کنترل پیشرفته

کنترل پیشرفته

اسلاید 1: Ali KarimpourAssociate ProfessorFerdowsi University of MashhadADVANCED CONTROLReference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.I thank my student, Nima Vaezi, for his help in making slides of this lecture.

اسلاید 2: 2Lecture 6Controllability and ObservabilityTopics to be covered include:Introduction.Controllability. Observability. Canonical Decomposition.Controllability and Observability in Jordan forms.Controllability and Observability in LTV systems.

اسلاید 3: 3آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید مفاهیم کنترل پذیری و رویت پذیری تشخیص کنترل پذیری و رویت پذیری شاخص های کنترل پذیری و رویت پذیری دو گانی کنترل پذیری و رویت پذیری تعیین ورودی در سیستمهای کنترل پذیر تاثیر تبدیلات همانندی بر کنترل پذیری و رویت پذیری تشخیص کنترل پذیری و رویت پذیری در فرم جردن کاربرد مفاهیم کنترل پذیری و رویت پذیری مفاهیم کنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTV Controllability and observability ideas Controllability and observability detection Controllability and observability indices Duality of controllability and observability Input determination in controllable systems Effect of equivalent transformation on controllability and observability Controllability and observability in Jordan froms Application of controllability and observability Controllability and observability in LTV systems

اسلاید 4: 4Introductionمقدمهکنترل پذیری از امکان کنترل حالات معادله حالت بوسیله ی ورودی صحبت می کند.رویت پذیری از امکان تشخیص حالات اولیه از اطلاعات خروجی و ورودی سیستم صحبت می کند.این مفاهیم را می توان با استفاده از مدار نشان داده شده در شکل زیر تشریح کردX1 در این مدار کنترل پذیر ولی رویت ناپذیر است و X2 رویت پذیر ولی کنترل ناپذیر است که این مدار یک مدار کنترل ناپذیر و رویت ناپذیر می باشد.

اسلاید 5: 5Controllabilityکنترل پذیریDefinition 6-1:The state equation (I) or the pair (A,B) is said to be controllableif for any initial state x0 and any final state x1, there exists an input that transfersx0 to x1 in a finite time. Otherwise (I) or (A,B) is said to be uncontrollable تعریف 6-1: معادلات (I) یا زوج (A,B) را کنترل پذیر گویند اگر برای هر حالت اولیه x0 و برای هر حالت نهایی x1 ، ورودی ای وجود داشته باشد که x0 را در زمان محدود به x1 برساند. در غیر اینصورت معادلات (I) یا زوج (A,B) را کنترل ناپذیر گویند معادلات فضای حالت مقابل را در نظر بگیرید

اسلاید 6: 6Controllabilityکنترل پذیریمثال 6-1: شبکه های کنترل ناپذیرمشخص است که تشخیص کنترل پذیری یا کنترل ناپذیری با توجه به ظاهر سیستمممکن نبوده و نیاز به قضیه مناسب داریم.

اسلاید 7: 7Controllability testتست کنترل پذیریقضیه 6-1: برای سیستم مقابل عبارات زیر معادلند. 1- زوج n-بعدی ( A,B ) کنترل پذیر هستند. 2- ماتریس nn زیر برای تمامی t > 0 معکوس پذیر است. 3 - ماتریس کنترل پذیری nnp دارای رتبه n یا رتبه کامل سطری باشد. 4- ماتریس [ A-λI B ] با بعد n(n+p) به ازای هر مقدار ویژه λماتریس A، دارای رتبه کامل سطری باشد. 5 - اگر علاوه اینکه تمامی مقادیر ویژه A دارای قسمت حقیقی منفی باشد، حل منحصربه فرد معادلهمثبت معین باشد. حل معادله گرامیان کنترل پذیری نامیده و بصورت مقابل قابل بیان است.

اسلاید 8: 8Controllability testتست کنترل پذیریاثبات قضیه 6-1: ابتدا هم ارزی (1) و (2) را ثابت می کنیم پس باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: زوج ( A,B ) کنترل پذیر  Wc(t) معکوس پذیرWc(t) معکوس پذیر  زوج ( A,B ) کنترل پذیر ابتدا به اثبات رابطه اول می پردازیم.ادعا می کنیم با فرض x0و x1 دلخواه ورودی u(t) زیر x0را در زمان t1 به x1 منتقل می کند.می دانیم که حالت از معادله زیر تبعیت می کند.پس فرض می کنیم Wc(t) معکوس پذیر است پس برای هر t1 عبارت Wc-1(t1) وجود دارد.

اسلاید 9: 9Controllability testتست کنترل پذیریاثبات قضیه 6-1(ادامه): ابتدا هم ارزی (1) و (2) را ثابت می کنیم پس باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: زوج ( A,B ) کنترل پذیر  Wc(t) معکوس پذیرWc(t) معکوس پذیر  زوج ( A,B ) کنترل پذیر حال به اثبات طرف دیگر می پردازیم.پسفرض می کنیم Wc(t) به ازای t1 معکوس پذیر نباشد لذا بردار v≠0 وجود دارد که:حال چون سیستم کنترل پذیر است پس براحتی می توان از x0=e-At1v به x1=0 رسید لذا.تناقض

اسلاید 10: 10Controllability testتست کنترل پذیریاثبات قضیه 6-1(ادامه): ابتدا هم ارزی (1) و (2) را ثابت می کنیم پس باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: زوج ( A,B ) کنترل پذیر  Wc(t) معکوس پذیرWc(t) معکوس پذیر  زوج ( A,B ) کنترل پذیر حال باید هم ارزی (2) و (3) را ثابت می کنیم.....................................سپس باید هم ارزی (3) و (4) را ثابت می کنیم.....................................و در انتها کافی است هم ارزی (5) با یکی از عبارات دیگر را ثابت می کنیم.....................................

اسلاید 11: 11Controllability testتست کنترل پذیریمثال 6-2: کنترل پذیری سیستم زیر را بررسی کنید.این نوع سیستم همواره کنترل پذیر است لذا به آن فرم کانونی کنترل پذیر گویند.

اسلاید 12: 12Controllability testتست کنترل پذیریمثال 6-3: کنترل پذیری هر مود را بررسی کنید.It is not completely controllable

اسلاید 13: 13Controllability testتست کنترل پذیریمثال 6-4: سیستم تعلیق خودرو سکوی نشان داده شده در شکل مقابل را در نظر بگیرید. اگر جا به جایی دو سیستم فنر از حالتتعادل را به عنوان متغیرهای حالت x1 و x2 انتخابشوند، داریم:اگر جابه جایی های اولیه مخالف صفر باشد و نیرویی اعمال نشود، سکو به صورت نمایی به صفر برمی گردد. از دیدگاه نظری بی نهایت زمان لازم است تا xiها دقیقا برابر صفر شوند.سوال: حال آیا اگر x1(0) = 10 و x2(0) = -1 باشند، می توانیم نیرویی اعمال کنیم که سکو را در 2 ثانیه به حالت تعادل برساند؟

اسلاید 14: 14Controllability testتست کنترل پذیریمثال 6-4: سیستم تعلیق خودروسوال: حال آیا اگر x1(0) = 10 و x2(0) = -1 باشند، می توانیم نیرویی اعمال کنیم که سکو را در 2 ثانیه به حالت تعادل برساند؟لذا معادله کنترل پذیر است و برای هر شرط اولیه دلخواه یک ورودی وجود دارد بطوریکه در 2 ثانیه یا در هر زمان معین دیگر شرط اولیه را به صفر انتقال دهد.

اسلاید 15: 15Controllability testتست کنترل پذیریمثال 6-4: سیستم تعلیق خودروعبارات Wc(2) و u(t) را برای این سیستم محاسبه می کنیم:و برای t در [0 2] :

اسلاید 16: 16Controllability testتست کنترل پذیریمثال 6-4: سیستم تعلیق خودرو

اسلاید 17: 17تاثیر تبدیلات همانندی بر کنترل پذیریControllabilityکنترل پذیریقضیه 6-2: کنترل پذیری با تبدیل همانندی تغییر نمی کند.اثبات قضیه 6-2:

اسلاید 18: 18Controllability indicesشاخص های کنترل پذیریفرض کنید A و B ماتریس های ثابت با ابعاد مناسب باشند و ماتریس B رتبه کامل ستونی را دارا باشد. اگر B رتبه کامل ستونی را دارا نباشد، برخی از ورودی ها اضافی هستند.اگر A و B کنترل پذیر باشند، ماتریس کنترل پذیری C دارای رتبه n است و دارای n ستون مستقل خطی است. توجه کنیم که چون C دارای np ستون است بنابراین، تعداد زیادی مجموعه nتایی از ستون مستقل خطی در C وجود دارد.فرض کنید bi ستون iام ماتریس B است، آنگاه C را می توان به صورت زیر نوشت: حال ستون های خطی مستقل خطی C را از چپ به راست جستجو می کنیم. فرض کنید تعداد ستون های مستقل خطی مربوط به bm در C باشد، ستون های زیر در C مستقل خطی هستند.واضح است که اگر C دارای رتبه n باشد داریم:

اسلاید 19: 19Controllability indicesشاخص های کنترل پذیریمجموعه را مجموعه شاخص های کنترل پذیری می نامند وشاخص کنترل پذیری (A,B) نامیده می شود.یا بطور معادل، اگر (A,B) کنترل پذیر باشند، شاخص کنترل پذیری کوچکترین عدد صحیحی است به طوریکه

اسلاید 20: 20Controllability indicesشاخص های کنترل پذیریاکنون یک محدوده برای µ مشخص می کنیم. اگر داشته باشیم:آنگاه داریم:اگر تمامی µm به جز یکی برابر یک باشد، آنگاه بزرگترین مقدار ممکن برای شاخص کنترل پذیری عبارتست ازکه در نتیجه را می توان بر حسب ترکیب خطی بردارهای زیر بیان نمودبنابراین نتیجه می گیریم کهفرض کنید درجه چند جمله ای مینیمال باشد، آنگاه بنابه تعریف، یک دسته αi وجود دارد بطوریکه

اسلاید 21: 21Controllability indicesشاخص های کنترل پذیریقضیه 6-3: زوج ( A,B) که B دارای رتیه p است، کنترل پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس زیر دارای رتبه n باشد.حال ماتریس کنترل پذیری سیستم با توجه به قضیه 6-3 را تشکیل می دهیماین ماتریس دارای رتبه 4 می باشد، لذا کنترل پذیر است. به سادگی می توان نشان داد که شاخص های کنترل پذیری برابر 2 و 2، و شاخص کنترل پذیری برابر 2 است.مثال 6-5: معادله حالت زیر را در نظر بگیرید.

اسلاید 22: 22Observabilityرویت پذیریDefinition 6- 2:The state equation (I) or the pair (A,C) is said to be observable if for any unknown initial state x0 , there exists a finite time t1 > 0 such that the knowledge of the input u and the output y over [0,t1] suffices to determine Uniquely the initial state x0. Other wise, the equation is unobservable.تعریف 6-2: معادلات (I) یا زوج (A,C) را رویت پذیر گویند اگر برای هر شرط اولیه x0 زمان محدود t1>0، وجود داشته باشد که اطلاعات ورودی u و خروجی y در بازه [0,t1] برای محاسبه منحصر بفرد x0 کافی باشد در غیر اینصورت سیستم را رویت ناپذیر گویند. معادلات فضای حالت مقابل را در نظر بگیرید

اسلاید 23: 23Observabilityرویت پذیریمثال 6-6: شبکه های رویت ناپذیرمشخص است که تشخیص رویت پذیری یا رویت ناپذیری با توجه به ظاهر سیستم ممکن نبوده و نیاز به قضیه مناسب داریم.

اسلاید 24: 24Observability testتست رویت پذیریقضیه 6-4: معادله حالت مقابل رویت پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس n-بعدی زیر برای تمامی t > 0 معکوس پذیر باشد.اثبات قضیه 6-4: باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: زوج ( A,C ) رویت پذیر  Wo(t) معکوس پذیرWo(t) معکوس پذیر  زوج ( A,C ) رویت پذیر ابتدا رابطه اول را اثبات می کنیم:می دانیم:معادله حالت رویت پذیر است اگر و تنها اگر حالت اولیه x0 بصورت منحصربفرد از پاسخ ورودی صفر در یک بازه زمانی محدود بدست آید.

اسلاید 25: 25Observability testتست رویت پذیری زوج ( A,C ) رویت پذیر  Wo(t) معکوس پذیرمی دانیم:معادله حالت رویت پذیر است اگر و تنها اگر حالت اولیه x(0) بصورت منحصربفرد از پاسخ ورودی صفر در یک بازه زمانی محدود بدست آید.Wo(t) معکوس پذیر  زوج ( A,C ) رویت پذیر حال به اثبات طرف دیگر قضیه می پردازیم:

اسلاید 26: 26Observability testتست رویت پذیریWo(t) معکوس پذیر  زوج ( A,C ) رویت پذیر حال به اثبات طرف دیگر قضیه می پردازیم:پسفرض می کنیم Wo(t) به ازای t1 معکوس پذیر نباشد لذا بردار v≠0 وجود دارد که:حال رابطه مقابل را در نظر بگیرید: دو شرط اولیه مختلف x0=0 و x0=v با فرض ورودی صفر هر دو منجر به y=0 شده و لذا امکان تعیین منحصر بفرد x0 وجود ندارد لذا ......... نکته: ازاین قضیه ملاحظه می کنیم که رویت پذیری تنها به ماتریس های A و C بستگی دارد. بنابراین رویت پذیری یک خاصیت از زوج ( A,C ) است و مستقل از B و D می باشد.

اسلاید 27: 27Observability testتست رویت پذیریقضیه 6-5: دوگانی : زوج ( A,B ) کنترل پذیر است اگر و فقط اگر زوج ( A΄,B΄ ) رویت پذیر باشد.قضیه 6-5: دوگانی : زوج ( A’,C’ ) کنترل پذیر است اگر و فقط اگر زوج ( A,C) رویت پذیر باشد.

اسلاید 28: 28Observability testتست رویت پذیریقضیه 6-6: برای سیستم مقابل عبارات زیر معادلند. 1- زوج n-بعدی ( A,C ) رویت پذیر هستند. 2 - ماتریس nn زیر برای تمامی t > 0 معکوس پذیر است. 3- ماتریس رویت پذیری nqn مقابل دارای رتبه n یا رتبه کامل ستونی باشد. 4- ماتریس با بعد (n+q)n به ازای هر مقدار ویژه λماتریس A، دارای رتبه کامل ستونی باشد. 5 - اگر علاوه اینکه تمامی مقادیر ویژه A دارای قسمت حقیقی منفی باشد، حل منحصربه فرد معادلهمثبت معین باشد. حل معادله گرامیان رویت پذیری نامیده و بصورت مقابل قابل بیان است.

اسلاید 29: 29Observability testتست رویت پذیریمثال 6-7: رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید.پس سیستم رویت پذیر نیست

اسلاید 30: 30تاثیر تبدیلات همانندی بر رویت پذیریObservabilityرویت پذیریقضیه 6-7: رویت پذیری با تبدیل همانندی تغییر نمی کند.اثبات قضیه 6-7:

اسلاید 31: 31Observability indicesشاخص های رویت پذیریفرض کنید A و C ماتریس های ثابت با ابعاد مناسب باشند و ماتریس C رتبه کامل سطری(q) را دارا باشد. اگر C رتبه کامل سطری را دارا نباشد، برخی از خروجی ها را می توان بصورت یک ترکیب خطی از دیگر خروجی ها نوشت. لذا این خروجی ها حاوی اطلاعات جدیدی از سیستم نیستند و می توان آنها را حذف نمود.اگر A و C رویت پذیر باشند، ماتریس کنترل پذیری O دارای رتبه n است و دارای n سطر مستقل خطی است. توجه کنیم که چون O دارای nq سطر است بنابراین، تعداد زیادی مجموعه nتایی سطر مستقل خطی در O وجود دارد.مشابه حالت کنترل پذیری، اگر سطری مربوط به Cm بطور خطی به سطرهای بالاتر وابسته باشد، تمام سطرهای به از آن که به Cm مربوط می شوند نیز وابسته خواهد بود. فرض کنید vm تعداد سطرهای مستقل خطی مربوط به Cm باشد. اگر O دارای رتبه n باشد، خواهیم داشت:مجموعه را شاخص های رویت پذیری می نامندوشاخص رویت پذیری ( A,C ) نامیده می شود.

اسلاید 32: 32Observability indicesشاخص های رویت پذیریمشابه بخش کنترل پذیری اگر ( A,C ) رویت پذیر باشد، اندیس رویت پذیری کوچکترین عدد صحیحی است کهبه طور دوگان با بخش کنترل پذیری داریم:قضیه 6-8: زوج n-بعدی ( A,C ) رویت پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس زیر دارای رتبه n باشد.

اسلاید 33: 33Canonical Decompositionتجزیه های کانونیمی دانیم خاصیت های پایداری، کنترل پذیری و رویت پذیری در معادله باز نویسی شده باقی می ماند. همچنین داریم:که:

اسلاید 34: 34Canonical Decompositionتجزیه های کانونیقضیه 6-9: معادله حالت n بعدیماتریس nn زیر را تشکیل می دهیم:که n1 ستون اول آن هر n1 ستون از C هستند که مستقل خطی باشند و ستون های باقی مانده بگونه ای انتخاب میشوند که P ناویژه باشد. در این صورت با تبدیل تشابهی معادله بالا به معادله زیر تبدیل می کند.فرض کنید کنترل پذیر نیست لذا

اسلاید 35: 35Canonical Decompositionتجزیه های کانونیکه در این معادلهاست. و زیر معادله n1 بعدی کنترل پذیر و دارای ماتریس انتقال یکسانی با معادله حالت اولیه است.

اسلاید 36: 36Canonical Decompositionتجزیه های کانونیاثبات قضیه 6-9: با توجه به اینکه ستون اول عبارتست از نمایش Aq1 بر حسب ستونهای ماتریس فوقپس ماتریس عبارتست از ستون های عبارتست از نمایش ستونهای B بر حسب ستونهای ماتریس فوقپس ماتریس عبارتست از پس سیستم تبدیل شده عبارتست از:

اسلاید 37: 37Canonical Decompositionتجزیه های کانونیاثبات قضیه 6-9(ادامه): از طرفیپس سیستم تبدیل شده عبارتست از:لذا داریم:و این ماتریس کنترل پذیری سیستم کاهش مرتبه یافته است.

اسلاید 38: 38Canonical Decompositionتجزیه های کانونیاثبات قضیه 6-9(ادامه): از طرفی تابع انتقال سیستمها عبارتست از:پس سیستم تبدیل شده عبارتست از:

اسلاید 39: 39Canonical Decompositionتجزیه های کانونیمثال 6-8:معادله حالت زیر را در نظر بگیرید.رتبه ماتریس B برابر 2 می باشد. با توجه به پس این سیستم کنترل پذیر نمی باشد. با انتخاب :سیستم جدید عبارتست از:

اسلاید 40: 40Canonical Decompositionتجزیه های کانونیقضیه 6-10: معادله حالت n بعدیماتریس nn مقابل را تشکیل می دهیم:فرض کنید رویت پذیر نیست لذاکه n2 سطر اول هر n2 سطر مستقل خطی از ماتریس O است، و سطرهای باقی مانده را می توان تا وقتی که P ناویژه باشد به دلخواه انتخاب نمود. در این صورت با تبدیل تشابهی معادله حالت را به سیستم زیر تبدیل می کنیم.

اسلاید 41: 41Canonical Decompositionتجزیه های کانونیکه در این معادلهاست. و زیر معادله n2 بعدی رویت پذیر و دارای ماتریس انتقال یکسانی با معادله حالت اولیه است.اثبات قضیه 6-10: مشابه قضیه قبل

اسلاید 42: 42Canonical Decompositionتجزیه های کانونیقضیه 6-11: هر معادله از فضای حالت را می توان با یک تبدیل تشابهی به شکل کانونیکال زیر در آورد. که در آن

اسلاید 43: 43Canonical Decompositionتجزیه های کانونیقضیه 6-11: هر معادله از فضای حالت را می توان با یک تبدیل تشابهی به شکل کانونیکال زیر در آورد. و معادله حالت کنترل پذیر و رویت پذیر عبارتست از:

اسلاید 44: 44Controllabiltiy and Observability in Jordan Formکنترل پذیری و رویت پذیری در فرم جردنکنترل پذیری و رویت پذیری تحت هر تبدیل تشابهی ثابت است. اگر یک معادله به فرم جردن تبدیل شود، در این صورت شرایط کنترل پذیری و رویت پذیری یصورت ساده اغلب می توان بصورت خیلی ساده بررسی کرد.معادله حالت زیر را در نظر بگیرید:که J به فرم جردن است، برای بررسی ساده تر، فرض می کنیم که J تنها دو مقدار ویژه متمایز λ1 و λ2 دارد و می توان به صورت زیر نوشت.در اینجا فرض می کنیم که J1 بلوک وابسته به λ1 و J2 بلوک وابسته به λ2 می باشد. برای بررسی ساده تر فرض می کنیم که J1 دارای سه بلوک جردن و J2 دارای دو بلوک جردن است یا

اسلاید 45: 45Controllabiltiy and Observability in Jordan Formکنترل پذیری و رویت پذیری در فرم جردنسطری از B را که به آخرین سطر از Jij مربوط می شود با blij نشان می دهیم ستونی از C را که به اولین ستون از Jij مربوط می شود با cfij مشخص می کنیم.قضیه 6-12:1- معادله حالت (III) کنترل پذیر است اگر و فقط اگر سه بردار سطری و دو بردار نسبت به یکدیگر مستقل خطی باشند.2- معادله حالت (III) رویت پذیر است اگر و فقط اگر سه بردار ستونی و دو بردار ستونی نسبت به یکدیگر مستقل خطی باشند.

اسلاید 46: 46Controllabiltiy and Observability in Jordan Formکنترل پذیری و رویت پذیری در فرم جردننکته 1: اگر معادله حالتی به شکل جردن باشد، کنترل پذیری متغیرهای حالت مربوط به یک مقدارویژه را می توان مستقل از کنترل پذیری سایر متغیرهای حالت، که مربوط به مقادیر ویژه متفاوتی هستند، بررسی کرد.نکته 2: کنترل پذیری آن متغیرهای حالتی که مربوط به یک مقدار ویژه هستند فقط به آن سطرهایی از Bوابسته است که مربوط به اخرین سطرهای بلوک های جردن آن مقدار ویژه می باشند. سایر سطرهای B در تعیین کنترل پذیری هیچ نقشی ایفا نمی کند.نکته 3: توضیحات مشابه در مورد مشاهده پذیری قابل بیان است به جر اینکه آن ستون هایی از C که مربوط به اولین ستون های بلوک های جردن هستند رویت پذیری را تعیین می کنند.

اسلاید 47: 47مثال 6-9: معادله حالت زیر را که به شکل جردن است را در نظر بگیرید.Controllabiltiy and Observability in Jordan Formکنترل پذیری و رویت پذیری در فرم جردنمعادله حالت سیستم کنترل پذیر است. چرا؟معادله حالت سیستم رویت پذیر نیست. چرا؟

اسلاید 48: 48Controllabiltiy and Observability in Jordan Formکنترل پذیری و رویت پذیری در فرم جردنقضیه 6-13: فرم جردن معادله تک ورودی کنترل پذیر است، اگر و تنها اگر متناظر با هر مقدار ویژه، تنها یک بلوک موجود بوده و درایه بردارb متناظر با آخرین سطر از بلوک جردنمتناظر مخالف صفر باشد.قضیه 6-14: فرم جردن معادله تک خروجی رویت پذیر است، اگر و تنها اگر متناظر با هر مقدار ویژه، تنها یک بلوک موجود بوده و درایه بردار c متناظر با اولین ستون از بلوکجردن متناظر مخالف صفر باشد.

اسلاید 49: 49مثال6-10: معادله حالت زیر را در نظر بگیرید.معادله حالت سیستم کنترل پذیر نیست. چرا؟معادله حالت سیستم رویت پذیر است. چرا؟Controllabiltiy and Observability in Jordan Formکنترل پذیری و رویت پذیری در فرم جردن

اسلاید 50: 50Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsمعادله حالت n-بعدی، p ورودی و q خروجی را در نظر بگیرید:کنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVتذکر:در حالت تغییر ناپذیر با زمان اگر یک معادله حالت کنترل پذیر باشد، آنگاه در هر t0 و برای هرt1 > t0 کنترل پذیر است؛ بنابراین نیازی به مشخص کردن t0 و t1 نیست. در حالت متغیر با زمان مشخص کردن t0 و t1 لازم است.تعریف 6-3: معادلات حالت فوق را در t0 کنترل پذیر گویند ، اگر یک زمان محدود t1 > t0 وجود داشته باشد که برای هر x(t0) = x0 و هر x1، یک ورودی ای وجود داشته باشد که x0 را به x1 در زمان t1 انتقال دهد. در غیر این صورت معادله حالت در t0 کنترل ناپذیر می باشد.

اسلاید 51: 51Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsقضیه 6-15: زوج n-بعدی ( A(t) , B(t) ) در زمان t0 کنترل پذیر است، اگر و فقط اگر یک زمان محدود t1 > t0 وجود داشته باشد در صورتی که ماتریس n-بعدی زیر معکوس پذیر باشد.کنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVعبارت در این رابطه ماتریس گذار حالت است.اثبات قضیه 6-15: باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: زوج ( A(t),B(t) ) کنترل پذیر  Wo(t0,t1) معکوس پذیرWo(t0,t1) معکوس پذیر  زوج ( A(t),B(t) ) کنترل پذیر ابتدا رابطه اول را اثبات می کنیم: چون Wc(t0,t1) معکوس پذیر است پس برای هر t1 عبارت Wc-1(t0,t1) وجود دارد. ادعا می کنیم با فرض x0و x1 دلخواه ورودی u(t) زیر x0را در زمان t1 به x1 منتقل می کند.

اسلاید 52: 52Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsکنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVاثبات قضیه 6-15(ادامه) : زوج ( A(t),B(t) ) کنترل پذیر  Wo(t0,t1) معکوس پذیرWo(t0,t1) معکوس پذیر  زوج ( A(t),B(t) ) کنترل پذیر ابتدا رابطه اول را اثبات می کنیم: چون Wc(t0,t1) معکوس پذیر است پس برای هر t1 عبارت Wc-1(t0,t1) وحود دارد. ادعا می کنیم با فرض x0و x1 دلخواه ورودی u(t) زیر x0را در زمان t1 به x1 منتقل می کند.می دانیم که حالت از معادله زیر تبعیت می کند.

اسلاید 53: 53Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsکنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVاثبات قضیه 6-15(ادامه) : زوج ( A(t),B(t) ) کنترل پذیر  Wo(t0,t1) معکوس پذیرWo(t0,t1) معکوس پذیر  زوج ( A(t),B(t) ) کنترل پذیر حال طرف دیگر رابطه را اثبات می کنیم:پسحال چون سیستم کنترل پذیر است پس براحتی می توان از x0=t0,t1)v به x1=0 رسید لذا.تناقضفرض می کنیم Wc(t0,t1) به ازای t1 معکوس پذیر نباشد لذا بردار v≠0 وجود دارد که:

اسلاید 54: 54Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsبرای استفاده از قضیه قبل باید ماتریس گذار جالت را داشته باشیم که ممکن است در دسترس نباشد. بنابراین مطلوب این است که شرط کنترل پذیری را مستقل از t, بدست آوریم.فرض کنیم A(t) و B(t) پیوسته بوده و ( n-1) مرتبه بطور پیوسته مشتق پذیر باشند. اگر در نظر بگیریمسپس Mm(t) را بصورت زیر تعریف می کنیم:به وضوح برای هر t2 داریم:کنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVمحاسبه می کنیم:

اسلاید 55: 55Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsفرض کنیم A(t) و B(t) پیوسته بوده و ( n-1) مرتبه بطور پیوسته مشتق پذیر باشند. اگر در نظر بگیریمکنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVمحاسبه می کنیم:

اسلاید 56: 56Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsکنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVاگر به همین ترتیب ادامه دهیم، برای m = 0 , 1 , 2 , … داریم:قضیه زیر شرط کافی نه لازم برای کنترل پذیر بودن معادله حالت متغیر با زمان است.قضیه 6-16: فرض کنید A(t) و B(t) ماتریس هایی باشند که n-1 مرتبه بطور پیوسته مشتق پذیر هستند. آنگاه زوج ( A(t) , B(t) ) در t0 کنترل پذیر است اگر یک زمان محدود t1 > t0 وجود داشته باشد بطوریکه

اسلاید 57: 57Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsکنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVقضیه 6-16: فرض کنید A(t) و B(t) ماتریس هایی باشند که n-1 مرتبه بطور پیوسته مشتق پذیر هستند. آنگاه زوج ( A(t) , B(t) ) در t0 کنترل پذیر است اگر یک زمان محدود t1 > t0 وجود داشته باشد بطوریکهاثبات قضیه 6-16: نشان می دهیم که اگر رتبه ماتریس فوق برابر n باشد در اینصورت Wc(t0,t) برای تمام t≥t1 غیر منفرد است.فرض کنید که Wc(t0,t2) برای t2≥t1 منفرد است نشان می دهیم که این امر به تناقض می رسد.پسبا مشتق گیری از رابطه نسبت به  و قرار دادن t1 بجای آن داریم:تناقض

اسلاید 58: 58Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsکنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTV حال داریم:که دترمینان ماتریس برای تمامی t ها یک ماترسی معکوس پذیر است. بنابراین معادله در هر t کنترل پذیر است.مثال6-11: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید.

اسلاید 59: 59Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsکنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVمثال6-12: فرض کنیدمعادلات حالت(I) تغییر ناپذیر با زمان است و بر اساس قضیه مربوطه (I) کنترل پذیر است.معادله حالت (II) تغییر پذیر با زمان است، دو درایه ماتریس B برای تمامی t غیر صفر است و ممکن است به طرف این نتیجه کشیده شویم که این معادله کنترل پذیر است. ولی قابل قبول نیست. پس ...............

اسلاید 60: 60Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsمعادله حالت n-بعدی، p ورودی و q خروجی را در نظر بگیرید:کنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVتعریف 6-3 : معادلات حالت فوق را در t0 رویت پذیر گویند ، اگر یک زمان محدود t1 > t0 وجود داشته باشد که برای هر x(t0) = x0 اطلاعات ورودی و خروجی در بازه زمانی [t0,t1] برای محاسبه منحصر بفرد x0 کافی باشد.

اسلاید 61: 61Controllabiltiy and Observability in LTV Systemsکنترل پذیری و رویت پذیری در سیستمهای LTVقضیه 6-17: زوج ( A(t) , C(t) ) در زمان t0 رویت پذیر است اگر و فقط اگر یک زمان محدود t1 > t0 وجود داشته باشد بطوریکه ماتریس n-بعدی زیر معکوس پذیر باشد.قضیه 6-18: فرض کنید A(t) و C(t) ماتریس هایی باشند که n-1 مرتبه بطور پیوسته مشتق پذیر هستند. آنگاه زوج n-بعدی ( A(t) , C(t) ) در t0 رویت پذیر است اگر یک زمان محدود t1 > t0 وجود داشته باشد بطوریکهکه در اینجا

اسلاید 62: 62Exercises تمرینها 6-4 اندیس کنترل پذیری و اندیس رویت پذیری سیستم مقابل را تعیین کنید.6-5 اندیس کنترل پذیری و اندیس رویت پذیری سیستم مقابل را تعیین کنید.6-6 اندیس کنترل پذیری سیستم مقابل را تعیین کنید. I ماتریس واحد است.

اسلاید 63: 63Exercises تمرینها 6-1 آیا معادلات حالت مقابل کنترل پذیر است؟ رویت پذیر چطور؟6-2 آیا معادلات حالت مقابل کنترل پذیر است؟ رویت پذیر چطور؟6-3 معادلات حالت سیستم مقابل را بنویسید.کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم را بررسی کنید.

اسلاید 64: 64Exercises تمرینها 6-7 سیستم مقابل را به یک سیستم کنترل پذیر کاهش مرتبه دهید.آیا سیستم حاصله رویت پذیر است؟6-8 سیستم تمرین 6-3 را به یک سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر کاهش مرتبه دهید.6-9 سیستم زیر را به یک سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر کاهش مرتبه دهید.

اسلاید 65: 65Exercises تمرینها 6-10 در فرم جردن مقابل کنترل پذیری و رویت پذیر سیستم را بررسی کنید.

اسلاید 66: 66Exercises تمرینها 6-11 در سیستم زیر آیا می توان ضرایب ماتریس B و C را بگونه ای تنظیم کرد که سیستم کنترل پذیر باشد؟رویت پذیر چطور؟6-12 معادلات حالت دو بعدی و سه بعدی برای سیستم مقابلبدست آورده و کنترل پذیری و رویت پذیری هر یک را بررسی کنید.

اسلاید 67: 67Exercises تمرینها 6-13 کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم مقابل را بررسی کنید.6-14 کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم مقابل را بررسی کنید.

اسلاید 68: 68Answers to selected problemsجواب 6-2: کنترل پذیر و رویت پذیر جواب 6-3: نه کنترل پذیر و نه رویت پذیر جواب 6-8: y(t)=2u(t) جواب 6-10: کنترل پذیر و رویت ناپذیرجواب 6-14: کنترل ناپذیر در تمام t و رویت پذیر در تمام t