رابطه های فازی

صفحه 1:
فصل ع: رابطه‌های فازی v ‏مروری بر رابطه‌های معمولی‎ ‏رابطه‌های هم‌ارزی‎ ‎L,Y‏ ترتیب ”رايط هاي نار روابط فازی دوبعدی و بعضی انواع خاص آنها ”بعضى رابطههاى خاص ‏”تحديدهاى فازى 

صفحه 2:
مروری بر رابطه‌های معمولی تعریف ۱: فرض کنید ۸< 1 حاصلضرب دکارتی دو مجموعه ۸ و 3 باشد یعنی AxB=| (aD; ac A, be B هر زیرمجموعه ۲ از ۱۸ 8 یک رابطه بین ۸ و ظ تعریف می‌کند و اصطلاحاً گوييم رابطه دو بعدی 8 بر ۱۸ ظ تعریف شده است. مثال ۱: فرض کنید ۸2۳-۹ و رابطه * بر ۱8 1 به صورت زیر تعریف شود اكد عوج ۱ در لين صورت تمام زوج مرتبهاى حقيقى ‎ear Af (KY)‏ مولفههايشان بنج شود, و فقط لين زوج مرتبهاء در *1 قرار ارند. :46 > 2,9 و اصطلاحاً كوييم دوبا سه رابطه 1 را داردء كه در اينجا يعنى جمع لين دو عدد. بنج ید 

صفحه 3:
رابطه‌های هم‌ارزی تعریف ۲: رابطه * تعریف شده بر ۱۸ ۸ را یک رابطه هم ارزی گوییم اگر به ازاه هر و و از ۸ داشته باشیم؛ ‎ladeR ,‏ ویژگی بازتابی ‎(aDe R= (baeR +‏ ویژگی تقارن ‎(aD , (bde R= (adeR +‏ ویزگیانتقالی (تاگذری) مثال ۲: ‎ASR j51‏ آنگاه رابطه "برایری" یک رابطه همارزی در ۱# 18 است. زیرا اولاً هر عدد از *1 با خودش برابر است. ثانيأ اكر »ما ‎ath ley‏ بدیهی است که لإجا * برابر است و ثالثا از بابری‌های 17 و 72 نتيجه مىشود كه 26-2 

صفحه 4:
رابطه ترتیب اه 10 را تیف شده بر 3۸ ۸ یک رابطه ترتیب (تاهی: ترتیب کی یا خنطی) گویم ارهز هر و و > از ۸ داشته باشیم: ls Sip (hdeER, (aBeR , ‏ویژکی پادتقارن‎ (aDeR,(bdecR>a=b , ‏ویزگیانتقای (تاگذری)‎ (aD ,(hdeR= (adeR , اكر بجاى ويزكى كليت» ويزكى بازتابى قرار دهيم؛ رابطه +1 را يك رابطه ترقيب جوفى مىناميم. با ترتيب جزئى ممكن است نتوانيم بعضى از اعضاء ‏ را با هم مقايسه كنيم. مثال 6: فرض كنيد +1 در لين صورت رابطه "كوجكتر یا مساوی" یک رابطه ترتيب است و البته يك ترتيب جزثی هم می‌باشد. 

صفحه 5:
رابطه‌های فازی تعریف ۱: یک رابطه فازی «عدی 8 در 26 به‌صورت یک مجموعه فازی از 26 تعریفه می‌شوده یعنی: R= i Mal Ho te) Og). %:) که در آن تیم عصویت ۰ در حالت خاص دو بعدی به عنوان یک رابطه 1 در ۱96 ۷ داریم: ۲ ‏با رای‎ 10/6 9 (x ug x) (x We XXxY 

صفحه 6:
تعریف ۲: فرش کند 1 یکره فزیدو دی در ۳2632 6 بصورت ‎R=\(xy),Hxy) ; (x We XxY,‏ باشد. آنكاه تصوير 8 بر 6< و تصوير 8 بر 2۷ رابطه‌های فازی یک بعدی یعنی زیرمجموعه‌های فازی از > و از به‌صورت زیر خواهند بود: ]۷ »)> (رید) ۲ | 3 ‎X| ={[ xmaxetx‏ رع آزوجع- هر ‎(x pelx,v}‏ ا | اهطبر (|= ¥ ‎R? =Proj R;‏ وارون تصویر توسعه استوانه اى كفته مى شود 

صفحه 7:
مثال ۵: مجموعه های گسسته زیر را در نظر ‎ee‏ ۴ بیانگر را ‎ey‏ ۱ ‎Y= Yi Vas Va Yur Yoo Yo)‏ < 5 06 1 08 04 02 01 ۵ 08 09 08 04 72۱02 2 04 08 1 09 05 - 2 زر ازور - اهر الذرود ) ,(0.9 ود ),(2,جد) | - 2 رع إزمعم- 2هر ‎(%.0.5),(54,0.9),(54,D,( %4,0.9), ( ,D, ( 5%,0.0))‏ | ال لا ۱ 1 ۵ 1 09 1 09 05 ‎CHR’)=|09 09 09 09 09 09‏ 06 1 09 1 09 205 رن ال ا ۱۳۱ ۱۱ 06 1 109 09 05 

صفحه 8:
رابطه‌های فازی دو بعدی و بعضی انواع خاص آنها تعریف ۱: فرض کنید 1 یک رابطه فازی در ۷۱8 باشد. قلمرو 8 و برد 1 رابه ترتیب با (00۳0)18 و (۲812)1 نشان داده و به صورت مجموعه‌های فازی زیر تعریف می‌کنیم: (dom ( oS =supH y) vxe X (anR (x ‏نرم امك‎ ۷:2 ۲ 1 تعریف ۲: فرض کنید 1 یک رابطه فازی ۷۱8 باشد. معکوس رابطه فارع 16 بر 2698 با تابع عضویت , 1 »۷ در ۳ - 9 رز )جر زیر تعریه می‌شود تعریف ۳: فرض کنید یک رابطه فازی لا .و 5 يك رابطه فازى در 28 2 باشد. آنگاه ترکیب لو 5 یعنی 65 یک رابطه در ۱86 2 است که بصورت زیر تعریفد مى شود (FOS 2 =maxminRx y), Ly; 2)| 

صفحه 9:
مثال ۷: فرض کنید لح رح مرح رصح وا او 5 و رابطه های فازی دو بعدی 8 بر 25۷ و 5 بر 2۰ < ۷ بصورت ماتریس های زیر تعریف شدند: 1 08 6 0.5 03 01 0 R=|0.9 04 05), S=\08 0.6 01 0 0 03 03 0.9 0.7 05 2 در اینصورت 1160 یک رابطه فازی دو بعدی روی .2 26 با ماتریس رابطه زیر خواهد بود: 2 0.5 0.6 08 FOS=|0.5 0.5 0.5 2 03 03 03 2 

صفحه 10:
تعریف : فرض کنید ۳ یک رابطه فازی در ۱9 26 باشد. آنگاه گوییم KMRL KEK ys esha) ابا «متقارن نت وبري ك2 63 لديل < ( بدا (یعنی معکوس ‏ با خود .1 برابر باشد.) (ج) * انتقالى (تراكفر) انت. ‎RORER‏ + انتقالى بودن رابطه + به بيان روشنتر يعنى ‎Ax y=maxmin| Axa, Az yl‏ رعهد عت هر ج),2 بد" 

صفحه 11:
قضیه ۱: ‎١‏ کرد باتبی و یک رابطه فزی دلخوله بشد ناه 05 , 05 و ۲ اگر *بازتیی باشده ‎AS POR GS‏ ‎Ro Rs ar‏ بازتایی ‎ROR p55 on,‏ نیز بازتابی است. ‎ROR 5 oy yi, ROR ۴‏ الي ‎HOR‏ قضیه ۲: اکر 8 متقارن و انتقلیباشد.آناه ری" ( 6 > (ز 7۳۰۰24 > ۶ ۲ اگز بازتابى و انتقالى ‎FOR=Ry gi oy‏ 5 ‎ROR=BOR, oy, sy ROR gy a‏ نع 0 ‎٩‏ نیز انتقالی است. 

صفحه 12:
رابطه‌های هم‌ارزی قضیه ۳: فرض کنید 8 و 5و 1 و لا رابطه‌های فازی دوتیی به‌ترتیب در ۷۱۷ و 2 و لا ۷۷ باشند. آنگاه عمل ترکیب دارای ویژگی‌های زیر است: ‎ROSOT) =(RO SOT ۰‏ ویژگی شرکت پذیری ۰ (17 730 ال ۵ 20۵ (1دا 35 . ویوگی توزیع پذیری نسبت به اجتماع ‎٠‏ (203 )ل 6 0)> (0)67ز کب و ضعيف نسسیت اه اشترای 0۵7 2 5 ۳۵ ‎SST=‏ ‏0 ویژگی یکنوایی ‏تعریف ۵: فرض ‎dla], GR sus‏ فازی در ۱8 ۴ باشد كوييم (لف) 1 ادبازتابی است. ار بای مر ل ‎٠:‏ 20 1 , (ب) 1 پادمتقارن است. اكر برلى ك2 7 2 ‎BAY‏ ‏تدز الع ( داك جن 20 ۵ رز ۳ < فر داز ‏ج) + كاملا بادمتقارن است. اکر برای ‎SVEN,‏ ي م[ عوعة و 0 < الل بقعم 0- ورين 

صفحه 13:
بعضی رابطه‌های خاص تعريف1: كوييم رابطه فازی 5. تعریف شده بر 26۱8 یک رابطه تشایهی ات. اگر 5 انتقالی باشد. بی و متقارن و تعر یف ۷: اگر 5 یک رابطه تشابهی باشد"(8* 5 ( 5 یک رایمه تاونسایهی اه می‌شود ثابت بعري ا ايعى ‎wane‏ رابطه يادتشابهى می‌شو می‌شود که در اين صورت 32 بادبازتابى. متقارن و انتقالی است. * توجه: (1()26,17 را می‌توان به عنوان یک تابع فاصله درنظر گرفت. قضیه ع: اگر 5 یک رابطه تشایهی در ۱86 26 باشده آنگاه هر ۵-برش 5۰ 5۰ یک رابطه هم‌ارزی در 26 است. و بالمکس. 

صفحه 14:
تحدیدهای فازی (5 ...)دي ‎FEM XH‏ پاشر. یک تعریف ۱: فرض کنید ‎as Lo en eee‏ تحدید فازی ( 0۷ یک رابطه فازی 3 بر است که به صورت یک محدودیت منعطف بر مقادیری از 26 که می‌تواند به متغییر ۷ نسبت داده شود» عمل می‌کند. تعریف ۲: ‎Ay,...,v,)‏ را (تفکیک پذیر) کویيم ای ۰۰۷۷ 24۵ (, ...را تحدید فازی -بعدى 5 ۳۱۳۳۲۲ ا ‏اس‎ pee tex lad تس ‎Axx..xx)= in Proj R, X,|(x)|‏ تعریف ۲: گویيم متفیرهای 8 ‎Ave seas We‏ غيرمؤثر بر هواند اگر تحدید 8. تفكيك بذير باشد. مفهوم مؤثر بودن و غيرمؤثر بودن دنبالهاى از متغيرها. مشابه مفاهیم وابستگی و استقلال در خالتى است كه جنبه تصادفى و احتمالى متقيرها بررسى شود 

صفحه 15:
مثال ۷: فرض کنید (3 ,2 ,6241و (4 ,3 ر2 ,1) 62 باشد. دو تحدید فازی بر 82 را بر 62 261 بصورت زیر در نظر بگیرید: 8 |08 08 08 06 8 |08 06 04 02 ‎R=lo6 o8 1 1/1‏ 1/1 8 06 204 1 1 )1 1 08 06 1 |08 1 08 06 08 0.6 1 1 08 06 1 1 ‏فکیکپ ذیر لست‌پیرا‎ Gelb tyre ‏کق‎ Ro labo ‏فكيكيذير‎ fof § ye ts Ri ‎Ri(2,1) = 0.4 # min{1, 0.6} = 0.6‏ مثال ۸: فرض کنید< 22۷ دو تحدید معمولی با ,یا )65( ‎RXR‏ بصورت زیر باشد: ‎R,= {@y); 1sx=3,2 sy =4} , R= {(xy); (x-2)? + (y-3)?‏ }1< در رابطه (تحديد) ,15 تغييرات * بر تغييرات لا موثر نيست ولى در ,18 تغييرات 5 و لا برهم موثرند به عبارت ديكر داریم: ‎1۲ - 82 ۱ ۷ 1 ۱ ۳ ‏دا چا از‎ x Rv) 

فصل :4رابطه‌هاي فازي ‏مروری بر رابطه‌های معمولی ‏رابطه‌های هم‌ارزی ‏رابطه ترتیب ‏رابطه‌های فازی ‏روابط فازی دوبعدی و بعضی انواع خاص آنها ‏بعضی رابطه‌های خاص ‏تحدیدهای فازی مروری بر رابطه‌های معمولی تعریف :1فرض کنید B ×Aحاصلضرب دکارتی دو مجموعه Aو Bباشد یعنی ‏AB  a,b ; a  A , b B  هر زیرمجموعه Rاز ،B ×Aیک رابطه بین Aو Bتعریف می‌کند و اصطالحًا گوییم رابطه دو بعدی Rبر B ×A تعریف شده است. مثال :1فرض کنید A=B=Rو رابطه Rبر R ×Rبه صورت زیر تعریف شود ‏R  x, y R R ; x  y 5  در این صورت تمام زوج مرتب‌های حقیقی ( )x,yکه جمع مولفه‌هایشان پنج ش??ود ،و فق??ط این زوج مرتب‌ها ،در R قرار دارند .مثًال2,3 R می‌شود. و اصطالحًا گوییم دو با سه رابطه Rرا دارد ،که در اینجا یعنی جم??ع این دو ع??دد ،پنج رابطه‌های هم‌ارزی تعریف :2رابطه Rتعریف شده بر A ×Aرا یک رابطه هم ارزی گوییم اگر به ازاء هر aو bو cاز Aداشته باشیم: .1 .2 .3 ‏a, a R ‏a,b R  b, a R ‏a,b , b, c R  a, c R ویژگی بازتابی ویژگی تقارن ویژگی انتقالی (تراگذری) مثال :2اگر ،A=Rآنگاه رابطه ”برابری“ یک رابطه هم‌ارزی در R ×Rاست .زیرا اوًال هر ع??دد از Rبا خ??ودش برابر است .ثانیًا اگر xبا yبرابر باشد ،بدیهی است که yبا xبراب??ر اس??ت و ثالث??ًا از برابری‌های x=yو ،y=z نتیجه می‌شود که .x=z رابطه ترتیب رابطه Rرا تعریف شده بر ،A ×Aیک رابطه ترتیب (گاهی :ترتیب کّلی یا خّطی) گوییم اگر به ازاء هر aو bو cاز Aداشته باشیم: .1 .2 .3 a,b Rیا b, a R ‏a,b R , b, a R  a b ‏a,b , b, c R  a, c R ویژگی کلّیت ویژگی پادتقارن ویژگی انتقالی (تراگذری) اگر بجای ویژگی کلیت ،ویژگی بازتابی قرار دهیم ،رابطه Rرا یک رابطه ترتیب جزئی می‌نامیم. با ترتیب جزئی ممکن است نتوانیم بعضی از اعضاء Aرا با هم مقایسه کنیم. مثال :4فرض کنید . A=Rدر این صورت رابطه ”کوچکتر یا مساوی“ یک رابطه ترتیب است و البت??ه ی??ک ترتیب جزئی هم می‌باشد. رابطه‌های فازی تعریف :1یک رابطه فازی ٌ nبعدی Rدر Xبه‌صورت یک مجموعه فازی از Xتعریف می‌شود ،یعنی: ‏ R x1 , ..., xn  x1 , ..., xn  ‏R  ‏x1 ...xn که در آن  Rتابع عضویت Rاست. در حالت خاص دو بعدی به عنوان یک رابطه Rدر Y×Xداریم: ‏R XY  R x, y x, y ‏x, y,  R x, y| x, y X Y تعریف :2فرض کنید Rیک رابطه فازی دو ٌبعدی در X  X1 X2بصورت ‏R x, y, Rx, y ; x, y X Y باشد .آنگاه تصویر Rبر Xو تصویر Rبر ،Yرابطه‌های فازی یک بعدی یعنی زیرمجموعه‌های فازی از Xو از Y به‌صورت زیر خواهند بود: ‏R1 ProjR ; X   x, maxRx, y ; x, y X ,Y  ‏y ‏ ‏ ‏ ‏R2 ProjR ; Y   y, maxRx, y ; x, y X ,Y  ‏x ‏ ‏ ‏ وارون تصویر ‌،توسعه استوانه ای گفته می شود. . بیانگر رابطه ای روی آنها استR مجموعه های گسسته زیر را در نظر گرفته بطوریکه:5 مثال X x1, x2, x3, Y  y1, y2, y3, y4, y5, y6  0.1 0.2 0.4 0.8 1 0.6 R  0.2 0.4 0.8 0.9 0.8 0.6  0.5 0.9 1 0.8 0.4 0.2 R1 ProjR ; X   x1,1, x2,0.9, x3,1 R2 ProjR ; Y   y1,0.5, y2,0.9, y3,1, y4,0.9, y5,1, y6,0.6  0.5 0.9 1 0.9 1 0.6 CE(R(2) )  0.5 0.9 1 0.9 1 0.6  0.5 0.9 1 0.9 1 0.6  1 1 1 1 1 1 CE(R(1) )  0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9  1 1 1 1 1 1  رابطه‌های فازی دو بعدی و بعضی انواع خاص آنها تعریف :1فرض کنید Rیک رابطه فازی در Y×Xباشد .قلمرو Rو بFFرد Rرا ب???ه ترتیب با ) dom(Rو ) ran(Rنشان داده و به صورت مجموعه‌های فازی زیر تعریف می‌کنیم: ‏domRx supRx, y ‏x X ‏y ‏x Y تعریف :2فرض کنید زیر تعریف می‌شود ‏ranRx supRx, y ‏x 1 فازیR Rیک رابطه فازی Y×Xباشد .معکوس ،Rرابطه ‏x X , y Y بر ،X×Yبا تابع عضویت ‏R 1y, x Rx, y تعریف :3فرض کنید Rیک رابطه فازی Y×Xو Sیک رابطه فازی در Z ×Yباشد .آنگاه ترکیب Rو ‌Sیع???نی ROSیک رابطه در Z ×Xاست که بصورت زیر تعریف می‌شود ‏RS(x, z) max ‏minR(x, y),S( y, z) ‏y مثال :6فرض کنید ‏X x1, x2, x3, Y  y1, y2, y3, Z z1, z2, z3, z4 و رابطه های فازی دو بعدی Rبر X×Yو Sبر Y×Zبصورت ماتریس های زیر تعریف شدند: ‏ 1 0.8 0.6 ‏ 0.5 0.3 0.1 0  ‏R  0.9 0.4 0.5 , S  0.8 0.6 0.1 0  ‏ 0 0.3 0.3 ‏ 0.9 0.7 0.5 0.2 در اینصورت ROSیک رابطه فازی دو بعدی روی X×Zبا ماتریس رابطه زیر خواهد بود: 0.2 0.2 0.2 0.5 0.6 0.5 0.5 0.3 0.3 ‏ 0.8 ‏RS  0.5 ‏ 0.3 تعریف :4فرض کنید Rیک رابطه فازی در X×Xباشد ،آنگاه گوییم (الف) Rبازتابی است ،اگر برای هرx X (ب) Rمتقارن است ،اگر برای هرx, y X ‏Rx, x 1 ‏Rx, y Ry, x (یعنی معکوس Rبا خود Rبرابر باشد). (ج) Rانتقالی (تراگذر) است ،اگر R OR  R * انتقالی بودن رابطه Rبه بیان روشن‌تر یعنی ‏(x, z),(z, y)  X X ; Rx, y maxmin Rx, z , Rz, y ‏z قضیه:1 .1اگر R1بازتابی و R2یک رابطه فازی دلخواه باشد ،انگاه ‏R2  R2OR1 .2اگر Rبازتابی باشد ،آنگاه . R1  ROR .3اگر R1و R2بازتابی باشند ،آنگاه R1 O R2نیز بازتابی است. .4اگر R1و R2متقارن باشند ،آنگاه R1 O R2نیز متقارن است به شرطی که. R1 O R2 R2 O R1 , قضیه:2 ‏R2  R2OR2 .1اگر Rمتقارن و انتقالی باشد ،آنگاه برای )x, y X  R(x, y) R(x, x .2اگر Rبازتابی و انتقالی باشد ،آنگاه . ROR R .3اگر R1و R2انتقالی باشند و ، R1 O R2 R2 O R2آنگاه R1 O R2نیز انتقالی است. رابطه‌های هم‌ارزی قضیه :3فرض کنید Rو Sو Tو Uرابطه‌های ف??ازی دوت??ایی به‌ترتیب در Y×Xو Z ×Yو W ×Zباش??ند. آنگاه عمل ترکیب دارای ویژگی‌های زیر است: • • • • ‏R OS O T  R O SOT ‏R OS T  R O SR O T  ‏R OS T   R O SR O T  ‏S  T  R O S  R OT ویژگی شرکت پذیری ویژگی توزیع پذیری نسبت به اجتماع ویژگی توزیع پذیری ضعیف نسبت به اشتراک ویژگی یکنوایی تعریف :5فرض کنید Rیک رابطه فازی در X×Xباشد ،گوییم (الف) Rپادبازتابی است ،اگر برای هر. Rx, x 0 ، x X (ب) Rپادمتقارن است ،اگر برای هر x, y  Xکه، x  y ‏Rx, y Ry, x 0 or Rx, y  Ry, x (ج) Rکامًال پادمتقارن است ،اگر برای هر x, y  Xکه x  yو Rx, y  0آنگاهR(y,x)=0. بعضی رابطه‌های خاص تعریف :6گوییم رابطه فازی ،Sتعریف شده بر ،X×Xیک رابطه تشابهی ات ،اگر SبازتFFابی و متقFFارن و انتقالی باشد. تعریف :7اگر Sیک رابطه تشابهی باشدَ ( S =Dمتمم )Sیک رابطه پادتشابهی نامیده می‌شود .ثابت می‌شود که در این صورت ،Dپادبازتابی ،متقارن و انتقالی است. * توجه D(x,y) :را می‌توان به عنوان یک تابع فاصله درنظر گرفت. قضیه:4 اگر Sیک رابطه تشابهی در X×Xباشد ،آنگاه هر -αبرش S ، Sαیک رابطه هم‌ارزی در Xاست .و بالعکس. تحدیدهای فازی تعریف :1فــرض کنید V v1 , , vn  متغیری -nبع??دی تعری??ف ش??ده ب??رX  X1  Xnباش??د .ی??ک تحدید فازی ) ،R(Vیک رابطه فازی Rبر Xاست که به صورت یک محدودیت منعطف بر مق??ادیری از Xک??ه می‌تواند به متغییر Vنسبت داده شود ،عمل می‌کند. تعریف:2 تحدید فازی -nبعدی Rv1 , , vn را (تفکیک پذیر) گوییم اگر، Rv1 , , vn  Rv1 R vn  که در آن × عالمــت ضرب دکــارتی است و Rvi بیانگر تصویر Rبر X iاست .به عبـارت دیگر Rج??دایی پ??ذیر است اگر ‏Rx1  xn min ProjR , Xi  xi   ‏i 1, , n تعریف :3گوییم متغیــرهای v1 , , vnتحت تحدید Rv1 , , vn غیرمؤثر بر هم‌اند اگر تحــدید ،R تفکیک پذیر باشد .مفهوم مؤثر بودن و غیرمؤثر بودِن دنباله‌ای از متغیرها ،مشابه مفاهیم وابستگی و استقالل در حـالتی است که جنبه تصادفی و احتمالی متغیرها بررسی شود. مثال :7فرض کنید } X1={1, 2, 3و } X2={1, 2, 3, 4باشد .دو تحدید فازی R1و R2را بر X1×X2بصورت زیر در نظر بگیرید: 0.8 0.8 0.8 0.8 1 1 1  1 0.8 1 0.8 1 0.8 0.6 ‏ 0.6 ‏R2  0.6 ‏ 0.6 0.4 0.6 0.8 0.8 1 1 0.8 1 1 1 0.6 0.8 1 0.8 0.8 ‏ 0.2 ‏R1  0.4 ‏ 0.6 0.6 R1یک تحدید فازی تفکیک پذیر نیست اما R2یک تحدید فازی تفکیک پذیر است .زیرا 1 1 ‏R1(2,1) = 0.4 ≠ min{1, 0.6} = 0.6 مثال :8فرض کنید X=Y=Rدو تحدید معمولی R2, R1روی R×Rبصورت زیر باشد: ‏R1= {(x,y); 1≤x ≤3 , 2 ≤y ≤4} , R2= {(x,y); (x-2)2 + (y-3)2 }≤1 در رابطه (تحدید) R1تغییرات ‌xبر تغییرات yموثر نیست ولی در ‌R2تغییرات xو ‌yبرهم موثرند به عبارت دیگر داریم: