حل معادلات فضای حالت LTI

صفحه 1:
ADVANCED CONTROL Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad Reference: Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999. 

صفحه 2:
e4 State Space Solutions and Realization Topics to be covered include: * Introduction. + Solution of State Equations. * Equivalent State Equations. * Realizations. * Solution of Linear Time-Varying (LTV) Equations. * Equivalence Time-Varying Equations. * Time-Varying Realizations. Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 3:
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید 1:1] ‏حل معادلات فضای حالت سیستمهای‎ * * Solution of LTI state equations * سیستم های همانند با معادل (جبری) ‎Equivalent(algebraic) state equations‏ + هم ارز با معادل حالت صفر * Zero state equivalent ‏شرط وجود پیاده سازی در سیستمهای خطی‎ * + Realizable state equations ‏چند نمونه پیاده سازی‎ * + Some different realization 1:7۷ ‏حل معادلات فضای حالت سیستمهای‎ * + Solution of LTV state equation + Fundamental matrix andstste-tramsition. matriaand 5 their properties 1/1۷ ‏هم ارز یا معادل در سیستمهای‎ * + State Space Representation for LTV Systems 1:1۷ ‏پیاده سازی سیستمهای‎ © + Realization of LTI Systems Dr- Ali Karimpour Qet 201: 

صفحه 4:
Introduction as d: Gp Lal), wl), Ls eae A y(t) — g(w(t), ult), t) ee 110 =A DMD + 8 Lae ‏معادلات قضای حالت سیستمها:‎ ۵ < 020 + 1۵۵ ‏و‎ ‏سس‎ 3 ‏معادلات فضای حالت سیستمهای 1:11 + تا - كذ‎ | ‏قير‎ - 0068+ 48 J ‏آگر شرائط اولیه و وروی مشخص باشد مقکار ()26 و (۷)۷ جند است؟‎ If initial condition and input are defined, then ay y(t) 2 F-Alt Karimpour Oct 3 

صفحه 5:
lecture 4 Solution of LTI state 60081103۲ ‏حل معادلات فضای حالت‎ دع ,| 18۵ 149ظ + ۸۵0 18 در فصول قبل ديديم ‎oe =Aé' =e'A‏ با ضرب معاذله حالت در 45 6 داريم: : 9*98 + )۵ *و- )زو e"D- e“AXD =e"BUD Sex») =e*Buo e* Mr), = fe* Bur)de 7 0 ‏و ایا ( 3 9 + ره‎ 304 - 6" ‏تال حالت ۰ 30(۵۲ 9۳ ] + د"‎ ales 

صفحه 6:
lecture 4 حل معادلات فضای حالت 60081103۲ ‎Solution of LTI state‏ روش دوم باح | د ‎Xf) = AxX1) + But)‏ با تبديل لايلاس ذاري ‎sXs)- x, =AxXs)+ BUS) 0‏ 8:9 :لك -1ى) + ود" لم ‎x(9) =(sI-‏ Convolutior 2300 < + fe Bur) dc integral xf) =e"X + fe Bur) de ‏معادله انتقال حالت‎ Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 7:
lecture 4 Solution of LTI state equatipmy ‏حل معادلات فضای حالت‎ 0 =AXH+ Bu) =x |, =X x(t) Sex + fe Bur) dr روشهاى محاسبه 644 1 7 ار مت فا ۲- یافتن چند جمله ای درجه 12-1: ‎é’ =HA)‏ 2۸-0۵0۱ ۲ استفاده از فرم ور و ‎A’)‏ -7و)):1 - نوم ‏؟- استفاده از تبديل لايلاس معكوس 1 ‎ 

صفحه 8:
lecture 4 Solution of LTI state equatipmy ‏معادلات فضاى حالت‎ ae مقال ۱-۴: سیستم مقابل را در نظر بگیرید. برد ۳ 1 ‎ke‏ ‏مطلوبست ‎X(t)‏ 3 حل: می دانیم xf) =e"x + fe” (۵ A يس ابتدا بايد “© را تعيين نمود. 5+2 ۲ 1بع2 + ی 25+1+ 3 5 1 1 ‎a =r‏ * اس زوم یام -1 5+2 $+25+1 $4+25+1 7 )1+ 366 - ‏“م‎ ‎Pl ote oleae 0+96 - te - f(t- r)e“ ur) dr ANS 1۵ (i de’ ae ‘| f(- (t re ur) dr Dr. AliKarimpour, Oct 201: 

صفحه 9:
lecture 4 Solution of LTI state equatipmy ‏حل معادلات فضای حالت‎ gel 2 ‏مثال ۲-۴: سیستم مقابل را در نظر بگیرید بابرا‎ 0 ۰3 1 ‏مطلویست () با فرض اعمال يله واحب‎ st+2 -1]") ‏بل لا‎ e& =L'((sI- A) =f) =p ‏2+و‎ (s+ 2)(s+3) 0 5+3 0 a eee = 0 e* et et. et x(0) erty Gres een 0 2 ae 00-10 gx [Lx] *S]o ee fla 6% et. gx 0 62, gken | xO = ۲ %(0) +f ۱ = 7 0 6 2.0 en ++} 7 

صفحه 10:
lecture 4 Equivalent state equationyy. iste cle ‏معادلات فضاى‎ عثال ۴ ۲ ان مطلوست مادلات فضای حالت با توجه به مقر هایتعالت ‎patel‏ ‎oils ol‏ مد ‏را ‎ ‎ ‎ 

صفحه 11:
lecture 4 معادلات فضای حالت همانند(معاه 601813001 ‎Equivalent state‏ : Similarityransfowatior ۱ 5 A x=Ax+ bu 2 w= Aw+ bu w=Px 2 y=cx+ du ‏عرص‎ =Pb y=Cw+ du G=cP!, 20 1- It can lead to a simpler system. ‏امکان ساده سازی سیستم‎ -۱ 2- It doesn’t change the eigenvalues. ‏عدم تغییر مقادیر ویژه‎ -۲ 3- Similar transfer function. ‏توابع انتقال یکسان‎ -۳ 4- It doesn’t change observability. ‏۴-عدم تغییر رویت ید بری‎ 5- It doesn’t change controllability. ‏عدم تغییر کنترل پذیری‎ -۵ Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 12:
lecture 4 معادلات فضای حالت همانند(معاه 601813001 ‎Equivalent state‏ عدم تغییر مقادبر ویژه ‎k=Ax+ bu w= Px w= Aw+ bu‏ ‎A=PAP'‏ y=cx+ du 0 I Qo Te 8 d y=Cw+ du 9 0 ۱5۲ 2-0 7 و - |۸۱۴۱ -/۳۶| < |اط جر ۳( ‎(si‏ ‎A)‏ )> 12 تبدیل همانندی مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد Dr: AliKarimpour, Oct 201: 

صفحه 13:
Equivalent state 601813001 ‏معادلات فضای حالت همانند(معاه‎ ‏توابع انتقال یکسان‎ k=Ax+ bu w= Px w= Aw+ bu A=PAP' b=Pb es y=cx+ du ‏نم ۲-۵ ال‎ 008 661-2 + 6 ‏-[ع) ع-‎ 2۸۱ Pb+ d ‏زف -[وط م-‎ ١ ط١ ‏ل بررط‎ =csI- A)'b+d -0)9( تبديل همانتدى تابع انتقال را تغيير نمى دهد 13 Dr: Alt Karimpour Oct 13 

صفحه 14:
lecture 4 Equivalent state equationyy. iste cle ‏معادلات فضاى‎ کاربرد تبدیلات همانندی * یافتن سیستمهای همانند ساده تر فرمهای کانونی. فرم جردن؛ فرم مودال مدرج سازی برای پیاده سازی بهتر 14 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 15:
lecture 4 Equivalent state equationyy. iste cle ‏معادلات فضاى‎ کاربرد تبدیلات همانندی در مدرج سازی ‎+o Wella"‏ 3 ‎x‏ x} | 0 -1 01 مثال ۵2۴: سیستم مقابل را در نظر بگیرید. x ya|02 - 1 ly.x,t]=step(A,b,c d); oe plot(t,x,ty) grid on xlabel(‘Time(sec)' برلى پیاده سازی تماما خارج بازه ۱۰ ( 100 تثیر تبدیل همانددی بر خروجی ۷ 899 تاثير تبديل همانتدى بر حالات > ؟؟؟ 205 ی ,20.26 7 10 2 3 17 a 5 ۳ 

صفحه 16:
lecture 4 Equivalent state equationyy. iste cle ‏معادلات فضاى‎ کاربرد تبدیلات همانندی در مدرج سازی ‎f‏ 7 ‎A=PAP' b=Pb x] +‏ 1 0-0 rt gl 0 + ‘C=C: تمام متفیرها در بازه 1۰2 10 01 0 ۳ te ‏02لبر‎ - ۳ 

صفحه 17:
lecture 4 هم رز حالت صفر تعریف ۴ ا لاك سانا وان زج تابغ انتقال آنها یکسان باشد, ‎ay‏ مقال ۰۳۴ آیامعادله فضای حالت زير همانند هه و 2 معادلات فضای حالت داده شده متادل ات صفر 17 7 ‎ir All Karimpoor Qt‏ 

صفحه 18:
lecture 4 Zero state equivalent ‏هرا لت خر‎ قضبه 1-۴ دو دسته معادلات حالت زیر معادل حالت صفر (دارای تابع انتقال یکسان )هستند اكر و فقط اكر روابط زير برقرار باشد. ‎w-Aw+ bu‏ لاط جزم ديز ‎du‏ ۳-0 1 جزم ديز d=d cAb=cA"h m=0,1, 2... اثبات: دو دسته معادلات حالت فوق دارای توابع انتقال زیر هستند: 5'(ة -[6) +۸(0-0 ‎d+dsI-‏ ‏با استفاده از بسط سری داریم: d+ cbs + cAbs + cAbs' +...=d+ctbs' +cAbs’ + ‏قوقح‎ +.., 18 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 19:
lecture 4 Realization ‏پیاده سازی‎ oe sit se‘ This transformation ‏توصیف ورودی-خروجی‎ x= Axt Bu es Seen y=Cx+ Eu is unique 609-667 ۸۱8+ 2 معادلات فضای حالت ‎Realization‏ توصیف ورودی-خروجی ‎ileal 5) ae 1 x= Ax+ Bu‏ ‎is transformation‏ ‎GS =Osh A B+ E255 not unique eG Bu‏ ‏گنه مهم برای 1 0 ای امکان محاسبه توصيف فهای حالتی وجول ذارة؟ ‎19 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 20:
lecture 4 پیاده سازی ‎Realization‏ ‏قضیه ۲-۴: ماتریس انتقال (8)رریت) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر (2)5) ماتریس گویای مناسب eats ‏اثبات: واضح است که برای اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد.‎ ‎chy ges G(s)‏ 5 بارس اتقال (د) ۵ فابل باده ساری ماتریس انتقال (2)5) قابل پیاده سازی مسا (2)5) ماتریس گویای مناسب ‎Besa ‏به اتبات قسمت اول می‎ lal x=Ax+ Bu y=Cx+ Du fe ‏پس تابع انتقال برابر است با‎ ‏:0 و و مش تقلگقم-وبو مه نموه ‎ist A ‏چون (2)5) قابل پیاده سازی است لذا معادلات فضای حالت مقابل وجود دارد ‎ ‎20 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: ‎ ‎ 

صفحه 21:
lecture 4 پیاده سازی ‎Realization‏ قضیه ۲-۴: ماتریس انتقال (8)رریت) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر (2)5) ماتریس گویای مناسب حال طرف دوم قضبه را بات می کنم ماتریس انتقال (2)5) قابل پياده سازی سا ۰ (2)8) ماتریس گویای مناسب (2)5) ماتربس گویای مناسب است لذا داریم: |2۷ +ی 2۷ +.. .+ :وآ + ‎G,(s) ae ag vl NS"‏ + (6)0 < (د)6 در رابطه فوق: به جه .+ 0 ۶ )0 حال ادعا می کتیم معادلات فضای حالت سیستم عبارتنت از 1 لب - ‎al, -ad, ..- al,‏ 0 0 0 1 0)9-....-ط7 +2۸ -[ي)0 0 0 ۶ 9 احد 9 ,0 لا سس 0 0 yaN Nw. ‏تمه بدا‎ Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 22:
lecture 4 پیاده سازی ‎Realization‏ قضیه ۲-۴: ماتریس انتقال (8)رریت) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر (2)5) ماتریس گویای مناسب با حال ام مي که ماداب فضای حالت سل عبا مت از sal, at, ‏يله - يليه - مس‎ 37 1 Os 0, 0, ‎C(sI- A)’ B+ D=...=G(s)‏ سوات)| ,0 .م6 ب م/م 00 احير ‎LL 0, 0,‏ . 0 ,۵ ‎ ‎7 2 (sI- A)’ B= Z Bz=(sI- A) 7 Zz 7 ‏ور - 2ه -- ود ‎ 

صفحه 23:
lecture 4 پیاده سازی ‎Realization‏ قضیه ۲-۴: ماتریس انتقال (8)رریت) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر (2)5) ماتریس گویای مناسب باس 1 بلبه - بليه بأبه - لب - حال ادعا مى كنيم معادلات فضای حالت سیستم عبارتست از و | و ‎Lo.‏ ‎|x+folu C(sI- A)’ B+ D=...=GAs)‏ ۵ .م ب م 0 عیز لل 0 ‎ ‎re‏ ل د اراك ‎Rie as 2 :‏ - [< 52 ی ‎gi‏ ‏سد رةه ‎se‏ بت ‎ey‏ ‎ae” 2 a tag)‏ 2 ‎7 ‎C(sI- A) B+ Glo) = 2 + D= a5 Ns" + Ns? +..+ N]+ Ole) 2 23 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 24:
lecture 4 پیاده سازی ‎Realization‏ 1 05 4s- 10 3 1 | 921 ‏را بدست آورید | چبو‎ ieee ie cleans oF ‏عثال‎ ‎69 1 5+1 (2s+1)(s+2) ‏*(5+2ى)‎ ‎4s- 10 3 -12 3 - 2s+1 5+2 | _|2 0) 2s+1 5+2 082 3 5+1 ‏و‎ a* 1 stl Qs+D+2) (ry QsrD+2) (+2) aol? 9, 1 64672 Xs+2(s405) “0 0 *F+45s+6sr2| 0Ks+2) (s+ 1(s+05) 20 1 1۳ 75],,[- 24 3] ‏عيب 0 وه‎ 0 00 8 2 De: Alt Karimpour Oct 201: 

صفحه 25:
lecture 4 پیاده سازی ‎Realization‏ ‎As- 10 3 5‏ مثال ۶-۴: معادلات فضای حالتی سیستم مقابل را بدست آورید. 3 وه و 3 ‎(s+2)°‏ (2 +ع)(25+1) ‎2 0 0 0 ‏1 ‏|65+2+ 456+ ى ‎as = -6 1 eee 0 ‎0 1 05 15 1 08| ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1 05 15) 1 0 ‎ ‏و و | 4 -:75 24 : 3 6 ‎De: Alt Karimpour ‏عن‎ 201: 

صفحه 26:
lecture 4 Realization ‏پیاده سازی‎ ۷ ‏9)ز‎ <009۷9 26۲9 *: [)5( <0)۵( )8( < 6 ‏بقا(4), + ۰۰۰+ بنا(ک)رت) + با(8)‎ KI =G(JU5) =y,(9)+ V,( +۰۰۰ 7 )9( Slo allele V=Vt WAG | +] 4 ‏ره‎ 4 يها ۳۹ x + 

صفحه 27:
lecture 4 پیاده سازی Realization 4s- 10 3 مثال 0-7 معادلات قصاى حالنى سيسكم مقابل را بدست آوريد! 5 251 دوه 3 or 6,)9<( ‏1ب‎ ‎(+2) ‎0 1 [%s+2) GAD =|) *Syased| st ‘jo. 1 8 G.9=\9 ‏ایب‎ 1 I} 3 ‏به‎ ‎0 De: Alt Karimpour Oct 201: 1 (2s+1(s+2) (s+2) 4s- 10 ol gaa ‏واه‎ 1 5710672 fa 1 |-6s+2) ‏اتمججومج* م<209‎ 0s 1 1 6-1 9,802 ‏اب‎ ol*| asl -25 -1 (1 1 ‏ا**|ه‎ ‎-6 -12 2 0 05/**]05 

صفحه 28:
lecture 4 پیاده سازی ‎Realization‏ ‎4s- 10 3‏ مثال ۷-۴: معادلات فضای حالتی سیستم مقابل را بدست آورید. 52 ‎ast‏ دوه ‎(s+2)‏ (2 +ی)(25+1) ‏ستون اول: 1 1- 25 - ۱ ‎ ‎ ‎1 0|* ‎1 ee oe ol ‎ ‎۳ ‎ ‎De: Alt Karimpour Oct 201: 

صفحه 29:
lecture 4 Solution of LTV state equatigy ‏حل معادلات فضای حالت‎ در این بخش هدف حل معادلات مقابل است. 0 + 24200 كذ ۵۷۵ + 0610 - ۵)ر ابتدا قسمت همگن را حل می کتیم: 223 ‎Xf)‏ تعریف ۲-۴(ماتریس اساسی): با فرض اینکه ۸ دارای ابعاد ۵< است ‏ شرط اولیه مستقل (م) رل ۰ (و) لا و .- (من)یلا در نظر ميگيريم. فرض کنید ۰ () را ‎KQ(t)‏ و ... (]) ين پاسخ سیستم به شرایط اولیه انتخاب شده است در اینصورت ماتریس اساسی بصورت زیر تعریف می شود. ۶,۵۱ ۰ ۵ )2۶ 2۵ 29 Dr Ali Karimpour Qet 201: 

صفحه 30:
حل معادلات فضای حالت 60۵10۳۷ عقاو ‎Solution of LTV‏ مثال ۸-۴: ماتریس اساسی سیستم مقابل را بدست آورید. 0 0] مس ‎x(t)‏ مع |- ‎Xi)‏ شرایط اولیه مستقل بصورت مقابل در نظر گرفته می شهد. 1 +] 2 “lose ‏دود‎ + 1 1 1 05۶6 052+2 ویو << - 0 شرایط اولیه مستقل همچنین می توائد بصورت مقابل در نظر گرفته می شود. 1 1 عم - 500 و 0 

صفحه 31:
lecture 4 حل معادلات فضای حالت ‎Solution of LTV state equatigy‏ نکته : ماتریس اساسی (أ)26 در معادله همگن زیر صدق می کند: 100 2208 يس داریم: 0 22 )2 لم ۱-۴: ماتریس اساسی ‎X(t)‏ به ازای تمام زمانها غیر منفرد است. Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 32:
lecture 4 Solution of LTV state equatigy ‏حل معادلات فضای حالت‎ تعریف ۳-۴(ماتریس گذار حالت): فرض کنید (أ)20 هر ماتریس اساسی معادله همگن زیر باشد: xX) = AO xX(0) ‏در اینصورت ماتریس گذار حالث بصورت زیر تعریف میشود:‎ O(6 6) =X(DX'(t) Vg allan Is St eels ONS UE ‏ماتريس‎ 0 = 0 2) ( 2۸09) (6,4) =I Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 33:
lecture 4 حل معادلات فضای حالت 60۵10۳۷ عقاو ‎Solution of LTV‏ هال 2612 ب كار كانت ميسكم هقايل را يداست ‎ie gh‏ 0 0 ‎J‏ تريس كذار سیستم مقابل را ور ‎MO‏ و = در مثال قبل ماتریین اساسی سیستم ‎aS ale‏ ‎X() = ۵‏ |2 + 0.56 ‎|[O25+1 - 05 0‏ 1 ‎asl 5 )60- ۳ 6 i‏ غ025 - 2۱۱ +058 ‎lose‏ -8200- 5۹ و براى ماتريس ‎ll‏ بعدى ‎O‏ 1 = )۶ 1 0.56 ‎ot ۱ ۰ 1‏ 0 1 1 دعوو 4 | ‎ion i. ose‏ |= (۸) 2۵۱ - ( )0 

صفحه 34:
Property of state transition matuix Jus! gle ‏خواص‎ 

صفحه 35:
lecture 4 Solution of LTV state equatigy ‏حل معادلات فضای حالت‎ در این بخش هدف حل معادلات مقابل بود. ‎HO) =A Dx) + HOU)‏ 2 + 301 )2 - )ل ادعا مى كنيم جواب دستكاه فوق عبارتست از: ‎MO =O(E 6) + [ O(tr) Brule) dr‏ ‎=O(LENx + ] O(E,7) rule) dr)‏ برای اثبات ادعای فوق ابتدا باید نشان دهیم معادله فوق شرط اولیه را ارضا می کند: ‎Mi) =O(t,6)x + f b(6r)Ar)uc)dr =x,‏ و همچنین باید رابطه داده شده در معادله بالا صادق باشد: ‎DOU)‏ + 2( كرتم ‎MO)‏ ‏يس خروجى عبارتست ازه 9لا )2 + ع0 (عكنة(8 (سبااطة ] 0)9 + 3( :0)0)1- ۶۵ ‘Dr’ AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 36:
lecture 4 Solution of LTV state equatigy ‏حل معادلات فضای حالت‎ در این بخش هدف حل معادلات مقابل بود. ‎HO =A H+ BUD)‏ ‎KD =COxMD + Dut)‏ ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق عبارتست از: ۳(۷(۲( 0۳ | + بد() )2 2 ‎O(E,7) rule) dr)‏ [ ۳ پس خروجی عبارتست از: ‎EX + C(O ] (Er) Hr )ulr ar + DHA)‏ )0۵۳ < قار پاسخ ورودی صفر عبار تست از: - كا د( 20۵6 ۲۵ پاسخ حالت صفر عبارتست از: HO) =C() f, P(é7) Dru) de + Dus) WO = {(C(H@(t7) Br) + D(Hd(t- r)) ur) dr Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 37:
lecture 4 Solution of LTV state equatigy ‏حل معادلات فضای حالت‎ در اين بخش هدف حل معادلات مقابل بود. (6) (1 + 2۸۵ (2101 ۲ + 2 < الل ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق عبارتست از: ‎x0) =0(66)X + (67) Br)ur) de‏ ‎=O(t tx + ] b(4,7) Ar)ulr) de)‏ پس خروجی عبارتست از: VO) 0۵) (+ 0۵ ] &(tr) Ar)ur)ar + ‏هه‎ ‎eee ee ‏باسح حالس‎ Wb =f (C(Ho(t7) Br) + D(H0 (t- 7) utc) dr MO =f, Gtr) ur) de ‏قبلا دیدیم:‎ Gtr) 20])۲((+ ۵۵) ۲( 006 (1) Br) + ۵۵ ) z) impowr|/Oet 201: 

صفحه 38:
lecture 4 Equivalent state equation for LTV systems 1:1۷ ‏معادلات فضای خالت همانند در سیستم‎ ۰ ‏سیب مه ممع انهه لتسزة‎ 2 x=Ax+ bu Ss w= Aw+ bu w=Px a y=cx+ du A=PAP! b=Pb y=cw+ du ‏مخ‎ . ۵-0 خواص مهم: عدم تغییر مقادبر ویژه و توابع انتقال یکسان اما در قورد سیستمهای 11۷ دارلم: ‎wt Kou‏ ۷۷-2۵ ا ‎x=ADx+ Abu‏ ‎y=A)x+ du w-P(t)x y=Ct) w+ du‏ 1 ...2405 0< 0 ,ظ) لمح 18 افا عا خواص مهم: عدم تغییر پاسخ ضربه 38 impour Qet 201: 

صفحه 39:
lecture 4 Equivalent state equation for LTV systems 1:1۷ ‏معادلات فضای خالت همانند در سیستم‎ x=A()x+ du Similarit#TV transfoxtion w= 2۵ we Adu ‎jean} 2‏ ‎w=P(t)x y=) w+ du‏ 8 +۶۵ قضیه ۲-۴: فرض ‎A, ons‏ ماتریس ثابت دلخواه باشد در اینصورت در رابطه بالا تبدیل (تا) را بگونه ای 20-۸ اثههاتقان انتخات نمود كه ‎x=AHx+ HHu_ Similanirvtranstontior iy ‏نا( ل جين بر‎ = 1 y=a)x+ du w=P(t)x y=) w+ du ‎J Fundumeitaatrix | Fundumentaatrix 2600 Wb =e ۲۷۲ 2۵ 2۳000 Pit) 29) 248 ‏دی‎ =A 39 

صفحه 40:
lecture 4 Equivalent state equation for LTV systems 1:1۷ ‏معادلات فضای خالت همانند در سیستم‎ در حالت خاص در قضیه قبل با فرض 0 > مل داريم 

صفحه 41:
Equivalent state equation for LTV systems eae 1:1۷ ‏معادلات فضای خالت همانند در سیستم‎ ‏نط +عر )۸ -ز‎ Similarit¥TV transfoxtion w= A ۵ ‏جر‎ Adu => 0 ‏دير‎ 0) + 0) 1 ۷ ۶۵۵۲ 0۵1۲ تعریف ۴-۴(تبدیل لیاپانوفی): ماتریس (:1) تبدیل لیاپانوفی نامیده می شود اگر ۱- (با) ۳ غیر منفره باشد. ؟- ‎P’(t) 5 P(t)‏ پیوسته باشد. wd Just pls ly P(t), P(t) -y 41 ‘Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 42:
Equivalent state equation for LTV systems eae 1:1۷ ‏معادلات فضای خالت همانند در سیستم‎ عثال 5 ال برا سيستم مقیل تبدیل بای یبد که ۳ * ‎+o Az‏ ۳ ‎il] 200 -4 - i 0‏ ابر ‎x‏ ‏و سیستم جدید را نمايش دهید. آیا تبدیل بدست آمده لیاپانوفی است؟ تبدیل همانندی مورد نظر عبارتست از: ۰)۵ ۳ - ۵ نز ‎Je 0 4‏ 601 ‏تبدیل بدست آمده لیاپانوفی نیست. = ‏تبدیل ب مده لیاپانوفی نب ‎PO= an 5 ۳ 7 al‏ ‎٩ 9‏ دهد ‏4-0 (ه ود 20۵-402۵ او و ۳ ۳۵۵ - 0 ‎Dr- Ali Karimpour, Oct 201: 

صفحه 43:
lecture 4 tealization for LTV systems |TV ‏ناذه أسارى اسستميائ‎ ياسخ ضربه «مناحصه‌تعصه ول" معادلات فضاى حالت ‎ae ae 6‏ 1 )8 + 1-۸۵ (0)02)01:)2(18- (6)12 5 1 ‎is unique‏ 2 ( )۵0 + با( +2( )0 دير معادلات فضای حالت ‎Realization‏ پاسخ ضربه ‎Oa nie transformation ۱‏ رگ ‎Y=C()x+ Du‏ عتونصت غمص وذ (2 -1) 1008 + ‎oleae mes a cl» ings aS‏ امكان محاسبة توصيف فضاى جالتي وجوه دارة؟ ‎43 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 44:
lecture 4 tealization for LTV systems LTV ‏يستمياى‎ ale قضیه ۴-۴: ماتریس پاسخ ضربه (۲,)مبری) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر بتوان (2),۲) را بصورت 3 (۰ )120۵ +2۳2 (عاه6 . ‏إست كه براى اثيات بايد هر دو طرف قضيه را انبات كرد.‎ eae ۱( -)86)ط + دمل ق)للة- (من )0 جا ماتريس باسخ ضربه و قيلي 000 J Gtr) = MAD Nc) * DOSE fi) Saal isa Ech dale es aL, سازی آبتدا به آثبات قسمت اول می پرتازی چون پاسخ ضربه (۲رنأ)3) قابل پیاده سازی است لذا معادلات فضای حالت مقابل وجود دارد x=A()x+ Bou ‏اا‎ is y=C()x+ Du i Gltr) =CH®(tr) Br) + ‏)لآ‎ )6- 1) =.......2 =M().Nr)+ 1۵۵ 2 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 45:
lecture 4 tealization for LTV systems LTV ‏يستمياى‎ ale قضیه ۴-۴: ماتریس پاسخ ضربه (۲,)ربم3) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر بتوان ‎GET)‏ را بصورت زیر ‎tr)‏ )۱۵۵ + ( ۱۵ ()6 بیان نمود. حال به اثبات قسمت دوم می پردازيم: ماتریس پاسخ ضربه (0)1,۳ قابل پیاده ست (۲ )۵۵ + (۷ 21۵ ‎G(r)‏ سازی اعا می کنیم معادلات فضای حالت سیستم مقابل عبارتست از 0 )1 )۵۵ 200۵0۲ (راا6 = ور بر : اديز ‎O =M(HINr) + Dt) (t- 1)‏ = 0 ‎Y=M(hx+ Du =MONc)+ ۱۵) ۰(‏ Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 46:
lecture 4 tealization for LTV systems |TV ‏ناذه أسارى اسستميائ‎ مثال ۱۲-۴ ياسخ ضربه '167> (6])1 را در نظر بكيريد. در صورت امكان يك يياده سازى ارق لجل بو ري پیاده سازی 1:11: ۵ا< 90 1 ا ‎X+‏ 00 اد 1 1 ‎Ney Ss see ۱‏ ‎ix‏ مدير پیاده سازی ۷ 1,1 ‎es‏ م ‎keg ae x Oe -‏ 0 0 0 5 اه هو ‎télx‏ خن بر 9 

صفحه 47:
lecture 4 تمرینها ‎Exercises‏ ‏۰ 1 7 1 0 تمرین ۱-۴ معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید: ‎ox‏ 0 2 1 مطلوبست پاسخ سیستم به شرط اولیه 0 تمرین ۲-۴: مطلوبست پاسخ پله واحد سیستم مقابل به پله واحد(شرط اولیه صفر است) ا 5 ‎x:‏ ‏02 ‎ya2 2‏ تمرین ۳-۴: مطلوبست فرم کائونی و فرم مودال سیستم مقابل: ‎he‏ 01 007 ,22 ‎x=} 1 0 1/x+lolu‏ ‎Oar aleatt‏ ‎yal -1 Ox 7‏ ‘Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 48:
lecture 4 تمرینها ‎Exercises‏ ‏تمرین ۴-۴: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید: ‎Peo ety‏ 0 +1 0 1 اعز 1 0 ‎Ox‏ 1- 1 بدیل همانندی ای بیابید که دامنه متغیرهای حالت با خروجی یکسان باشد. اگر به ورودی پله با دامنه ۸ اعمال شود مقدار 8 را بگونه ای تنظیم کنید که کلیه حالات و خروجی در بازه 2۱۰ باشد. تمرين ۵-۴ معادله حالات مقابل را در نظر بگیرید آیا اين دو معادله حالت همانتد هستند؟ آيا هم ارز حالت صفر هستند. 48 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 49:
lecture 4 تمرینها ‎Exercises‏ ‏تمرین ۶-۴: پیاده سازی ماتریس انتقال مقابل را بیابید 3 -25 2 ‎Gs = = (s+ a 2)‏ 2 - ‎stl St a‏ تمرین ۷-۴ پیاده سازی ماتریس انتقال مقابل را از طریق یافتن معادله حالت برای هر ستون و الحاق آنها را بیابید: 95-3 2 ‎Gs =| 5+ 1 (s+1)(s+ 2)‏ 5 5-2 ‎st+1 5+2‏ Dr- Ali Karimpour, Oct 201: 

صفحه 50:
lecture 4 Exercises ‏تمرینها‎ تمرین ۸-۴: ماتریس اساسی و ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل را بيابید: 7 1 5( تمرين 9-7 عاتريس اساسى واماار دن الكقال حالت سيستم مقايل را بيانية تمرین ؟-١1:‏ ماتريس اساسى و ماتريس انتقال حالت سيستم مقابل را بيابيد: ی 0 يي ‎-co‏ 0 ]7 تمرین ۱۱-۴: یک سيستم غير متغیر با زمان برای سیستم مقابل بیاپید: oa x ee 50 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 51:
lecture 4 Exercises ‏تمرینها‎ تمرین ۱۲-۴ در صورت امکان یک پیاده سازی 1,11 و یک ‎slp LTV coils cals‏ سیستم مقابل بیابید. ‎gd =te‏ تمرین ۱۳-۴ در صورت امکان یک پیاده سازی 1,11 و یک پیاده سازی ۷ 1.1 برای سیستم مقابل بیابید. 1 0 وه ( “6 )لصذه- (9)17 تمرین ۱۴-۴ برای ماتریس ايه ©اية إعك ((0) ريه + (ع) رع )] طوده- ‎deth(t t)‏ تمرین ۱۵-۴ نشان دهيد كه *64:)268 > (]2])1 جواب معادله ‎Cul pj‏ X =AX+ XB X(0)=C 1 

صفحه 52:
lecture 4 Exercises ‏تمرینها‎ ‎4 (6) ®,(tt) ‏تمرین ۱۶-۴ فرض كنيد‎ ‏ا ار‎ os {se ta SAGs eaten elle fas ask, x= x 0 AW تشان دهید کد: ‎forallt andt,‏ 6¢)=0(,,© ‎(G/o8@,(6£) =A®, (64) fori=12‏ تمرین ۱۷-۴:نشان دهید که جواب معادله 6) - ۸6 - 4 2) <- 8 6)0(** و همجقق مقادیر ویژه ()5 از ) مستقل است. ‎Oe‏ 0 0 عبارفست از" 

صفحه 53:
Answers to selected problems cos+ sit 2 ‏جوت‎ ‎cost- si جواب ۲-۴ xD = 0 =5e'sint fort=0 ‏جواب ۵-۴: همانند نیستند ولی هم ارز حالت صفر هستند.‎ :۶-۴ ‏جواب‎ <3) ENO, Soe 1 0 2 ey 

صفحه 54:
lecture 4 to selected problems