جبر و مقابله خیام

جبر و مقابله خیام

اسلاید 1: جبر و مقابله خیام

اسلاید 2: کشف جبر خيام:اول بارجبر خيام،در سال 1742 توسط رياضيداني به نام ژراژمران ،مورد توجه قرار گرفت.آثار او تا حدي ارزشمند بوده است که رياضي داني به نام دکتر گارتز توجه محققين را به آن جلب نموده است.

اسلاید 3: جبر و مقابله چيست؟قديمي ترين کتاب جبر و مقابله در دوره اسلامي به خوارزمي منسوب ميشود.از ديدگاه او:جبر:عملي است که طي آن مفروق را از طرفي در معادله حذف و به طرف ديکر بيافزاييم.مقابله:عملي که طي آن شيءها را از دو طرف معادله اسقاط مينموده است.وي عمل حل معادله درجه يک را جبر و مقابله ناميده است.

اسلاید 4: جبر ومقابله از ديدگاه خيام:خيام علاوه بر پذيرش تعريف خوارزمي ، جبر و مقابله را علم استخراج مجهولات عددي و هندسي مي داند.وي معادله را از دو جهت حل ميکند:(1 زمانيکه مجهول يک عدد باشد.2) در صورتيکه مجهول يک مقدار هندسي ( طول-سطح- حجم) باشد.از نظر وي حل معادله شامل دو قسمت است:1) حل معادله به معنايي که ما از اين لفظ استفاده ميکنيم.2) تعيين شرايطي که بايد ضرايب معادله درآن صدق کند،تاجواب معادله صحيح باشد.

اسلاید 5: طبقه بندي معادلات:خيام اولين کسي است که معادلات درجه اول و دوم و سوم را بر اساس تعداد جملاتشان به صورت زير طبقه بندي کرده است:1) مفردات ( دوجمله اي ها ) x=a x^3=a x^2=a^2 x^3=ax^2 x^2=ax x^3=ax2) مقترنات سه جمله اي ها: x^2+ax=b x^3+ax^2=bx x^2+b=ax x^3+bx=ax^2 x^2=ax+b x^3=ax^2+bx x^3+Ax=C x^3+Ax^2=C x^3+C=Bx x^3+C=Ax^2 x^3=Bx+C x^3=Ax^2+C معادلند

اسلاید 6: X^3+Ax^2+Bx=C x^3+Ax^2=Bx+C X^3+Ax^2+C=Bx x^3+Bx=Ax^2+C X^3+Bx+C=Ax^2 x^3+C=Ax^2+Bx X^3=Ax^2+Bx=C تعدادي از معادلات قبل از خيام توسط سقراط واقليدس وخوارزمي حل شده ودر اين مورد خيام برپيشينيان خود چيزي اضافه نكرده ولي روش او كاملتر است وبه طريق هندسي ثابت ميكند x^3+ax^2=bx با x^2+ax=b معادل است.چهارجمله اي ها:

اسلاید 7: در حل معادلات نياز داريم بدانيم که:مقصود از عدد در معادلات درجه دو سطحي است که يک ضلع آن يک و ضلع ديگر عدد مفروض باشد.هرگاه گفته شود عدد مساوي مجسمي است مراد از عدد مکعب مستطيلي است که قاعده اش مربعي به ضلع 1 و ارتفاعش برابر عدد مفروض باشد.مجهول در يک معادله شيء ؛ حاصلضرب آن در خود مال ؛ حاصلضرب مال در شيء کعب و حاصلضرب مال در مال مال ِمال نامند.

اسلاید 8: از ديدگاه خيام مراتب زير معادلند:

اسلاید 9: حل مفردات:X=aداري حل عددي و هندسي يکسان و مشخص است.X^2=aحل عددي: به کمک جدول مربعاتحل هندسي: معادل کردن مربعي به ضلع x با مستطيلي به اضلاع a و 1. X^2x=سطحa a1

اسلاید 10: در شکل زير دو مثلث قايم الزاويه ABC و AHC در يک زاويه مشترک بوده،در نتيجه داريم: CH^2 = AH .HBtang( (1) )= BHA(1)(1)C

اسلاید 11: براي حل هندسي معادله x^2=a ابتدا پاره خط AH را به طول a رسم کرده و سپس HD را به اندازه يک رسم کرده وبه مرکز Hوشعاع HD يک کمان مي زنيم تا امتداد AHرا در Bقطع کند نيمدايره اي به قطر ABمي زنيم تا امتداد DH را در Cقطع کند بنابراين: X^2 = HC^2 = HB.AH = 1.a=a مساحت مربع=مساحت مستطیل aAHD CB

اسلاید 12: X^2=axحل عددي:X اگر در خودش ضرب شود x^2 حاصل ميشود و نيز حاصلضرب x در a برابر x^2 مطرح شده، بنابراين x=a ميباشد.حل هندسي :مربي به ضلع x را a برابر ضلعش مطرح ميکنيم ومعادل با مربعي به سطح x^2 قرار مي دهيم. xxx^2=ax x=a

اسلاید 13: X^3=axحل عددي :همانطور که قبلا ً بيان شد يعني با تبديل x^3 x^2 و x 1 حل معادله با حل x^2=a معادل است.حل هندسي :4x=x^3 معادل است با اينکه حجم مکعب ه ب را 4برابر ضلعش (اب) مطرح کنيم،از طرفي حجم اين مکعب برابر است با حاصلضرب سطح مربع دج در ارتفاع اب ،بنابراين بايد مساحت مربع دج برابر 4 باشد (معادل بودن با x^2=4). مدجهابxحهاب

اسلاید 14: X^3=ax^2حل عددي :به دليل اينکه اين معادله باx=a معادل مي باشد.حل هندسي : مکعب ه ب را معادل 2^(اب).a طرح ميکنيم ، پس حجم ه ب از طرفي معادل حاصلضرب مربع اج در ب د و از طرف ديگر معادل سطح همين مربع درa است، پس ب د (x) برابرa ميباشد. ه ب ج ا د ه بaاج

اسلاید 15: حل مقترنات معادلات سه جمله ای درجه دوم ومعادلات قابل تحویل به آنهاروشی که خیام برای حل معادلات درجه دوم مانندx^2+bx=a x^2+a=bx bx+a=x^2به كار میبرد همانند روشی است که خوارزمی ذکر کرده ولی خیام علاوه بر حل این معادلات به طریق هندسی ثابت کرده است x^3+bx^2=ax x^2+bx=a x^3+ax=bx^2 x^2+a=bx bx^2+ax=x^3 bx+a=x^2 معادل است با

اسلاید 16: اثبات هندسی معادلات درجه سه قابل تحویل به درجه دو خیام ابتدا سه معادله را متجانس می کند یعنی a را بوسیله سطحی و bرا به مدد طولی نمایش داده ومکعبها ی مورد نیاز را به ارتفاع x رسم می کند. ab

اسلاید 17: حالت اول: x^3+bx^2=ax x^2+bx=aحجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1) X^3 + bx^2 = axارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : X^2+bx=aمعادل است باxxxbxxxa+=(1)(2)(3)

اسلاید 18: حالت دوم: x^3+ax=bx^2 x^2+a=bxحجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1) X^3 + ax = bx^2ارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : X^2+a=bxمعادل است باxxxxx+=(1)(2)(3)abx

اسلاید 19: حالت اول: bx^2+ax=x^3 bx+a=x^2حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1) bx^2 + ax = x^3ارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : bx+a=x^2معادل است باxxbxx+=(1)(2)(3)axx

اسلاید 20: روش خیام برای حل معادلات درجه سوم:برای حل معادلات درجه سوم ابتدا خیام معادله را متجانس می کند به این صورت که:1- ضریب جمله درجه دوم (A) را بوسيله طولي نمايش مي دهد.2- ضریب جمله درجه اول (B) را بوسيله مربعی (b^2) نمايش مي دهد.3- جمله معلوم را در معادله x^3=a بوسيله مكعب مستطیلی به قاعده مربع واحد وارتفاع aو در معادلات x^3+Ax^2=C و^2 x^3+C=Ax به مكعبي به ضلع c ودرمعادلهx^3=Ax^2+c به وسيله مكعب مستطیلی که ارتفاعش a وقاعده اش مربع باشدC=ac^2)) و بالاخره در باقی معادلات به مكعب مستطیلی که قاعده اش مربع b^2 باشد C=b^2.c)) نمایش می دهد.

اسلاید 21: و پس از اینکه معادله متجانس شد قطوع لازم برای حل هر معادله را از روی ضریب معادله تعیین کرده و از تقاطع آنها جواب مثبت معادله را بدست می آورد.خیام قطوع را کامل رسم نمی کرد وشاید همین یکی از عوامل پی نبردن او به اعداد منفی باشد.

اسلاید 22: اصطلاحات:سهم : قسمتی از محور کانونی که در گودی منحنی قرار دارد.خط ترتیب : فاصله یک نقطه منحنی از محور کانونی.ضلع قائم : فاصله کانون سهمی از خط هادی که با 2p نشان داده مي شود. FF..

اسلاید 23: مقدمات:خیام قبل از شروع به حل معادلات درجه سه مقدمه ای شامل حل این سه مسئله ذکر می کند:1- حل هندسي دستگاه a:x=x:y=y:b 2- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع مفروض a^2 ومعادل مکعب مستطیلی به قاعده b^2 وارتفاع h باشد.3- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع وارتفاعش h باشدوحجمش مساوی باشد با حجم مکعب مستطیل مفروضی که قاعده اش مربع b^2 و ارتفاعش h’ باشد.

اسلاید 24: حل هندسي دستگاه a:x=x:y=y:b )تناسب متصلي) مي خواهيم دوخط a,b رابين دو خط مفروض x,y چنان بيابيم که: a:x=x:y=y:bبراي حل ازقطع دادن دو سهمی که سهم وضلع قائم اولی aو سهم وضلع قائم دومی b است استفاده می کنیم . b.y=x^2 x:y=b:x a:x=x:y=y:b a.x=y^2 x:y=y:aaybx

اسلاید 25: 2- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع مفروض a^2ومعادل مکعب مستطیلی به قاعده b^2 وارتفاع h باشد.براي حل اين معادله بايد طولهاي k,l را چنان تعیین کنیم که:b:a=a:k , b:k=l:hوسپس l را عمود برسطح a^2 قرارداده ومکعب را کامل میکنیم b^2:a^2=(b:a).(a:k)=b:kb^2:a^2= b:k=l:h (b^2).h=(a^2).l دومکعب معادلندabhbala

اسلاید 26: 3- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع وارتفاعش h باشدوحجمش مساوی باشد با حجم مکعب مستطیل مفروضی که قاعده اش مربع b^2 و ارتفاعش h’ باشد.براي حل اين معادله بايد طولهاي k,l را چنان تعیین کنیم که:b:l=l:k , b:k=h:h’وسپس l را بر h’عمود کرده ومکعب را کامل میکنیم b^2:l^2=(b:l).(l:k)=b:kb^2:l^2= b:k=h:h’ (b^2).h’=(l^2).h دومکعب معادلندabh’bh

اسلاید 27: راه حل خيام براي بعضي از معادلات درجه سه: معادله x^3=aبراي حل باید مقدار x ودر نتیجه مکعب (2) به ضلع x را چنان بیابیم که بامکعب(1) معادل شود: (1)11a(2)xxx

اسلاید 28: راه حل خيام براي بعضي از معادلات درجه سه: معادله x^3=aقطوعی که خیام برای حل این معادله به کار می گیرد : y^2=ax a:y=y:x=x:1 استفاده از تناسب متصلی y= x^2 x^3=a x

اسلاید 29: معادله x^3+Bx=C یا x^3+b^2x=c.b^2حل این معادله برابر است با تعیین X به گونه اي كه:حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1) X^3 + b^2x = c.b^2xxxbxbcb+=(1)(2)(3)b

اسلاید 30: قطوع لازم برای حل:نیمدایره ای به قطر c وسهمي به راس k وسهم y وضلع قائم bx^2=by b:x=x:y b:x=y:(c-x) x:y=y:(c-x)b^2:x^2=(y:(c-x)).(x:y)=x:(c-x)cbyx

اسلاید 31: b^2:x^2=x:c-x) b^2.(c-x)=x^3 بنا براین دومکعب معادلند.به هر دو x.b^2 را مي افزاييم :X^3+x.b^2=b^2.(c-x)+x.b^2 x^3+x.b^2=b^2.(x-x+c) x^3+xb^2=b^2.cدر واقع خیام دایره وسهمی با معادله زیر را استفاده کرده است: (x-c:2)^2+y^2=(c:2)^2 by=x^2

اسلاید 32: معادله x^3=Bx+C یا x^3=b^2x+c.b^2حل این معادله برابر است با تعیین X به گونه اي كه:حجم مكعب (3) + حجم مكعب (2) = حجم مكعب (1) X^3 = b^2x + c.b^2xxxbxbcb=+(1)(2)(3)b

اسلاید 33: قطوع لازم برای حل:سهمي به راس K وضلع قائم b وسهم امتداد b - هذلولي به راس l وسهم امتداد c وضلع قائم و مايل c(x-c)x=y^2 x:y=y:(x-c) b:x=y:(x-c) by=x^2 b:x=x:yb^2:x^2=(x:y)(y:(x-c))=x:(x-c)bcxy

اسلاید 34: b^2:x^2=x:(x-c) b^2.(x-c)=x^3 بنا براین دومکعب معادلند.به هر دو c.b^2 را مي افزاييم :X^3+c.b^2=b^2.(x-c)+c.b^2 x^3+c.b^2=b^2.(x-c+c) x^3+cb^2=b^2.x

اسلاید 35: همانطور که قبلا ًَذکر شد،خيام در حل معادلات از قطع مقاطع مخروطي استفاده مي کرده،وپکه اين قطوع را به اين صورت دسته بندي کرده: y^2+kx^2=l x=0 x^3+kBx+lC=0 X^2- y=0توجه:در اين دسته بنديهاهر يک از ضرايب m n p q l k مقادير -1 و 1 را ميپذيرد،البته k صفر هم ميپذيرد.X^3+Bx=C سهمي و دايره X^3+c=Bx سهمي و هذلولي X^3=Bx+c سهمي و هذلولي

اسلاید 36: دسته دوم تقسیم بندی ها:xy- =0Y^2+k x+l A=0 kx^3+lAx^2+C=0X^3+Ax^2=C هذلولی و سهمی X^3+C=Ax^2 دو سهمیX^3=C دو سهمیX^3+Ax^2+Bx=C نیمدایره و هذلولی

اسلاید 37: دو هذلولی X^3+Ax^2+C=Bx دو هذلولی X^3+Ax^2+Bx=C