گذار فاز

صفحه 1:
بطانام‌اخطا 

صفحه 2:


صفحه 3:
پدیده گذار فاز پديده‌اي است که با بروز يك ناپيوستگي در ترموديناميك يك دستگاه همراه است. گذار فاز مرتبة اول: تابع گییس در طي تغییر فاز ثابت مي‌ماند و شامل تغييراتي در آنترديپي (:) و حجم (۲) هستند مانند فرایند جوش - میعان گذار فاز مرتبة دوم و بالاتر: گذارهايي که بدون تغییر ناگهاني در چگالي با يك تفيين ناكهاني.در كرماي ويثة هعراة است. .دن لين كذازها شكست تقارن بدون تغییر حالت است. مثل تبدیل مواد یا رامغناطیس به مواد فرد مغناطیس در این‌چالت پارامتر نظم است و بدون اینکه سیستم تغییر حالت پیدا کند سیستم تقارنش را نسبت به دوران از دست مي‌دهد. 

صفحه 4:
جایگاه پدیده گذار در حل مسایل به روش آماری تحلیل پديده‌هاي فيزيكي در مكانيك آماري به طور كلي به دو دسته تقسيم مي شود: ” دستة اول: ساختارهاي ميكروسكويي سيستم غير حت موسي مراد ساوسو با يب سیستم به طور مستقیم از دانش به ترازهاي انرژي متعدد به دست مي‌اید. 7 دستة دوم: که پديدة گذار فاز به اين روش بررسي ‎no‏ شود تحلیل نقطة تکينة تابع ترموديناميمي است. 

صفحه 5:
پدیدة فرو مغناطیس * در بعضي از فلزات كسري از اسپین اتمها در دماي پایین‌تر از دماي خاصي (دماي بحراني) در يك جهت خاص تطبیده مي‌شوند و يك میدان مغناطيسي خود بخودي ایجاد مي‌کنند. مطالعة اساسي در گذار فاز مطالعه رفتار سیستم در همسايگي نقطة بحراني است. 

صفحه 6:
مدل آيزينكه هر جا كه با زنجيري از يك خصوصيت و يا با انتشاري که همسايگي در ‎ol‏ نقش مهمي داشته باشد مدل آیزینگ را مي‌توان آزمود. مثلاً بررسي يك بيماري مسري و انتشار أن در يك جامعه و يا ارتباط شركتهاي تجاري و بر هم كنش آنها با هم و همجنين در موقعيتهايي كه يارامتر يا كميت خاصي از سيستم دو انتخاب براي مقدار كيري داشته باشد يا بتوان تعداد اين انتخابها را به دو مقدار تقليل داد. 

صفحه 7:
مدل آیزینگ در گذار پارامغناطیس- فرو مغناطیس براي ‎Jo‏ سيستمهاي شيميايي- فيزيكکي که دستخوش انتفال فاز مي‌شوند بوسيلة آرایش شبکه‌اي که فقط نيروهاي بر هم كنشي اتمهايي که در همسايگي هم هستند را در نظر مي‌گيريم که نحوة آرايش (اشغال فضا) اين برهم کنش‌ها را تغيير ميدهد اين مدل خواص ترموديناميكي پدیده‌ها را تغییر نمي‌دهد. مدل آیزینگ تلاشي است براي شبيه‌سازي ساختار يك جسم فرومغناطیس و مزيت اصلي [ن اينست كه اين مدل در دو بعد به بررسي دقيق در مكانيك اماري منجر مي شود. 

صفحه 8:
مدل آیزینگ در گذار پارامغناطیس- فرو در اين مدل سيستم به صورت آرايه‌اي از « نقطة ثابت که جايكّاههاي شيكه ناميده ميشود و در نظر كرفته مي شود. اين آرايه شبكمة23بغدفيرة)ا تشكيل ميدهد كه يك متغيير اسييني به هر جايكآه شبكه [ع ات داده مي‌شود که عددي برابر 1+ يا 1- است. معرف يك پيكربندي است. شکل يك نمونه‌اي از يك پيكربندي ‎shy‏ سيستمي با 5 جایگاه است که پيكربندي این شکل (1-, 1+: 1+, ۷ 

صفحه 9:
مدل آیزینگ در گذار پارامغناطیس- فرو مغنا انرژي سیستم در يك پیکره بندي (:6 ‎Halon =F 00 — 0B‏ جملة اول ناشي از بر هم کنش اسپيني نزدیکترین همسایه است که در اين رابطه ! ثابت جفت شدگي یا متبادلي نام دارد که تابعي از.فاصلة بين :دو اسبين است مي تواند مثبت (در مواد فرومغناطيس) يا منفي (مواد يارامغناطيس) باشد. فرض مي‌کنيم که [ به مكان ذرة : و ز بستگي نداشته باشد. 2 معرفن زدیکترین‌همسايه‌هاي‌هر جایگاه اسنو 9 تعداد لین همسایه‌ها, هندسه شبکه از طریق , [ وارد مسكه مرشود. جمله دوم میانگین برهم کنش تك تك اسپین‌ها با میدان مغناطيسي است. 

صفحه 10:
بررسی مدل آیزینگ در یکبعد در ‎eee‏ این مدل ما از مدل ماتریس انتقال پيروي بآ استفاد: از خاصیت تبادلي شبکه بلوري ما مي‌توانیم ساختار بسته و متناهي را جایگزین شبکه متناوب بکنیم 

صفحه 11:
بررسی مدل آیزینگ در یک بعد ‎N N‏ Hy{oi} = —J Socio = tus Ve + 5441), isl ist ‏تابع پارش سیستم‎ On(B,T)= So + YO exp [es Se (ovis + 348 (or + cw o=t1 oval (o;|P lois1) = exp [B {Joioi4s + 44 B(0; + o141)}] ePltnB) 9 Bi cP ‏(ظر- 80 لحم اس‎ 

صفحه 12:
On(B.T)= ‏)رو ..- ر‎ lon} oalP los) ---(on-1lP low Mow |P loa) و که بر + الدب را عممنة > (رو|"طاره) [ 5 - (8.7) 4 الخدرو 2 = e cosh (BuB) + (e7 + &F sinh?(BuB)}'/2, ویژه مقادیر ماتریس 7 , تابع پارش يك جایگاه است که چون رده حرلان گفت نقش اسا سي را در توصيف خواص فيزيكي سيستم ویژه مقدار بزرگتر دارد. 0ج #(یدریه صنامیر > و2 مهاج ال ۵:02۰(-]۵۵۰7([ 2 

صفحه 13:
محاسبه كميتهاي ترموديناميكي سیستم و دماي ذار ‎O,(B.T)‏ ABT) =~ 3 B A(B, T) = —NJ — NKT In [cosh (BuB) + fe 4! + sink?(fj.B)}"/7] ‎yy — —__NHBsinh (BiB)‏ - )2( رنه ‎ar \T le“! + sinh? (BuB)}2‏ ‎+ / 46s [cosh (xB) + {e-4 + ‏رصن لقف )2لا (رصيرق) “طمته‎ ‎=) Nysinh (BB) ‏ع‎ ‎MQ,7T)s-(—) =— ‏سب‎ ‎۳ le fe + sinh?(pyBy}/2 

صفحه 14:
=; _ 8۸4۱ _ Nusinh (BuB) MES (a), © {e-4P! + sink? (BuBy'/2 ۸۵,۲۸ 

صفحه 15:
در غیاب میدان مغناطيسي, مغناطيسدگي سیستم صفر است البته اين در شرايطي است که سیستم به دماي گذار و پس از آن نرسیده باشد در آن صورت ما مغناطيسدگي خودبخودي خواهیم داشت. ‎Myo lie roles sly‏ >= وج ير معین 8 ‏برايه < ل يا بعبارتي 0 * ۲ 72-1 ج(*ه ‎(T>‏ ‎BJ ‏حب‎ ‎A>» (T° )=> M=-1 ‏بس © در 0 ‎T=‏ پیوسته ‏۰0 نقطه‌گذار 

صفحه 16:
اما بر اساس تقریب اول (تقریب ظا36) که در آیزینگ يكبعدي مي‌توان نشان داد که به ‎GS TU‏ فيزيكي مي‌رسد ما در یکبعد گذار نداریم. تقريب اول در این تقریب وقتي يك جایگاه سیستم را چایگاه مركزي مي‌گیرد علاوه بر هم کنش‌هايي که در مدل آیزینگ در نظر گرفته مي‌شود برهم کنش آسپينهاي همسایه با میدان مغناطيسي کل (شامل میدان مغناطيسي خارجي + میدان ذاتي متوسط) هم وارد مي‌شود. 7 x ‏3ح ره زر 5 (8 + هام - ومظس- ع ربول1‎ 5 0003, jl ja يكي از دلایل مطرح کردن مدل آیزینگ در یکبعد نشان دادن اين است که تقریب اول در یکبعد به نتايج دقيقي ميرسد 

صفحه 17:
تهای تر مو‌دینای» ‎P32? Le‏ ”2 مه تزا در غیاب میدان مغناطيسي 2 ۳ Nur ‏لقم‎ T)= 2 2000 5 درحد ++ َي ويزه به سمت صفرمین مي‌کند. Co(T) = (۷۸۵۴ ‏هه‎ )۵0( + 05 60۲ ne 

صفحه 18:
قلوری پدیده شناختی لاندائو این پدیده در مورد گزارهاي فاز مرتبة دوم که در نقطة گذار شکست تقارن داریم اتفاق مي‌افتد. لاندائو از نظریه گروهها استفاده کرد و تغییر تقارن در شبکه به هنگام گذار را به صورت بسطي از زیرگروهها در نظر گرفت و انرژي ترموديناميکي سیستم را به صورت تابعي از كميتهاي ترموديناميكي اختياري در نظر گرفت و بر حسب پارامتر منظم بسط داد و با استفاده از اين نکته که انرژي سیستم در نقطة گذار کمترین مقدار خود را دارد پارامتر نظم را محاسبه کرد و بر اساس آن ناپيوستگي در گرماي ویژه را توجیه کرد. 

صفحه 19:
w(tm)= q(t) - r(m +s(Om' +... (l= cry <<) 3 1 10 0-2 ys Is ko 7 از کمینه شدن ۷ در نقطه گذار به دست ‎gtlt) pl oT go‏ (])5و ‎lel palt)‏ شرايط مساله به شکل چند جملهابهای محدود در می‌آید. با دانستن ۷ بسیاری از کمیتهای ترمودینامیکی دیگر قابل محاسبه است. 

صفحه 20:
محاسبة انرژی آزاد سیستم در نزدیکی نقطه بحرانی در بررسی تابع انرژی سیستم در نزدیکی نقطة بحرانی (16-۰) برای پارامتر ] در مدل لاندانو که به صورت لج أمعرفى شد مشكل ایجاد می کند. ‎Yep), (P>2) Laat‏ )مه دا شرایط مطلوب ما بر آورده می‌شود. ‎ToTe= te‏ که تعريف دل یعنی ۸ ثابت باقی می‌ماند. ع رز سم پر اساس تئوری لاندانو به شکل w(t, h) = —Infcoshh + (4? + sinh? h)!?7] waren? ۷ >1( 

صفحه 21:
۳ ‏و‎ Ca ‏فرضية مقياسى‎ با استفاده از اين فرضيه علاوه بر يبدا كردن روابط مربوط به حالت سيستم می‌توان روابط بین آرايهها در نقطه بحرانى را به دست آورد. بر اساس اين فرضيه بكك تابع عمومى را به عنوان مقیاس برای همه سیستمهایی که با تتوری لاندائو مطابقت دارد معرفی می کند. رم ‎Hl‏ ‎clad a‏ عمومى هستند كه براى هر سيستم خاص به وسیلاً "و () و محدودیتهای تابع ‎ ‎۷ (۰ ‏] و مشتقش معن می‌شوند. تابع (160 یک تابع عمومی است که انتظار می‌رود دارای دو ‏شاخه باشد, ۴]برای ۰</ و آبرای ۰>/ 

صفحه 22:
محاسبهٌ انرژی آزاد سیستم در نزدیکی نقطةٌ بحرانی ‎YOU) P/ FHP!)‏ که در مقایسه با تابع معرفی شده در فرضیه مقیاسی womens i an2-Y, a=¥, اي ( ,۷ / m = sinh h/(t’/? + sink? h)!/? whe + ry? Oh « 1) ‏لتر قله‎ 

صفحه 23:
محاسبة تابع بارش بوسيلة مدل آیزینگ برای زنجیرة باز 1+ گرگ ۶-15 A= Y an onl ar ao} اولین و آخرین اسپین تنها یکبار در جمع درون تابع نمایی رخ می‌دهد بنابراین اين دو جمله را جدا کرده و اثر آنها در تابع پارش را به صورت مستقل می‌نویسیم. ‎exp(A 6,5) =2eosh( AN)‏ قم ‎sot ‏يس تابع پارش آن‎ ‎9,),1( - 26056/67۵, ,)۵,( 

صفحه 24:
با تكرار اين روش براى دو اسبين دوم و ماقبل آخر و سپس به همین ترتیب برای اسپینهای سوم از ابتدا و انتها و مانند آن خواهيم داشت. ۵, - 20۷/۱۵ ۵, <<. G6.) = Acosh( Bl) ca ia Oy =2"T] cos(A/) ‏و بنابراین‎ i 

صفحه 25:
آیزینگ مدل در دو بعد بکار گیری روش ماتریس انتقال که برای حل مسائل یکک بعدی در بخش پیش معرفی شد؛ در مسائل دو بعدی حتی در فقدان ميدان» یک کار بسیار سخت و پیچیده است. پس به نظر طبیعی میآید که به دنبال روشهای ساده‌تری باشیم. ما مسئله دو بعدی را به کمک یک تحلیل ترکیبی همزمان با کار كرافيكى بررسى مى كنيم» اين روش براى مطالعة تر کیبهای مولکولهای دایمری در یک شبکه داده شده مورد استفاده قرار مى كيرد. تابع توزیع» ميدان صفر سيستم با عبارت آشناى زير داده شده است: 11ل - ع ]1ر5 -(00.1 عم زم را براي دماي بالا و دماي يائين استخراج كنيم و يك رابطه بين اين دو به دست آوريم 

صفحه 26:
زمره #) بسط دماى بالا: از آنجا که حاصلضرب فقط مى توانيد ‎+١‏ يا ١-باشد‏ ما خواهيم داشت. لي ۰ص ند ‎cosh K(1+ oj0;v),‏ = > طصنه روره + کاطجمه ع بنابراین حاصلضرب روی تمامی نزدیکترین همسایه‌ها به شكل زير در مى آيد: (: تعداد نزدیکترین همسایه‌ها ۱۱ = cosy“! TT + 01040). تا ری زک مدرد دورن هسب مها بیج آلبه صورت 43۷ خواهد بود که ‎q‏ عدد تناسب می‌باشد. بنابراین تابع توزیع به صورت زیر می‌باشد: رمه 5 +1]| و ۰ ۶ هی = ‎QIN.)‏ ‎om‏ ده ره ‎+P SE Dower t. ‎ep ‎2 ‎ ‏حاصلضربی 51 ‎WO‏ به ‎connecting sits eS sige‏ 9000 از و ژدر شبکه داده شده در نظر گرفته ‏می‌شود. هر ضریبی از 7۳ به یکك گراف شامل ۲ تا قید متفاوت روش شبکه اشاره می‌شود. 

صفحه 27:
0 ja mp شکل ۰۱۲ ۵ گرافهایی با ۲-1 و ۲-2 در شبکه مربعی بعضی از 6ها فقط يكك بار در عبارت (6) ظاهر مىشوند. بنابراين اين جملهها در جمع | ,0 ] از بین می‌روند و همین حالت براى 3>/نيز درست است. فقط هنكامى كه با 1-4 كار مىكنيم هيج جملهاى از نوع 1ت ,6ر66 66ر6 ر6,6 در جمع 01 ) از بین نمی‌رود بلكه تركيب ”2 از هر كدام را داريم. واضح است جمله‌ای که از بین نمی‌رود مطابق با كرافى مىباشد كه در آن هر نوكث (قله) كراف به وسيلة تعداد يكسانى از مرزها احاطه مى شود به صورتی که گراف به شکل بسته‌ای در می‌آید. 

صفحه 28:
8 ۶-6 ۶-4 شکل ۰۱۲ ۲ نمونه‌هایی از گر افهای بسته با ۲ قید در یک شبکه مربعی بنابراین می‌توانیم عبارت (۴) را به صورت زیر داشته باشیم. )5( ۱۸01 ۲ راهم 2 00,7 (1201 تعداد گرافهایی است که می‌توانند در یک شبکه داده شده با استفاده از 1 تا قید تصور شونده به صورتی که هر قله از گراف به ‎ery‏ تعداد یکسانی از قیدها احاطه شده است. 

صفحه 29:
بنابراين این مسئله ما تبدیل می‌شود به اینکه چنین گرافهایی را در یک جامد داده شده معین کنیم. از آنجایکه ‎Le My ls ee a Vs tam Yn)‏ مقدار /7 كمتر است. بنابراين عبارت (۵) بخصوص برای دماهای بالا مفید است. برای در کك عینی درستی فرمولبندی کار با كرافهاء دو مثال را بررسى مى كنيم. 

صفحه 30:
الف). زنجیرة باز در مورد یک زنجيرة باز گراقهای باز ممکن هستند بنابراین برای عبارت (۵) خواهیم داشت: ۲-۰ و 2۷-1 4 بنابرا ین داریم: ۲( ۰( طومع) 2۳ -(0)۳1 0 7 ‏حاوم») ”2 - (0)1/,1 ج‎ ("١ كه با نتايج قبلى ما براى يكك زنجيرة باز كه به صورت زير مىباشد كاملاً در تطايق است. ۲ wat (2oosh (6;)} S) 1 = 2" T] cosh (61). odd ia 

صفحه 31:
آب) زنجیره بسته برای یکک زنجیرة بسته از گرافهای بسته استفاده می کنیم و خواهیم داشت. QUN,T)=2" (Cosh ky” Yn" QUN, T) = 2" (cosh K)"[1 + v"] = 2"[(cosh K)" + (sinh Ky], اگر عبارت (۰۱۲ ۰۱ ۵) را در نظر بگیریم ,42% 2 = راص) ععع < (م ارم 5 <(۵:)8.7 ‎ott‏ ‏با جایگذاری روابط آو آدر (۵۰۱۰.۱۲) ‎2coshk Ww‏ = و(یژ) ‎(do. =2sinhk — (U1)‏ مىبينيم که عبارت (۱۲. ۰۱ ۵) و عبارت زیر در تطایق کامل مىباشند. Q, =2" [cosh Ky” + (sinh Ky” ] 

صفحه 32:
‎(ii‏ بسط دمای پائین: فرض می کنیم که حالت پایة سیستم شامل همه اسپین‌هایی است که در یک جهت آرایش یافته‌اند و دارای انرژی کل 2-1 می‌باشد. اگر یک اسپین تغییر جهت بدهد انرژی سیستم با مقدار 201 افزایش پیدا می‌کند بنابراین مناسب است که همامیلتونین مستفیم به صورت جمله! ی از تعداد +۱ نوشته شود که -+[ نشان دهندة نزدیکترین جفتهای همسایه ناهمانند هستند. ‎H(N4-) =—J(N44 +N-- —N4-) = (4 — 24). 

صفحه 33:
بنابراین تبع توزیع سیستم به صورت زیر خواهد بود: 00,7(- ۵۲ ‏مرس‎ m(0) = 1], 7 به طورى كه (111)1 مشخص كنندة تعداد راههایی است که در آن ل[ اسپین شبکه می‌تواند آرایش یابند و 1 تا جفت از نزدیکترین همسایه‌های ناهمانند داریم, واضح است که اولین جمله غیر صفر در عبارت 0 بعد از جمله با ‎THO‏ جمله‌ای با 1-0 خواهد بود. 

صفحه 34:
na 6 5 شكل ؟1. 7 “كرافهاى متمايز كنندة اسبينهاى 90“ از اسيبنهاى ”101911“ با 8 تا جفت كنارى غير همسان ما مىبينيم كه هر جملهاى در عبارت 4 مىتواند با يكك كراف بسته نمايش داده شود كه يكك ناحيه از اسبين بابين را از ناحية با اسبين بالا جدا مى كند. محيط كراف دقيقاً تعداد جفتهاى كنارى غير همسان را مشخص مى كند. بنابراين كار ما به شمردن كرافهاى بسته تقليل بيدا مى كند. با توجه به اينكه عبارت (4) وابستكى به متغير “© دارد كه اين “62ب افزايش '1 افزايش مى يابد. بنابراين عبارت ‎٩‏ برای دماهای پائین مفید است. 

صفحه 35:
ْ) تبدیل دوگان : برای به دست آوردن رابطه مورد نظر ما ساختار یک شبکه دو گانه رابه صورت ترکیبی از دو شبکه در نظر می‌گیریم. ما نیمساز همذ مرزها را در یک شبکه در نظر مى كيريم تقاطع اين نمسازها محل قرار گرفتن شبکه جدید خواهد بودی. شکه نهایی از لحاظ ساختار ممکن است با هیچ کدام از شبکه‌هایی که با آنها شروع کرد‌ايم یکسان نباشده برای مثال یک شبکه دو گانه از شبکه‌های مریعی خود نیز شبکه‌ای مریعی است. اما یک شبکه دوگانه از شکه‌های مثلشی (06) در حفیقت یک شکه شش ضلعی (0-3) می‌باشد. 

صفحه 36:
شکل ۸۰۱۲ یک شبکه مربعی و شبکه دو كان آن (شبكه دو كانه نيز مربعى است) 

صفحه 37:


صفحه 38:
یک تناظر یک به یک بین گرافهایی از یک نوع در شبکه و گرافهای نوع دیگر در شبکه دوگانه وجود دارد با توجه به شکل ۰۱۲ ۶ و ۰۱۲ ۷ داریم. ‎n(r)=m,(r) 3 ar)=m,(r) (\+ ab)‏ یک دمای متفیر دیگر یعنی (*7//1,-) 16 را معرفی می کنیم به طوری که : )11( < 1۵0۳ رابطه ۱۱ می‌تواند به شکل متقارنتر زیر نوشته شود: sinh (2K) sinh (2K*) = 1. (12) 

صفحه 39:
با جایگزینی روابط (۱۰0) و ۱۱ در معادله ‎)٩(‏ به صورت زیر داریم: (10.5) m(r)=n,(r) |. Q(N,T) =e! ١ 1ن )13( “مها د “ند ‎QW, T=" Snore”,‏ اگر از معادلة (۵) برای شبکه دوگانه در دمای "1 استفاده كنيم خواهيم داشت: ‎(ru, (14)‏ ۸۵( ۲ م۲۶26 ,)و۵ ۲ ‏وام - وال 

صفحه 40:
با مقایسه روابط (۱۳) و (۱۴) به راب دلخواه به صورت زیر می‌رسیم: ‎QW, T) = 2-*2Ginh K* cosh K*)~'?Qp(Np, T*) (15)‏ كه تابع شبکه داده شده در دمای 7 می‌باشد که شبکه دوگانه در دمای "7 را تشکیل می‌دهند. معادلا (۱۵) تبديل دوكانة مورد نظر است. 

صفحه 41:
مدل کروی با ابعاد دلخواه: در ‎Sees‏ حل انسانگر برای مسئله آیزینگ دو بعدی در میدان صفرء تلاش‌های زیادی برای حل مسئلٌ سه بعدى در ميدان صفر يا مسئلة دو بعدی در حضور میدان با استفاده از راء حل انسانگر انجام شد. هیچ کدام از اين تلاش‌ها موفقیت آمیز نبود. بهترین حاصل از آن کسی بود که توانست حل انسانگر را با مفاهیم جديد دوباره نتيجهكيرى كند. اين موضوع به اين ايده نتيجه شد که شاید با در نظر گرفتن تغیراتی در مسئله در بیش از دو بعد از نظر ریاضی قابل حل باشد. یکی از این تغییرات توسط «کا کك» در سال ۱۹۷۴ انجام شد. او مدلی را پيشنهاد کرد که اسپین می‌تواند مقداری از بازة پیوستة )00,40 ‎ose = ۳‏ می نوا ار از هبو اختیار کند. (به جای مقادیر گسسته ۱-و ۱) به شکل تایع توزیع احتمال گوسی : 0 1 بوف فح ةالرمرزه) د رمه رهام 

صفحه 42:
ابن مدل عموماً به مدل كوسى منتسب است و تابع بارش آن با انتكران جند گانه‌ای زیر داده می‌شود: 3 LANNE ‏روط ابو‎ ov= |...])( ‏ع‎ an i 1] ‏م‎ ‎(K = BJ, h = BuB). 10‏ این انتگرال برای هر بعد با استفاده از تکنیک‌های استاندارد قابل حل است. براى جزئيات مى توان به مقالة ‏برلین دكاكك (1981) يا ييكر (۱۹۹۰) مراجعه کرد. 

صفحه 43:
دل كرسي نان مازبرای ۴< 1 را درردنای نتخود بر یک که مکعنی ساده تعت سر 4 نتیجه می‌دهد. وقتی که <- ۸4 باشده نتیجه همانی است كه نظرية میدان پیش‌ینی می‌کند. البته 2 تفاوت‌هایی هم وجود دارد. اول اينکه این مدل؛ گذار فاز در دمای محدود برای 52 4 را نشان نمی‌دهد. دوم ینکه توانهای بحرانی برای 4 > 4 > 2 غیر کلاسیک هستند.بعضی از آنها به 0 وابستهائد. اما براى 4 < 4 كلاسيكك مىشوند. مهمتر اين که در دماهای زیر ۰ جایی که از گ بيشتر مى شود افتگرال واگرا می‌شود و مدل شکست می‌شوزه: این موضوع باعث شد کاکث این مدل را رها د وعدل ‎aye Ss‏ کند که :در آن اسیین, ذویازه می‌تواند: مقدازی.از باه یوشته:احیاز کید اما عیدی رو مجموع وجود دارد: @ 52 »بر قید روی هر ] 1 9 ای ترجیح دارد. قید (۳) اجازه می‌دهد که هر یکک از اسین‌ها در یک محدودة تقریباً پهن ۸۶ - تا 7 تغيير كند. ما سوپر اسپین ( ,0 | را به سطح ایر کرة آا(یعدی با شعا 2 محدود می‌کند. در مدل آیزینگگ» این بردار محدود شده است به گوشه‌های ابر مکعبی که درون این کره قرار دارد. این مدل» مدل کروی نام دود 

صفحه 44:
قید (۳) را می‌توان با وارد کردن ابع دلتاى مناسب در انتككرال ده تابع يارش اعمال كرد. zai gals 37 ‏اح‎ 1 0-7 a(v-yoa) = 35 | et as, 0 تابع يارش مدل كروى با رابطة زیر داده می‌شود: ميم 0 - + 1 ‏یه‎ a ‏تن‎ PTT do, 9 برای 2 ثابت» انتگرال ‎say‏ می‌تواند به همان روشی که در مدل گوسی انجام می‌شود گرفته شود. جواب اين محاسبه را با (2016./:2 نمايش مىدهيم. در نتيجه تابع يارش مدل كروى با انتكرال کامل زیر داده می‌شود: tice )6( لجل )بر لت 4 1 ‎wa‏ ico) 

صفحه 45:
که می‌تواند با روش انقطه زینی؛ ارزیابی شود و به اسم روش +تندترین شیب» هم شناخته می شود. برای ال دم نقطة زینی در نقطهُ ۸0 < 2 می‌دانند که 50 با شرط زیر تعبین می‌شود: a an +InZy(K, h32)) 0 مده ‎hx). (8)‏ 2 جر + ند ند ‎inv‏ ‏خصوصیات ترمودینایکی سیستم با جزئیات به دست می‌آید 

صفحه 46:
فیزیکدانان به اين نتیجه رسیدند که استفاده از اين روش بسیار سخت است. پس جستجو برای یک رهیافت جایگزین؛ مورد توجه قرار گرفت. در ‎blog! pl‏ لویز و وایز (۱۹۵۲) به این نکته توجه کردند 2 كه در مدل برلین و کاک 3 متغير و “20061 ثابتاند. آنها آسنامبلى را بيشنهاد كردند كه هر دو كميت 13 ‎é 2‏ ول » متغیر هستند. پس دیگر از روش تندترین شیب استفاده نمی‌شود. در این حالت فقط لازم است ‏كه قيد (۳) به شکل میانگین گیری آسنامبلی اعمال شود. ‎ ‎(9) ‎ ‏این مدل, عموماً «مدل کروی میانگین؛ نامیده می‌شود. 

صفحه 47:
5 2 قيد ‎)٩(‏ می‌تواند به آسانی با تصحیح هامیلتونی از ره اضافه کردن جمله‌ای متناسب با "2715 اعمال شود. ۷ ‏نجه ر 5 -رمه رل‎ ao) ‏که :2 «میدان کروی» نامیده می‌شود و باید‎ ))0/۵(( - ۰ ay بنابراين تابع بارش اين مدل با رابطة زیر دادهمی‌شود: 3 ‏مدرعره :5 +۳02 زا‎ Eo, 0-۰ fe 2824 2 ‏عفدو‎ Tl a: (12a) - 2006.15: BD, (12) 1 In Zy(K, hy BR) _ 2 2 -N. (13) تا قید ‎)٩(‏ برقرار باشد 

صفحه 48:
با مقايسة روابط (۷) و (۱۳) در می‌باييم که پارامتر ,لد در مدل کروی: دقیفاًپرابر است پارامتر 2 در مدل كروى ميانكين . زیرا Pew nz tea) =0, (7) وس تابع انرژی آزادی که از رابطهٌ (۱۲) نتیجه می‌شود کمی با نتيجه به دست آمده از رابطة (۸) تفاوت دارد كه دور از انتظار هم نيست. زيرا تغيبر از بك هذل ميكرو كانونى با ‎at PEL‏ به مدل کانونی ‎US)‏ به ۸ ثابت) انرژی را تغیر می‌دهد. 

صفحه 49:
([) توابع ترمودیتامیکی یک شبکه ابر مکعبی ساده با ‎akg ole‏ ,ر7 وابسته به شرایط مرزی را در نظر می‌گیریم. جویس (۱۹۷۲» باربرد فیشر (۱۹۷۳) تایع پارش این سیستم را به شکل زیر به دست م ی آورند: ‎Zn(K, hs 62) = TT. lmal V0 28/8801), 6)‏ ‎LPO. = HR).‏ ل كه #/ها ویژه مقدارهای مسئله هستند. Yovs tka), ky = PL ‏,ع رما‎ ses (Ny— DP ‏ردقم‎ Ny=LjJa, N=TIN;. (17) بارامتر ‏ با معادلة قیدی زیر تعیین می‌شود که از رابطة (۱۳) به دست آمده است: 1 1 ‏تفر‎ ‏تدا‎ + Nn. ‏مد‎ Q=p) 40.— po? 9 

صفحه 50:
مغناطیس ( 17 ) و پذیرفتاری در ميدان ضعیف ( ۰ :) از روابط زیر پیروی می کنند. ‎Nut‏ ور ‎5 105 20 na) ‎= ۰ (20a, 20-0 ‏يت‎ ‎M ‘‏ ۳ ‎(mms) pene‏ معالة قیدی (۱۹) رام توا به شکل زير نوشت: 2 1 )21( .ا( - 20۷۵0 سس رق ‎pa)‏ =( — آنتروپی سیستم وقتی میدان صفر است. با رابطهُ زیر داده می‌شود: ‏)22( [((س — ‎In (BO.‏ - از 2 ماو = ممر(04/01)- - وى ‏و گرمای ویة مربوط با رابطة زیر داده می‌شود: ‎ 

صفحه 51:
برای ادامه لازم است كه 4 را به شكل تابعى از 8و '1 از قيد (14) تعيين كنيم. اما در ابتدا توجيه كنيد كه با توجه به رابطة (18) . براى آن كه انرى آزاد سيستم خوش رفتار باشدء 2 بايداز بزرككترين ويزه ۸ که مطابق با (1078) برابر 10 است» بزرككتر باشد. همجنين معادلة ‎)2١0(‏ به ما م ى كويد كه مسئلة در برقرار می‌شود. می‌توان دریافت وقتی 1 کاهش می‌یابد: ‏ هم كاهش مىيابد و نهايتاً در دماى بحرانی :3 به کمتری مقدار ممکن ۸ می‌رسد. جایی که سیستم گذار فاز دارد. بنابراين شرط حالت بحرانى با رابطة زیر داده می‌شود: ‎de = Ho = Jd, (24)‏ پس مایک میدان کاهش یافته؛ © را تعريف م ىكنيم كه ‎G=A-Ad)/I = A/S) —d; (25)‏ ‏شرط حالت بحرانی به شکل زیر در می‌آید: ‎ ‎(26) 

صفحه 52:
اکنون با جایگذاری ویژه مقدارهای ]۸ در روابط (۱۹) و (۲۱) و استفاده از نمایش : 1 a a dx, 2 / 9 6 داریم: 

صفحه 53:
هيم اس تج هه ع |( سس ‎“fel‏ ‎sly‏ <<0 ,جمع روی می تواند با انتگرال جایگزین شود. با نوشتن ز]// 27 - ر8 ‏بدست مي آوريم: ‏2# ‏/ ‏)29( ,(مو مر روا ‎fered‏ عر ما 0 ‎02 ‏كه (10)3 تابع تغيير يافته است. 

صفحه 54:
N 2 Tom 7 0) ‏پس‎ ‎2 که (8), 17 ابع داتسون است که به شکل زیر تعریف می شود : Wald) = 1 ‏جو تسم فس‎ de. (1) a رابطه های (19) و (21) به شکل زیر در مي آیند : 1 1 ‏قرا‎ ‎yz _ (۷ 5 1 88 ‏ك2‎ AG pa? ae ضیرم ‎2K¢?‏ = 2K(1 — nr). (32b) (32a) Wald) = 2K — 

صفحه 55:
رفتار مجانبی(4)مآبرای 1 > #ه صورت زير آمده است: ‎consiror 6 <‏ +4 0/2 -۶۰۲۵ ره ‎(2ry3 In(/¢) + const Por dm‏ ‎2 ‎1۷ ‏ند ۶۵۳۵ ۸۵0-۵ (و‎ 26 Fora <a ‎ ‎<2 ‎1 ‎W,(0)- ‏تب‎ #( Ford = W,(0)- For d > 4 ‏وقتی از الا به دمای بحرانی نزدیک شویم . بارامتر ۵5 . مي شود ودر .1 وتمام دماهاي کمتر از ,1 صفر می ‏شود 

صفحه 56:
(1) رفتار بحرانی " می خواهیم خصوصیات فیزیکی مختلف مدل کروی میانگین را برای رده های مختلف 4 بررسي كنيم. الف) 6 . با توجه به تابع داتسون برای 66 و جايگذاري در ‎DED | (GS) abl,‏ به دست مي أ (2/2-4 (2/2-4 لو ۲۱۵-2 )33( )#(~ )4)/2 — 2( 7 7 | ع ماف ميبينيم كه دراين حالت © در صورتى صفر ميشود كه 130 يعني گذار فاز در 1-0 اتفاق مي- ‎(ZOD) Luly, aid!‏ و (23) و(24) و(25) پذیرفتاری در دمای پایین و گرماي ویژه را مي دهند. ات )#2( = سل شرب 0 (oe ‎JF G4)‏ هرد ‎Sng ‏ور‎ kT I ‏ما2 - و6‎ = -NI (), ~ ha (7 5 ) (35) 

صفحه 57:
ب)1<22 با توجه به داتسون برای 2 داریم : (36) ,( ۲و 4-) وه < مرا دوباره در 1,0 گذار اتفاق مي افتد.اما در دماهاي پایین : ‎xo ~ (Np?/J) exp (420d /keT) (37)‏ )38( (آوا/ لعف) ون توا لاماا < وال - 6 ‏ج)2 < 4 > 1 با توجه به تابع داتسون برای اين 4 و رابطه (32) داریم : ‏._ بو عرص !40/2۱ - ۱۳10 ‎Cay 2‏ اانا ‏و : ‎ 

صفحه 58:
اکنون نقطه بحرانی با قرار دادن 1320 و ۹20 تعيين میشود.شرط حالت بحرانی به شکل زیردر مي آید: ‎Ke = 3Wa(0). (40)‏ و تغییرات ‏ با 1" وقتی که به نقطه بحرانی نزدیک می شویم با رابطه زیر داده می شود: ۳ aa = a Hen = << deo * |7۳) 77 (K SK). (41a) وقتی ) صفر مي شود . برای همه دماهای پایین تر صفر می ماند. dle-0 =0 (K>K-). (41b) و در نتيجه : Xo~ (Ke KY) ~ (T~ THE (TD Te) (42) و برای .]7 <> ] بینهایت ميشود. 

صفحه 59:
)43( 670 0-1۷۷۵ وال وبرای ,۲ <> ]7 ب صفرمیل می کند. با توجه به رابطه (3210) و (40) وقتی 0 <- 8 قرار دهیم: ‎ )1-1,/16(۷۶ < )1-17/10 > (44)‏ و و نهایتا اگر در رابطه (۰)39 18 را نگه داریم اما ,1 1 قرار دهیم بدست می آوریم: ‎BOD (T= T,)s| (45)‏ یو ‏با استفاد از تعریف ۱ به شکل ‎met‏ و روابط (203)و(24) و(25) داریم : ‎ ‎Me = oe ~ Bee (7 =T,), (46) ‎3 

صفحه 60:
در نتیجه میتوان توانهای بحرانی را برای اين سیستم پیدا کرد .اینها . پارامترهايي برای تعیین چگونگی رفتار بحرانی سیستم هستندزیرا مسئله اصلی در گذار فاز بررسی رفتار سیستم در نزدیکی نقطه بحرانی است و میدانیم که این رفتار با کمیتهای فیزیکی مختلفی از سیستم که درنقطه بحرانی یکتا هستند تعیین میشود یکی از آنها مربوط به 180 است که ۰« کمیت نظم تعریف مي شود و مربوط به نظم میدان «اسث كه در حد ‎ogee jade HO om‏ ل ا ‎T>= Tee Os‏ و یرای #0تتد, 16 >1 است برای يك سیستم مفاطیسی همان ...و «هتازرتمیت است.كميت ‎ee‏ شود ‎٠‏ و27 > ره میل 7 7)- ووز با توجه به اينكه وقتى از بالابه دماى كذار نزديك مي شویم ,پذیرفتاری با در میدان ضعیف واگرا مي شود.كميت لابه شكل زير تعريف مي شود: 1 ‏مدرگ‎ ~(T- T)” Forns0,T>1, 

صفحه 61:
وکمیت ۷ به شکل زیر تعریف میشود: (T=T,,h>0) درنهایت 6 را برحسب ,0 تعریف می کنیم : (T>T,) بتابراین توانهای بحرانی برای این سیستم عبار تند از : 2+ ور -ه nh, =r C,~(T- Ty“ 

صفحه 62:
)42 <61 .تابع داتسون برای ای حالت عبارتست از ۳۵۸ - 0 (ه) 1 برای این حالت هم شرط حالت بحرانی همان معادله (40) است . کمیتهای فیزیکی سیستم با روابط زیر ‎ee ce‏ 2K ~2K,- |W4(O|p ‎(KS Ke).‏ )ماه ‎xo~ 7 -T yt 27 6-19-10 1۵ ‏وروم رموه)‎ be ~ BF ‎> ‏سس روم 

صفحه 63:
پس توانهای بحراني برای این حالت عبارتند از : 0۰ 12. برای این حالت داریم : دوباره برای حالت تعادل داریم : و با توجه به رابطه (322) داریم: با معرفی یک پارامترقراردادي : به دست مي آوريم : > غ) )فد (و/1) هه .ا | >) < 1,1 ) < ۱ 01 (/) ۲۲/۱۶ موه 

صفحه 64:
و كميتهاي ترموديناميکي از روابط زیر بدست مي آیند. (1 >>> 0) میم ص14 ور ی 

صفحه 65:
اهمیت فیزیکی مدل کروی با در نظر گرفتن قید (3 ) حتی قید (19) بلید. مدل کروی چگونه از دید فیزیکی تعبیر مي - شود.همانطورکه استنلی(1969-1968) اولین بار نشان داد . مدل کروی نملیش درستی از مدل «- بردار ‎LOND)‏ بر همکنشبا نزدیکترین همسایه را نشان مي دهد.کاکوتاسسون(1971) هم این مسئله را نشان دادند.لین ارتباط از ماهیت قیدی که بر مدل اعمال شده است حاصل حی شود که یک بردار سوپر اسپین با ( درجه آزادی را معرفی می کند. مي توان انتظار داشت که وقتی *[۰0 مدل همانگونه آزادی را پیدا عی کند که مدل «-برداری وقتی 6333 دارد .این ارتباط مدل کروی را به عنوان راهنمای خهبی برای همه مدلهای با تقارن پیوسته قرار عي دهد مثلا برای 10<2 از آنجا که لین مدل ابعاد دلخواه دقیقا حل حی شودلین ایده را می- دهد که انتظاری بلید از بقیه مدلهابا « دلخواه داشت مثلا برای 4 <1 .توانهای بحرانی .همان مقادیری هستند که از تئوری میدا میانگین بدست می آیند. درنظریه میدان میانگین . لفت وخیزها قلبل چشم پوشی هستند اما در میان تمام مدلهای مختلفی که در نظر گرفتیم لفت و خیزها در مدل کروی از همه بیشتر است.زیرا بزرگتوین درجه آزادی را دارد برای 1<4 «لفت وخيزها در مدل کروی قابل چشم پوشی می شوند بپس در مدلهای با « محدود لين افت و خیزهابه مرلتب کم اهمیت تر می شوند .پس نتیجه حی دهد بدون توجه‌به مقدار واقعی « ,تئوری میدان میانگین باید برای تمام مدلها وقتی 4 <1) است. برقرار باشد. لما برای 4 > نتیجه نهايي به « بستگی دارد . در این حالت مدل کروی‌عی تواند نقطه شروعی باشد که نشان می دهد هر یک آز مدلها با « محدود. چگونه رفتار می کند. 

صفحه 66:
0