نگاهی به مفتاح الحساب

نگاهی به مفتاح الحساب

اسلاید 1: باب ششم مفتاح الحساب مربوط به امتحان صحت اعمال به وسيله عدد 9 مي باشد كاشاني مانند ساير رياضيدانان پيش از خودمجموع ارقام هر عدد را مي گيرد و آن را 9 به 9 طرح مي كند وبقيه را ميزان آن عدد مي نامد يعني در واقع ميزان هر عدد عبارت است از باقيمانده تقسيم هر عدد بر9 مثلا كاشاني ميزان عدد 64578 را مساوي با عدد 3 بدست مي آورد سپس طريقه امتحان صحت اعمال ضرب وتقسيم و استخراج جذروكعب و سايرريشه ها را مطابق با روش كنوني شرح مي دهد . موضوع جالب توجه در اين با ب اين است كه كاشاني در ابتداي آن مي نويسد : اگرحساب درست باشد ميزان درست در مي آيد وعكس اين مطلب صحيح نيست در حالي كه برخي از رياضيدانان اسلامي قبل از كاشاني به عدم صحت عكس اين مطلب اشاره نكرده اند اما رياضيدان ديگري از مردم مصر يا سوريه موسوم به تقي الدين بن عزالدين حنبلي در كتاب حاوي اللباب من علم الحساب به اين مطلب اشاره كرده است

اسلاید 2: نگاهي به مقاله دوم مفتاح الحساب مقاله دوم مفتاح الحساب مربوط به حساب كسرهاست ومشتمل بر دوازده باب است درآغاز باب اول اين مقاله كاشاني كسر را چنين تعريف مي كند كسركميتي است كه نسبت داده شود به مقدار ديگر كه به عنوان واحد فرض شده است ومخرج ناميده مي شود در واقع كاشاني كلمه كسر را در اينجا هم به صورت كسر و هم بجاي خود كسر به كار برده است وبعضي جاهاي ديگر صورت كسر را عددالكسر مي نامدسپس كاشاني كسر ها را به صورت زير تقسيم بندي مي كند(درمثال هاي زير a,b,c,d,…اعداد صحيح مثبت فرض شده اند)

اسلاید 3: كسر مفرد بر دو نوع است :1. مجرد: a=1 مثل ½ (نصف)2. مكرر: a>1 مثل ¾ الف . كسر مفرد : a/b b>1

اسلاید 4: كاشاني در اينجا خاطر نشان مي كند كه نسبت بين كسر(صورت) و مخرج آن در اعداد نامتناهي يافت مي شود (منظورش اين است كه مثلا كسرهاي 1/2 ,2/4 ,3/6 و... معادل هستند و ميگويد بهتر است كه كوچكترين اعداد صحيح ممكن را صورت و مخرج كسر اختيار كنيم و استعمال كسر را به شكلهاي ديگر قبيح قلمداد ميكند مثلا از بين كسرهاي 1/2 ,2/4 ,3/6 و...فقط 1/2را به كار مي برد و غيره را زشت مي داند

اسلاید 5: معطوف مستثني مضاف منكسر يا تركيبي از اين چهار نوع يا بعضي از انواع آن ب.كسر مركب

اسلاید 6: 1) كسر معطوف آن است كه از عطف دو يا چند كسر حاصل شود مثال: 1/2 و1/3 يعني 1/2+ 1/3 2) كسر مستثني آن است كه كسري يا كسرهايي ازكسر ديگري كم شود مثال: 1/5-2/33) كسر مضاف به قول كاشاني آن است كه مخرج جزء اول را واحد يا بيشتر انگاشته آن را به مخرج ديگري نسبت دهيم (يعني كسري از كسر ديگر كه آن را بمنزله واحد مي گيريم) مثال:نصف يك ششم يعني 1/6×1/2 و ممكن است اضافه چند بار تكرار شود

اسلاید 7: مثلا نصف سه پنجم از چهارنهم از يك دهم يعني: × × × كاشاني پس از ذكر مثال اخير اضافه مي كند كه بهتر است در كسر مضاف و معطوف كسرهاي بزرگتر مقدم باشند 4)كسر منكسر آن است كه يكي از دو منسوب(صورت ومخرج)يا هردوي آنها صحيح نباشند مثل: 1 1 122123125314109

اسلاید 8: كاشاني در پايان اين باب عبارتي دارد كه از نظر تاريخ رياضيات مهم است ودليل بر آن است كه مخترع كسر هاي اعشاري است وآن عبارت اين است :«ومنجمان كسرهاي معطوفي به كار مي برند كه مخرج هاي متوالي انها شصت وقواي متوالي شصت است تا هرجا بخواهند وانها را به ترتيب دقيقه ها و ثانيه ها وثالثه ورابعه ها وغيره مي نامند وما به قياس حساب منجمان كسرهايي آورديم كه مخرجهاي متوالي آنها ده وقواي متوالي ده مي باشد تا هرجا بخواهيم وآـنها را بترتيب اعشار و دومين اعشار و سومين اعشار و چهارمين اعشار ناميديم»

اسلاید 9: درباب مقاله دوم كاشاني چگونگي كسرها را نشان مي دهد و براي علامت جمع حرف وبراي علامت تفريق حرف الا براي علامت ضرب حرف ل وبراي علامت تقسيم حرف من را بكار مي برد

اسلاید 10: روش كاشاني روش كنونيكسر باعدد صحيح:كسربدون عدد صحيح:جمع(كسر معطوف)ضرب (كسر مضاعف) × ×012 0 0و 1 2 3 014ل16ل35312334213211121156

اسلاید 11: روش كاشاني روش كنونيتقسيم (كسر منكسر):تركيب چند عمل: +212من425001132من و ل الا 1 2110162111222561011222341

اسلاید 12: باب سوم مقاله دوم درباره تداخل و اشتراك و توافق وتماثل اعداد صحيح است و كاشاني شمارنده مشترك دو عدد متوافق(متشارك) را مشترك فيه يا وفق مي نامد وخارج قسمت هر يك از دو عدد متوافق را بروفق آنها جزءالوفق يا اشتراك آن عدد مي نامد. مثلا دو عدد 10و15 متشارك هستند و وفق آنها 5است وجزءالوفق 10 عدد 2وجزءالوفق عدد15 ,3 استبراي تعيين بزرگترين شمارنده مشترك دو عدد كاشاني همان الگوريتم مشهور اقليدس را شرح مي دهد

اسلاید 13: در آخر باب ششم كاشاني مي گويد كه اگر كسري مركب از چند كسر مركب بود ابتدا هر يك از كسرهاي مركب را به كسر مفرد تبديل مي كنيم وسپس حاصل را مفرد مي سازيم مثلا: × 24522281544113278495

اسلاید 14: مطلوب: 2141من2534الامن58ل212من40952784

اسلاید 15: باب دهم مربوط به استخراج ريشه n ام از كسرهاست كه به دستور زير بر مي خوريم:كاشاني مي گويد: « هرگاه صورت و مخرج(نسبت به ريشه مطلوب ) منطق نباشند صورت ومخرج كسر را در مورد جذر يك بار در مخرج ضرب مي كنيم ودر مورد كعب دوبار ودر مورد ريشه چهارم سه بار وبه همين نحو براي ساير ريشه ها عمل مي كنيم وريشه حاصل اخير را به تقريب مي گيريم واين ريشه را بر مخرج تقسيم مي كنيم»banbbn-1n . a

اسلاید 16: 30√ = 5×6 √= 5/6√ 89 ≈ 64 √ = 4×1√= 1/4√كاشاني سپس مي گويد كه اگر كسر عدد صحيح همراه داشته باشد ابتدا ريشه قسمت صحيح را استخراج كرده باقيمانده اين ريشه را با قسمت كسري جمع مي كنيم وآن را به مخرج اصطلاحي نسبت مي دهيم و حاصل را ساده مي كنيم +2 +4 = 66434413044666مثال 1مثال 2مثال 33157131

اسلاید 17: و مي گويد اگر كسري را تجنيس كنيم جذر دقيق تر به دست مي آيد 27= 258√=43√= 71√وباز مطابق با دستور كلي T+r=T+ r√كعب زير را حساب مي كند 37≈ 31 +27√= 301 √6669(T+1) -Tnnnn232743

اسلاید 18: باب يازدهم درباره تبديل مخرج كسر به عدد دلخواهي است . براي اين كار كاشاني ابتدا تناسب را شرح مي دهد وبعد به عنوان مثال مي گويد مي خواهيم مخرج كسر 5/7 را به 9 تبديل كنيم وتناسب x=5را حل مي كند و جواب 63 x=را بدست مي آورد وكسر 5 را به شكل 63 مي نويسدسپس كسرهاي دانگ (دانق) و تسو(طسوج) وشعير را كه در زمان وي بين مردم در باب معاملات متداول بوده است شرح مي دهد 779797

اسلاید 19: 1 دينار = دانگ 1 دينار = 1 دانگ = تسو 1 دينار= 1 دانگ =1 تسو= شعير642441696

اسلاید 20: نگاهي به مقاله سوم مفتاح الحساب مقاله سوم مفتاح الحساب درباره حساب منجمان يعني حساب در دستگاه شمار شصتگاني(ستيني) استحساب جمل:در اين حساب اعداد بوسيله حروف :ابجد هوز حطي كلمن سعفض قرشت ثخذ ضظغ كه بيست وهشت حرف هستند نشان مي دهند به اين ترتيب كه نه حرف از الف تا طا را براي يكان واز يا تا صاد را براي دهگان واز قاف تا ظا را براي صدگان و غين را به جاي هزار مي گيرند

اسلاید 21: و اعداد ديگر را بوسيله تركيب اين حروف مي نويسند ودر موقع نوشتن اعداد مركب عدد بزرگتررا بر كوچكتر به ترتيبي كه در فارسي تلفظ مي كنيم مقدم مي دارد يا 11 كد 24 غقلد 1134يكانا1ب2ج3د4ه5و6ز7ح8ط9دهگاني10ك20ل30م40ن50س60ع70ف80ص90ق100ر200ش300ت400ث500خ600ذ700ض800ظ900غ1000

اسلاید 22: اگرچه در دستگاه شمار شصتگاني از همين حروف جمل استفاده مي شود اما نوشتن اعداد در حساب جمل ودر دستگاه شمار شصتگاني تفاوت داردارقام شمار شصتگاني:درشمار شصتگاني براي نوشتن همه اعداد به صفر و پنجاه ونه رقم احتياج است و آنها را با تركيب حروف جمل مي نويسند به صورت:

اسلاید 23: ا1ب2ج3د4ه5و6ز7ح8ط9ي10يا11يب12يج13يد14يه15يو16يز17يح18يط19ك20كا21كب22كج23كد24كه25كو26كز27كح28كط29ل30لا31لب32لج33لد34له35لو36لز37لح38لط39م40ما41مب42مج43مد44مه45مو46مز47مح48مط49ن50نا51نب52نج53ند54نه55نو56نز57نح58نط59

اسلاید 24: چگونگي نوشتن اعداد در دستگاه شصتگانيپايه دستگاه شمار دهگاني ده است يعني واحد هر مرتبه (از راست به چپ) ده برابر واحد مرتبه قبل از آن ويكدهم واحد مرتبه بعد از آن است مثلا عدد 14379.56 را مي توان به اين صورت نوشت: 6 + 5 + 9+(10)×7+(10)× 3+(10)×4+(10)×1اما پايه دستگاه شمار شصتگاني عدد 60 است يعني واحد هر مرتبه 60برابر واحد مرتبه مادون آن و 1 واحد مرتبه مافوق ان مي باشد10(10)460322

اسلاید 25: قدما مرتبه شمار شصتگاني را مرتبه درجات مي ناميدند و در جهت نزول هر درجه را به 60 دقيقه وهر دقيقه را به 60 ثانيه و هر ثانيه را به 60 ثالثه و000 تقسيم مي كردند به قسمي كه بعد از مرتبه درجات در جهت نزول مرتبه دقيقه ها و بعد ثانيه ها وبعد از آن به ترتيب مرتبه هاي ثالثه ها, رابعه ها , خامسه ها و سادسه ها وغيره قرار داشت كه آنها را كسر هاي شصتگاني (كسور ستيني)مي ناميدند واين مراتب را برعكس شمار دهگاني از راست به چپ مي نوشتند و اسامي مرتبه ها را يا در بالاي ارقام قرار مي دادند ويا نام آخرين مرتبه را درسمت چپ مي نوشتند مگر وقتي كه قرينه اي براي دانستن نام مراتب در دست باشد مثلا 2درجه و24دقيقه و11ثانيه و45ثالثه را به يكي از شكل هاي زير مي نوشتند

اسلاید 26: 2درجه و24دقيقه و11ثانيه و45ثالثه:و يا: ب كد يا مه (ثالثه)درجه دقيقه ثانيه ثالثهبكديامه

اسلاید 27: اين اعداد را با ارقام هندي مي توان به شكل زير نوشت : 2+ 24 + 11 + 45(از راست به چپ) همچنين در جهت صعود هر 60 درجه را يك واحد از مرتبه بالاتر محسوب مي داشتند و آن را واحد مرتبه يك بار مرفوع يا به طور خلاصه مرفوع مي ناميدند وهر 60 واحد مرفوع را يك واحد از مرتبه بالاتر قرار مي دادند وآن را واحد مرتبه دوبار مرفوع يا مثاني ومرتبه بعد از آن را سه بار مرفوع يا مثالث ومرتبه بعدي را چهار مرفوع يا مرابع وغيره مي ناميدند (60)(60)(60)32

اسلاید 28: بنابر اين از عددي به شكل زيرويا به شكل : يد ب نو مب كا لح (ثالثه) مقصود عدد زير مي باشد 38 + 21+ 42 + 56 +(60)× 2+(60)× 14 دوبارمرفوعمرفوعدرجه دقيقه ثانيه ثالثهيدبنومبكالح60(60)(60)223

اسلاید 29: كاشاني هرعدد راكه دستگاه شصتگاني فقط در يك مرتبه واقع باشد يعني به صورت (60)a نوشته شود (a يكي از اعداد 1تا 59 وkعددي است صحيح و مثبت يا منفي)عدد مفرد مي نامد مثلا 40درجه وهمچنين 23 رابعه اعدادي مفرد هستندعددمجرد عبارت است از هريك از قواي صحيح مثبت يا منفي شصت مثلا يك ثانيه وهمچنين يك درجه اعداد مجرد هستندعدد مفرد وعدد مجردk

اسلاید 30: يونانيان اعداد را در دستگاه شمار شصتگاني خالص نمي نوشتند بلكه دستگاه عدد نويسي آنان تركيبي بود از دستگاه هاي شصتگاني و دهگاني .يعني در واقع قسمت صحيح اعداد را در دستگاه دهگاني وقسمت كسري ان را در دستگاه شصتگاني مي نوشتند چنين دستگاه عدد نويسي را لوكي دستگاه ذوحياتين ناميده است در برخي از كتاب هاي رياضي اسلامي كه از زمان هاي پيش از عصر كاشاني به دست رسيده غالب محاسبات مخصوصا در مورد ضرب و تقسيم در دستگاه شصتگاني خالص ديده نمي شوند اما كاشاني در مفتاح الحساب و ساير آثار خود همه اعمال و حتي استخراج ريشه n ام را يا در دستگاه دهگاني خالص يا در دستگاه شصتگاني خالص انجام داده است

اسلاید 31: نگاهي به مقاله چهارم مفتاح الحسابموضوع اين مقاله اندازه گيري ابعاد وسطح وحجم شكل هاي هندسي است وكاشاني سطح هر يك از چند ضلعيهاي منتظم مهم وچندوجهي هاي منتظم را هم در دستگاه شمارشصتگاني و هم در دستگاه دهگاني در اين مقاله حساب كرده است كاشاني جدول جيب را درجه به درجه (از يك درجه تا 90 درجه )وروش به كار بردن آن ونيز جدول هاي مفيد ديگري را در اين مقاله آورده است وجدول مضرب هاي عدد π را حساب كرده ونتيجه را هم در دستگاه شصتگاني و هم در دستگاه دهگاني به اختصار ثبت كرده است

اسلاید 32: مركز مثلث: نقطه اي از سطح مثلث كه از هر سه ضلع به يك فاصله باشد (مركز دايره محاطي مثلث)معين:چهار ضلعي كه اضلاع آن با هم مساوي و زواياي آن مختلف (لوزي)شبيه المعين: چهار ضلعي كه اضلاع روبه روي آن دوبدو متساوي ومتوازي ولي با دو ضلع ديگر مساوي نباشند(متوازي الاضلاع)اصطلاحات وتعاريف مفيد

اسلاید 33: ذوزنقه واحده:ذوزنقه قائم الزاويهذواليمينين:چهارضلعي محدبي است كه دو ضلع مجاور آن با هم مساوي ودو ضلع ديگر نيز با هم مساوي اما با دو ضلع اول مختلف باشند كه فقط زواياي روبه رو با هم مساوي اند وزواياي مجاور با هم مساوي نيستندكاشاني مي گويد كه اگر دو زاويه متساوي قائمه باشند بنايان آن را لوزه واگر منفرجه باشند نجارها آن را جودانه گويند واگر حاده باشند ما آن را باطيه مي ناميم ذوالرجلين:چهارضلعي است كه چون برذواليمينين افزوده شود آن را تمام مي كند وبه صورت معين در مي آورد .يعني در واقع چهارضلعي مقعري است كه دو ضلع مجاور آن با هم و دو ضلع ديگر آن نيز با هم مساوي باشند

اسلاید 34: منحرف:آن چهارضلعي است كه به اين صورت ها نباشد (چهارضلعي نامشخص). ذوالرجلين ذواليمينين