فرایند تحلیل سلسله مراتبی

1 AHP فرایند تحلیل سلسله مراتبی پیشگفتار یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی ( Analytical Hierarchy )process-AHPکه اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980مطرح شد .که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد . انواع حالت های تصمیم گیری تصمیم گیری فضای گسسته چند معیاره فضای پیوسته تک معیاره چند معیاره تک معیاره معیار کمی معیار کمی معیار کمی معیار کمی معیار کیفی معیار کیفی معیار کیفی معیار کیفی معیار کمی-کیفی معیار کمی-کیفی اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی اصل .1شرط معکوسی ( )Reciprocal Condition اصل .2همگنی اصل .3وابستگی اصل .4انتظارات ( )Homogeneity ()Dependency ( )Expectation شرط معکوسی اگرترجیح عنصر Aبر عنصر Bبرابر nباشد ترجیح عنصر Bبر عنصر Aبرابر n/1خواهد بود . همگنی عنصر Aبا عنصر Bباید همگن و قابل قیاس باشند .به بیان دیگر برتری عنصر Aبر عنصر B نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد. وابستگی هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح باالتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا باالترین سطح می تواند ادامه داشته باشد. انتظارات هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد. فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه ► ساخت سلسله مراتبی ► مقایسه های زوجی ► ترکیب وزنها ► تحلیل حساسیت ► روش رتبه بندی مثال تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,Cیکی را انتخاب کنیم چهار معیار:راحتی ،قیمت ،مصرف سوخت ،مدل مطرح می باشد .حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم: ساختن سلسله مراتبی محاسبه وزن سازگاری سیستم ساختن سلسله مراتبی انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل محاسبه وزن ترجیحات (قضاوت شفاهی) مقدار عددی کامال مرجح یا کامال مهم تر یا کامال مطلوب تر ‏Extremely preferred 9 ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت خیلی قوی ‏Very strongly preferred 7 ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت قوی ‏Strongly preferred 5 کمی مرجح یا کمی مهم تر یا کمی مطلوب تر ‏Moderately preferred 3 ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت یکسان ‏Equally preferred 1 ترجیحات بین فواصل قوی 8،6،4، 2 محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی اتومبیل Cاتومبیل B ‏A اتومبیل 8 2 1 اتومبیلA 6 1 1/2 اتومبیل B 1 1/6 1/8 اتومبیلC قدم اول :مقادیر هر یک از ستون ها را با .هم جمع می کنیم اتومبیل Cاتومبیل B ‏A اتومبیل 1 اتومبیلA اتومبیل B 8 2 6 1 1/2 1 1/6 1/8 اتومبیلC 15 19/6 13/8 جمع هر ستون قدم دوم :تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر ( نرماالیزکردن) اتومبیل Cاتومبیل B ‏A اتومبیل 8/15 12/19 8/13 اتومبیلA 6/15 6/19 4/13 اتومبیل B 1/15 1/19 1/13 اتومبیلC قدم سوم :محاسبه متوسط عناصر در هر سطر متوسط سطر ‏C اتومبیل ‏B اتومبیل اتومبیA ل 0.593 0.533 0.631 0.615 اتومبیلA 0.341 0.400 0.316 0.308 ‏B اتومبیل 0.066 0.067 0.053 0.077 اتومبیلC 1 1 1 1 جمع کل ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به قیم ت اتومبیل Cاتومبیل B اتومبیل A 1/4 1/3 1 1/2 1 3 1 2 4 اتومبیلA اتومبیل B اتومبیل C ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به مصر ف اتومبیل Cاتومبیل B اتومبیل A 1/6 1/4 1 1/3 1 4 1 3 6 اتومبیلA اتومبیل B اتومبیل C ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل مدل نسبت به اتومبیل Cاتومبیل B اتومبیل A 4 4 1 اتومبیل A 7 1 3 اتومبیل B 1 1/7 1/4 اتومبیل C ، وزن اتومبیل ها برای معیار های قیم مصر مد و ل ت ف مدل مصرف قیمت 0.265 0.087 0.123 اتومبیل A 0.655 0.274 0.320 اتومبیل B 0.080 0.639 0.557 اتومبیل C ماتریس مقایسه زوجی معیارها مدل راحتی مصرف قیمت 2 2 3 1 قیمت 1/4 1/4 1 1/3 مصرف 1/2 1 4 1/2 راحتی 1 2 4 1/2 مدل وزن هر یک از معیارها قیمت 0.085 مصرف 0.218 راحتی 0.299 مدل 0.398 وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها مدل راحتی مصرف قیمت 0.265 0.593 0.087 0.123 ‏A اتومبیل 0.655 0.341 0.274 0.320 ‏B اتومبیل 0.080 0.066 0.639 0.557 ‏C اتومبیل محاسبه وزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل A 0.265=0.265*0.593+0.299*0.087+0.218*0.123+0.085*0.398 وزن نهائی اتومبیل B 0.421=0.655*0.341+0.299*0.274+0.218*0.320+0.085*0.398 وزن نهائی اتومبیل C 0.314=0.080*0.066+0.299*0.639+0.218*0.557+0.085*0.398 اولویت نهائی اتومبیل ها وزن اولویت اتومبیل 1 ‏B 0.431 2 ‏C 0.314 3 ‏A 0.265 ساختن سلسله مراتبی سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده در راس آن هدف کلی مساله و در واقعی می باشد که دارند ،هر چند یک سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد .سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی تصمیم کلی مساله (هدف) معیار n ... معیار2 معیار1 زیر معیارn ... زیر معیار2 زیر معیار 1 گزینه n ... گزینه 2 گزینه 1 سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه استاندارد کلی دانش :Vنظم :Kآمادگی برای دانشگاه : Lآموزشهای جانبی :Sکیفیت آموزشی :Fآموزان انتخاب بهترین مدرسه اجتماعی آموزشی فرهنگی ‏L ‏C ‏B ‏A ‏K ‏V ‏F ‏S محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد: وزن نسبی ( ( local priority وزن نهایی ( )overall priority روشهای محاسبه وزن نسبی .1 .2 .3 .4 روش حداقل مربعات روش حداقل مربعات لگاریتمی روش بردار ویژه روشهای تقریبی ( least squares method ) روش حداقل مربعات Wi  a ijW j ها W aij  i Wi  aijW j W aij  i ازاء کلیه ) (حداقل برای یک n n Wj ) یاi وj در حالت سازگاری ( به Wj یاi وj در حالت ناسازگاری MINZ   a ij W j - Wi  i 1 j 1 St: n  W 1 i i 1 2  معادله الگرانژی آن به صورت، برای حل مساله فوق زیر در نظرگرفته می شود.  n  L   a ij Wj - Wi   2   Wi  1  i 1 j 1  i 1  مشتق بگیریم خواهیم داشت: wl اگر از n n معادله فوق نسبت به   ail Wl  Wi ail   alj W j  Wl    0 l 1,2,..., n n n 2 i 1 j 1 داریم، باشد:n=2 اگر 2 2 a11  2a11  a21  2 .W1  a12  a21 .W2   0      a21  a12 .W1  a12  2a12  a22  2 .W2   0 W1  W2 1 2 2 مثال ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر :بگیرید ‏ 1 1 / 3 1 / 2 ‏3 1 ‏ 3 ‏A=  ‏ ‏ 2 1 / 3 1  نشان می دهیم ماتریس مقایسه ،ناسازگار )است 1 . وزن هر معیار را با روش حداقل مربعات )2 .به دست می آوریم برای یکی از i,j,kها برقرار نباشد اگر رابطهaik . a ‏ ‏a ‏kj ‏ij ماتریس ناسازگار خواهد بود. ‏a12 1 / 3 , a23 3  a13 a12 a23 1 / 3 3 1 15W1  10 / 3W2  5 / 2W3   0 ‏ 10 / 3W1  20 / 9W2  10 / 3W3   0 ‏ 5 / 2W1  10 / 3W2  45 / 4W3   0 ‏W1  W2  W3 1 از حل دستگاه فوق خواهیم :داشت ‏W1 0.1735 ‏W2 0.6059 ‏W3 0.2206 روش حداقل مربعات لگاریتمی )(logarithmic least squares method در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه jو ) iیا ‏1 در حالت ناسازگاری (حداقل jو iیا ‏1 میانگین هندسی این اختالفات برابر :است با ‏Wj ‏Wj ‏Wj ‏Wj ‏aij ‏aij ها ‏Wj ) ‏Wj 1 ‏W ‏aij  i ‏W ‏aij  i برای یک 1 ‏W j  n2 ‏ n n ‏  a ij ‏ Z n2 ‏ ‏ ‏W ‏i ‏ 1 ‏j ‏ 1 ‏i ‏ ‏ n n   Lna  LnW / W    0 ij i j در حالت سازگاری i 1 j 1 1 n n 1 Lnaij  LnWi / W j    2 LnZ 2  n i 1 j 1 n در حالت ناسازگاری )Eigenvector Method ( روش بردار ویژه a11 W1  a12 W2    a1n Wn  . W1 a21 W1  a22 W2    a2 n Wn  . W2  an1 W1  an 2 W2    ann Wn  . Wn  وزنi عنصر ام و یک عدد ثابت است. Wi ام است و aij jام برi ترجیح عنصر : iام طبق تعریف قبل برابر است با وزن عنصر ‏i 1,2,  , n 1 n ‏ aij W j ‏ i 1 ‏Wi  دستگاه معادالت فوق را به صورت زیر می توان نوشت: ‏A W  . W زوجی{[A  که Aهمان ماتریس مقایسه ] aij یعنی یک اسکالر است. بردار وزن و ‏W ‏ }و مثال بردار و مقدار ویژه را محاسبه،برای ماتریس زیر .می کنیم  2 4  3 3   :حل 2W1  4W2   .W1 0  2 4  W1   2W1  4W2   .W1   3 3  W   3W  3W   W   3W  3W   .W 0    2  1 2 2 2  2  1 برای حل این دستگاه می :توان نوشت (2   ) W1  4 W2 0  3 (2   ) W1  12 W2 0     (2   )  3 W1  (3   ) W2 0  3 (2   ) W1  (2   )(3   ) W2 0 3 که خواهیم داشت: 12 W2  (2   )(3   ) W2 0 2 ‏ 12 ‏ ( 2 ‏ ‏ () 3 ‏ ‏ ) ‏ 0 ‏ ‏ ‏ 5  6 0 ‏ ‏W2 0 ‏ ‏ 6 ,  1 ‏ در دستگاه فوق 1وبا W1 W2 با قرار دادن  استفاده از رابطه مقادیر ،بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود. ‏ 6   4W1  4W2 0  W1 W2 0.5 ‏  1  3W1  4W2 0  W1 4 , W2  3 رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است: ‏ 2 4  4  ‏ 4 ‏ 3 3   3 ( 1)   3 ‏ ‏   ‏  ‏ 2 4   0.5 ‏ 0 .5  ‏ 3 3  0.5 6  0.5 ‏ ‏   ‏  در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ،طبق مراحل زیر عمل می کنیم: .1 .2 .3 .4 ماتریس Aرا تشکیل می دهیم. ماتریس( A   . )I را مشخص کنید. ماتریس( A )  .I را محاسبه کرده و آن را دترمینان ‏ را محاسبه کنید. مساوی صفر قرار داده و مقادیر رابطه( A در  max I ) W ‏ را نامیده و 0آن بزرگترین maxرا استفاده Wi ( A   max قرارW  0 ازرابطه ) و Iبا داده ها را محاسبه نمایید. مقادیر مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد ویژه بردار1 وزن معیارها را با استفاده از روش 1  ‏ ‏1 3 2 بدست می آوریم . :حل 3 ‏ 1 ‏ ‏A  3 1 ‏ 1 ‏2 3 ‏ 1 1  1 3 2 5 3 ‏det( A  I )  3 1   3 (1   )  3(1   )  0 2 1 2 1  3 محاسبه می بعد از حل معادله قبل max ، 3.0536 ماتریسی گردد. ‏Wi معادله( A  ‏ max I )  ‏W 0 ها را را تشکیل داده و محاسبه می 1 کنیم1  . ‏  2.0536 ‏W ‏  1 3 2  ‏ 2.0536 3   W2  0 1 ‏ 2.0536  W3  3 ‏ 3 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏W1  W2  W3 1 را به دستگاه فوق اضافه معادله می شودW T  (0.1571. , 0.5936 حاصل, 0. می کنیم .نتیجه زیر )2493 قضیه: برای یک ماتریس مثبت و معکوس ،همچون ماتریس مقایسه زوجی ،بردار ویژه را می توان از رابطه زیر ‏Ak . e بدست آورد. ‏W  lim ‏eT . A k . e )eT (1,1,  ,1 که در آن می باشد. ‏k  k =1 بطور مثال برای.را محاسبه می کنیم  a11 a Ak . e  21     an1 a12 a22  an 2     a1n  1 1 a2 n          ann  1 :را محاسبه می نماییم  n  a   1j   jn1    a 2j   j 1     n  a   j 1 nj  A k .eابتدا :داریم e T . A k .e حال حاصل عبارت   n   a1 j   jn1  n n  a  T k T k  2 j    aij e . A .e e .( A .e) 1 1  1  j 1   i 1 j 1   n  a   j 1 nj  مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد: 1 1  ‏1 1 9 3 4 ‏ 3 2 ‏9 1 ‏A  3 1 1 1  3 2 ‏ ‏4 1 2 1 2 ‏ ‏ محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است: :حل 1 A .e 1 W  T 1 e . A .e :در تکرار اول داریم  1.694   0.05837  15   0.51675 1    normalize      W  A حاصل از جمع سطری ماتریس بردار =  4.833  0.16651      7.50   0.25837 در تکرار دوم داریم: 2 ‏A .e 2 ‏W  T 2 ‏e . A .e 1 .5 0.8889  ‏ 4 0.4583 ‏ 35 ‏ 4 13 7 . 75 ‏ ‏A 2  ‏ 11 1.25 4 2.4167  ‏ ‏ 4  ‏18.5 2.1111 6.8333 بنابر این خواهیم داشت: ‏W 2 0.05867 0.51196 0.15994 0.26943 مقدار نهایی Wدر تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است: ‏W 3 0.05882 0.51259 0.15958 0.26943 ‏W 4 0.05882 0.51261 0.15971 0.26886  ‏W 5 0.05882 0.51261 0.15971 0.26886  روشهای تقریبی ()Approximation Method .1 .2 .3 .4 مجموع سطری مجموع ستونی میانگین حسابی میانگین هندسی مثال ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است .با چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می کنیم. ‏A1 A2 A3 A4 7 ‏ 6 4 ‏ 1 ‏A1  1 5 6 ‏A2  1 / 5 1 4 ‏ ‏A3 1 / 6 1 / 4 1 ‏ ‏A4 1 / 7 1 / 6 1 / 4 :مجموع سطری ‏ 0.51 ‏ 0.30 ‏ ‏ ‏ 0.15 ‏ ‏ ‏ 0.04 بردار نرمالیزه ‏ 19  ‏11 .20 ‏ ‏ ‏ 5.42  ‏ ‏ ‏ 1.56  5 6 7 ‏ 1 ‏1 / 5 1 مجموع عناصر هر  سطر 4 6 ‏ ‏ ‏ 1 / 6 1 / 4 1 4 ‏ ‏ ‏1 / 7 1 / 6 1 / 4 1  :مجموع ستونی 5 6 7 ‏ 1 ‏1 / 5 1 ‏ ستون مجموع عناصر هر 4 6 ‏ ‏ ‏1.51 6.43 11.25 18 ‏ 1 / 6 1 / 4 1 4 ‏ ‏ ‏1 / 7 1 / 6 1 / 4 1  ‏0.68 0.16 0.09 0.06 بردار نرمالیزه ‏0.66 0.16 0.09 0.06 بردار معکوس میانگین حسابی: ‏ 0.66 0.78 0.53 0.39 ‏ 0.13 0.16 0.36 0.33 ‏ ‏ ‏ 0.11 0.04 0.09 0.22 ‏ ‏ ‏ 0.09 0.03 0.02 0.06 نرمالیزه ی ستونها ‏ 0.590  ‏ 0.245  ‏ ‏ ‏ 0.115  ‏ ‏ ‏ 0.050  7 ‏ 6 4 ‏ 1 5 6 ‏ 1 ‏1 / 5 1 4 ‏ ‏1 / 6 1 / 4 1 ‏ ‏1 / 7 1 / 6 1 / 4 میانگین سطری میانگین هندسی: 5 6  1 1 / 5 1 4  1 / 6 1 / 4 1  1 / 7 1 / 6 1 / 4 7  6 4  1 نرمالیزه ی ستونها میانگین هندسی  0.61  0.24    0.10   0 . 04    4 1 5 6 7 3.807   4   1 / 5 1 4 6 1.480   4 1 / 6 1 / 4 1 4 0.639  4   1 / 7 1 / 6 1 / 4 1 0.278 محاسبه وزن نهایی وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید. مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخصی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. ( قابلیت رهبری)L تواناییهای (P تواناییهای (A معیارها ‏A 1 4 2 ‏ 1 ‏ ‏L P 1 ‏ ‏L 1 3 ‏ ‏P 3 1 ‏ 1 ‏A4 2 ‏ (اداری ‏X Y ‏X  1 2 ‏1 ‏ 1 ‏Y ‏ ‏2 (شخصی ‏X ‏Y ‏X 1 1 ‏ 3 ‏Y 3 1 ‏ ‏ ‏X Y ‏X  1 4 ‏1 ‏ 1 ‏Y ‏4 ‏ حل: ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم. هدف ‏A ‏L ‏P ‏Y ‏X محاسبه وزن  1 D1   3  4  1 3 1 1 2 1 1 8 4  normalize  3 2        8 1 4   8 6 1 33 13   0.128  6 8   rowmeans    W1   0.512 11 13   0.360 6 4 22 13  :یعنی داریم W A 0.360, WP 0.512 , WL 0.128 1 D2   1  4  4 4  5 4 1 normalize      W 2     WLX  , WLY  1 1 5 5     5  1 1   4 1 3 1 normalize   D3  3     W 3   3   WPX  , WPY  4 4 3 1      4 1 D4   1  2  2 2  3 2 1 normalize      W 4     W AX  , W AY  1 1 3 3     3 محاسبه وزن نهایی: 4 1 2 ‏W X ( 0.128)  ( 0.512)  ( 0.360) 0.4704 5 4 3 1 3 1 ‏WY ( 0.128)  ( 0.512)  ( 0.360) 0.5296 5 4 3 توجه داشته کهW X  W 1 باشیدY  شخص Yانتخاب می گردد. بنابر این گزینه یا :محاسبه نرخ ناسازگاری ► ماتریس سازگار و خصوصیات آن ► ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن ► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس ► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی ماتریس سازگار و خصوصیات آن شرح C1 , C 2 ,  , Cداشته باشیم و اگر nمعیار به ‏n ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : ‏  ‏i , j 1,2,  , n که در آن aترجیح عنصرc ‏ij ‏i چنانچه در این ماتریس داشته باشیم : ‏j ‏A  aij ‏cرا ‏i , j , k 1,2, , n بر نشان می دهد . ‏aik a kj aij آنگاه می گوییم ماتریس Aسازگار است . A A 1 p1  B 1 / 2 C  1 / 6 مثال B 2 C 6 1 3 1 / 3 1  A  6 C اهمیت نسبی عناصر B  3   نسبت به C  1   0 .6  W  0.3  0.1 A  2   1  B اهمیت نسبی عناصر B   نسبت به C 1 / 3  0 .6  W  0.3  0.1 طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس( )ازرابطه زیر :به دست می آید ‏P1  W  . W ‏P1  W که حاصلضرب برابر است با : 2 6  0.6  1.8  ‏ 1 ‏ 0.6 ‏P1  W 1 / 2 1 3   0.3   0.9 3  0.3 3W ‏1 / 6 1 / 3 1  0.1  0.3 ‏ 0.1 بنابراین خواهیم داشت: 3. W ‏P1  W  هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر :است .1 .2 .3 مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد. ‏AW nW ). مقدار ویژه برابر طول ماتریس است ( مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است . ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن قضیه یک – اگر1 ,  2 , ,  n مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی Aباشد مجموع مقادیر آنها برابر n ‏n است : ‏  n ‏i ‏i 1 ‏ max ویژه قضیه دو – بزرگترین مقدار مساوی n است (در این صورت برخی از همواره بزرگتر یا خواهند بود ). منفی ‏ max  ها n قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ،مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت . ‏A W  . W Wو به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه که در آن ماتریس Aمی باشد .یک مقدار ویژه برابر nبوده (بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر نوشت : هستند .بنابراین در این حالت می توان ‏AW nW در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی Aناسازگار باشد ‏max طبق قضیه ، 3 کمی از nفاصله می گیرد که می توان نو شت : ‏A W  max . W شاخص ناسازگاری ‏ max  n ‏ max  n ‏n 1 ‏I .I  الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس .1ماتریس مقایسه زوجی Aرا تشکیل دهید. .2بردار وزن Wرا مشخص نمایید . مشخص است ؟ اگر .3آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس ( Aیعنیmax پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید .در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید : ازبه دست -1-3با ضرب بردار Wدر ماتریس Aتخمین مناسبی ‏max . W آورید بر Wمربوطه برای max -2-3با تقسیم مقادیر به دست آمده . W را محاسبه نمایید . تخمین هایی از ‏ max -3-3متوسط به دست آمده را پیدا کنید . ‏max کنیمmax : . 4مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می n .5نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : ‏n 1 ‏I .I  ‏I .I . ‏I .R.  ‏I .I .R مثال برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید . 1 2 8 ‏ 6 1  1 1/ 6 ‏ ‏A  1 / 2 ‏ 1 / 8 حل قدم 1و :2با استفاده از روش میانگین حسابی داریم : ‏ 0.593 ‏W   0.341 ‏ 0.066 قدم :3از آنجا که  max مشخص نمی باشد ،باید آن را مقدار طبق قدم های زیر تخمین بزنیم . تخمینmax . ‏W قدم -1-3 محاسبه قدم -2-3 ‏max 2 8  0.593 ‏ 1 ‏ 1.803  ‏A . W  1 / 2 1 6  0.341   1.034  ‏ 1 / 8 1 / 6 1  0.066 ‏ 0.197 ها ‏3.040 0.593 ‏max 1 1.0803 ‏max 2 1.034 0.341 3.032 ‏max 3 0.197 0.066 2.985 ‏ max میانگین قدم -3-3محاسبه ها ‏max 1  max 2  max 3 ‏max  ‏3.019 3 قدم :4محاسبه شاخص ناسازگاری ‏max  n 3.019  3 ‏I .I  ‏ ‏0.010 ‏n 1 3 1 قدم :5محاسبه نرخ ناسازگاری ‏I .I . ‏I .R.  ‏0.017 ‏I .I .R 33 نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017است که کمتر از 0.1بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد . الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص I .I . را در وزن عنصر ناسازگاری هر ماتریس ‏I .Iدست مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را .به می آوریم .این حاصل جمع .R. را I .Iمی نامیم .همچنین وزن عناصر را در I .I .Rماتریس های مربوطه ضرب نامگذاری می کنیم . کرده IوI .مجموعشان را ‏I .I .R حاصل تقسیم نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد . مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخصی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. ( قابلیت رهبری)L تواناییهای (P تواناییهای (A معیارها ‏A 1 4 2 ‏ 1 ‏ ‏L P 1 ‏ ‏L 1 3 ‏ ‏P 3 1 ‏ 1 ‏A4 2 ‏ (اداری ‏X Y ‏X  1 2 ‏1 ‏ 1 ‏Y ‏ ‏2 (شخصی ‏X ‏Y ‏X 1 1 ‏ 3 ‏Y 3 1 ‏ ‏ ‏X Y ‏X  1 4 ‏1 ‏ 1 ‏Y ‏4 ‏ در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم : هدف ‏A ‏Y ‏L ‏P ‏X ‏Y ‏X ‏Y ‏X با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های :محلی عبارتنداز  1 1 / 3 1 / 4  1 / 8 6 / 33 1 / 13   0.128 D1   3 1  4 1 / 2 2   normalize     3 / 8 6 / 11 8 / 13  normalize    W1  0.512  4 / 8 6 / 22 4 / 13  0.360 1  WA 0.360 , W p 0.512 , WL 0.128 : یعنی داریم  1 4 normalize  4 / 5 D2       W2    WLX 4 / 5 , WLY 1 / 5   1 / 4 1   1/ 5   1 3 normalize 1/ 4 D3       W3    WPX 1 / 4 , WPY 3 / 4    1 / 3 1  3 / 4  1 2 normalize  2 / 3 D2       W2    W AX 2 / 3 , W AY 1 / 3   1 / 2 1   1/ 3 : وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با W X 4 / 5 0.128  1 / 4 0.512  2 / 3 0.360  0.4704 WY 1 / 5 0.128  3 / 4 0.512  1 / 3 0.360  0.5296 : داریم D1 W1  max . W1  1 1 / 3 1 / 4  0.128 D1 W1   3 1 2    0.512  4 1 / 2 1   0.360  0.389   1.616   1.128  ماتریس برای D1  0.389  max . W1   1.616    1.128   3.039  max   3.156  3.133 max 1  max 2  max 3 max  3.019 3 I .I  می  max  n 3.019  3  0.054 n 1 3 1 I .I .R.33 0.58 D2 , Dهای به همین ترتیب برای 3 , Dماتریس 4 I .I .2  I .I .3  I .I .4 0 I .I .R.2  I .I .R.3  I .I .R.4 0 توان نوشت:  0 0.360  0 0.054 ‏ 0 ‏ 0 0.360  0 0.580 ‏ 0 0.512 0.512 ‏I .I . 10.054   0.128 ‏I .I .R. 10.580   0.128 ‏I .I . 0.054 ‏I .R.  ‏ ‏0.093 ‏I .I .R. 0.580 ‏ در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از 0.1بوده و قابل قبول است و نیازی به تجدید نظر در قضاوت ها .نیست THE END