کنترل پیشرفته

صفحه 1:
ADVANCED CONTROL Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad Reference: Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999. I thank my student, Nima Vaezi, for his help in making slides of this lecture. 

صفحه 2:
e6 | sas Observability Topics to be covered include: * Introduction. * Controllability. * Observability. * Canonical Decomposition. * Controllability and Observability in Jordan forms. * Controllability and Observability in LTV systems. Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 3:
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید ما بيذ يبت بذ هیم کنترل ‎Controllability and observability Saez pas ice‏ تشخيص پذ ‎Controllability and observability sae ees) ae‏ * کاربرد مفاهیم کنترل پذیری و روبت پذبری ‎Application of controllability and observability‏ ۰ ذى در سيستمهاى 27 ل م ‎Input determination in‏ * شاخص هاى كنترل يذ ‎oo‏ 7 ا ا را دو گانی کنترل پذیری ا Duality of controllability and ‏و‎ ‎- Effect of equivalent trapsfoxmatjonjom ‏ام تال را‎ $ and observability * Controllability and obsexvability.inJongap » 5 Js ast * froms * مفاهیم کنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای 1:1۷ ‎Controllability and observability in LTV systems 3‏ * Dr’ AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 4:
lecture 6 Introduction Das كثل ‎Calle Aisles OVE es eel Vico ha‏ بوسیله ی ورودی صحبت می كيده روبت بذیری ازامکان تشخیشن سالات اولیة از اطلاعات خروحی و ورودی سیستم ضحیت می كند. این مفاهيم رای توان تفای از مار نشان داده شده در شکل ریز تشریح کرد ‎Ohm 1 Ohm‏ 1 eo 2 ‏سياه‎ service) ,26 در لین‌مدار کنترلپذیر ولیروینشا پذیر ! مدار ييكمدار كنترلنايذير و روي ايذير می‌باشد Dr: Alt Karimpour Oct 3 

صفحه 5:
lecture 6 Controllability Gp ‏کتترل‎ معادلات فضای حالت مقابل را در نظر بگیرید ‎x=Ax+ Bu‏ ‎y=Cx+ Du‏ تعریف ۱-۶ معادلات () یا زوج (8,1) را كنترل يذير كويند اكر برای هر حالت اولیه ,26 و برای هر حالت ‎les‏ .كل ۰ ورودیلیوجود دلشته باشد که ما را در نمان‌محدود به ,6 بسرساند در غیر لینصویتمعادلات() یا زوج ‎(A,B)‏ را کنترل ناپذیر گویند ‎Definition 6-1:The state equation (I) or the pair (A,B) is said to‏ ‎be controllable‏ ‎if for any initial state x, and any final state x,, there exists an input that transfers ‎x0 to x1 in a finite time. Otherwise (I) or (A,B) is said to be ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 6:
lecture 6 Controllability Gp ‏کتترل‎ ‎ole eae fits‏ كنترل تاپذیر ‎at ‎+ ‎ ‎ ‏مشخص است که تشخیص کنترل پذیری یا کنترل ناپذیری با توجه به ظاهر سیستم ممکن نبوده و نیاز به قضیه مناسب داریم. ‎ 

صفحه 7:
Controllability test ue es ae X=Ax+ Bu ققتیه ۱۶ يسم مقابل غبارات یر سعاداند. ‎ie‏ ‎y=Cx+ Du‏ ‎-١‏ زوج «بعدی ( ۶ ر) کنترل پذیر هستند, ۲- ماتریس <1 زیر برای تمامی 0 ‎ <‏ معکوس پذیر است. ۵ ۰ 33 2*۰ < ب ۳ 1813 *مز< ۲۷۵ ۳- ماتریس کنترل پذیری ‎MXN‏ دارای رتبه « یا رتبه کامل سطری باشد. ‎AB... A’B‏ هم هاده ‏۴ ماتریس [ 8 4-21 با بعد ‎luis » chlanx(n+p)‏ ویه ماتریس ۸ دارای رتبه کامل سطری باشد. ۵ - اگر علاوه اينکه تمامی مقادیر ویژه ۸ دارای قسمت حقیقی منفی پاشد» حل متحصربه فرد معادله ‎۸۲۷ + WA=- BB ‏ملبت معین ‎TAB‏ ‏حل مهادله گرامیان کنترل پذیری نامیده و بصورت مقابل قابل بیان - ‎fe BBe dr‏ ح ۲۷ ‎Dr: Ali Karimpour 9 07 

صفحه 8:
lecture 6 Controllability test ‏بذیری‎ es اثبات قضیه 1-۶: ابتدا هم ارزی (۱) و () را ثابت می کنیم پس باید دو عبارث زیر زا اثبات کنیم: زوج ‎W(t) oh Jas (AB)‏ + معکوس پذیر | ‎W(t)‏ معكوسيذير = زج ( ۸۵,13 ) کنترلیذیر ابتدا به اثبات رابظه اول مى يرذازيم. بس فرض مى كنيم (:1)/لآ معكوس يذير است يس براى هر ينا عبارت (ت) ۷۷ وجود دارد. ادعا مى كنيم با فرض ,كلو ,< دلخوله ورودى (11)6 زير ركثرا در زمان ,نا به ,< منتقل مى كند. ‎W(t) e°x- x‏ قل = ‎a)‏ ‎(eed ee‏ + رمت ريه ‎Mt) =e'x- fe BBE W(t)Le"x- x]dr‏ ‎Xi) =e"x-W(H)W'(le"x- x] = xt) =x‏ ‘Dr: Ali Karimpour Qet 201: 

صفحه 9:
lecture 6 Controllability test ‏بذیری‎ es اثبات قضیه ۱-۶(ادامه): ابتدا هم آرزی (۱) و (۲) را ثابت می کنیم پس باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: زوج ( ۸,12 ) کنترل پذیر () ,1۷ 2 معکوس پذیر | (),۷۷ معکوسپذیر = زوج ( 8ي) كتترليذ. حال به اثبات طرف دیگر می پردازیم؛ فرض می کنیم (ن), ۷۷ به ازای نا معکوس پذیر نباشد لذا بردار 7360 وجود دلرد كه: 0 30۱۵۲ زج 830-0 7۲۷۲۷-۷۵۰ ‎7١ + 1 7‏ ۷۵۰20 وج ۷0 و کز حال چون سیستم کنترل پذیر است پس براحتی می توان از 731157 ول به 1610 رسید لذا ‎0=x(t) =e%e“v+ fe? Bur) dr O=vv+ f ve” Bur) dr =vv+0=0 | =0 8 ‏تناقض‎ ‎‘Dr: AliKarimpour Qet 201: ‎ ‎ 

صفحه 10:
lecture 6 Controllability test Spay secs اثبات قضیه ۱-۶(ادامه): ابتدا هم ارزی (۱) و (۳) را ثابت می کنیم پس باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: زوج ‎W(t) ph JS (AB)‏ + معکوس پذیر (),۷۷ معکوسپذیر = زوج ( يل ) كنترليذير حال باید هم ارزی (۲) و (۳) را ثابت می کنیم. سپس باید هم ارزی (۳) و (۴) را ثابت می کنیم. ور انتها کافی است هه زو 103 يا بكي از عبارات دیگر را نیت می کم 10 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 11:
lecture 6 Controllability test ‏بذیری‎ es مثال ۲-۶: کنترل پذبری سیستم زیر را بررسی کنید. 5 6 leds 00 1 x= x+| Olu 55 ‏و ,؟ ؟.‎ ١ C=tb Ab AH=|0 1 -6 yell 1 Olx 1-6 2 0 0 1 0 20 1 - 6۱<-1 1 - 06 2 این نوع سیستم همواره کنترل پذیر است لذا به آن فرم کانونی کنترل پذیر .گویند 

صفحه 12:
Controllability test ۳ تست کنترل پذیری مثال ۳-۶: کنترل پذیری هر مود را بررسی کنید. 1 ۲ 2 + 2 -- يقي -< رز م (2 +ع)(1+و)-< < ۵1-۸۱ 0 3 020 < ttisnot completely controllable Controllalittyof A, =- 1: 4, =-1 isnotcontrollat و — fullrowranie, 4, =-2 iscontrollat 12 1 X+ (2 1-2 ده 1 11 0 010 Controllalityof 2, = 0-1 0-10 

صفحه 13:
متال ۴-۶: سیستم تعلیق خودرو سکوی نشان داده شده در شکل مقابل زا در نظر ثانيه به جالت تعادل تایه Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 14:
Controllability test gu jasc ۱ ‏مال ۳ سيسك تطليق غودرة‎ - 05 0 05 0 1 || | ال: حال ‎alle ce tt, x3(0) = Lyx, (0) = 10 stu)‏ روي اعمال کنیم که سکو را در ۲ حالت تعادل برساند؟ ; بر است و برای هر شرط اولیهدلخواه یک ورودی وجود ‎ee‏ بطوریکه در ۲: ‎ee ba‏ شرط اولیه را به عفر انتقال ادهدء ; 3 

صفحه 15:
lecture 6 Controllability test Spay secs ۱ 3 ‏مثال ۳-۶: سیستم تعلیق خودرو‎ GAs 017 105 Spring Damping Spring ‏ار‎ 3 1 7 constant constant coefficient 1 1 عبرات (1/)2: 0ا )خا را براى ابن سس رسب 70 0.316 02162[ _ 0 1 05] 005 تم ‎eer 0 ~ 103167 0‏ 0 و بزای )در [0 12 7 0 =- 588é + 2796¢ 929 0 بش م۹ ۵5|-< ۵ 2] 1۷02 ا 15 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 16:
Controllability test are ۰ 0 متال ۳2۶: سیستم تعلیق خودرو 05 0 0 ۳ ‎A xs] 1‏ 0 1 فد لاش انسار لا u(t) -- 5886“ + 8 

صفحه 17:
6 Controllability is تاثیر تبدیلات همانندی بر کنترل پذیری قضیه ۲-۶: کنترل پذبری با تبدیل همانندی تغییر نمی کند. اثبات قضیه ۲-۶: 1 ‎x=Ax+ bu A=PAP' b=Pb w= Aw+ bu‏ ‎y=cx+ du é=cP!— d=d y=tw+ du‏ رل ‎Controllality We‏ ‎ag Cab AD ADAH‏ حلم ززم ...وه م دم - إإصاط حفع ...رط مغبع بإطاطمع وص آ- ۸۰ ... 2 هث قاس ‎[Pb PAb PA... PA") =Rb Ab AD... AH = PC‏ 0)م< 6م ‎Pisnonsingwie‏ 

صفحه 18:
lecture 6 شاخص های کنترل پذیری ‎Controllability indices‏ فرض کنید ۸و 8 ماتریش های ثابت با ابعاد مناسب باشند و ماتریس ‎٩‏ رتبه کامل ستونی را دارا باشد. اگر ظ رتبه کامل نتولی را دار نباشد: برخی از وروی ها اضاقی هستند, آکر ۸ و ظ کتترل پذیر باشند ماتریتن کنترل بذیری" 0 دارای رنبه ها است و دارای 2 متور )همقل خطى آست. توجه كنيم ‎Coder oS‏ دارای 110 ستون است بتابراین: تعداد زیاه‌ی مجموعه «تابی از ستون مستقل. خطی در ) وجود دارد. فرض کنید :0 ستون ذام ماتریس 8 النت. آنگاه ۲ رامی/توان به صورت زیر نوشت: 6] ‏یط ط‎ 4... ۱۰. 4۳ ... ۸۳۵, J حال ستون های خطی مستقل خطی 0 را از چپ به راست چستجو می کنیم. فرض کنید 147 تعداد ستون های مستقل خطی مربوط به .9 در 6 باشد. ستون های زیر در 6 مستقل خطی هستند. By, AB, ‏بط‎ ‎aly‏ است که آگر 60۰ کارای رثبة لإياشد داريه. 7 3ح وام +... + وام + وا ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 19:
lecture 6 شاخص های کنترل پذیری ‎Controllability indices‏ مجموعه ‎Masry}‏ وا مجموعه شاخص های کنترل پذیری می نامند و ‎My, My, +, Uy)‏ 21882 با شاخص ‎AB) 52h Jos‏ نامیده می شود. یا بطور معادل. اگر (۸,13) کنترل پذیر باشند. شاخص کنترل پذیری کوچکترین عدد صحیحی است به طوریکه «ع ([ا كه ... 4 ظ])م< (6)م 19 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 20:
lecture 6 شاخص های کنترل پذیری ‎Controllability indices‏ اکتون یک محدوده برای ل| مشخص می کنیم.اگر داشته باشیم: ولا -...ع- ولا << ولا Hp Su ‏آنگاه داریم:‎ اگر تمامی طزبه جر یکی /برایر یگ ناشده آنگاه بزرکترینآمقدار ممکن بزای شاخص کنترل پذیزی عباز کت ار 1 -ظ< ۸ فرض کنید 12 درجه چند جمله ای مینیمال باشد» آنگاه بنابه تعریف» یک دسته 00 وجود داردا بطوریکه ‎+A? + taal‏ رمع ۲ که در نتیجه ۸ را می توان بر حسب ترکیب خطی بردارهای زیر بیان نمود ‎{B, AB,..., AB}‏ بنابراين نتيجه مى كيريم كه 20 ‎<min(fi,n- p+1)‏ 7 20 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 21:
lecture 6 شاخص های کنترل پذیری ‎Controllability indices‏ قضیه ۳-۶: زوج ( (ر که ظ دارای رتیه م استء کنترل پذیر است اگر باشد, ‎=LB ABA eB)‏ مثال ۵-۶: معادله حالت زیر را در نظر بگیرید. و تنها اگر ماتریس زیر دارای رتبه Cy pa? 0 0 0 wean 0-7-0 2 1 0 0 Mein 0 ۵ ‏اه‎ ۵ 0-200) 0 1 ae ‏فى‎ Sas NP aay ae es Cady IES iia JS 0 1 0 2۸ 0 [B AB £B)= OO 20, 1-97 0 ۱ 22 0 0-4 لين ماتريس دارای رتبه ۴ می باشد. لذا کنترل پذیر است.به سادگی می توان نان داد که شاخص های کنترل كديرا رو[ و شاخص کنترل پذیری برایر ۲ است 

صفحه 22:
lecture 6 وي يذ ررق ‎Observability‏ ‏معادلات فضای حالت مقابل را در نظر بكيريد ‎x=Axt Bu‏ ‎y=Cx+ Du 7‏ تعریف ۲-۶: معادلات () يا زوج (م) بل را روبت پذیر گویند اگر برای هر شرط اولیه ,6 مان محدود_0< ]يك وجود داشته باشد که اطلاعات ورودی او خروجی 1 در بازه ‎(t,-]‏ در غيرا براى محاسب ارت م را رويت نايذير كوي بفرد لا کافی با ny unknown initial state x,, there exists a finite time t, > 0 such the wledge of the input u and the output y over [0,t,] suffices to detern niquely the initial state x,. Other wise, the equation is unobservable Dr: Alt Karimpour Oct 2013 

صفحه 23:
lecture 6 رویت پذیری ‎Observability‏ مثال ۶-۶: شبکه های رویت ناپذیر مشخص است که تشخیص رویت پذپری یا رویت ناپذیری با توجه به ظاهر سیستم ممکن نبوده و نیاز به قضیه مناسب داریم. 23 ‎Dr: Al Kapinipour Oct 201:‏ 

صفحه 24:
lecture 6 فلت روک ند بر ی ‎Observability test‏ قضیه ۴-۶: معادله حالت مقابل رویت پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس بعدی ‎x-Ax+ Bu‏ ‎O ols oly 2}‏ > معکوس پذیر باشد. ‎y=Cx+ Du‏ w(t) = fe" C Ce’ dr اثبات قضیه ۴-۶: باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: زوج ) رك ) رويت يذير ‎W,(t)‏ 2 معکوس پذیر (), ۷۷ معکوسپذیر 5 زوج ( نايل ) رویتپذیر ابتدا رابطه اول را اثبات می کنیم: میدیم هلا + ‎Mb =Cé'x + Cle” Bur) dr‏ ‎a‏ Cé'x =) = - 618 Bur) de - Did) معادله حالت رویت پذیر است اگر و تبها اگر حالت اولیه مغ بصورت منحصریفرد از پاسخ ورودی صفر در یک ‎ie‏ بازه زماتی محدود بدست آید. ‎ ‎ ‎ 

صفحه 25:
Observability test ‏ی‎ ae yb =Ce'x + Cje“” Bur) dr + Dut) ‏می دایم‎ 6۵-7۵ -)۵ - ‏ون‎ But) dr- Dub) معادله حالت رویت پذیر است اگر و تنها اگر حالت اولیه (25/0 بصورت منحصربفرد از پاسخ ورودی صفر در یک 0 | ع 66۵ 0۵و - راو الى ۵۲( 6 ](4) 2۲۷ ود حال به اثبات طرف دیگر قضیه می پردازیم: he (AC) e535 5 0 ‏(أ) الآ معكوسيسذير‎ ‘Dr. Ali Karimpour Qet 201: 

صفحه 26:
lecture 6 لت روت بذیری ‎Observability test‏ حال به اثبات طرف دیگر قضیه می پردازیم: ‎W,(t) |‏ معکوسپذیر = زیج ( ‎phe (AC‏ فرض می کنیم (),۷۷ به ازای نا معکوس پذیر نباشد لذا بردار ۷۶0 وجود دارد که: vW(t)v=fve"CCe va =0 2 ۲۵۲ =0 ‎Cé'v=0 V te[0,t] 4‏ حال رلبطه مقابل را در نظر بگیرید: ‎Wb) =Ce'x + Ce” Bur) de + Du‏ جو فرط وله سم لا 3 1 وه بافرس وی سر مر دوم ‎SAIS VOM‏ 4 منحصر بفرد ما وجود ندارد لذا ...... نكته: ازلين قضيه ملاحظه مى كنيم كه رويت يذيرى تنها به ماتريس هاى 8 و © بستكى دارد. بنابرلين رويت ‏بذيرئ نكك خاصيت از زوج ( 2,00 ) است و مستقل از 8 و 8 مى باشد. ‎‘Dr. AliKarimpour Qet 201: ‎ 

صفحه 27:
lecture 6 لت روت بذبری ‎Observability test‏ قضیه ۵-۶: دوگانی : زوج ( ظ,۸) کنترل پذیر است اگر و فقط اكر زوج ( ‎AB‏ رویت پذیرباشد. قضیه ۵-۶: دوگانی : زوج ( ۵,62 ) کنترل پذیر است اگر و فقط اگر زوج ( ۲ ,۵ رویت پذیر باشد. 27 Dr. Ali Karimpour, Oct 201: 

صفحه 28:
Observability test x=Ax+ Bu ‏زیر معادلند.‎ y=Cx+ Du ۱- زوج #بعدی ( ۵,62 ) رویت پذیر هستند. ۲ - ماتریس 129 زیر برای تمامی (0 < با معکوس پذیر است. 06۵ و < ۷۵ 6 ۳- ماتریس رویت پذیری 1361260 مقابل دارای رتیه « يا رتبه كامل ستونى باشد. ‎CA‏ 0 ca A- All اتسين 6 با بعد (]0 +1001 به ازاى هر مقدار ويقه الماتريس ۸ دارای رتبه کامل ستونی باشد. ۵ - اگر علاوه اينکه تمامی مقادیر وبژه ۸ دارای قسمت حقیقی منفی باشد؛ حل منحصربه فرد معادله Aw+ wA=- CC te TAB ‏ملبت معین‎ 1۷ < je COE 7 ‏قابل بیان است.‎ His gas gs cpt cy chat ale Je Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 29:
lecture 6 لت روت بذیری ‎Observability test‏ مثال ۷-۶: رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید. 0 1 0 0 x=| 0 O 1} x+/ Olu ¢ 1 1 0 ‏اقاده قوع هام‎ li ۲ <| 64۱ - 0 1 1 ‏]عبر‎ 1 Ox ‏إن‎ ]- 6 -11 -5 1 1 4 ۲-0 1 1100-20 3 ‏يس‎ ‎6 -11 - ame 

صفحه 30:
lecture 6 رویت پذیری ‎Observability‏ تاثیر تبدیلات همانندی بر رویت پذیری قضیه ۷-۶: روبت پذیری با تبدیل همانندی تغییر نمی کند. NEF ‏اثبات قضیه‎ X=Ax+ bu ADAPT ‏وطق‎ i= Aw+ bu y=cx+ du é=cP' — d=d ‏جلة حبر‎ du 6 6 cA A 0-1 Observahiy Os 1 1 Matrix cA’ 22 ‏وه‎ Pisnonsingule 20۵-۰ Dr Ali yar, Qet 201: 

صفحه 31:
lecture 6 شاخص های رویت پذیری ‎Observability indices‏ فرض كنيد قد و60 ماتریسن هلی ثابت باابعاه هتاشب باشند و مانریس > ‎ALIS, (Dec slates Aas‏ اگر 6 رتبه کامل سطری را دارا تباشد. برخجی از خروجی ها را می توان بصورت یک ترکیب خطی از دیگر خروجی ها نوشت. لذا این خروجی ها حاوی اطلاعات جدیدی از سیستم نیستند و می تولن آنها را حذف نمود. اگر ۸ و روي يذير باشب ماتريس كنترل بذيرى ,0 داراى رتبه «است و دارای * سطر مستقل خطی است. توجه کنیم که چون ۵ دارای 1361 سطر است بنابراین. تعداد زیادی مجموعه «تایی سطر مسستقل خطی در 0 وجود دارد. مشلبه حللت کنترل پذیری. اگر سطری مربوط به «ن) بطور خطی به سطرهای بالاتر وابسته باشد. تمام سطرهای به از آن که به «) مربوط می شوند نیز ولبسته خواهد بود. فرض کتید «۷ تعداد سطرهای مستفل خطی مربوط به «) باشد. اگر 0 دارای رتبه « باشد. خواهیم داشت: 22 ۲ ۰ ۲۷ + ۷ مجموعه [ پل رده رو م ]۷ ) را شاخص های رویت پذیری می نامند v=max(V,¥,,...,V,) 2 9 شاخص روت پذیری ( ۸,62 ) نامیده می شود. ‘Dr. AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 32:
lecture 6 شاخص های رویت پذیری ‎Observability indices‏ مه مکش ‎ol ae des‏ ( © بك ) رويت بذير باد ‎a‏ ‎CA‏ اندیس رویت پذیری کوچکترین عدد صحیحی است که ‎p(0,) =p(| CA |) =n‏ وم به طور دوکان با بخش کنترل پذیری داریم: 7 vsmin(n, n- g+1) قضیه ۸-۶: زوج «بعدی ( ۶ ,) رویت پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس زیر دارای رتبه .1 باشد. ‎CA‏ ‏0 a gel 32 CAT De: Alt Karimpour, Qet 201 

صفحه 33:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap x=Ax+ bu ee Ae w= Aw+ bu y=ox+ du Supposev= Px the y=cw+ du A=PAP* b=Pb c=cP’ 0-0 ‏مى دانيم خاصيت هاى بايدارى, كنترل يذيرى و رويت يذيرى در معادله با نويسى شده باقى مى ماند. همجنين‎ داریم: 050-20-0 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 34:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap قضیه ‎٩-۶‏ معادله الت ف بعد ‎x=Ax+ bu‏ ‎y=cx+ du‏ فرض كنيد كنترل يذير نيست لذا ‎AB ... AvB) =n <n‏ 8)م- هام ماتربس. 1160 زیر وا تشکیل می دهیم: ۳ ها ماد ظ که ,2 ستون اول آن هر ,10 ستون از 6 هستند که مستقل خطی باشند و ستون های باقی مانده بگونه ای انتخاب میشوند که 8 ناویژه باشد, در این صورت با تبدیل تشابهی معادله بالا به معادله زیر تبدیل می کند. رای اد ۵ ۶ ‎x} 10 (۱>( 0‏ ‎x‏ ترا 7 مص اك عدر و ل 

صفحه 35:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap 11 0 (عا(2 ۱0 ‎x]‏ ‎eS %‏ هه جر که در این معادله 8 ‎ve a‏ مر و است. و زیر معادله ,13 بعدی ‎x -Ax+Bu‏ ‎y=C,.x+ Du‏ کتترل پذیر و دارای ماتریس انتقال پکسانی با معادله حالت اولیه ائست. Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 36:
Canonical Decompositions cle ap اثبات قضیه ۶-: با توجه به اينكه ‎sy‏ ‏7 له 6 © ار ستون اول 41 عبارتست از نمايش ,4 بر حسب ستونهاى ماتريس فوق پس ماتریسن 1 عبارتست أز a-[4 4 oA ‏ستون هاى 13 عبارتست از نمايش ستونهاى 13 بر حسب ستونهاى ماتريس فوق‎ Be B Hess (Deas 0 ۰ | -4 Ale ||? ‏يس سيستم تبديل شده عبارتست از‎ =|C alls + Du 36 Dr All Kapinopour Oct 201: 

صفحه 37:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap اثبات قضیه ۹-۶(ادامه): Seale ote کر 3 + Du x p(C)=p(|B AB... 4’B) =n =p(C) ‏وم ام‎ ۳ GA 0 p= (? ‏كا‎ As Opie 0 =p(B AB ... as و اين ماتريس كنترل يذيرى سيستم كاهش مرتبه يافته است. 2 ‎eee:‏ ‏0 + 2 - بز y=CX+ Du 

صفحه 38:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap اثبات قضیه ۹-۶(ادامه): بس بت یل هرت از 7 ,4 10 0 ‎aA x =Ax+Bu‏ ار دمح واج عادر از طرفى تابع انتقال سيستعها عبارتست از ا که ‎asic‏ sI- 2 (sI- 0 68-6 9 (sI- a G39 =C(sI- A)’ B+D Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 39:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap مثال ۸-۶:معادله حالت زیر را در نظر بگیرید. 01 10u, yoi1 dx 01 رتبه ماتریسس" یرای ۲ من باشد با توجه به 01 43 0(<2 1 0 1 هن p(G) =p([B AB) =p( پس این سیستم 5 ‎HIG I Bay‏ سیستع جدیه بارس 2۶ 0 1 at ۶ 1 1 0 1 yall ax 3 oP 11 

صفحه 40:
lecture 6 قضيه ‎:1١-#‏ معادله حالت 8 يعدى Cc ‏فرض كنيد رويت يذير نيست لذا‎ CA ‏۵0)م‎ =p(| . |\)=n<n CA" ‏ماتریس 119 مقابل را تشکیل می دهیم:‎ ‏که ب۳ شطر اول هر بدا سظرامستعل جطی از انرون ۵ است: و سطرهای‎ ‏باقی مانده را می توان تا وقتی که ۶ ناویژه باشد به دلخواه انتخاب نمود.‎ ‏در این صورت با تبدیل تشابهی معادله حالت را به سیستم زیر تبدیل می کنیم:‎ alls 5 a le a ‘Dr: AliKarimpour ‏من‎ 5 B Canonical Decompositions cle ap x=Ax+ bu y=cx+ du B P=| p, P, 

صفحه 41:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap isla. allel: > ٩5 که در این معادله B B 0 ليد كنيد ها ‎A,‏ ۳ است, وازير معاذله ,19 بعدى ‎ug,‏ پذیر و داراق/ماتریسن انتقال بکمانی با معادله حالت اولیه اسث. ‏اثبات قضیه ۱۰-۶ مشابه قضیه قبل ‎‘Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 42:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap قضیه ۱۱-۶: هر معادله از فضای حالت را می توان با یک تبدیل تشایهی به شکل کانونیکال زير در آورد. RA 0 A. 0) le. BVA: Ay As ‏پا اه‎ 7 ۵ 0 ‏ات0‎ 0 ۱ 0 ۵ ‏دا ای هه‎ y=, 0 C, Ox+Du که در آن ‎x, = Controlldbandobservable‏ x, = Controlldbbutnotobservable X, = Observablaitnotcontrolld X, = Neitheobservabkorcontrolldé Dr: Ali Karimpour Oct 2013 

صفحه 43:
lecture 6 Canonical Decompositions cle ap قضیه ۱۱-۶ هر معادله لز فضای حالت را می توان با یک تبدیل تشابهی به شکل کانونیکال زیر در آورد: با ادا 4 ۵ ‎RA,‏ x) JA A A Alix) 1B), 3 0-7 0 ‏لي‎ ee 0 Xe 0 0 2. 2|] 0 ناط +ع 0 6 0 ‎y=(C,‏ ‎phy JAS Cle alee,‏ و رويت يدير عبارتسست از ‎3 ‏يق‎ + ۷ y=C,x,+ Du ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 44:
6 وال0۵ ۷ تن هن ‎GALL‏ را ۱۷۸۱۱0۵ 2۸۱۸۸۸۱۸۸ ‎Jordan Form‏ کنترل پذیری و روبت پذیری در فرم جردن کنترل پذیری و رویت پذیری تحت هر تبدیل تشابهی ثلبت است. اگر یک معادله به فرم جردن تبدیل شود: در این صورت شرایط کنترل پذیری و روبت پذیری یصورت ساده اغلب می توان بصورت خیلی ساده بررسی کرد. معادله حالت بكرا حر لل كد لد x=Jx+ Bu 013 < ۲ که به فرم جردن است. برای بررسی ساده تره فرض می کنیم که 1 تتها دو مقدار ویقه متمایز ,و ی دارد و می توان به صورت زیر نوشت. ‎J =diag J, , Jz)‏ در اینجا فرش می كنيم كه ,ل بلوك وابسته بد ,2 و .ل بلوك وابسته به ,2 مى باشد. بای بررسی ساده جر فرض می کنیم که ,‌دارای ‎Soh‏ جردن و :[ داراى دو بلوك جردن است يا ( يول ‎Jn = Mag Jor‏ (وول ,حول ,ول )9هفه < ول 44 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 45:
6 وال0۵ ۷ تن هن ‎GALL‏ را ۱۷۸۱۱0۵ 2۸۱۸۸۸۱۸۸ ‎Jordan Form‏ کنترل پذیری و روبت پذیری در فرم جردن 0 ‏را كه به آخرين سطر از [ال مربوط می شود با‎ BOG re ‏ستون از [ مربوط می شود با 68 مشخص می کنیم.‎ می دهیم ستولی او را که به اولین قضیه ۱۲-۶: ۱- معادله حالت (111) کنترل پذیر است اگر و فقط اگر سه بردار سطر: ‎Bo, Dis}‏ ريط ‎{Ba Bos $‏ ‏و دو بردار ‏نسبت به یکدیگر مستقل خطی باشند. ۲- معادله حالت (111) رویت پذیر است اگر و فقط اگر سه بردار ستونی ‎{Cni, Gna» Cas}‏ و دو بردار ستونی ‎{Cr+ Cro }‏ ‎eke ee eg‏ 

صفحه 46:
6 وال0۵ ۷ تن هن ‎GALL‏ را ۱۷۸۱۱0۵ 2۸۱۸۸۸۱۸۸ ‎Jordan Form‏ کنترل پذیری و روبت پذیری در فرم جردن نکته 1: اگر معادله حالتی به شکل جردن باشد, کنترل پذیری متفیرهای حللت مربوط به یک مقداروییه را می توان مستقل از کنترل پذیری سایر متفیرهای حالت, که مربوط به مقادیر ویوم متفاونی هستنه: بررسی کرد نکته ۲: کنترل پذیری آن متغیرهای حالتی که مربوط به یک مقدار ویژه هستند فقط به آن سطرهایی از قوابسته است که مربوط به آخرین سطرهای بلوک های جردن لُن مقدار ویه می باشند. سایر سطرهای 8 در ‎ee ee oe‏ نکته ۳: توضیحات مشابه در مورد مشاهده پذیری قابل بیان است به جر اینکه آن ستون هایی از ۲ که مربوط به اولین ستون های بلوک های جردن هستند رویت پذیری را تعیین می کنند. 46 Dr- Ali Karimpour, Oct 201: 

صفحه 47:
١-1 102111321111 ۰411۱4 ۶۱۸ 4 ۷ ‏ال‎ fil lecture 6 Jordan Form کنترل پذیری و روبت پذیری در فرم جردن متال 62۶ مكادله جالت زير را كه بد شكل عردن أست را در نظر بگیرید. 2 60.9.0 25 0) 000 O70. 0-00. 0 10 Ole ise 7 0.0 26 0 1 0۶ x=|0 0 0 2 0 0 0 ۶+۱1 1 1 070 017070 | set 0 12573 (0; 30:20: 0 ae 1 010 م۳ ‎٩‏ 1 ای 0 0 0 |0 م معادله حالت سیستم کنترل پذیراست. چرا؟ ار 1 معادله حالت سیستم رویت پذیر نیست. چرا؟ ‎E20 4A lie‏ 05 = ¥ 0 

صفحه 48:
6 وال0۵ ۷ تن هن ‎GALL‏ را ۱۷۸۱۱0۵ 2۸۱۸۸۸۱۸۸ ‎Jordan Form‏ کنترل پذیری و روبت پذیری در فرم جردن قضیه ۱۳-۶ فرم جردن معادله تک وروه‌ی کنترل پذیر است. اگر و تنها اگر متناظر با هر مقدار ویژه تنها یک بلوک موجود بوده و درایه بردار 0 متناظر با آخرین سطر از پلوک جردن مثناظر مخالف صفر باشد. قضیه ۱۴-۶ فرم جردن معادله تک خروجی رویت پذیر است. اگر و تنها اكر متداظر با هر مقدار ویژه,تنها یک بلوک موجود بوده و درایهبردار > متناظر با اولین ستون از بلوک جرد متناطر محالف مر تاو 48 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 49:
١-1 102111321111 ۰411۱4 ۶۱۸ 4 ۷ ‏ال‎ fil lecture 6 Jordan Form کنترل پذیری و روبت پذیری در فرم جردن مقاق ۱۰-۶ معادله حالت زير را در نظر بكيريد. 61-060 1 001 0 9 xv + u 000 0 0 000-2 1 ۶ 11 0 07 22 ‎gets cule allan‏ التترق :يدل يسبت جرا؟ ‎je SIE la, ais Cle alate‏ ‎49 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 50:
00 ‏ا ل ا‎ CL A ee: LTV Systems کنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای 1۷ 7 ا 7 7 7 ۵و3 + وید وم - ‎M0‏ ‎oo‏ 0202020200 2۵0 +6۵۵ - از معادله حالت 8-بعدى. 8 ورودی و 4 خروجی را در نظر بگیر ‎i‏ “ 1 Dr. Ali Karimpour, Oct 201: 

صفحه 51:
LTV Systems LTV 2 ‏اد‎ قضيه ۱۵-۶ زوج ا-بعدى ( (8)6 , (4)1 ) در زمان ,نأ کنترل پذیر است. اگر و فقط اگر یک زمان محدود ,لأ < إن وجود داشته باشد در صورتی که ماتریس -بعدی زیر معکوس Wt) = (6,7) Be) Bee) ®'(t,) de ey عبارت (7) در این رابطه ماتربس گذار حالت 1 )4 -ة است. اثبات قضیه ۱۵-۶: باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: وج ( (۸(,130) کنترل پذیر (رناءونا) الآ معکوسب زیر جون (رنارونا) الا معکوس پذیر است پیح بریا )19 ارت ‎ph Wel‏ ( مكل ندا رابطه اول را ثبات می کنیم: وجود دارد. ادعا می کنیم با فرض ,كلو ,36 دلخواه ورودى (11)1 زير ,كثرا در زمان رن به ,6 منتقل می کند. - بد(ا ,)۳( ر) 0),۵۲۷)ظ < ۷ ‎Woltorts)‏ > معکوس پذیژ ‎51 ‎‘Dr: AliKarimpour Qet 201: ‎ 

صفحه 52:
رس و تا و ور و و دز ای رف ‎DTS MeO eet fe POD arate Tag Aree‏ LTV Systems ee LIV + ‏بت بذبرى د‎ 5 : ‏اثبات قضیه ۱۵-۶(ادامه)‎ ‏زج( ۸)(,۳)0) کنتول پذیر 1 > مسكوس بذا‎ ‏(بابنا) ,1۷ معكوس يني چون (واروا),۲۷ممعکوس پذیر استریییرب(ه) ظر (6) هبار وال دير‎ ai iy eat Rep ‏نا به ,لا منتقل می کند.‎ ley 91%) 2) WL) 2959 OX, HK) ‏وحود دارد. ادعا مى كنيم با فرض‎ رح ود(یا 6( ریل) ۲۷( ر1) )3 = ‎u(t)‏ ‎aS plo ge‏ حالت از معادله زیر تبخیت ‎aS ‎Xi) =0(t,6)% + [P(t,7) Br) uc) de ‏,)هد‎ 6) x + [P(t,7) Be) BO) O'(t,r)W"(f, AIP, 6) x - x] ar ‎=O(L 0X + WG, OWE, DIOL 0)X- xX] > xf) =X ‎‘Dr: Ali Karimpour Qet 201: ‎ 

صفحه 53:
رس و تا و ور و و دز ای رف ‎DTS MeO eet fe POD arate Tag Aree‏ ‎LTV Systems 2‏ 5 بت _بذبرى د 2 ‎LTV.‏ ‏اثبات قضیه ۱۵-۶(ادامه) : زوج ( ‎(ACE), BCE)‏ کنترل پذیر ‎W,(to,ti)‏ أض معکون پذیر ‎Wo( tort)‏ معكوسيذير = زیح ‎fies AW BO‏ حال طرف دیگر رابطه را لثبات می کنیم: ‏فرض می کنیم (ونارونا) ۷۷ به ازلی را معکوس پذیر نباشد لذا بردار ‏ ۷70 وجود دارد كما ‎VW, t) v={ V(t) Br) B(r)@'(t,r) vk =0 ‎{|Bo'(t.7)y dr =0‏ = ‎Br) 0'(t,r) v=0 andv (t,t) Br) =0 Vrelt,t]‏ حال چون سیستم کنترل پذیر است پس براحتی می توان لز ۷( نت0 وبا به 0 261 رسید لذا ۲( ( 9( ار( )2 0-4 ‎O=Vv+ ( V(t,7) B@)uc) dr =Vv+ 0=0 ۳ =0 53 galls‏ ‎Dr Alt (et 2015 ‎ ‎ ‎ 

صفحه 54:
۱2۵1۱۱1 011010111۷ 0110 ۱۱501۷ 0101111۷ 111 tecture 6 LTV Systems کنترل پذیری و روبت پذیری در سیستمهای 1,1۷ برای استفادة از تضیه قبل باید ماتریین كذار جلت راداشته پاشیم که ممکن است در کسترمر نباشد. بنابراین مطلوب این است که شرط کنترل پذیری را مستقل از (۳,تا) بدست آوریم. فرض کنیم (با)2 و (با)13 پیوسته بوده و ( 2-1 مرتبه بطور پیوسته مشتق پذیر باشند. اگر در نظر بگیریم MO =BO سپس (:]).,111 را بصورت زير تعريف مى كنيم: M,,(0 =- ADM) + ۵ 06,0 =0(t,0M (0 به وضوح برای هر ينأ ذاريمة وال ی کت 6 0 0 Slot) BO) ‏د‎ 0) BO +O(E DRO ‏ب‎ Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 55:
۱2۵1۱۱1 011010111۷ 0110 ۱۱501۷ 0101111۷ 111 tecture 6 LTV Systems کنترل پذیری و رویت پذبری در سیستمهای ‎LTV‏ ‏فرش كب 8167 و ‎OEY gst gs BI)‏ لور پیوسته مستق پذیر ندید لكر در لخر يكتريم )8 - )2 ‎M,(0 =- AOM(0+ ۵‏ ‎ou‏ ,۸ ۵ ,)9 0 ,4 + 20 [ و ‎Sort, Dj BO)‏ محاسبة مى كنيم: <- 86, Vue oF EMO - ‏و‎ )1,1( 9 Dr- Ali Karimpour, Oct 201: 

صفحه 56:
‎lecture 6‏ 411 رال ۷ تن تون ‎GALL‏ ۱۷۸۱۱0۵ 2۸۱۸۸۸۱۸۸ ‎LTV Systems 1/1۷ ‏کنترل پذیری و روبت پذیری در سیستمهای‎ done MM < 0 , 1 , 2 ‏اگر به همین ترتیب ادامه دهیم» برای‎ 2۳ 1 ‏)ه- إقظ ,)ام‎ 3 8 ‏قضيم زير شرط كافى نه لازم براى كنترل بذير بودن ‎lle lola‏ متغير با زمان امت ‏قضیه ع-عآ: فرض كنيد (8)6 و (8)1 ماتريس هليى باشند كه 1-1 مرتبه بطور بيوسته مشتق يشير هستند. آنكاه زوج ( (8)1 , (۸۸) در بأ کنترل پذیر است اگر یک زمان محدود با < ,نا وجود داشته باشد بطوريكه ‎rankM(t) M(t) ... M,(t)| =n ‎58 ‎‘Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 57:
LTV Systems oe 1:۲۷ ‏کنترل پذیری و روبت پذیری در سیستمهای‎ قضیه ۱۶-۶ فرض کنید (۸)۷ و ()ظ ما هلیی باشند که 1-1 مرتبه بطور پیوسته مشتق پذیر هستند. آنگاه زوج ( (8)6 , (۸۵)0) در با کتترل پذیر است اگر یک زمان محدود نا < ,نأ وجود داشته باشد بطوریکه rankM(t) M(t) ... M,(t)) =n اثبات قضیه ۱۶-۶: نشان می دهیم که اگر رتبه ماتریس فوق برابر « باشد در اینصورت ‎cl Welty, t)‏ تمام Salsa. tet, ‏فرض کنید که (وتاونا), ۷۷ برای ,نأ<ونا منفرد است نشان می دهیم که این امر به تناقض می رسد.‎ VW(t,t) V=[(VO(t,r) Ar) B)®'(t,r) va =0 = f|Bo'(t,r) vy dr =0 Br) ®'(t,7) v=0 andv@(t,r) Br) =0 Vrelt,t] با مشتق گیری از رابطه نسبت به :2 و قرار دادن ان بجای آن داریم: VO(t,r) M(t) M(t) ... 24, 0 57 gas ‘Ali Karimpour Oct 201: پس 

صفحه 58:
lecture 6 ۱ ALM MOU LVGMIILLY sit LTV Systems 1/1۷ ‏کنترل پذیری و روبت پذیری در سیستمهای‎ ‏مثال۱۱-۶: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید.‎ 0 0 1- ۶ ‎X=|0 -t t)x+\|liu‏ 1 022-07 حال داریم: ‎d EEE‏ 1- 0 ‎M=|1| M=- AM +— M, =- M,=- AM+—M, =| ۶‏ ‎dt dt‏ 2-1 1 كه دترمينان الل ای تناس + هاي 9 مانرسی معکوس پثیر است. بنباین معادله در ۰ 1+ << | ۶ 0 2۵۱-1 24 ۳6| هر ) كنترل يذير الت -2 ‎-t‏ 1 58 ‎ir lt Karimpour et 201‏ 

صفحه 59:
‎lecture 6‏ 411 رال ۷ تن تون ‎GALL‏ ۱۷۸۱۱0۵ 2۸۱۸۸۸۱۸۸ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎LTV Systems 10 1 ۲۰۲۷ ‏ی‎ ‎— ae a 1 a 0 ‏مثال ۱۲-۶: فرض کنید‎ 10) é 0 ۳ lo 2 X+ é ike (1D) ‎ ‎ ‎ ‏معادلات حالت(]) تغییر ناپذیر با زمان است و بر اساس قضیه مربوطه (1) کنترل پذیر است. ‏معادله حللت (11) تغییر پذیر با زمان است. دو درلیه ماتریس 1 برای تمامی 1 غیر صفر است و ممکن است به طرف این نتيجه كشيده شويم كه ابن معلذلة كنترل پذیر است. ولی قابل قبول تست ‎ ‎ ‎۸۷ - 2 - ۸ + ‏34])م لات‎ M))=1<2 ‎2 ‎59 ‎Dr. Ali Karimpowr Qet 201: 

صفحه 60:
۱ ALM MOU LVGMIILLY sit LTV Systems ve کنترل پذیری و روبت پذیری در سیستمهای 1,1۷ معادله خالت 8-بعدى. م ورودى و ‎AD x0) + 1 oe‏ = ۵)ز 12۵ + 28 00 2 بز تعریف ۳-۶: معادلات حالت فوق را در رت رويت يذير كويند , اگر یک زمان محدود را > ‎ty‏ وجود داشته باشد که برای هر معا < (متأ)26 اطلاعات ورودی و خروجی در بازه زمانی [رتاًرمتا] برای محاسبه منحصر بفرد معا کافی باشد. 60 Dr Alt Karimpour Oct 2013 

صفحه 61:
‎lecture 6‏ 411 رال ۷ تن تون ‎GALL‏ ۱۷۸۱۱0۵ 2۸۱۸۸۸۱۸۸ ‎LTV Systems ‏کنترل پذیری و روبت پذیری در سیستمهای 1/1۷ ‏قضیه 3۷-۶ زوج ( ‎CALE) , CCE)‏ در زمن با رويت بير است أكر و فقط اكر يك زمان محدود را < با ‏وحود داشت باضه جلو وت )مه( )نت قتا لطا ( ,)1 ‏قضیه ۱۸-۶ فرض کنید (۸)۷ و (ا)م) ماتریس هایی باشند که 19-1 مرتبه بطور پیوسته مشتق پذیر هستند. ‏أنكاه زوج ‎by 9 (AMD, C(t) ) corn‏ رویت پذیر است اگر یک زمان محدود رن < را وجود داشته باشد ‎N(t) ‏بطوریکه‎ ‎Tan. 0 =n N,,(é) one ‎2۸) < 9, 2۷,۵ 22۷۵2 + oN 3 ‎‘Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 62:
Exercises er 1 X=V0) 0-6-1 x+ ‏اندیش کنترل پذیری و اندیس رویت پذیری ال‎ ۶-۴ ‏یستم مقابل را تعیین کنید.‎ -1 3 -5( 0 ee ate yl 2 Ix ۲ 901 ‏اندیس کنترل پذیری و اندیس رویت پذیری‎ ۶-۵ x=|0 0 1+ ‏1ا‎ Olu Saag ela goats 0 2 -1 00 7-1 0 dx ‏کنید. 1 ماتریس واحد است.‎ Cys ‏اندیس کنترل پذیری سیستم مقابل‎ ۶-۶ xX=Ax+ Iu 62 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 63:


صفحه 64:
Exercises سس تقایل رف یک نیتم کنترل پذیر کاهتن مرتبه دفید: 1 ‎ia‏ ‏آبا مت خاضله روت بذیراست؟ و ‎yall dx‏ 2-8 سيستم تمرين ‎YP‏ سيسكم كنتول بذير و رويت يذير كلطش/مركبة دهيد. ‎٩‏ سیستم زير را به یک سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر کاهش مرتبه دهید. ‎000 0 02771 020 1 x=|0 0 8. 0 0۱۶+ ۲ 00041 0 0000 0 ‏به‎ 1 y=[0 110 1x 7 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 65:
Dr: AliKarimpour Qet 201: Oo ‏ا‎ 17 1 ۰ 1 ‏لت‎ OFX 0 0 0 0 0 0 1 2201 3 - 1-1 ‘Vee 0 0 1 1 )20 رل 0 0 1 0 0 0 0 0 2-0 0 0 0 2 0 0 0+۱3 2 me 1 3 1 2 2 1 2 1 ۵ 0 00۵ 0200000 0020000 ۶۰ در فرم جردن مقابل کنترل پذبری و رویت پذیر سیستم را بورسی کنید Exercises lecture 6 

صفحه 66:
Exercises 2-۲ معادلات حالت دو بعدی واببه بعدی برای سیستم مقابل بدست آورده و کنترل پذیری و رویت پذیری هر یک را بررسی کنيٍ ‏ * 66 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 67:
Exercises Z 0 7770 ‏كنترل بذيرى و رويت يذيرى سيستم مقابل را بررسی کنید.‎ 2-1 x x+| lu 0 1 y=0 Ix ‏کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم مقابل را بررسی کنید.‎ ۶-۴ x= ey + ِ u 0 -1 e y=|0 ex 67 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 68:
Answers to selected problems جواب ۲-۶: کنترل پذیر و رویت پذیر جواب ۳-۶: نه کنترل پذیر و نه رویت پذیر 1 0۲ جر teh Stee y=|0 -1x+2u y(t)=2u(t) AF ‏جواب‎ جواب ۱۰-۶: کنترل پذیر و رویت ناپذیر جواب ۱۴-۶: کنترل ناپذیر در تمام ) و رويت يذير در تمام :1 68 Dr: AliKarimpour Qet 201: