کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات دیفرانسیل معمولی

کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات دیفرانسیل معمولی

اسلاید 1: کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات دیفرانسیل معمولیسیدمحسن موسوی و دانیال خشابیدانشکده مهندسی برق، دانشگاه صنعتی امیرکبیر{moosavi.sm,d.khashabi}@gmail.comسيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران1

اسلاید 2: مقدمه ای بر موجکتقریب توابع یک متغیره با موجک Haarچگونگی حل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک Haar نتایجسيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانسرفصل ها2

اسلاید 3: موجک ها ◀ مجموعه ای از توابع متعامد پایهکاربردهای زیادی در زمینه­ی ریاضیات، فیزیک، علوم کامپیوتر و مهندسیبرای مثال فشرده­سازی اطلاعات اعم از تصویر، حذف نویز اطلاعات، پردازش سیگنال اعم از تصویر یا صدا، آنالیزهای عددی[1]استفاده از موجک در آنالیز­های عددی معادلات دیفرانسیلمعمولی یا پاره­ایدر مطالعه ی پدیده های طبیعی و آزمایش های عملی، نتیجه ی آزمایش به حل یک معادله­ی دیفرانسیل منجر می شود.سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانمقدمه ای بر موجک3[1] A.W.Galli, G.T.Heydt and P.F.Ribeiro, “Exploring the Power of Wavelet Analysis”, IEEE Computer Application in Power, Oct 1996, pp.37 – 41.

اسلاید 4: موجکHaar به علت سادگی◀ محبوبیت بیشتری نسبت به سایر موجک ها[1]موجک توانایی همگرایی دقیق­تری در مقیاس محلی دارد.یکی از دلایلی برتری آنالیز موجک بر سایرتقریب ها ◀ میل سریع ضرایب حقیقی توابع پایه آن به ازای کلاس های مختلف از سیگنال هاخانواده ی موجک Haar با مقیاس دودویی:انتقال:تغییر مقیاس:انتقال و مقیاس:سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانتقریب توابع یک متغیره با موجکHaar 4P.Chang, P.PiauSimple, “Procedure for the Designation of Haar Wavelet Matrices for Differential Equations”, International Multi-Conference of Engineers and Computer Scientists, 2008

اسلاید 5: خانواده ی موجک مادرHaar:سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانتقریب توابع یک متغیره با موجکHaar 5

اسلاید 6: J بیشتر، دقت بیشتر!سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانتقریب توابع یک متغیره با موجکHaar 6تقریب با موجکتقریب سری فوریهو پدیده گیبس[1] S.Mallat, “a Wavelet Tour of Signal Processing, The Sparse Way”, 3rd Edition, 2009, Elsevier Pub.

اسلاید 7: عدم امکان استفاده مستقیم از موجکHaar به علت ناپیوستگی! چاره؟هموارکردن موجک Haar با استفاده از درون یابی[1] ◀ موجب پیچیدگی زیاد.تبدیل مشتق ها به انتگرال ها[2] ◀ انتگرال گرفتن (به جای مشتق) ◀ از بین رفتن مشکل ناپیوستگیلذا میتوان یک معادله ی دیفرانسیل را به یک معادله ی جبری تبدیل کرد. با مشخص بودن دسته توابع پایه(در اینجا Haar) ◀ میتوان ساختارهایی ایجاد کرد که در هر محاسبه با پیش فرض مشخص بودن آنها به حل معادله پرداخت! ◀ افزایش سرعت محاسبات برای انجام آنالیز ◀ نیاز به گسسته سازی روی زمان:سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانحل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک7[1] C.Cattani, “Haar wavelet spline”, Journal of Interdisciplinary Math.4 (2001) 35-47.[2] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.

اسلاید 8: دو ماتریس به عنوان ابزار حل معادلات با پایه های موجکHaar معرفی میشود[3]:ماتریس H : برای خود توابع موجک ماتریس P : برای ایجاد انتگرال توابع از روی تقریب با ماتریس H ماتریس : چند خانواده ی اول:سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانحل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک8[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143.

اسلاید 9: ماتریس [1]: چند خانواده ی اول:سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانحل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک9[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143.

اسلاید 10: در نشان [1] داده شده است که می توان ماتریس P را از رابطه ی بازگشتی زیر بدست آورد:محاسبه ی ماتریس P و H تنها برای بار اول کافی است![2] با یکبار محاسبه، می توان آنها را برای هر معادله­ی دلخواه بکار برد.سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانحل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک10[1] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143

اسلاید 11: اگر تقریبی از بر اساس ماتریس ضرایب مجهول باشد:H : ماتریس پایه های موجک.X : ماتریس ضرایب.هدف: بدست آوردن به صورت یک عبارت ماتریسی بر اساس :سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانحل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک11

اسلاید 12: در حالت کلی داریم:اگر را به عنوان مبدا آنالیز در نظر بگیریم:با توجه به رابطه فوق ◀ بدیهی است هر ODE را می توان بصورت جبری حل کرد.X مجهول است! سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانحل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک12

اسلاید 13: معادله ی زیر را در نظر می گیریم:داریم:مقادیر مقابل را در نظر بگیرید:جواب دقیق به این صورت است:سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانمثال و نتایج13

اسلاید 14: جواب نهایی به اینصورت است:نتیجه ی محاسبه ی ماتریسی با استفاده از موجک بصورت زیر است:سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانمثال و نتایج142M=1282M=512

اسلاید 15: معرفی کلی موجک ها◀موجک Haar◀ استفاده برای تقریب توابع◀حل ODEروشی ساده و در عین حال روشی سریع امکان استفاده از ساختار های محاسباتی اسپارسامکان ذخیره سازی ماتریس های P و H برای دقت های بالاقابلیت استفاده برای حل معادله خطی با ضرایب متغیر با زماننیازمند آنالیز پایداری برای مرتبه های بالا است ◀به علت خطی سازی محلی[2][1] گستردگی معادلات انتگرال-دیفرانسیل ◀بررسی دقیق موردی روش ها امکان ترکیب چنین روشی با سایر روش های عددی وجود دارد:Wavelet-Galerkin ◀[3] PDEWavelet Finite Element Method ◀PDE…سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايرانجمع بندی و کارآینده15[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143[2] U.Lepik, “Haar Wavelet Method for Solving Stiff Differential Equations”, Mathematical Modeling and Analysis, Vol.14, No. 4, 2009, pp. 467-481.[3] H.Akca, M.H.Ali-Lail, “Survey on Wavelet Transform and Application on ODE and Wavelet Network”, Advances in Dynamical Systems and Applications, Vol.1-Number 2(2006), pp.129-162.

اسلاید 16: با تشکر از توجه شما!سوال/پیشنهاد/انتقاد؟16

اسلاید 17: 17