رابطه های فازی

رابطه های فازی

اسلاید 1: فصل 4: رابطه‌هاي فازيمروری بر رابطه‌های معمولیرابطه‌های هم‌ارزیرابطه ترتیبرابطه‌های فازیروابط فازی دوبعدی و بعضی انواع خاص آنهابعضی رابطه‌های خاصتحدیدهای فازی

اسلاید 2: مروری بر رابطه‌های معمولیتعریف1: فرض کنید B×A حاصلضرب دکارتی دو مجموعه A و B باشد یعنیهر زیرمجموعه R از B×A، یک رابطه بین A و B تعریف می‌کند و اصطلاحاً گوییم رابطه دو بعدی R بر B×A تعریف شده است.مثال 1: فرض کنید A=B=R و رابطه R بر R×R به صورت زیر تعریف شوددر این صورت تمام زوج مرتب‌های حقیقی (x,y) که جمع مولفه‌هایشان پنج شود، و فقط این زوج مرتب‌ها، در R قرار دارند. مثلاً و اصطلاحاً گوییم دو با سه رابطه R را دارد، که در اینجا یعنی جمع این دو عدد، پنج می‌شود.

اسلاید 3: رابطه‌های هم‌ارزیتعریف2: رابطه R تعریف شده بر A×A را یک رابطه هم ارزی گوییم اگر به ازاء هر a و b و c از A داشته باشیم: ویژگی بازتابی ویژگی تقارن ویژگی انتقالی (تراگذری)مثال 2: اگر A=R، آنگاه رابطه ”برابری“ یک رابطه هم‌ارزی در R×R است. زیرا اولاً هر عدد از R با خودش برابر است. ثانیاً اگر x با y برابر باشد، بدیهی است که y با x برابر است و ثالثاً از برابری‌های x=y و y=z، نتیجه می‌شود که x=z.

اسلاید 4: رابطه ترتیبرابطه R را تعریف شده بر A×A، یک رابطه ترتیب (گاهی: ترتیب کلّی یا خطّی) گوییم اگر به ازاء هر a و b و c از A داشته باشیم: یا ویژگی کلیّت ویژگی پادتقارن ویژگی انتقالی (تراگذری)اگر بجای ویژگی کلیت، ویژگی بازتابی قرار دهیم، رابطه R را یک رابطه ترتیب جزئی می‌نامیم.با ترتیب جزئی ممکن است نتوانیم بعضی از اعضاء A را با هم مقایسه کنیم.مثال 4: فرض کنید A=R. در این صورت رابطه ”کوچکتر یا مساوی“ یک رابطه ترتیب است و البته یک ترتیب جزئی هم می‌باشد.

اسلاید 5: رابطه‌های فازیتعریف1: یک رابطه فازی n بٌعدی R در X به‌صورت یک مجموعه فازی از X تعریف می‌شود، یعنی:که در آن تابع عضویت R است.در حالت خاص دو بعدی به عنوان یک رابطه R در Y×X داریم:

اسلاید 6: تعریف2: فرض کنید R یک رابطه فازی دو بٌعدی در بصورت باشد. آنگاه تصویر R بر X و تصویر R بر Y، رابطه‌های فازی یک بعدی یعنی زیرمجموعه‌های فازی از X و از Y به‌صورت زیر خواهند بود:وارون تصویر،‌ توسعه استوانه ای گفته می شود.

اسلاید 7: مثال 5: مجموعه های گسسته زیر را در نظر گرفته بطوریکه R بیانگر رابطه ای روی آنها است.

اسلاید 8: رابطه‌های فازی دو بعدی و بعضی انواع خاص آنهاتعریف1: فرض کنید R یک رابطه فازی در Y×X باشد. قلمرو R و برد R را به ترتیب با dom(R) و ran(R) نشان داده و به صورت مجموعه‌های فازی زیر تعریف می‌کنیم:تعریف2: فرض کنید R یک رابطه فازی Y×X باشد. معکوس R، رابطه فازی بر X×Y، با تابع عضویت زیر تعریف می‌شودتعریف3: فرض کنید R یک رابطه فازی Y×X و S یک رابطه فازی در Z×Y باشد. آنگاه ترکیب Rو S‌ یعنی ROS یک رابطه در Z×X است که بصورت زیر تعریف می‌شود

اسلاید 9: مثال 6: فرض کنیدو رابطه های فازی دو بعدی R بر X×Y و S بر Y×Z بصورت ماتریس های زیر تعریف شدند:در اینصورت ROS یک رابطه فازی دو بعدی روی X×Z با ماتریس رابطه زیر خواهد بود:

اسلاید 10: تعریف4: فرض کنید R یک رابطه فازی در X×X باشد، آنگاه گوییم (الف) R بازتابی است، اگر برای هر (ب) R متقارن است، اگر برای هر (یعنی معکوس R با خود R برابر باشد.) (ج) R انتقالی (تراگذر) است، اگر * انتقالی بودن رابطه R به بیان روشن‌تر یعنی

اسلاید 11: قضیه1: اگر بازتابی و یک رابطه فازی دلخواه باشد، انگاهاگر R بازتابی باشد، آنگاه .اگر بازتابی باشند، آنگاه نیز بازتابی است.اگر متقارن باشند، آنگاه نیز متقارن است به شرطی که .قضیه2: اگر R متقارن و انتقالی باشد، آنگاه برایاگر R بازتابی و انتقالی باشد، آنگاه .اگر انتقالی باشند و ، آنگاه نیز انتقالی است.

اسلاید 12: رابطه‌های هم‌ارزیقضیه 3: فرض کنید R و S و T و U رابطه‌های فازی دوتایی به‌ترتیب در Y×X و Z×Y و W×Z باشند. آنگاه عمل ترکیب دارای ویژگی‌های زیر است: ویژگی شرکت پذیری ویژگی توزیع پذیری نسبت به اجتماع ویژگی توزیع پذیری ضعیف نسبت به اشتراک ویژگی یکنوایی تعریف5: فرض کنید R یک رابطه فازی در X×X باشد، گوییم(الف) R پادبازتابی است، اگر برای هر .(ب) R پادمتقارن است، اگر برای هر که ، (ج) R کاملاً پادمتقارن است، اگر برای هر که آنگاه.R(y,x)=0

اسلاید 13: بعضی رابطه‌های خاصتعریف6: گوییم رابطه فازی S، تعریف شده بر X×X، یک رابطه تشابهی ات، اگر S بازتابی و متقارن و انتقالی باشد.تعریف7: اگر S یک رابطه تشابهی باشد َS=D (متمم S) یک رابطه پادتشابهی نامیده می‌شود. ثابت می‌شود که در این صورت D، پادبازتابی، متقارن و انتقالی است. * توجه: D(x,y) را می‌توان به عنوان یک تابع فاصله درنظر گرفت.قضیه4: اگر S یک رابطه تشابهی در X×X باشد، آنگاه هر α-برش S، Sα یک رابطه هم‌ارزی در X است. و بالعکس.

اسلاید 14: تحدیدهای فازیتعریف1: فــرض کنید متغیری n-بعدی تعریف شده بر باشد. یک تحدید فازی R(V)، یک رابطه فازی R بر X است که به صورت یک محدودیت منعطف بر مقادیری از X که می‌تواند به متغییر V نسبت داده شود، عمل می‌کند.تعریف2: تحدید فازی n-بعدی را (تفکیک پذیر) گوییم اگر ، که در آن × علامــت ضرب دکــارتی است و بیانگر تصویر R بر است. به عبـارت دیگر R جدایی پذیر است اگرتعریف3: گوییم متغیــرهای تحت تحدید غیرمؤثر بر هم‌اند اگر تحــدید R، تفکیک پذیر باشد. مفهوم مؤثر بودن و غیرمؤثر بودنِ دنباله‌ای از متغیرها، مشابه مفاهیم وابستگی و استقلال در حـالتی است که جنبه تصادفی و احتمالی متغیرها بررسی شود.

اسلاید 15: مثال 7: فرض کنید X1={1, 2, 3} و X2={1, 2, 3, 4} باشد. دو تحدید فازی R1و R2 را بر X1×X2 بصورت زیر در نظر بگیرید: 0.6 0.8 1 1 0.6 0.8 1 1 R1 یک تحدید فازی تفکیک پذیر نیست اما R2 یک تحدید فازی تفکیک پذیر است. زیرا R1(2,1) = 0.4 ≠ min{1, 0.6} = 0.6مثال 8: فرض کنیدX=Y=R دو تحدید معمولی R2, R1 روی R×R بصورت زیر باشد:R1= {(x,y); 1≤x ≤3 , 2 ≤y ≤4} , R2= {(x,y); (x-2)2 + (y-3)2 ≤1}در رابطه (تحدید) R1 تغییرات x‌ بر تغییرات y موثر نیست ولی در R2‌ تغییرات x و y‌ برهم موثرند به عبارت دیگر داریم:R1 = R1(x) × R1(y) , R2 ≠ R2(x) × R2(y)