تئوری پایداری سازه ها

تئوری پایداری سازه ها

اسلاید 1: كريم عابديStability Theory of Structuresتئوری پایداری سازه ها

اسلاید 2: فصل سومپایداری ستون ها (و تیرستون ها)

اسلاید 3: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تيرستون ها ) 1- مقدمه در اين فصل پايداري اعضاي سازه اي structural members)) يك بعدي one dimensional)) كه تحت اثر نيروهاي تعميم يافته از جمله نيروهاي فشاري محوري قرار دارند، مورد بررسي قرار مي گيرند. اين اعضاي سازه اي عبارتند از : ستون ها Columns)) ميله هاي فشاري Comperssive struts)) تيرستون ها ( Beam-Columns) ستون ها، اعضاي سازه اي يك بعدي هستند كه عمدتا تحت اثر نيروهاي فشاري محوري بوده و غالبا تحت اثر توام نيروي فشاري و لنگر خمشي مي باشند. ميله هاي فشاري، اعضاي سازه اي يك بعدي مي باشند كه عمدتا تحت اثر نيروهاي محوري بوده و جزء اعضاي سازه اي خرپاها يا ميل مهار فشاري مي باشند.

اسلاید 4: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) تير ستون ها، اعضاي سازه اي يك بعدي هستند كه علاوه بر نيروهاي فشاري محوري، تحت اثر نيروهاي جانبي و لنگر خمشي انتهايي نيز مي باشند.2- بررسي پايداري ستون اولر فرض مي كنيم كه عضو تحت اثر بار محوري نشان داده شده در شكل زير، داراي يك سطح مقطع ثابت بوده و از مصالح همگن ساخته شده باشد: بررسی پایداری ستون ها و (تیرستون ها)، مقدمه ای بر بررسی پایداری قاب ها(Frames) بوده و مبانی پایه ای بررسی مذکور را فراهم می کند.ضمنا فرضيات زير در نظر گرفته مي شود :الف) عضو در دو انتها داراي تكيه گاه هاي ساده است. تكيه گاه پايين ثابت است و انتهاي بالايي طوري نگه داشته مي شود كه حركت دوراني و حركت در امتداد قائم به طور آزاد ممكن باشد و حركت در امتداد افقي غير ممكن.ب) عضو كاملا قائم است و بار در امتداد مركزي سطح وارد مي شود.پ) ماده ساختماني از قانون هوك پيروي مي كند (مصالح ارتجاعی).ت) تغيير شكل هاي عضو به اندازه كافي كوچك هستند. به طوری که جملۀ در مقایسه با واحد در رابطۀ انحناء قابل صرف نظر است. لذا انحنا با y// تقریب می شود.

اسلاید 5: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )الف) كاربرد تعادل خنثي براي بررسي پايداري ستوندر يك سازه ضمن انتقال از حالت تعادل پايدار به حالت تعادل ناپايدار، يك حالت تعادل خنثي وجود دارد. باري كه تحت اثر آن حالت تعادل خنثي پديد مي آيد، بار بحراني ناميده مي شود. بنابراين بار بحراني باري است كه تحت اثر آن تعادل ستون در حالت خمش به گونه اي كه در شكل زیر نشان داده شده است، امکان پذیر است: yPPPP-EIyxyx

اسلاید 6: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )لنگر مقاوم داخلي در هر مقطع، در فاصله x از مركز برابر است با: با در نظر گرفتن تعادل اين لنگر با لنگر خمشي خارجي وارده Py ، معادله ديفرانسيل زير بدست مي آيد: كه يك معادله ديفرانسيل خطي همگن با ضرايب ثابت مي باشد. طبیعی است که اگر فرضیات رفتار ارتجاعی و تغییر شکل های کوچک درست نباشند، مدول Eمتغیر خواهد بود و انحناء جایگزین می شود و لذا یک معادله دیفرانسیل به دست می اید که نه ضرایب ثابت دارد و نه با یک رابطه خطی سر و کار داریم.

اسلاید 7: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اگر فرض كنيم:بدين ترتيب معادله ديفرانسيل به صورت معادله زير در مي آيد:حل عمومي اين معادله ديفرانسيل به صورت زير مي باشد:براي ارزيابي ضرايب ثابت A و B از شرايط مرزي زير استفاده مي كنيم: x=0y=0x=ly=0و

اسلاید 8: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )از جايگذاري شرط اول خواهيم داشت:از جايگذاري شرط دوم خواهيم داشت:اين رابطه مي تواند در يكي از دو حالت زير ارضا شود:A=0 sin kl =0 اگر A=0 باشد k و در نتيجه P مي تواند هر مقداري را دارا باشد. اين نتيجه به عنوان جواب بديهي شناخته مي شود، زيرا آنچه را كه قبلا ً معلوم بوده است تائيد مي كند. یعنی تا وقتی که ستون تحت هر بار P ، کاملا قائم باقی بماند، در حال تعادل است.اگر sin kl =0 باشد در اين صورت خواهيم داشت:

اسلاید 9: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )kl=nл و n =1,2,…… با داشتن نتايج زير حاصل مي شوند ( بار های بحرانی و منحنی تغییر شکل):رفتار ستون اولر در شكل صفحه بعد ديده مي شود:در بارهای ، ستون می تواند در حال تعادل باشد. منحنی تغییرشکل مذکور با مشخص می شود. ولی دامنۀ آن نامعین است، چون وقتی باشد، A می تواند هر مقداری را دارا باشد. مقدار P كه با قرار دادن n =1 به دست مي آيد ، به بار اولر معروف است ( ) و كمترين مقداري است كه در آن يك حالت تعادل خنثي ممكن است وجود داشته باشد. بنابراين كوچك ترين باري است كه تحت اثر آن، ستون از حالت تعادل پايدار خارج مي شود.

اسلاید 10: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )شكل مذكور نشان مي دهد كه قبل از رسيدن به بار اولر، ستون بايد قائم بماند. تحت اثر بار اولر، يك دوشاخگي (Bifurcation) در تعادل وجود دارد، يعني ستون مي تواند قائم بماند و يا تغيير شكل يافته و دامنه نامعين به خود بگيرد. اين رفتار معلوم مي كند كه يك حالت تعادل خنثي تحت اثر بار اولر وجود دارد. بنابراين بار اولر، انتقال از حالت تعادل پايدار به حالت تعادل ناپايدار را تعيين مي كند.PAPcr

اسلاید 11: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بار اولر حاصل از تحليل مذكور، گاهي به عنوان بار بحراني و گاهي به عنوان بار كمانش نامبرده مي شود. ولي در واقعيت اين دو بار با همديگر فرق دارند. باري كه تحت اثر آن يك ستون ناكامل Imperfect به طور ناگهاني و ديناميكي در جهت جانبي كمانه مي كند، بار كمانش ناميده مي شود و به بيان ديگر كمانش پديده اي است كه وقتي روي ستون واقعي طي يك آزمايش بارگذاري مي شود ظاهر مي گردد. كلمه بار بحراني، براي باري كه تحت اثر آن تعادل خنثي براي يك ستون كامل Perfect مطابق با تحليل مذكور ممكن است، به كار گرفته مي شود. به بيان ديگر كلمه بار بحراني مربوط به يك تحليل تئوريك ستون كامل است.ب) بارهاي بحراني و مدهاي بحراني ستونمعادله زیر نشان مي دهد كه براي مقاديرn بزرگ تر از 1، بارهاي ديگري بزرگ تر از بار اولر وجود دارند كه تحت اثر آنها تعادل خنثي امكان پذير است به عنوان مثال:

اسلاید 12: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )لازم به ذكر است كه بارهاي بزرگ تر از بار اولر از لحاظ رياضي معتبر مي باشند. در موقعيت هاي واقعي، وجود ناكاملي هاي هندسي در تمايل سيستم به سمت مد خاص كمانش مؤثر خواهد بود. PPL/2L/3PP

اسلاید 13: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )پ) ويژگي هاي تحليل پايداري ستون اولر:در اينجا لازم است كه به برخي ويژگي هاي تحليل انجام شده براي به دست آوردن بار اولر اشاره شود:الف) تئوري تغيير شكل مورد استفاده، تئوري تغيير شكل هاي كوچك است.ب) تئوري مورد استفاده، تئوري ارتجاعي است، به عبارت ديگر پايداري ارتجاعي ستون مورد تحليل قرار گرفته است.پ) معادله ديفرانسيل حاكم ، يك معادله ديفرانسيل خطي از مرتبه دوم است، لذا اصطلاحا تحليل مذكور، يك تحليل خطي پايداري Linear Stability Analysis ناميده مي شود.ت) در تحليل مذكور با يك سيستم پيوسته سر و كار داريم نه يك سيستم گسسته.

اسلاید 14: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ث) تئوري خطي مذكور يك مساله ويژه مقدار Eigenvalue Problem است.كوچك ترين ويژه مقدار، تعيين كننده بار بحراني اولر است و ويژه بردار وابسته به آن نشانگر شكل كمانش مي باشد.ج) تئوري خطي مذكور تنها مقادير بارهاي بحراني و مدهاي كمانش را مشخص مي كند و قادر نيست كه رفتار پس بحراني (Post-Critical Behaviour) را به نمايش گذارد.شكل صفحه بعد نقاط دوشاخگي را به عنوان آستانه هاي (Thresholds) ناپايداري ارتجاعي يك ستون تحت اثر بار محوري نشان مي دهد. در اين شكل مسيرهاي پس كمانشي به طور شماتيك به وسيله منحني هايي با خط چين نشان داده شده اند، در ضمن محدوده اعتبار تئوري خطي مذكور در شكل نشان داده شده است.

اسلاید 15: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )Range of validity of small displacement analysisAmplitude

اسلاید 16: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ت) بررسي تطبيقي رفتار ناپايداري ستون اولر در اینجا لازم است که به بررسی تطبیقی رفتار ناپایداری ستون اولر با توجه به مباحث ارائه شده در فصل دوم اشاره ای شود. اساسا رفتار ناپايداري ستون اولر از نوع ناپايداري نقطه دوشاخگي متقارن پايدار است. مساله يك ميله مستقيم الاستيك لاغر را كه تحت اثر نيروي فشاري محوري قرار دارد در نظر مي گيريم:

اسلاید 17: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) تحت اثر نيروي فشاري وارده، اين ميله در ابتدا تحت كوتاه شدگي محوري قرار خواهد گرفت كه مقدار اين كوتاه شدگي به طور خطي متناسب با نيروي وارده است. اين نوع رفتار و مسير تعادل مربوط به آن، مسير تعادل اوليه خواهد بود. با افزايش بار وارده، ميله بيشتر و بيشتر فشرده مي شود، ولي همچنان بافتار مستقيم خود را حفظ مي كند تا اين كه به نقطه دوشاخگي ميرسد. مقدار مشخص نيروي وارده محوري بيانگر نقطه دوشاخگي مي باشد.

اسلاید 18: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) با افزايش بيشتر بار وارده بعد از نقطه دوشاخگي ميله يكي از دو مسير تعادل را طي خواهد كرد: الف) ميله مي تواند مستقيم بماند و تحت فشردگي بيشتر در امتداد مسير تعادل اوليه قرارگيرد.ب) يك فرم خميده را به خود بگيرد و علاوه بر تغيير شكل محوري تحت اثر تغيير شكل هاي جانبي نيز قرار گيرد كه بيانگر مسير ثانوي تعادل مي باشد. لازم به ذكر است كه مسير مستقيم تعادل بعد از نقطه دوشاخگي، ناپايدار مي باشد، به گونه اي كه يك اختلال كوچك موجب خواهد شد كه ستون، مسير تعادل خميده را انتخاب نمايد كه مسير پايداري مي باشد. بعد از نقطه دوشاخگي، سختي ستون كاهش مي يابد ولي همچنان سختي مذكور مثبت مي باشد و ظرفيت باربري ستون همچنان قابل افزايش است.

اسلاید 19: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ث) اثر شرايط مرزي در بار بحراني ستوناگر تكيه گاه هاي ستون، به غير از تكيه گاه هاي مفصلي باشند، تاثير اساسي در بار بحراني ستون مي گذارند. در اين بخش به اثر چهار نوع سيستم تكيه گاهي ستون، در بار بحراني اشاره مي كنيم: ستون دو سر گيردار، ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش آزاد است، ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش مفصلي است، ستون يك سر مفصلي و يك سر گيردار ارتجاعي.

اسلاید 20: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ث-1) ستون دو سر گيردار:اگر ستوني دو سرش گيردار باشد، در اين نقاط نمي تواند به طور جانبي حركت و يا دوران كند. در نتيجه وقتي ستون كمي خم شود، لنگرهاي خمشي M0 طبق شكل زير به دو سر عضو وارد مي شوند:PPM0LyxM0PxyP-EIy

اسلاید 21: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با نوشتن معادله تعادل لنگرها خواهيم داشت:جواب خصوصي و عمومي معادله ديفرانسيل به صورت زير حاصل مي شود:اكنون براي بدست آوردن ضرايب ثابت A و B شرايط مرزي را در x =0 اعمال مي كنيم:

اسلاید 22: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اگر شرط مرزي در x=l را اعمال كنيم خواهيم داشت:coskl=1 بیانگر مسیر دوم تعادل است. كوچك ترين ريشه غير صفر معادله مذكور kl=2л است:M0 /P=0 بیانگر مسیر اول تعادل است (بافتار مستقیم).

اسلاید 23: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين بار بحراني ستوني كه دو سرش گيردار است، چهار برابر بار بحراني ستوني است كه تكيه گاه هاي آن مفصلي است.در ضمن معادله منحني تغيير شكل ستون عبارت است از: معادله مذكور نشان مي دهد كه نقاط عطف – نقاط با لنگر صفر – در x=l /4 وx=3l /4 قرار دارند. قسمت مركزي ستون، بين نقاط يك چهارم، معادل ستوني است كه دو سر آن مفصلي و به طول l /2 است. بنابراين بار بحراني ستون فرضي دو سر مفصلي كه بين نقاط عطف ستون دو سر گيردار وجود دارد، با بار بحراني ستون دو سر گيردار برابر است.بنابراين مي توان گفت طول مؤثر ستون اولر معادل ستون دو سر گيردار، برابر با l /2 است.

اسلاید 24: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ث-2) ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش آزاد است:به همان طريق ارائه شده براي ستون دو سر گيردار مي توان نشان داد كه بار بحراني و معادله تغيير شكل ستون به صورت زير به دست مي آيند:كه در آن δ تغيير مكان در سر آزاد ستون است كه يك تغيير شكل كوچك جانبي موجب آن مي شود.مشخص است كه طول مؤثر ستون اولر معادل ستون يك سر گيردار و يك سر آزاد، برابر با 2l است.

اسلاید 25: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ث-3) ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش مفصلي است:به همان طريق ارائه شده براي ستون دو سر گيردار مي توان نشان داد كه بار بحراني و معادله تغيير شكل ستون به صورت زير مي باشند:كه در آن لنگر M0 ، لنگري است كه در آن يك تغيير شكل جانبي كوچك موجب آن مي شود.مشخص است كه طول مؤثر ستون اولر معادل ستون يك سر گيردار و يك سر مفصل ، برابر با 0.7l است.

اسلاید 26: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ث-4) ستون يك سر مفصلي و يك سر گيردار ارتجاعي:در اغلب سازه هاي واقعي ، انتهاي ستون ها نه مفصلي و نه گيردار است. در عوض ستون ها معمولا به طور صلب به اعضاي ديگر وصل مي شوند، به نحوي كه دوران در انتهاي ستون ها محدود مي شود. اين نوع تكيه گاه ها، گيرداري هاي ارتجاعي ناميده مي شوند. اين نامگذاري به اين علت است كه گيرداري سر ستون به خواص ارتجاعي عنصري كه ستون به آن متصل است، بستگي دارد.ستون نشان داده شده در شكل زير، در انتهاي پایینی خود مفصلي و سر ديگرش به يك تير به صورت ارتجاعي متصل است. تير در انتهاي دور خود در يك تكيه گاه صلب ثابت شده است. ACBLLEIθEI

اسلاید 27: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )مي توان ثابت كرد كه بار بحراني ستون AB به صورت زير مي باشد:گفتيم كه اگر سر ستون (B) مفصلي باشد مقدار بار بحراني و اگر سر ستون (B) گيردار باشد مقدار بار بحراني مي باشد. مشاهده مي شود كه براي انتهاي مقيد ارتجاعي ، بار بحراني بين دو حالت حدي انتها هاي كاملا مفصلي و گيردار قرار مي گيرد.ستون یک سر مفصل- یک سر گیردارستون یک سر مفصل- یک سر مقید ارتجاعیستون دو سر مفصلی

اسلاید 28: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )

اسلاید 29: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )در جدول زير ، طول مؤثر kl براي اعضاي فشاري نشان داده شده است:

اسلاید 30: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )تکلیف سری اول کامپیوتری: 5 بار بحرانی و مد بحرانی اول ستون های زیر را با استفاده از تحلیل ویژه مقدار Linearized Buckling Analysis به دست آورده و بار های بحرانی اول آنها را با مقادیر حاصل از روابط تحلیلی مقایسه کنید: ستون دو سر مفصل، ستون دو سر گيردار، ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش آزاد است، ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش مفصلي است.  سطح مقطع مربعی به ضلع 10 سانتیمتر طول 5 متر مدول ارتجاعی 9^10*200

اسلاید 31: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) ستون دو سر مفصل:Pcr=65.7040.101=درصد خطا

اسلاید 32: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) ستون دو سر گيردار: Pcr=262.81 0.387=درصد خطا

اسلاید 33: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش مفصلي است: Pcr=134.09 0.342=درصد خطا

اسلاید 34: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش آزاد است:Pcr=16.4260.102=درصد خطا

اسلاید 35: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )تکلیف سری دوم کامپیوتری:رفتار بار – تغییرمکان محوری یک ستون دو سرمفصل و نیز یک ستون دو سرگیردار تحت اثر یک نیروی محوری فشاری را با استفاده از یک تحلیل غیرخطی هندسی به دست آورده و با ارزیابی ماتریس سختی و مقادیر ویژه آن، بار های بحرانی متناظر را در روی این نمودارها نشان دهید.

اسلاید 36: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )3- بررسي پايداري ستون هاي ناكامل(Imperfect Columns)در اين بخش رفتار ستون هاي ناكامل مورد بررسي قرار مي گيرد و براي اين منظور دو نوع ستون ناكامل در نظر گرفته مي شوند: ستون هاي با انحنا اوليه، ستون هاي تحت بارهاي با خروج از مركز.الف) ستون با انحنا اوليه ستون اولر مفصلي شكل زير را كه محور مركزي سطح آن داراي انحنا اوليه است، در نظر مي گيريم. فرض بر اين است كه مصالح ساختماني از قانون هوك پيروي مي كنند و تغيير شكل ها كوچك هستند. تغيير شكل اوليه عضو را با y0 و تغيير شكل اضافي ناشي از خمش را با y نشان مي دهيم.

اسلاید 37: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )فرض بر اين است كه انحنا اوليه از معادله تبعيت مي كند.معادله تعادل لنگرها عبارتند از: با فرض k2= P/EI معادله ديفرانسيل زير را خواهيم داشت:معادله ديفرانسيل مذكور داراي يك جواب عمومي و يك جواب خصوصي است:yxLPPy0yPxy+y0P-EIy

اسلاید 38: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )از جايگزيني yp در معادله ديفرانسيل مذكور نتيجه زير حاصل مي شود:برای این که معادله فوق به ازای تمامی مقادیر x ارضا شود، هر دو ضریب مربوط به جملات سینوسی و کوسینوسی برابر صفر قرار داده می شوند و لذا نتایج زیر حاصل می شود:

اسلاید 39: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )لذا جواب y به صورت زير در مي آيد:براي يافتن A و B، شرايط مرزي را اعمال مي كنيم:اگر انتخاب شود، حل براي y به محدود مي شود كه مورد نظر نيست. بنابراين بايد D=0 در نظر گرفته شود.با فرض α=P/PE و رابطه مربوط به C مي تواند به شكل زير نوشته شود:

اسلاید 40: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين A و يا sinkl بايد صفر باشد. اگر sinkl = 0 باشد، در این صورت حل براي y به P=PE محدود مي شود كه مورد نظر نيست و در نتيجه بايد A=0 در نظر گرفته شود.كل تغيير شكل از جمع رابطه فوق و رابطه مربوط به انحنا اوليه بدست مي آيد:بنابراين جواب نهايي به صورت زير به دست مي آيد:

اسلاید 41: فصل سوم : پايداري ستونها ( و تير ستونها )كل تغيير شكل در وسط عضو برابر است با:نسبت تغييرات بار P/PE برحسب تغيير شكل وسط عضو به ازاء مقادير مختلف انحنا اوليه در شكل زير نمايش داده شده است:

اسلاید 42: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )از منحني مذكور به نكات مهم زیر در مورد رفتار ستون ناكامل پي مي بريم:الف) بر خلاف ستون كامل كه تا بار اولر مستقيم باقي مي ماند، عضو داراي انحنا اوليه به محض وارد شدن بار، شروع به خم شدن مي كند.ب) در ستون ناکامل تغییرشکل ابتدا به کندی و سپس با افزایش نسبت بار به بار اولر، با سرعت بیشتری افزایش می یابد.پ) هر چه انحنا اولیه بزرگتر باشد، کل تغییرشکل در هر تراز بار بیشتر خواهد بود.ت) وقتی بار وارده به بار اولر خیلی نزدیک شود، تغییرشکل، صرف نظر از مقدار اولیه انحنا، به طور نامحدود افزایش می یابد.ث) صرف نظر از اینکه انحنا اولیه چقدر کوچک است، ظرفیت باربری یک ستون ناکامل همواره کوچکتر از بار اولر است.ج) اگر تغییر شکل اولیه بزرگ باشد، ستون زیر بارهای پایین تر از بار اولر، تغییرشکل های نسبتا بزرگی را نشان می دهد.

اسلاید 43: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ب) ستون تحت بارهای با خروج از مرکزرفتار یک ستون ناکامل می تواند با در نظر گرفتن عضو مستقیم، ولی تحت اثر بار خارج از مرکز نشان داده شده در زیر مورد بررسی قرار گیرد. فرض بر این است که عضو در ابتدا مستقیم است و مصالح ساختمانی آن از قانون هوک تبعیت می کند(تئوری ارتجاعی) و از طرف دیگر تغییر شکل ها کوچک باقی می مانند.معادله تعادل لنگرها عبارتند از :با فرض k2=P/EI معادله دیفرانسیل روبرو را خواهیم داشت:PPLyxePPx-EIye+y

اسلاید 44: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )جواب معادله دیفرانسیل را می توان به صورت زیر نوشت:از جایگذاری A و B خواهیم داشت:ضرایب ثابت از شرایط مرزی محاسبه می شوند:با قرار دادن x=l/2 تغییر شکل وسط ستون را به صورت زیر به دست می آوریم:

اسلاید 45: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با استفاده از روابط: معادله مربوط به δ به صورت زیر بدست می آید:

اسلاید 46: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )نسبت تغییرات بار P/PE بر حسب تغییر شکل وسط ستون δ به ازاء مقادیر مختلف خروج از مرکز e در شکل زیر نمایش داده شده است:از منحنی مذکور به نکات مهمی به شرح زیر در مورد رفتار ستون ناکامل پی می بریم:الف) در این ستون ناکامل نیز ستون به محض وارد شدن بار شروع به خمش می کند.

اسلاید 47: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ب) تغییر شکل در ابتدا به کندی و سپس هر چقدر P به PE نزدیکتر می شود، با سرعت بیشتری افزایش می یابد.پ) در P=PE تغییر شکل به طور نامحدود افزایش می یابد.ت) ستون های با خارج از مرکزیت های بزرگ، زیر بارهایی که کاملا کوچک تر از بار اولر هستند، تغییرشکل های قابل توجهی را نشان می دهند.ث) ستون های با خارج از مرکزیت های کوچک تا وقتی که بار به بار اولر نزدیک نشود، خمش محسوسی پیدا نمی کنند.توجه شود که با توجه به فرضیات تحلیل- رفتار ارتجاعی و تئوری تغییرشکل های کوچک - منحنی های مذکور تا یک محدوده ای اعتبار دارند. بعد از آن محدوده، به علت تغییر شکل های بزرگ، رفتار ستون به صورت دیگری در خواهد آمد که بعد مورد بحث قرار خواهد گرفت.

اسلاید 48: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )پ) نکات مهم در رفتار پایداری ستون های ناکاملالف) تئوری اولر که بر اساس مفهوم ساخت ستون بدون ناکاملی قرار دارد، به شرط اینکه ناکاملی ها نسبتا کوچک باشند یک معیار رضایت بخش برای طرح ستون های واقعی بدست می دهد.ب) بار بحرانی باری است که در آن تغییر شکل یک سیستم ناکامل به طور نامحدود افزایش می یابد. برای به کار بردن این تعریف به عضو ساختمانی یا سیستم مورد بررسی یک تغییر شکل کوچک اولیه داده می شود و سپس باری که تغییر شکل نامحدود را به وجود آورده تعیین می شود.ج) رفتار یک سیستم ناکامل می تواند یا با ایجاد یک تغییر شکل اولیه یا با وارد کردن بار با خروج از مرکز معادل سازی شود.

اسلاید 49: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )تکلیف سری سوم کامپیوتری: منحنی بار محوری – خیز وسط ستون دو سر مفصل ناکامل را با استفاده از تحلیل غیرخطی هندسی عناصر محدود به ازای مقادیر زیر به دست آورید:الف) سه مقدار مختلف e خروج از مرکز بار،ب) سه مقدار مختلف a ناکاملی در وسط ستون،و سپس آنها را با منحنی های حاصل از روابط تحلیلی، به تناسب در یک نمودار مقایسه کنید.

اسلاید 50: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )4- تعیین بار بحرانی ستون ها با استفاده از روش های تقریبیدر روش های تقریبی به طریقه ای، سیستم حقیقی پیوسته توسط یک سیستم با درجات آزادی محدود جایگزین می شود. رفتار سیستم پیوسته با درجات آزادی بینهایت، به وسیله یک یا چند معادله دیفرانسیل قابل بیان است. از طرف دیگر، رفتار یک سیستم با درجات آزادی محدود، با یک یا چند معادله جبری قابل بیان است. بنابراین، در روش تقریبی معادلات جبری جایگزین معادلات دیفرانسیل می گردد. روش های تقریبی مورد استفاده برای تعیین بار بحرانی ستون ها:الف)اصل بقای انرﮊی ب) روش Ritzپ) روش تفاضلات محدود

اسلاید 51: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اصل بقای انرﮊیبا استفاده از مفهوم تعادل خنثی، مساله تعیین بار بحرانی به برقراری تعادل در حالت مختصر خم شده تبدیل می شود. تعادل یک ستون، با در نظر گرفتن لزوم صفر بودن مجموع لنگرهای موثر بر ستون برقرار شد. ولی اکنون، تعادل با توجه به ارضای اصل بقای انرژی برقرار می گردد. اصل بقای انرﮊی به صورت زیر قابل بیان است:یک سیستم پایستار (Conservative)، زمانی در حال تعادل است که انرﮊی کرنشی ذخیره شده در آن برابر کار انجام یافته به وسیله نیروهای خارجی باشد.

اسلاید 52: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )برای یک میله بارگذاری شده به صورت محوری (با بافتار مستقیم) تا زمانی که میله کاملا مستقیم بماند کار خارجی با فرمول زیر قابل بیان است:انرﮊی کرنشی ذخیره شده در عضو برابراست با:از مساوی قرار دادن کار خارجی W با انرﮊی کرنشی U داریم:

اسلاید 53: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )به این ترتیب می توان نتیجه گرفت که به ازاء تمام مقادیر P حالت تغییر شکل نیافته ستون یک حالت تعادل را مشخص می کند. این رابطه برای حالت مختصر تغییر یافته نیز صادق است.کاهش طول ناشی از خمش با رابطه زیر محاسبه می شود:بنابراین ضابطه انرﮊی برای تعیین بار بحرانی به صورت زیر نوشته می شود:

اسلاید 54: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )تغییر مقدار کار خارجی را می توان از رابطه زیر محاسبه کرد:برای محاسبه انتگرال های بالا لازم است تابع مناسبی برای تغییر شکل y فرض شود. در واقع این فرض است که سیستم پیوسته را به سیستم گسسته تبدیل می کند.اگر فرم تغییرشکل یافته به صورت منحنی سینوسی فرض شود، در این صورت برای تعیین وضعیت منحنی تغییر شکل کل ستون، فقط یک مولفه نظیر دامنه در وسط کافی خواهد بود. افزایش انرﮊی کرنشی که وابسته به افزایش کار خارجی فوق می باشد برابر است با:

اسلاید 55: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )فرض می کنیم که:بر اساس اصل بقای انرﮊی داریم:مسیر دوم تعادل(بافتار خمیده)مسیر اول تعادل(بافتار مستقیم)در این صورت با جایگذاری y در انتگرال ها داریم:

اسلاید 56: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )در این حالت چون برای بیان انرﮊی، منحنی تغییرشکل کامل مورد استفاده قرار گرفت. به همین جهت مقدار کامل(Exact Value) بار بحرانی به دست آمد. در صورتی که یک منحنی تغییر شکل تقریبی مورد استفاده قرار می گرفت، بار بحرانی تقریبی بدست می آمد.برای یافتن نتایج مناسب باید به دو مشخصه منحنی تغییر شکل توجه خاصی کرد. باید منحنی مفروض تا حد امکان بیشترین تعداد شرایط مرزی را ارضا نماید.اگر امکان ارضای هر دو شرایط مرزی هندسی (تغییر شکل و شیب) و شرایط مرزی طبیعی (نیروی برشی و لنگر خمشی) وجود نداشته باشد، لااقل باید شرایط مرزی هندسی ارضا شود.

اسلاید 57: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )به عنوان یک منحنی تقریبی، منحنی تغییر شکل به صورت چند جمله ای زیر در نظر گرفته می شود:y=a+bx+cx2شرط مرزی y =0 در x =0 در صورتی ارضا می شود که داشته باشیم:a =0 با استفاده از شرط مرزی y =0 در x =l خواهیم داشت: b= -clبنابر این منحنی تغییرشکل به صورت زیر در می آید:y=c(x2-xl)معادله منحنی y = c(x2-xl) شرایط مربوط به شیب و تغییرمکان را در هر دو انتهای عضو ارضا می کند، ولی فرض بر این است که مقدار انحنا در طول عضو ثابت است=2c) (y//. بنابراین شرط داشتن لنگر صفر در هر یک از دو تکیه گاه عضو اقناع نمی شود.

اسلاید 58: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با جایگذاری y = c(x2-xl) در روابط مربوط به کار خارجی(ΔW) و انرژی کرنشی(ΔU) خواهیم داشت:با مساوی قرار دادن کار خارجی(ΔW) و انرژی کرنشی(ΔU) خواهیم داشت:جواب بدیهی: c =0 (بافتار مستقیم)جواب غیربدیهی: c ≠0 (بافتار خمیده)مقایسه جواب کامل Pcr= π2EI/l2 با جواب Pcr=12EI/l2 نشان می دهد که جواب مذکور تقریبا 21% خطا دارد. مقدار بحرانی عددی محاسبه شده بزرگ تر از مقدار کامل می باشد (خاصیت روش انرژی).

اسلاید 59: فصل سوم : پايداري ستونها ( و تير ستونها )ب)روش Ritz :مراحل روش تقریبی Ritz، تعیین تابعک انرﮊی پتانسیل کلی، فرض یک منحنی تغییر شکل مناسب برای سیستم، اعمال شرایط مرزی در منحنی فرضی، جایگذاری معادله منحنی تغییر شکل فرضی در تابعک، تعیین مشتقات اول تابعک انرﮊی پتانسیل کلی نسبت به ضرایب معادله منحنی فرضی و مساوی صفر قرار دادن آنها، ایجاد معادلات تعادل و یافتن بار بحرانی.

اسلاید 60: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اکنون از روش Ritz برای یافتن بار بحرانی ستون یک سر گیردار و یک سر آزاد استفاده می کنیم:(با فرض تغییر شکل های کوچک)LPyتابعک انرﮊی پتانسیل کلی برای ستون عبارت است از :

اسلاید 61: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )منحنی تغییر شکل را می توان به صورت چند جمله ای زیر در نظر گرفت:y = a+bx+cx2 با توجه به شرایط مرزی داریم:از جایگذاری معادله منحنی تغییر شکل در تابعک انرﮊی پتانسیل کلی خواهیم داشت:

اسلاید 62: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )برای یافتن معادله تعادل باید مشتق تابعک انرﮊی پتانسیل کلی نسبت به c را مساوی صفر قرار داد:بافتار مستقیمبافتار خمیده که همان مقدار بار بحرانی است.مقایسه این حل با بار کمانش کامل π2EI/ 4L2 نشان می دهد که جواب تقریبی تقریبا 6/21 درصد خطا دارد.

اسلاید 63: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بار بحرانی کامل زمانی به دست می آید که یک سری بی نهایت به عنوان منحنی تغییر شکل به کار رفته باشد. بنابراین چنانچه تعداد پارامترهای تابع تغییر مکان از یک به دو افزایش داده شود، جواب مطلوب تری به دست می آید.به عنوان مثال با فرض y = Cx2+Dx3 خواهیم داشت:تابعک انرژی کلی بعد از جایگذاری عبارات فوق عبارت خواهد بود از:برای به دست آوردن معادلات تعادل از روابط زیر استفاده می کنیم:

اسلاید 64: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )به عبارت دیگر خواهیم داشت:با در نظر گرفتن α=PL2/EI خواهیم داشت:شرط C =0 و D =0 منجر به y =0 یا همان بافتار مستقیم می شود. این حل بدیهی تعادل به ازای تمام بارها است، مشروط بر این که عضو مستقیم باقی بماند. زمانی برای C و D مقدار غیرصفر امکان پذیر است که دترمینان ضرایب معادلات مذکور صفر باشد که منجر به معادله مشخصه زیر می شود:

اسلاید 65: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ریشه های این معادله، همان ویژه مقادیر یعنی بارهای غیرصفر مربوط به تغییرشکل های ممکن را نشان می دهد. کوچک ترین ویژه مقدار، معرف بار بحرانی می باشد و ویژه بردار مربوط به آن، مد کمانش را مشخص می کند. کوچک ترین ریشه معادله α =2.49 است و در نتیجه خواهیم داشت:جواب مذکور با جواب کامل کمتر از 1% تفاوت دارد. بنابراین با افزایش پارامترهای تابع تغییر شکل، دقت قابل توجهی به دست می آید.

اسلاید 66: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ت) روش تفاضلات محدودروش تفاضلات محدود، یک روش عددی برای یافتن حل تقریبی معادلات دیفرانسیل است. در این روش، معادله دیفرانسیل همزمان با یک سری معادلات جبری خطی جایگزین می شود.تفاضلات محدود بر این اصل استوار است که مشتقات تابع در یک نقطه را می توان با عبارتی جبری جایگزین کرد که شامل مقدار تابع در آن نقطه و چندین نقطه همجوار است. به عنوان مثال:در حالت کلی اگر یک سیستم پیوسته با n نقطه جایگزین شود، تابع نامعلوم با n متغیر جبری جایگزین شده و معادله دیفرانسیل به n معادله جبری خطی بر حسب این متغیرها تبدیل می شود.

اسلاید 67: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )در این قسمت کاربرد روش تفاضلات محدود برای تعیین بار بحرانی یک ستون دو سر مفصلی توضیح داده می شود.معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی یک ستون دو سر مفصلی عبارت است از:برای یافتن رابطه تفاضلات محدود مربوطه دهانه عضو به n قطعه مساوی و به طول های h=L/n تقسیم می شود و تغییر مکان در انتهای قطعه i ام با yi نشان داده می شود:

اسلاید 68: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )مشتق اول و دوم در نقطه i ام را می توان با استفاده از روش تفاضلات مرکزی به صورت زیر تعریف نمود:از جایگذاری مشتق دوم در معادله دیفرانسیل حاکم در نقطه i به معادله زیر خواهیم رسید:معادله دیفرانسیل یک بیان دقیق از وضعیت تعادل است. با ارضاء آن، تعادل در تمام طول عضو برقرار می شود. در مقابل، معادله تفاضل محدود بیانگر شرایط تقریبی تعادل است و با ارضاء آن، تعادل فقط در x = i ارضاء می شود.

اسلاید 69: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ابتدا با تقریب اول (n =2) شروع می کنیم:در این صورت لازم است که معادله تفاضلات محدود فقط در نقطه i=1 نوشته شود. در دو نقطه مرزی تغییر مکان و انحنا برابر صفر بوده و معادله به طور مشابه ارضاء می شود. با نوشتن معادله تفاضل محدود در i=1 خواهیم داشت:

اسلاید 70: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با توجه به شرایط مرزی y0=y2=0 خواهیم داشت:جواب بدیهی (بافتار مستقیم)بار بحرانی نیز با خطایی در حدود 19 درصد به صورت زیر بدست می آید:

اسلاید 71: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اکنون با تقریب اول (n=3) شروع می کنیم:در این صورت لازم است که معادله تفاضلات محدود در نقاط i=1 و i=2 نوشته شود. با فرض:

اسلاید 72: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با استفاده از شرایط مرزی و مرتب کردن جملات به معادلات زیر می رسیم:این معادلات خطی و همگن هستند. جواب های بدیهی آن y1= y2 =0 بوده و حل غیر بدیهی را می توان با مساوی قرار دادن دترمینان ضرایب با صفر، به دست آورد: در نتیجه خواهیم داشت:بنابر این بار بحرانی با خطایی در حدود 9% به دست می آید:

اسلاید 73: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )به همین ترتیب با n =4 به جواب Pcr=9.4EI/L2 خواهیم رسید که 5% با بار اولر فرق دارد. بنابر این با افزایش درجات آزادی و ارضاء معادلات تفاضلات محدود در نقاط بیشتر، در هر درجه ای می توان دقت حل را بهتر کرد.توجه شود که در روش تفاضلات محدود بار های تقریبی کم تر از بار بحرانی کامل بودند، در حالی که در هنگام استفاده از اصل بقای انرژی و روش Ritz ، بار های بحرانی بیشتر از بار بحرانی کامل بودند.این تفاوت به ماهیت اصل بقای انرژی و روش Ritz که مبتنی بر تقریب سازی فیزیکی است و روش تفاضلات محدود که یک تقریب سازی ریاضی است بر می گردد.

اسلاید 74: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )5- کمانش غیرارتجاعی ستون ها:تاکنون در بررسی های انجام شده در مورد کمانش ستون ها، فرض بر این بود که مصالح طبق قانون هوک رفتار می کنند (کمانش الاستیک).برای صحت فرض مذکور، تنش ها در عضو نباید از حد تناسب مصالح تجاوز نماید.در شکل زیر منحنی اولر (σcr-L/r)رسم شده است و نیز یک خط افقی که معرف حد تناسب مصالح است رسم شده است.

اسلاید 75: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )برای ستون های لاغر قبل از اینکه تنش محوری از حد تناسب تجاوز کند، بار وارده به بار اولر می رسد. بنابراین تحلیل ارتجاعی خطی برای ستون های لاغر درست است و بار اولر بار کمانش صحیح چنین عضوی را نشان می دهد.از طرف دیگر تنش محوری در یک ستون کوتاه قبل از اینکه بار وارده به بار اولر برسد از حد تناسب مصالح تجاوز خواهد کرد. در نتیجه تحلیل ارتجاعی برای ستون های کوتاه درست نیست و بار کمانش ستون های کوتاه باید با در نظر گرفتن رفتار غیرارتجاعی آنها تعیین شود.از بررسی هایی که تاکنون در مورد رفتار غیر ارتجاعی ستون ها انجام شده است یک نتیجه مهم گرفته شده است و آن عبارت است از :

اسلاید 76: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اگر مدول ارتجاعی E با یک مدول موثر (Effective Modulus) که به مقدار تنش در هنگام کمانش بستگی دارد تعویض شود، در این صورت می توان از فرمول اولر برای ستون های کوتاه نیز استفاده نمود.بر این اساس دو مدول موثر مهم توسط محققین ارائه شده است که عبارتند از:الف) مدول کاهش یافته (Reduced Modulus) یا مدول دوگانه(Double Modulus) ب) مدول مماسی (Tangent Modulus)

اسلاید 77: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )علت اصلی در تجدید نظر در تئوری اولر، نتایج آزمایشات تجربی بود که نشان می دادند که فرمول اولر برای ستون های کوتاه غیر محافظه کارانه است و همواره این فرمول برای ستون ها، مقادیری بزرگتر از مقادیر تجربی به دست می دهد.تئوری مدول مماسی نسبت به تئوری مدول دوگانه منجر به بار کمانش کوچک تری می شود و نتایج آزمایش موفقیت آمیزتر است. به همین جهت اکثر مهندسین به عنوان تئوری صحیح کمانش غیر ارتجاعی قبول کرده اند. با این حال بحث در مورد مزیت هر یک از تئوری ها همچنان ادامه دارد.

اسلاید 78: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )الف) تئوری مدول دوگانه(Double Modulus Theory) :فرضیات اصلی مورد استفاده در تحلیل با استفاده از تئوری مدول دوگانه عباتند از:1) ستون ابتدا کاملا مستقیم و بارگذاری بدون خروج از مرکز است.2) ابتدا و انتهای عضو مفصلی هستند.3) تغییر شکل ها به اندازه کافی کوچک هستند به طوری که انحنا با تقریب زده می شود.4) همان رابطه بین تنش ها و کرنش های خمشی است که بین تنش ها و کرنش ها در کشش و فشار ساده وجود دارد.5) مقاطع صفحه ای قبل و بعد از خمش، صفحه ای باقی می مانند، بنابراین کرنش های طولی از سطح خنثی با فاصله شان به طور خطی تغییر می کنند.

اسلاید 79: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )تعریف بار بحرانی بر اساس مفهوم تعادل خنثی:بار بحرانی باری است که در هر دو شکل تغییر نیافته اولیه و کمی خم شده مجاور آن تعادل ممکن است. بر اساس این تعریف، وقتی عضو از وضع مستقیم به وضع تغییر شکل یافته انتقال می یابد، بار محوری ثابت باقی می ماند.ستون نشان داده شده در شکل (الف) را در نظر می گیریم. با وارد کردن بار محوری بر ستون مستقیم اولیه، مقدار این بار تا زمانی که به بار بحرانی برسد، افزوده می شود، سپس با خم شدن جزئی عضو، در حالی که نیروی محوری ثابت باقی می ماند، تغییر شکل نهایی عنصر حاصل می شود. به بیان دیگر رفتار ستون منطبق بر منحنی 0-1-2 در شکل (ب) می باشد.

اسلاید 80: فصل سوم: پايداري ستون ها ( و تير ستون ها)تنش محوری که موقع خمش وجود دارد، بالاتر از حد تناسب مصالح فرض می شود. شکل (ج) .در مدت خمش یک افزایش کوچک در تنش طرف مقعر ستون و یک کاهش کوچک در تنش طرف محدب آن اتفاق می افتد.در شکل (د)، توزیع نهایی تنش روی یک مقطع از عضو خم شده نشان داده شده است. مجموع تنش در هر نقطه از مقطع، از تنش یکنواخت محوری (σcr) و تنش خمشی متغیر (کششی یا فشاری) تشکیل می شود. تغییر شکل مربوط به این توزیع خمشی تنش در شکل (ه) نشان داده شده است.

اسلاید 81: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )مدول ارتجاعی E همیشه وقتی یک تار باربرداری شود، رابطه بین تنش و کرنش آن را نشان می دهد. بنابراین کاهش در تنش طرف محدب ستون (1σ) که موقع خم شدن عضو اتفاق می افتد، با کاهش کرنش نظیر آن ( 1ε ) رابطه زیر را تشکیل می دهند:در طرف مقعر، خمش موجب افزایش مجموع تنش می شود، بنابراین رابطه آنی تنش خمشی 2σ با کرنش 2 ε با مدول مماسی(Et ) تعیین می شود. چون تغییر شکل های بعد از بار بحرانی خیلی کوچک فرض می شوند، از اینرو تنش های خمشی در مقایسه با σcr خیلی کوچک هستند و مدول مماسی Et مطابق با σcr روی تمام قسمتی از سطح مقطع که تنش افزایش می یابد، می تواند قابل استفاده فرض شود. بنابراین خواهیم داشت: که در آن Et شیب منحنی تنش- کرنش در σcr است.

اسلاید 82: در مبحث تیرها داشتیم:yxdθdxρabyفصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )

اسلاید 83: بنابراین برای حالت مورد بررسی می توان نوشت:حال تعادل بین بار خارجی و تنش های روی هر مقطع در نظر گرفته می شود. فرض براین است که در طول خمش، بار محوری ثابت باقی می ماند. بنابراین برایند تنش های کششی و فشاری ناشی از خمش باید مساوی صفر شوند.فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )

اسلاید 84: از جایگذاری دو رابطه پایین در معادله تعادل داریم: Q1 و Q2 لنگرهای سطح در دو طرف محور خنثی می باشند:فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )

اسلاید 85: معادله بالا برای تعیین محور خنثی به کار می رود. چون Et با E برابر نیست، پس Q1+Q2 ≠0 است و لذا محور خنثی منطبق بر محور مرکزی نیست.شرط دوم تعادل این است که تنش های خمشی با لنگر خارجی وارده Py متعادل شوند یعنی:با فرضفصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )

اسلاید 86: مدول کاهش یافته، Er را به صورت زیر تعریف می کنیم:فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين در نهايت به معادله ديفرانسيل زير مي رسيم :معادله مذكور ، معادله ديفرانسيل ستوني است كه درآن تنش ها به مرحله غيرارتجاعي مصالح رسيده اند. اين معادله اگر با معادله ديفرانسيل ستون الاستيك اولر - - مقايسه شود ، دراين صورت متوجه مي شويم كه هردو معادله يكسان مي باشند ، به جز اينكه به جاي جايگذاري مي شود .

اسلاید 87: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )از حل معادله خواهيم داشت : از رابطه معلوم مي شود كه مقدار به مشخصات تنش - كرنش مصالح و شكل سطح مقطع بستگي دارد و هميشه كوچكتر از است .بار به عنوان بار مدول كاهش يافته ناميده مي شود و چون داريم :از اين رو بار مدول كاهش يافته - - همواره كوچكتر از بار اولر است .

اسلاید 88: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )تنش بحراني وابسته به بار مدول كاهش يافته نيز به صورت زير بيان مي گردد :بنابراين براي به دست آوردن بار و تنش مدول كاهش يافته، لازم است كه ارزيابي شود .به عنوان مثال براي يك مقطع مستطيلي ( با ابعاد و ) داريم :

اسلاید 89: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين رابطه مدول كاهش يافته - - به صورت زير در مي آيد :از اين روابط و به دست مي آيند .از اين رو خواهيم داشت :

اسلاید 90: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ب ) تئوري مدول مماسي (Tangent Modulus Theory) در اين تئوري نيز همان فرضيات مورد استفاده در تئوري مدول دوگانه به كار مي روند. ولي فرض اينكه وقتي ستون از تعادل وضعيت مستقيم به تعادل وضعيت كمي خم شده عبور مي كند، بارمحوري ثابت مي ماند، ديگر صادق نمي باشد. در عوض، در تئوري مدول مماسي فرض بر اين است كه بار محوري در مدت انتقال از وضعيت مستقيم به وضعيت خم شده افزايش مي يابد .

اسلاید 91: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )همچنين در اين تئوري فرض مي شود كه افزايش در متوسط تنش محوري بزرگتر از كاهش در تنش ناشي از خمش در تار نهايي طرف محدب عضو است. در نتيجه برگشت كرنش روي طرف محدب اتفاق نمي افتد. تنش فشاري در تمام نقاط افزايش مي يابد و مدول مماسي ناظر بر رابطه تنش - كرنش براي تمامي سطح مقطع است .

اسلاید 92: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اختلاف بین تئوری مدول مماسی و تئوری مدول دوگانه را می توان به شرح زیر خلاصه کرد: در تئوری مدول دوگانه فرض بر این است که در طی انتقال ستون از وضعیت مستقیم به وضعیت خم شده، بار محوری ثابت باقی می ماند. پس تنش فشاری مطابق با (Et) در طرف معقر عضو افزایش می یابد و مطابق با (E) در طرف محدب آن کاهش می یابد. در تئوری مدول مماسی فرض می شود که در مدت انتقال به شکل خم شده، بار محوری افزایش می یابد و برگشت کرنش در هیچ نقطه از عضو وجود ندارد. لذا تنش در کلیه نقاط مطابق با (Et) افزایش می یابد.ستونی را که در ابتدا مستقیم است و تا رسیدن بار محوری P به بار بحرانی، مستقیم باقی می ماند در نظر می گیریم. سپس ستون از وضعیت مستقیم به یک شکل کمی خم شده انتقال می یابد و بار محوری از P به P+ΔP افزایش می یابد.

اسلاید 93: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )فرض می شود که ΔP نسبت به لنگر خمشی در هر مقطع به اندازه کافی بزرگ است، به طوری که تنش در تمام نقاط عضو با خم شدن آن افزایش می یابد. چون تغییرشکل های بعد از بار بحرانی خیلی کوچک فرض می شوند، لذا افزایش تنش ضمن خمش در مقایسه با تنش بحرانی σcr خیلی کوچک است و Et مطابق با σcr می تواند ناظر بر افزایش تنش در تمام نقاط فرض شود.

اسلاید 94: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )براي شكل خم شده ستون ، لنگر خمشي داخلي در هر مقطع برابر است با : چون مدول یکسانی بر تغییر شکل های تمام نقاط عضو حاکم است، از این رو محور خنثی با مرکز سطح منطبق می شود و تنش های خمشی در امتداد مقطع مثل حالت ارتجاعی به طور خطی تغییر می کنند. تنها اختلاف بین این مورد و خمش ارتجاعی این است که افزایش تنش با افزایش کرنش به جای E به وسیله Et مربوط می شوند.

اسلاید 95: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با در نظر گرفتن اينكه در مقايسه با قابل صرفنظر است ، لنگر خارجي است . پس تعادل در هر مقطع منجر به رابطه زير مي شود :بنابراين بار بحراني مدول مماسي به صورت زير به دست مي آيد :معادله ديفرانسيل مذكور با معادله ديفرانسيل كمانش ارتجاعي يكسان است به جز اينكه فقط به جاي جايگزين شده است .مقايسه بارهاي بحراني مدول مماسي و مدول كاهش يافته نشان مي دهد كه بار مدول مماسي همواره از بار مدول كاهش يافته كوچك تر است و برخلاف بار مدول كاهش يافته، بار مدول مماسي مستقل از شكل سطح مقطع مي باشد .توجه شود كه تئوري مدول مماسي نسبت به تئوري مدول دوگانه منجر به بار كمانش كوچكتري مي شود و نتايج آزمايش موفقيت آميزتر است. به همين دليل اكثر مهندسين به عنوان تئوري صحيح كمانش غيرارتجاعي قبول كرده اند . با این حال بحث در مورد مزيت هر يك از تئوري ها ادامه دارد .

اسلاید 96: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اطلاعات مربوط به رفتار تنش - كرنش و مدول مماسي و مدول كاهش يافته در جدول زير ارائه شده اند .به عنوان مثال يك ستون از جنس آلومينيوم و با مقطع مستطيلي را درنظر مي گيريم كه داراي رفتار تنش - كرنش زير است :

اسلاید 97: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )

اسلاید 98: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )نمودارهاي ، و در شكل زير نمايش داده شده اند :

اسلاید 99: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )ضريب لاغري متناسب با هر تراز تنش مستقيماً از روابط زير محاسبه مي شود :مدول ارتجاعي مدول مماسي مدول كاهش يافته (Elastic Modulus) (Tangent Modulus) (Reduced Modulus) از نمودار روشن است كه تفاوت بين و در در حدود و در در حدود است .

اسلاید 100: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )پ ) تئوري مدل شانلي براي رفتار غير ارتجاعي ستون(Shanley’s Model) تاكنون در مورد رفتار پس بحراني يا پس كمانشي ستون ها بحثي نكرده ايم. تحليلي كه در اين قسمت ارائه مي شود، مربوط به رفتار ستون هاي غيرارتجاعي بعد از بار بحراني است .(Post Critical) (Post Buckling) شانلي در سال 1947 در مقاله مشهور خويش كه در منتشر شد، يك راه حل بسته فرم را براي رفتار پس كمانشي ستون غيرارتجاعي ارائه داد . (Shanley) “Inelastic Column Theory” Journal of the Aeronautical Sience ( Closed Form Solution ) شانلي يك مدل تقريبي (Approximate Model) از يك ستون واقعي را ارائه داد .

اسلاید 101: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )مدل شانلي شامل دو ساق بي نهايت صلب است كه توسط يك سلول شكل پذير (Deformable Cell) واقع در مركز ستون به يكديگر وصل شده اند. سلول از دو عضو محوري به فاصله h از يكديگر ساخته شده است. هر عضو داراي سطح A/2 و طول h است و طبق منحني تنش - كرنش زير رفتار مي كند .

اسلاید 102: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )فرض می شود که ستون تا قبل از این که به بار بحرانی برسد مستقیم باقی می ماند. سپس به طور جانبی به فاصله محدود (d ) تغییر شکل می یابد و در نتیجه کرنش های e1 و e2 در اعضا سلول ایجاد می شوند. این کرنش ها، ناشی از خمش و هر تغییری که در بار محوری در مدت خمش اتفاق می افتد هستند و شامل کرنش محوری قبل از شروع خمش نیستند.

اسلاید 103: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اگر تغييرشكل جانبي نسبتاً كوچك باقي بماند، با شيب ساق ها از طريق رابطه زير، ارتباط مي يابند:چون مدل تغييرشكل يافته در حال تعادل است، لنگر خارجي در وسط ارتفاع برابر است با لنگر داخلي در اين نقطه.لنگر خارجي عبارت است از :همراه با كرنش هاي و ، نيروهاي و نيز در اعضا سلول وجود دارد . اگر مدول موثر در دو عضو با و نشان داده شوند، خواهيم داشت:

اسلاید 104: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )لنگر داخلي در سلول برابر است با:در اين مرحله بهتراست كه يك رابطه براي بار مدول مماسي به دست آوريم. در تئوري مدول مماسي فرض بر آن است كه موقع شروع خمش در هيچ نقطه از سطح مقطع، برگشت كرنش يا باربرداري وجود ندارد . بنابراين و در نتيجه معادله مربوط به بار به صورت زير در مي آيد:

اسلاید 105: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اكنون مي خواهيم رابطه اي بين بار وارده و تغييرشكل جانبي به دست آوريم. فرض مي شود هنگامي كه ستون بعد از رسيدن به بار بحراني خم مي شود، بار وارده نيز افزايش مي يابد. بنابراين و بسته به اين كه در سمت محدب مدل بعد از شروع خمش، برگشت کرنش اتفاق بيفتد يا نيفتد مساوي يا است .با فرض و جايگزيني در معادله مربوط به بار ، خواهيم داشت:از طرفي داريم:

اسلاید 106: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )از جايگزيني در رابطه مربوط به بار خواهيم داشت:( الف )برای اینکه e2 بر حسب d بیان شود و نیز معادله (الف) در یک شکل مناسب تری قرار گیرد، رابطه دومی را برای بار P به دست خواهیم آورد. قبلاً فرض شد كه وقتي ستون خم مي شود بار وارده P افزايش مي يابد. حال اگر فرض شود كه خمش در بار مدول مماسي Pt شروع مي شود، در اين صورت خواهيم داشت:افزايش در بار كه در مدت خمش اتفاق مي افتد، برابر است با :با در نظر گرفتن و و خواهيم داشت:

اسلاید 107: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )از جايگزيني در رابطه مربوط به بار خواهيم داشت:( ب )بنابراين داريم:با مساوي قرار دادن روابط كه توسط معادلات ( الف ) و ( ب ) بيان شد ، نتيجه زير حاصل مي شود:سرانجام با جايگزين كردن رابطه مربوط به در معادله ( الف )، رابطه مطلوب بار - تغييرشكل به دست مي آيد:

اسلاید 108: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )( پ )اكنون با استفاده از رابطه بين بار وارده و تغييرشكل جانبي ، رفتار پس كمانشي را مي توان مورد بررسي قرار داد .همانطور كه فرض شد مدل در بار مماسي شروع به خم شدن مي كند، يعني ، وقتي كه است. زماني كه افزايش مي يابد ، تغيير با به مقدار ارتباط پيدا مي كند. بر حسب اينكه برگشت كرنش روي طرف محدب مدل اتفاق بيفتد يا نه، اين نسبت با و يا برابر است . اگر برگشت کرنش اتفاق نيفتد، است و وقتي مدل خم مي شود در ثابت باقي مي ماند، ولي خمش در بار ثابت باعث برگشت كرنش مي شود. بنابراين فرض نبودن برگشت كرنش به نتايج غيرسازگار منجر مي شود و بايد كنار گذاشته شود.(Strain Reversal)

اسلاید 109: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با فرض اينكه برگشت كرنش اتفاق مي افتد بوده و معادله ( پ ) كه بيانگر رابطه است نشان مي دهد كه با افزايش تغييرشكل افزايش مي يابد.اكنون نشان داده خواهد شد كه وقتي تغييرشكل نسبت به بزرگ مي شود . افزايش مي يابد و به نزديك مي شود. در تئوري مدول كاهش يافته فرض براين است كه کمانش در بار ثابت صورت مي گيرد . بنابراين و ، در نتيجه :و با در نظر گرفتن خواهيم داشت:با جايگزيني در معادله ( الف ) ، فرمول بار مدول كاهشي به دست مي آيد:(ت)

اسلاید 110: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين وقتي تغييرشكل خيلي بزرگ مي شود ، به سمت صفر ميل مي كند و باري كه به وسيله مدل تحمل مي شود، يعني معادله ( پ )، به بار مدول كاهش يافته يعني معادله ( ت ) نزديك مي شود: رفتار مدل حاصل از معادله ( پ ) با منحني پر خلاصه شده است. خمش در بار مدول مماسي شروع مي شود و با افزايش يافتن بار محوري ادامه مي يابد. وقتي تغييرشكل جانبي بزرگ مي شود بار محوري به بار مدول كاهش يافته نزديك تر مي شود.

اسلاید 111: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )مهمترين اختلاف بين يك ستون واقعي و اين مدل اين است كه در يك ستون واقعي با افزايش كرنش فشاري كاهش مي يابد، در حالي كه در مدل مقدار آن ثابت فرض شده است . يك تقريب بهتر از رفتار بعد از كمانش نسبت به آنكه توسط خط پر در شكل بالا نشان داده شده است، با در نظر گرفتن كاهش در به دست مي آيد. بنابراين همان طور كه توسط منحني خط چين در شكل نشان داده شده، مدل داراي يك بار حداكثر است كه مقدار آن بين و قرار دارد .اگرچه مدل شانلي، ساده سازي بيش از حدي از رفتار ستون واقعي است، با اين حال در مورد كمانش غيرارتجاعي ستون، ما را به نتايج زير رهنمون مي سازد:1) يك ستون در ابتدا مستقيم است و همين كه از بار مدول مماسي تجاوز مي كند، شروع به خمش خواهد كرد.2) در نتيجه شروع خمش، بار محوري افزايش مي يابد و به يك مقدار حداكثر مي رسد كه بين بار مدول مماسي و بار مدول كاهش يافته قرار دارد.

اسلاید 112: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )يك مطالعه دقيق تر از آنچه توسط شانلي انجام شده است ، در مورد ستون هاي واقعي ساخته شده از مواد واقعي ، نشان مي دهد كه معمولاً به نزديكتر است تا به و نسبت درحدود تا است. بنابراين مي توان نتيجه گرفت كه بار مدول مماسي به حداكثر باري كه يك ستون مي تواند تحمل كند، خيلي نزديك است .03) اگرچه هنگام شروع خمش، برگشت کرنش وجود ندارد، همين كه تغييرشكل هاي خمشي محدود حاصل مي شود، برگشت كرنش اتفاق مي افتد. از تمام نتايج بدست آمده، احتمالاً مهم ترين نتيجه آن است كه حداكثر بار ستون بين بار مدول مماسي و بار مدول كاهش يافته قرار مي گيرد. در نهايت با توجه به مباحث مطرح شده در بخش هاي تئوري مدول كاهش يافته، مدول مماسي و تئوري شانلي به دو نتيجه اساسي نائل مي شويم:1- بار مدول كاهش يافته داراي اين امتياز ضعيف است كه معيار كلاسيك پايداري ( ثابت باقي ماندن بار ) را ارضا مي كند. ولي اين عيب را دارد كه بزرگ تر از حداكثر باري است كه يك ستون غيرارتجاعي مي تواند تحمل كند.

اسلاید 113: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )2- بار مدول مماسي با نتايج آزمايش توافق دارد و تا اندازه اي محافظه كارانه است. اين بار مستقل از شكل سطح مقطع است و بنابراين محاسبه آن از بار مدول كاهش يافته آسان تر است. با اين حال، اين بار داراي توجيه تئوريك كم ترين بار محوري است كه ستون در آن حال شروع به خم شدن مي كند. بر پايه اين ملاحظات، بار مدول مماسي معمولاً به بار مدول كاهش يافته ترجيح داده مي شود.ت ) اثر ناكاملي ها در رفتار غير ارتجاعي ستون :همان گونه كه قبلاً عنوان شد، ستون هاي واقعي داراي ناكاملي هايي نظير ناكاملي هندسي، ناكاملي در بارگذاري و ... هستند . اين ناكاملي موجب مي شود كه ستون از ابتداي آغاز بارگذاري، شروع به خمش نمايد (هر چند در بارهاي كمتر از بار بحراني نرخ خمش كم باشد). به ميزاني كه خيز جانبي ستون بزرگ تر مي شود، برگشت تنش يا برگشت كرنش در نقاطي از مقطع عرضي ستون اجتناب ناپذير است، زيرا محور خنثاي يك مقطع الاستو پلاستيك بايد دائماً حركت كند تا اين كه تعادل حفظ شود.

اسلاید 114: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )1 – شاخه صعودي تئوري شانلي نشان داد كه ناحيه برگشت كرنش بوسيله مدول الاستيك كنترل مي شود كه بسيار بزرگتر از مدول مماسي است. اگر هيچ گونه برگشت كرنش در مقطع رخ ندهد، در اين صورت سختي خمشي ستون است و اگر برگشت كرنش كامل رخ دهد، سختي خمشي ستون است . بنابراين سختي خمشي واقعي ستون بين و قرار دارد .هم چنان كه تئوري شانلي نشان داد، منحني بار - خيز يك ستون الاستو پلاستيك داراي سه مشخصه است :2 – شاخه نزولي 3 – نقطه ماكزيمم ( Ascending branch ) ( Descending branch ) ( Maximum point )

اسلاید 115: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )maximum pointdescending branchascending branch Deflection Δ مفهوم شاخه نزولي آن است كه نرخ افزايش در لنگر خارجي ( ناشي از )، بزرگتر از نرخ افزايش لنگر داخلي ( ناشي از ) مي باشد.

اسلاید 116: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )تعادل ستون خم شده، با ابقاء تعادل بين لنگرخارجي وارده و لنگر مقاوم داخلي در هر مقطع حاصل مي شود. هر دو لنگر تابعي از تغييرشكل جانبي ستون مي باشند. به محض اينكه تنش ها از حد تناسب تجاوز مي كنند، سختي عضو كاهش مي يابد و افزايشي كه در لنگر مقاوم داخلي در اثر افزايش در تغييرشكل رخ مي دهد، كمتر و كمتر مي شود. در ابتدا، يك كاهش در نسبت بار وارده مطابق با يك افزايش فرض شده در تغييرشكل براي ابقاء تعادل بين لنگرهاي داخلي و خارجي كافي است. ولي عاقبت با افزايش تغييرشكل، افزايش در لنگر به قدري كم مي شود كه تعادل بين آن و لنگرخارجي فقط با يك كاهش در بار وارده مي تواند ابقاء شود و لذا شاخه نزولي معني و مفهوم پيدا مي كند . براي يك ستون واقعي نقطه ماكزيمم بار - خيز ، بستگي به ميزان ناكاملي ها دارد. مشخص است كه طبق تئوري شانلي، براي يك ستون كامل، بار ماكزيمم، زير بار مدول كاهش يافته ( ) قرار دارد . ولي بسته به ميزان ناكاملي ها نقطه ماكزيمم مي تواند بزرگتر يا مساوي یا كوچكتر از بار مدول مماسي ( ) باشد. مشخص است كه وجود ناكاملي ها ( از قبيلهندسي و بارگذاري ) نقش تعيين كننده در افزايش لنگرخارجي دارد و لذا براي حفظ تعادل بين لنگر داخلي و لنگر خارجي، بايد بار ماكزيمم كاهش يابد .

اسلاید 117: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )

اسلاید 118: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )6 ) بررسي رفتار ستون ها با استفاده از روش عناصر محدودهم چنان كه قبلاً گفتيم، براي استخراج رفتار ستون ها بويژه رابطه بار محوري – كوتاه شدگي محوري و نيز رابطه بار محوري – خيز جانبي دو رده روش وجود دارد: روش هاي كامل با جواب هاي بسته فرم روش هاي عددي ( Exact Method with Closed form Solution )( Numerical Methods )در روش هاي كامل با جواب هاي بسته فرم كه روش هاي تك عضوي نيز ناميده مي شوند، عضو فشاري به يك سيستم گسسته تبديل نمي شود، بلكه به عنوان يك محيط پيوسته يك بعدي در نظر گرفته مي شود. شرايط تغييرمكان، شرايط تعادل و شرايط الاستو پلاستيسيته توصيف مي شوند و در نهايت يك پاسخ بسته فرم به دست مي آيد.

اسلاید 119: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )روش شانلي در واقع يك روش كامل يا يك روش تك عضوي و پاسخ حاصل يك پاسخ بسته فرم براي رابطه بار محوري – خيز جانبي بود.براي استخراج رفتار ستون، عمدتاً از سه روش عددي استفاده مي شود: روش تفاضلات محدود( Finite Difference Method )( Finite Segment Method ) در روش تفاضلات محدود، تعداد محدودي نقطه در امتداد عضو در نظر گرفته مي شوند. يك شكل آزمون تغييرشكل يافته فرض مي شود. سپس در هر نقطه، شرايط تنش مي تواند الاستيك، الاستوپلاستيك و يا پلاستيك كامل باشد. برايند هاي تنش را مي توان براي به دست آوردن نيروي محوري و لنگرها محاسبه نمود. بنابر اين معادلات ديفرانسيل تعادل را مي توان براي هر نقطه نوشت. حل همزمان اين معادلات منجر به يك مجموعه تغيير مكان در هر نقطه مي شود. سيكل تحليل با خيزهاي جديد تكرار مي شود تا اينكه همگرايي حاصل شود. بنابر اين رفتار بار – كوتاه شدگي محوري عضو را مي توان از يك سري از اين تحليل ها با نمو سازي بار يا تغييرمكان به دست آورد. روش قطعات محدود روش عناصر محدود( Finite Element Method )

اسلاید 120: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) در روش قطعات محدود فرض مي شود هر عضو فشاري از تعداد محدودي قطعات منشوري تشكيل شده است كه هر يك از آنها شامل تعداد محدودي تارهاي يك بعدي مي باشند. در نتيجه، رفتار عضو را مي توان برحسب رفتار اين قطعات (بدون استفاده ازمعادلات ديفرانسيل پيچيده) فرمول بندي نموده و به طور تقريبي حل كرد. ماتريس هاي سختي هر قطعه با استفاده از ميدان كامل (Exact) تغييرمكان عضو فشاري در امتداد قطعه تعيين مي شوند. در تعيين ماتريس هاي سختي اثر نيروي فشاري در نظرگرفته مي شود. در روش عناصر محدود، عضو فشاري به طور فيزيكي گسسته شده و به مجموعه اي از عناصر گسسته تبديل مي شود و سختي هر عنصر با استفاده از يك ميدان تغييرمكان تقريبي در امتداد طول عنصر تعيين مي گردد.

اسلاید 121: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )امروزه با وجود كامپيوتر، استفاده از روش هاي عددي بر روش هاي تك عضوي برتري و رجحان دارد. در ميان روش هاي عددي نيز، روش هاي عناصر محدود بويژه براي موقعيت هاي پيچيده نظير غيرخطي هندسي، غيرخطي مصالح و كمانش محلي براي محاسبه رفتار ستون ها بسيار مناسب تر مي باشد و لذا در اينجا به بررسي رفتار ستون ها با استفاده از روش عناصر محدود مي پردازيم .معمولاً با استفاده از نرم افزارهاي تجاري عناصر محدود نکات زير در تحليل در نظر گرفته مي شوند :- براي به دست آوردن نتايج دقيق و قابل اطمينان، هر عضو (حداقل) به بيست الي 50 عضو تقسيم مي شود. - از عنصر تيري (Timoshenko) براي نمايش هر عنصر استفاده مي شود. در اين عنصر اثر تغييرشكل هاي برشي نيز در نظر گرفته مي شوند .- براي ستون هاي فولادي می توان يك رفتار مصالح الاستيك-كاملاً پلاستيك براي عناصر منفرد فرض نمود.

اسلاید 122: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )- در تحليل، غير خطي مصالح و غير خطي هندسي – هر دو – در نظر گرفته مي شوند. - براي دنبال نمودن مسير تعادل و گذر از نقاط بحراني به محدوده پس بحراني، از روش هاي طول كمان (Arc-Length Method) استفاده مي شود. در اين روش يك معادله قيدي نمو بار را كنترل مي كند.- عموماً يك ناكاملي هندسي شامل يك انحناء اوليه متقارن براي ستون در نظر گرفته مي شود.- فرض مي شود كه اعضاي فشاري داراي ناپايداري محلي نمي باشند . - فرض مي شود كه عضو فشاري تنها در صفحه تقارن مقطع عرضي بدون پيچش تغيير مكان پيدا مي كند.- بارگذاري عضو فشاري بدون خروج از مركزيت در نظر گرفته مي شود.- فرض مي شود كه مقطع متقارن بوده و در سرتاسر طول عضو فشاري يكنواخت فرض مي شود.

اسلاید 123: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )در هنگام اعمال يك انحناي اوليه به اعضاي فشاري به عنوان ناكاملي اوليه، 5 مقدارمختلف براي دامنه ماكزيمم ناكاملي در نيمه طول عضو ، به صورت 0.05L, 0.02L, 0.005L, 0.0005L, 0.0L در نظر گرفته مي شوند. يك ستون با مقطع لوله اي به شعاع mm 41.275 و به ضخامت ديواره 9.52 mm را در نظر بگيريد. براي تعيين اثرات ضريب لاغري عضو فشاري در رفتار بار محوري - تغييرمكان محوري، چهار طول مختلف، 5000mm , 3000mm , 2000mm , 500mm را در نظر مي گيريم. ضرايب لاغري متناظر با اين اعضاي فشاري به ترتيب عبارتند از:200 , 120 , 80 , 20 . تکلیف سری چهارم کامپیوتری: رفتار الاستوپلاستيك مصالح به صورت زير در نظر گرفته مي شود.

اسلاید 124:

اسلاید 125: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )7 – پايداري تيرستون ها - بنابر اين تيرستون ها، اعضاي سازه اي يك بعدي هستند كه علاوه بر نيرو هاي فشاری محوري تحت اثر نيرو هاي جانبي و لنگر هاي خمشي انتهايي نيز مي باشند. اعضاي قائم در قاب هاي با اتصالات صلب كه تحت اثر نيروهاي جانبي قرار دارند از نوع تيرستون مي باشند.- لازم به يادآوري است كه در تحليل ستون هاي با بار خارج از مركز، خمش يك تاثير فرعي بود، در حالي كه در تحليل تيرستون ها، خمش و فشار محوري آگاهانه وارد مي شوند. - تيرستون ها اعضايي هستند كه تحت اثر خمش و فشار محوري قرار دارند. خمش ممكن است كه ناشي از لنگرهاي وارد به انتهاي عضو به وجود آيد، و يا در اثر بارهاي قائمي كه به طور جانبي بر روي عضو وارد مي شوند، باشد.

اسلاید 126: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )در اين بخش رفتار تير ستون با بار جانبي متمركز و تير ستون با بار جانبي گسترده را مورد بررسي قرار مي دهيم.الف – تير ستون با بار جانبي متمركز يك عضو با تكيه گاه هاي ساده و به طول L را در نظر مي گيريم. همان گونه كه در شكل زير نشان داده مي شود، به طور هم زمان بار جانبي Q و نيروي محوري P بر آن وارد مي شوند.

اسلاید 127: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )- فرض بر اين است كه مصالح ساختماني طبق قانون هوك رفتار مي كنند (خطي مصالح) و تغييرشكل ها كوچك باقي مي مانند (خطي هندسي). - عضو در جهت جانبي مهاربندي شده است، به طوري كه فقط مي تواند در صفحه قائم خم شود. مواردي كه عضو به اين صورت مهاربندي نشده است و در نتيجه علاوه بر صفحه قائم به طور جانبي هم خم مي شود، در مبحث كمانش پيچشي در نظر گرفته مي شود.- اگر محورهاي مختصات آن طور كه در شكل نشان داده شده است انتخاب شوند، در این صورت رابطه تعادل لنگرها براي قطعه اي از تيرستون به طول x عبارت خواهد بود از :

اسلاید 128: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )جواب معادله ديفرانسيل برابر است با:با فرض خواهيم داشت :براي يافتن ضرايب ثابت و ، شرايط مرزي را اعمال مي كنيم:بنابراين جواب به صورت زير به دست مي آيد:

اسلاید 129: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )به جاي اينكه تغييرشكل تمام عضو را در نظر بگيريم مطلوب تر است كه از اين به بعد توجه خود را به تغييرشكل وسط دهانه يعني δمحدود كنيم. با قرار دادن x=L/2 در جواب عمومي y، رابطه زير به دست مي آيد: با فرض خواهيم داشت:با ضرب و تقسيم كردن رابطه مربوط به در خواهيم داشت:

اسلاید 130: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با فرض كه همان خيز تيز تحت اثر فقط بار مي با شد خواهيم داشت:براي ساده كردن رابطه فوق ، از بسط سري استفاده مي كنيم:با جايگزين كردن در رابطه مربوط به خواهيم داشت:با توجه به اين كه داريم : و ، از اين رو به صورت زيربه دست مي آيد:

اسلاید 131: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )يا به طور تقريبي خواهيم داشت:چون مجموع سري هاي هندسي داخل كروشه ، است ، رابطه به صورت زير نوشته مي شود:

اسلاید 132: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين تاثير نيروي محوري، بزرگ كردن تغييرشكلي است كه اگر نيروي محوري وجود نداشت، اتفاق مي افتاد. معادله فوق با تقريب خيلي نزديك، حداكثر تغييرشكل يك عضو داراي تكيه گاه هاي ساده را معلوم مي كند كه به طور همزمان به وسيله يك بار جانبي Qو يك بار محوري P خم مي شود. اين معادله نشان مي دهد كه حداكثر تغييرشكل عضو برابر است با δ0 (حداكثر تغييرشكلي كه اگر فقط Q برعضو وارد شود، اتفاق مي افتد) ضرب در يك ضريب افزايش كه به نسبت P/Pcr بستگي دارد.معادله نشان مي دهد كه با نزديك شدن به واحد، تغييرشكل تير ستون به طور نامحدود افزايش مي يابد. به بيان ديگر، با نزديك شدن نيروي محوري به باربحراني، مقاومت عضو در برابر تغييرشكل جانبي صفرمي شود. بنابراين با پيدا كردن نيروي محوري كه در آن سختي خمشي برابر صفر است، مي توان بار بحراني يك عضو را تعيين كرد . اكنون مشخصات بار- تغييرشكل تيرستون مذكور را مورد بررسي قرار مي دهيم:

اسلاید 133: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )درشكل زير تغييرات برحسب براي حالات و و رسم شده است. چون سختي خمشي يك عضو با شيب رابطه بار جانبي – خيز جانبي متناسب است، اين منحني ها به وضوح نشان مي دهند كه افزايش بار محوري، موجب كاهش سختي خمشي مي شود. هم چنين اين منحني نشان مي دهد كه رابطه بين و ، كه مي دانيم براي خطي است ، به شرط اين كه ثابت باشد ، براي نيز خطي باقي مي ماند.

اسلاید 134: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اگر به اجازه تغيير داده شود، همان گونه كه در شكل زير نشان داده شده است، رابطه بار - خيز جانبي خطي نيست. اين مطلب صرف نظر از اينكه ثابت باقي بماند (منحني توپر) و يا با افزايش افزايش يابد (منحني خط چين )، صحيح است. بنابراين تغييرشكل يك تيرستون يك تابع خطي از است ولي يك تابع غيرخطي از مي باشد. اگر و هردو به طور همزمان افزايش يابند، رابطه بار – تغيیرشكل غيرخطي است.

اسلاید 135: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اكنون مي خواهيم ببينيم چگونه لنگر خمشي بوسيله فشار محوري تحت تاثير قرار مي گيرد. حداكثر لنگر خمشي در عضو برابر است با :يابا ساده كردن جمله داخل كروشه خواهيم داشت:

اسلاید 136: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )كه درآن حداكثر لنگري است كه اگر نيروي محوري وجود نداشت، اتفاق مي افتاد . ب – تيرستون با بار گسترده يك عضو با تكيه گاه هاي ساده را درنظرمي گيريم كه تحت اثر بار جانبي w و نيروهاي محوري P، تحت خمش قرار گرفته است. معادله نشان مي دهد كه تاثير فشار محوري روي لنگر خمشي خيلي شبيه تاثير بار محوري روي تغيير شكل است. نظيرتغييرشكل، لنگري كه در غياب بار محوري وجود دارد، با حضور اين بار افزايش پيدا مي كند. همچنين تشابه بين ضريب افزايش براي لنگر و ضريب افزايش تغييرشكل متناظر آن قابل توجه است .

اسلاید 137: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )فرض بر اين است كه مصالح ساختماني از قانون هوك پيروي مي كنند ( مصالح خطي )، و نيز تغييرشكل ها كوچك باقي مي مانند ( خطي هندسي ) و از كمانش جانبي عضو نيز جلوگيري مي شود. در اين مساله به جاي حل معادله ديفرانسيل حاكم ، از روش استفاده خواهيم كرد . بنابراين تحليل يك تيرستون با روش انرژي، مشابه تحليل يك عضو تحت بار محوري است؛ يعني انرژي کرنشی ناشي از فشار محوري حذف و فقط انرژي کرنشی خمشي در نظر گرفته مي شود. ابتدا تابعك انرژي پتانسيل كلي را مي نويسيم:در يك تير ستون، خمش و بار محوري فشاري معمولاً همزمان افزايش پيدا مي كنند. اگرچه تا موقعي كه تغييرشكل ها به طوركلي كوچك باقي بمانند، تغييرشكل هاي خمشي مي توانند از تغييرشكل هاي محوري مستقل فرض شوند.

اسلاید 138: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )فرض مي كنيم تغييرشكل به صورت زير است كه شرايط مرزي را نيز ارضا مي كند: كه در آن تغييرشكل در وسط دهانه است. با جايگزين كردن در تابعك نتيجه زير حاصل مي شود: نتايج انتگرال گيري هاي زير را داريم:

اسلاید 139: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين تابعك به صورت زير به دست مي آيد: براي بدست آوردن معادله تعادل حاكم، از استفاده مي كنيم: اگر صورت و مخرج رابطه مربوط به را در ضرب كنيم، خواهيم داشت:

اسلاید 140: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) را مي توان به صورت زير نوشت: لنگر حداكثر در عضو برابر است با: در رابطه مذكور، ضريب سمت چپ، تغييرشكلي است كه اگر فقط نيروي جانبي عمل كند، اتفاق مي افتد: يا به طور تقريبي مي توان نوشت: از جايگذاري در رابطه خواهيم داشت:

اسلاید 141: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) حداگثر لنگري است كه اگر نيروي محوري حضور نداشت، به دست مي آمد. با ساده كردن جمله داخل كروشه، مقدار ماكزيمم به دست مي آيد:

اسلاید 142: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين حداكثر خيز جانبي تير ستون و حداكثر لنگر خمشي ، هر دو برابر با حاصل ضرب دو جمله هستند:الف ) حداكثر تغييرشكل و يا لنگري كه فقط به علت نيروي جانبي به وجود مي آيد،ب ) يك ضريب افزايش كه تاثير نيروي محوري را دخالت مي دهد. آنچه كه قابل توجه است، تشابه موجود بين روابط حداكثر خيز جانبي و حداكثر لنگر خمشي تيرستون براي تير با بار جانبي متمركز و تير با بار جانبي گسترده است.

اسلاید 143: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها ) تاكنون تحليل تيرستون را به رفتار ارتجاعي، محدود كرده بودیم، ولي اكنون مي خواهيم رفتار غيرارتجاعي و نيز خرابي ان را در نظر بگيريم. يك عضو با تكيه گاه هاي ساده و تحت اثر بارگذاري متقارن را در نظر مي گيريم. اين عضو به طور همزمان با لنگرهاي انتهايي M خم و با نيروهاي محوريP فشرده مي شود( رابطه M با P متناسب است e=M/P ). Jezek نشان داد كه با استفاده از فرضيات زير يك حل بسته فرم را، براي مشخصات بار- تغييرشكل تيرستون بعد از حد تناسب مي توان به دست آورد. اين فرضيات عبارتند از:- عضو داراي مقطع مستطيلي شكل است، - عضو داراي يك مصالح ساختماني ايده آل الاستوپلاستيك است، - شكل خمش عضو يك منحني نيم سينوسي است (y=δsin πx/L )، - عضو در ابتدا مستقيم است، خمش حول محور اصلي اتفاق مي افتد، تغييرشكل ها محدود، ولي به اندازه كافي كوچك هستند، به طوري كه انحنا مي تواند با مشتق دوم- y//- تقريب شود.پ – خرابي تيرستون ها(Failure of Beam-Columns)

اسلاید 144: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اگر محورهاي مختصات به صورت شكل بالا انتخاب شوند، در اين صورت لنگرخمشي خارجي در فاصله x از مركز برابر است با:رابطه مذكور صرف نظر از اينكه آيا از حد تناسب مصالح ساختماني تجاوز شده است يا خير، صحيح است. مشخصات لنگر مقاوم داخلي به شكل توزيع تنش در عضو بستگي دارد. تا موقعي كه قانون هوك صحيح باقي مي ماند، لنگر داخلي با رابطه زير مشخص مي شود:

اسلاید 145: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )بنابراين خواهيم داشت:با توجه به فرض ، رابطه انحنا به شكل زير نوشته مي شود:بنابراين با جايگزيني انحنا در معادله تعادل لنگرها خواهيم داشت: رابطه مذكور براي وسط دهانه به صورت زير در مي آيد: با فرض اينكه با متناسب است ( )، خواهيم داشت:

اسلاید 146: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اگر دو طرف رابطه مذكور را بر عمق تقسيم و جملات مرتب شوند، رابطه زير حاصل مي شود:رابطه مذكور رابطه بار - خیز در وسط يك تيرستون مستطيلي را در حالت ارتجاعي نشان مي دهد.براي به دست آوردن تنش - خیز تيرستون از روابط و استفاده كرده و رابطه زير را به دست مي آوريم:حداكثر تنش كه در تير ستون مذكور مي تواند ايجاد شود عبارت است از:

اسلاید 147: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اگر باشد، در اين صورت رابطه بار– خیز يا تنش– خیز حاصل صادق هستند، ولي اگر باشد در اين صورت رابطه هاي مذكور صحيح و صادق نمي باشند. وقتي كه از حد ارتجاعي تجاوز مي شود، روابط و همچنان استفاده مي شود، ولي رابطه بايد مورد تجديد نظر قرار گيرد. براي تعيين رابطه لنگر- انحنا غيرارتجاعي، توزيع های تنش ترسيم شده در زير را در نظر مي گيريم:

اسلاید 148: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )همان طور كه در شكل نشان داده شده دو نوع توزيع تنش مختلف امكان دارد اتفاق افتد: الف ) اگر نسبتاً كوچك باشد، فقط در طرف مقعر عضو قبل از خرابي، تنش به حد تسليم مي رسد( شكل الف)،ب ) اگر نسبتاً بزرگ باشد، تنش در طرف محدب عضو نيز نظير طرف مقعر آن، قبل از خرابي به نقطه تسليم مي رسد (شکل ب). بعد از تقسيم طرفين رابطه بر ، رابطه فوق را مي توان به صورت زير نوشت:تعادل نيروها در جهت منجر به رابطه زير مي شود (حالت الف در نظر گرفته می شود): فواصل و و در شكل صفحه قبلي نشان داده شده اند و و به ترتيب تنش كششي موثر بر تار انتهايي طرف مقعر عضو و تنش تسليم وارد بر تار انتهايي طرف محدب مي باشند.

اسلاید 149: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )لنگر داخلي با نوشتن لنگر كليه نيروها حول محور مركز سطح به دست مي آيد: با توجه به اينكه است و با استفاده از معادلات مربوط به و مي توان مقدار را به دست آورد: مي دانيم كه به عبارت ديگر داريم: و سرانجام با جايگزين كردن مقدار در رابطه ، رابطه زير براي انحنا به دست مي آيد:

اسلاید 150: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )اين معادله رابطه لنگر- انحنا غيرارتجاعي است و بايد زماني كه تنش ها از حد تناسب تجاوز مي كنند به جاي معادله به كار رود. با توجه به روابط و و ، انحنا و لنگر در وسط دهانه برابر است با: از جايگذاري رابطه مذكور در رابطه اصلي لنگر- انحنا غيرارتجاعي خواهيم داشت:

اسلاید 151: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )با فرض ، رابطه نهايي تنش- خیز در مرحله غيرارتجاعي، از شروع تسليم تا خرابي - به شرط اينكه خرابي قبل از اينكه در دو طرف محدب عضو تسليم شروع شود، اتفاق بيفتد - به صورت زير به دست مي آيد:به كمك معادلات تنش– خیز ستون در مرحله ارتجاعي و در مرحله غيرارتجاعي كه در بالا ارائه شد، مي توان تمام منحني تنش - خیز را از شروع بار گذاري تا خرابي - با فرضيات ذكر شده - به دست آورد. منحني تنش - خیز زير، كه شامل هر دو قسمت ارتجاعي و غيرارتجاعي است، براي يك تيرستون فولادي با مقطع مستطيلي و تكيه گاه هاي ثابت و طول و و و و و ارائه شده است:

اسلاید 152: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )

اسلاید 153: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )نتايج ارائه شده براي يك مقطع مستطيلي با مصالح ساختماني الاستوپلاستیک كامل، نمونه اي از رفتاري است كه توسط ساير اشكال و مصالح ساختماني نشان داده مي شود. ولي تعيين بار حداكثر براي غالب مقاطع و مصالح ساختماني ديگر مستلزم سعي بيشتري است. در اغلب موارد راه حل هايي بسته فرم، نظير نوعي كه در اينجا ارائه شد، مطرح نيست و روش هاي عددي تنها وسيله به دست آوردن بار حداكثر هستند. با توجه به اين حقيقت كه تعيين بار حداكثر يك تيرستون همواره پيچيده و وقت گير است، باري كه درآن تسليم شروع مي شود، غالباً به جاي بار حداكثر به عنوان حد بهره برداری ساختماني در نظر گرفته مي شود. بار مطابق با شروع تسليم، يك معيار جالب توجه براي طرح است، چون به دست آوردن آن نسبتاً ساده است و يك برآورد محافظه كارانه از بار خرابي واقعي را نشان مي دهد. البته يك معيار طرح نيمه تجربي ديگري كه بر مبناي معادله اندركنش(Interaction Equation) استوار است، به دست آمده كه هم دقيق و هم نسبتاً كاربرد ساده اي دارد.

اسلاید 154: فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )تیرستون مذکور با مشخصات داده شده را در نظر گرفته و با استفاده از تحلیل های عناصر محدود پاسخ های زیر را به دست آورید: رفتار خطی،رفتار غیرخطی هندسی، رفتار غیرخطی مصالح، رفتار غیرخطی مصالح و هندسی.نتایج حاصل را در یک نمودار نشان دهید.تکلیف سری پنجم کامپیوتری: