روش عناصر محدود غیرخطی II

صفحه 1:


صفحه 2:
Procedures II red 

صفحه 3:


صفحه 4:
000 با لحاظ نمودن فرض های مذکور ل ات ا ا 0 

صفحه 5:
۱- مقدمه کوچک بودن تغییر مکان ها در تعیین ماتریس سختی ۸ زیر وارد شده است: Cc”. Bd کلیه انتگرال ها ر ۳ ۲ ماتریس کرنش-تغیبرمکان 0 امم ار جات ۳ ۳ ص ‎ese‏ در كا يو رس اد وه ا 0 ا ا ا به عتوان ‎al i‏ و سیستم تنها ‎nae J CST pr eeany Bee pene Snr eee ES Snr POW Dee peer eT bet‏ 

صفحه 6:
‎-١‏ مقدمه ‏رده بندی تحلیل غیرخطی که مورد بحث قرار خواهد گرفت به قرار زیر است: ‏سم ‎(e) Change in boundary condition at displacement A ‎ ‎00 nn Peers orn strain ‏رف دعتاه زود‎ ey (UL) ‏اننا‎ ‏كذ معنقه )عي مفاههنز ‏لت ‎(often is linear) 

صفحه 7:
۲ دریک تحلیل واقعی. لازم ا کدام رده از ‎os‏ 

صفحه 8:


صفحه 9:
و از جایگذاری مقادیر داد شده در شکل ۶۰۱ ۰ یج زیر حاصل می‌شوند اج ۰۰*4 ۳۰ <کوچک‌اند, از اینرو خطی‌های مصالح ty ‏كد يع 2 يما ما 1001 هس‎ Sen phe sus ‏پاسیک می‌شود. از جاک ار بان مقدارتی‌رسد رک ب: کل( ۶,۱ ۳ ينفش تددر‎ ‏سرتاسر تاشچ پاسخ انجاهی بقیمی مد‎ () در هنگام بر برداری هر دو پخش به طور ارتجاهی عمل می‌کنند. میم ‎ne‏ ‏باس ساب دهم شل (ت) لسع نام 5 

صفحه 10:
ا م ا ‎SI aCe leery‏ ل ا erent Sere eaer 0 ار م ا ا ‎ol‏ ار بيان كرد: ‎tp ag‏ - چا ل اا بردار نيروهاى نقاط كرهى خارجى بر 3 جسم در بافتار مربوط كن با مشخص نمودن تنش های کنونی توت ات یی ۱0۳ تنش هاى اوليه 

صفحه 11:
و ار ل در هندسه تغييرشكل يافته كنونى ‎earns)‏ م۵۶( ‎apy ee‏ را تمامی 5 غیرخطی بیان می کند. ۱" اگر تحلیل غیرخطی برای یک ‎of oil Sev:‏ تا حل شده و از 2-5 عبارت دیگر با یک تحلیل تک گامی ‎Analysis)‏ ی ‎BN eV chee cdi ae lS ee eae)‏ (1]22112-0162612061728) باشد. در ابن صورت ۱ ۱۳0 زمان مورد نظر از - ‎ache‏ حل شده و ارضا كردد. بنابراين در ابن صورت با يك ‎(Step by Step Incremental Solution} elf 4 plF (5905 Jd‏ 4>130 

صفحه 12:
ا لك ‎CL oe‏ رف جواب در زمان ‎١‏ معلوم است. بس مى توان نوشت: ‎at ee‏ ا ۱ ‎Or Ge, [0‏ هااز زمان 1-9 + است. بردار ا را مى توان با استفاده از با شرايط هندسى و مصالح در 0 U St ‏تاا‎ age 1 DEE hy yorpecerd Ht cee ipa Ce ibe ener] Peel fee ‏است.‎ 0 ae reve) ‏كرهى عنصر:‎ 

صفحه 13:
۳- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی ‎ee‏ لي ا ل ‎BR | Fee‏ می توانق را محاسبه كرد و لذا تقريبى به بردار تغييرمكان در زمان :1 431+ را مى نوان به صورت زير ‎at EY ‏لاك‎ ‏يرمكان هابى هستند ‎ ‎ ‎ ‏اا ا لد ‎cence‏ ا ۱ ‎۲ ee corre wer ‏ار‎ ‎Yaoi‏ در مورد نحوه تعيين | جع به تفصیل وبا جزئیات مربوط بحث خواهیم نمود. ‎ ‏یبی به تغییرمکان. های واقعی در زمان 

صفحه 14:
۳ ۳ ere Tse ere] ee ‏توجهى باشند و‎ ‏مر‎ ‎emt ad‏ ل ‎SSNS‏ تکرار در داخل هر گام با) استفاده اينكه جواب هایی با دقت کافی حاصل شوند. 

صفحه 15:
۳- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی EINES eer pron trta (coc to Col ‏م‎ Cane nea ۲ ۳ ‏غيرخطى عناصر محدود مورد استفاده قرار مى كيرند. بر اساس‎ ‏نيوتن -رافسون (عناوتسطاء»1 «دمعطمه1-د060) استوارند”‎ ‎tp ۲ ۳ 1‏ - ور ۱۵ - رز تکنیک نیوتن -رافسون در واقع ‎SRR een‏ را ‎EAE ~ “U4 U ‏استفاده در دو قسمت است: ‎et See ee ee oe‏ ل ل تغييرمكان كلى جديدى ‎J ETeol Tesi ak Clo ce) a‏ ی ‎USTs‏ ‏و زر تغييرمكان هاى كلى كنونى معلوم یت وق +ع دمع 126م115) به جاى تغييرمكان ها در زمان ) تكرار نمود. 

صفحه 16:
۳- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی معادلات مورد استفادة در روش لكرارق 011 ان" - ۱۸۳۵ ‎rear (0) = ty‏ با شرایط اولیه ‏5 8 2+۵ 8 4 توجه۱: درف ‎Ts‏ 5 7 - ۰0 ۳ ‏در مى آيند. ‎ ‎ ‏ا ا ا ۱ )0 ‎CURED pt bere Som ACHAT SOIC ‏ا ل‎ eee) ‏مورد استفاده قرار می گیرند.‎ 0 

صفحه 17:
''- روش بنيادى در نحليل غيرخطى بردار بار خارج از د Sy gone) ‏در تغيير مكان‎ 0 ‏نيروهاى خارج‎ (8ج ۵۶+ د رعق ۸ (م)م ۵+ - Slope ***K™ Slope *"K = 4 AUG) Aur ‎Displac‏ 7 رنه 

صفحه 18:
روش‌ب‌نیادیدر تحلیل‌غیر خطی3 مراحل عملياتى روش ‎ey ORS ad‏ ‎iE ATO ein mao‏ (KK AUP SOR IE 

صفحه 19:
با توجه به هز ابل توج 9 ۱ 5 hee ieee Oe at oh Cal eet ete tect ner) pete Eee] SPS Ngee ies ia) Sek ee ony RAY Crit BNC ROe er Teo Ct Ca در روش ‎Sead‏ ‎epee Seer‏ ی ی 

صفحه 20:
or ee Ie) ene eal )جع - جع ‎ttdtp _ ttdtp(o)‏ pitty ةجقعرج)2(‎ Slope "KO = °K 4t77 Displacement 

صفحه 21:
or ee Ie) ene eal ‏مراحل عملياتى روش‎ ‏تكرارى نيوتن - رافسون‎ 0000 (0)جر ۳۳۵۶ - چر ت۳۵ (1) لخ ع 2۳ ‏اج 2+2 = (1)زز۵‎ op KAU = ep — ep) 

صفحه 22:
ا ا ا ی ۱ معيار همكرابى سفت (218ع]021) ‎pati a OCS fr (Col‏ 

صفحه 23:
رد زد هقاس یی مرا ج ی ‎Au® = 2.2 x 107 em‏ ص 10-2 ‎(m2) 2a = 2WY + aw? = 1.5533 x‏ ‎x 107 <6,‏ 1.5533 = ود ‎x 10> > «,‏ 3.1066 جوز ‎x‏ 1.5533 ‎x 10¢N‏ 20111 رد ‎(CK, + 1K) Au?! = R= 23RD)‏ ‎Au = 1.4521 x 10°? em‏ sR US ULES ATC ps bed Slices Bu (em) 7 14521 x 107 1.6985 x 1077 95832 > 10-4 1.7988 x 10-7 63249 > 10-4 1.8576 x 10°? 4.1744 > 10-4 1.8998 x 10-7 27551 x 10-* 1.9269 x 10° بعد از هقت تكرار: داريم: tu =u = 1,9269 x 10-2 em 

صفحه 24:
؟- فرمول بندى عمومى ت 0 برای استخراج معادلات غیرخطی عناصر مح مؤثر استفاده شود جامع ترین و مژثرترین روش»,روش سازگار مب ‎uum- § Mechanics-based)‏ ‎Rowe) sy xer-Cel ty‏ به عبارت ديكر لازم است 5 ‎ny Continuum Mechanics Equations)‏ و ات یت ات تال و ‎lee tS ase tee BoE)‏ ره 

صفحه 25:
‎rede eel eo Saal‏ و سح ‏ا ‎٩ ele CP CONT Oey‏ شده براى تحليل خطى عناصر محدود خواهد بود: ‎ ‎ ‎Internal virtual External virtual work Rt work ‎[era f ۲۳ ۷ + [Ov eas + 2 UTR ‎| Stresses in equilibrium with applied loads Virtual strains corresponding to virtual displacements 0 ‏جسم مى باشند. ذنبال خواهي كر 

صفحه 26:
aioe ‏برای ایجاد فرمول بندی؛‎ Cree 951 تاصتخم ‏دستگاه‎ ‎۱ neae Se Peer on) ‏از خود‎ Pre) ال ل ا ا ‎BS Co Neen‏ 000 ۱ ‎hy nee‏ م ل ل ل زمان مى باشد. 5 

صفحه 27:
۴- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پوس ‎AE erence‏ Configuration corresponding to variation in displacement Su ae ود" ۱ Configuration at time t+at Surface area **4S Volume oy Configuration at time ۶ Surface area ‘S Volume *v. PU x, Oa, xa) Configuration at time Q Surface area °S Volume °v. 2 رات ریز ‎t= Oxi + fue‏ ‎9x, 8x, 884) cm Oxi + fay‏ 0۳پ رب پر ‎Fogg‏ ‎Uy‏ جرا وراه 

صفحه 28:
؟- فرمول بندى ی و و هس ا نكته (: از آنجليى كه در تحليل. تمامى ذرات (8372]10165) جسم ‎Dy) Py‏ حرکتشان از بافتار ا 0 نسبت به يى دستكاه مختصات ثلبت دنبال مى كنيم, از كن رو در ولفغ يك فرمول بندی لاگرانژی (صمناعابص۴0 صعنوصه :وق را انخاذ نموده آیم. ‎acd‏ ا ‎een Deon ose‏ ید و 10 0117 ‎ee Sate Ce ee ee‏ ا ا ل ل ا د ‎ONT OR tts‏ 111111 ‏نكته ع: لازم به ذكر است كه در تحليل رت و ا ا ا ا 01 حال طبيعى.تر نسب تبه فرمول بندى اولرى عى باشد.به عنوان مثال :با استفادة ازيى فرمول بندى اولرى براى تحلیل یک مسئله سازه ای‌با تغییر مکان های گ. حجم ‎orl LS aM coal ell ee nat eh)‏ 2 ۱ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 29:
see eect Gone een RCO Sas ‏ب) بیان مساله اصلی‎ با توجه به استفاده از نماد گذاری تانسوری در ایجاد فرمول بندی عمومی تحلیل غبرخعلی عناصر محدود. در بل ب» چ مود 1 357 ار در دستگاه مختصات دکارتی و در فضای سه بعدی با بردارهای ‏ ‎i es‏ (بردار يك تانسور از مرتبه اول مى باشد. ۱ 

صفحه 30:
ل ا اا ار 0 و چم دنمان تدرا با استفاده از اصل تغييرمكان مجازى زعاط ‎yey Sete‏ لهنااوزلا 6ه ‎a certs‏ كنيم Sea ons teat ۲ج ره س ویر ‎fone‏ 

صفحه 31:
Fees yen seu ay ere eS ‏؟-‎ ‏ب) بیان مساله اصلی‎ اصل تغييرمكان هاى مجازى: يي ا ی[ (تكتاعسدمعن ل0عتتدمقوع0 عغطغ دز موعمر ‎soa Serine‏ ‎applied surface tractions per -‏ ‎POs toe‏ 29 1 ل ui, evaluated on the surface '"™S, (the ‏باق‎ components are zero at and corresponding to the UT) prescribed displacements on the surface ‘+,) racy 

صفحه 32:
۴- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پوس پ) بیان ۱۳۳ ار ٩ ‏ره‎ ‏وه‎ ۲- رابطه مذکور همانند تحلیل تغییرمکان های بیثهلیت کوچک خطی است. ‎a‏ ‏ی ‎Pee es) t+At gle} 9 omnes‏ نيروها در كن زمان) مورد استفاده قرارعى كيرد. لازمبه ذكر ست كه رايط م ا ا ار 00 های تمامی بارهای سطحی را شامل می‌شوند 0 Peasy cn ee er Cyr rea g a ‏مجازى اعمال شده مى باشند. مشابه مؤلفه هاى‎ ) ‏باشند ولى مشتقات نسبت به مختصات كنونى در زمان‎ 

صفحه 33:
۴- فرمول بندی عمومی. ۳ 2 7 محاسبه تنش های ماج 1 ۳ 1 مولفه های تانسور تنش 0200107 ‎spc eet‏ اه ۷ ه- به دليل تغيير بافتار جسم بيوسته در ب ِ ‎ge 4 wh SF‏ یسیو ‎Re Cen ee aoe) 

صفحه 34:
007 ‏ا‎ eater BUY eee eee ada ‏ب) بيان مساله اصلى‎ serail, ۳۹ tee ec ‏های بزرگ حائز اهميت | ی مواجه هستیم.‎ در ذيل به برخى نكات م 3 ما ۱ ee ‏تغییر مکان ها‎ -۵ (Tensor N ogee Eee ere imogi gly —Y pie ۱ ‏ی و‎ ۲ ‏ربل _ تغییرمکان در زمان‎ Up, Us مروف , رشب 00000000 ‎t+At‏ 

صفحه 35:
0 ‏ا‎ eee Lada ‏ب) بيان مساله اصلى‎ Boa Ie Ne eS ec ‏ا ا‎ lt elt oe al a ae ‏ييوسته تغيير مى كتند. بنابر ادن 0019م‎ 6 ا ا بافتار تعادل معلوم ال ل ‎ree reeks)‏ اي م ا ا ار ا ‎Co‏ ‎ed‏ ل اف 

صفحه 36:
Fees yen seu ay ere eS ‏؟-‎ ‏ب) بیان مساله اصلی‎ ٩ ‏ره ی‎ Sect eer a) OORT Bei TEC ‏ا‎ ee mrees ‏انیس پایین سمت جب نشانكر زمان مربوط به بافتارى است كه مختصات نسبت يه‎ SIE 

صفحه 37:
؟- فرمول بندى عمومى تحليل غير خطى ‎ea pems| eee (aad‏ 0 1 ‎raee‏ اه ‎a!‏ ا م 0 م ۳ : ‎ ‏مواجهه نمود. ‎0 eco) ‏کمکی تنش و کرنش‎ ‎ ‎aha‏ آگر هدف. یافتن یک روش حل عناصر محدود عمومی و موثر با صورت ‎nt rainy‏ 000 دارند كه بايد در نظر كرفته شوند. ‎el aD aR ale Sie eT saree ies‏ ۲ ی ی 

صفحه 38:
۴- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ‎(Deformation Gradient) (ss 255 bol 5 a 5 (\-‏ تعریف گرادیان تغیبرشکل دوران هایی (1801۵11085) می باشند که تارهای مصالح (۳۱96۲5 ۳1۵۲6۵۳۵1 از زمان eS ate cee te Se ‏ارات‎ 5 ۱ OCS) Mt hae ba ee SAB ‏طول‎ 

صفحه 39:
EXAMPLE 6.5: Consider the general motion of the body in Fig. 6.2 and establish that the mass density of the body changes as a function of the determinant of the deformation gradient, م det (6X) Any infinitesimal volume of material at time 0 can be represented using (see Fig. E6.5) Timeo 5 Figure ‏65ظ‎ Infinivesimal volumes at times O and 1 

صفحه 40:
0 0 1 مه | ]ع هه موه | ۱| اه بوه | 0| ماه 1 0 0 and OV = ds; ds: dss ‘Using (6.22), we have after deformation, ‏رال‎ < 0 5: > 3 where we note that of course the same deformation gradient applies to all material fibers of that infinitesimal volume, and we obtain a¥ = @% X ‏جک ۰ (م‎ = (det §X) dsy dep dos = det 6x ۲ But if we assume that no mass is lost during the deformation, we have pad = paw لسن 

صفحه 41:
۱ ‏ل‎ femme Ses (ee CS Oe Ge Cl lake iy conpere len pom ۱ ‏ل ار‎ tod) ات 6 فرض كنيد كه 097 طول ديفرانسيلى تار مادى در زمان ‎٠‏ باشد. در اين صورت با استقا مشتق كيرى زنجيره اى. اين طول ديفرانسيلى در زمان ) به صورت زير بدست مى 1 

صفحه 42:
“Thickness = tem Density at t= 016% 81 2 La 4 049) — (1+ M(H) = (1 = MD + (= ‏[للالضة‎ Pe 4 Cee oa 2) + x) 2-1 a (i+ © ‏ا‎ 1 

صفحه 43:
؟- فرمول بندى عمومى تحليل غير خطى محيط بيوشتة پ-۲) تانسورهای تغییرشکل راست و چپ ۲66۵ ۵۱ با استفاده از تعريف كراديان تغيير شكلء تانسور تغيير شكل راست و جب ا را به صورت زیر تعریف می نماییم: 6300-6۵68 ‏تانسور تغییرشکل راست‎ (Right Cauchy-Green Deformation) tr tyT t (oruto erect) Ome ‏اد‎ ‎(Left Cauchy-Green Deformation) pCtawer gr ppc ence) | Cron ‏ا‎ 52 ree Ir ‏ا ال ا‎ agg Cen peee ha) (i) poms | Maas Ce LD eS oe eee Seed ey ee CT ‏ا مال ا ا ا ل ل‎ 5 

صفحه 44:
EXAMPLE 6.7: The stretch ‘A of a line element of a general body in motion is defined as ‘a = dis/d°s, where d°s and d’s are the original and current lengths of the line element as shown in Fig, E6.7. Prove that Oxy, tg Ox, by Figure E6.7/ Stretch and rotation of line elements, 

صفحه 45:
«> 0 0 ‘where °n is @ vector of the direction cosines of the Tine element at time 0. Also, prove that considering two line elements emanating from the same material point, the angle @ between the Tine elements at time tis given by ‏و‎ ‎wh ‎‘where the hat denotes the second line element (see Fig. E6.7). ‘As an example, apply the formulas in (a) and (b) to evaluate the stretches of the specific line elements ‏وگ‎ and ‏ول‎ shown in Fig. E6.6 and evaluate also the angular distortion between them, To prove (@), we recognize that Gs ‏جه تاه د‎ dix = IX dt so that using (6.27), (a's) = dx" 6C dx 0s 0 Hence, we have ‘To prove (b) we use (2.50) d'x! d'& = (d's)(d'3) cos 0 ‎IK aR‏ و ‎cone ae)‏ نت ‎© ‎Since 4X = 4X (it is the deformation gradient at the location of the differential tine elements), wwe obtain from (), ‎ ‎ 

صفحه 46:
۱ Sete ee Ree RCE Cac Sore ‏ل‎ ane PIU e epee der tC LCs ani iCal ‏ا‎ ‎gtr erg‏ ات اد را ‎ ‎ ‏۲ ماتریس متعامد 8 که متناظر با یک دوران است ‎٩ by-tety uy lol is (Dip c Ope Sgr UNO Ogee Cs‏ ‎eK Oka ry Clg Rey Cer Sper Cnn nee EPC EU‏ این صورت تفسیر کرد ‎POE yn Pearcy een ee occas [Pes epee eae can Caepeee rs‏ ‏ا ا لد ةا تذ_ ‎cer 7 el‏ رك لاير000 ل سا ‎eal‏ ‏براى سهولت در نمادكذارى در مباحث بعدى. از انديس هاى بالا و بايين ) و ‎٠‏ استفاده نخواهيم كرد ولى همواره به طور ضمنى دلالت بر اتن ها خواهيم داشت ‎۱۳۲ ۰ ‏لام‎ = X=RU 

صفحه 47:
؟- فرمول بندى عمومى تحليل غير خطى محيط بيوستة ب ل ل ا را ۱ اثبات تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل تانسور تغییرشکل راست () ۵۱۵610۷-6۲66 را در مجورهای مختصات اصلی اش نمايش مى دهيم. ‎OE Ses re te Ce‏ 9 جواب کامل آن عبارت است از: ‎Cp = Ap)‏ RC] ٩ 1) ere Ont on Deby) ۰ ppg ‏م‎ y c= PCP y ee eee TCA ٩ een o-powe ayer niee] he ROSpee nel ad «cu! (Principle Coordinate Axes ) ۰ Soy a eee ey ag RS ts ‏سنن‎ SCS NEC a ۱ 9 ‏نمايش كراديان تغيير ر این دستگاه مختصا‎ 

صفحه 48:


صفحه 49:
؟- فرمول بندى عمومى تحليل غير خطى محيط بيوستة پ-۲) تجزبه قطبی گرادیان ‎(Polar Decomposition) jx‏ 

صفحه 50:
۴- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوا و و را به همان طريق بيشين كه براى لكلا ابت كرديم؛ مى توان نشان ذاد 25 2۷۲ ۲ ۱ ‎one eal eee‏ سس نا را ما تریس‌ک‌شامد رلستمیپامیم ‎(Right Stretch Matrix) (Left Stretch Matrix)‏ ‎Gre iors 2 To eee Fes eopsee eae ne ae genes 5 5 ‏ل للم‎ ‎ ‎ ‎ ‏تجزيه طيفى ماتريس, كشامد جب ‎0 ‎a (tenmipeepee eerie)‏ ۱ |استاهاى ايبن/كثبا ۳ | كند ‎Br ۳ Co‏ ی این/کنباظر ر واقع بيانكر بردارهاى بابه كما ما ]لز ‎SESS a eee‏ ‎ 

صفحه 51:
۴- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوا ب-5) ماتريس هاى كشامد راست و جب اكنون مى وان تانسورهاى كرنشى را كه در تحليل عناصر محدود حائز سح تعریف نمود. 0 اا 3 به صورت زير تعريف مى شود: [pCa 2] any رت شاد در تعلق با ورد نمی شود و از اينارو تانسور کرنش مذکور مستقل از حرکات صلب جسمی ذرات ٩۰ ‏ا م‎ Me PCaepeneT be = 5 [GR ‏هزه يقن) زهجم‎ — I] = 5 (QUSU 1 

صفحه 52:
؟- فرمول بندى عمومى تحليل غير خطى محيط بيو و و را “Canchy-Green een peee Sp yee) (eeere Sed ep 11 Gs Ce pects epee peasy ered] ee ‏به صورت‎ 2 ‏ناخ 11087ن)‎ - 1 مؤلفه های ا م ا ا ل ل 0 نوشت. روابط زير را قبلا ارائه داده ايم: ox OX همچنین داریم: 

صفحه 53:
؟- فرمول بندى عمومى تحليل غير خطى محيط بيو ۱ a) 0% 0x, + gus, 

صفحه 54:
۴- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب-5) ماتريس هاى كشامد راست و جب بنابراین در حالت کلی ا ی مشتقات ‎eee eure)‏ لل ‎e brits C ym ecu gett‏ ۰ ‎ENE PRON es rts ate tits ee eCany ene eee Cea‏ 0 تعریف می شود. ۱ ان لك 0 ا ل ا ا 0 مؤلفه هاى تانسور كرنش ©1.2018206 -65662 در زمان ؛ به صورت زير مشخص مى شوند؟ ا ا است كه متناظر با دستكاه مختصات تابك 9 

صفحه 55:
۴- فرمول بندی عمومی تحلیل غیر خطی محبط ب-5) ماتريس هاى كشامد راست و جب فرض مى كنيم كه مصالح از زمان ؛ نا زمان 46+] تحت اثر يك دورآن ظَزَبا ا 0 ." 0 00 peaiel een ren ee rere wee cs ناوردابی تانسور کرنش 6۲66-1207876 درمثئا ‎a‏ جهار كرهى را درنظ قرار گرفته و سپس از زمان جسمی قرار می گیرد: ‏+ بدون اعوجاج. ‎ 

صفحه 56:
‎ceca Sedan‏ و ‎eee at eee len O mere)‏ ‎ ‎ ‎2 ۹ 00 ‏ا م م ا ا ل ل‎ eeT SD) ‏و ا‎ ‎3 3 ‏]رو‎ 0۸۵ ۱۱2 ۰۵ bX = RU ۳ 1۳ ۱ | ۱ ‎3 3/ 17 ‏نا‎ le o ito 1. 01 ‎ ‎52 ‎ ‏زير نیز ‎(romney‏ ‎ 

صفحه 57:
(006 تداس اضر 

صفحه 58:
0 ی دس با استفاده از روش مورد استفاده در ت ‎Sen epee I‏ ۱ ‎ROSS Teen e Soa‏ اال ا 50 صورت زیر بدست آورد: +(1- %x,)(-1- 2sin 0) ب سنا ‎cos‏ ‎‘cos @— 1)‏ (1-)(," -1)- (1-)( و( +1)- )0-1 ‎3sin‏ ‎SURO Pome SEL PS‏ °° = 3% ۰ ۱ ت ز ‎Be ee I oe ae eS OE‏ ieee sind 2 ۶ cos 0 3 7 =sing| [ 6 60 

صفحه 59:
۴- فرمول بندی عمو: ۷ 00 ۱ Orr ‏ب‎ 

صفحه 60:
۱ clea VT e eR CO ERK Ce Stress Tensor) ل ا ‎Ee ie‏ ی شيم = مناسبی را که بتوان با این تانسور کرنش مورد استفاده قرار داد. تعر ب ار تتش که همراه‌با تاز ‎Green-Lagrange (#25 j9‏ مورد استفا. ‎Sarena Cosa e rec Ra cra toe)‏ ۱ ‎Ber reer enya rere Te eC‏ BSB EC Cris pe seme cod تانسور تنش 030600 در زمان 1 جكالى جرمى 0655110 8/1385) در ۱ می توان ا ا ‎oer‏ 

صفحه 61:
Ot el oe ial ‏ا ۱ د‎ tress Tensor) CC ‏ل‎ نی مباحث ‎Kirchhoff‏ Brees epi neenee ep bead ne sea) ‏به صورت‎ ‏مفهوم و معنى‎ Piola-Kirchhotf ‏اوور ور‎ ‏ی‎ 

صفحه 62:
مثال ۶.۱۱: شکل 82۶,۱۱ یک جسم نمونه را در بفترهای مربوط به زمانهاى 0و #نشات و به طور مشابه در باقتار مويوط به مان نیا ام تج سورب ‎bo‏ شاه شور 6 وف مه كول - اال روابط (ب) و (پ) به عتوان فرمول‌ها: نوان نشان داد كه رابطة. سینماتیک زیر وجود دارد ‎Seu, Ho‏ این رابطه. فرمول ۸27508 نامییه می‌شود. با استفاده از الف) ای (ت) نتبجة زیر حاصل ‎ar a‏ ادا عه owe sSitn gts = x a7 Paxton cs با وجود این ربطه مزبور بایدبه زای هر مساحت سطحی و نیز هر «مساحت سطح داخلی, که از طريق انجام برش در جسم ایجاد می‌شود صادق باشد. بنابراین؛ نرمال ‏ ۹8 . دلضواه است و مى تواند به كونهاى تخاب شود که به ترتیب مساوی بردارهای واحد مختصات باشد. از ايثرو نتیجه می‌شود که: Ox "eax? | 

صفحه 63:
؟- فرمول بندى عمومى تحليل غير خطى محيط بيوسته ۱ ‏ا‎ ‎(Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor) همانند تانسور كينش ©616612-1201872606 حى توان ثلبت نمود كه مؤلفه هآاى تانسور ‎area li tyse toy‏ ی eet ۳ BB ‏مصالح. ناوردا (13972718۳8) می باشند. به‎ Foe ecm hes) as Cre ‏ی‎ Cl Dy aa Sate Seay aed (RSX) Pax = oxR 1 = oxr' به صورت زیر تعریف می شود: ‎eX‏ تفت ای رن ‎tx] = det[R]det[§X] = det [SX]‏ ]مما 0 ۸ ا 

صفحه 64:
۱ a \ gee eeey ore] ire | even aen RN POCO ا 0 ۱۱7 9 

صفحه 65:
؟- فرمول بندى عمومى تحليل غير خطى محيط بيوسته ا ۱ ‎(Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor)‏ با استفاده از مشتقات توابع د ]6 ‎sin‏ 9 ۳ 11 ا 1۳ ‎a‏ cin encA ‏ممم ۵ وه‎ 8 (ult terre precy eel ۳2 in 1 ۱ كه در اين حالت داريم: 

II روش عناصر محدود غیرخطی Nonlinear Finite Element Procedures II کریم عابدی فصل دوم :تحليل غیرخطی عناصر محدود (بخش اول)  -1مقدمه فرضیات اساسی در تحلیل خطی عناصر محدود ال,ف -تغیی,ر مکان ,ه,ا در مجموع,ه همبس,ته عناص,ر محدود ،بینهایت کوچک ( )Infinitesimal smallمی باشند. ب -مص,الح دارای رفتار االس,تیک خط,ی ( )Linear Elasticمی باشند. پ -طبیع,ت شرای,ط مرزی ب,ه هنگام اعمال بار ب,ه مجموع,ه همبسته عناصر محدود ،ثابت و دست نخورده باقی می مانند . با لحاظ نمودن فرض های مذکور ثابت بودن ماتریس سختی K استخراج معادالت تعادل عناصر محدود برای تحلیل استاتیکی به صورت تغییرمکان Uتابع,ی خطی ( )Linear Functionاز بردار بار R  -1مقدمه کوچک بودن تغییر مکان ها در تعیین ماتریس سختی Kزیر وارد شده است: ‏ ‏K  B .C .B dV ‏ Volume .Uاولی,ه ( B )Originalعناصر محدود انجام شده فرض شده کلی,ه انتگرال ه,ا روی حج,م )( m است. )( m )( m ) ( x, y , z ) ( x, y , z )( m )( m )( m ‏T )( m )(m ‏V ماتریس کرنش-تغییرمکان Bهر عنصر ثابت و مستقل از تغییرمکان های عنصر است. استفاده در مورد فرض ,ه س از ,ک ی ,ر ه ,ر گ ا ,ن ی بنابرا فرض مصالح االستیک خطی داللت بر استفاده از ماتریس تنش-کرنش ثابت Cدارد. تحلی,ل خط,ی ب,ه نحوی نق,ض شود ،در ای,ن ص,ورت با فرض ثاب,ت و دس,ت نخورده باق,ی ماندن شرای,ط مرزی در ب,ه کارگیری روابط قیدی است.خواهیم داشت. سروکار غیرخطی یک تحلیل انعکاس یافته )Constraintثابت (Relations به عنوان مثال اگر در ط,ی بارگذاری ،ی,ک شرط مرزی تغییرمکان,ی بای,د تغییر یابد ،در ای,ن ص,ورت پاس,خ س,یستم تنها ت,ا قبل از تغییر شرای,ط مرزی خطی می باشد .ای,ن حال,ت در مسائل تماس,ی( )Contact Problemsپی,ش می آید.  مقدمه-1 :رده بندی تحلیل غیرخطی که مورد بحث قرار خواهد گرفت به قرار زیر است Typical Typical Typical formulation formulation formulation used used used Large Materially-Fiber extensions Total Total Large Displacements Infinitesimal Materiallydisplacements, changes Lagrangian displacement, and angle rotations of Lagrangian nonlinear-and displacement nonlinearlarge between fibers are only (TL) large rotation, fiberss are large, (TL) only and strains; (MNO) rotations, and large, fiber but small strains but fiber the stresslarge strains displacements extensions strain andand Updated rotations mayisbe Lagrangian anglerelation changes also large; the (UL) between fibers Updated nonlinear stress-strain are small; Lagrangian relation may be stress-strain (UL) linear or may be relation nonlinear(often is linear or nonlinear) nonlinear (often is linear) Type of Type of Description Description Type of analysis Description analysis analysis Stress and Stressand andstrain Stress strain strain measures measures measures Second PiolaEngineering Kirchhoff stress andstress, stress, Green-Lagrange strain GreenLagrange strain strain Cauchy stress, Logarithmic Almansi strain strain  -1مقدمه در ی,ک تحلی,ل واقع,ی ،الزم اس,ت تص,میم گرفت,ه شود ک,ه مس,اله مورد نظر در کدام رده از تحلی,ل بای,د قرار گیرد و در نتیجه از کدام نوع فرمول بندی برای توصیف موقعیت واقعی فیزیکی استفاده شود. مطمئن ًا ب,ه کارگیری فرمول بندی بس,یار عموم,ی کرنش های بزرگ همواره ص,حیح و درس,ت خواه,د بود ،ول,ی اس,تفاده از فرمول بندی های,ی ب,ا محدودیت های زیاد م,ی توان,د از نقط,ه نظ,ر محاس,باتی موث,ر باش,د و نی,ز اطالعات بیشتر و کامل تر و همه جانبه تری در مورد رفتار سازه واقعی فراهم نماید بنابراین چالش های اساسی در تحلیل غیرخطی عبارتند از -1انتخاب نوع تحلیل غیرخطی -2انتخاب نوع فرمول بندی T.LوMNO, U.L ( معیارهای کرنش و تنش مورد استفاده در تحلیل خطی ،کارآمدی و کارایی الزم را در تحلیل غیرخطی ندارند (انتخاب معیارهای جدید)). - 3حجم کنونی که انتگرال گیری ها روی آن انجام می گیرند ،مجهول می باشد. -4متغیر بودن -5متغیر بودن در هر تراز بار در تحلیل غیرخطی هندسی. در هر تراز بار در تحلیل غیرخطی مصالح.  -1مقدمه مثال ساده آموزنده برای مفاهیم فوق:  -2مساله اساسی در تحلیل غیرخطی مساله اصلی در یک تحلیل عمومی عناصر محدود ،یافتن حالت تعادل جسم متناظر با بارهای وارده است. ب,ه عنوان تراز بار در زمان ،tشرای,ط تعادل ی,ک سیستم ب,ا فرض عناص,ر محدود را ک,ه نمایشگ,ر جس,م مورد نظ,ر اس,ت م,ی توانب,ه ص,ورت زیر بیان کرد: بردار نیروهای نقاط گرهی خارجی بر جسم در بافتار مربوط به زمان t بردار نیروهای نقاط گرهی متناظر با تنش های عنصر در بافتار مربو,ط به زمان t با مشخص نمودن تنش های کنونی ( )Currents Stressبه عنوان تنش های اولیه ( m)T t ‏RI F   B .  m .t dV m ‏m t m ) ( ) ( ‏t ) (V ‏t ‏t  -2مساله اساسی در تحلیل غیرخطی روشن است که در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ عمومی ،تنش ها و حجم جسم در زمان tمجهول هستند. ،تعادل س,یستم در هندس,ه تغییرشک,ل یافت,ه کنونی رابط,ه ( )Current Deformed Geometryرا ب,ا درنظ,ر گرفت,ن تمام,ی عوامل غیرخطی بیان می کند. اگ,ر تحلی,ل غیرخط,ی برای ی,ک تراز معی,ن بار ( مث ً در زمان ) مورد نظر ال بای,د ح,ل شده و ارض,ا گردد .به باش,د ،در ای,ن ص,ورت رابط,ه عبارت دیگر با یک تحلیل تک گامی ( )One-Step Analysisروبرو هستیم. ولی هنگامی که تحلیل شامل شرایط غیر هندسی ,یا مصالح وابسته به مسیر در طول ( ) Path-dependentباشد ،در این صورت رابطه زمان مورد نظر از 0تا باید حل شده و ارضا گردد .بنابراین در این صورت با یک تحلیل نموی گام به گام ( )Step by Step Incremental Solutionمواجه هستیم.  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی روش بنیادی در یک تحلیل غیرخطی گام به گام نموی ،درنظر گرفتن این فرض است که جواب در زمان گسسته tمعلوم است و جواب در زمان گسسته +Δt tمورد نیاز است که در آن Δtنمو زمانی مناسب انتخابی است. بنابراین در زمان : +Δt t جواب در زمان tمعلوم است .پس می توان نوشت: بردار ، Fنمو در نیروهای نقاط گرهی متناظر با نمو در تغییرمکان ها و تنش ها از زمان tتا +Δt tاست. بردار Fرا می توان با استفاده از یک ماتریس سختی مماسی با شرایط هندسی و مصالح در زمان tاست تقریب سازی نمود. که متناظر ,موی,,قاط های ,ن ب,,ردار ت,,غییرم,کان ن ‏U گ,,ره,یاز ز,مان tت,,ا +Δt tا,س,ت بنابراین ماتریس سختی مماسی ،متناظر با مشتق نیروهای نقاط است. نسبت به تغییرمکان نقاط گرهی گرهی عنصری  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی اکنون می توان رابطه زیر را نوشت: می توان را محاسبه و در این معادله با توجه به معلوم بودن ، کرد و لذا تقریبی به بردار تغییرمکان در زمان +Δt tرا می توان به صورت زیر به دست آورد: توجه :1تغییرمکان ,های واقعی کامل در زمان +Δt tآن تغییرمکان هایی هستند می باشند. که متناظر با بارهای وارده ،تنها تقریبی به تغییرمکان ,های واقعی در زمان توجه :2در معاد,له +Δt tرا محاسبه نموده ایم. توجه :3در مورد نحوه تعیین و بعدا ً به تفصیل و با جزئیات مربوط بحث خواهیم نمود.  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی با یافتن تقریبی به تغییرمکان های واقعی در زمان ( +Δt t می توان تقریبی به تنش ها در زمان ( +Δt t درنتیجه تقریبی به نیروهای نقاط گرهی م,تناظ,ر در زم,ان ( +Δt t و سپس ,انجام م,حاسبات ,برای نمو زم,انی بعدی را ادامه داد. ) ) ) های مذکور م,ی توانن,د دارای خطاهای بس,یار قابل نکت,ه :ب,ا توج,ه ب,ه فرض مورد اس,تفاده در ،جوابt توجهی باشند و بسته به اندازه گام ز,مان,ی( )Time Stepیا همان گام بار مور,د استفاده ( )Load Stepمی تواند در شرایطی خاص ناپایدار باشند. ‏F KU ضروری است از یک راه حل تکراری( تکرار در داخل هر گام بار) استفاده شود تا اینکه جواب هایی با دقت کافی حاصل شوند.  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی روش های تکراری( )Iteration Methodsک,هب,ه طور وس,یعی در تحلیل های غیرخط,ی عناص,ر محدود مورد اس,تفاده قرار م,ی گیرن,د ،بر اس,اس تکنیک های نیوتن-رافسون ( )Newton-Raphson Techniqueاستوارند. تکنی,ک نیوتن-رافس,ون در واقع بس,طی از تکنی,ک نموی ساده مورد استفاده در دو قسمت است: بع,د از محاس,به ی,ک نم,و در تغییرمکان های نقاط گره,ی ک,ه یک بردار تغییرمکان کلی جدیدی ( )New total displacement vectorرا تعری,ف م,ی کن,د ،م,ی توان روش نموی ارائ,ه شده فوق را ب,ا استفاده از تغییرمکان های کل,ی کنونی معلوم (Currently known total )displacementبه جای تغییرمکان ها در زمان tتکرار نمود.  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی معادالت مورد استفاده در روش تکراری نیوتن-رافسون به ازای …,i = 1, 2, 3 با شرایط اولیه توجه :1در نخستین تکرار ،روابط فوق به صورت معادالت در می آیند. و توجه :2در تکرارهای بعدی ،آخرین تخمین تغییرمکان های نقاط گرهی برای تعیین تنش های عنصری متناظر و بردارهای نیروهای نقاط گرهی متناظر معادله مورد استفاده قرار می گیرند. و ماتریس سختی مماسی  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی بردار بار خارج از توازن( )Out-of-balance load vectorمتناظ,ر ب,ا یک بردار اس,ت ک,ه هنوزب,ه وس,یله تن,ش های عنص,ری متوازن نشده اس,ت و بنابرای,ن ی,ک نمو در تغییرمکان های نقاط گره,ی مورد نیاز اس,ت .ای,ن به هنگام نمودن ( )Updatingتغییرمکان های نقاط گره,ی در تکرار بای,د ت,ا آنج,ا ادام,ه یاب,د که نیروهای خارج از توازن و تغییرمکان های نموی بسیار کوچک شوند. روش نیوتن -رافسون به صورت شماتیک رو,شب,,نیاد,یدر ت,,حلیلغ,یرخ,طی3- مراحل عملیاتی روش تکراری نیوتن – رافسون  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی ازای 1, 2, 3 نیوتن-رافسون تعدیل یافته به از صحیح معادالت مورد استفاده در روش محاسبه = ,iبه…روشی کارآمد و مناسب دو نکته بسیار مهم در روش تکراری نیوتن – رافسون محاسبه صحیح با شرایط اولیه کارآمد و مناسب از به روشی با توجه به هزینه محاسباتی قابل توجه مورد نیاز در تعیین ماتریس سختی مماسی در هر تکرار ،در و نیز در تعیین نیروهای نقاط گرهی معادل عمل می توان بسته به غیرخطی های موجود در تحلیل ،تعیین ماتریس سختی مماسی جدید در زمان های معین کارایی داشته باشد. در روش تعدیل یافته نیوتن-رافسون( ،)Modified Newton-Raphson methodیک ماتریس سختی مماسی ،صرفاً در ابتدای هر گام بار ایجاد می شود.  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی روش تعدیل یافته نیوتن -رافسون به صورت شماتیک  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی مراحل عملیاتی روش تکراری نیوتن – رافسون تعدیل یافته  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی نکته مهم در روش تکراری تعدیل یافته نیوتن-رافسون ،محاسبه صحیح به روشی کارآمد و مناسب است. از الزم به ذکر است که استفاده از روش های تکراری ،ایجاب می کند که معیارهای همگرای,ی مناسبی( )Appropriate Convergence Criteriaاختیار شوند. اگر معیارهای غیرمناسبی اتخ,اذ شوند ،در این صورت دو اتفاق می تواند بیفتد: الف)تکرار قبل از رسیدن ,به دقت حل مورد نیاز پایان ,پذیرد. معیار همگرایی سست ()Loose Convergence Criteria ب) تکرار بعد از رسیدن به دقت حل مورد نیاز ادامه یابد. معیار همگرایی سفت ()Stiff Convergence Criteria  -3روش بنیادی در تحلیل غیرخطی مفاهیم مذکور را در مثالی نشان می دهیم:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته الف) مقدمه برای اس,تخراج معادالت غیرخط,ی عناص,ر محدود ضروری اس,ت ک,ه از روش جامع و مؤثر استفاده شود. جام,ع تری,ن و مؤثرتری,ن روش ،روش س,ازگار مبتن,ی بر مکانی,ک محی,ط پیوسته ‏Consistent ‏Continuum(Mechanics-based )Approachاست. ب,ه عبارت دیگ,ر الزم اس,ت معادالت حاک,م بر مکانی,ک محی,ط پیوسته ( )Governing Continuum Mechanics Equationsبرای یک روش ح,ل عناص,ر محدود مبتنی بر تغییرمکان(Displacement-Based Finite )Element Solutionارائه گردد. در ای,ن حال,ت نی,ز(همچون تحلی,ل خط,ی عناص,ر محدود) ،از اص,ل کار مجازی باید اس,تفاده نماییم .ام,ا ،بای,د امکان وقوع تغییرمکان ه,ا ،دوران ه,ا،کرنش های بزرگ و نیز رابطه غیرخطی کرنش-تنش را نیز در فرمول بندی وارد نماییم.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته بنابراین معادالت حاکم محیط پیوسته در واقع بسطی از رابطه عمومی ارائه شده برای تحلیل خطی عناصر محدود خواهد بود: خطیو حاکمایجاد بعد از بگیری,م، درنظ,ر عموم,ی ,ک جس غیرخط,ی خطی،ی,ل تحلیلگ,ر تحل بنابرای,ن ا معادالت ایجاد مبنارابرای عنوان,مپایه و مذکور یبه رابطه در کام ً ال طریقه ای تحلی,ل راب,ه بس,ط معادالت گرفتند. استفاده قرار ,لمورد عناصرمحدود(مناس,ب مکانی,ک محی,ط پیوس,ته ،مراح) مشاب,ه ،برای ایجاد معادالت غیرخط,ی عناص,رمحدود ک,ه حاک,م بر پاس,خ غیرخطی جسم می باشند ،دنبال خواهیم کرد.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی -1تعادل جسم را باید در بافتار کنونی ( )Current Configuration,درنظر گرفت. در یک تحلیل غیرخطی -2در حالت کلی بای,د از یک فرمول بندی نموی ( )Incremental Formulation,استفاده شود. -3برای توصیف بارگذاری و حرکت جسم از یک متغیر زمانی استفاده نماییم. برای ایجاد فرمول بندی ،حرک,ت( )Motionی,ک جس,م عموم,ی را در یک دس,تگاه مختص,ات ثاب,ت دکارتی()Stationary Cartesian System درنظ,ر م,ی گیری,م و فرض م,ی نمایی,م ک,ه جس,م م,ی تواند تغییرمکان های بزرگ،, کرنش های بزرگ شده و رفتار غیرخطی مصالح از خود نشان دهد. هدف اص,لی ،تعیی,ن موقعی,ت های تعادل( )Equilibrium Positionsکل جس,م در نقاط زمان,ی گس,سته 0و Δtو Δt 2و Δt 3و ...اس,ت و Δtنمو در زمان می باشد.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی برای ایجاد یک استراتژی حل()Solution Strategy فرض جواب ها برای متغیرهای سینماتیک و استاتیکی برای همه گام های زمانی از 0تا زمان ( tاز جمله خود )tبه دست آمده اند فرآین,د ح,ل برای موقعی,ت تعادل مورد نیاز بعدی متناظ,رب,ا زمان” “ +Δt tیک فرآین,د نمون,ه و شاخ,صب,ه شمار م,ی رود و م,ی توان,دب,ه طور مکرر مورد استفاده قرار گیرد تا مسیر کامل پاسخ حاصل شود.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی نکت,ه :1از آنجای,ی ک,ه در تحلی,ل ،تمام,ی ذرات ( )Particlesجسم را در حرکتشان از بافتار اولی,ه ( )Original Configurationت,ا بافتار نهایی نس,بت ب,ه ی,ک دس,تگاه مختص,ات ثاب,ت دنبال م,ی کنی,م ،از آ,ن رو در واق,ع یک فرمول بندی الگرانژی ( )Lagrangian Formulationرا اتخاذ نموده ایم. نکته :2فرمول بندی الگرانژی در مقابل فرمول بندی اولری( )Eulerian Formulationقرار دارد که معموالً درتحلیل مسائل مکانیک سیاالت مورد استفاده قرار می گیرد. نکته :3در فرمول بندی اولری ،حرکت ماده در میان یک حجم کنترل )Control Volumeدرنظر گرفته می شود. ثابت (Stationary نکته :4الزم به ذکر اس,ت ک,ه در تحلیل جامدات و س,ازه ها ،عموماً از فرمول بندی الگرانژ,ی اس,تفاده م,ی شود ک,ه بیانگ,ر ی,ک روش تحلی,ل بس,یار مؤثرت,ر و در عین حال طبیع,ی ت,ر نس,بتب,ه فرمول بندی اولری م,ی باشد.ب,ه عنوان مثال،ب,ا استفاده از ی,ک فرمول بندی اولری برای تحلی,ل ی,ک مس,ئله س,ازه ایب,ا تغییر مکان های بزرگ ،حج,م های کنترل جدی,دب,ه دلی,ل تغیی,ر پیوس,ته مرزهای جس,م جام,د باید ایجاد گردند که دشواری های بسیار زیادی را در حل پیش می آورند.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی با توجه به استفاده از نمادگذاری تانسوری در ایجاد فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود ،در ذیل به چند نمونه اشاره می شود: • نمایش یک بردار uدر دستگاه مختصات دکارتی و در فضای سه بعدی با بردارهای (بردار یک تانسور از مرتبه اول می باشد): و پایه و نکت,ه:ب,ا توج,هب,ه اینک,ه iم,ی توان,دب,ا ه,ر اندی,س پایی,ن دیگری( به طور مثال )j , k تنش : نتیجه تغییری حاصل گردد ،جایگزین شود ،به آن شاخص تانسوردر نمایش اینکه بدون ظاهری ( )Dummy Indexیا شاخص آزاد ( )Free Indexگفته می شود. • حاصل ضرب اسکالر دو بردار uو : v نماد تانسوری  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی در تحلیل نموی الگرانژی ( ،)Lagrangian Incremental Analysisتعادل جسم در زمان +Δt tرا با استفاده از اصل تغییرمکان مجازی ( )Principle of Virtual Displacementsبیان می کنیم.  فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته-4 ب) بیان مساله اصلی :اصل تغییرمکان های مجازی component components of externally applied forces per unit volume = Cartesian of the Cauchy stress tensor at time t+Δt (forces per unit areas in the deformed geometry) component of externally applied surface tractions per = strain tensor corresponding to the = unit area at time t+Δt virtualat displacements surface time t+Δt on which external tractions are applied = = components of virtual displacement vector imposed on configuration at time t+Δt, a function of Cartesian coordinates of material point at time t+Δt= Volume at time t+Δt = =  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی نکاتی چند در ارتباط با رابطه کارمجازی: -1س,مت چ,پ رابط,ه ارائ,ه شده در باال ،کار مجازی داخلی(Internal Virtual )Workو س,مت راس,ت رابط,ه مذکور ،کار مجازی خارجی(External Virtual )Workاست. -2رابط,ه مذکور همانن,د تحلی,ل تغییرمکان های بینهای,ت کوچ,ک خط,ی اس,ت ،ولی بافتار کنون,ی ( )Current Configurationدر زمان ( t+Δtب,ا تن,ش ها و نیروه,ا در آ,ن زمان) مورد اس,تفاده قرار م,ی گیرد .الزمب,ه ذک,ر اس,ت ک,ه در بیان رابطه مذکور فرض م,ی شود ک,ه بارهای متمرک,ز س,طحی وجود ندارن,د ،ب,ه عبارت دیگ,ر مؤلفه تمامی بارهای سطحی را شامل می شوند. های که متناظر با تغییرمکان های -3توجه شود که مؤلفه های تانسور کرنش مجازی اعمال شده می باشند ،مشابه مؤلفه های تانسور کرنش بینهایت کوچک می باشند ولی مشتقات نسبت به مختصات کنونی در زمان t+Δtمی باشند.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی نکاتی چند در ارتباط با رابطه کارمجازی: -4مشکالت اصلی در کاربرد اصل کار مجازی ارائه شده در باال عبارتند از: ‏ بافتار جسم در زمان t+Δtمجهول است(مشکل اصلی). محاس,به تن,ش های Cauchyدر مدت زمان t+Δtبای,د دوران های صلب جس,می ( ) Rigid Body Rotationمص,الح را نی,ز در نظر بگیرد .زیرا، مؤلف,ه های تانس,ور تنش Cauchyهنگام,ی ک,ه تح,ت اث,ر ی,ک دوران صلب جسمی قرار می گیرند ،تغییر می کنند. ‏ -5به دلیل تغییر بافتار جسم پیوسته در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ ،باید به صورت ظریف و دقیق معیارهای مناسب تنش و کرنش و روابط مشخصه ای را بکار برد.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی داریم : بنابر این جسم بافتار ) ‏Generic Point, ( عمومی نقطه مختصات -4استفاده از یک نمادگذاری ( )Notationمؤثر برای یک تحلیل عمومی تغییرشکل های بزرگ حائز اهمیت است زیرا ،در تحلیل با کمیت های بسیاری مواجه هستیم. مختصات محور استفاده در نمادگذاری بکار رفته در مورد در ذیل به برخی نکات مهم و قراردادهای تحلیل تغییرشکل های بزرگ اشاره می نماییم. مختصات در زمان 0 -1حرکت جسم در یک دستگاه مختصات دکارتی ثابت درنظر گرفته می شود.زمان t مختصات در مختصاتبود: زیر خواهد صورت در وزمان تغییرمکان ها این نمو بنابر ‏t+Δt اندازهزمان مختصات در گرفته دستگاه ‏t+Δtدربهاین استاتیکی سینماتیک متغیرهای کلیه و-2 می شوند. بافتار جسم -5تغییر مکان ها -3برای توصیف تحلیل در همه جا از نمادگذاری تانسوری ()Tensor Notation, محور مختصات استفاده تغییرمکان در زمان 0 می شود. تغییرمکان در زمان t تغییرمکان در زمان t+Δt  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی -6به هنگام حرکت جسم ،حجم ،سطح ،چگالی جرم ،تنش ها و کرنش ها به طور پیوسته تغییر می کنند .بنابر این داریم : چگالی جرم در زمان t ،0و t+Δt سطح در زمان t ،0و t+Δt حجم در زمان t ،0و t+Δt -7به علت نامعلوم بودن بافتار جسم در زمان ،t+Δtتنش ها و کرنش ها را به یک بافتار تعادل معلوم ارجاع خواهیم داد .در این صورت اندیس پایین سمت چپ، معرف و نشانگر بافتار تعادلی خواهد بود که نس,بت به آن کمیت مورد نظر تعیین می شود .به عنوان مثال: نیروهای حجمی در زمان t+Δtنسبت به بافتار 0اندازه گیری می شوند نیروهای سطحی در زمان t+Δtنسبت به بافتار 0اندازه گیری می ,شوند نکته :اگر کمیت مورد نظر در زمان t+ Δtنسبت به بافتار مربوط به زمان t+Δtاندازه گیری شود ،در این صورت نیازی به اندیس پایین سمت چپ نیست.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی -8برای بیان مشت,ق گیری ه,ا از نماد کام,ا( )Comma Notationاس,تفاده می کنیم .در ای,ن نمادگذاری ،مشت,ق گیری نس,بت ب,ه مختص,اتی ک,ه بع,د از کام,ا م,ی آید و اندی,س پایی,ن س,مت چ,پ نشانگ,ر زمان مربوطب,ه بافتاری اس,ت ک,ه مختص,ات نس,بت به آن بافتار اندازه گیری می شود.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ) معیار کرنش )Green-Lagrange (Green- Lagrange Strain Measure از طریق تعریف معیارهای کمکی کرنش و تنش()Auxiliary Stress and Strain Measures می توان با تغییر مداوم بافتار جسم که واقعیتی بدیهی در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ است، مواجهه نمود. هدف از تعریف معیارهای کمکی تنش و کرنش - 1بیان کار مجازی داخلی بر حسب یک انتگرال در روی حجمی که معلوم است، -2توانائی تجزیه نموی کرنش ها و تنش ها به طریقه ای مؤثر. نکته :تانسورهای مختلف تنش و کرنشی وجود دارند که در اصل می توان از آنها استفاده نمود ول,ی اگ,ر هدف ،یافت,ن ی,ک روش ح,ل عناص,ر محدود عموم,ی و موث,ر باش,د ،در این صورت معیارهای اندکی وجود دارند که باید در نظر گرفته شوند. یکی از مهمترین و کارآمدترین معیارهای کرنش که در تحلیل غیر خطی عناصر محدود از آن استفاده می شود ،معیار کرنش Green-Lagrangeاست .برای تعریف معیار کرنش Green-Lagrangeالزم است که در ابتدا چند تعریف مبنایی و مقدماتی ارائه شوند:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )1-تعریف گرادیان تغییرشکل()Deformation Gradient تعریف گرادیان تغییرشکل از نقطه نظر مفهوم فیزیکی ،گرادیان تغییرشکل ،توصیف گر کشامدها( )Stretchesو دوران هایی ( )Rotationsمی باشند که تارهای مصالح ( )Material Fibersاز زمان 0الی زمان tمتحمل می شوند .به عبارت دیگر: طول کنونی عنصر خطی طول دیفرانسیلی تار مادی در زمان 0 طول دیفرانسیلی تار مادی در زمان t طول اولیه عنصر خطی  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )1-تعریف گرادیان تغییرشکل()Deformation Gradient گرادیان تغییرشکل معکوس()Inverse Deformation Gradient واقع با معکوس گرادیان تغییرشکل مساوی است .یعنی، ،در اثبات فرض کنید که d0Xطول دیفرانسیلی تار مادی در زمان 0باشد .در این صورت با استفاده از مشتق گیری زنجیره ای ،این طول دیفرانسیلی در زمان tبه صورت زیر بدست می آید: مشتق گیری زنجیره ای ،نتیجه زیر حاصل می شود: شود ازکه : استفاده باتوجه گرادیان معکوس تغییرشکل یا داریم:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )1-تعریف گرادیان تغییرشکل()Deformation Gradient به عنوان مثال ،گرادیان تغییرشکل برای عنصر چهار گرهی شکل زیر که تحت اثر تغییرشکل های بزرگ قرار می گیرد را محاسبه می نماییم: خواهیم داشت توابع این بنابر تغییرمکان برای این عنصر را بر حسب r درونیابی و sبه عنوان مختصات طبیعی می توان اسخراج کرد. متناظر با rو sهستند ،داریم: از آنجایی که و به تغییرشکل گرادیان نهایت و در کنیم: استفاده می روابط زیر اکنون از صورت زیر بدست می آید مختصات نقاط گرهی در زمان t  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )2-تانسورهای تغییرشکل راست و چپ Cauchy-Green با استفاده از تعریف گرادیان تغییرشکل ،تانسور تغییرشکل راست و چپ Cauchy-Greenرا به صورت زیر تعریف می نماییم: تانسور تغییرشکل راست Cauchy-Green ()Right Cauchy-Green Deformation تانسور تغییرشکل چپ Cauchy-Green ()Left Cauchy-Green Deformation نکته :در حالت کلی و با یکدیگر برابر نیستند. نکته :از گرادیان تغییرشکل در تعیین کشامد یک تار مادی و تغییر در زاوی,ه بین تارهای مادی مجاور هم به دلیل تغییرشکل استفاده می شود .در این محاسبه از تانسور تغییرشکل راست Cauchy-Greenاستفاده می کنیم.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )3-تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل ()Polar Decomposition یک خاصیت مهم گرادیان تغییرشکل ،این است که می توان همواره آن را به حاصل ضرب منحصر به فرد( )Unique Productدو ماتریس تجزیه کرد: ماتریس متقارن کشامد ماتریس متعامد ()Symmetric Stretch Matrix که متناظر با یک دوران است به تجزیه مذکور ،تجزیه قطبی ( )Polar Decompositionاطالق می شود. رابطه فوق را می توان به صورت مفهومی ( )Conceptuallyبه این صورت تفسیر کرد که تغییرشکل کلی ابتدا از طریق اعمال کشامد و سپس دوران حاصل می شود .به نوشت که در را به صورت عبارت دیگر ،می توان رابطه ،متناظر با یک زمان میانی مفهومی( )Intermediate Conceptual Timeاست. آن برای سهولت در نمادگذاری در مباحث بعدی ،از اندیس های باال و پایین tو 0استفاده نخواهیم کرد ولی همواره به طور ضمنی داللت بر آتن ها خواهیم داشت.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )3-تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل ()Polar Decomposition اثبات تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل تانسور تغییرشکل راست ) Cauchy-Green (Cرا در محورهای مختصات اصلی اش نمایش می دهیم .برای نیل به این هدف ویژه مساله زیر را در نظر می گیریم: جواب کامل آن عبارت است از: در این رابطه ،ستون های ماتریس Pویژه بردارهای Cاست و یک ماتریس قطری است که اعضا قطری آن ویژه مقادیر متناظر می باشند از این رابطه ،می توان نوشت در این صورت ،نمایش تانسور تغییرشکل در محورهای مختصات اصلی اش ( )Principle Coordinate Axesاست. نمایش گرادیان تغییرشکل در این دستگاه مختصات که با به طور مشابه به صورت زیر بدست می آید: نمایش داده می شود  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )3-تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل ()Polar Decomposition نکته :ماتریس اثبات تعامد یک ماتریس متعامد است .به عبارت دیگر می توان نوشت: برای تعیین ،از مقادیر مثبت جذر عناصر قطری استفاده می کنیم. بدست آورد: ضربروابط X=RUاز مستقیماً متناظر با ‏Rو U حاال در واقع زیرمتعامد ماتریس تجزیهحاصل تغییرشکل به تجزیهرا گرادیان واقع رابطهمی تواندر و ماتریس کشامد است که در محورهای اصلی Cانج,ام شده است ولی در هر دستگاه قابل قبول دیگری معتبر است .چون گرادیان تغییرشکل،یک تانسور است نکته  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )3-تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل ()Polar Decomposition مثال :گرادیان تغییرشکل و ,تجزیه قطبی عنصر چهارگرهی زیر را در زمان tبدست آورید حال اگر فرض نماییم که حرکت از زمان tبه زمان t+Δtتنها شامل یک دوران صلب باشد ،در این 45درجه اندازه ساعت و گرادیانجهت تعییندر خالف جسمی سهولت از جهت میبهتوان هایزمان ،t عقربه در تغییرشکل برای کشامدآورد: زیربابدست مفهومیصورت تغییرشکل را به گرادیان صورت می صرف تارها می باشد. متناظر بافتار فرضی تواندر آن کرد که استفاده نکته :گرادیان تغییرشکل را مستقیماً می توانستیم از تعریف گرادیان تغییرشکل بدست آوریم  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ به همان طریق پیشین که برای ثابت کردیم ،می توان نشان داد که: که Vیک ماتریس متقارن به صورت زیر است: ,پ,ین,ام,یم Vرا م,اتری,سک,,شامد چ م ()Left Stretch Matrix ,ت,ین,ام,یم Uرا م,اتری,سک,,شامد را,س م ()Right Stretch Matrix )Spectral Decomposition طیفی (Spectral طیفی ( تجزیه تجزیه صورت زیر صورت زیر توانرا Uبهرا به توان V کلی می همچنین می درحالت )Decompositionکرد کرد تجزیه طیفی ماتریس کشامد راست تجزیه طیفی ماتریس ,کشامد چپ از نقطه نظر فیزیکی متناظر با کشامدهای اصلی فرضرا ذخیره می کند کشامدها راستاهای این با ( )Principal Stretchesاست باشد نمی جسمی صلب دوران شامل و در واقع بیانگر بردارهای پایه کشامدهای اصلی در دستگاه مختصات ثابت می باشد زیرا دوران مذکور در Rظاهر می شود  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ اکنون می توان تانسورهای کرنشی را که در تحلیل عناصر محدود حائز ارزش می باشند، تعریف نمود. تانسور کرنش - Green- Lagrangeبه صورت زیر تعریف می شود: یادآور می شود که است. در تعریف باال وارد نمی شود و از این رو ،تانسور کرنش مذکور مستقل از حرکات صلب جسمی ذرات تانسور کرنش Green- Lagrangeرا می توان برحسب تانسور کشامد راست نوشت:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ تانسور کرنش Green- Lagrangeبرحسب تانسور تغییر شکل Cauchy-Green به صورت زیر نوشته می شود: مؤلفه های تانسور کرنش Green- Lagrangeرا می توان برحسب تغییرمکان ها نوشت .روابط زیر را قب ً ال ارائه داده ایم: همچنین داریم:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ اکنون می خواهیم به عنوان مثال را به دست آوریم:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ بنابراین در حالت کلی را به صورت مؤلفه ای زیر می توان نوشت: الزمب,ه یادآوری اس,ت ک,ه در تعری,ف ت,انس,ور کرن,ش ،Green- Lagrangeتمامی مشتقات نس,بتب,ه مختص,ات اولی,ه ( )Initial Coordinateذرات مادی م,ی باشند.ب,ه ای,ن دلیل اس,ت ک,ه م,ی گویی,م ،تانس,ور کرن,ش Green-Lagrangeنس,بتب,ه مختص,ات اولی,ه جسم تعریف می شود. می توان نشان داد که مؤلفه های تانسور کرنش Green- Lagrangeتحت اثر یکدوران صلب جسمی مصالح ناوردا ( )Invariantاست یعنی: مؤلفه های تانسور کرنش Green- Lagrangeدر زمان tبه صورت زیر مشخص می شوند: که در آن گرادیان تغییرشکل در زمان tاست که متناظر با دستگاه مختصات ثابت و می باشد.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ فرض می کنیم که مصالح از زمان tتا زمان t+Δtتحت اثر یک دوران صلب جسمی قرار می گیرد .در این صورت متناسب با دستگاه مختصات ثابت داریم: که در آن Rمتناظر با دوران است .بنابراین خواهیم داشت: ناوردایی تانسور کرنش Green- Lagrangeدرمثال زیر نشان می دهیم: ی,ک عنص,ر چهار گره,ی را درنظ,ر بگیری,د که ت,ا زمان tتح,ت کشام,د قرار گرفت,ه و سپس از زمان tتا t+Δtبدون اعوجاج ،عنصر مذکور تحت یک دوران صلب جسمی قرار می گیرد:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ (روش اول) مؤلفه های تانسور Green- Lagrangeدر زمان tرا می توان از رابطه زیر بدست آورد: (روش دوم) مؤلفه های تانسور Green- Lagrangeدر زمان tرا می توان از رابطه بدست آورد: زیر نیز  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ بعد از دوران صلب جسمی مختصات نقاط گرهی عبارتند از: ‏Node 1 2 3 4  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ با استفاده از روش مورد استفاده در تعیین برای عنصر چهارگرهی که تحت اثر را به تغییرشکل های بزرگ قرار گرفته بود -با بکارگیری توابع درونیابی -می توان صورت زیر بدست آورد: الزم به یادآوری است که از رابطه بدست آورد نیز می توانستیم را به صورت زیر  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته پ )4-ماتریس های کشامد راست و چپ تانسور کرنش Henckyیا لگاریتمی به صورت زیر تعریف می شود: از آنجا که در تعریف این تانسور ، حرکات صلب جسمی ذرات است. نقشی ندارد ،لذا تانسور کرنش مذکور مستقل از  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff ()Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor اکنون ک,ه تانس,ور کرن,ش Green-Lagrangeرا تعری,ف نمودی,م ،حاال بای,د تانس,ور تنش مناسبی را که بتوان با این تانسور کرنش مورد استفاده قرار داد ،تعریف نماییم. ی,ک معیار تن,ش ک,ه همراهب,ا تانس,ور کرن,ش Green-Lagrangeمورد اس,تفاده قرار م,ی گیرید و مزدوج کاری( ) Work- Conjugateبا آن تانسور کرنش می باشد ،تانسور تنش دوم Piola- Kirchhoffمی باشد که به صورت نمایش داده می شود و به صورت زیر تعریف می شود: چگالی جرمی( )Mass densityدر زمان 0 تانسور تنش Cauchyدر زمان t چگالی جرمی( )Mass densityدر زمان t می توان را به راحتی بر حسب نوشت:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff ()Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor تانسور تنش معرفی شده را می توان به صورت مؤلفه ای زیر نوشت: نکته :1تانسور تنش نخست Piola-Kirchhoffبه صورت تعریف می شود. نکته :2مباح,ث فراوان,ی در مورد طبیع,ت فیزیک,ی تانس,ور تن,ش دوم Piola- Kirchhoffانجام ش,ده است .اگرچه ،می توان تبدیل انجام شده در روی تانسور تنش – Cauchy را به برخی اس,تدالالت هندس,ی ارتباط داد ،ولی باید بهبه ص,ورت ای,ن نکت,ه اذعان نمود ک,ه تن,ش دوم Piola-Kirchhoffمفهوم و معن,ی فیزیکی اندکی دارد و در عمل تنش های Cauchyباید محاسبه شوند.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff ()Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor مثال:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff ()Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor همانن,د تانس,ور کرن,ش Green-Lagrangeم,ی توان ثاب,ت نمود ک,ه مؤلفه های تانس,ور تن,ش دوم Piola-Kirchhoffتح,ت اث,ر ی,ک دوران ص,لب جسمی مصالح ،ناوردا ( )Invariantمی باشند .به عبارت دیگر: اگ,ر ی,ک دوران ص,لب جس,میب,ه مص,الح از زمان tت,ا زمان t+Δtاعمال کنیم ،در این صورت گرادیان تغییرشکل به صورت زیر تغییر می کند: به صورت زیر تعریف می شود: با توجه به اینکه ،det R=1 ,از اینرو داریم: همچنین داریم:  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff ()Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor با جایگذاری روابط بدست آمده در رابطه تانسورتنش دوم Piola-Kirchhoffداریم: به هنگام دوران صلب جسمی مصالح ،تانسور تنش Cauchyدر زمان t+Δtبه صورت زیر است: در نهایت خواهیم داشت: اکنون ناوردایی تانسورتنش دوم Piola-Kirchhoffرا در مثال زیر نشان می دهیم: شک,ل زی,ر ی,ک عنص,ر چهار گره,ی در بافتار مربوطب,ه زمان ∆tرا نشان م,ی دهد .عنصر قرار دارد .فرض کنید ک,ه عنصر مذکور در زمان 0ال,ی Δtبه تح,ت اثر یک تنش اولیه ص,ورت دوران ص,لب جس,می ب,ا اند,ازه دوران پیدا کرده اس,ت و نی,ز تن,ش در دستگاه مختص,ات متص,ل ب,ه جس,م( )Body-attached coordinate systemتغییر ننموده مساوی است .نشان که در شکل نشان داده شده استب,ا است .بنابراین مقدار دهی,د ک,ه مؤلف,ه های تانس,ور تن,ش دوم Piola-Kirchhoffدر نتیج,ه ی,ک دوران صلب جسمی تغییر نمی کند.  -4فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff ()Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor تانس,ور تن,ش دوم Piola-Kirchhoffدر زمان 0ب,ا تانس,ور Cauchyمساوی است زیرا ،تغییرشکل های عنصر مساوی صفر است .بنابراین داریم: مؤلفه های تانسور Cauchyدر زمان Δtکه در مختصات و بیان می شود عبارتند از: با استفاده از مشتقات توابع درونیابی ،خواهیم داشت: تانسور تنش دوم Piola-Kirchhoffدر زمان Δtعبارت است از: که در این حالت داریم: گرادیان تغییرشک,ل را ب,ه همان طری,ق مثال هاي ارای,ه شده در قسمت های قبلی به دست می آوریم .مختصات نقاط گرهی عنصر در زمان Δtعبارتند از: