نامساوی ها و کاربردهای آن

نامساوی ها و کاربردهای آن

اسلاید 1: نامساوي هاوکاربردهاي آن

اسلاید 2:

اسلاید 3: نظريه اعدادنمونه اي از کاربردها در مباحث مختلفاثبات : فرض مي کنيم x , y, z دو به دو متمايز باشند. ابتدا نشان ميدهيم که z نمي تواند حداقل يا حداکثر مقدار در بين اعداد x , y, z داشته باشد. به عنوان مثال z > x > y در اين صورت داريم :که تناقض با فرض مي باشد.به همين صورت براي بقيه حالات بخصوص براي حداقل مقدار نيز ثابت مي شود.حال نشان مي دهيم که نمي تواند بين مقادير x , y اختيار شود. به عنوان مثال x > z > y در اين صورت داريم:مثال : فرض کنيد اعداد طبيعي x , y, z در معادله ي صدق مي کنند. نشان دهيد x = y = z

اسلاید 4: چونکه تناقض است. لذا z نمي تواند بين مقادير x وy باشد. پس تنها حالتي که مي ماند همان تساوي x = y = zمي باشد و لذا حکم ثابت مي شود.مثال : فرض کنيد زواياي x , y, z در شرط صدق کنند. ثابت کنيد:مثلثاتاثبات : از اينکه توابعcos , sin در بازه ي محدب مي باشد . بنا به قضيه ينسن داريم :فرض مسئله و (1)

اسلاید 5: مثال : توابع در شرط مفروضند. ثابت کنيد اعداد x , y در بازه [0,1] وجود دارند به طوري که داريم :توابعاثبات : فرض کنيد براي هر دو عدد x , y در بازه [0,1] داريم :

اسلاید 6: بنا به نامساوي مثلث خواهيم داشت :لذا فرض x=y=1 اشتباه و حکم ثابت است.مثال : همه اعداد نامنفي را بيابيد که داشته باشيم :حل دستگاههاي چند مجهولي

اسلاید 7: اثبات : با توجه به نامساوي کوشي – شوارتز داريم:و تساوي زماني برقرار است که :با توجه به دستگاه معادلات در فرض مسئله و رابطه متوجه مي شويم که حالت تساوي رخ داده است لذا داريم:

اسلاید 8: معرفي نامساوي هاي مشهورنامساوي هاي واسطه (براي اعداد مثبت) (واسطه توافقي) (واسطه هندسي) (واسطه حسابي) (واسطه مربعي)حالت تساوي :مثال 1 : براي اعداد مثبت ثابت کنيد:حالت تساوي :

اسلاید 9: اثبات : با استفاده از نامساوي حسابي – توافقي داريم :مثال 2:براي اعداد مثبت a b , c , ثابت کنيد :اثبات: با استفاده از نامساوي حسابي توافقي براي اين 6 عدد داريم:معرفي نامساوي هاي مشهور

اسلاید 10: معرفي نامساوي هاي مشهورنامساوي کوشي – شوارتز (براي اعداد حقيقي)حالت تساوي :مثال :ثابت کنيد اگر a و b حقيقي باشند آنگاه :اثبات :طبق نامساوي کوشي داريم: و مي دانيم:

اسلاید 11: معرفي نامساوي هاي مشهورقبل از بيان نامساوي بعدي، ابتدا به تعريف زير توجه کنيد:تعريف: تابع را در نظر بگيريدالف) f محدب است اگر داشته باشيم :ب ) f مقعر است اگر داشته باشيم :نامساوي ينسن :الف)تابع محدب :که در آن f تابعي محدب روي بازه و ها اعداد مثبتي هستند که :وهمچنين به دلخواه در بازه انتخاب شده اند.الف)تابع مقعر :

اسلاید 12: معرفي نامساوي هاي مشهورمثال :فرض کنيد x , y , z سه زاويه يک مثلث باشند. ثابت کنيد :اثبات :چون x , y , z زاواياي مثلث هستند لذا داريم :و چون تابع sin در بازه مذکور مقعر است ، در نتيجه : بنابراين حکم برقرار استنامساوي مثلث : که در آن همه اعداد فوق مثبت و همچنين :و حالت تساوي زماني است که :

اسلاید 13: معرفي نامساوي هاي مشهورمثال :فرض کنيد x , y , z اعدادي مثبت هستند. ثابت کنيد :اثبات : با استفاده از نامساوی مثلث داريم :زيرا با فرض a = x + y + z خواهيم داشت :و حالت تساوي زماني است که 1 x = y = z =