معادلات دینامیکی به فرم کانونیکی

معادلات دینامیکی به فرم کانونیکی

اسلاید 1: زمستان 1382Dr. H. Bolandiمعادله سيستم حلقه بسته :معادله مشخصه سيستم حلقه بسته :زماني كار طراحي تحقق پيدا مي‌كند كه : لذا با توجه به مشخصات مطلوب ابتدا را تشكيل داده :طراحیK بدست می آيد.

اسلاید 2: زمستان 1382Dr. H. Bolandiمعادلات ديناميكي بفرم كانونيكيفرض كنيم كه سيستم n بعدي LTI ؛ تك متغيره زير داده شده است :

اسلاید 3: زمستان 1382Dr. H. Bolandi

اسلاید 4: زمستان 1382Dr. H. Bolandi(3) (4)

اسلاید 5: زمستان 1382Dr. H. Bolandiبنابراين :

اسلاید 6: اگر سيستم به فرم 7 باشد آنگاه در واقع تابع تبديل آن عبارت است از :

اسلاید 7: زمستان 1382Dr. H. Bolandiاثبات : (9)

اسلاید 8:

اسلاید 9: بهمين ترتيب :زمستان 1382Dr. H. Bolandi

اسلاید 10: زمستان 1382Dr. H. Bolandiاگر بعنوان پايه درنظر گرفته شوند آنگاه ماتريسهاي A ، B مي‌تواننديك نمايش جديد بفرم زير داشته باشند :

اسلاید 11: زمستان 1382Dr. H. Bolandiنهايتاً معادلات ديناميكي كنترل‌پذير FE1 داراي فرم كانونيكي CFE1 مي‌باشند. قسمت دوم اثبات آن است كه بايد ثابت نمود كه هر دو سيستم همانند مي‌باشند يا داراي تابع تبديل برابر هستند. برای اين منظور :تابع تبديل CFE1 در معادله (8)داده شد.تابع تبديل FE1 همان خواهد بود.اين قسمت نيز اثبات مي‌شود.

اسلاید 12: زمستان 1382Dr. H. Bolandiحال توضيح مي‌دهيم كه چگونه معادله (9) قابل استخراج است .فرض كنيد كه ماتريس كنترل‌پذيري فرم كانونيكي معادلات ديناميكي باشد آنگاه :

اسلاید 13: زمستان 1382Dr. H. Bolandiاين معادله از اين ايده استخراج شده است كه : معادلات ديناميكي FE1 و CFE1 توسط ماتريس همانندي زير به يکديگر مربوط می شوند :

اسلاید 14: زمستان 1382Dr. H. Bolandiلذا ماتريس Q از رابطة زير قابل محاسبه است :

اسلاید 15: زمستان 1382Dr. H. Bolandiقضيه 2:اگر سيستم معادلات ديناميكي n بعدي LTI تك متغيره FE1 مشاهده‌پذير باشد آنگاه مي‌توان آن را توسط يك انتقال همانندي به فرم OFE1 تغيير داد.اين فرم را فرم كانونيكي مشاهده‌پذير ناميده و تابع تبديل آن عبارتست از :

اسلاید 16: زمستان 1382Dr. H. Bolandiاثبات قضيه با استفاده از قضيه دوگان قابل ارائه است (تمرين) .تبديل همانندي فيمابين (1) و (15) يعني : P را مي‌توان با استفاده از معادلة (6) بدست آورد :(6)

اسلاید 17: زمستان 1382Dr. H. Bolandiبه فرم كانونيكي كنترل‌پذير و مشاهده‌پذير مثال :

اسلاید 18: زمستان 1382Dr. H. Bolandi

اسلاید 19: زمستان 1382Dr. H. Bolandiبراي بدست آوردن فرم كانونيكي مشاهده‌پذير :

اسلاید 20: زمستان 1382Dr. H. Bolandi«طراحي فيدبك حالت»فرض كنيم كه سيستم LTI تك متغيره زير داده شده باشد : از فيدبك حالت، هر متغير حالت در يك بهره ضرب شده و به ورودي ترمينال پس‌خورد يا فيدبك مي‌شود. اگر بهرة بردار k را مطابق قسمت اول بصورت زير تعريف کنيم :

اسلاید 21: زمستان 1382Dr. H. Bolandiآنگاه داريم:هدف : مي‌خواهيم نشان دهيم كه كنترل‌پذيري يك سيستم LTI با ملحوظ كردن فيدبك حالت بصورت خود باقي مي‌ماند.قضيه 3: اثبات : ابتدا اثبات مي‌كنيم كه كنترل‌پذيري FE1 ، كنترل‌پذيري را بدنبال خواهد داشت .

اسلاید 22: زمستان 1382Dr. H. Bolandiفرض مي‌كنيم كه x0 و x1 دو حالت دلخواه باشند. با فرض كنترل‌پذير بودن FE1 يك ورودي U به نحوي وجود خواهد داشت كه مي‌تواند x0 را به x1 در يك زمان محدود منتقل كند. حال اگر كه براي معادله ديناميكي فيدبك حالت انتخاب كنيم كه :آنگاه r مي‌تواند x0 را به x1 منتقل نمايد پس بنابراين نيز كنترل‌پذير حالت است از طرفديگر با توجه به نمودار بلوكي ارائه شده مشخص است كه r نمي‌تواند به طور مستقيم x را كنترل كند.بلكه در واقع u , r را بوجود مي‌آورد كه x را كنترل كند. پس اگر كه u نتواند x را كنترل كند (كنترل‌پذير نباشد) r هم نمي‌تواند اين كار را به انجام برساند يعني آنكه اگر FE1 كنترل‌پذير نباشد قطعاً سيستم در حضور فيدبک حالت نيز كنترل‌ناپذير مي‌باشد. شايان توجه است كه اگرچه فيدبك حالت همواره نگهدارنده خصوصيت كنترل‌پذيري سيستم است اما همواره ممكن است كه به ازاي مقاديري از k سيستم مشاهده‌ناپذير شود.

اسلاید 23: زمستان 1382Dr. H. Bolandiمثال :اگر ما يك فيدبك حالت به شكل زير تعريف كنيم كه : كنترل‌پذير بوده اما ديگر مشاهده‌پذير نخواهد بود .

اسلاید 24: قضيه 4: اثبات :

اسلاید 25: زمستان 1382Dr. H. Bolandi

اسلاید 26: زمستان 1382Dr. H. Bolandiبا توجه به تبديل همانندي فوق فيدبك حالت عبارت است از :

اسلاید 27: زمستان 1382Dr. H. Bolandiاگر انتخاب كنيم كه : معادله مشخصه

اسلاید 28: زمستان 1382Dr. H. Bolandiلذا نتيجه مي‌گيريم كه معادله فيدبك حالت مقادير ويژه دلخواه سيستم را دارا مي‌باشند. ليکن بايد درنظر داشت كه :لذا برای حالت سيستم اصلي يعني x نتيجه :

اسلاید 29: زمستان 1382الگوريتم محاسبه K : 1) معادله مشخصه A را بدست مي‌آوريم . 2) معادله مشخصه سيستم مطلوب را بدست مي‌آوريم . 3) را تشكيل مي‌دهيم :Dr. H. Bolandi

اسلاید 30: زمستان 13824) محاسبة زير را به انجام مي‌رسانيم :5) ماتريس Q را تشكيل مي‌دهيم : يا 6) 7) اگر سيستم از قبل بفرم كانونيكي كنترل‌پذير باشد : Q=I

اسلاید 31: روش دوم: اگر درجه سيستم پايين باشد زمستان 1382Dr. H. Bolandi