدیل مختصات فیزیکی به مختصات مودال داشتیم:بنابراین:

اسلاید 40: برای بدست آوردن جواب کل باید مقادیر ماکزیمم فوق را در کلیه مودهای مورد نظر بدست آورده و ترکیب کرد. لیکن مقادیر حداکثر تغییر مکان در مودهای مختلف در یک لحظه اتفاق نمی افتند و بنابراین ترکیب مستقیم آنها صحیح نخواهد بود:چندین نمونه از روش های آماری برای ترکیب حداکثر پاسخهای مودی در نمودار درختی صفحه بعد آورده شده اند.

اسلاید 41: (SRSS)(CQC)(ABS)

اسلاید 42: از میان روش های فوق الذکر ، روش اول یعنی جذر مجموع مربعات بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد که به تشریح آن می پردازیم :در این روش پاسخ کلی ، در امتداد هر درجه آزادی از رابطه زیر بدست می آید.این روش در صورتی از دقت کافی برخوردار می باشد که زمان تناوب مودهای مختلف فاصله کافی از همدیگر داشته باشند به نحوی که :X

اسلاید 43: با این اوصاف در مورد حداکثر تغییر مکان داریم:نیروی زلزله وارد به پای سازه، ناشی از مود ام ، برابر مجموع حاصل ضرب جرم هر طبقه در شتاب موثر وارد به آن طبقه در اثر زلزله خواهد بود : ü (t)= ω²u(t)بنابراین نیروی وارد بصورت زیر خواهد بود:ii

اسلاید 44: SinceThen

اسلاید 45: برای مقدار حداکثر می توان نوشت :F (t)

اسلاید 46: در این حالت نیز برای محاسبه نیروی ناشی از زلزله در پای سازه ، با در نظر گرفتن اثرات مودهای سازه می باید مقادیر مختلف در مودهای مختلف را ترکیب نمود و چون زمان وقوع مقادیر حداکثر آنها یکسان نمی باشد ، بنابراین از قانون جذر مجموع مربعات استفاده می شود : F (t)