فرایند تحلیل سلسله مراتبی

صفحه 1:
۸ me of فرایند تحلیل سلسله مراتبی 

صفحه 2:
خرف یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی ‎as (Analytical Hierarchy process-AHP)‏ اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980 مطرح شد . که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد . 

صفحه 3:
دای تصميم ری ‎ees)‏ كسد | ‎CT. J.‏ ‎eee‏ | كدر مكدر | كر سیويی: || | سیویی با موی | موی إسو كمتتكيفى سار کم نی 

صفحه 4:
اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی اصل ۱. شرط .5%( ‎(Reciprocal Condition)‏ اصل ۲. همگنی ‎(Homogeneity)‏ اصل ۳. وابستگی ‎(Dependency)‏ اصل ۴ انتظارات ‎(Expectation)‏ 

صفحه 5:
شرط معکوسی اگرترجیح عنصر ۸ بر عنصر 3 برابر 2 باشد ترجیح عنصر 8 بر عنصر ۸ برابر 1 خواهد بود . 

صفحه 6:
همحنی عنصر ۸ با عنصر ‏ بايد همگن و قابل قیاس باشند . به بیان دیگر برتری عنصر ۸ بر عنصر 8 نمی تواند بی نهایت يا صفر باشد. 

صفحه 7:
وابستکی ‎aliens‏ ایس باق روبق سورت كتاج عتصر بطع بالائر خود مى توا و ۱ ‎aa‏ ند ادامه داشته باشد. :5 0 گی تا بالاتري اين واب ‎ ‎ 

صفحه 8:
هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی بای مجددا انجام كيرف 

صفحه 9:
فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه ساخت سلسله مراتبی #مقایسه های زوجی #ترکیب وزنها #تحلیل حساسیت روش رتبه بندی 

صفحه 10:
مثال تصور کنید که از بين سه اتومبیل 2,6 ,۸۵ یکی را انتخاب کنیم چهار معیارنراحتی ۰ قیمت » مصرف سوخت. مدل مطرح می باشد .حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم: ساختن سلسله مراتبی محاسبه وزن سازگاری سیستم 

صفحه 11:


صفحه 12:
توجیحات (قضاوت شفاهی) مقدار كاملا مرجح يا كاملا مهم تر يا كاملا مطلوب تر | ‎Extremely preferred‏ 9 ترجيح با اهميت يا مطلوبيت خيلى قوى لالومه؟ يمولا| ‏ 7 ‎preferred‏ ‏ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت قوی ‎Strongly preferred‏ 5 کمی مرجح پا کمی مهم تر یا کمی مطلوب تر | ‎Moderately preferred‏ 3 ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت یکسان ‎Equally preferred‏ 1 ترجیحات بین فواصل قوی 864.2 

صفحه 13:
متومبيل © محاسبه وز لتومبیل 8 1/6 1/2 1/8 +تومبیل۸ لتومبیل 8 لتومبیل) 

صفحه 14:
.قدم اول: مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم لتومبیل > لتومبیل 8 ‎A‏ ‏تومبیل ‏8 2 1 اتومبيل2 6 1 1/2 لتومبیل 8 1 1/6 1/8 اتومبيل» 15 19/6 13/8 جمع هر ستون 

صفحه 15:
قدم دوم: تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر متومبيل © 8/15 6/15 1/15 لتومبیل 8 12/19 6/19 1/19 A +تومبیل 8/13 4/13 1/13 ( نرمالاي زكردن) +تومبیل۸ لتومبیل 8 لتومبیل) 

صفحه 16:
قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر در هر سطر ( وزن ) متوسط سطر 0.593 0.341 0.066 1 لتومبیل > 0.533 0.400 0.067 1 لتومبیل 8 0.631 0.316 0.053 1 +تومبیل۸ 0.615 0.308 0.077 1 +تومبیل۸ +تومبیل 8 لتومبیل) جمع کل 

صفحه 17:
ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل بت به لتومبیل ) | لتومبیل 8 +تومبیل ۸۸ 1/4 1/3 1 +تومبیلظ۸ 1/2 1 3 لتومبیل 8 1 2 4 لتومبیل > 

صفحه 18:
‎oud.‏ اول: مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم ‏لتومبیل > لتومبیل 8 ‎A‏ ‏لتومبیل ‏0 ‏1/4 1/3 1 تومبیل ‎B iL‏ 12 1 3 تومبیل 0 1 2 4 تومبیل) 7/4 10/3 8 جمع هر ستون ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 19:
قدم دوم: تقسیم هر عنصر از ماتريس به جمع کل ستون همان عنصر متومبيل © 17 17 4/7 لتومبیل 8 1/10 3/10 9/10 A +تومبیل 1/8 3/8 4/8 ( نرمالاي زكردن) +تومبیل۸ لتومبیل 8 لتومبیل) 

صفحه 20:
قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر در هر سطر ( قیمت متوسط سطر 0123 0.320 0.557 1 تومبیل > 0.143 0.286 0.571 1 لتومبیل 8 0.100 0.300 0.600 1 +تومبیل۸ 0.125 0.375 0.500 1 ( +تومبیل۸ +تومبیل 8 لتومبیل) جمع کل ee 

صفحه 21:


صفحه 22:
لتومبیل > 1/6 1/3 ما ‎por‏ ‏1 85 يس مقا زوجى براى سه اد تومبيل 3 سيك به لتومبیل 8 1/4 +تومبیل ۸۵ +تومبیل۸ تومبیل 8 لتومبیل > 

صفحه 23:
3 . مدل. ماتريس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبک به A ‏اتومبيل 8 | لتومبیل‎ | لیبموتل‎ A Jussi 1 4 4 7 1 3 اتومبيل 8 1 17 1/4 تومبیل) 

صفحه 24:
۳ قيمت فمد وزن اتومبيل ها براى معيّاز تقاى مصرفعدل 9 مدل مصرف قيمت 0.265 0.087 0.123 +تومبیل ‎A‏ ‎B nail 0.320 0.274 0.655‏ 0.080 0.639 0.557 اتومبيل > 

صفحه 25:
مدل 1/4 1/2 راحتی 1/4 

صفحه 26:
وزن هر یک از معیارها قیمت 0.398 مصرف 0.085 رلحتی 0218 مدل 0.299 

صفحه 27:
وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها مدل راحتی مصرف قیمت 65 | 0593 | 0087 | دون | لتومبیل ۸۵ B dest) 9 320 | 0.274 | 0.341 | 0.655 +تومبیل) 0.080 | 0.066 | 0.639 | 0.557 

صفحه 28:
محاسبه وزن نهائی اتومبیل وزن نهاتی اتومبیل ‎۸٩‏ ۲۶۵-۰ ۲۶۵9۰ DAVE ۲۹۹۰ ۰۵۷۰ ۲۱۸۵۰۰۱۲۳۸۰۰۸۵۸۰ ۸ وزن نهائى اتومبيل 8 - ٠ ۵۵ ۳۴۱۸۰۲۹۹ ۳۳۴۸۰۰۲۱۸۵۰ ۱۳۲۰۸۰۰۸۵۸۰ ۸ وزن نهائى اتومبيل © Ve os PF te NAA ee SPA VMAs DOVH ‏مهل‎ ۸ 

صفحه 29:
اولویت اتومبيل اولويت نهائى اتومبيل ها وزن 0.431 0.314 0.265 

صفحه 30:
ساختن سلسله مراتبی سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقمی می ‎Sah‏ در زین آن نف کلی مینله و جررسیطرح بعبی معیاز ها و گزینه ما قراز._ «جازقده هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد . سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها 

صفحه 31:
یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی = 

صفحه 32:
5 کیفیت آموزشی ۴: استانارد کلیدانش ‎pel‏ لاد آملدگی بای دانشگاه ‏ : سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه 

صفحه 33:
محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد: ‎local priority ) (2.5 335 ©‏ ) وزن نهایی ( ‎coverall priority‏ 

صفحه 34:
روشهای محاسبه وزن نسبی روش حداقل مربعات روش حداقل مربعات لگاریتمی روش بردار ویژه روشهای تقریبی 

صفحه 35:
(least squares method ) Jabs pig, مربعات = ۷ در حالت سازكارى (به ازاء كليه و 1( يا ‎a = Ay‏ ها زره <۱ در حلشاسازگاییدحلقل و يا ‎WeayW da, “Wy‏ ‎Sashes a‏ 

صفحه 36:
مپزانی حل معناله قوق ؟ معادله ‎٩‏ گراژژی آن به صورت زیر در نظرگرفته می شوه ‎Swe]‏ 24+ 39 isl jal ial ‏اگر از معادله فوق نسبت به ,۷ : مشتق بگیریم خواهیم داشت‎ ‏-۷ه) ( -به(۱ -۷ارج)‎ ۷+۸-۵0 1=12...n JA Me md «sdb N=2_ 51 la?- 22+ ۵ +2 ‏ره جره)‎ + =0 - (a+ a). Wela2- 22 + ‏ره‎ + 1+ =0 W+W =1 

صفحه 37:
: ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر بگیرید 1 1/3 2 A=|3 1 3 21/3 1 (نشان می دهیم ماتریس مقایسه . ناسازگار است ۰ ۱ بوزن‌هر معیار را با روش‌حدلقلمربعاتب ه دستمی‌آویيم (9 

صفحه 38:
شد ماتریس ناسازگار خواهد بود. 21/3۵21 وره< ۶۵ وه < 23 ورة ,21/3 وه اكر رلقلة 4 برای یکی از را ها برقرار ن 9-102 5/2W;+A =0 - 10131۷+ 2091۷۰ 10/31% +4 =0 - 5/24 - 10/3 + ‏لک‎ AIK +2. =0 1+ 1+ ۱-1 w=01735 ‏يلا‎ -06059 ‏از‎ =0.2206 : از حل دستگاه فوق خواهیم داشت 

صفحه 39:
روش حداقل مربعات لگاریتمی ‎(ogarithmic least squares method)‏ در حالت سازگاری ( به ازاء [و أ( يا ۲ رها ‎_W,‏ ‏,05/0 هر ره ).4 #1 1 در جا لاسارگاریحلقل وا يا ‎ary Ww, ay WwW,‏ ‎Sst‏ :میانگین هندسی این اختلافات برابر است با 

صفحه 40:
در حالت سازگاری در حالت ناسازگاری Ms (Lng- LAw/yy)) = 2 1 11 راد مسلط - ۸ -ومتا ۶ 1 13 

صفحه 41:
)Eigenvector Method apy ‏دار‎ ia A a, Wa, Wt +a, W,=2.W ‏ترح ۷۷ ,ره +۰۰۰+ ۷۷ مره +۷ ريه‎ . 67 7 22 ,2۲۷ +۰.۰+ ۷ ره +۲۷ ره mn ‏و‎ 7 wou J ۲ ۱ ۱ ‏ام ونأ یک عدد ثابت است‎ i pase jg Wey cull el pl Hence eg 

صفحه 42:
وزن عنصر :ام طبق تعریف قبل برابر است با + 1 تن ركبا - 1 ‎a, W,‏ ۷۷-۵ 7 1 2 ‎i=l‏ ‏دستگاه معادلات فوق را به صورت زیر می توان نوشت: ‎a‏ AxW=).W call Mul SA ‏كه همان ماتریس مقایسه زوجی [یینی ۰ [ 3 ]4و 1۷ بردار وزن و‎ ۲ ۳ 

صفحه 43:
eo ») مثال برای ماتریس زیر بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم. 4 2 ‎ia‏ ‏حل: ‏2۰۲-0 2+۵۲ _ 2۲ |4۲ +21] 4۱۲ 2 ‎WwW) ۱3۲3 jaw} ۱3۷۲3۷ - 2۲۷ -0‏ 1 3 براى حل اين دستكاه مى توان نوشت: 3 ]02- (+4۷ -0 3(2- A) W+12W, =0 + )2- ‏|(د‎ 311+ )3- 2( ۲-۵ |- 3(2- A) W- (2- A)B- a) WG =0 \ J 

صفحه 44:
)» ( که خواهیم داشت: 1217- )2- ۸(6- 2(1۷ <0[ ‏ور‎ (2- A)GB- A) ‏د0ع‎ 22- 52- 6-0 W, 40 => jA=+6,-1 با قرار دادن مقادیر 2 در دستگاه فوق و با استفاده از رابطه 1 14 + ]۰14 بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود. 05- ۲۷-۲ د 0- 4۲ +4۷۷ - >6= ‎A‏ ‎W=4, W =-‏ = 0- 41 +31 ح1 -- بر رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است: 3 2 Fy 4 ل = )3 -% )3 3 و لخد و 

صفحه 45:
در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها . طبق مراحل زیر عمل می کنیم: ماتریس ۸ را تشکیل می دهیم. ‎C4. a porte‏ را مشخص کنید. ۱ دترمينان ماتريسور بر ه) را محاسبه کرده و آن را مساوی صفر قرار داده ورمقادیر را محاسبه کنید. بزرگترین بر پا بر نامیده و آن را در ‎(A Riga) KWH‏ قار ده وب ده طبر و ‎(A> Ap,‏ مقادهي ها را محاسبه نمایید. 

صفحه 46:
اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه بدست می آوریم . > I ‏هم ين دم‎ ‏مانن مر مرا ين‎ ‏جرازورن هم‎ 1-2 6 det@-~zN=|3 1a 3 =(- 2)8- 30- 2(+ 5-0 2 Moa 

صفحه 47:
| بعد از حل معادله قبل» 3.0536 حمحاسيق می گردد. معادله ماتریسی ۲۷-0« ( م2 4 تشکیل داده و ها را ماسبه می کنیم. - 6 6 hs W 3 - 20536 3 ۱۷۱0 2 My - 20536 [m معادله را به دستگاه فوق اضافه می کنیم. نتیجه زیر حاصل می شود. 1۷+ ۲۷ + ۲۷ 21 W* = (0.15710.5936 0.2498 

صفحه 48:
قضيه: براى يك ماتريس مثبت و معكوس ‎٠‏ همجون ماتريس مقايسه زوجى » بردار ویژه را می توان از رابطه زیر بدست آورد. 2. Wale ‏عاك‎ که در آن .0 ‎gf‏ می باشد. 

صفحه 49:
ابتدا ‎Abe‏ را محاسبه می کنیم. بطور مثال برای 1 > عل داریم: هط ‎an 1‏ ... مق يت سر | ال اي |سیی زر 1 إميه ... مك يه ‎ ‎ja ‏حال حاصل عبارت و 3 را محاسبه می نماییم: ‏ره 2 ‎a‏ ‏نقبة م« ... 1 1إ- وكم. ممعم م ‎Me ‎£ 0 ‎3 ‎i ‎ ‎ 

صفحه 50:
مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد: 4 و 1% 2 3 1 تعر 4 1 ور 3 4 i ‏است:‎ 4 fae fa scab | ‏محاسبه ون عناصر با استفاده‎ 

صفحه 51:
حل: در تکرار اول داریم: 26 ۳۷ ‎ée.A.e‏ ‏0.0583 .1.69 ‎normalize, yA — 0.5167‏ __ 15 | - بردار حاصل از جمع سطری ماتریس ۸ 483 0.1665 7.50 0.2583 

صفحه 52:
2 در تکرار دوم داریم: ‎Wwe Ave‏ 86 4 04583 15 8 35 4 13 7.75 11 5 4 2.416 185 2111168333 4 A= بنابر این خواهیم داشت: ۲۷ <)005867 051196 015994 02694۲ 

صفحه 53:
مقدار نهایی ۱۷ در تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است: ۲ <)005882 051259 015958 ۴ ۲ =(0.05882 0.51261 0.15971 0.2688k W =(0.05882 0.51261 0.15971 0.2688 

صفحه 54:
رمسهای‌ت-قریبی) ۱6۱000 صمناهصنده م۶ مجموع سطری مجموع ستونی میانگین حسابی میانگین هندسی © جه الوه" جه 

صفحه 55:
») مثال ماتريس مقايسه زوجى زير در دست است. با جهار روش ذكر شده بردار وزن را محاسبه مى يك 4 4 4 7 6 5 4]1 6 4 1 11/5 ۸ 4 1 1/4 ۱1/6 4 ‎A, |1/7 1/6 1/4 1‏ 

صفحه 56:
مجموع سطری 05 19 7 5 1 10.3 1120| مجمى عسرهرسم |6 4 1 1/5 0.1 | * 9.42 | - 4 1 1/4 1/6 1/7 1/6 1/4 1 156 0.0 

صفحه 57:
:مجموع ستونی 7 5 1 1/5 1 4 6 marke 151 643 1125 18 1/6 14 1 4 " 1/7 1/6 1/4 1 os (066 0.16 0.09 0.06 ‏تن‎ (0.68 0.16 0.09 0.00 

صفحه 58:
1 5 6 7 066 078 053 3 3 036 016 1013 نرمایزهی‌ستونه _ 6 4 1 1/5 2 009 004 011 4 1 1/4 1/6 1/7 1/6 1/4 1 0.09 0.03 0.02 0 0,590 0.245 0115 0,050 میانگین سطری پیت 

صفحه 59:
میانگین هندسی 1 5 6 7 4/1567 -7 1/5 1 4 6 یسدنه ‏میانگین‎ 1/1/5146 -0 1/6 1/4 1 4 4/1/6x1/4x1x4 =0.639 1/7 1/6 1/4 1 41/7x1/6x1/4x1 =0.27 0.6 02 نرمالیزه ی ستونها 01 تست 00 

صفحه 60:
محاسبه وزن نهایی وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید. 

صفحه 61:
مدير عامل كارخانه اى قصد دارد از بين دو نفر به اسامى و یکی را به عنوان مدير بخش بازاريابى انتخاب نمايد معيار هاى مورد نظر او عبارتند از: قابليت رهبرى و هدايت() تواناييهاى شخصى(”1) وتواناييهاى ادارى( 2) ماتريسهاى مقايسه زوجى زير در اين مورد بدست آمده اند. معيارها )تونايبهائادايى1) 2 تولنايبهاىم) ) قلبليتيهبرى/( ‎el LPA‏ x Y 2 ۲ 2 11 1 4 xl, 1 ‏از 2 1ر‎ 1 , = 11 3 11 3 4 Ya Yl3 7 4۳ 23 1 2 4451 

صفحه 62:
حل: ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم. 

صفحه 63:
محاسبه وزن 1 6 1 ‎ad 8 33 13 0.12‏ 5 8 36 4 3 1 اح 7[ كنقفلة"ه — 9 99 ‎—2ermalze,‏ }2 1 12-3 ‎i 464 036‏ 3 4 یعنی داریم: 21 8 ۲۷ 20360 ۲, 20512 ,۲ =0.12€ 

صفحه 64:
جر | ان ان مراحرن احير نج ادن ان normalize, 777 — normalize, Tf, = ی — ,7 992۵ _ در 1 = 3 3 1 D,= 

صفحه 65:
محاسبه وزن نهایی: Wy = «0128+ 0 0512+ G x0.360 =0.470¢ Ww, =¢ «0128+ G x0.512+ G x0.360 =0.529€ توجه داشته ‎Wy, = 145 antl‏ + ,تابر اين گزینه یا شخص 7 انتخاب می گردد. 

صفحه 66:
:محاسبه نرخ ناسازگاری #ماتریس سازگار و خصوصیات آن #ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس الگوریتم محاسبه نرخ ناسا گاری یک سلسله مراتبی 

صفحه 67:
ماتریس سازگار و خصوصیات آن اگر ‎n‏ معیار به شرح وسارسص) هاکته. باشیم ورماتزینن مقايسة. زوجی آنها به صورت زیر باشد : 2 رضیاع ل را 7 ‎A=|‏ ‏كه در أن _ترجيح عنصر را ی بر تشن می دهد . چنانچه در این ماتریسآلداشته باشیم : ‎i‏ / 2۵ ‏ره‎ 1, J, K=12,...,n آنگاه می گوییم ماتریس ۸ سازگار است . 

صفحه 68:
مثال Cc 2 6 1 3 1/3 1 193 01 ۰ All B=B\1/2 c|1/6 6م 3 28 < لمیسی‌عامرنستیه»6 63 ‎A[ 2‏ ‎Bl 1‏ = اهمیمس‌عاصرن سیر 8 2 

صفحه 69:
2 :طبق تعريف مى توان كفت مقدارويزه اين ماتريس( |ازرابطه زير به دست مى آيد ‎Rx =A‏ 2b col PX W ‏که حاصلضرب‎ 1 2 6 0.6 18 06 RxW=1/2 1 3) x}0.3} =/0.9) -3| 0.3 -3117 01 03 0.1 1 1/3 1/6 بنابراین خواهیم داشت: «۲۷ 317 

صفحه 70:
: هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است 1 _ مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد. 2. مقدار ویژه برابر طول ماتریس است ( ‎AW=nW‏ ‏3 مقدار ناسازگاری دراین ماتریس ضفر است . 

صفحه 71:
ماتریس ناسا زگار و خصوصیات ‎ol‏ ‏قضيه يك - اكر ...ردیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی ۸4 باشد مجموع مقادیر ‎bal‏ پرابر 2 است : n ahi =n 56 ‏قضيه دو بزركترين مقدار ويزه هبوره يزركثر يا مساوى‎ است (در این صورت برخی از ها ‎oe‏ خواهند بود.) Amax 2 2 ‘max — 

صفحه 72:
قضیه سه - اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد » مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت . که در آن به ترتيب بردار ‎Weed, Mog,‏ کچ پگ .یک ‎Da Pate‏ برابر إتربوده (بزركترين مقدار ويزه ) و بقيه آنها برابر صفر هستند بنابراین در این حالت می توان نوشت : در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی ‎٩‏ ناسازگرباشد ‎AW SB BE‏ سس 

صفحه 73:
کمی از « فاصله مى كيرد كه مى توان نو شت : ل .بح مار[ »ا كم ‎Amax~ 2‏ شاخص ناسازگاری ‎max‏ 2 <رس2 ‎[J = 3 _—‏ ‎n-1‏ 

صفحه 74:
۳ ۱. ماتریس مقایسه زوجی ۸ را تشکیل دهید. #براروژن را مشضین تماییة.. ۳. آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس ۸ (یعنی مشخم‌راییت ؟ اگر پاییخ میت آیتت :نب قیم جهارم برويد . در غير اين صورت با توجه به قدم هی زیر مقدار آن راتخمین بزنید: ۱-۳- با ضرب بردار ۷۷ در ماتریس ۸ تخمین مناسبی ازیه دست آورید ۲-۳- با تقسیم مقادیر به دست آمده برای ‎Jab oss uae Wy‏ را محاسبه نمایید . ‎Daw Ww‏ 2۳-۳ متوسط به دست آمده را بيدا كنيد . ‎ax‏ max ‏مقدار شاخص ناسا زگارتی را از رابطه زیر محاسبه می کنیم:‎ . ۴ سس د زر 5. نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : ‎al‏ ‏پرر ‏۴ 

صفحه 75:
مثال برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه كنيد . 8 2 1 ‎A=|1/2 1 6‏ 1 1/6 1/8 حل قدم او۲: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم : 059 4 2 ۲۷ 006 

صفحه 76:
») ee ‏قدم 3: از آنجا که مقدار بم«ملشخص نمی باشد . باید آن را طبق قدم های زیر‎ ‏قدم 1-3- تخمین ۲۷ م2‎ 1 2 8 ]0599 ۵ 3 ۴ ۸.۲۷ ۱1/2 1 0034 253 1/8 1/6 1| ۱۵۵6۵ ])9 04-ووو 2۳0996 مس - 1034 0 2-0197 Anas =019% ‏ووو‎ 5 nay tbe -2-3 pad قدم 3-3-محاسبه ميانكين ‎Lo A‏ 3.01¢= فحص + سم + ةر 01¢. 3 2 “max 

صفحه 77:
قدم ۴: محاسبه شاخص ناسازگاری l= yaa” 1 _3019 300۳ 7-1 3-1 ‏قدم ۵: محاسبه نرخ ناسازگاری‎ IR= 14 =0.017 ILR 5, نرخ ناساز گاری این ماتریس برابر ۰.۰۱۷ است که کمتر از ۰.۱ بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد . 

صفحه 78:
الگوريتم محاسبه نرخ ناسا زگاری یک سلسله مراتبی برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس ‏ پر وزن عنصر مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم . این حاصل جمع را می نامیم . همچنین وز 7 عناصر را در ماتربس های مربوطه ريع كرده و مجموعشان را نامكذارى مى كنيم . حاصلع تقعريم ‎TL‏ نرخ ناسازكارى سلسله مراتبى را مى دهد. ILR 

صفحه 79:
مدير عامل كارخانه اى قصد دارد از بين دو نفر به اسامى و یکی را به عنوان مدير بخش بازاريابى انتخاب نمايد معيار هاى مورد نظر او عبارتند از: قابليت رهبرى و هدايت() تواناييهاى شخصى(”1) وتواناييهاى ادارى( 2) ماتريسهاى مقايسه زوجى زير در اين مورد بدست آمده اند. معيارها )تونايبهائادايى1) 2 تولنايبهاىم) ) قلبليتيهبرى/( ‎el LPA‏ x Y 2 ۲ 2 11 1 4 xl, 1 ‏از 2 1ر‎ 1 , = 11 3 11 3 4 Ya Yl3 7 4۳ 23 1 2 4451 

صفحه 80:
در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم : 

صفحه 81:
با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز: 1 1/3 4 1/8 6/33 113 012 D=/3 1 2) -P™ |3/8 6/11 803 - ۳۳5 ۷-1 4 12 1 4/8 6/22 4/1 0.36 یعنی داریم : W,=0360, W,=0512, W,=0.128 D, = 1 4 eS; |4/5| WwW, = | ١ = ‏و‎ 1 “ts 2 ‏رزلا , تلقدبئلا‎ 5 | 1 3 —Bomnalize, ۳ = ay 9 lis 1 0 ‏د‎ 1 21/4 , ۷ =3/4 [1 2) ‏مس‎ yp [2/3 7 1 >, ۳ 1 1 « ۷۸2/۵ ۷۵۵ 

صفحه 82:
») وزن های نهایی هر کدام از اين گزینه ها برابر است با : W, =(4/5x0.128 + )1/ 40512 + )2/3«0.360 - 4 W, =(1/5x0.128+(3/4x0.512+ (1/3x0.360= 0.5296 برای ماتریس ‏ رواریم : 1 «۲۸ ‏مس(‎ Wh 1 1/3 1/4 012 038 ‏۲۲و‎ 3 1 2 ۶ 0514 + 1 41/2 1 036 112 

صفحه 83:
303 2.1 = 315 313 2 ‏صمسا ؟ سس‎ + Amag Jay = BA Ama * “mas =3,91¢ 038 1616+ Ape = 112 0.58= .1.1 ووو 3 3019 2 سا -رر ‎nt 3-1‏ : به همین ترتیب برای ماتریس های ‏ ,ل1 , 1 مي/أنوان نوشت LL, =L1, =LL, =0 LLR, =LLR, =LLR, =0 

صفحه 84:
0 77. -)]1<0052+]0128 0512 0360< 0 =0.054 0 0 77.0 -)1<0580+]0128 0512 0360< 0 2-6 0 = R= = 9054 og: 580 در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از ۰.۱ بوده و قابل قبول است و نیازی به . تجدید نظر در قضاوت ها نیست 

صفحه 85:
THE END 

‏AHP فرایند تحلیل سلسله مراتبی پیشگفتار یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی ( )Analytical Hierarchy process-AHPکه اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980مطرح شد .که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد . انواع حالت های تصمیم گیری تصمیم گیری فضای گسسته چند معیاره فضای پیوسته تک معیاره تک معیاره چند معیاره معیار کمی معیار کمی معیار کمی معیار کمی معیار کیفی معیار کیفی معیار کیفی معیار کیفی معیار کمی-کیفی معیار کمی-کیفی اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی اصل .1شرط معکوسی ()Reciprocal Condition ()Homogeneity اصل .2همگنی ()Dependency اصل .3وابستگی ()Expectation اصل .4انتظارات شرط معکوسی اگرترجیح عنصر Aبر عنصر Bبرابر nباشد ترجیح عنصر Bبر عنصر Aبرابر ‏n /1خواهد بود . همگنی عنصر Aبا عنصر Bباید همگن و قابل قیاس باشند .به بیان دیگر برتری عنصر Aبر عنصر Bنمی تواند بی نهایت یا صفر باشد. وابستگی هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح باالتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا باالترین سطح می تواند ادامه داشته باشد. انتظارات هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد. فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه ‏ساخت سلسله مراتبی ‏مقایسه های زوجی ‏ترکیب وزنها ‏تحلیل حساسیت ‏روش رتبه بندی مثال تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,Cیکی را انتخاب کنیم چهار معیار:راحتی ،قیمت ،مصرف سوخت ،مدل مطرح می باشد .حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم: ساختن سلسله مراتبی محاسبه وزن سازگاری سیستم ساختن سلسله مراتبی انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل محاسبه وزن تر=جیحات (قضاوت شفاهی) کامال مرجح یا کامال مهم تر یا کامال مطلوب تر ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت خیلی قوی ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت قوی کمی مرجح یا کمی مهم تر یا کمی مطلوب تر ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت یکسان ترجیحات بین فواصل قوی مقدار عددی ‏Extremely preferred 9 ‏Very strongly ‏preferred 7 ‏Strongly preferred 5 ‏Moderately preferred 3 ‏Equally preferred 1 8،6،4،2 محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ‏A ا=توم=بیل 8 2 1 ا=توم=بیلA 6 1 1/2 ا=توم=بیل B 1 1/6 1/8 ا=توم=بیلC .قدم اول :مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B 8 2 ‏A ا=توم=بیل 1 ا=توم=بیلA 6 1 1/2 ا=توم=بیل B 1 1/6 1/8 ا=توم=بیلC 15 19/6 13/8 جمع هر ستون قدم دوم :تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر ( نرماالیزکردن) ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ‏A ا=توم=بیل 8/15 12/19 8/13 ا=توم=بیلA 6/15 6/19 4/13 ا=توم=بیل B 1/15 1/19 1/13 ا=توم=بیلC قدم سوم :محاسبه متوسط عناصر در هر سطر ( وزن ) ا=توم=بیل B ا=توم=بیلA متوسط سطر ا=توم=بیل C 0.593 0.533 0.631 0.615 ا=توم=بیلA 0.341 0.400 0.316 0.308 ا=توم=بیلB 0.066 0.067 0.053 0.077 ا=توم=بیلC 1 1 1 1 جمع کل قیمت ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ا=توم=بیل A 1/4 1/3 1 ا=توم=بیلA 1/2 1 3 ا=توم=بیل B 1 2 4 ا=توم=بیل C .قدم اول :مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B 1/4 1/3 1/2 1 1 2 7/4 10/3 ‏A ا=توم=بیل 1 ا=توم=بیلA 3 ا=توم=بیل B 4 ا=توم=بیلC 8 جمع هر ستون قدم دوم :تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر ( نرماالیزکردن) ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ‏A ا=توم=بیل 1/7 1/10 1/8 ا=توم=بیلA 1/7 3/10 3/8 ا=توم=بیل B 4/7 9/10 4/8 ا=توم=بیلC قدم سوم :محاسبه متوسط عناصر در هر سطر ( قیمت ) ا=توم=بیل B ا=توم=بیلA متوسط سطر ا=توم=بیل C 0.143 0.100 0.125 0.286 0.300 0.375 0.557 0.571 0.600 0.500 ا=توم=بیلC 1 1 1 1 جمع کل 0.123 0.320 ا=توم=بیلA ا=توم=بیلB مصرف ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ا=توم=بیل A 1/6 1/4 1 ا=توم=بیلA 1/3 1 4 ا=توم=بیل B 1 3 6 ا=توم=بیل C مدل ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ا=توم=بیل A 4 4 1 ا=توم=بیل A 7 1 3 ا=توم=بیل B 1 1/7 1/4 ا=توم=بیلC مصرفمدل قیمت و ، وزن اتومبیل ها برای معیار های مدل مصرف قیمت 0.265 0.087 0.123 ا=توم=بیل A 0.655 0.274 0.320 ا=توم=بیل B 0.080 0.639 0.557 ا=توم=بیلC ماتریس مقایسه زوجی معیارها مدل راحتی مصرف قیمت 2 2 3 1 قیمت 1/4 1/4 1 1/3 مصرف 1/2 1 4 1/2 1 2 4 1/2 راحتی مدل وزن هر یک از معیارها قYYیمت 0.398 مYصرف راYحYتی مYدل 0.085 0.218 0.299 وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها مدل راحتی مصرف قیمت 0.265 0.593 0.087 0.123 ا=توم=بیل A 0.655 0.341 0.274 0.320 ا=توم=بیل B 0.080 0.066 0.639 0.557 ا=توم=بیلC محاسبه وزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل A 0.265=0.265*0.593+0.299*0.087+0.218*0.123+0.085*0.398 وزن نهائی اتومبیل B 0.421=0.655*0.341+0.299*0.274+0.218*0.320+0.085*0.398 وزن نهائی اتومبیل C 0.314=0.080*0.066+0.299*0.639+0.218*0.557+0.085*0.398 اولویت نهائی اتومبیل ها وزن اولویت اتومبیل 1 ‏B 0.431 2 ‏C 0.314 3 ‏A 0.265 ساختن سلسله مراتبی در سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد که راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند ، هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد .سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی تصمیم کلی مساله (هدف) معیار n ... معیار2 معیار1 زیر معیارn ... زیر معیار2 زیر معیار 1 گ---زینهn - ... گ---زینه2 - گ---زینه1 - سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه :Sکیفیت آموزشی :Fاستاندارد کلی دانش آموزان :Vنظم :Kآمادگی برای دانشگاه : Lآموزشهای جانبی انتخاب بهترین مدرسه اجتماعی آموزشی فرهنگی ‏L ‏C ‏B ‏A ‏K ‏V ‏F ‏S محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی ‏ ‏ محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد: وزن نسبی ( ( local priority وزن نهایی ( )overall priority روشهای محاسبه وزن نسبی .1 .2 .3 .4 روش حداقل مربعات روش حداقل مربعات لگاریتمی روش بردار ویژه روشهای تقریبی ( least squares method )رو=شح=دا=ق=ل م=رب=ع=ات Wi  aijWj ها aij Wi W ) یاi وj در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه aij Wi W ی اi وj لت اسازگاری(ح داقل در حا ن j Wi  aijWj ) ب رایی ک j n n MINZ  aijWj - Wi i 1 j 1 St: n Wi 1  i 1  2  معادله الگرانژی آن به صورت زیر در نظرگرفته می شود، برای حل مساله فوق. n n  n  L   aijWj - Wi   2   Wi  1  i1 j 1  i1  مشتق بگیریم خواهیم داشت: wl اگر از معادله فوق نسبت به 2 n n   a W  W  a    a W  W    0 il l i il lj i 1 a 2 11 j l j 1 داریم، باشد:n=2 اگر  2 21  2a11  a  2 .W1   a12  a21.W2   0  2 2    a21  a12.W1  a12  2a12  a22  2 .W2   0 W1  W2 1 l 1,2,...,n مثال :ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر بگیرید ‏ 1 1/ 3 1/ 2 ‏3 1 ‏ 3 ‏A=  ‏ ‏ 2 1/ 3 1  )نشان Yمی دهیم ماتریس مقایسه ،ناسازگار است 1 . .وزYنهر مYعیار را بYYا روYشحYداYقYلمYربYعYاتبYYه YدYسYتمYیآورYیYم )2 رابطهaik . akj  اگر aij برای یکی از i,j,kها برقرار نباشد ماتریس ناسازگار خواهد بود. ‏a12 1/ 3, a23 3  a13 a12 a23 1/ 33 1 15W1  10/ 3W2  5/ 2W3   0 ‏ 10/ 3W1  20/ 9W2  10/ 3W3   0 ‏ 5/ 2W1  10/ 3W2  45/ 4W3   0 ‏W1  W2  W3 1 ‏W1 0.1735 ‏W2 0.6059 ‏W3 0.2206 :از حل دستگاه فوق خواهیم داشت روش حداقل مربYعات لگاریتمی )(logarithmic least squares method در حالت سازگاری ( به ازاء jو )iیا لت اسازگاری(حداقل jو iی ا در حا ن ‏1 ‏Wj ‏Wj 1 ‏Wj ‏Wj ‏aij ها کلیه aij Wi ‏Wj ‏aij Wi W ‏j ‏aij ) ب رایی ک :میانگین هندسی این اختالفات برابر است با 1 1 ‏ n2 ‏  Z n2 ‏ ‏ ‏Wj ‏ n n ‏  aij ‏ ‏Wi ‏ i1 j 1 n n 1 1  Lnaij  LnWi /Wj     i j 0 1 n n  Lnaij  LnWi /Wj  2  n i1 j 1  1  2 LnZ n در حالت سازگاری در حالت ناسازگاری )Eigenvector Method =( رو=شب==ردار و=یژه a11 W1  a12 W2    a1n Wn  .W1 a a21 W1  a22 W2    a2n Wn  .W2  an1 W1  an2 W2    ann Wn  .Wn ij j یک عدد ثابت است  ام وi وزن عنصرWi ام است و ام برiترجیح عنصر. وزن عنصر :iام طبق تعریف قبل برابر است با ‏i 1,2, , n 1 n ‏Wi   aij Wj ‏ i1 دستگاه معادالت فوق را به صورت زیر می توان نوشت: ‏A ‏AW  .W که همان ماتریس مقایسه زوجی{ یعنی ] } A [aijو Wبردار وزن و یک اسکالر است. مثال . بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم،برای ماتریس زیر  2 4  3 3   :حل 2W1  4W2   .W1 0  2 4  W1   2W1  4W2   .W1  3 3  W   3W  3W   W   3W  3W   .W 0    2  1 2 2 2  2  1 :برای حل این دستگاه می توان نوشت (2  ) W1  4W2 0    (2  )  3W1  (3  ) W2 0 3 3 (2  ) W1  12W2 0    3 (2  ) W1  (2  )(3  ) W2 0 که خواهیم داشت: 12W2  (2  )(3  ) W2 0 2 ‏ 12 ‏ ( 2 ‏ ‏ () 3 ‏ ‏ ) ‏ 0 ‏ ‏ ‏ 5  6 0 ‏ ‏W2 0 ‏ ‏ 6 ,  1 ‏ با قرار دادن مقادیر در دستگاه فوق و با استفاده از رابطه ،W1  W2 1بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود. ‏ 6   4W1  4W2 0  W1 W2 0.5 ‏  1 3W1  4W2 0  W1 4 , W2  3 رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است: ‏ 2 4  4  ‏ 4 ‏ 3 3   3 ( 1)  3 ‏ ‏   ‏  ‏ 2 4  0.5 ‏ 0.5 ‏ 3 3  0.5 6 0.5 ‏ ‏   ‏  در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ،طبق مراحل زیر عمل می کنیم: .1 .2 .3 .4 ماتریس Aرا تشکیل می دهیم. ماتریس) ( A  .Iرا مشخص کنید. ماتریس ( A  .Iرا محاسبه کرده و آن را مساوی صفر قرار دترمینان ) داده ومقادیر را محاسبه کنید. بزرگترین را  maxنامیده و آن را در رابطه( A   maxI ) W 0 Wها را ازرابطه ( A   I ) Wمقادیر قرار داده و با استفاده ‏ 0 ‏i ‏max محاسبه نمایید. مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه بدست می آوریم . :حل 1 2 3 ‏ 1 ‏ 1 3 1 1 3 ‏ ‏1 ‏A  3 ‏ ‏2 ‏ 1 1  1 3 2 5 3 ‏det(A I )  3 1  3 (1  )  3(1  )  0 2 1 2 1  3 محاسبه می گردد .معادله ماتریسی بعد از حل معادله قبل، ‏max 3.0536 محاسبه می کنیم.   maxI ) W 0را( Aتشکیل داده و ها را Wi معادله 1  W  ‏  2.0536 1 1 3 2  ‏ ‏W  0 3 ‏ 2 . 0536 3 ‏ ‏ ‏  2 ‏ 2 1 ‏ 2.0536  W3  3 ‏ ‏ را به دستگاه فوق اضافه می کنیم .نتیجه زیر حاصل می شود. ‏W1  W2  W3 1 ‏WT  (0.1571, 0.5936, 0.2493 ) قضیه: برای یک ماتریس مثبت و معکوس ،همچون ماتریس مقایسه زوجی ،بردار ویژه را می توان از رابطه زیر بدست آورد. ‏Ak. e ‏W  lim k  T k ‏e . A .e که در آن ) eT (1,1, ,1می باشد. k A .e ابتدا : داریمk =1 بطور مثال برای.را محاسبه می کنیم  a11 a Ak. e  21     an1 a12 a22     an2   n  a   1j  a1n  1    jn1  1   a2n  a 2j       j  1           n  ann 1 a   j 1 nj  : را محاسبه می نماییمeT .Ak .e حال حاصل عبارت  n  a   1j   jn1  n n  a  T k T k  2 j    aij e .A .e e .(A .e) 1 1  1  j 1   i1 j 1   n  a   j 1 nj  مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد: ‏1 1 1 1  9 3 4 ‏ ‏9 1 3 2  ‏A  3 1 1 1  3 2 ‏ 1 ‏ 4 محاسبه ون عناصر با استفادهاز1قضیه 2 قبل به 2صورت زیر است: ‏ :حل 1 A .e 1 W  T 1 e . A .e :در تکرار اول داریم  1.694  0.05837   15   0.51675  A = بردار حاصل از جمع سطری ماتریس    normalize     W1    4.833  0.16651       7.50  0.25837  در تکرار دوم داریم: بنابر این خواهیم داشت: 2 ‏A .e 2 ‏W  T 2 ‏e .A .e 0.8889 ‏ 4 0.4583 1.5 ‏ ‏ 35 ‏ 4 13 7 . 75 ‏ ‏A2   ‏ 11 1.25 ‏ 4 2.4167 ‏ ‏ ‏18.5 2.1111 6.8333 4  ‏ ‏W2  0.05867 0.51196 0.15994 0.26943 مقدار نهایی Wدر تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است: ‏ ‏W3  0.05882 0.51259 0.15958 0.26943 ‏ ‏W4  0.05882 0.51261 0.15971 0.26886 ‏ ‏W5  0.05882 0.51261 0.15971 0.26886 رو=ش=هایت==قریبی()Approximation Method .1 .2 .3 .4 مجموع سطری مجموع ستونی میانگین حسابی میانگین هندسی مثال ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است .با چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می کنیم. ‏A4 7 ‏ 6 4 ‏ 1 ‏A3 ‏A1 A2 5 6 ‏ 1 ‏ 1/ 5 1 4 ‏ ‏1/ 6 1/ 4 1 ‏ ‏1/ 7 1/ 6 1/ 4 ‏A1 ‏A2 ‏A3 ‏A4 :مجموع سطری ‏ 0.51 ‏ 0.30 ‏ ‏ ‏ 0.15 ‏ ‏ ‏ 0.04 بردار نرمالیزه ‏ 19  ‏11.20 ‏ ‏ ‏ 5.42 ‏ ‏ ‏ 1.56 مجموع عناصر هر سطر 7 6 4 ‏ 1 ‏ 1 5 6 ‏ 1/ 5 1 4 ‏ ‏1/ 6 1/ 4 1 ‏ ‏1/ 7 1/ 6 1/ 4 :مجموع ستونی 6.43 11.25 18 0.16 0.09 0.06 ‏1.51 ‏ 0.68 مجموع عناصر هر ستون بردار نرمالیزه 7 ‏ 6 4 ‏ 1 ‏ 1 5 6 ‏ 1/ 5 1 4 ‏ ‏1/ 6 1/ 4 1 ‏ ‏1/ 7 1/ 6 1/ 4 0.16 0.09 0.06 ‏ 0.66 بردار معکوس میانگین حسابی: 0.39 0.33 0.22 ‏ 0.06 0.53 0.36 0.09 0.02 0.78 0.16 0.04 0.03 ‏ 0.66 ‏ 0.13 ‏ ‏ 0.11 ‏ ‏ 0.09 نرمالیزه ی ستونها ‏ 0.590 ‏ 0.245 ‏ ‏ ‏ 0.115 ‏ ‏ ‏ 0.050 7 ‏ 6 4 ‏ 1 ‏ 1 5 6 ‏ 1/ 5 1 4 ‏ ‏1/ 6 1/ 4 1 ‏ ‏1/ 7 1/ 6 1/ 4 میانگین سطری میانگین هندسی:  1 5 6  1/ 5 1 4  1/ 6 1/ 4 1  1/ 7 1/ 6 1/ 4 7  6 4  1 نرمالیزه ی ستونها میانگین هندسی  0.61  0.24    0.10   0 . 04    4 1567 3.807   4   1/ 5146 1.480   4 1/ 61/ 414 0.639  4   1/ 71/ 61/ 41 0.278 محاسبه وزن نهایی وزن نهایی هر گزینه در یک Yفرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید. مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخصی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. معیارها ‏A 1 4 2 ‏ 1 ‏ ‏L P 1 ‏ ‏L 1 3 ‏ ‏P 3 1 ‏ 1 ‏A 4 2 ‏ (ت==وا=ناییهایادار=ی(A ‏X Y ‏X  1 2 ‏1  1 ‏Y ‏2  ت==وا=ناییهای (P (ش==خصی ‏X Y ‏X  1 1 ‏ 3 ‏Y  3 1 ‏ ‏ ( ق=اب=لیتر=ه=بری)L ‏X Y ‏X  1 4 ‏1  1 ‏Y ‏4  حل: ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم. هدف ‏A ‏L ‏P ‏Y ‏X محاسبه وزن  1 D1  3  4  1 3 1 1 2 1 6 1 1  8 33 13  0.128 4 normalize  3 6 8  rowmeans      W1   0.512 2          8 11 13  0.360 1  4 6 4   8 22 13 :یعنی داریم WA 0.360, WP 0.512 ,WL 0.128  1 4 D2   1   4 1  4  5 4 1 normalize     W2     WLX  ,WLY  1 5 5    5 1  1 D3   3  3 1    1  4 1 3 normalize     W3     WPX  ,WPY  3 4 4    4  1 2 D4   1   2 1  2  3 2 1 normalize     W4     WAX  ,WAY  1 3 3    3 محاسبه وزن نهایی: 4 1 2 ‏WX ( 0.128)  ( 0.512)  ( 0.360) 0.4704 5 4 3 1 3 1 ‏WY ( 0.128)  ( 0.512)  ( 0.360) 0.5296 5 4 3 توجه داشته باشید کهWX  WY 1بنابر این گزینه یا شخص Yانتخاب می گردد. :محاسبه نرخ ناسازگاری ‏ماتریس سازگار و خصوصیات آن ‏ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن ‏الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریسY ‏الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی ماتریس سازگار و خصوصیات آن اگر nمعیار به شرح C1 , C2 , ,Cn داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : ‏i , j 1,2, , n که در آن ترجیح عنصر ‏a این ماتریسijداشته باشیم : را ‏A  aij  بر نشان می دهد .چنانچه در ‏cj ci ‏i , j , k 1,2, , n آنگاه می گوییم ماتریس Aسازگار است . ‏aik akj aij A B مثال C A 1 2 6 p1  B 1/ 2 1 3 C  1/ 6 1/ 3 1 C YهYYسبتبYYناصر نYسبیعYYهمیتنYا A  6  B  3 C  1 B YهYYسبتبYYناصر نYسبیعYYهمیتنYا A B C  2  1   1/ 3  0.6   0.6 W  0 . 3   W  0.3   0.1  0.1  :طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس( )ازرابطه زیر به دست می آید ‏P1  W  . W برابر است با : که حاصلضرب P1  W 2 6  0.6  1.8 ‏ 1 ‏ 0.6 ‏P1  W 1/ 2 1 3   0.3   0.9 3 0.3 3W ‏1/ 6 1/ 3 1  0.1  0.3 ‏ 0.1 بنابراین خواهیم داشت: 3. W ‏P1  W   :هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است .1 .2 .3 مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد. ‏AW مقدار ویژه برابر طول ماتریس است ( . ) nW مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است . ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی Aباشد قضیه یک – اگر 1,  2 , ,  n مجموع مقادیر آنها برابر nاست : ‏n ‏i  n ‏ ‏i ‏1 همواره بزرگتر یا مساوی n قضیه دو – بزرگترین مقدار ویژه ‏ max است (در این صورت برخی از ها منفی خواهند بود ). ‏ ‏ max  n قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ،مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت . ‏ به ترتیب بردار ویژه وW . Aیک باشد Wمی ماتریس A مقدار.ویژه که در آن ‏بوده (بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر برابر n ویژه مقدار ‏W و هستند .بنابراین در این حالت می توان نوشت : قضیه ، 3 در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی Aناسازگار باشد طبق ‏AW ‏nW ‏max کمی از nفاصله می گیرد که می توان نو شت : ‏A W  max . W شاخص ناسازگاری ‏ max  n ‏ max  n ‏I.I  ‏n 1 الگوریتم مح=اسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس .1ماتریس مقایسه زوجی Aرا تشکیل دهید. .2بردار وزن Wرا مشخص نمایید . مشخصاست ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم .3آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس ( Aیعنی maxزیر مقدار آن راتخمین بزنید : چهارم بروید .در غیر این صورت با توجه به قدم های ازبه دست آورید -1-3با ضرب بردار Wدر ماتریس Aتخمین مناسبی تخمین هایی از -2-3با تقسیم مقادیر به دست آمده برای مربوطهmax بر.W W را محاسبه نمایید . ‏max .W -3-3متوسط به دست آمده را پیدا کنید . ‏max ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می کنیم: . 4مقدار شاخص  max ‏max  n ‏I.I  ‏n 1 .5نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : ‏I.I. ‏I.R.  ‏I.I.R مثال برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید . 2 8 ‏ 1 ‏A  1/ 2 1 6 ‏ 1/ 8 1/ 6 1 حل قدم 1و :2با استفاده از روش میانگین حسابی داریم : ‏ 0.593 ‏W   0.341 ‏ 0.066 قدم :3از آنجا که مقدار  max مشخص نمی باشد ،باید آن را طبق قدم های زیر تخمین بزنیم . قدم -1-3تخمین max .W قدم -2-3محاسبه maxها قدم -3-3محاسبه میانگین 2 8  0.593 ‏ 1 ‏ 1.803 ‏A . W  1/ 2 1 6  0.341   1.034 ‏ 1/ 8 1/ 6 1  0.066 ‏ 0.197 ‏max1 1.08030.5933.040 ‏max2 1.0340.3413.032 ‏max ها ‏max3 0.1970.0662.985 ‏max1  max2  max3 ‏max  ‏3.019 3 قدم :4محاسبه شاخص ناسازگاری ‏max  n 3.019 3 ‏I.I  ‏ ‏0.010 ‏n 1 3 1 قدم :5محاسبه نرخ ناسازگاری ‏I.I. ‏I.R.  ‏0.017 ‏I.I.R 33 نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017است که کمتر از 0.1بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد . الگوریتم محاس=به نرخ ناسازگاری یک س=لسله مراتبی برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس .راI.Iدر وزن عنصر مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها وزنI.I را به دست می آوریم .این حاصل جمع را می نامیم .همچنین . ضربIکرده و مجموعشان را عناصر را در ماتریس های مربوطه.I.R. تقسیم حاصل . کنیم می نامگذاری ‏I.I.R I.Iنرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد . ‏I.I.R مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخصی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. معیارها ‏A 1 4 2 ‏ 1 ‏ ‏L P 1 ‏ ‏L 1 3 ‏ ‏P 3 1 ‏ 1 ‏A 4 2 ‏ (ت==وا=ناییهایادار=ی(A ‏X Y ‏X  1 2 ‏1  1 ‏Y ‏2  ت==وا=ناییهای (P (ش==خصی ‏X Y ‏X  1 1 ‏ 3 ‏Y  3 1 ‏ ‏ ( ق=اب=لیتر=ه=بری)L ‏X Y ‏X  1 4 ‏1  1 ‏Y ‏4  در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم : هدف ‏A ‏Y ‏L ‏P ‏X ‏Y ‏X ‏Y ‏X :با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز  1 1/ 3 1/ 4 D1   3 1 2   normalize     4 1/ 2 1   1/ 8 6/ 33 1/13  0.128  3/ 8 6/11 8/13  normalize  0.512     W  1      4/ 8 6/ 22 4/13  0.360 : یعنی داریم WA 0.360 , Wp 0.512 , WL 0.128  1 4 normalize  4/ 5 D2        W   WLX 4/ 5 , WLY 1/ 5 2    1/ 4 1  1/ 5  1 3 normalize  1/ 4 D3      W3    WPX 1/ 4 , WPY 3/ 4   1/ 3 1  3/ 4  1 2 normalize  2/ 3 D2       W2    WAX 2/ 3 , WAY 1/ 3   1/ 2 1  1/ 3 : وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با WX  4/ 5 0.128  1/ 40.512   2/ 30.360  0.4704 WY 1/ 50.128   3/ 4 0.512  1/ 30.360  0.5296 : داریمD 1 D1 W1  max . W1  1 1/ 3 1/ 4  0.128  0.389 D1 W1   3 1 2    0.512   1.616  4 1/ 2 1   0.360  1.128 برای ماتریس  0.389 max . W1   1.616   1.128  3.039  max   3.156  3.133 max1  max2  max3  max  3.019 3  max  n 3.019 3 I.I   0.054 n 1 3 1 توان نوشتDمی 2 , D3 , D4 I.I.2  I.I.3  I.I.4 0 I.I.R.2  I.I.R.3  I.I.R.4 0 I.I.R.33 0.58 به همین ترتیب برای ماتریس های:  0 ‏I.I. 10.054   0.128 0.512 0.360  0 0.054 ‏ 0 ‏ 0 ‏I.I.R. 10.580   0.128 0.512 0.360 ‏  0 0.580 ‏ 0 ‏I.I. 0.054 ‏I.R.  ‏ ‏0.093 ‏I.I.R. 0.580 ‏ در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از 0.1بوده و قابل قبول است و نیازی به .تجدید نظر در قضاوت ها نیست THE END