توزیع احتمال

صفحه 1:
Probability Distributions پارامترهای ارزیابی قابلیت اطمینان توسط تابع توزیع احتمال توصیف می شوند زمان از کار افتادن یک قطعه از سیستم از تابع توزیع احتمال پیروی می کند عدم امکان محاسبه تعیین توزیع احتمال بر اساس داتش از هندسه قطعه پا سیستم در عمل ارتباط بین توابع توزیع احتمال و قابلیت اطمینان چگونه است؟ اصطلاحات توزیع ها کدامند و نقش آنها در ارزیابی قابلیت اطمینان جيست؟ 

صفحه 2:
Probability Distributions Probability Distributions describe the random behavior of a system or a component from a set of data. In some applications only one value (mean value) is sufficient. e.g. previous examples, long-term reliability evaluation 0 ‏وی دوکر ا‎ vs. Randg; bli x ‘short- perm or time-dependent evaluation, 6.0.5 ‏ردمتأاعسد1 دممتغأن تاعلط انانطمو و تام نيترك‎ 1) For continuous distribution, F(x) f(x) = = fi(x).dx F(x) dx Discrete distribution, F(x) = Yf(x) 

صفحه 3:
Probability Distributions * انواع توزیع های آماری: - ناپیوسته (دوجمله ای و پواسون) - پپوسته (نرمال» نمایی» ویبال؛ گاما و ریلای) ‎٠‏ اصطلاحات توزیعها: - چگالی احتمال» تابع توزیع تجمعی - مقدار انتظاری یا میانگین» واریانس و يا انحراف معیار 

صفحه 4:
Probability Distributions * ویژگی تابع ازکار افتاان - در لحظه صفر. احتمال شکست سیستم برابر صفر است و در زمان بینهایت اين احتمال یک است. - این ویژگی تابع توزیع فراوانی تجمعی است - تابع توزیع فراوانی تجمعی به نام توزیع فراوانی از کارافتادن شناخته شده است و با ‎alt)‏ نشان داده می شود. - اكر احتمال بقا را ()8) در نظر بكيريم:() ©-.0-()00 - تابع چگالی احتمال مشتق تابع فراوانی تجمعی است £(t) = 100 dt 

صفحه 5:
Probability Distributions in Reliability Evaluation ‎ao‏ + وه ‎aof 80‏ ‎> R(t) + ‎oa 106 ‎a6‏ 160 کمن ‎FOC)‏ ميو هه هه مومه وه هه ‎dt a9? Ae ‏صعه‎ Gab ean AUP ees beth (7), ‎0 ‏نا ‎ ‎@obsbity ‎ ‎One. Probabtitty, Hx) ‎ ‎ ‎ ‎(@),x‏ بسا ‎In reliability evaluation, the random variable is usually time (t) ‎Failure Density Function, f(t) > (Cumulative) Failure Distribution Functjon, Q(t) Probability of Failure ‎Survivor Function R(t) = 1 - Q(t) Probability of Success ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 6:
Probability Distributions * آهنگ وقوع خطر ‎(Waza Rute)‏ - تعداد از کار افتادگی در واحد زمان به تعداد عضوهای در معرض از کار افتادن Hazard Rate, i(t) = f(t) / R(t) = # of failures per unit time # of components exposed to failure 

صفحه 7:
تابعهای کلی قابلیت اطمینان + تعیین رابطه بین توایع مختلف بدون در نظر گرفتن شکل تابع ریاضی آنها - تعداد عضوهای معیوب شده در مدت زمان 0۴ - - تعداد عضوهاى سالم در مدت زمان () 0 > 1 - 00 0۴ +() <4 - قابلیت اطمینان تا زمان معين ؛ ۷۵ ر ۷۵ - 2 _ )۸ ‎p-NO - 3-20۵ ۵‏ ‎Ro N N 3‏ ۳ برای از کار افتادن: ۵ aD N 

صفحه 8:
تابعهای کلی قابلیت اطمینان GRO _. 209 1 0 ‏رم‎ _ 1 ۵ dt dt 2 ۶ 0-2 * در بیان آهنگ وقوع خطر داریم: ۵ 1 و2 ۵2708 1 _ ‎dt‏ 2۷۵ ۸ 06 ۸ 0 وم 1 ۷۵ 1 ۸ _ ۸۵ ۸ 4 RO RO 0 278 - 7 20-70 فا وود مد RO dt 

صفحه 9:
تابعهای کلی قابلیت اطمینان مق -] ورن ‎٩1‏ ‘RO > nAO = ]- ۶ => Rb =expt ‏قم‎ ‎20۵ ‏“ذع- 188 ج رحماح-‎ 

صفحه 10:
Example using Discrete Distribution Total number of samples = N, Number of failures at time t = N,(t) Number of survivors at time t = N,(t) = N, - N,(t) Number of failures in interval At = AN, (t) Failure Density Function, f(t) = AN, (t) / No Failure Distribution Function, Q(t) = N,(t) / No (Probability of Failure) Survivor Function R(t) = N, (t) / No (Probability of Success) 0 

صفحه 11:
Time | #faiures | # of Hot Failure | Survivor | Failure | Hazard interval | ineach | failures in| survivors | distribution | function | density | rate interval, time t at time t fanction function ‏ومح | صمحم | عد‎ | mc | ‏هه‎ | RO | ‏هد | هم‎ 0 aad a 1000 0.000] 1.000 | gap | 0.154 1 3 120 60 440} 2388 1 ‏مور ووون‎ 2 225 77 5225 | 175 | ‏وجوه‎ | 02 3 ‏دف | ۳۵۵ 0300 700 300 ی‎ | acta 4 ei 368 632 0.368 0.832 | ‏یو مم‎ 5 = 428 572 8025 ١ 5595 | ‏چووه‎ | 0.007 6 a amt 519 2287 | 1385 |g u4y | ‏وه‎ ‎7 hs 529 an 0523 | 0477 | 5043 ۱ 6 8 aa 572 428 0572 | 0428 | Gass | odes 9 aa 610 390 os | 0.390 | gos | 0.091 10 5 eat 356 0644 0.386 ‏ووم | رومن‎ i > 675 25 2295 1225 ‏0و | ودوه‎ 12 a0 703 297 5305 | 0257 | oos0 | 4 1 0 743 257 0783 | 0257 | ‏هون‎ ۱ ۸ 4 3 0 97 ‏مه | بجوم | 29 | هه‎ 15 ‏و‎ are 122 oare | 0-722 |g ge) | o.652 16 0 53 5 5355 8882 yar | 17 3 980 20 2388 | 0920 |p 615 | 4.300 18 3 995 5 0385 | 0005 | 505 | 2000 19 1000 0 1.000 0.000 ad 

صفحه 12:
‘Table 6.1 Data and results for example of Section 6.4 1 2 3 4 5 6 7 8 Failure Cumulative Time Number of Cumulative No. of density failure Survivor Hazard interoat failures in failures. survivors function — distribution function rate jn 100 hrs each interoal N ۸ 7 0 R 2 ۰ 140 6 1000 0.140 0 1000 011 1 85 140 860 0.085 0.140 0.860 04 2 15 225 775 0.075 0.225 0775 0.102 3 68 300 700 0.068 0.300 0.700 02 4 60 368 632 0.060 0.368 0632 0.100 5 33 428 572 0.053 0.428 0s72 0.097 6 48 481 519 0.038 0.481 0519 0.097 7 a 529 an 0.043 0.529 0471 0.096 8 38 372 28 0.038 0572 0428 0,093 9 34 610 390 0.034 0.610 0390 . 10 31 644 356 0.031 0.644 0356 (0.091, 1 28 675 325 0.028 0.675 0325 0.090 2 40 703 297 0.040 0.703 029 4 13 60 743 287 0.060 0.743 0257 0.264 14 18 803 197 0.075 0.803 0.197 0.870 15 60 878, 122 0.060 0.878 0122 = 0.652 16 42 938 1 0.042 0.938, 0.062 1.02 17 15 980, 20 0.015 0.980 0.020 1.20 18 5 995 5 0.005 0.995 0.005 20 19 1000 9 1.000 0.000 

صفحه 13:
Example: Plots of Q(t) and R(t) 3 8 oH) 8 و ‎oe‏ هه ه‌ ‎8 

صفحه 14:
ae 8 ‏ل سس‎ é tie: ۷ 35 Example: Plots of f(t) and A(t) 

صفحه 15:
Bathtub Curve Region 1 Region 2 Region 3 Hazard rate Normal operating | Wear out Or useful life | 3 Operating Life Typical Electric Component Hazard Rate as a Function of Age as 

صفحه 16:
Time Dependent Reliability t eliability of a component fora time periodtis ~~ /A@®¢ R@ =e? where i(t) is the hazard rate. dnt) Proof: # of failures per unit time _~ dt_ MO NO # of components exposed ing numerator ahalfdémeminator by N, (total # of samples), 4006 = d(tR(t)) tart Ry t t 20 dt _ dt _ _.+ or ‏و‎ A(t)c or RCE: F 2 R® 1300 ۰ t - ۵ ۳ R(t) =e? If X(t) is constant (during useful lit) =e 

صفحه 17:
a ia Rehabil: Ossessweut + Poissva Distribution “OoeP Whe oP syotew ‏جوم‎ ‎~Obtoia expevied vale ued distibuizas oP Puke probubiliy ‏بطم‎ & spores - Expocectial Distibutica “OseP ihe oP ‏مومت مور‎ “Oost widely wed probably distrbuiod + Dorel Distributor “Dost widely used probably detrbutiva ta statsics, quay (O-s) ~Rebobliy ‏مومت اه ما تسوت مج میت‎ “Oucerkiay couskeraioes (ey. Porevust uacerticty) > Debull Distrbutica ‏مون)-‎ be shaped to Pit ovhevted dota <2. wied power, repair durdiog 

صفحه 18:
۶ برای بیان احتمال وقوع تعداد معینی از یک رخداد در یک فاصله زمانی» مشروط بر اينکه آهنگ وقوع خطر در آن فاصله زمانی ثابت باشد * وقوع رخداد تصادفی است * ویژگی خاص در پواسون شمارش وقوع رخدادها است نه عدم وقوع آن (برخلاف توزیع دوجمله ‎(sl‏ : ‏در بسیاری از موارد می توان تنها وقوع رخدادها را بر شمرد. مثلا‎ ٠ ‏تعداد دفعات رعد و برق در یک دوره زمانی‎ - ‏تعداد دفعات زنگ تلفن در یک فاصله زمانی‎ - ‏تعداد خطاهای سیستم‎ - 06 

صفحه 19:
Poisson Distributioa Our be werd to evolvate he probabil of oc ‏امه موه هوجو امامت‎ OP kes ‏سا مق و و‎ ier ch, eax # oP Pans, # oF ‏ام سا اه مج‎ Requirewesis: “Cvecs wast be randow > ON ores tv te wel Pe ‏با یت سس امه رات‎ 1 (۳ 2 Cxpressioa Por Poss Osrintion: P(t) = we" i Si acae ema aeel Epc fen cde Pecan sr Nero) yected value of Poisson distribution, E(x) = p = At 2 @robobity oP zero ‏()وظ با ده سا‎ < 100 - os" ‏ای‎ 06 

صفحه 20:
Poissva Distibutioa * کاربرد تابع توزیع پواسون: - در صورت شکست ناشی از وقوع عیب. مدت زمان تعمير و تعویض آن عضو در مقایسه با مدت زمان میانگین برای از کار افتادن سیستم ناچیز باشد - در غیر اینصورت باید از شیوه های دیگری استفاده گردد هه 

صفحه 21:
Poisson Distribution Example AP he average suber oP cable Pauls per pear per (OD ke of cable ts 0 .00© ‏ام با امسو‎ oP O, 0, O, .. Pauls comers i (0) CO pew period (6) @O pew period Failure Rate, 4 = 0.05 f/yr ) For a 20 year period, t = 20 yr ‏ی‎ ‎10 (*e xpected # of failures, E(x) = At = 0.05 x 20 = RS 5 x! #of failures 0 3 2 3 4 Probability | 0360788 ] 030/88 | 018994 | 006131 ۱ 001532 Failure Density Function Failure Distribution Functic ange 0-7 4 3 ao}, — 2° a 5 5 5 2 = a0 | 8 3 ‏_للن_اظل] ع ۰ |_— بلمه‎ Baa} — tol f ۷ ٩ 8 6 ‏له له‎ @ 6 هو هو وه 3 0 

صفحه 22:
ovissva Distibutica Exanvple ‘or a 40 year period, t = 40 yr ۳ ee pected # of failures, EG) = xt = 0.05x40= 20) = 26" x! #of failures 0 1 2 3 4 Probability [013534 | 0.27067 | 027067 | 0.18045 [ 0.09022 ٩ ‏اس‎ باه سا هه سس o a 0 0 © # ‏عب انوطع‎ Failure Distribution Functidiis #oPRothures Failure Density Functions 

صفحه 23:
* توزیع پواسون بعنوان تقریب مناسبی برای محاسبات توزیع دوجمله ای استفاده می شود + اگر در توزیع دوجمله ای تعداد آزمایشها نسبت به تعداد حادثه مورد نظر خیلی بزرگ باشد می توان اين تقریب ارا استفاده کرد 

صفحه 24:
‎Oistdbutica‏ ادنوحممم) ‎Most widely used probability distribution in reliability assessment. ‎Requirements: 5 -Events must be Only applies to the fanaont useful life period of a -Hazard rate must re erat aon ‎8 er 2 ‏عن ۶۵ - 00 لماوعو‎ a ٩ ‎ ‎Mean or Expected value ‏19 1ه ‎E@) ‎۰۶) 5 Mean Time to Failure, 1۳39 ‏ب‎ ‎1.])1(0۲ 2 or ‎ 

صفحه 25:
Exanvple: Cxpoceutial Distibutioa (iad the sec ‏جص اودكا جز موص‎ of 9 coxoproedt whic koro Pakire rate of G Pakires per pear, Cubakte ts rehab, Por dPRereat vesiva even, ej. WD, (DOO, (OOOO hows. MTTF = = 0.5 yrs = 0.5 x 8760 = 4380 hrs R(wR@}=0.997719, R(1000)=0.795877, R(10000)=0.1019 4.0. ao. 6 6 ae. ae. ‎CODD kre‏ 12 سار ‎ ‎ 

صفحه 26:
Failure Probability in a Time Interval - اگر احتمال خرابی از لحظه صفر ارزیابی شود؛ احتمال سلفی ‎probubitit)‏ نبونم) ناميده مى شود - اگر قطعه ای در مدت زمان ۳ سالم بوده باشد ۰ احتمال اينكه در بازه “1 تا ۳+۱ خراب شود به احتمال از کار افتادن خلفی ((,امام۳<) توح و موسوم است. - برای ارزیابی احتمال خلفی» باید شرط سالم بودن قطعه در بازه زمانی (,) را در نظر گرفت 10 

صفحه 27:
Cuture Probubiliy ico Pieve Ietervdl 641 1ع )0 ‎١‏ ل مجو حو و ميوم م ‎Orin‏ © Prin Probebity: ‏ممسحه ركاه بمحصمت بمممميت بلاسو جا نوا لجسا جلت بواجتم‎ 0 مس ما که مرجم و هط | جا دجن ‎Pakire ithe ced Riervdl Lockdly depeads credo‏ | با ما بو ‎bebavior‏ ‏ار ‎to thot‏ بر لد رام ۱ ۳ ارم ما دكا ام ۱ ‎Peg.‏ 4 ‏لو ام‎ to detercice (a posterior) probubliy ‏جا مام" وه واه‎ ‏وه‎ interval | juec thot her survived prior tp thot rier. 

صفحه 28:
© Posteriori Probubiiyy Probability of component failing during t given that it has survived up to T, Q,(t) 3 P(ANB) 1 10 PIB) =p) frat But, 7 vent f(t) = 1 ‘ailure during t (shaded arez "B: surviving up to T (colored a1 10 [reat gar. gan re =—7-— =1 -&"4 priori probability Q(t) a. ‏حبك‎ : 5 1 216 6 جه موه مهن رما اوه و اه با تخاس حصلا جا مره ‎ebb‏ ‏رو با مه ارو ‎cust be used. 66‏ اور اوه وم تون با و 

صفحه 29:
Expourctiad Distibuica Opplicaicas Series Systems Parallel Systems 1 2 1 ‏ی‎ ‎2 ‎R,=RR, ‎=e ht ght R, =R,+R,- RR, ‏ونيم 1 ی‎ ee 

صفحه 30:
* Oost widely used probubiliy distributica ic statistics. ٠ Opplcuble io rebubiliy ussesswed oP ‏موی‎ ia the weor-ut phuse. ٠ Dke Oorwd probubitiy dewsity Puartiod P(x) is perPeviy syowetrical bowl its eect vohue ow. 162 | | I | | نج بل . 5 a an py: location parameter i. Dev (spread about mean) o: scale parameter 20 

صفحه 31:
Probbly ude betwera xl aad xO (okeded ra) = 1 ‏م‎ ‎ee‏ و ‎reo oa?”‏ ‎Let z= (x-p)/o0 ‎2 ‎Then f(z) ae ewe < 0 6 ۰ < 1 ‎ ‎f(s) Po ‎ ‎ ‎ ‎22 ‎Probability ۳0 x 2 5 ‎f(z) ‎Phew ‏ام لوب سای‎ decoy Ketone)!” 3 ‎Broa a table.‏ لاه مه که اون 00و مها ‎ ‎ ‎Doble quer the rei the right oP the wean, =O. ‎ ‎ ‎ 

صفحه 32:
عمجم :مشنموظ) اور Okt is the probubiliy oP eleviric kecops Palko ‏د‎ the Pirst POO burcicy hours, P the: wera IPe is (DOO burciey hours wits o standard deviaios oP COO kours? Ossucve that the Potune ‏او ات و وا میت حول‎ _=1000hr & o = 200hr تسم سس وه - © دع ‘x = 700, z = (700 - 1000) / 200 = -1.5 700 1000 xin hours ۳ z From the Table: . F(z) = 0.4332 forz=1.5 up to 700 hours = 0.5 - 0.4332 = 0.0668 is the probability of failing in the first 700 burning hours. هه 

صفحه 33:
Weibull Distribution No specific characteristic shape, and can be shaped to represent many distributions using different values of shaping parameters, f and a. ۱ Lp تا ‎ailure Density Function, Bee “where, t2 0,6 >0,a>0‏ RO = [f(dt=expt 4") J 8 58 -1- قو 40 ۳ 0-7 هر د نگ ‎=Lexp¢‏ £0 دود ‎a‏ 0 e 2t 2t p=2> f()=Sexpt) = ۸0 ‏چگ‎ ‎a 2 a 

صفحه 34:
or Tre Cawewa Distributios Phe Ropteigh Distributiva Phe Loyaorswdl Distributica Dke Revtoagquar (or OuPore) Distribution