ساختار حالت های مقید

ساختار حالت های مقید

اسلاید 1: بسم الله الرحمن الرحيم

اسلاید 2: فصل 10 ساختار حالتهای مقيد

اسلاید 3: چاه پتانسيل کروی معادله شرودينگر برای يک ذره در پتانسيل W :شکل کروی لاپلاسی:درنتيجه:

اسلاید 4: چاه پتانسيل مربعیشکل پتانسیل: جوابهای معادله برای r‹a:Sin(kr) و Cos(kr) است از آنجا که بايد U(0)=0 باشد درنتيجه Cos(kr) غير قابل قبول است. در E<0 داريم :

اسلاید 5: چاه پتانسيل مربعیاگر از u نسبت به r مشتق بگيريم و حاصل (u´) را به u تقسيم کنيم و دو معادله را در r=a مساوی قرار دهيم داريم:همچنين:دو مقدار α را مساوی قرار می دهيم . معادله حاصل را برای k حل می کنيم. تعداد حالتهای مقيد بدست می آيد.

اسلاید 6: تعداد حالتهای مقيدرسم نمودار برای سه حالت :V0=1 V0=5 V0=25

اسلاید 7: تابع موج برای V0های مختلف:a=1 u(r) :r<a , u(r):r>a همانطور که انتظار می رفت وقتی V0 کوچک باشد u هم کوچک است. Ψ2 ،احتمال حضور ذره با افزايش V0 افزايش می يابد و در نتيجه در r<a بيشتر است. در r>a تابع موج . احتمال حضور ذره صفر شده است.

اسلاید 8: Halo State10Ben9LinnHalo nucluesشعاع ريشه ميانگين مربعی مربوط به انرژی پايه حالت مقيد نسبت به عمق چاه پتانسيل . واحدها عبارتند از : ħ=2m=a=1

اسلاید 9: اتم هيدروژن هاميلتونی اتم هيدروژن:تعريف مختصات نسبی و مرکز جرم مکان :و اندازه حرکت :

اسلاید 10: اتم هيدروژندر نتيجه با استفاده از مختصات نسبی هاميلتونی اتم هيدروژن به شکل زير در می آيد:

اسلاید 11: اتم هيدروژنحل معادله شرودينگر در مختصات کروی: می توانيم از جداسازی زير استفاده کنيم:بنابراين داريم:به ترازهای انرژی می رسيم:

اسلاید 12: دستگاه مختصات سهمویدر دستگاه مختصات سهموی سه پارامتر( ξ,η,φ) را داريم:معادله شرودينگر بصورت زير در می آيد: در نتيجه:

اسلاید 13: از حل معادله فوق ترازهای انرژی به شکل : بدست می آيند. =حال حالت پايه اتم هيدروژن را در دو دستگاه مختصات کروی و سهموی مقايسه می کنيم.چون نتيجه به دستگاه مختصات بستگی ندارد هردو با يد يکسان باشد ؛دستگاه مختصات سهموی

اسلاید 14: با استفاده از روابط عدم قطعيت می توان اندازه و انرژی حالتهای مقيد را تخمين زد. رابطه عدم قطعيت:برای اتم هيدروژن نتيجه می دهد:با مینيمم کردن انرژی نسبت به r داريم:بر آورد از روابط عدم قطعیت

اسلاید 15: بر آورد از روابط عدم قطعیت

اسلاید 16: حالتهای مقيد غير عادی طيف انرژی يک پتانسيل معمول پيوستاری از حالتهای غير مقيد با انرژی مثبت و حالتهای مقيد گسسته با انرژی منفی است. جوابهای معادله زير حالتهای مقيد گسسته بر پايه پيوستاری از انرژیهای مثبت می باشند. به شرط آنکه انتگرال:وجود داشته باشد. تابع اندازه حرکت ذره آزاد در اين معادله: صدق می کند:ولی انتگرال پذير مجذوری نيست. *

اسلاید 17: حالتهای مقيد غير عادی برای رفع اين مشکل Ψ را به شکل زير انتخاب می کنيم:f(r) با يد سريعتر از r-½ به بی نهايت ميل کند.با جايگذاری معادله فوق در معادله * داريم:f΄(r)/f(r) بايد در نقاط مجانبی cot(kr) صفر شود.f(r) را تابعی از s(r) می گيريم: **

اسلاید 18: حالتهای مقيد غير عادیs(r) بايد دو ويژگی داشته باشد:1)انتگرالده غير منفی باشد تا s(r) تابعی يکنوا از r باشد. 2)انتگرال متناسب با sin(kr) باشد تا ds(r)/dr در صفرهای sin(kr) صفر شود. فرض می کنيم: پتانسيل ** به شکل زير در می آيد:در r های بزرگ :انرژی حالت مقيد:

اسلاید 19: تئوری اختلال حالت پايا معادله ويژه مقدار : حالت غير اختلال برای λ های کوچک داريم:

اسلاید 20: ويژه بردارهای H0 يک پايه اورتونرمال کامل را تشکيل می دهند که شرط <n|n΄>=δn,n΄ را برآورده می کنند. از روابط (57-10) و (59-10) و(60-10) نتيجه می گيريم:

اسلاید 21: موارد غير تبهگنفرض کنيد ويژه مقادير H0 در(58-10) غير تبهگن هستند:از رابطة (63-10) نتيجه می گيريم:

اسلاید 22: از روابط (60-10) و (63-10) نتيجه می شود:که برای همه مقادير λ معتبر است پس بدست می آوريم: (برای r>0 )از روابط (58-10) و (65-10) نتيجه می شود:

اسلاید 23: و بنابر اين سهم بردار ويژه درجه اول عبارتست از:يک تعريف مناسب از کوچکی برای اختلال اين است که عنصر ماتريس وابسته <m|λH1|n> در مقايسه با مخرج انرژی مربوطه (εn­εm) کوچک باشد. از (61-10) و (64-10) داريم:سمت چپ اين تساوی صفر است چون H0 می تواند بر چپ عمل کند تا ويژه مقدار εn=En(0) را نتيجه دهد از رابطه (68-10) و برای r=2 داريم:

اسلاید 24: مثال: نوسانگر هماهنگ مختل هاميلتونی بدون اختلال :اختلال:اگر اختلال خطی صرفاً مکان کمينه انرژی پتانسيل سهموی را تغيير دهد مسأله قابل حل است. از فصل 6داريم:عناصر ماتريس اختلال:

اسلاید 25: از فصل 6 داريم:و بقيه عناصر ماتريس صفر هستند. با توجه به (67-10) و (70-10)مقادير ويژه اختلال عبارتند از:

اسلاید 26: مثال: گشتاور دو قطبی الکتريکی اتمگشتاور دوقطبی القايی بصورت زير است:انرژی پتانسيل اتم قطبده شده در ميدان الکتريکی به مقدار ­½|E|2 کمتر از اتم آزاد است .برای محاسبه توان قطبش α:1)محاسبه انرژی تا درجه دوم E 2)ارزيابی تابع حالت اختلال تا درجه اول E و محاسبه d> در تراز اختلال اين محاسبات را برای حالت زمينه يک اتم هيروژن مانند انجام می دهيم.

اسلاید 27: 1) ترازهای انرژی غير مختل اتم هيدروژن بوسيله معادله ويژه مقدار (20-10) مشص می شوند برای يک اتم هيدروژن مانند يک الکترونی :گشتاور دو قطبیd=-er ، مکان الکترون نسبت به هسته r و H1 اختلال بنابر ميدان خارجی می باشد. در نتيجه :عناصر ماتريس <nlm|H1|nl΄m΄> صفر هستند مگر m=m΄ و سه عددl,l΄,1) ( گوشه های مثلث را تشکيل می دهند. دو شرط زير بايد برقرا باشند تا عناصر ماتريس فوق غير صفر باشند.

اسلاید 28: از رابطه (68-10) نتيجه می شود:با مساوی قرار دادن اين عبارت با تغيير انرژی اتم قطبيده در می يابيم که توان قطبش اتم در حالت زمينه بصورت زير است:2) برای محاسبه درجه دوم انرژی می توان <d> را در تراز اختلال درجه اول ارزيابی کرد.

اسلاید 29: درحالت زمينه :پس داريم:بهنجارش بردار حالت اختلال برای درجه اول :به دليل تقارن می دانيم تنها قسمت غير صفر از <d> در امتداد محور قطبش جهت گيری خواهد کرد. (79-10)(77-10)

اسلاید 30: مثال:دومين درجه اختلال در حالت محصوربرای يک اتم هيدروژن مانند به جای (75-10) داريم:از رابطه (61-10) داريم: 10 ε مقدار ويژه حالت زمينه H0 است.

اسلاید 31: پس يک معادله ديفرانسيل همگن قابل حل خواهيم داشت که حل آن واحد نيست چون همواره می توان يک ضريب دلخواه از حل معادله همگن (H0-ε10)|100>=0 به آن اضافه نمود. به هر حال واحد بودن بوسيله (64-10) برگردانده می شودو مستلزم آن است که :H0 هاميلتونی درونی يک اتم شبه هيدروژن با جرم کاهش يافته μ و پتانسيل مرکزی w(r) و H1 اثر متقابل دوقطبی اکتريکی (74-10) است. با توجه به (81-10):

اسلاید 32: بايد (84-10) را برای اتم هيدروژن حل کنيم.برای اتم هيدروژن: از رابطة (80-10) نتيجه می شود:

اسلاید 33: مورد تبهگن فرمولهايی مانند (68-10) و (70-10) ممکن است در مواردی که مقادير ويژه غير مختل تبهگن هستند، عملی نباشند.در اين موارد: با توجه به رابطه (61-10) داريم: و از رابطه (91-10):

اسلاید 34: انتخاب اختصاصی از ويژه بردارهای درجه صفرم در (91-10) آن هايی است که ماتريس <n,s|H1|n,s΄> را در زير فضای nثابت قطری می کند. اگر εn-εm=0 باشد قطری سازی (92-10) تضمين می کند:بنابراين: n ثابت است وs همه مقادير را دارد.

اسلاید 35: مثال: اثر خطی استارک در اتم هيدروژن (91-10) نتيجه می دهد:عناصر ماتريس <nlm|H1|n΄l΄m΄> مساوی صفر خواهند بود مگر m=m΄ بنابراين تنها عنصر باقی مانده از (92-10) <210|H1|200>=<20H1|210>* خواهد بود. برای حل (92-10):چهار لايه تبهگنی تراز انرژی ε2 اتم هيدروژن ميدان الکتريکی دو تراز مختل

اسلاید 36: کمترين تراز انرژی انرژی پتانسيل مربوط: تئوری اختلال بريلوئن – ویگنر:از رابطه (57-10)داريم: با توجه به (63-10) و(95-10):

اسلاید 37: (95-10) نتيجه می دهد:از (97-10) داريم:ناديده گرفتن H1در سمت راست، تقريب درجه صفرم |Ψn>≈|n> را نتيجه می دهد.

اسلاید 38: جمع سری های بيکران:مقدار ويژه انرژی

اسلاید 39: مثال: تبهگنی ماتريس 2x2 ساده ای را د رنظر بگيريد که:

اسلاید 40: بسط دترمينان معادله وابسته درجه دوم را نتيجه می دهد. در حد تبهگن داريم:با بکار برده تئوری اختلال بريلوئن-ویگنر بدست می آوريم:

اسلاید 41: روش وردشی براي معادله هايي كه حل دقيق ندارند و بايد براي آنها از روش تقريبي براي تعيين ويژه مقدارها و ويژه تابع ها استفاده كنيم و همچنين براي مطالعه سيستم هاي پیچیده مانند اتمهای چند الكتروني و مولكول ها بكار ميرود . در روش وردشی تابع ( 110 – 10 ) را در نظر مي گيريم كه در اينجا H يك عملگر خطي و φو ψ توابع تغيير پذير هستند . ما در جستجوی شرایطی هستیم که مقدار Λ ثابت بماند: پس : حال اگر برای تغییرات در Λ عبارت زير را داشته باشيم:<Φ│→<Φ│+ε<α│Ε يک مقدار کوچک و <α│ يک بردار دلخواه است. روش وردشی

اسلاید 42: برای اولین درجه ازε داریم:با تقسيم شدن بر ε<α│ و ميل دادن ε به سمت صفرتعريف درستي از δΛ/δφ را مي يابيم . به طور مشابه براي اينكه Λ(Φ,ψ) تحت تغييرات ψ ثابت بماند معادله ويژه مقداري زير را داريم يا:

اسلاید 43: اگر ما تابع های Φ و Ψ را كه وابسته به پارامترهاي مشخص هستند انتخاب كنيم و آن پارامتر ها را تغيير دهيم تا نقاط ثابت Λ را بيابيم آنگاه ما مقدار ويژه تقريبي H را بدست مي آوريم ولي در كل آن نقاط ثابت به مينيمم و نه ماكزيمم هستند و فقط نقاط زینی در فضاي داراي بعد زياد هستند.قضيه وردشی: اگر Ht = H و E0 كمترين ويژه مقدار H باشد در نتيجه براي Ψ نامساوي ( 113 – 10 ) را داريم . اثبات: ويژه بردار بسط يافته |ψ> را به كار مي بريم كه : H=Ht → λ=λ* , |φ>=|ψ> (113-10)

اسلاید 44: با بكار بردن اورتو نرمالي و کامل بودن ويژه بردارها بدست مي آوريم كه : بدون توجه به چگونگي انتخاب تابع آزمايشي ، قضيه ضمانت مي كند كه كمترين مقدار بدست آمده بهترين تخمين براي E0 است . يك نوع معمول از تابع آزمون وردشی معادله ( 114-10 ) كه از يك تركيب خطي از يك زير مجموعه محدود از مجموعه بردارهاي پايه اورتور نرمال ساخته شده است . مقادير ثابت Λبوسيله تغيير دادن پارامتر هاي {an} بدست مي آيند: (115-10)

اسلاید 45: چون H = Ht پس شرايط ∂Λ∕∂aj=0صرفاً به مزدوج مختلط ( 116 –10) منجر ميگردد حال ( 116 –10) يك ماتريس NXN معادله ويژه مقداري است و براي محاسبه ويژه مقدار ماتريس NXN تخمين ويژه مقدار H يك عمل طبيعي است. شكل ( 5-10 ) جاي دادن ويژه مقادير تخمينی براي تابع آزمايشي شامل يك تركيب خطي ازNتابع پايه .

اسلاید 46: با توجه به شرايط زير داريم : و چون:پس نتیجه میگیریم :پس دوكميت درجه اول زيربايد حذف شوند تا مجموع آنها تنها د راندازة خطا يعنی ε از درجه دوم باشد. اگر داشته باشيم:که |ε> يک بردار خطای کوچک است و:بايد داشته باشيم:

اسلاید 47: مثال :‌1 روش وردشی در بدست آوردن انرژي حالت پايه اتم هيدورژن در محاسبه انرژي جنبشي بهتر است كه (<Ψ|p) (p|Ψ>) را در عبارت انرژي جنبشي قرار دهيم چون هم ساده تر است و هم اولين مشتق را فقط نياز دارد و هم خطا پذيري كمتري دارد . انرژی جنبشیانرژی پتانسیلتابع آزمايش

اسلاید 48: كمترين مقدار اين عبارت بوسيله شرط ∂<H>⁄∂a=0 كه براي a=ћ2⁄μe2 برآورده می گردد مشخص مي شود و انرژي می نيمم به ازاي اين مقدار a برابر است با:که مقدار دقيق انرژي حالت پايه اتم هيدروژن است . r

اسلاید 49: محاسبات وردشی حالت زمينه اتم هيدروژن انرژي هاي رديف دوم كه براي مطلوب ترين مقدار a ارزيابي گرديده اند . در واحد هاي: نشان داده شده اند . و آخرين رديف شامل يك اندازه گيري از تمام خطاها در بردار ويژه تقريبي است .

اسلاید 50: داد هاي جدول حقيقتي را نشان مي دهد كه يك تقريب بهتر انرژي ضامن تناسب يا حالت بهتر براي تابع حاالت نيست . اگر چه قضيه وردشی براي محاسبه كمترين ويژه مقدار بكار ميرود ممكن است به آن عموميت دهيم تا ترازهاي برانگيخته پائين تر را محاسبه كنيم . در اثبات اساساً ما تابع آزمايشي را به صورت تركيب خطي از بردارهاي ويژه H بيان مي كنيم . بطوري كه : مي خواهيم Emويژه مقدار تراز برانگيخته را اگر <Ψ|Ψn’>=0 باشد برای هر n΄ بطوريكه΄<Em En محاسبه كنيم . پس داريم:Em را بوسيله کمينه کردن <H> به شرطی که |Ψ> اورتوگونال باشد حساب می کنيم.

اسلاید 51: قضيه : براي هر پتانسيل مركزي بايد داشته باشيم : شكل 6-10 يك پتانسيل مركزي را نشان مي دهد كه يك هسته بسيار دافع در فواصل كوتاه و يك چاه پتانسيل جاذب در نزديكیr = r0 دارد( پتانسيل بين اتمي در مولكولها) نمونه اي از كاربرد قضيه وردشی روي نظم ترازهاي انرژياثبات:رابطة را در معادلةويژه مقدارقرار میدهيم و بدست می آوريم:شکل 6-10 يک پتانسيل ميان اتمی شاخص (121-10)(120-10)

اسلاید 52: در ادامه اثبات قضيه وردشی را در ( 121-10 ) به كار ميبريم و با استفاده از شرايط مرزي ul(0)=ul(∞)=0 ميتوان نشان داد كه kl=kl† حال اگرul+1(r) ويژه تابع صحيح عملگرkl+1 مطابق با كمترين ويژه مقدار El+1min باشد با شرط :بنابر قضيه وردشی اولين جمله يك مرز بالائي براي Elmin است . دومين جمله مساوي با ميباشد كه مثبت است پس نتيجه ميگريم كه می توان نوشت:

اسلاید 53: مرزهاي بالاتر و پائين تر روي ويژه مقادير‌قضيه وردشی:يك مرز بالاتر براي پائين ترين ويژه مقدار بدست مي آيد ولي هيچ مرز پائینتری را نمیدهد. بنابراين مرزهاي بالاتر و پائين تر را بدست مي آوريم به اين صورت : وقتی <Ψ|Ψ>=1 باشد تقريب ما برای ويژه مقدار عبارتست از:بردار خطااگر λκ نزديکترين مقدار به Λ باشد پس داريم: (123-10)

اسلاید 54: براي بدست آوردن مرزها از بردار خطاي |R> (124-10)و دو بردار كمكي استفاده مي كنيم برای روش کاتو فرض می کنيم که دو عدد α و β را می دانيم بطوريکه:حال داريم :تحت فرض ( 126-10 ) هيچ ويژه مقداري بين α و β نيست پس λi-α و λj-β اثر يكساتي دارند . پس: (126-10)

اسلاید 55: حال هدف محاسبه ويژه مقدار λkاست. براي بدست آوردن مرز پائين ترj=k را در رابطه ( 126-10 )، λj≤α<β≤λj+1 قرار ميدهيم . اگر β>λk بااشد:

اسلاید 56: براي بدست آوردن مرز بالاتر در رابطه λj≤α<β≤λj+1 j=k-1 , را قرارمي دهيم .اگر β=λk قرار دهيم از رابطه (128-10)داريم: اگر α=Λ باشدداريم:مثال2: پتانسيل استتارشده کولمب محاسبات انرژی حالت زمينه يک مرز یا تراز الکترون د ر پتانسيل کولمب.w(r).. يک آزمون مهم و عملی از اين روش ها را اثبات می کند.

اسلاید 57: ميانگين انرژي براي تابع آزمايشي Ψ(r) برابر است با: با توجه به هر α مقداربهینه b بوسيله کمينه كردن Λ يعني قرار دادن Λ⁄∂b=0 ∂ مشخص ميشود . بهترين تخمين براي كمترين انرژي E≈8خواهد بود . ħ=μ=eکمترين تراز انرژی اتم هيدروژن e2a0=0.5است وħ2/μe2 a0= واحد طول شعاع بور است. انرژی وردشی برای پتانسيل کولمبشکل(7-10)

اسلاید 58: براي مشخص كردن مرزهاي پائيني براي تقريب انرژي حالت زمينه با يد اين گونه عمل كنيم: اين کميت اندازه ای از خطا دربردار تقريبی ماست. ساده ترين مرز پائینی که بوسيله رابطه(125-10) داده شده است به اين صورت می باشد: (134-10)(135-10)

اسلاید 59: با استفاده از مرز کاتو :بايد β را که به صورت β≤E2 است به عنوان دومين تراز انرژی هيدروژن تخمين بزنيم :β= -⅛برای صحيح بودن اين عبارت مخرج کسر بايد مثبت باشد. شکل (8-10)نمودارمحاسبات وردشی برای پتانسیل کلمب:(136-10)

اسلاید 60: جدول محاسبات وردشی برای پتانسيل کولمب

اسلاید 61:

اسلاید 62: با سپاس و قدردانی از استاد محترم آقای دکتر جلالی

اسلاید 63: و با تشکر از: آقای منوچهری آقای تقی پور آقای قائدی