دانلود پاورپوینت آشنايي با نامساويهاي ماتريسي خطي و کاربردهاي آن در مسائل کنترل

بنام خدا آشنايي با نامساويهاي ماتريسي خطي و کاربردهاي آن در مسائل کنترل نامساوي ماتريسي خطي ( )LMI چيست؟ در مسائل بهينه سازي معموًال قيود نامساويهاي خطي هستند ‏minbx1  cx2 ‏a1x1  a2x2  ... an xn  0 در بعضي موارد اين قيود نا مساويهاي ماتريسي مي باشند ‏ ‏minbx1  cx2 ‏ a1x1  a2x2  ... an xn  bn x1  bn x2  ... bn xn  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 0 ‏ cn x1  cn x2  ... cn xn  d n x1  d n x2  ... d n xn  ‏ ‏ به دستة خاصي از اين نامساويهاي ماتريسي LMI گفته مي شود تعريف نامساوي ماتريسی خطی ( )LMI يک نامساوي ماتريسی خطي به شکل زير بيان ميشود: ‏m ‏F ( x) F0   xi Fi  0 ‏i 1 ‏T که در آن x  R m, Fi  R nn , Fi Fi با تعريف فوق ‏F ( x) F x  ‏T نکته : ه$ر نامس$اوي ماتريس$ي متق$ارن ک$ه بص$ورت affineب$ه متغ$ير خ$ود وابس$ته باش$د ،قاب$ل بي$ان بص$ورت نامس$اوي ماتريسي خطي است.  4  x1  2 x2  x  x 2  2 3 x2  x3  2 0  3 x2  x4  :مثال  4 2  1 0  2 1  0 1  0 0  2 0  x1  0 0  x2  1 3  x3  1 0  x4  0 1  0           چرا LMI؟ در تئ$وري کن$ترل ب$ه مس$ائلي ب$ر مي خ$ور $يم $ک$ه د$س$ت$ $يا$ب$ي ب$ه ج$وا$ب$ $من$و$ط مس$ا$وي م$ات$ريس$ي $اس$ت$ ب$ه $ح$ل $ي$ک $ن$ا $ عض$ي $مس$ائل$ $به$ين$ه س$ $از$ي، و $ي$ا د$ر ب $ قي$ود نامسا$ويه$اي ماتر$يسي هستند. مثال : 1پايداري سيستمهاي خطي سيستم خطي زير را در نظر ميگيريم: ‏x  Ax تابع لياپانوف : ‏V x   xt  Pxt  ‏T شرط پايداري P  0 st . AT P  PA  0: مثال : 2معادلة ريکاتي معادالت ريکاتي که بطور وسيعي در کنترل بهينه استفاده مي شوند يک نامساوي ماتريسي است. نمايش آن بصورت رابطة زير است: ‏AT P  PA  PBR  1 B T P  Q  0 که در آن ماتريسهاي Aو Bمعلوم و P=PT>0 ، R=RT>0و Q=QT>0مجهول هستند مثال : 3بيشترين مقدار تکين ( Maximum )Singular Value بيشHترين مقHدار بهHرة يHک سيسHتم چنHد متغHيره بHا بيشترين مقدار تکين آن نمايش داده ميشود. بطHور کلي اگHر ) A(xيHک مHاتريس باشHد ‏x  بزرگترين A مقدار تکين آن بصورت نمايش داده ميشود. مسألة کمينه سازي بيشترين مقدار تکين را در نظر مي گيريم: ‏inf  ‏ Ax    ‏ Ax 2 max AT x Ax  از آنجا که بصورت زير سازي را مي 2توان قيد اين مسألةTبهينه ‏T 2 ‏max A x Ax   ‏x   0 ‏ I  A x A نوشت: در مثال 1شرط پايداري لياپانوف يک LMIمي باشد ‏AT P  PA  0 چون: -1متقارن است -2نسبت به درايه هاي Pاز درجة 1است ( )affine  نيستندLMI 3 و2 ولي مثالهاي AT P  PA  PBR  1 B T P  Q  0  2 I  AT x Ax   0 شHرط پايHداري لياپHانوف بعنHوان اولين LMIدر مهندسHي ‏Hين ل شHناHختHه مHي شHود H.در HدهHة 40 HقHرن گذشHته Hا H ‏HکنHتر H معHيHار HوHارد HمسHائل HواقعHي مهنHدسHي کHنHترل HشHد Hو HحHل ت دسHتي Hو تنهHا بHراي HمسHائل HکوچHک اHنجHام آHن بصHور H مي گرفت. در دهHة 60تئوريهHايي ارائHه شHد مبHني بHر اينکHه دسHتة خاصHي از نامسHاويهاي غHيرخطي نظHير معادلHة ريکHاتي قابHل بيHان بصHورت LMIمي باشند. لم معHHروف شHHر( )Schurاين دسHHته از نامساويهاي ماتريسي را معرفي مي کند. نامساوي شر()Schur مجموعه نامساويهای غير خطي به شکل ‏Q( x )  S ( x )R  1( x )S T ( x )  0 ‏R( x )  0 کHه در آن ) R(x)=RT(xو ) ،S(x)=ST(xبHه LMIبHه صورت زير قابل تبديل است. ‏ Q( x) S ( x)  ‏ ‏ 0 ‏T ‏ S ( x) R( x) بنابراين معادلة ريکاتي و مسألة بزرگترين مقدار . مي باشندLMI تکين قابل تبديل به يک  Q( x ) S ( x )  Q( x )  S ( x )R ( x )S ( x )  0    0 T  S ( x ) R( x ) 1 T   AT P  PA  Q PB  AT P  PA  Q  PBR  1B T P  0   T  0 R   B P 2 T  x    A 2 T  I  A  x  A x   0    0 I   A x  تا قبل از دهة 80اگرچه دامنة مسائلي که با نامساوي ماتريسي قابل بيان بودند گسترش پيدا کرده بود ولي هنوز حل LMIها به مسائل با ابعاد کوچک محدود بود. تا اينکه در دهة 80الگوريتم نقطة داخلي براي LMIارائه شد طراحي کنترل کنندة فيدبک حالت با استفاده از LMI سيستم خطي زير را در نظر مي گيريم: ‏x  Ax  Bu فيدبک حالت: ‏u Kx ‏Acl  A  BK :شرط پايداري لياپانوف P P T  0 st . AclT P  PA cl  0 ??! A  BK T P  PA  BK   0 A P  K B P  PA  PBK  0 T ضرب نامساوي ماتريسي باال از چپ وP-1 در راست T T L KY , Y P  1 :متغير جديد P  1AT  P  1K T B T  AP  1  BKP  1  0 1 1 1 1 P A  P K B  AP  BKP  0 T T T L=KY Y=P-1 Y Y T  0 st . YA T  LT B T  AY  BL  0 G1(s) + _ C(s) G2(s) G1 ( s ) : x t   A1 xt  B1u t   Gn ( s ) : x t   An xt  Bnu t  P  0 st. A1T P  PA1  0  AnT P  PA n  0 شرط :پايداري  ماکزيمم پاسخ ضربه محدوديت روي گين ماکزيمم خروجي به ماکزيمم ورودي ‏ عملکرد ∞H عملکرد H2 ∞ H عملکرد+ پايداري et  2 Ted     sup  d t  2 Ted     AclT P  PA cl  T B P  cl  Ccl  PBcl  I Dcl CclT  T  Dcl   0,  I  P 0  AclT P  PA cl  T B P  cl  Ccl  PBcl  I Dcl CclT  T  Dcl   0  I  u=Kx  A  BK T P  PA  BK  PB  T B P  I   C D  CT  T  D  0  I    A  BK T P  PA  BK  PB  T B P  I   C D  CT  T  D  0  I   L=KY Y=P-1  AY  YA T  BL  LT B T  T B   CY  YC T  T   I D   0, Y  0 D  I  B  پيک پاسخ ضربه کوچکتر+ پايداري ξ از  x cl t   Acl xcl  zt  Cx cl  xcl 0 Bcl سيستم زير را در نظر :مي گيريم AclT P  PA cl  0, P  0, PBcl   P  BT P  0  I  cl   P CclT    0  Ccl I  H2 عملکرد+ پايداري P  0,  AclT P  PA cl  T B P cl   P   Ccl T cl C   0 I  PBcl   0  I  2 z t    st . T 2  d t  dt  1 0 خواص LMIها ‏LMI -1هHا يکتHا نيسHتند يعHني LMIهHاي مختلفي مي تواننHد منجHر بHه يHک مجموعHه جHواب شHوند .بHه عنHوان مثHال مجموعHه جHواب LMIهHا تحت هماني ثابت است. ‏ A B ‏ 0 I   A B  0 I  ‏ C D   0   I 0  C D   I 0  0 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ D C ‏ ‏ 0 ‏B ‏A ‏ ‏ هاLMI خواص ايشH نمLMI کHورت يHد بصH مي تواننLMI دH چن-2 .داده شوند F1 x   0; F1 x   0; ....;F1 x   0 0  0   F1 x   0 F2 x  0     0   0  0      0  0 F x q   خواص LMIها ‏LMI -3ها قيود محدب مي باشند. مجموعة غير محدب مجموعة محدب