دانلود پاورپوینت آشنایی با فلسفه ریاضی

آشنایی با فلسفه ریاضی 1 فهرست مطالب فصل یک :ماهیت فلسفه فصل دو :روش جدید ریاضی فصل سه :منطق نمادی فصل چهار :بحرانهای تاریخی در مبانی ریاضیات فصل پنج :فلسفه های ریاضی فصل شش :ذوات ریاضی فصل هفت :بحثی فلسفی در باب اصل موضوع انتخاب فصل هشت :آشنایی با اعداد اصلی فصل نه :رواقیون مراجع 2 اهداف آموزشی درس بررسی ماهیت فلسفه ارائه فلسفه های اصلی ریاضیات نقد فلسفه های موجود تحلیل فلسفی فلسفه تاثیر شناخت فلسفی در آموزش ریاضی آشنایی با بحرانهای ریاضی 3 فصل یک ماهیت فلسفه اهداف فصل توضیح پیرامون ماهیت فلسفه نظریات ریاضیدانان مقایسه علم وفلسفه سواالت علم وفلسفه ومقایسه آنها 4 فصل یک ماهیت فلسفه تقسیم بندی بر اساس سواالتی از قبیل : ماهیت وجود ماهیت حقیقت ماهیت معرفت ماهیت زیبایی 5 فصل یک طبقه بندی ایده آلیسم واقعگرا پراگماتیسم مفهوم گرا 6 فصل یک طبقه بندی ()2 فالسفه پیرورواقیون آن را به فیزیک ،اخالق و منطق تقسیم می کردند. برخی فالسفه آن را به مابعد الطبیعه ،معرفت شناسی ،منطق وارزش شناسی تقسیم می کنند. 7 فصل یک برخی نظرات سوزانا النگر :فلسفه بیشتر توسط تنظیم مسئله های خود مشخص می شود تا راه حل هایش برای آنان. نلسون گودمن :شاید روزی فرا رسد که در فلسفه بیشتر ” بررسی ” انجام گیرد تا ” مجادله ” و فالسفه همانند صاحبان علم بیشتر بر حسب عناوینی که بررسی میکنند شناخته می شوند تا نظریاتی که دارند. 8 فصل یک فلسفه علم فیزیک و ریاضی در فلسفه علم فیزیک از مفا هیم بنیادی چون جرم ،زمان و طول بحث میشود. در فلسفه ریاضیات اینکه مبانی ریاضیات بر چه چیزهایی قرار دارد بحث می شود. فلسفه هر علم نقد آن علم است. 9 فصل یک فالسفه چگونه می اندیشند پلوتارک :سقراط نه صندلی برای شاگردانش چیده بودونه برکرسی می نشست ،نه ساعاتی رابرای سخنرانیهایش از پیش تعیین می کرد. اوهمیشه درحال فلسفیدن بود .هنگامی که لطیفه می گفت ،موقعی که درحال آشامیدن بود درآن حال که درخدمت سربازی بود هرجا شما رادرخیابان مالقات می کرد ،وسرانجام هنگامی که درزندان بود و زهررا می نوشید. 10 فصل یک رسالت فلسفه یک وظیفه عمده فلسفه تصریح این مطلب است که چه راهنمایی می تواند برای تجربه کردن منطقی به نظر آید ،آیا آنجا که چنین صراحتهایی بتواند پیش از تجاربی خاص روشن گردد ،انها از نظر نقش مقدم بر آن تجارب خاص می باشند؟ 11 فصل یک رسالت فلسفه ()2 فلسفه در پرتو تجربه در حال انجام خود ، قوانین خود را ،که همان فهم از خود فلسفه است تبیین میکند. نتیجه فلسفه تعدادی قضیه فلسفی نیست، بلکه روشن ساختن قضیه ها است. 12 فصل یک طبقه بندی براساس مقاصد علمی فلسفه فیزیک فلسفه ریاضی فلسفه هنر فلسفه تاریخ فلسفه آموزش و پرورش فلسفه فلسفه 13 فصل یک نظرات برخی فالسفه در ماهیت فلسفه ()1 برتراند راسل :فلسفه ای مناسب است که با مطالب مورد عالقه مردم تحصیل کرده معمولی سروکار داشته باشد. سی.ای .لوییس :ویژگی ممتاز فلسفه این است که فلسفه کارهرکسی است. نلسون گودمن :فلسفه به عنوان نقشی است برای روشن ساختن پیچیدگی ودرهمی سطوح اسفل تا سطوح اعلی سطح تفکر. 14 فصل یک نظرات برخی فالسفه در ماهیت فلسفه ()2 اچ گوردون هولفیش :فلسفه به انسان درتفکر به نتایج اعمال روزانه کمک می کند تا با حکمتی بیشتر نتایجی برگزیند تا تفکراتش را عمیق کند. افالطون :پادشاهان باید فیلسوف باشند! وتینگشتاین :فلسفه نظریه نیست بلکه عمل است. 15 فصل یک ویژگی ماهیت فلسفه بازتابشی خود پیروی :روش شناسی ومحدودیتهای از درون تعریف شده واین به معنی خود پیروی است. 16 فصل یک اهم امور فلسفه معرفت ازحقیقت امور دریافت روابط ایده ها یا نظریات قضاوتهای ارزشی 17 فصل یک علم و فلسفه مقصد نهایی علم :اصالح وگسترش معرفت انسان از حقیقت امور مقصد نهایی فلسفه :بهبود کیفیت قضاوتهای ارزشی انسان سوالهای علمی :چگونگی وبیان واقعیات سوالهای فلسفی :بررسی ماهیت پدیده ها مثالی ازکارعلمی درریاضی :اثبات یک قضیه مثالی ازکارفلسفی در ریاضی :نقد روش اثبات 18 فصل یک تمایزعلم وفلسفه تمایزدرنحوه سئوالها سوالهای فلسفی عدد چیست ؟ آیا هندسه تبیین فیزیکی جهان خارج است یا علمی است مجرد وذهنی ؟ ذوات ریاضی کدامند ؟ منطق حاکم برقضایا کدامند ؟ 19 فصل یک تمایزعلم و فلسفه تمایزدرنحوه سئوالها سئوالهای علمی عدد مختلط چیست ؟ تعریف مجموعه چیست ؟ بیان قضیه فیثاغورس درهندسه چگونه است ؟ نظریه نسبیت انیشتین چه می گوید ؟ 20 فصل یک نقدی بر برخی نظرات بعضی می گویند ” فلسفه علم ،نگاه است به علم ازبیرون ” بایداذعان کرداین گفته درستی نیست .کسی که ریاضی نمی داند فلسفه ریاضی نیزنخواهد دانست .کسی که تخصص علم فیزیک ندارد ازماهیت این علم چیزی نخواهد فهمید .فیلسوف ریاضی ریاضیدانی آشنا به روش ریاضی بوده و مبانی کالسیک ریاضیات را فهمیده وتدریس کرده است. 21 فصل دو تمایزعلم و فلسفه اهداف فصل آشنایی با روش جدید ریاضی فرمول بندی نظریه های منطقی ارایه مثالی ساده ازشاخه ای ازریاضیات بیان سه کاربرد شاخه فوق الذکر ارایه ویژگیهای مجموعه های بنداشتی 22 فصل دو روش جدید ریاضی ادامه مبنای روش :قیاس واستنتاج منشا روش :هندسه وجبر کاربران روش :صاحبان تئوری بنداشتی یا قیاسی شناخت سریع روش :بهره برداری ازروشهای جبروهندسه بنیانگذاران روش :هیلبرت ،لباچفسکی ،اقلیدس، پوانکاره ،کالین ،گاوس ،بویویی 23 فصل دو روش جدید ریاضی ادامه ابزارهای الگوهای منطقی گزاره ها متغیرها توابع گزاره ای حدود تعریف نشده بنداشتها توابع دکترین فرضیه ای 24 فصل دو الگوی تئوریهای منطقی مشتمل برعبارتهای اولیه یا حدود تعریف نشده تعریف کلیه اصطالحات به کمک عبارتهای اولیه مشتمل برمجموعه ای ازاحکام درباب عبارتهای اولیه موسوم به بنداشتها یااحکام اولیه ( بدون اثبات ) 25 فصل دو الگوی تئوریهای منطقی نتیجه گیری منطقی احکام جدید ازبنداشتها موسوم به قضایای تئوری ( با اثبات ) الگوی تفکربنداشتی مبتنی برعباراتی متناظر هرقضیه که دراثبات قضیه به همراه اثبات آورده می شود نظیر ” این برهان راکامل می کند ”. 26 فصل دو ریاضیات به عنوان توابع دکترین راسل ریاضیات را به عنوان گردایه همه توابع دکترین فرضیه ای می انگارد. وی می گوید : ” ریاضیات را میتوان موضوعی تلقی کرد که درآن ما هرگز نمی دانیم درباره چه چیزی صحبت می کنیم ونمی دانیم آنچه که می گوییم درست است یا نادرست ”. این تعبیربا گفته هانری پوانکاره مطابقت دارد که می گوید ” ریاضیات عبارتست ازآنکه به چیزهای مختلف نام یکسان بدهیم ” 27 فصل دو یک مثال از شاخه ای از ریاضیات اشیا تعریف نشده : مجموعه Kمتشکل از اشیای تعریف نشده .… ,a, b, c رابطه دوتائی ‏R که اعضای Kرا به هم نسبت می دهد، هرگاه aبا bرابطه داشته باشد ،می نویسیم 28 فصل دو مثال ادامه بنداشتها: : P1اگر aمخالف bباشد ،آنگاه aRbیا .bRa : P2اگر aRbآنگاه bمخالف aاست. : P3اگر aRbو bRcآنگاه . aRc P4 : Kدقیقا چهارعضو دارد. 29 فصل دو مثال ادامه قضیه : 1اگر aRbآنگاه . bRa قضیه : 2اگر cمخالف aو همچنین cمخالف bباشد و aRb آنگاه یا aRcیا . cRb قضیه : 3حداقل یک عضودر K هست که باهیچ عضو Kنسبت ندارد. 30 فصل دو مثال ادامه قضیه : 4فقط یک عضو در K هست که با هیچ عضو Kنسبت R ندارد. تعریف : 1هرگاه bRaگوییم ‏aDb قضیه : 5هرگاه aDb ، bDcآنگاه . aDc 31 فصل دو مثال ادامه تعریف : 2هرگاه aRbوهیچ عضو cدر Kموجود نباشد به طوری که aRcو cRbگوییم . aFb قضیه : 6هرگاه aFcو bFc آنگاه a=b 32 فصل دو مثال ادامه قضیه : 7هرگاه aFbو bFcآنگاه .aFc تعریف : 3اگر aFbو bFcآنگاه گوییم . aGc 33 فصل دو کاربرد در شجره شناسی از مثال می توان این شاخه ریاضی را درمجموعه ای متشکل از چهارنفر بکار برد :یک مرد ،پدر آن مرد ،پدر پدرآن مرد ،پدرپدر پدرآن مرد R .به معنی سلف می باشد .متضاد سلف را خلف می نامند .بااین تفسیریک مدل بدست می آید وقضیه ها وتعاریف فوق دراین مورداحکامی درست هستند بیان قضایا دراین مدل عبارتنداز : 34 فصل دو کاربرد در شجره شناسی از مثال ادامه قضیه : 1اگر aسلف bباشد ،آنگاه bسلف a نیست . قضیه : 2اگر cفردی متمایز از aو bباشد وa یک سلف bباشد آنگاه یا aسلف cاست و یا cسلف bاست . قضیه : 3حداقل یک مرددر Kهست که سلف هیچ فردی در Kنیست 35 فصل دو کاربرد درشجره شناسی ازمثال ادامه قضیه : 4فقط یک مرد در Kهست که سلف هیچ فردی در Kنیست تعریف :1اگر bسلف aباشد ،گوییم aخلف b است. 36 فصل دو کاربرد درشجره شناسی ازمثال ادامه تعریف : 5اگر aخلف bو bخلف cباشد ، آنگاه aخلف cاست. تعریف : 2اگر aیک سلف bباشد وهیچ فردی چون cموجودنباشد که aسلف cو cسلف b باشد ،گوییم aپدر bاست. 37 فصل دو کاربرد درشجره شناسی ازمثال ادامه قضیه : 6هرمرد حداکثریک پدردارد. قضیه : 7هرگاه aپدر bو bپدر cباشد a ،پدرc نیست. تعریف : 3هرگاه aپدر bو bپدر cباشد گوییم aپدر بزرگ cاست. 38 فصل دو کاربرد درهندسه ازمثال اگر Kمتشکل ازچهار نقطه متمایزواقع بریک خط باشد و Rبه معنی ” سمت چپ ” باشد بازهم بنداشتها برقرار بوده وشاخه دومی از ریاضیات کاربردی حاصل می شود .این یک مدل هندسی است .رابطه Dبه معنی” سمت راست ” ورابطه Fبه معنی ” نقطه بعدی Kسمت چپ ” ورابطه Gبه معنی ” دومین نقطه K سمت چپ” می باشد. 39 فصل دو کاربرد حسابی ازمثال K متشکل ازچهارعدد صحیح 1و 2و 3و 4می باشد .رابطه Rبه معنی ” کوچکتراز ” می باشد .این بارنیز بنداشتها برقراروشاخه جدیدی ازریاضیات کاربردی حاصل می شود .در اینجا رابطه Dبه معنی” بزرگتر از” و رابطه Fبه معنی ” یک واحد کوچکتر از ” ورابطه Gبه معنی ” دوواحد کوچکتراز” می باشد. 40 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -1هم ارزی ()1 دو سیستم بنداشتی P1 , P2راهم ارزمی نامند هرگاه هر کدام دیگری را نتیجه دهد .هرگاه دوسیستم بنداشتی هم ارز باشند ،دومطالعه مجردی که ازآن نتیجه گردد ،یکی خواهد بود. مثال قبل با “ P1, P3, P4و قضیه “ 1 هم ارز است. 41 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -1هم ارزی ()2 اکنون این سئوال پیش می آید که ازمیان دوسیسنم بنداشتی کدامیک بهتراست ؟ شایدهیچ ضابطه ای وجود نداشته باشد. به نظرمی آید آن سیستمی که تعداد عبارتهای اولیه وبنداشتهای کمتری دارد بهتراست . اما به آسانی می توان دریافت که کاهش تعداد بنداشتها به یک حد اقل، قدری تصنعی است .حتی می توان همه بنداشتهای یک مجموعه را دریک بنداشت بزرگ اما پیچیده جمع کنیم. 42 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -1هم ارزی ()3 مثالی از کاهش بنداشتها حکم ساده ” یک و فقط یک xهست که در ) g(xصدق کند ” را میتوان با پنج حکم زیر تعویض کرد : -1تعداد xهایی که در ) g(xصدق می کند فرد است -2تعداد xهایی که در ) g(xصدق می کند کمتر از 8 است -3تعداد xهایی که در ) g(xصدق می کند برابر 7نیست -4تعداد xهایی که در ) g(xصدق می کند برابر 5نیست -5تعداد xهایی که در ) g(xصدق می کند برابر 3نیست 43 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -1هم ارزی ()4 مقایسه دو سیستم بنداشتی یک مجموعه بنداشتی ممکن است به این دلیل بردیگری رجحان داشته باشد که قضیه های کلیدی آن تئوری را سریعتربتوان نتیجه گیری کرد .دراین راستا ممکن است چنین نتیجه های کلیدی رادرمجموعه بنداشتی قرارداده و بی هیچ اتالف وقتی بدانها دست یافت. 44 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -2سازگاری یک مجموعه بنداشتی راسازگارمی نامند اگردوگزاره متناقض ازآن نتیجه نشود .مجموعه بنداشتی ناسازگارفاقد ارزش است. روش مناسب برای کنترل سازگاری :استفاده ازروش مدل سازی .این کار با معنا دادن به عبارتهای اولیه حاصل می شود ( مانند مدلهای هندسی ،حسابی وشجره شناسی که به مثال قبل ارائه کردیم ) 45 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -2سازگاری ()2 انواع مدل :ملموس وایده آل. مدل ملموس :مدلی که هرگاه معنا یی که به عبارتهای اولیه آن متناظرمی گرددعبارت ازاشیا وروابطی باشدکه ازجهان واقعی اقتباس شده است. 46 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -2سازگاری ()2 مدل ایده آل :هرگاه معنایی که به عبارتهای اولیه متناظر می گرددعبارت ازاشیا وروابطی باشد که ازسیستم بنداشتی دیگری اقتباس شده است. چنین نیست که همیشه بتوان یک مدل ملموس ازیک مجموعه بنداشتی عرضه کرد .خصوصا وقتی مجموعه بنداشتی شامل نامتناهی عنصر اولیه باشد ،عرضه مدل ملموس غیر ممکن است ،زیرا جهان واقعی شامل نامتناهی ازاشیا نیست. 47 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -2سازگاری ()3 سازگاری نسبی ابزاری از روی ناچاری برای اثبات هندسه مسطحه لباچفسکی ازایده سازگاری نسبی استفاده می شود (هندسه لباچفسکی سازگاراست اگر هندسه اقلیدسی سازگارباشد ) بطوریکه مفاهیم خاصی را ازهندسه اقلیدسی به کار گرفته ومدل ایده آلی ازهندسه لباچفسکی را که به مدل پوانکاره مشهوراست به دست می آوریم سپس نشان می دهیم هندسه لباچفسکی سازگاراست اگرهندسه اقلیدسی سازگار باشد. 48 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی -2سازگاری ()4 اثبات سازگاری به روش مدلها یک اثبات غیرمستقیم است. هیلبرت مساله اثبات سازگاری اعداد حقیقی رابه روش مستقیم مورد مطالعه قرار داد ،ولی موفقیت چندانی بدست نیاورد .زیرااین روش به قواعد استنتاج منطقی بستگی دارد وهرتغییری دراین قواعد میتواند اثبات سازگاری ازاین نوع 49 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی - 3استقالل یک بنداشت ازیک مجموعه بنداشتی را مستقل می نامند هرگاه نتیجه منطقی ازدیگربنداشتهای آن مجموعه نباشد .یک مجموعه بنداشتی را مستقل نامیم هرگاه هر یک ازبنداشتهای آن مستقل باشد. 50 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی - 3استقالل مثال ازیک بنداشت مستقل :بنداشت توازی اقلیدس مستقل است. مثال ازیک مجموعه بنداشتی مستقل : مجموعه بنداشتی هندسه اقلیدسی ( شامل پنج بنداشت ) مستقل است. 51 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی – 3استقالل ()2 کاهش بنداشتها استقالل یک مجموعه بنداشتی عموماالزامی نیست یعنی یک مجموعه بنداشتی بدلیل عدم استقالل آن فاقدازش نخواهد بود. 52 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی – 3استقالل ()2 کاهش بنداشتها مجموعه های بنداشتی مشهوری بودند که درآغازنا خواسته شامل بنداشتهای غیر مستقل بودند .مثال مجموعه بنداشتهای هیلبرت چنین بود .بعدا نشان داده شد که این مجموعه شامل دوبنداشت است که ازدیگر بنداشتها نتیجه می شوند .کاهش این بنداشتها ازاعتبارسیستم هیلبرت نمی کاهد. 53 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی – 3استقالل ()3 کاهش بنداشتها مجموعه مشهو آر .ال .مور متشکل از هشت بنداشت اساس توپولوژی مدرن رابنا نهاده بود ،آر.ال .ویلدر توانست این مجموعه رابه هفت بنداشت تقلیل دهد وبنداشت ششم موررا حذف کرد. درواقع هرمجموعه بنداشتی مستل یا نا مستقل را به آسانی می توان با استفاده از رابطهای گزارهای به یک مجموعه مستقل وحتی متشکل ازتنها یک بنداشت تبدیل کرد. 54 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی - 4تمامیت یک مجموعه بنداشتی سازگاررا تمام می نامند هرگاه بدون توسعه عبارتهای اولیه نتوانیم بندشت مستقل دیگری رابه آن مجموعه بیفزائیم. آزمون تمامیت:استفاده ازمفاهیم ” کاتاگوری“ و”یکریختی”. 55 فصل سه منطق نمادی اهداف فصل آشنائی با منطق نمادی آشنائی با تاریخچه این علم آشنائی با منطقهای چند ارزشی 56 فصل سه تاریخچه 1660 الیپنیتزدرمقاله ای که منتشر کرد 1848 و 1854جرج بول درمقاالت منتشره 1847 اگوست دمورگان دررساله ای که منتشر کرد 1890 و 1895ارنست شرودردرکتاب ” پیش درآمدی برجبرمنطق “ 57 فصل سه تاریخچه 1879 -1903 گوتلب فرگه 1894 پئانودرکتاب فرمولبندی ریاضیات وایتهد و راسل در کتاب اصول ریاضیات 1939-1934 دیویدهیلبرت وپاول برنایزدرکتب مبانی ریاضیات --- -1935 مجله ادواری منطق نمادی 58 فصل سه اصول منطق نمادی نشان دادن عبارات اولیه با نمادها وعالئم مجردعاری ازسوئ تفاهمات موجود درزبان معمولی نمایش روابط بین احکام، مجموعه ها ،رده ها ونظایرآن به وسیله فرمولها 59 فصل سه ترکیبات گزارهای گزاره :جمله ای بامحتوای درست یا نادرست ساخت :ساخت گزاره ها به کمک پنج نمادعطف، فصل، شرط ،دوشرط ،نقیض ساخت گزاره های جدید ازترکیب گزاره ها ساخت جدول ارزشی گزاره ها بررسی هم ارزی گزاره ها بااستفاده ازجدول ارزشی 60 فصل سه برخی قوانین منطقی قانون طرد شق وسط قانون نقض قانون تعدی شرطی قانون نفی ثانی قانون عکس نقیض 61 فصل سه گزاره های هم ارز )p^¬q¬(¬ )p^¬q(¬ )p^¬q(¬ )p^¬q¬(¬ p^¬q¬ ]v(¬qvp))pvq¬([¬ )p→¬q(¬ p→q¬ ])q→p(→)p→q([¬ pvq p→q p↔q p^q p→q p↔q p^q Pvq p↔q 62 فصل سه حساب گزاره ها اجرای روش بنداشتی باشروع ازبنداشتها شروع ازمفروضات وختم به نتایج عدم توجه به درستی یانا درستی مفروضات توجه به درستی استدالل دراثباتها 63 فصل سه حساب گزاره ها ()2 روش ساخت :با تعداداندکی ازاتحادهای منطقی بقیه آنها بر طبق قواعد مشخص قواعد منطقی به دست می آیند .در این روش اتحادها به وسیله محاسبات نمادی بدست می آیند .در این روش اندکی ازمجموعه همه اتحادها به عنوان بنداشت انتخاب شده وسپس برطبق قواعد صوری دیگر اتحادهای منطقی به دست می آیند .این قواعدهمان نقشی رادرگسترش حساب گزاره ها دارندکه نتیجه گیری منطقی درگسترش هر تئوری ریاضی. 64 فصل سه عبارتهای اولیه مجموعه ای مانند Pمتشکل از …,p,q,rکه گزاره می نامیم. عمل دوتایی که براعضای Pاثرکرده وبا نشان می ‏ دهیم. عمل دوتایی که براعضای Pاثرکرده وبا نشان می دهیم. سایراعمال به دلیل تعریف پذیری بااعمال فوق نیازبه تعریف ندارند. 65 فصل سه بنداشتها وتعاریف تعریف p→q -1به معنی ¬ pvqمی باشد ‏L1 – (pvq)→p  ‏L2 – q→(pvq)  ‏L3 –(pvq) →(qvp)  ‏L4 - (q→r)→ [(pvq)→(pvr)]  66 فصل سه قواعد استنتاج قضایا یا اتحادهای ثانویه – R1 قاعده جایگزینی :دریک اتحاد هرجاگزاره q هست آن راباگزاره pمیتوانیم جایگزین سازیم – R2 قاعده جایگزینی تعریفی :جایگزینی هرعبارتی در یک اتحاد باعبارت معادل آن – R3 قاعده استلزام :هرگاه mوmn برقرارباشد n ،برقراراست. – R4 قاعده عطف :هردو گزاره درست mوn می توان اتحاد ثانویه mnرابدست آورد. 67 فصل سه برخی قضایای حساب گزاره ها قضیه ]p→rR(→)p→q([→)q→r( 1 قضیه p→(pvq) 2 قضیه p→p 3 قضیه pvq¬ 4 قضیه pv¬p 5 68 فصل سه برخی قضایای حساب گزاره ها قضیه : p→¬p→¬p 6 قضیه p→¬(¬p) : 7 قضیه pv{¬(¬p)} :8 قضیه ¬)p)→p¬: 9 قضیه ):10p↔¬(¬p 69 فصل سه منطق چند ارزشی یا منطق غیر ارسطویی 1921 جی لوکازیویچ :بنا گذاشتن منطق سه ارزشی 1930 ای .ال .پست :بنا گذاشتن منطق m ارزشی 1932 اچ ریچن باخ :بنا گذاشتن منطق بینهایت ارزشی 1932 اف سویسکی :بکار گیری منطق چندارزشی در نظریه کوانتم فیزیک 70 فصل سه سقوط مطلق گرایی منطقی برای عامه مردم باورکردنی نیست که شق دیگری ازقوانین منطقی ،بجزآنچه ارسطو درقرن چهارم قبل ازمیالد بیان کرده است وجود داشته باشد. احساس عمومی براین است که قوانین منطق ارسطو به گونه ای با ساختار جهان و لذا با طبیعت استدالل انسانها در آمیخته اند. این منطق گرایی منطقی سرانجام درسال 1921فروریخت. 71 فصل سه سقوط مطلق گرایی منطقی ()2 آلونزویچ :ماهیچ وجهی از یکتایی یا درستی مطلق را به هیچ یک از سیستمهای منطقی اطالق نمی کنیم .ذوات منطقهای صوری مجردات هستند که به خاطراستفاده آنها در توصیف و سازماندهی به حقایق تجربی یا مشاهدات اختراع شده اند. ویژگیهای این ذوات به گونه ای بی روح و خشک برای استفاده مورد نظرمشخص می شوند .این ویژگی ها به انتخاب دلخواه مخترع نیز بستگی دارند. 72 فصل سه منطق سه ارزشی ادامه پذیرش سه نوع ارزش درست ،نادرست، نیمه درست نوع جدول ارزشی :جدولی چهاردرچهاربرای عطف وجدولی چهاردردو برای نقیض تعداد جداول ارزشی ممکن 256 :نوع جدول ارزشی متفاوت 73 فصل سه منطق سه ارزشی ادامه ساختن جدول ارزش هریک ازرابطهای منطقی باقیمانده بر حسب جدول عطف ونقیض ارتباط نزدیک بین منطقهای چند ارزشی ونظریه احتمال 74 فصل سه یک جدول عاطف یک جدول عاطف درمنطق سه ارزشی ‏T ? ‏F 75 ‏T ‏T ? ‏F ? ? ? ‏F ‏F ‏F ‏F ‏F فصل سه دو جدول نقیض دو جدول ارزشی نقیض در منطق سه ارزشی 76 ‏P ‏T ? ‏F ‏P? ? ‏T ‏P ‏P- ‏T ? ? ‏F ‏F ‏T فصل سه شک و تردید مولد علوم جدید جورج کانتور :جوهره ریاضیات درآزادی نهفته است. منطقهای غیرارسطویی در کشف و پیشرفت علمی سهم بزرگی دارند .وقتی ازاینشتاین سئوال شد چگونه تئوری نسبیت را اختراع کردی پاسخ داد :یک اصل علمی را مورد سئوال وکاوش قرار دادم. هامیلتون وکیلی بنداشت جابجایی ضرب رامورد تردید قرار دادند. 77 فصل سه شک و تردید مولد علوم جدید خواجه نصیرطوسی ،لباچفسکی وبویوئی اصل توازی اقلیدس رامورد سئوال قراردادند. کپرنیک این اصل را که زمین مرکز منظومه شمسی است مورد تردید قرارداد. گالیله سقوط سریع اجسام سنگین را مورد تردید قرارداد. 78 فصل چهار بحرانهای تاریخی در مبانی ریاضیات اهداف فصل بررسی سه بحران ریاضی بحرانی که هنوزرفع نشده است پارادوکسهای نظریه مجموعه ها پارادوکسهای راسل وکانتور 79 فصل چهار بحران اول زمان :قرن پنجم قبل ازمیالد منشا بحران :کمیتهای هندسی نامتناسب رفع بحران 370 :سال قبل ازمیالد توسط ادوکسوس تالشی دیگردرراستای رفع بحران 1872 :ریچارد ددکیند نتیجه تاریخی :ابطال نظریه فیثاغورثیان درباب کمیتها 80 فصل چهار بحران دوم زمان پیدایش بحران :اواخرقرن هفدهم منشا بحران :کشف حساب دیفرانسیل وانتگرال توسط نیوتن والیپ نیتز موضوع بحران :تناقض و پارادوکسها درمفاهیم مشتق و نمومتغیرونسبت تغییرنموبه رشد مفاهیم مبهم :کمیتهای بینهایت کوچک ،سریهای نامتناهی ،توان صفر 81 فصل چهار بحران دوم ادامه تالش برای رفع بحران کارل وایراشتراوس :مقابله با شهودهندسی درآنالیز با ارائه تابعی همه جا پیوسته وهیچ جا مشتق پذیر لئونارد اویلر :وضع فرمولگرایی درآنالیز داالمبر :وضع قانون مبانی آنالیز جوزف لویز الگرانژ :بسط تابع به سری تیلور 82 فصل چهار بحران دوم ادامه گاوس :طرح استانداردهای منطقی آنالیزوطرح سریهای ابرهندسی آگوست لویوئی :وضع مفاهیم اتصال مشتق وانتگرال معین به شیوه ای نوین ریمان :ارائه انتگرال ریمان 83 فصل چهار بحران سوم زمان پیدایش بحران 1897 :و 1902 ویژگی :عدم رفع کامل بحران زمینه بحران :پارادوکسهای موجود درتئوری عمومی مجموعه های کانتور ظهوراولین پارادوکس 1897 :توسط برالی فورتی در تئوری مجموعه ها 84 فصل چهار بحران سوم ظهوراولین پارادوکس 1898 :توسط کانتور در تئوری مجموعه ها مشابه پارادوکس برالی فورتی ظهوردومین پارادوکس 1902 :توسط برتراند راسل در تئوری مجموعه ها در خصوص مفهوم مجموعه 85 فصل چهار بحران سوم ادامه تالش برای رفع بحران 1908زرملو 1918هرمان وایل فرا نکل اسکولم فن نویمان برنانز 86 فصل چهار تئوری بنداشتی اعداد حقیقی اواخرقرن نوزدهم پاسخی برای حل بحران دوم قدمی برای فهم حساب دیفرانسیل وانتگرال راهی بسوی منطق گرایی 87 فصل چهار تئوری بنداشتی اعداد حقیقی سابقه تاریخی :بابلیان ،هندیان وایرانیان بابلیان :معرفی نماد صفر هندیان :معرفی نماد صفر ایرانیان :توسعه جبر 88 فصل چهار اعداد طبیعی اصول پئانو صفر عدد طبیعی است تالی طبیعی ،طبیعی است هیچ دو عدد طبیعی متمایز یک تالی ندارند صفر تالی هیچ عدد طبیعی نیست اگر خاصیتی در باره صفر صدق کند ،واگردرمورد یک عدد طبیعی صدق کند درباره تالی ان هم صدق می کند ،درباره همه اعداد طبیعی صدق می کند 89 فصل چهار اعداد طبیعی اصطالحات تعریف نشده در اصول پئانو: صفر تالی عدد طبیعی ناتوانی اصول پئانو : عدم تعریف انواع باالتر اعداد عدم تعریف جمع و ضرب اعداد طبیعی عدم وجود اصطالحات تعریف نشده ” مجموعه” و“ زوج مرتب“ 90 فصل چهار انواع باالتراعداد معرفی تئوری اعدادگویا برپایه تئوری اعداد طبیعی روش :یک عدد گویا = زوجی مرتب ازدوعدد طبیعی جمع دوعدد گویا :جمع زوجهای مرتب ضرب دوعدد گویا :ضرب زوجهای مرتب 91 فصل چهار انواع باالتراعداد معرفی تئوری اعداد حقیقی برپایه تئوری اعداد گویا روش :استفاده از برش ددکیند ،حد دنباله ای ازاعداد گویا معرفی تئوری اعداد مختلط برپایه تئوری اعداد حقیقی یک بینش براساس پایه شمردن اعداد طبیعی : کرونکرمی گوید ” خداوند اعداد طبیعی را ساخت ، بقیه کار بندگان اوست“ 92 فصل پنجم فلسفه های ریاضی اهداف فصل آشنائی با فلسفه منطق گرائی آشنائی با فلسفه شهود گرائی آشنائی با فلسفه اشراق آشنائی با فلسفه صورت گرائی شناخت تئوری طبقات 93 فصل پنجم منطق گرائی پنداشتن ریاضیات به عنوان شاخه ای ازمنطق تبدیل شدن منطق به کل ریاضیات بیان تمام مفاهیم ریاضی به کمک منطق تمایزنامحسوس ریاضیات ومنطق پنداشتن تمام قضایای ریاضی به عنوان قضایائی ازمنطق 94 فصل پنجم منطق گرائی ادامه اولین پایه گذار :فرگه فرگه :فقط قوانین عدد را می توان به قوانین منطق تاویل کرد دومین پایه گذار :برتراند راسل راسل :همه ریاضیات را می توان به منطق تاویل کرد شیوه فهم این استدالل :بیان هندسه به کمک هندسه تحلیلی 95 فصل پنجم منطق گرائی ادامه ویژگی استدالل :استفاده از”ایده های اولیه” ، ”احکام اولیه “ استفاده ازتئوری طبقات وحساب گزاره ها سومین پایه گذار :وایتهد وایتهد :همه ریاضیات را می توان به منطق تاویل کرد 96 فصل پنجم منطق گرائی ادامه کتاب ” اصول ریاضی ” تالش راسل ووایتهد درراستای منطق گرایی استفاده ازتئوری طبقات استخراج ریاضیات ازاعداد طبیعی بکار گیری ”صفر ” ” ،تالی“ و”عدد طبیعی“ استفاده ازاصول پئانو 97 فصل پنجم منطق گرائی ادامه تئوری طبقات اصل تئوری طبقات :قراردادن مجموعه ها ،مجموعه مجموعه ها و .....در یک سلسله سطوح یا طبقات عدم قبول مجموعه هائی با عضو هائی ازطبقه ای غیراز طبقه بالفاصله پایین ترازطبقه خودآن وارد کردن مفهوم ” بی معنی ” به فلسفه 98 فصل پنجم منطق گرائی ادامه تئوری طبقات نفی قانون طرد شق ثالث عناد راسل درتقابل با پارادوکسها اصل دورباطل ونقض پارادوکسها 99 فصل پنجم منطق گرائی ادامه بررسی عمیق در باب تئوری طبقات وجود دونوع پارادوکس :پارادوکس ناشی ازمعانی الفاظ یا تناقض معنوی وپارادوکس ناشی ازتئوری مجموعه ها پارادوکس اپیمندیس از نوع معنوی عدم پردازش تئوری طبقات به پارادوکسهای معنوی 100 فصل پنجم منطق گرائی ادامه تئوری طبقات به عنوان وسیله ای در انتظار پیدا شدن وسیله بهتری برای متوقف ساختن پارادوکسها نظریه راسل به عنوان راه حلی موقت ” اصل بیکرانی ”راسل و وایتهد راهی برای توجیه شکاف تئوری طبقات و تصدیق وجود تعداد بیشماری ذاتها از نوع پایین ترین طبقه 101 فصل پنجم منطق گرائی ادامه بررسی عمیق تئوری طبقات ادامه مطابقت نداشتن اصل بیکرانی با فلسفه واقعگرایی که بنا بر آن فرض بر این است کهریاضیات عدد فقط آنچه را که ما از پیش درباره برخی ذاتهای مجرد می دانیم بیان می کند نقایص دیگر تئوری طبقات :عدم پذیرش ” مجموعه مجموعه ها ” ” ،مجموعه تهی ” و” مکمل مجموعه “ و اینکه برای هر طبقه در سلسله مراتب طبقات عدد ” یک ” تازه ای وجود دارد .این وضع برای بقیه اعداد طبیعی نیز در هر طبقه رخ می دهد. ” اصل تحول پذیری ” راسل راهی برای فرار از معضل به وجود آمده برای اعداد طبیعی 102 فصل پنجم شهود گرائی سابقه تاریخی :زمان کانت تزشهود گرایان :ساختن اشیا وبرهانهای ریاضی با گامهای متوالی و متناهی قرارداشتن پایه ریاضیات بر شهود اولیه درک ما از ” قبل و بعد ” ودرک یک شیئ مشخص و سپس ادراک های بعدی متوالی وبی پایان حصول اعداد طبیعی به روش فوق 103 فصل پنجم شهود گرائی کانت و شهود گرائی اعداد وقتی وجود دارند که بتوان آنها راشمرد عدم وجود بزرگترین عدد عدم وجوداعداداصلی نامتناهی عدم وجود حداکثرطول درهندسه 104 فصل پنجم شهود گرائی ارائه نظریه بیکران بالقوه به جای بیکران بالفعل توسط کانت هم خوانی نظریه کانت باارسطو درباب بی کرانی بالقوه اصراربرگامهای ساختار گرایانه و طی گامهای متناهی 105 فصل پنجم شهود گرائی شهود گرائی معاصر با نظریه ساختارگرائی چهره شاخص :ال .ای .جی بروئورهلندی اعمال روش ساختارگرانه تئوری مجموعه ها سلب امکان وجود مجموعه های پارادوکس زا قویترشدن تدریجی فلسفه بروئوربا گذشت زمان 106 فصل پنجم شهود گرائی شهود گرایان درتقابل با نظریه کانتور شهود گرائی درمقابل نظریه کانتور مبنی براینکه تعداد اعداد حقیقی بیشترتعداداعداد طبیعی است. استفاده ازبسط اعشاری نامتناهی یک عدد حقیقی برای اثبات ادعای فوق توسط کانتوروسزنده نبودن این استدالل ازدید شهود گرایان 107 فصل پنجم شهود گرائی شهود گرایان ورد “ قانون طرد شق وسط ” شهود گرائی درتقابل با مواردی درریاضیات که نه برای صحتشان دلیلی پیدا شده ونه برای بطالنشان مانند ” آخرین قضیه فرما ” و” حدس گلدباخ ”. 108 فصل پنجم شهود گرائی اصرارشهود گرایان براینکه درمواردی مثل دومورد فوق باید به صراحت تصمیم گرفت وچون صحت یا سقم مشخص نیست پس حکم برشق وسط یعنی ” نه صحیح ونه نادرست ” راباید پذیرفت. 109 فصل پنجم شهود گرائی و قربانیان ریاضی برسر این فلسفه تئوری های قربانی شده بشرط پذیرش شهود گرائی اولین مورد :تئوری اعداد اصلی کانتور دومین مورد :هرمجموعه کراندار ازاعداد طبیعی یک کران باال دارد اصل موضوع انتخاب زرملو ( تاوانی بسیار سنگین ) سایر اصول هم ارز اصل موضوع انتخاب نظیر لم زرن، اصل خوشترتیبی ، استقرا 110 فصل پنجم شهود گرائی در تقابل با منطق گرائی دراصول ریاضیات راسل ووایتهد قانون طرد شق وسط و قانون تناقض هم ارزانگاسته شده ولی برای شهودگرایان این وضع قابل قبول نیست وتالش برای دستگاه منطقی که درآن ایده های شهودگرایانه قابل تحمل باشد درسال 1930توسط هیتینگ انجام گرفت ومنطق نمادی شهود گرایانه توسعه ورشد یافت. 111 فصل پنجم شهود گرائی و توسعه ریاضیات چه مقدارازریاضیات را میتوان با محدودیتهای شهود گرایانه بازسازی کرد؟ بخش زیادی نظیرتئوری مجموعه ها وقضیه پیوستار کانتورتا حدودی بازسازی شده است. گرایش شهود گرایانه بسیارکم توان ترازریاضیات کالسیک است. 112 فصل پنجم شهود گرائی و توسعه ریاضیات ()2 چه مقدار از ریاضیات را میتوان با محدودیتهای شهود گرایانه بازسازی کرد؟ نتیجه :بخش عظیمی ازریاضیات کالسیک باید قربانی شود یکی ازنقاط قوت فلسفه شهود گرائی :عدم بروز تناقض در روشهای شهود گرائی ( البته تا امروز ) 113 فصل پنجم فلسفه اشراق شیخ فلسفه اشراق :سهروردی فلسفه اشراق بر استدالل و کشف و شهود هر دو تکیه دارد. سابقه شهود گرائی ریاضی به درک کانت ازعدد برمی گردد ،درحالی که فلسفه شهود درمبانی کلی فلسفی که به فلسفه اشراق معروف است به دوره پیش از ارسطو نسبت داده میشود. 114 فصل پنجم صورتگرائی سابقه تاریخی 1899 :دیوید هیلبرت سایرین :برنایز ،اکرمان ،فن نویمان تزصورتگرائی :ریاضیات با سیستمهای نمادی صوری سروکاردارد وبنابراین ریاضیات عبارتست از گردایه ای ازسیستمهای نمادی مجرد که مفاهیم آن صرفا نمادهای بی معنی واحکام آن فرمولهائی هستند که بااین نمادها بیان می شوند. 115 فصل پنجم صورتگرائی ادامه ‏ ‏ ‏ ‏ 116 مفاد یک سیستم صوری یک زبان رسمی ( گردایه ای از نمادها وقواعد ) گردایه ای ازبنداشتها یک سیستم استنتاجی ( گردایه ای از قواعد برای نتیجه گیری حکمی ازحکمی دیگر) قضیه هائی که باگامهای متناهی از بنداشتها نتیجه میشوند فصل پنجم صورتگرائی ادامه تالش هیلبرت تالش هیلبرت برای رفع بحرانهای پارادوکسهای تئوری مجموعه ها باارائه تزصورتگرائی 1934 و 1939انتشار دوجلد کتاب مبانی ریاضیات هیلبرت ،انجیل صورتگرایان موفقیت هیلبرت درگروحل مسئله سازگاری 117 فصل پنجم صورتگرائی ادامه تالش هیلبرت ()2 روش مدلها فقط تضمین کننده سازگاری نسبی بود کنارگذاشتن روش مدلها توسط هیلبرت تالش هیلبرت با روش مستقیم وجدید بنام ” تئوری برهان ” پایان تراژیک تئوری برهان 118 فصل پنجم شکست تئوری برهان قضیه عدم تمامیت گودل اعجاز تاریخ منطق وریاضیات ( کتاب آشنائی با منطق ریاضی تالیف اندرتون ترجمه خسروشاهی نشردانشگاهی ) 119 1931 گودل :قبل ازچاپ کتاب مبانی هیلبرت گودل با روشهای قاطع وغیر قابل تردید نشان داد که برای یک سیستم استنتاجی به قدرکافی غنی همچون سیستم کل ریاضیات کالسیک هیلبرت، غیرممکن است که بتوان سازگاری سیستم رابا روشهای متعلق به آن سیستم اثبات کرد. فصل پنجم شکست تئوری برهان قضیه عدم تمامیت گودل اعجاز تاریخ منطق وریاضیات ( کتاب آشنائی با منطق ریاضی تالیف اندرتون ترجمه خسروشاهی نشردانشگاهی ) گودل ( قضیه عدم کمال ) :سیستمهای صوری که مدعی اند برای استخراج ریاضیات کافی هستند قابل اطمینان نیستند یعنی سازگاری آنها را نمی توان با روشهای متناهی فرمولبندی شده درداخل سیستم اثبات کرد ،درحالی که هرسیستمی که دراین معنی قابل اطمینان باشد غیرکافی است. قضیه عدم کمال گودل شکست تئوری برهان هیلبرت 120 فصل شش ذوات ریاضی اهداف فصل آشنائی باسئواالت ماهوی بررسی دیدگاههای مختلف یاضی درباره ماهیت ذوات ریاضی پاسخ دگماهای صورتگرایان ،افالطونگرایان، شهود گرایان ونامگرایان درمورد ذوات ریاضی 121 فصل شش ذوات ریاضی چه ماهیتی دارند دیویدهرش :هرگاه کارروزانه تان ریاضی باشد ،به نظرتان طبیعی ترین کاردردنیا می باشد .ه گاه کارتان را لحظه ای متوقف کنید وفکرکنید چه کارمی کنید واین کارها چه معنی دارد ،به نظرتان ریاضیات یکی ازاسرارآمیزترین اموراست .چرا هنوزهندسه اقلیدس درست است ،درحالیکه فیزیک ارسطویی از سالها پیش مرده است ؟ در ریاضیات چه می دانیم وچگونه به آنها معرفت پیدا می کنیم؟ ذوات ریاضی چگونه ذواتی هستند؟ مجردند یا ملموس؟ فقط در ذهن آدمی هستند یا درجهان خارج نیزوجود دارند؟ 122 فصل شش افالطونگرایی ذوات ریاضی را ما نمی سازیم بلکه ازقبل یکباروبرای همیشه وبه شکل ایده آل وازلی خلق شده اند .ما آنها را خلق نمی کنیم ،آنها را کشف می کنیم . یاضی نظری است که برطبق آن ذوات ریاضی مستقل از وجود انسانها وریاضیدانان وجود دارند ،در جایی خارج ازوجود ما. برطبق این نظر ،ریاضیات همتای نمادی جهان است که به تدریج رشد و گسترش یافته است. کاریک نظریه پردازریاضی این است که به نوای جهان گوش دهد و آنچه راکه می شنود ومی بیند ثبت کند. 123 فصل شش افالطونگرایی ()2 ذوات ریاضی حقیقی بوده ووجود آنها مستقل ازدانش ما در موردآنهاست. مجموعه ها ،فضاهای برداری ،منیفلدها ،منحنی های فضا پرکن همگی اعضای باغ وحش ریاضی هستند و ذواتی معین اند. یک ریاضیدان ،یک دانشمند علوم تجربی ومانند یک زمین شناس است ،وی نمی توانداختراع کند، اوکشف می کندهمه چیزازقبل اختراع شده است. 124 فصل شش افالطون گرایی ()3 رینه تام :همه چیزازقبل وجوددارد ریاضیدان به قدرکافی باید شهامت داشته باشد که تمایالت عمیق خودرا بروزدهد وتایید کند که صورتهای ریاضی درواقع وجود دارند گودل :علیرغم جدایی ذوات ریاضی ازحس تجربی ،ما موکدا چیزی شبیه دک ازاین ذوات تئوری مجموعه ها را داراهستیم .زیرامالحظه می کنیم که بنداشتهای این تئوری خودرا به ما به عنوان ذواتی حقیقی تحمیل می کنند. 125 فصل شش منتقدین فلسفه افالطونگرایی آلبرت رابینسون :من نمیتوانم تصورکنم به جرگه افالطون گرایان برگردم .کسانی که جهان درواقع بی نهایت راپیش روی خودگسترده می بینند واعتقاد دارند که میتوانند ذوات غیرقابل فهم را درک کنند. ویگنشاین :منطق وریاضیات صرفا ما را به صورتهای استنتاج مجهزمی کنند ،درکارریاضی ما فقط عباراتی رابه عباراتی تبدیل می کنیم واین که چنین تبدیلهایی درست است یا نه ازجهت مطابقت با ذوات ریاضی نیستند بلکه فقط با این ضابطه تعیین می شوند که چگونه افراد در واقع از این عبارتها استفاده کرده و چه چیزی را صحیح می نامند. 126 فصل شش صورتگرایی ریاضیات علم استنتاجهای منطقی است که درآن از بنداشتها شروع وقضیه ها نتیجه گیری میشود. حدوداولیه آن تعریف نمی شود .قضیه و بنداشتها فاقد محتوایند مگر آنکه بدانها تعبیرهایی متناظرکنیم. ریاضیات علم برهانهای منطقی است. برای هرمطلب یا برهانی وجود دارد یا آنکه اصال آن مطلب به حساب نمی آید. 127 فصل شش صورتگرایی ()2 برای مثال در هندسه نقطه و خط عبارات تعریف نشده و گزاره ” بر هر دو نقطه یک خط می گذرد ” یک بنداشت است. اهمیت منطقی چنین بنداشتی به تصویر ذهنی که ماازآن داریم بستگی ندارد .می توانیم خط راجاده و نقطه را روستا بنامیم. ” ازهردو روستا یک جاده می گذرد” . درروند تئوری هیچ تغییری حاصل نمی شود. 128 فصل شش صورتگرایی ()3 بایداستنتاجهای منطقی حاصل ازبنداشتها برقرار باشد .نتایج حاصل را قضایای تئوری می نامند. هیچ کس نمی تواندادعا کند که یک قضیه حقیقت دارد ،قضیه ها به عنوان احکامی از ریاضیات محض نه حقیقت دارند ونه کذب، زیرااحکامی درباب عبارتهای تعریف نشده اند. 129 فصل شش صورتگرایی ()3 تنها چیزی که می توان گفت ،قضیه ها نتیجه منطقی بنداشتها هستند. قضیه ها فاقد محتوایند قضیه ها مبری ازخطا وشک هستند زیرا فرآیند برهان و استنتاج منطقی هیچ ابهامی باقی نمی گذارد. 130 فصل شش صورتگرایی و هندسه ازنظرتاریخی یک دلیل عمده برای ارائه نظرصورتگرایی پاسخی به سرنگونی و رد هندسه اقلیدسی است. ازدیدگاه اقلیدس بنداشتهای هندسه فقط فرضیاتی ساده تلقی نمی شوند بلکه ” حقایقی خود آشکار ” به شمار می آیند. ازدیدگاه فیلسوف صورتگرااین تصوررا که می توان با ”حقایق خودآشکار” یک نظریه را فرمولبندی کرد قابل قبول نیست. 131 فصل شش صورتگرایی و بنداشت توازی آیا بنداشت توازی اقلیدس ونقیض آن هردودرست است ؟ صورتگرایان :هرگاه به عنوان یک ریاضیدان درصدد باشیم که آزادی عمل خود رابرای مطالعه هردو هندسه اقلیدسی ونااقلیدسی حفظ کنیم الزم است از این معنی که هر یک ازاین بنداشتها حقیقت داشته باشد صرفنظر کنیم .تنها چیزی که کفایت می کند سازگاری هریک ازاین هندسه ها است. این دوهندسه وقتی متضاد هم تلقی می شوند که به یک فضای فیزیکی حقیقی اعتقاد داشته و تاکید کنیم. 132 فصل شش هندسه و فیزیک در صورتگرایی آیا قضایای هندسه صرفنظر ازتعبیرهای فیزیکی احکامی با معنی هستند ؟ آیا میتوانیم ازکلمات درست و نادرست درباب هندسه محض استفاده کنیم ؟ افالطونگرایان به دوسوال فوق پاسخ مثبت می دهند زیرا اشیا ریاضی را مستقل ازعالم فیزیکی می پندارند. اما صورتگرایان پاسخ منفی می دهند و می گویند احکام هندسی نمی توانند درست یا نادرست باشند زیرادرمورد چیزی نبوده وهیچ معنایی دربرندارند. 133 فصل شش صورتگرایی و رسالت آموزشی یک صورتگرا چه مصداقها یا کاربردهایی برای تئوریی که توسعه می دهد درنظردارد ؟ پاسخ:این گونه سوالها سوالهایی نامربوط است .وقتی که برای قضیه ای برهانی ارائه میشود کارریاضی انجام یشده است .هرچیزدیگردراین باب مطلب اضافی است. مقیاس اینکه چه مقدارریاضی دریک کالس درس داده ایم این است که چه مقداردراین کالس مطلب ثابت کرده ایم. این سوال که مستمعین ما چه مقدارفهمیده اند به ریاضیات ربطی ندارد. 134 فصل شش صورتگرایی فلسفه حاکم درمدارس دراواسط قرن بیستم صورتگرایی وضعیت فلسفی حاکم در کتابهای درسی ونوشته های رسمی ریاضی به شمار می رفت درحالیکه افالطونگرایی که توسط بسیاری از ریاضی دانان مورد قبول بودبه صورت عقیده ای مخفی وخصوصی تلقی می شد وبندرت درمباحث عمومی ذکرمی گردید. 135 فصل شش صورتگرایی وپوزیتیویسم علمی یک دلیل عمده حاکمیت فلسفه صورتگرایی ارتباط آن با پوزیتیویسم منطقی بود .که گرایش حاکم برفلسفه در 1960-1940بود. درحوزه علمی وین پوزیتیوسیت های منطقی به علم وحدت داده وآن را دریک حساب منطقی صوری طبقه بندی می کردند. 136 فصل شش مثالی ازپوزیتیویسم منطقی درموردارائه پوزیتیویسم منطقی یک مثال بارزمکانیک کالسیک ومکانیک کوانتم بود .در مکانیکهای کالسیک قواعدی برای اندازه گیری کمیتهای بنیادی وجود دارد .مکانیک کوانتم قواعد خاص خودرادارد برطبق آن اصطالح ”مشاهده پذیری” درتئوری صوری به اندازه گیریهای تجربی مربوط می شود. 137 فصل شش ریاضیات به عنوان یک زبان ازدیدگاه پوزیتیویسم منطقی خودریاضیات ،نه به عنوان یک علم ،بلکه به عنوان یک زبان برای سایرعلوم تلقی می گردد. ریاضیات یک علم به حساب نمی آید زیراهیچ موضوعی ندارد. ریاضیات فاقد داده های تجربی است که بتوان برآن قواعد تفسیری رااعمال کرد. ریاضیات فقط یک ساختارصوری تلقی می گردد. 138 فصل شش تمارض ازصورتگرایی درسالهای اخیرعکس العمل درمقابل صورتگرایی افزایش یافته ودرپژوهشهای ریاضی اخیرچرخش به سوی مسا ئل ملموس و کاربردی فزونی یافته است .درکتابهای درسی و منابع علمی اهمیت بیشتری به مثالها قائل می شوند وبه ارائه صوری مطلب قاطعیت چندانی نمی دهند. 139 فصل شش فلسفه های دیگر تئوری عدد برخالف بعضی تئوریهای ریاضی کم استعمال ،درزندگیعادی ودرعلوم همیشه به کارمی رود. برخی ریاضیدانان به کارکردن بااعداد طبیعی بدون توجه به اصطالح عدد اکتفا می کنند .آیا باید وجود چنین ذواتی را باور کنیم؟ صورتگرایان ومنطق گرایان بااستفاده ازنتایج منطقی فرضهای اولیه به تعبیرپئانوقناعت نموده وهمین که قضیه ها رانتیجه بنداشتهای آن می دانند وظیفه علم را تمام شده می دانند. 140 فصل شش تئوری بنداشتی اعداد به عنوان سیستمی نا معبر تئوری بنداشتی اعداد را می توان سیستمی نامعبرانگاشت و با روشی مجرد ومنطقی درآن پژوهش کرد اما اگر بخواهیم بااستفاده ازاین فرض بکوشیم که اندیشیدن درباره نوع و وجوداعدادرا منع کنیم ازحد ترخیص خارج می شویم. ارسطو و کانت معتقد بودند که عمال وجوداشیا بی شماردر جهان مقدور نیست . 141 فصل شش وجود عدد آیا عدد وجود دارد ؟ جوابهای فالسفه ازچه نوع است ؟ آیاباقاطعیت میتوان ”بله” گفت ؟ چیزهایی که الیق داشتن عنوان عددهستند به طورقطع وجوددارند. 142 فصل شش مسئله کلیات درفلسفه وعدد مسئله کلیات درفلسفه مسئله ای بوددرباره وضع خواصی مانند فضیلت ،چهارگوشی وسرخی .اینها همه ذوات مجرد هستند یعنی چیزهایی که درفضا وزمان نمی گنجند. این کلیات چه نوع حقیقتی دارند؟ چگونه درفکرما دارای اهمیت واعتبارند؟ مسئله تالش برای یافتن یک تعبیر لفظی برای عدد شباهت با مسئله کلیات دارد. 143 فصل شش جواب فالسفه به ماهیت کلیات واقعگرایان :کلیات ذوات واقعی مجردی هستند که حقیقت وجودشان ازاشیا مجسم کمتر نیست . مفهومگرایان :هرچند کلیات حقایق مجردند، درعالم خارج حقیقتی ندارند وفقط درفکرما موجودند. نامگرایان :چیزهایی به نام کلیات وجودندارند واگر وجود داشته باشند ذاتهای مجرد نیستند. 144 فصل شش نامگرایی نامگرایی نظری است که بنا برآن ذوات مجرد وجود ندارند نامگرایان بویژه منکروجودذاتهای مجردبه نام اعدادهستند. آیا نامگرایان راه هایی برای تعبیراعداد دارند؟ 145 فصل شش نامگرایان و اعداد اندیشه هایی درذهن ما تصویریا نمودی فکری مدتی کوتاه درذهن وسپس هیچ فضا رااشغال نمی کند 146 فصل شش نامگرایی ازنوع دیگرواعداد اعداد به جای ذوات ذهنی ذوات عینی وطبیعی دارند. عددورقم یکی است وعدد چیزی باالتریاپایین ترازرقم نیست. عدد چیزی معین ومحسوس است. بااین تعبیراصول تئوری اعداد درست درنمی آید. 147 فصل شش نامگرایی از نوع دیگرواعداد اگرارقام وافی به مقصود نباشند فیلسوف نامگرا هرعددطبیعی را می تواند با چیزمعینی ازجهان مادی همانند گیرد. آیا این تعبیرمیسراست ؟ نه هرگز 148 فصل شش نامگرایی ازنوع دیگر و اعداد ()2 درالقائات نامگرایانه فوق اشاره ای نمی شود که اصطالحات ”مجموعه” و”زوجهای مرتب” راچگونه باید تعبیرکرد ؟ بنظرمی رسداگرمجموعه وجود داشته باشد وجودش مجرد خواهد بود. 149 فصل شش نامگرایی وتعبیراعداد نمی توان ازقبول این نتیجه تن زد که برای تئوری اعداد تعبیرنامگرایانه ای وجود ندارد که به موجب آن این تئوری صحیح درآید. درنظرنامگرای مومن ریاضیات عدد را نمی توان مانند معرفتی قطعی به شمارآورد. این نتیجه را غیرنامگرایان ”قیاس خلف نامگرایی” می دانند. 150 فصل شش نامگرایی ومفهوم گرایی هردوفرقه درمورد مسائلی که دارای وجود ریاضی هستند خست نشان می دهند. واقعگرایان :ذاتهای مورد بحث بنداشتها به نحوی قاطع و جازم وجود دارند. مفهوم گرایان :وجود ذوات ریاضی مجرد پذیرفتنی است لیکن ساخته و پرداخته ذهن بشر. 151 مفهوم گرایی نقدی براین فلسفه جناح افراطی مفهوم گرایان اعداد یا هر ذات ریاضی را مخلوق ذهن می دانند .که در این صورت بنداشتهای مخلوق ریاضیدانان را به مثابه احکام خالق می توان انگاشت. وقتی یک ریاضیدان با خود می اندیشد که ” باید اصلی وضع کنم که بر طبق آن اعداد چنین و چنان باشند ” آنها را به وجود می آورد و این آفرینندگی او همانند قدرت کامله الهی است که هرچه را که مشیتش تعلق گیرد ازنیستی به هستی درمی آورد. امااین افراط در خوشبینی است که آیا ریاضیدان درفعالیت خود از هرقید وبندی به کلی آزاد است ؟ 152 فصل شش کانت ،مفهوم گرایی واقعی کانت معتقد است قوانین عدد همانند قوانین هندسه اقلیدسی هم قبلی هستند وهم ترکیبی. درنظرکانت معرفت ماازعدد برمبنای درک زمان ودرک ذهن قراردارد. برمبنای درک زمان عدد فقط نوعی شهود مطلق است. ذهن با شناخت اعداد فقط درکار داخلی خود بصیرت پیدا می کند نه دریک حقیقت. 153 فصل شش مقایسه مفهوم گرایی و شهود گرایی در باب اعداد در فلسفه مفهوم گرایی ذوات ریاضی مانند مجموعه ها و اعداد مخلوق ذهن ما هستند. فلسفه شهود گرایی مجموعه ها و اعداد متناهی رامخلوق ذهن نمی دانند ولی مجموعه های نامتناهی ،اعداد اصلی نامتناهی راذواتی بی معنی تلقی می کنند. مفهوم گرایان برای ذهن قدرت آفرینش بی حد وحصر قائلند. 154 فصل شش واقعگرایان درنظرواقعگرا وظیفه یک ریاضیدان همانند وظیفه کسی است که برای کشف زمینهای دوردست راه سفرپیش می گیرد .نمیتواند چیزی اختراع کند او کشف می کند. راسل :هرمعرفتی باید برای شناختن حقیقتی باشد وگرنه فریبی بیش نیست .حساب باید همانگونه کشف شده باشد که هندغربی توسط کریستف کلمب. هرچیزی که درباره اش بتوان اندیشید وجود دارد. 155 فصل شش واقعگرایان ()2 درنظرواقعگرایان طرد براهین ”ناسازنده” وتعاریف غیر حملی یا تصوراحکامی که نه درست باشدونه غلط به هیچ روی موجه به نظرنمی رسد. اگراعداد وسایرذاتهای ریاضی بی آنکه به وجود ما قائم باشند به طورحقیقی وجود داشته باشند وسواس شهود گرایان به کلی زاید وبی اساس است. 156 فصل شش واقعگرایان ()2 براستداللهای ” نا سازنده ” هیچ ایرادی نیست. برای واقعگرایان آخرین قضیه فرما یا صحیح است یاغلط حتی اگرما نتوانیم ثابت کنیم. 157 فصل شش فرگه واعداد فرگه :معرفت ما ازاعداد مبتنی بریک بینش عقلی قبلی است. هرگاه ماباچشم عقل درساختمان فارغ اززمان یک حقیقت عددی بنگریم به یک معرفت قبلی می رسیم .معرفتی قبل از تجربه واز طریق تفکر. معرفت به اعداد اساسا ربطی به فهمیدن و درک معانی کلمات ندارد. اگرکسی بتواند زبان اعداد را دریابد اماابری حجاب عقل اوشود به طوری که نتواند خود عدد رادرک کند ،نخواهد توانست قوانین اعداد رابفهمد. 158 فصل شش فرگه واعداد ()2 قوانین عدد همه تحلیلی اند فرگه :در حساب سروکارمابا چیزهایی نیست که آنچنان که دیدیم با خارج بیگانه باشند بلکه باچیزهایی است که مستقیما با قوه عقلی ما ارتباط دارند و برای آن چنان روشن اند که گویی نزدیکترین بسته آنند . 159 فصل شش فرگه واعداد ()3 قوانین عدد همه تحلیلی اند مراد فرگه ازگفتن آنکه قوانین عددتحلیلی اند فقط اینست که این قوانین ” قابل تحویل” به قوانین منطقی هستند ،نه بیشترونه کمتر .یعنی معرفت ما اساسا مبتنی است بربینش عقلی اما آن بینش عقلی که علم به قوانین منطق برای ما تامین می کند. 160 فصل شش غروب واقع گرایی واقع گرایان خود رامانند کاشفانی می شناختند که به کشف سطحی ازحقیقت مجرد که تا آن زمان نا شناخته بود نائل آمدند ،کاشفانی که دریافتند سرزمین پهناور ریاضی خود جزیره ای است ازیک قاره وسیع به نام حقایق منطقی .تصوری بود پرشور و هیجان انگیزاما مانند بسیاری از رویاهای سپیده دم روشن و فرح بخش ،هنوزخوب ظاهر نشده و شکل نگرفته محو گردید و ازمیان رفت. 161 فصل شش صورت گرایان و بنداشتها به علوم ریاضی باید به صورت سیستمهای بنداشتی و قالب ریزی شده نگریست. دراین صورت ازبسیاری ازدردسرها وسئواالت بیجا در امان هستند. اگربه پیروان این فرگه بگرویم پرسشهایی ازقبیل ” قوانین عدد چیستند ” دورشده وبه هوا می روند. ریاضیات بازی با عالمتها است. 162 ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب S متشکل از .…,a,b,cبه همراه نسبت دوتایی > را مرتب ساده گوییم اگردرسه بنداشت زیرصدق کند م . 1اگر a≠bآنگاه یا a<bیا .b<a م . 2اگر a<bآنگاه .a≠b م . 3هر گاه a < bو b < cآنگاه . a < c وقتی a < bگوییم aمقدم بر bاست. 163 ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب S را به همراه > خوشترتیب نامیم هر گاه بنداشت چهارم زیر نیز برقرار باشد م . 4هر گاه ´sیک زیر مجموعه غیر خالی باشد آنگاه عضوی چون aاز ´sهست که برای هر عضو دیگر bاز s´ ، a<bیعنی هر زیر مجموعه غیر خالی sعضو ابتدا داشته باشد. 164 ضمیمه اول قضیه خوشترتیبی زرملو هرگاه sمجموعه ای دلخواه باشد یک نسبت دو تایی > در sوجود دارد که نسبت به آن ‏sخوشترتیب باشد . عکس العمل ها :برخی ریاضیدانان می گفتند یک جایی در برهان زرملو اشکالی باید باشد. قضیه به نظر باورکردنی نیست. 165 ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب ای برول دریافت که زرملو برهانش را براصل به ظاهر واضحی قرار داده است که قبال سالها ریاضیدانان از آن استفاده می کردند بی آنکه به آن اصل استناد کنند. 166 ضمیمه اول بنداشت زرملو یا اصل موضوع انتخاب هرگاه مجموعه sبه زیر مجموعه های غیرخالی دو بدو مجزا …,A,B,Cافرازشود آنگاه الاقل یک مجموعه چون Rوجود دارد که از هر یک از زیرمجموعه های …,A,B,Cدقیقا یک عضودارد. این اصل مدعی است چنین انتخابی ممکن است. 167 ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب برول متذکر شد که نه تنها قضیه زرملو برپایه اصل انتخاب قرار دارد بلکه باآن معادل است . امروزه ما شاهد وضعیتی راجع به این اصل هستیم که از پذیرش کامل آن تا رد کامل آن تغییر می کند. محققین مدرن توپولوژی بی وقفه آن را می ئذیرند. 168 ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب درجبرگرچه استداللهایی بدون یاری ازاصل انتخاب پا در هوا می ماند لیکن متخصصین جبر تمایل دارند تا آنجا که می توانند بدون استفاده از آن برهانهای خود را بیان کنند. درآنالیز نادیده انگاشتن این اصل غیرممکن است. 169 ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب و اعتراض ها مبتنی دانستن آن بردرک ماازوجود ریاضی ساختنی نبودن مجموعه مذکور دراصل ایراد شهود گرایان بربرهانهای غیرساختنی 170 ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب وراسل مثال راسل :اگربی شمار جفت کفش داشته باشیم می توانیم مجموعه ای متشکل ازیک لنگه ازآن کفشها رابسازیم،کافی ست لنگه های راست هر جفت راانتخاب کنیم که نیازی به اصل انتخاب نداریم. اگربی شمارجفت جوراب داشته باشیم نمی توانیم مجموعه ای متشکل از یک لنگه ازآن جوراب ها رابسازیم ،بی آنکه ازاصل انتخاب استفاده کنیم زیرا نمی توانیم بدون بهره گیری ازاصل انتخاب لنگه ای ازهرجفت راانتخاب کنیم . 171 ضمیمه اول مثالی دیگربراصل موضوع انتخاب اگر sمجموعه اعداد حقیقی بین 0و 1باشند s را به زیر مجموعه هایی که اعضایش اختالفشان عددی گویاست تجزیه می کنیم .این زیرمجموعه ها دوبه دوازهم جدا وغیر خالی هستند .بدون یاری ازاصل انتخاب نمی توان مجموعه ای ساخت که ازهریک از زیر مجموعه های فوق دقیقا یک عضو داشته باشد. 172 ضمیمه اول پارادوکس باناخ -تارسکی در هر فضای nبعدی ( ) n >2هر دو مجموعه محدود دلخواه که شامل نقاط داخلی باشند با تجزیه متناهی معادل یکدیگرند. یک مثال ساده :دوکره توپر pو sکه درآن اولی به اندازه یک نخود و دومی به اندازه خورشید است را می توان به زیر مجموعه های دوبدو ازهم جدا تجزیه کرد که به وسیله حرکات صلب معمولی ذرات سازنده نخود ،همه کره خورشید راپرکند. 173 ضمیمه دوم آشنایی با اعداد اصلی سابقه تاریخی فکروبسط تئوری مجموعه ها وعمل کردن با آن بصورت یک موضوع خاص واصیل ازآن کانتورریاضیدان آلمانی اواخرقرن نوزدهم است. برطبق سخن یک ریاضیدان :تئوری مجموعه های کانتور دایره المعارف جوانان است. 174 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی تعاریف مقدماتی تناظر یک به یک هم ارزی تساوی عضویت یک به یک پوشا 175 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی مثال اعداد طبیعی فرد با اعداد طبیعی زوج هم ارزاست. 1,3,5,7,9  2,4,6,8,10  مقایسه دومجموعه نامتناهی عینا شبیه مقایسه دومجموعه متناهی است. 176 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی مثال تعدادکل اعداد طبیعی با تعداد اعداد فرد یکی است .…n…,11 ,9 ,7 ,5 ,3 ,1 ‏n-1/2…,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0 177 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی مثالی دیگر اعداد گویا با اعداد طبیعی هم ارز است … ,3\1 ,1\3 ,1\2 ,2\1 ,1\1 ,1\0 ……, ,5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 178 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی چند مثال بازه ))Л/2 , Л/2-با Rهم ارز است. اگر sمجموعه همه رشته هایی باشد که ازجمالت 0یا 1تشکیل یافته اند ،با Nهم ارز نیست. مجموعه مذکور sبا Rهم ارز است. 179 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی عده اعضای یک مجموعه را عدد اصلی آن مجموعه می نامند .عدد اصلی مجموعه Aرا با نماد IAIنشان می دهیم. مثال I { 1,5,7 } I = 3 ‏I{x,+}I=2 ‏ ‏I { 1, 5 } I = I { 0 , 1 } I 180 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی عدد اصلی Nرابا қ 0نشان می دهیم .اگر A مجموعه اعداد طبیعی فرد باشد ‏I A I = I N I = I Q I = қ.0 عدد اصلی Rرابا cنشان می دهیم. ‏I(0 , 1)I = c 181 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی فرض می کنیم Aمجموعه ای nعضوی باشد ‏I P(A) I = 2n مثال ‏I P(N) I = 2қ. = c 182 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی قضیه کانتور ” هرمجموعه ازمجموعه توان خود کوچکتر است“. تبصره .وقتی گفته می شود که Aاز Bکوچکتر است ،بدان معنی است که Aبا زیر مجموعه ای حقیقی از Bهم ارز است ولی با خود Bهم ارز نیست. 183 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی فرضیه پیوستار کانتور کانتورحدس زد عددی بزرگتر از .қو کوچکتر از c وجود ندارد .گودل در سال 1937ثابت کرد که در چار چوب بنداشتهای تئوری مجموعه ها نمی توان این حدس را ثابت کرد .درسال 1964کوهن ثابت کرد درهمین چارچوب نمی توان این حدس را رد کرد .این حدس معروف به فرضیه پیوستار کانتور یکی ازپارادوکسهای مهم به حساب می آید. 184 ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی نقص بنداشتها ازدیدگاه افالطون گرایانه بنداشتهای ما برای توصیف تئوری اعداد حقیقی غیر کامل اند .این بنداشتهاآن قدر قوی نیستند که کل حقیقت را بیان کنند . درهرحال فرض پیوستار یا درست است یا نا درست اما ما به اندازه کافی مجموعه اعداد حقیقی را درک نکرده ایم که بتوانیم پاسخ درست را تشخیص دهیم. 185 ضمیمه رواقیون حوزه درس این گروه دریکی ازرواقهای شهرآتنا منعقد می شده است. رواقین حکمت راتنها برای تعیین تکلیف زندگانی و دستور اخالقی می دانستند. سرسلسله آنان زنون معاصر ابیقوربود. شاگرد زنون خروسپوس جانشین وی بود. 186 مراجع ایوز ،دیوید آشنایی با تاریخ ریاضیات ،ترجمه دکتر وحیدی اصل بارکر استفن ،فلسفه ریاضی ،ترجمه احمد بیرشک بیژن زاده محمد حسن مجله رشد آموزش ریاضی سال اول شماره اول بیژن زاده محمد حسن ذهنیت فلسفی در مدیریت آموزشی مجله رشد آموزش ریاضی شماره 39 اسمیت فیلیپ جی ذهنیت فلسفی در آموزش ریاضی ترجمه دکتر محمد رضا برنجی مصاحب غالمحسین آنالیز ریاضی جلد اول دکتر معین محمد فرهنگ فارسی دوره 6جلدی 187 مراجع    Bisop E, the crisis in Contempory Mtthematics, Historia Mathematica1975 Davis Martin, Unsolvablr Problems . Joh. Barvis Led.Handbook of mathematical logic1977 Davis P J The Criterion Markers, Mathematics and Social Policy 1962 188 مراجع    Dieudonnee, J, Modern Axiomatic Methods and Foundations of mathematics 1971 Eves, H, Newsom C.V. An Introduction to the Foundations and Fundamental concepts of mathematics., 1965 Frank Philipp, The Place of Logic and Metaphysics in advancement of modern Science 1948 189 مراجع     Griffiths, H.B. and Hilton, P.J. Classical Mathematics Hilbert D. On The Infinite Phylosophy of Mathematics 1969 Lakatos I. , A Renaissace of Empirism in the Reccent Phylosophy of Mathematics. Lakatos I.Problem in Phylosophy of mathematics 1967 190 مراجع       Popper karl R, Objective Knoeledge. 1972 Russel Bertrand. The Principal of Mathematics 1903 Russel Bertrand. A History of Western Phylosophy 1945 Russel Bertrand Human Knowledge 1948 Russel Bertrand , Whitehead A.N. Principal Mathematica 1910 Wittgenstein L. On Certainly 1969 191 پایان 192