ترسیم های هندسی در عالم اسلامی

صفحه 1:


صفحه 2:
ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی استاد راهنما: دکتر مجتبی آقایی ود آورند گان: طاهره رفیعی زهرا منتظر ی AE MF ‏م‎ 

صفحه 3:
۱ آپولونیوس آپولونیوس يركايي (©©0©60-2ق3م؛( رياضيدان و ستاره شناس يونانى كه مقاطع مخروطى و حركات سيارهاى از زمينههاى موردتوجه او بودند. نام وي در منابع اسلامي بيشتر به صورت بَلينوس يا بَليناس و نيز به صورتهاي ابُولُوئيوس, أفُولُونيوسء أَبْليئّسء آبُولوسء آبُلُونيوس آمده است . معاصرانش او را (مهندس بزرگ) مي‌نامیدند. برخي از دانشمندان اسلامي لقب نار به وي داده‌اند. او به تکمیل نوعی ساعت آفتابی که خطوط ساعتی آن روی یک سطح مخروطی کشیده شده بودند هم پرداخت. 

صفحه 4:
وی در زمینه هندسه مقاطع مخروطی کار کرد و این هنسه کمک زیادی به اختر شناسان نمود . اواز همان برهانهای یونانی استفاده نمود اما به نتایج تازه و جالبی درمورد هندسه مقاطع مخروطی دست يافت. مشهورترين اثر وي كتاب مخروطات است كه در نوع خود مهمترين اثر علمي زمان وي به شمار ميرفته و تا قرنها مورد استفاده بوده است. وي مبحث مقاطع مخروطي را که در پژوهشهاي هندسه‌دانان گذشته ناقص مانده بود» تکمیل کرد و اصطلاحات 2 ) ) شلجمي یا سهمی ۰( 06۲0۱3 ۲۱۷)هذلولي و 5 ))«يضي را وارد داش مخروطات ساخت. 

صفحه 5:
بخش مهمي از اثار آپولونیوس در سده‌هاي نخستین هجري به زبان عربي ترجمه شده است ولي اکنون نه از. اين ترجمه‌ها چيزي به جاي مانده است نه از اصل يوناني آنها. عنوان عربي قسمتي ان اين آثار. چنین است: رساله في قطع السطوح علي اللّسبه» رساله في النسبه المحدوده» رساله في الدّواثر المماسه. 

صفحه 6:
‎Weenie siese | ee ees‏ با مخروطی استفاده می کرد. برای مثال اوبیضی را به وسیله اندازه گیری فاصله درطول قطرویک خط مماس دربیضی که عمود برقطررسم می شود مطالعه می کرد. ‎Tangent ‎Diameter 

صفحه 7:
سیستم اندازه گیری آپولونیوس بسیار شبیه ؟کار می کند.اما چندین تفاوت مهم با آن وجوددارد: اول: خطوط مرجع آپولونیوس همیشه زاویه ندارد گاهی مایلند. 

صفحه 8:
دوم: آپولونیوس از اعداد منفی استفاده نمی کرد .او تنها از یک راه می توانست در طول خطوط مرجع حرکت کند . تفاوت عمده: آپولونیوس ابتدا هميشه منحنی را رسم می کرد وسپس خطوط را به ‎ala‏ نس کرد اما مرو ما مسکن ات مخور های ۱۲ کشیده و سپس سهمی یا هذلولی را رسم کنیم اما براى اين كار نياز به معادله ی سهمی یا هذلولی داریم. آپولونیوس از جبر استفاده نمی کرد بنابراین می بایست در مورد هندسه بدون رسم مطالعه می کرد. 

صفحه 9:
‎im 4‏ مخروطی آپولونیوس ‏يكك سطح مخروطی دو پارچه از خطوط مستقیمی که بر نقاط محیط یکت دايره» به نام قاعده 5 ‎ULB‏ ابتی غیر واقع بر صفحة قاعده می گذرند. ‏تشکیل می شود. ‏تب سیر کت دز سیم ‏نقطة ثابت را رأس آن» ‏و خط مستقیمی مار بر رس و مرکز قاعده را محور می نامند. یک مخروط جسمی است که توسط بخشی از ‏سطح مخروطی دو پارچه که پین رأس و قاعده ‎aly‏ ‏قرار دارد» محصور می شود. 

صفحه 10:
اقلیدس و ارشمیدس هر دو پیش از آپولونیوس دربارة مقاطع مخروطی چیز اما در بحثهای آنان از مقاطع مخروطی» مخروط همان به اصطلاح مخروط قائم بود که در آن محور بر دایره قاعده عمود است. سپس این مخروط قائم به وسیلهٌ صفحه ای عمود بر یک مولد قطع داده مى شدء و به اين یک مقطع مستوی به دست می آمد. و نوع مقطع به زاوية رأس مخروط بستگی داشت. بنابراین در دنیای باستان مقاطع مخروطی اشکال مسطحه بودند. در حالی که ما به مرزهای این اشکال مسطحه نظر داریم و مقاطع مخروطی را منحنی تلقی می کنیم 

صفحه 11:
۳ ۱ سب مخروطیآپولونیوس آپولونیوس این روش تولید مقاطع مخروطی را با در نظر گرفتن مقاطع مسطحه ای از یک مخروط دو پارچهٌ دلخواه که محور آن ممکن است نسبت به قاعده مایل باشد. تعمیم داد و نشان داد که به این ترتیب صرف نظر از دايره» تنها سه سطح مخروطی شناخته شده می توانند به وجود آیند. آپولونیوس در شروع کتاب مقطع مخروطی اش؛ از این حقیقت استفاده کرد که این شکلها مقطعهای یک مخروطند و منظور او تنها آن بود که خواص مقدماتی این مقاطع راه که آنها را «علائم» نامیدی اثبات کند. 

صفحه 12:
بنابر گفتة آپولونیوس, یک سهمی مقطع مشترک یک مخروط و یک صفحه است وقتی که صفحه با یکی از مولدهای مخروط موازی باشد. و هذلولى هر يكك از دو مقطع مشترکی است كه وقتى صفحه با هر دو قسمت مخروط دو يارجه تلاقى مى كند؛ تشكيل مى شود. در هر يكك از دو مقطع مخروطى» ‎be‏ که دو نقطه بر مرز را به هم وصل می کند. ‎eg bale oso‏ ‎ 

صفحه 13:
آپولونیوس نشان داد که اواسط همه وترهای موازی با وتری ثابت بر خط مستقیمی واقعند و اگر این خط مستقیم مرز را در ۸ قطع كند» مماس در ‎See LA‏ وترها موازی است. اين خط مستقيم؛ قطر مقطع و محل تلاقی یک قطر با مرزه رأس مقطع مخروطی نامیده می شود. نیم وترهایی که در یک طرف قطر قرار دارنده عرضهای این قطر نامیده می شوند. وقتی عرضها بر این قطر عمود باشند» ب چنین قطری منحصر به فرد است و محور نامیده می شود. 

صفحه 14:
< در شکل روبرو "3۳ یکی از قطرهاست؛ ۷2 و ۷[ با ۳ موازی اند. < ۸ قطر مار بر اولسطلیرق طرهاست < ۷ يكواز لييزعرضها برلعقطر قلع 5 

صفحه 15:
علا در مورد سهمى قطرها همه با محور (01) موازى اند. فرض كنيد 41 قطرى مفروض» «نقطه ای دلخواه بر ۸3 و 26۷ عرض در باشند. آپولونیوس نشان داد که با قطر ۸12 پاره خط ثابتی مانند م متناظر است به طوری که ضلع ‎So‏ مستطیلی که با مربعی به ضلع 26۷ مساوی و یکی از اضلاع آن با ۸2۴ برابر است» یکی است پاره خط 0 پارامتر(ضلع قائم) سن متعلق به قطر ۸13 نام دارد. | 0 اگر قرار دهیم ۸0 و 7 ۰16 آنگاه علامت آپولونیوس به صورت معادلة نوين *<.0 در می آید. a 

صفحه 16:
۱ هنن در اینجا منحنی دارای یک مرکز است که همان نقطه واقع بر محور است که در وسط خط واصل بين رأسهاى دو مقطع قرار دارد. هر خط مار براين مركزء یک قطر است و مرکز آن» بخشی از یک قطر را که بين دو شاخة مقطع قرار دار نصف می کند. 1 فرض کنید ‏ و >" دو سر بخشی از ‎BIS‏ > بين دو شاخه منحنى باشند» ‎١‏ 0 و -8<)6" که ضلع مایل نامیده می شود. ‎a‏ \/ 

صفحه 17:
آپولونیوس ابت کرد که متناظر با 2 پاره خطی مانند 0] با خصوصیّت زیر هاش < مستطیلی به به ضلع 216 که با مربعی به ضلع 06۷ یکی از عرضها برابر باشده ضلع دیگرش از ۵] بیشتر خواهد بود. بعلاوم مستطیلی که اضلاع آن زیادتی این ضلع از 0 و 6216 است(مستطیل آبى رنگ) با مستطیلی که اضلاع آن ۸ و « هستنده متئیایو است. بنابر اين 5» ضلع ديكرء ۰ ca :CX=ps Guild ‏در‎ یعنی 5<)0/8(.026 صدق می کند. 

صفحه 18:
براى اينكه بفهميم معنى هندسى علامت هذلولى جيستء فرض كنيد كه 6 سر قطر و 02) يارامتر باشد. همجنين فرض كنيد كه عمود بر 6(© در لاخط 0۳ را در ۴ قطع كند. در اينصورت» علامت آپولونیوس ایجاب می کند که مستطیل به اضلاع و ‎XY) pl XE‏ باشد. بان اگر قرار دهیم 6( و 06۷ علامت به صورت ‎Y?=(p+s)x=px+(p/a)x?‏ در می آید كه معادلهٌ نوینی برای هذلولی است. ‎٠‏ 

صفحه 19:
۱ کاربردهای مقا ‎ee‏ . موارد عمدة کاربرد مقاطع مخروطی (به جز دایره) هم در دنیای پونان و هم در دنیای اسلام در ترسیمهای هندسی نظرية ساعتهای آفتابی و آینه هایی بود که نور را برای سوزانیدن در نقطه ای متم ركز مى كردند. استفاده از بيضى در نجوم براى طرحريزى مسيرهاى سيارات در اوايل سد هفدهم ميلادى به وسيلة كيلر معمول شد. 

صفحه 20:
LL. 2 ارشميدس كار رابا مربع 0و قطر 130 آن شروع مى كند. © 

صفحه 21:
رسم هفت ضلعى توسط ارشميدس : و سيس ستاره اى را حول(] مى جرخاند. به طوری که ستاره قطر ۰96 ضلع ۸6 و امتدادضلع 9۸ را به ترتیب در نقاط ۴ 1و 2 قطع ‎AS‏ و به طورى كه مساحت (812) ل/ براير مساحت (10(]) ل باشد. 

صفحه 22:
سرانجام. .۲1 رابهموازات ۵63 رسم می کند. ثابت می کند که 6و ۸ پاره خط 82 را طوری تقسیم می کنند که سه باره خط 8كأ. 816 و 82 بتوانند مثلثى. 

صفحه 23:
رسم هفت ضلعی توسط,ارشمیدس بنابر این (16114) ۵ را طوری تشکیل دهید که: ‎AH=AZ ,KH=KB‏ ‎HZ p\)BHZ blo y‏ ظرسم کنید. ارشمیدس ثابت می کند که 1017 یک هفتم محیط دایره است. 

صفحه 24:
این ترسیم همان قدر که مسثله حل می کند» همان قدر هم مسئله ایجاد می کند. البته اگر ستاره ای را حول 0 در حال چرخش تصور کنیم به طوری که از نقاط بین ۸۵و ت) عبور می کند» وقتی به طرف ۸ ح کت می کند. ‎oA MAEZ)‏ تواند به انداز؛ دلخواهی کوچکک شود. در حالی که (470 ۸ به يكك جهارم مربع ميل مى كند. 

صفحه 25:
از سوی دیگر وقتی ستاره به 6 نزدیکتر می شود (48152 ل به اندازة دلخواهی بز رگ و (710 ۸ به اندازة دلحواهی گوچکت- شود. 

صفحه 26:
بنابراین» در یک وضعیت بینابینی» دو مثلث برایر خواهند بود و لذا روش ارشمیدس بیشتر یک برهان وجودی است. تا یک ترسیم. بنابراین» مسئله به عنوان مسئله ای که در حدود ۱۲۰۰ سال مراک یل یی ی 

صفحه 27:
۱ تحلیل ابوسهل ابوسهل به مستلة ترسیم هفت ضلعی منتظمی که با علاقه و تجربة او در مقاطع مخروطی سا گاری داشت» توجه کرد و ملاحظه نمود که جوابی در مقاطع مخروطی برای آن وجود دارد. روش او ملهم از برهان ارشمیدس بود. و وقتی از ترسیم هفت ضلعی به عنوان مل ای لدب کد که يم مقس طلی ریش از ارب سییر ارشمیدس» قادر به حل آن نبوده بدون تردید اشارة او عملاً به .مسئله ترسیمی است که روش ارشمیدس آن را ایجاب.می کند 

صفحه 28:
تحلیل ابوسهل روش ابوسهل آن است که ابتدا مسئله را تحلیل کند» بعنی فرض کند که هفت ضلعی ترسیم شده و در جهت عکس با استفاده از سلسله استنتاجهایی که با حفظ درستی قابل معکوس شدن هستند. استدلال نماید. او نشان می دهد که چگونه هر ترسیم خاصی را که در محدود؛ هیچ نظریه ای نمی گنجد. مى توان در نظريهُ مقاطع مخروطی داخل کرد. چنین عملی در یک کاسه کردن روشهای ریاضی متفاوت؛ جوهرهٌ اصلی پیشرفتهای ریاضی است. 

صفحه 29:
فرض كنيد كه در دايرة 886 قادر به ترسيم ضلع 806 يك هفت ضلعی منتظم شده باشیم. © و ۵۲-286 9 ‎«3BG=ABG obs (2‏ ‎oO‏ و جون 80 يك هفتم كل محيط است. ‎.ADG=4BG‏ ~ 

صفحه 30:
اولين تحويل: از هفت ذ به مثلث بنابر قضيه 7 مقالهُ /ا! اصول اقليدس» زواياى (4803) ا روى محيط متناسب با كمانهاى متقابل به آنهاست, و بنابراين 134۸ در حالی که 62 . در نتیجه ترسيم اصلى به مسئلة ترسیم مثلئی که زوایایش به نسبت ۴:۲:۱ باشد تحویل می شود. ‎Hs‏ ‏م ۸ 

صفحه 31:
© ‏8ل ودايره اى به مركز‎ bees. ‏و شعاع © رسم ميكنيم. يرا‎ Ge ۲ St ‏از دو طرف امتداد دهید‎ به طورى كه دايره ها رااز دو طرف قطع كند. ‎eS lS AED Ce‏ 

صفحه 32:
هدف اساسی برهان این است که نشان دهیم (1> يلل تا اينكه دو مثلث ۸۳6 و 19۸( متشابه باشند. © 9 e 9 

صفحه 33:
سپس باید نشان دهیم که 262 بش تا اينكه مثلثهاى 8158 و 015/4) متشابه باشند. بعد از انجام اين كار با توجه به تشابه اول» 13/138-۸13/130 و» باتوجه به تشابه دوم؛ 818/1315 8/815 © @ © 

صفحه 34:
بنابراین نتیجه می شود که ۴۸20.۳۴ و ‎BA?=DB.BG‏ ‏ولی چون 8۸۳-0 , ‎AB=BE‏ و اولی به صورت ‎BE?=DB.BG‏ در می آید زیرا 13812 . 

صفحه 35:
بنابراین به محض اينکه نشان دهیم ۸0 و 3۸۴-6 نشان داده ایم که ترسیم هفت ضلعی منتظم مستلژم پاره خطی مانند ۳13 در دو نقطة ‎B‏ ‏» است به طوری که ‎GE.EB=GD? - (2)DB.BG=BE? (1)‏ @ 6 

صفحه 36:
اما در مورد زوایا؛ توجه کنید که ۸۵058 زاب خارجی مثلث متساوی الساتین ۸610 است» ‎BGA=DAG+D=2D 6 ¢),b 4. AG=GD oT 53‏ 

صفحه 37:
اما مى دانيم که ۴00/2۸ بنابراین ۵۲ در مورد زاویُ دیگ ملاحظه كنيد كه 8 زاوية خارجی مثلث منساوی الساقین ‎wt ABE‏ بنابراین 132۳۸۳ درحالی که در همان حال 8-263 . بنابراين . BAE=G © 6 

صفحه 38:
فرض کنید (اع] پاره خطی باشد که در ۰0 ظ تقسیم شده است. به طوری که ‎GE.EB=GD? ~ (2)DB.BG=BE? (1)‏ (1) و (42 بالا صادق باشند. 

صفحه 39:
72رابر 20 عمود کنیدبا ۸886و ۰52-00 وسس مستطل اعدا را بل کم در این صورت 08۰86<8]2- ۰2۵.۸8 و چون ۸۵8-86 5۴-۲2 می توانیم بنویسیم 6-722 2۸.8 که حاکی از این است که [ بر یک سهمی به رأس ۸۸ و يارامتر 863 قرار دارد. 

صفحه 40:
GD=BZ=ET ul: GE.EB=GD? (1) yt: So cy 5) T oly S Cl ily ol Dido pT yelp» GE.EB=ET? 1 ‏5و ضلع مورب و پارامتر آن هر دو مساوی پاره خط 62 13 اند.‎ 

صفحه 41:
تحلیل ماء اینک ما را به دو مقطع مخروطی رهنمون شده است- یک سهمی و یک هذلولی- که هر دو با تقسیم (21 در » ظ معین شده اند. 1 نقطة تلاقى اين دو مقطع مخروطیء طولهای 1۳1و 12 را معین می کنده و این دو دوپاره خط باقیماند؛ ۲ ۳« و 828-12 را به وجود می آورند با اين ويزكى كه خط 701 در ظو 6 تقسیم شده است بطوریکه (41 و (42 صادق باشند. © م 

صفحه 42:
‎eles ee cane ۲ 05‏ بنابراين با مفروض بودن ‎BG‏ » ضلع هفت ضلعى كه مى خواهيم بسازيم توان ياره خط (1 2181806 ‏سيبس (8136) لك و سرانجام هفت ضلعى را بسازيم. 0 البته به محض اينكه هفت ضلعى در يكك دايره ترسيم شدء مى توان بنابر تشابه آن را در ‏هر دايرة دیگر ترسیم کرد. ‎ 

صفحه 43:
ترسیم نه ضلعی منتظم حالت خاصی از تثلیث زاویه است. زیرا زاویهٌ مرکزی یک نه ضلعی 9/3600 3/1200 است. اما 120 زاوية مرکزی مقابل به یک ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره است. ‎SID‏ ‏ضلعی منتظم را در یک دایره مى توان بآ تثليث این زاویه ترسیم کرد. این مطلب بر یونانیان باستان معلوم بودء و پاپوس اسکندرانی سه روش برای تثلیث زاویه می دهد که در همه آنها از مقاطع مخروطی استفاده می شود. ظاهرا تنها روش باستانی را که به دانشمندان مسلمان منتقل شدهء می توان در آثار ثابت بن قره و حامی و همکار او احمدبن شاکر بافت. 

صفحه 44:
در یک ترسیم گرایشی دو منحنی؛ معمولا خطوط راست یا کمانهایی از دایره ‎Om‏ نقطة " غير واقع بر اين منحنيها و نیز پاره حط راست ۸8 به ما داده می شود. 

صفحه 45:
مسئله عبارت از ترسیم پاره خط راست ‎CD=AB‏ |« به طوری که مورب تاآم) به سمت نقطة ۳ گرایش داشته باشد. يعنى» وقتی امتداد دهیم از ‎Abadi‏ 0 بگذرد. 

صفحه 46:
wet) در این بخش توجه خود را به اثری از ابراهیم بن بستان دربارة رسم مقاطع مخروطی معطوف خواهیم کرد. اين اثر شامل بحث دقيقى از نحوة رسم سهمی و بيضىء و نيز سه روش دربارة رسم هذلولی؛ همراه با براهین اما شا ارآ ار رای درك ‎aay Oe‏ مورد علاقة ابزارسازان بوده است. از این اثر دو نمونه انتخاب خواهیم کرد ‎ee‏ او نیاز است» و دیگری یکی از سه روش رسم هذلولی را مى دهد. 

صفحه 47:
لا ابراهیم,ین,ستان,و روش ابراهیم چنین است: ۱. روی خط ۸6 پاره خط ابت ۸۸8 را جدا کنید. 2 را عمود بر 8ل/ ريسم كنيد ‎yr‏ اينكك بر 803 نقاط ل (آء !۳ و... را به تعداد دلخواه انتخاب کنید. ‏۴ با شروع از |" نيمدايره به قطر 8]1/ را رسم » و فرض كنيد كه عمود 812 آن را در ۲ قطع کند. © ‎ 

صفحه 48:
Le. ea ‏مات تس‎ ۵.از 1 خطی به موازات ۸۸ رسم کنید. ۶ .از || خطی به موازات 812 رسم کنید. فرض كنيد اين خطها يكديككر را در >| قطع کنند. 0 ا ااا رادر أقطع كند. 

صفحه 49:
۸.خطوطی از او م] به ترتیب به موازات ۵6۵و اقا رسم و فرض كنيد كه این دو خط یکدیگر را در | قطع کنند. ‎٩‏ همین عمل ترسیم را در مورد نقاط باقی مانده ‎nc Z‏ انجام دهید تا نقاط متناظر را بدست آورید. ‏در این صورت نقاط ,۰ ظ... روی سهمی به رس 9۵ محور ‎(BG‏ 9 پارامتر ۸2 قرار دارند. ‏اگر ۰" >ا... انتخاب شوند به طوری که ‎KH= “ae (LD=DL'‏ ‎Oo — 22‏ ‏در اینصورت آنها هم روی سهمی قرار دارند. 19 ‎ ‎ 

صفحه 50:
2 ۳ ۳ urls ۱ نیمدایره ای که قطر آن پاره خط ثابت ۸۸ است رسم کنید. ‎Be. 51 LAB‏ لمتداد دهید بر نیمه این نیمدایره ابتدا از نقطة ‎StL GiDH bUiB‏ كنيد. 

صفحه 51:
براهيع بن ان بر هر یک از این نقاط مماسهای ا ۲ 220)... را بر نیمدایره رسم کنید. فرض كنيد اين مماسها امتداد قطر را به ترتيب در 11 2.... قطع كنند. خطهاى راست متوازى 1|.11/1»>ال... را به طورى كه زاوية دلخواهى با خط 8م تشكيل دهند, از اين نقاط رسم كنيد. را 

صفحه 52:
00000000000000۸۸ یاس زین نستان ی هن وا بر روی این خطها و در یک طرف ۸۱8 پاره خطهای 2102:۲۱0۰ الاح الااء... را جدا كنيد. در این صورت نقاط »,6 ... بر هذلولی 

صفحه 53:
:77:00 یاس زین نستان ی هن وا در واقع چون خطوط ۲0۳۱1 22,0)... مماسهایی بر یک دایره اندء از قضية ۶ مقالهٌ سوم اصول اقلیدس نتیجه می شود که » 522-28.2) ها.12-18.18112-8ثاء... و جون 212-28 و غيره؛ نتیجه می شود كه ‎.MP=IB.IA, KZ? =ZB.ZA.LT?=TB.TA‏ 

صفحه 54:
:77:00 ابراهیم ین بستان و هذ لو[ 2-18.1آالالء. 228.2۸ ۶۶ و۱۷۱۱2۶<۱8.۱۸. بنابر علامت هذلولی که پیشتر داده شد. این رابطه ها حاکی از آن هستند که . روی هذلولی ای قرار دارند که ۸۸8 قطر آن است. کليهةٌ زاویه های مساوی با 262 با قطر می سازند و پارامتر و اضلاع مايل آن هر دو برابر ‎۸٩8‏ هستند. 

صفحه 55:
00000000000000۸۸ یاس زین نستان ی هن وا در اينجا نيز» بقِيهُ يكك شاخة هذلولی را می توان صرفاً با امتداد دادن ۱2۰ ۱.... به اندازه های برابر و در آن سوی ۸80 تا ‎KLM LU‏ رسم کرد. 

صفحه 56:
۱ نات 8ط جنبه از تمدن اسلامی که همواره بیگانگان را تحت تأثیر قرار داده» طرحهای بدیعی است که روی چوب. کاشی» یا موزائیک ایجاد شده و به وفور در سرتاسر عالم اسلامی به چشم می خورد. مثلا کاشیکاریهای منظم و استثنایی صفحه که در الحمرای گرانادا در اسان دياه سيا واد تحسین جهانیان را برانگیخته است. مثلاً در ترجمة عربى هشتمين مقاله مجموعة رياضى يابوس اسكندرانى بخش بسيار جالب توجهى دربارة ترسيمهاى هندسى وجود دارد كه تنها با استفاده ستاره و ير كارى با فرجةٌ ثابت كه گاهی « پرگار زنگ زده» نامیده می شود امكان يذيرند. 

صفحه 57:
مسئلهةً ۱ ترسیم عمودی از انتهای #لی پاره خط ۵8 بر این پاره خط. ‏ ۴ بدون آنکه این پاره خط فراتر از ۸ امتداد داده شود. طرز عمل. روی ۸۸8 پاره خط )۸۸ را بوسیلة پرگار جدا کنید. و با همان فرجه دایره هایی به مر کزهای ‎۸٩‏ و) رسم کنید تا یکدیگر را در ما قطع كنند. 0آن) رااز طرف (آ تا ع] امتداد دهید به طوری که )(]<(]]. در © ‎_d‏ اين صورت ۸۲ قائمه است. ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 58:
> ‎abt oo JF 2 EAC 51S cle pls 5S» Oley‏ م] است زیرا ‎He BSEC 51 ,4,.DC=DA=DE‏ اين دايره است و در نتیجه 67 زاويه اى محاط در يكك نيمدايره و بنابراين قائمه ‏است. ‎ 

صفحه 59:
مسئلة ۲ تقسیم پاره خطی به چند جزء برابر. طرز عمل. فرض کنید که مطلوب پاره خط ۸۸5 به اجزای برابر ۸6-608 باشند. در هر یک از دو سر پاره خط عمودهای ۸۵۴و 2 را در دو جهت مخالف اخراج و بر روی آنها پاره خطهای برابر ۳۱۶-۲<2- ۸۵۳۱ را جدا کنید. به وسیلة پاره خطهای راستی !۲ را به 2و 2 را به 1 وصل كنيد كه 88 را به ترتيب در © و(] قطع کنند. در اين صورت 26-60-08 6 

صفحه 60:
‎١‏ برهان. ‎AHG‏ و 8710 دو مثلث قائم الزاویه اند و زاویه های 6 و 0 (و بنابراین زوایای و ) آنها با هم برابرند. بعلاوه» ۲ ۳۱۸۵۵ بنابراین اين مثلثها مساوی اند و در نتیجه ۸6<50. همچنین توازی ۲۱6و 0 ایجاب مى كند كه مثلثهاى 2116 و 220 متشابه باشند, و بنابراین ‎-DG=GA «esi 52 » EH=HA «tu! .DG/GA=EH/HA‏ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 61:
مسئلة ۳ نصف كردن زاوية مفروض ‎ABG‏ طرز عمل. اين روش اقليدسى (اصولء مقالهُ اول» قضية 9) متضمن جدا کردن پاره خطهای برابر ۸۵8۰/6 بر دو ضلع زاويهترسيم متساوى الاضلاعى روى 80) و سپس وصل کردن ۸ است تا زاویه را نصف کند. بنابر صورت دیگری از اين مسئله منسوب به ابوالوفا؛ مثلث 861 متساوی الساقین است با 20-0)5/۵8, و این طول مشت رک برابر با كشادكى ثابت يركار است. ‎Deen 0‏ 9 سر 

صفحه 62:
= ترسیم مربعی در دایرف مفروض. طرز عمل. مرکز 5 دایره را پیدا و قطر ۸۵50 را رسم کنید. دهان يركار را به اندازة شعاع باز کنید و کمانهای 57) ,۵2۰/۴ و 6 را جدا كنيد و خطوط 28 و 7۴4 را که قطر را درآ و > قطع مى ‎ES‏ رسم کنید؛ و سپس قطر مار بر 5و ۷ را رسم نمایید. »0 4 فرض كنيد كه اين قطرها در نقاط (و 8 با دايره برخورد كند. ‏ بم |[ در اين صورت 41008 مربع خواهد بود. 711 ‎YA‏ ‏کی و 

صفحه 63:
برهان. چون 2۸-۸۲ قطر ‎GA‏ کمان 2۴ را نصف می کند و بنابراین 68 بر 2 وتر این کمان عمود است. به همین نحوء 68 بر 111 عمود است. و لذا ۲ و 21۴ قائمه اند. چون ۲۲۱ و 2۴ وترهای کمانهای مساوی اند لذا باهم برابرند و در نتیجه نصفهای آنهاء یعنی ۲1 و 21 با هم برابرند و چون موازی نیز هستند» شکل ۲1۱2 مستطیل است. بنابراین قطرهای 216 و ۲1 در آن برابرند و یکدیگر را نصف می کنند. ودر نتيجه ‎MI=MK‏ ‏يعنى (1/161) ۸۵ متساوى الساقين است. 

صفحه 64:
چون وترهای مساوی ‎TH 5ZE‏ از مرکز دایره هم فاصله ‎KS=SI il‏ و لذا مثلث متساوی الساقین 4/1 خط 8/15 ضلع اا را نصف می ‎AS‏ ‏و لذا براين ضلع عمود است. بنابراين قطر 1018 بر قطر 6/8 عمود و 2068 مربع است. 

صفحه 65: