روش سختی در تحلیل ماتریسی سازه ها

صفحه 1:


صفحه 2:
تحلیل ماتربسی سازه ها ‎Matrix Structural Analysis‏ کریم عابدی 

صفحه 3:
فصل سوم: روش سختى در تحليل ماتريسى 0 

صفحه 4:
فصل سوم- روش سختی در تحلیل ماتریسی سازه ها ۱- مقدمه: -گفتیم که اگر هدف اصلی تحلیل سازه. تعیین تغییر مکان های دو انتهای عنصر یا به عبارت دیگر ‎e ema sy pars rents Comet gS Fae pe eo pene Sg ey‏ ۱ لي ا ل ل ‎aM‏ ا 0 ‎gaa foe =‏ ا ا آزادی کل گره های سازه می باشد. - بنابرلين در روش سختى ابتدا تغيير مكان هاى نقاط مشخص به طور أخص در كره هاى سازه تعيين می شود و سپس نیروهای داخلی محاسبه می شوند. - در روش سختى معادلاتى بين نيروها و تغييرَ مكان هاى شازه در ذو سطح عنصر و كل مازه أيجاد SS 

صفحه 5:


صفحه 6:
‎He gs‏ روش ست: - جسم تغییر شکل پذیری (۵00۷ 06۲0۳۳0۵0۱6 را در نظر بگیرید که تحت اثر نیروهای ,۴ قرار 7« ‏سازه مى بأشدند كه انيزوهاى ,5 بر آن نقاط وارد فى شرنلا ‎OL‏ ا ا ا ل ل 00 ‎ ‎ ‎ ‏لس باقن ‏- با توجه به فرض ‎ ‏ا ا ل ال م ا ا ا ا 02 ‎RSS‏ ‏حت ا ‎ 

صفحه 7:
۱ ‏م ا الل ا ا‎ ees kobe ‏که سایر تغیبر مکان ها ثابت نگه داشته می ااه‎ ل ‎aia | ap‏ 2 خواهیم 0 

صفحه 8:
- اگر مجموعه معادلات مذکور را به فرم ماتریسی بیان کنیم خواهیم داشت: شامل تغییر مکان های نقاط امات راس مربعئ 0 گرهی (به انضمام تفیر سیستم (به انضمام ‎re ees 000‏ -پس کل مسأله به تعیین ماتریس مربعی مذکور- یا تعیبن اعضای حل این معادلات ماتریسی برمی گردد. Co ‏ا‎ 

صفحه 9:
۱ Sree ce eee tO Foto OA, oP, OA, oP, OA, ‏مه‎ ‏وه‎ oP, 06 وه مگ م2۵ 

صفحه 10:
۱ a et ee di ‏تغيبر مكان كوجى ,ل وارد شود و از تغيير مكان‎ ١ ‏اكر در نقطه‎ ‏ا ل ا‎ ۱ 1 eee و اگر در نقطه ذ تنیر مکان کوچک ۸ وارد شود و از تغیر مکان تام تقاط کی وه ‎ee Sp RCE Eee ED‏ ا ی برای ‏نیروی لازم برای ایجاد تغییر مکان ۱۰-9 ‎K, ‎ ‏جلوكيرى از تغيير مكان نقاط ديكئر به ترتيب عبارت خواهد بود: ‎ ‏و برابر واحد باشد, در لین صورت ‏واحد در نقطه 1 خواهد بود و نیروی مورد نیاز برای جلوگیری از 1 ی ‎OA,‏ ‎ ‎ ‏نیروی مورد نیاز برای جلوگیری از 7 خواهد بود. ‎ 

صفحه 11:
رمه خواهیم داشت: مج 7 نیروی تعمیم يافته مورد نياز براى ايجاد تغيير مكان تعميم يافته واحد در كره فك وقتى كه ثابت لكه واشته شوند. 

صفحه 12:
- بنابرلین یک روش برای تعیین ماتریس سختی ساره بلین صورت اس كه در هر دفعه تغيير مکان واحد برای گره ها (برحسب نوع سازه. منلا برای رت سییر من رح مر وت کرد و تغییر مکان واحد در جهت ۷ها-برای خریای فضلی ۰ عدر ره جهت ها و تد واحد در جهت الاهااو تغيير مكان واحد ذر جهت ار سا ‎Pas nove PROB PERRYS AOE‏ ا ار لا را رس ۳ ال ا ا ‎Pea‏ ‎٩‏ P =| P; |,A; =|Ay i 1 M, 0 2 Zi 

صفحه 13:


صفحه 14:
ی ‎PICS nO or‏ ب) به صورت ساده تر و مؤثرتر ‎CSS SS‏ الح ا 3 3 2 اتود ‎oO‏ 

صفحه 15:
رح رل ی 000 ‎ee cate Pea‏ ال ی ار ی ‎ ‎ ‏ی سه بعدی فیزیکی, بردار مشخص تغییر مکان ها در یک گره دارای شش مژلفه مستقل است؛ سه ملفه خطی و سه مولفه دورانی: ‏< دستگاه مختصات کلی زیر را در ریت 2 ‎“Globai Coordinate‏ ‎ ‎ 

صفحه 16:
‎eo ee‏ ل ا 1 ا ‎BUSES Ses ree Ou seer ge One Ee‏ ‎ces‏ ب ل ل ۱ ‎eee el ee CES‏ و زد ۱ ‏بیر مکان در سایر امتدادها (در دو انتهای عضو) ایجاد می گردد. ‎ ‎ ‏- به نظر مى رد اكه اولاً محاسبه ماتريس سختى عضو به طور مستقيم در دستكاه مختصات كلى ‎core‏ ا ا ل ل ‎0 ‏و ال ا الا‎ ey Ea 00 ‏شده و الزااً نشانگر نیروی محوری, برشی و یا‎ ٩ ee eae cae ‏ا ا ا ا‎ le] ‏تبدیل مختصات ضروری خواهد بود.‎ ‎ ‎ ‎Sa OP Para‏ را ی ی ا ا مخصات مخلی تم ‎ee ee‏ تبدیل مختصات روی آن انجام گ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 17:
۱ ‏و رک مر‎ pe ane coe en ee ee ge 935 4b ij (Longitudinal Axis) ‏ور * منطبق بر محور طولی عضو‎ 

صفحه 18:
مکان های حاصل در و ار ‎ous 3‏ نيروها 4 ال ا ‎eS ier pp‏ باشید مقدار میت 00 صورت متقى ختواهند بود ‎ey‏ اك را به دست می آوریم. ‎ ‎ ‏إن با استفا ‎ ‏| به گره اغمال می کنیم) ‏تغییر مکان محوری (,0) در جهت محور ر ‎ ‎ ‎ 

صفحه 19:
تغییر مکان (,ق) در جهت محور ۷ ؛ در صفحه ‎Xey‏ 

صفحه 20:
دوران (,8) حول محور ز؛ در صفحه سیر ‎ee 1D)‏ 0 به گره [اعمال می کنیم) ‎ ‏ی قضیه متقلبل ماکسول, نیروهای حاصل در انتهای از عضو لا تحت لثر یک ت هاى حاصل در [[ تحت لثرّ همان مقدار تغيير مكان ذر ‎NOMINS‏ 0 ‎ ‏ا ‏(از نظر عاد ‎ 

صفحه 21:
Same 

صفحه 22:
نيروهاى ناشى از تغيير نیروهای ناشی از تغییر مکان گره ژ ی را ees 00 Pere era ep ۱ ee Fee nape ۱۲ ne 3 006 ‏كان‎ ‏نیروهای‎ > ‏گره ز‎ ‏معادله ماتریس سختی عضو در دستگاه مختصات محلی نامیده می شود.‎ ذا ا زملنی که عضوی از سازه دارای شش درجه ازادی نباشد. بعضی از سطرها و ستون های ماتریس ‎PEs rey errr) ere are Ren ces In oan pape cat peomernes‏ ۲( ‎ene eer aay eer‏ 9 - براى اغضاى شبكه ها كه داراى سه درجه آزادى هستند: فقط سطرو ستونهاى ‎POSER‏ ,155,51 ا 0 - براى خرباها فقط سظر و ستون مربوط به لِلمورد نياز خخواهند بود. 

صفحه 23:
2 ‏سر ری ند با‎ we eyes (Matrix ‏ا تا و( ی ی با‎ CECE One ere od (pees earns ‏در تشکیل ماتریس سازه از دو اصل مهم استفاده می شود:‎ - الففت) اصل.سازكازى تغيير مكان ها در كره اق ار ب) تعادل در گره های سازه - اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه ایجاب می کند که: بهعبارت ديكر تغييرمكانهاى انتهاى اعضاى متصل به يك 97571957235 كان إن كره مى باشد. ‎eat ee SBMS eae orang‏ ات ل ‎Stacey‏ ا ا خارجی موثر در آن گره باشند. ارجى موثر در آن كره ب برقو + رق هات رو - در دستگاه مختصات محلی داریم: اگر دستگاه مختصات محلی رابه عنوان د: مختصات قدیمی در نظر بگیریم خواهیم داشت: ا ‎Looe SDI pee Sato nea‏ ا ل ور 9010 محلى (2لا») (در كره أ) تبديل مى كند. ماتريس دوران :88 ماتريسى است كه يك بردار را أز دستكاه رت رش لس 

صفحه 24:
- از جايكذارى در معادله مورد نظر داريم: | RB, =Ki RA, +k R,A,= ال" 7 لل رای حلي 4 8)- 89 أ 6-8 , Ky =Rk,R, - فرم دقيق ماتريس ,18 براى انواع مختلف سازه ها بعداً ارائه خواهد شد. ‎ o ar ec oy ae SESS) Cle‏ و سازگاری تغییر مکان ها داریم: ۰ | وليك1 + ۰۰۰ ور شروک + ر شک + رش( + .۰۰+ و + لل)< ۲ 05 0 ‏م‎ Crs SCR By Ono Sd 

صفحه 25:
K, K;, Ky ky Kp =| Kon K, 0 mm وك وس و وك وس 1 ماتريس سختى بردار نيروهاى معلوم سازه در وارد بر كره هاى آزاد و نيروهاى مجهول در تكيه اکنون کاملاً روشن می شود که چگونه می توان ماتریس سختی سازه را تشکیل داد (در یک برنامه کامپیوتری تحلیل ماتریسی سازه ها). 

صفحه 26:
للف) ابتدا تمام ‎etre eS ECS near naes‏ رت رز مر سر رد مر ۱ eee nee ean) Ee) ey ese) dey SEs ces GON) FERRE op pe ee ieee ants ie ‏ا‎ bed SSS ‏تس .ار‎ eae ie eed er ee Ce are ازشكر مى كردد. عرض نوار ماتریس و در نتیجه باعث صرفه جویی در انار کردق اطلاحات ۶ 3 ‎Coon Co)‏ و ار ار ب) مختصات كره ها.در دستكاه مختصات كلى را به عنوانٌ را ‎ ‏دی وارد می دهیم. ت) ابتذا ( 1) و انتهاى ([) هر عضو را به عنوان ورؤدى واردافى كليم ‎ ‎PERN‏ ا ا 7001 ارس کی زمر رم بر گره ها را در دستگاه مختصات کلی به عنوان ورودی وارد می کنیم. ‏اج شرایط تکیه گاهی را در دستگاه مختصات کلی به عتوان ورودی وارد می کنیم. ‎eee 5‏ ری ار ل ‎ED) 5‏ شد رما ها ات سار ‎BES es ‏ج) بارهای‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‏ره ‎le eae TER)‏ کر کرک کی رس ترس سر ‏0 4 نک رکارکظع رک ‎Le OO‏ ‎ ‏دستگاه مختصات کلی )): 

صفحه 27:
فر تعريف مى كنيم (با 8 »ا 0( يلوى ماتريسى ae a 7 ‏الاريك‎ 0 sPeKe 3 00 ‏ل‎ ys 

صفحه 28:
۵- اعمال شرانط مرزی: (6۵1۱610۳5 ۵۱۱۵1۲ ‎(Imposition of‏ Be eee) omc ‏ا‎ SS ener ‏صفر است) و نشانكر اين واقعيت مى باشد كه سازه بدون تكيه كاه نايايدار استء‎ - معادله ماثریسی ۵ یک دستگاه معادلات مختلط می‌باشد که در هر در طرف اد لقا لتر ‎SS els ed‏ - بردار نيروى تعميم يافته .در طرف جب اين معادله شامل نيروهاى خارجى معلوم موثر بر كره هاى آزاد سازه و نیز حاوی عکس العمل های مجهول نیز می باشد. کر ‎EEG TV NSPS‏ تغييرمكان هاى معلوم كيه كاهى (برابر صفر براى تكيه كاههاى بدون نشست» برابر مقدار مشخص براى حللت نشست تكيه كاهى. به صورت تابعى براى تكيه كاههاى ارتجاعى) مى باشد. ۳ - فرض كنيد كه ماتريس سختى سازه به كونهاى تنظيم شده است و اس كره هاى تكيه كاهى (تغيير مكانهاى معلوم تعميم يافته (برابر صفر)) باشند و كره هاى 1 +10 تا 8 نيز بيانكر كرههاىآزاد سازه باشند(:«دك , تاك مجهول). بنابراين نيروهاى تعميم يافته 19 نا روط ببانكر ‎ie WSS BS Cea con re an ee anges ed‏ ا ا می باشند. 

صفحه 29:


صفحه 30:
Cg ees ON) ey) Ons a ‏ل‎ aes ee ‏نیروهای خارجی معلوم موثر در این گره ها مرتبط می سازد.‎ ‎Ce eC es ae‏ ال اد اى معلوم صفر سازه در.تكيه كاه ها به دست مى آيدء ‏- به عبارت ديكر به اين طريق شرايط مرزى نیز ارضاء می‌شوند 801071 عطا وصنگعناه۹ ی ‎Imposition of Boundary)‏ ی ‎coy‏ ا ‎EP pe‏ و مربوظه انجام مى كيرد ‎ ‎HS Snore eae ce‏ ا ی ‏كه مربوط به تغيبر مكانهاى ثلبت معلوم تكله كاهى مى باشند ۰ را در یک عدد بزرگ مانند م ا ا ا ل ل ا ا ‎ ‎aS‏ ل ا ول شك خيشيك! خركرك) - 28 ‎tag‏ 5 3 ‏)525 ار ‎ 

صفحه 31:
‎Tee pegn Ew a‏ ا اه ‏- خرپاها سازه‌های متشکل از اعضاء مستقیم نسبتاً لاغر هستند که توسط گره‌های مفصلی بدون اصطکاک ‎Bele es ee eS SC CS pee SES TTS OBOE ET‏ ‎epee pgs | yen eee lee as A Ps Ce iSO ENE Caren OES 00 Cee ie aS ca ‏ایده ال و یک خرپای حقیقی در لین است که اعضای خرپای‎ ‏نیروی برشی و لنگر خمشی نیز قرار می گیرند. هرچه لاغری اعضای خرپا بیشتر می شود. این تفاوت کمتر‎ ‏مى شود‎ ‏-مى توان خرياها رابا فرض كرههاى صلب نيز تحليل كرد. لين جنين تحايلى با درنظر كرفتن سختى هاى ا ل ۱ دهد ‎ ‎0 IE SY Oe ARNE Ra Sane oar ‏نتایج با دقت بیشتری خواسته شده باشد.‎ ‏- در اینجا صرفاً به تحلیل خرپاهای ایده ال خواهیم پرداخت. ‎ 

صفحه 32:
"5 (A,,A,,A,) ی هر عضو [ خرپا فقط محور محلی «را در نظر مى كيريم 1 ane in Ste erin Ce meee Ce) 

صفحه 33:


صفحه 34:


صفحه 35:
- برای حالت خرپای دو بعدی مسطح داریم: 4 - بعد از تشكيل ماتريس_سختى و اعمال شرليظ. مرزى و حل معادلات مى توان بردار 43 را كه شامل ‎a || Te Sy a Cee Coe‏ ی رف + فرع رت FCT yaaa (orca aes CVE نبروهاق أغضائ خريازا به دلت أورلا 2 Gee BE EPS Os Se (espe Ieee ere) Per eee eas eae شروک ‎ae Coane Cr‏ ا رای ‎ae‏ ل ال لا بماك ES SSRN SS 

صفحه 36:
یک گره ‎a cod‏ 0 ‎org PS‏ ا ‎pes‏ را را ‎ ‏را در نظر خوامیم کرفت که ار ‎oo 3) Ee‏ ‏-وضمیت مورهای مت ۱۱ ‎ 

صفحه 37:


صفحه 38:


صفحه 39:
ت) به همان روال قبلى ماتريس سختى سازه را تشكيل مى دهيم. ‎eer‏ ا مرزى و حل معادلات مى توان بردار لك را كه شامل تغيير مكان هاى تعميم يافته كرههاى آزاد سازه است. به دست آورد. بعد از تعيين وله وق ...., رلك ....,ررك مى توان نيروهاى انتهاى ‎2 ‎GOONER ‏ل 0 نیروی * | .ظ | نیروی برشی * رب ‎TPe AG‏ ۳ ‎eee ey‏ ا ‎Oe‏ 0 رابا استفاده از تغییرمکان های تعمیم یافته و با استفاده ال ا ا ‎Coe‏ لا ‎ane Ore‏ لكي ل كا كا ا ‎ ‎ ‏- برای بررسی تعادل گرهها از رابطه زیر استفاده می کنیم: ‏بط 27 22 17 ‎ ‏0 ‏ححا حي ا 

صفحه 40:
(Grids) Us assi Joti -A - در قاب هاى مسطح بارها در صفحه قاب وارد مى شوند. به عبارت ديكر مثلاً كر قاب مسطح در ‎area‏ 6 ا ا ا ‎pe Apres meres‏ 50 - شبکه ها قاب های مسطحی هستند که در آنها پارها بصورت قلئم بر صفحه سازه لثر می کنند (بحثی در مورد ملفه های نیرو در قاب های فضلیی). به عبارت دیکر مثلا اگر شبکه در صفحه ۶۲ باشد در لين صورت نيروهاى وارد بر كن در امتداد مخور ها و لتكرهاى وارده حول محورهاى ]ا , لآ خواهد بود -با توجه به لین که بارهای خارجی قلئم بر صفحه سازه لثر می کنند» لذا تفیبر شکل های محوری قابل صرف نظر کردن می باشند. PROB) reser ‏ا ا ا ا‎ te Coeur ue D> at Occ Ser ES eeu ‏لت‎ ‏بامولفه‌های ,0:0 قرار می گیرد.‎ شکل یک گره به صورت [,۵ ,0 , بر] قلبل بیان است. مشروط پر لین که صفحه 4 بنابن لين تغبير 

صفحه 41:


صفحه 42:
0 0 1 مضه مومه 0(< 

صفحه 43:
‎ea Pe Sree Se‏ ره ا ا © و کی اه ‎ ‎ee eae Le RULERS ra ‏بعد از اعمال شرليط مرزى و حل معادلات مى توان بردار للك زا كه شامل تغبير مكان هاى تعميم يافته‎ - ٩ 3 ‏أعضا‎ ‎ ‏به دست آورد. ل ا برش < یط ‏ا 0 لنگر خمشی * ,|23 ‏- همجنين مى توان عكس العمل هاى تكيه كافى ‎ese eres epee is tS rele)‏ استفاده ل 11 ا ‎GH.‏ ا ا ‎eC Sa LO CRP SE RC‏ ل ا ‎ ‎SS ‏امح‎ 

صفحه 44:
‎Se eas‏ رم ‎oy 7 3 ۳2 | ‎9 ۳ ‎Bee‏ | ماع ره بط ,0 ‎CaP ‏وص‎ ‎Px ‎& ‏0 ‎M,‏ با رم 4 ‎ ‎ 

صفحه 45:
- مراحل تشکیل ماتریس سختی قاب های صلب سه بعدی. در هنگامی که تشکیل ماتریس سختی سازه برای حللت کلی در ابتدای لین فصل شرح داده می شد. ارلثه گردید. نکته ای 3 در ۳ ۳ نمی ماتریی دور ۲۹ ۸۷ ۳- بر بر رک < ‎Cy ri a‏ بو كا ریگ رط ‎=RyA, 5‏ ره ‎wt Gulls js 5 ayy 5 ‏مشخخص است كه ماتريش دوران فک ارم اه‎ - ‏طورت زیر را داود؛‎ ‏م ا لت‎ 0 0 cos(y,X) cosy,Y) cosly,Z) 0 0 0 00 ‏ل‎ (am (74m 0 0 ۳ 0 0 ۱ cos(x, Z) 0 0 0 ‏راومه‎ (۰. cosly,¥) cosy, Z) 0 0 0 oslz,X) c0s(z,Y) cos(z,Z)], ‏بط 

صفحه 46:
- ( ,00502 ,( ا « نسبت ابه محورقاى مر دک سب << ( راومه eu, 64 ‏دی رای‎ at ea er ee Papi ‎eee hea‏ مر ‎Ie SEI Lo DU)‏ رت 4 مب مسر ر ‏رانتيجه يدهد: 0 ‎i 2 CRE ne‏ ال اس علص + نوم + /لد بر ‏هط ۲+ 06+ ا ا ‎ ‎5 ‎a ‏بنابراین کوسینوس های محور محلی ۲ عبارتند از: و97‎ - 

صفحه 47:
-حال می توان کوسینوس های هادی محور 2 را نیز بدست آورد: م مر مور ول م ول مور هر زور 2 2, عالط + [ ‎er‏ سكج = ‎aie Te‏ ال mo-nl ‏لت سس مد مم بمص لت لت روم‎ - پس ماتریس دوران به صورت زير بدست می آید: 3 crn ۱ ‏ا 0ك ل‎ pede 0 ‏محورمحلى : منطبق بر محور 7 كلى نشود ده‎ ‏چرا که در این صورت عضو موازی محو: م‎ 34 a a) ۸1 eee all Ue eA eri) 

صفحه 48:
Dee ee ete Ae nC Ee eae aaron cre ‏مى توان به عنوان محور لا از دستكاه مختصات كلى انتخاب كرد‎ بن صورت داریم: 

صفحه 49:
- در قاب های سه بعدی مسأله خاصی ایجاد می شود که عبارت است از عدم انطباق محورهای ‎ey eh eee epee‏ 1 ولقع تفاوت بين محورهاى مختصات محلى (2 ,'[ ‎ae:‏ سس( ‎oer rel ered ee Eee Ce‏ را 032 2 ۱ لسن محورهای ‎epee‏ ‎ceca‏ ل ‎SV‏ را ات ی ‎i‏ (جدید) (قدیم) 3 

صفحه 50:
‎eo‏ لم ‎A a es ei‏ ۳ 2 تس نز ریک + کر < ‎8 0 2000000 ‏ی : ل كا ‏یس نیت ار رن کات اسر و محلی بر همدیگر منطبق شوند ور رس ارات سا نس رد ‎aC CIs ee‏ ل ‎NC a‏ لب مرت سس سل مرت ۶ مختصات كره ها ‎4 ee ei ‏" زاویه 6 برای هر عضو 

صفحه 51:
۰- خواص ماتریس ‎(Properties Of tie Stitiness Matrices) 4 cl‏ لق ا ی ره ‎a ee‏ الك 3 رک 2< (رظ له )د ‎Es)‏ TS Se al SPOS RON ‏قبلا‎ eae eu 9 33 8 rag تم ‎GaN‏ ‏09 

صفحه 52:
ا ا ا ا ا لاا ‎reser geen‏ الي ا ‎(Definite‏ - ابتدا باید تعاریف زیر را بیان کنیم: 2 ‏ماتريس منبت- معين: ار و‎ -١ ‏بردار دلخواه غيرصفر (8) يكى مقدار مثبت مى باشد: . فى توان اثبات نمود كه دترميئان‎ ‏ماتريس له مثبت است [0< إلم‎ ال ا ا ال ل ا است که پیش ضرب و پس ضرب آن بایک بردار دلخواه غیرصفر (0) ماوی صفر می باشد می توآن اثبات نمودكه دترمينان ماتريس 4ه صفر انك |0- إيهر ‎ee‏ هه يق الا ا یک بردار دلخواه غیر صفر () یک مقدار منفی می باشد. می توان اثبات نمود که دترمینان ماتریس ۸ صفر است: |0> هر ‎ ‎ ‎۱ (sep we lees ee) rs en ‏ا ا‎ el elroy ‎ ‎ ‎yeaa eae ‏ی ‎ea‏ ‏(جون 2 ‎ ‎a any eee‏ اد ‎KISO!‏ ‎ ‎ 

صفحه 53:
Le U=SA7K A=0 2 BENE Ce ‏و‎ ‏ل ا‎ Oe SC ‏ل‎ انجام دهد. يادآورى مى شود كه براى يك جسم صلب دار ا ل ا ۰ ا 0 ا ل م ل ل ل ركم ۳ ‎ee‏ ت) مى توان نشان داه كة عيجكدام ی و إن اك ‎sae‏ ‏در این صورت ۰1:۶ مثبت معین می باشند: 0 

صفحه 54:
- به همين ترتيب مى توان ثابت كرد كه 40 نيز يك ماتريس مثبن- معين انت. =K,A, = |K,|>0 ieee A SS ‏که رل‎ ها دراه بل ‎7265١‏ 1 باعل شرایط مرزی) منت می باشند ث) ماتریس های مین و نامعین را به صورت زیر نیز تعریف می کن ‎ON Ogee eee‏ ال ا ل 2010 ار ی اد 9 ( .یکی از ویژه مقادیر ماتریس و "یکی ال یادا تقین(۳322 ۳106060 ماتریس 1 می ا ‎SAR a‏ ا 0 كاي 

صفحه 55:
که برای ماتریس سختی (قبل از اعمال شرلیط مرزی) داریم |0-|6 بنابرلین یکی یا a 

صفحه 56:
ج) ماتریس سختی بصورت ماتریس نواری است. به عبارت دیگر عناصر غیر صفر در اطراف قطر ‎Rees yes Cay Ces acl ain wos nea See ie pees ceo‏ شود که تفاضل بین دو شماره مشخص ل ا ‎oo.‏ یعنی تفاوت بین دو شماره مربوط به یک عنصر حتی المقدور مینیمم مقدار ممکن را داشته شماره دو انتهای اعضاً اوت)«۲]- عرض نوار ماتر لكان 

صفحه 57:
٩ ‏و‎ Pen e ene