فرایند تحلیل سلسله مراتبی

فرایند تحلیل سلسله مراتبی

اسلاید 1: فرایند تحلیل سلسله مراتبیAHP

اسلاید 2: پیشگفتار یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی (Analytical Hierarchy process-AHP) که اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980 مطرح شد . که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد .

اسلاید 3: انواع حالت های تصمیم گیری

اسلاید 4: اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبیاصل 1. شرط معکوسی (Reciprocal Condition)اصل 2. همگنی (Homogeneity)اصل 3. وابستگی (Dependency)اصل 4. انتظارات (Expectation)

اسلاید 5: شرط معکوسی اگرترجیح عنصر A بر عنصر B برابر n باشد ترجیح عنصر B بر عنصر A برابر n/1خواهد بود .

اسلاید 6: همگنی عنصر A با عنصر B باید همگن و قابل قیاس باشند . به بیان دیگر برتری عنصر A بر عنصر B نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.

اسلاید 7: وابستگی هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح بالاتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا بالاترین سطح می تواند ادامه داشته باشد.

اسلاید 8: انتظارات هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد.

اسلاید 9: فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه ساخت سلسله مراتبیمقایسه های زوجیترکیب وزنهاتحلیل حساسیتروش رتبه بندی

اسلاید 10: مثال تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,C یکی را انتخاب کنیم چهار معیار:راحتی ، قیمت ، مصرف سوخت، مدل مطرح می باشد .حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم:ساختن سلسله مراتبی محاسبه وزنسازگاری سیستم

اسلاید 11: ساختن سلسله مراتبی انتخاب بهترین اتومبیلانتخاب بهترین اتومبیلانتخاب بهترین اتومبیلانتخاب بهترین اتومبیلانتخاب بهترین اتومبیلانتخاب بهترین اتومبیلانتخاب بهترین اتومبیلانتخاب بهترین اتومبیل

اسلاید 12: محاسبه وزن

اسلاید 13: محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی

اسلاید 14: قدم اول: مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم.

اسلاید 15: قدم دوم: تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر ( نرمالایزکردن)

اسلاید 16: قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر در هر سطر ( وزن )

اسلاید 17: ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به قیمت

اسلاید 18: قدم اول: مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم.

اسلاید 19: قدم دوم: تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر ( نرمالایزکردن)

اسلاید 20: قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر در هر سطر ( قیمت )

اسلاید 21:

اسلاید 22: ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به مصرف

اسلاید 23: ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به مدل

اسلاید 24: وزن اتومبیل ها برای معیار های ، و قیمتمصرفمدل

اسلاید 25: ماتریس مقایسه زوجی معیارها

اسلاید 26: وزن هر یک از معیارها0.398 قیمت0.085 مصرف 0.218 راحتی0.299 مدل

اسلاید 27: وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها

اسلاید 28: محاسبه وزن نهائی اتومبیلوزن نهائی اتومبیل A0.398*0.123+0.085*0.087+0.218*0.593+0.299*0.265=0.265 وزن نهائی اتومبیل B 0.398*0.320+0.085*0.274+0.218*0.341+0.299*0.655=0.421 وزن نهائی اتومبیل C 0.398*0.557+0.085*0.639+0.218*0.066+0.299*0.080=0.314

اسلاید 29: اولویت نهائی اتومبیل ها

اسلاید 30: ساختن سلسله مراتبی سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد که در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند ، هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد . سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها

اسلاید 31: یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبیتصمیم کلی مساله (هدف)معیار1 معیار2 n معیار1 زیر معیار2زیر معیارnزیر معیارn گزینه2 گزینه1 گزینه.........

اسلاید 32: سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه آموزشهای جانبی : L آمادگی برای دانشگاه :K نظم :V استاندارد کلی دانش آموزان :F کیفیت آموزشی:Sانتخاب بهترین مدرسهآموزشیاجتماعیفرهنگیSLKVFCBA

اسلاید 33: محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبیمحاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد:وزن نسبی ( local priority (وزن نهایی ( overall priority)

اسلاید 34: روشهای محاسبه وزن نسبیروش حداقل مربعاتروش حداقل مربعات لگاریتمیروش بردار ویژهروشهای تقریبی

اسلاید 35: ( least squares method ) روش حداقل مربعات یا ها )i وj در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه ) یا i وj در حالت ناسازگاری (حداقل برای یک St:

اسلاید 36: برای حل مساله فوق ، معادله لاگرانژی آن به صورت زیر در نظرگرفته می شود. مشتق بگیریم خواهیم داشت : wl اگر از معادله فوق نسبت به باشد ، داریم :n=2 اگر

اسلاید 37: مثالA=نشان می دهیم ماتریس مقایسه ، ناسازگار است . 1)2) وزن هر معیار را با روش حداقل مربعات به دست می آوریم.ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر بگیرید :

اسلاید 38: اگر رابطه برای یکی از i,j,k ها برقرار نباشد ماتریس ناسازگار خواهد بود.از حل دستگاه فوق خواهیم داشت :

اسلاید 39: روش حداقل مربعات لگاریتمی (logarithmic least squares method) یا ها )i وj در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه ) یا i وj در حالت ناسازگاری (حداقل برای یک میانگین هندسی این اختلافات برابر است با:

اسلاید 40: در حالت سازگاریدر حالت ناسازگاری

اسلاید 41: )Eigenvector Method روش بردار ویژه (ترجیح عنصر ام بر ام است و وزن عنصر ام و یک عدد ثابت است.

اسلاید 42: ام طبق تعریف قبل برابر است با:i وزن عنصر دستگاه معادلات فوق را به صورت زیر می توان نوشت:که همان ماتریس مقایسه زوجی{ یعنی }و بردار وزن و یک اسکالر است.

اسلاید 43: مثالبرای ماتریس زیر، بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم.حل:برای حل این دستگاه می توان نوشت:

اسلاید 44: که خواهیم داشت:با قرار دادن مقادیر در دستگاه فوق و با استفاده از رابطه ، بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود.رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است:

اسلاید 45: در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ، طبق مراحل زیر عمل می کنیم:ماتریس A را تشکیل می دهیم.ماتریس را مشخص کنید.دترمینان ماتریس را محاسبه کرده و آن را مساوی صفر قرار داده و مقادیر را محاسبه کنید.بزرگترین را نامیده و آن را در رابطه قرار داده و با استفاده ازرابطه مقادیر ها را محاسبه نمایید.

اسلاید 46: مثالاگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه بدست می آوریم .حل:

اسلاید 47: بعد از حل معادله قبل، محاسبه می گردد. معادله ماتریسی را تشکیل داده و ها را محاسبه می کنیم.معادله را به دستگاه فوق اضافه می کنیم. نتیجه زیر حاصل می شود.

اسلاید 48: قضیه:برای یک ماتریس مثبت و معکوس ، همچون ماتریس مقایسه زوجی ، بردار ویژه را می توان از رابطه زیر بدست آورد.که در آن می باشد.

اسلاید 49: ابتدا را محاسبه می کنیم. بطور مثال برای k =1 داریم:حال حاصل عبارت را محاسبه می نماییم:

اسلاید 50: مثالاگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد:محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است:

اسلاید 51: حل:در تکرار اول داریم:= بردار حاصل از جمع سطری ماتریس A

اسلاید 52: در تکرار دوم داریم:بنابر این خواهیم داشت:

اسلاید 53: مقدار نهایی W در تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است:

اسلاید 54: )Approximation Method( روشهای تقریبیمجموع سطریمجموع ستونیمیانگین حسابیمیانگین هندسی

اسلاید 55: مثالماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است. با چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می کنیم.

اسلاید 56: مجموع سطری:مجموع عناصر هر سطربردار نرمالیزه

اسلاید 57: مجموع ستونی:مجموع عناصر هر ستونبردار نرمالیزهبردار معکوس

اسلاید 58: میانگین حسابی:نرمالیزه ی ستونهامیانگین سطری

اسلاید 59: میانگین هندسی:نرمالیزه ی ستونهامیانگین هندسی

اسلاید 60: محاسبه وزن نهاییوزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید.

اسلاید 61: مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی XوY یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از: قابلیت رهبری و هدایت(L) تواناییهای شخصی(P) وتواناییهای اداری(A) ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند.)Lقابلیت رهبری ( (P تواناییهای شخصی((A تواناییهای اداری(معیارها

اسلاید 62: حل:ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم.YXLPAهدف

اسلاید 63: محاسبه وزنیعنی داریم:

اسلاید 64:

اسلاید 65: محاسبه وزن نهایی:توجه داشته باشید که بنابر این گزینه یا شخص Y انتخاب می گردد.

اسلاید 66: محاسبه نرخ ناسازگاری:ماتریس سازگار و خصوصیات آنماتریس ناسازگار و خصوصیات آنالگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریسالگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی

اسلاید 67: ماتریس سازگار و خصوصیات آن اگر n معیار به شرح داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : که در آن ترجیح عنصر را بر نشان می دهد . چنانچه در این ماتریس داشته باشیم : آنگاه می گوییم ماتریس A سازگار است .

اسلاید 68: مثال C اهمیت نسبی عناصر نسبت به B اهمیت نسبی عناصر نسبت به

اسلاید 69: طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس( )ازرابطه زیر به دست می آید:که حاصلضرب برابر است با :بنابراین خواهیم داشت:

اسلاید 70: هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است :مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد.مقدار ویژه برابر طول ماتریس است ( ) .مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است .

اسلاید 71: ماتریس ناسازگار و خصوصیات آنقضیه یک – اگر مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آنها برابر n است :قضیه دو – بزرگترین مقدار ویژه همواره بزرگتر یا مساوی n است (در این صورت برخی از ها منفی خواهند بود .)

اسلاید 72: قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت . که در آن به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس A می باشد .یک مقدار ویژه برابر n بوده (بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر هستند .بنابراین در این حالت می توان نوشت :در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه 3 ،و

اسلاید 73: کمی از n فاصله می گیرد که می توان نو شت : شاخص ناسازگاری

اسلاید 74: الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس1. ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید. 2. بردار وزن W را مشخص نمایید . 3. آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A (یعنی مشخص است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید : 1-3- با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی ازبه دست آورید 2-3- با تقسیم مقادیر به دست آمده برای برW مربوطه تخمین هایی از را محاسبه نمایید . 3-3- متوسط به دست آمده را پیدا کنید . 4 . مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می کنیم: 5. نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید :

اسلاید 75: مثال برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید .حلقدم 1و2: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :

اسلاید 76: قدم 3: از آنجا که مقدار مشخص نمی باشد ، باید آن را طبق قدم های زیر تخمین بزنیم . قدم 3-1- تخمین قدم 3-2- محاسبه ها قدم 3-3-محاسبه میانگین ها

اسلاید 77: قدم 4: محاسبه شاخص ناسازگاری قدم 5: محاسبه نرخ ناسازگاری نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017 است که کمتر از 0.1 بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد .

اسلاید 78: الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس را در وزن عنصر مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم . این حاصل جمع را می نامیم . همچنین وزن عناصر را در ماتریس های مربوطه ضرب کرده و مجموعشان را نامگذاری می کنیم . حاصل تقسیم نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد .

اسلاید 79: مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی XوY یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از: قابلیت رهبری و هدایت(L) تواناییهای شخصی(P) وتواناییهای اداری(A) ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند.)Lقابلیت رهبری ( (P تواناییهای شخصی((A تواناییهای اداری(معیارها

اسلاید 80: در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم :YXLPAهدفYXYX

اسلاید 81: با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز:یعنی داریم :

اسلاید 82: وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با :برای ماتریس داریم :

اسلاید 83: به همین ترتیب برای ماتریس های می توان نوشت :

اسلاید 84: در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از 0.1 بوده و قابل قبول است و نیازی به تجدید نظر در قضاوت ها نیست .

اسلاید 85: THE END