دانلود پاورپوینت منطق فازی و استدلال تقریبی

بنام خدا فصل :7منطق فازی و ‏منطق گزاره‌ها استدالل تقریبی ‏منطق‌های چند ارزشی ‏متغیرهای زبانی ‏متغیر زبانی درستی ‏متغیر زبانی احتمالی ‏منطق فازی ‏استدالل تقریبی ‏قوانین مقدماتی استنتاج فازی ‏قانون قیاس استثنایی تعمیم یافته ()GMP ‏استنتاج فازی به وسیله قوانین ترکیبی استنتاج ()CRI منطق گزاره‌ها یک ح وزه منط ق ،منط ق گزاره‌ه ا ن ام دارد ک ه ب ا گزاره‌ه ا یع نی عباراتی که راست و یا دروغ‌اند سروکار دارد. اصطالح معنی نماد نقیض A چنین نیستA که ~A ترکیب عطفی A وB AوB ‏A B ترکیب فصلی Aو ‏B ‏AوB ‏A B ترکیب شرطی A وB اگر Aآنگاه B Aفقط اگر B ‏A B ‏A B ترکیب دو شرطی ‏AوB جدول :1رابطه‌های مهم در منطق کالسیک A B A  B A  B ‏A B ‏B ‏A ‏T ‏T ‏T ‏T ‏T ‏T ‏F ‏F ‏T ‏F ‏F ‏T ‏F ‏T ‏T ‏F ‏T ‏F ‏T ‏T ‏F ‏F ‏F ‏F جدول :2جدول درستی چهار رابطه مهم تعJریف :1یک صورت گزاره‌ای ،یک راسJتگو (تنJاقض) است اگر به ازاء هر ارزش‌دهی به متغیرهای گزاره‌ای آن ،ارزش )0( 1داشته باشد. مثJال A ~ A:و A  ~ ~ AوA  B  A راستگو هستند و یک تناقض است. A ~ Aچند استداللـی A1 , A2 ,  , تعJریف :2صـورت A n   A نJامعتبر است اگر بتوان ‌ای ،A یک نوع ارزش‌دهی بــرای متغیرهای , A1 ‏n , آن یافت به طوری که هر یک از گزاره دارای ارزش Tباشند ولی Aدارای ارزش Fباشد .در غیر این صورت استدالل معتبر است. ‏p : ‏A ‏ ‏B قالب روبرو تنها قاعده استنتاج در این دستگاه ،قاعJده قیJاس اسJتثنایی در 1 است. ‏p2 : A _________ ‏B * مثال زیر هر چند از لحاظ شهودی استدالل فوق پذیرفتنی است ،ولی این استدالل در چارچوب منطق گزاره‌ها پذیرفتنی نیست. هر انسانی فانی است. سقراط انسان است. پس ،سقراط فانی است. به طور خالصه دو تفاوت مهم با حالت‌های قبل داریم. .1اس تفاده از محمJول .توض یح آنک ه ه ر گ زاره س اده ،ی ک موضJوع و ی ک محمول دارد .موضوع چیزی است که گزاره درباره آن چیزی را بیان می‌کند و محمول به خاصیتی از موضوع مربوط می‌شود .در گزاره سقراط انسان است” ،سJقراط“ موضJوع و ”انسJان اسJت“ محمJول گزاره می‌باشد. می‌توان گامی در جهت نمادین شدن برداشت و جمله سقراط انسان است را مثًال ب ا ) A(sنش ان داد ک ه در آن Aی کح رف محم ولی اس ت ک ه بج ای ”انسان است“ و sبجای ”سقراط“ قرار گرفته است. ‏ .2استفاده از قید ”هر“ ،که آن را سJور عمJومی می‌نامیم و با نماد نشان ‏     نشان قید «بعضی» است و معنی «حداقل یکی» را می‌دهد و با نماد As  همان ‏Jودی Bنام داردAکه; x ‏x  می‌دهیم .البته یک سور دیگر هم داریم که سJور وج x ”انسان داده می‌شود .با این توضیح که با در نظر گرفتن Aبرای محمول _________ ‏ یر، متغ اس ت“ و Bبج ای ف انی اس ت و sبج ای س قراط و xدر مق ام ی کB s صورت استداللی فوق اینگونه می‌شود. لوکاسیویچ منطق‌هJای چنJد ↔ → ‏V ‏Λ ‏b ‏a 1 1 0 0 0 0 ½ 1 ½ 0 ½ 0 جدول :1ج دول تعری ف 0 1 1 0 1 0 رابطه ا ب رای منط ق س ه ½ ½ ½ 0 0 ½ ارزشی لوکاسیویچ 1 1 ½ ½ ½ ½ ½ 1 1 ½ 1 ½ 0 0 1 0 0 1 ½ ½ 1 ½ ½ 1 1 1 1 1 1 1 ارزشی منطق دو ارزشی و سه ارزشی وتعمیم آن • • • • • برخی راستگوهای منطق دو ارزشی در حالت سه ارزشی راستگو نیستند قوانین ش مول( )aΛ~a=0و ط رد ()aV~a=1در منط ق س ه ارزش ی برق رار نیستند (مثًال .)a=1/2 نیم ه راس تگو (نیم ه تن اقض) گ زاره ای اس ت ک ه ب ه ازای ه ر ارزش دهی ب ه ½ ( 0یا ½) داشته باشد. متغیرهای آن ،حاصل عبارت ارزش 1یا ‌ برای ه ر ،n≥3منط ق -nارزش ی تعمیمی از منط ق دو و س ه ارزش ی اس ت بطوریکه‌ارزش درستی هر گزاره با عدد گویایی از بازه [1و ]0تعیین می شود. منطق چند ارزشی لوکاسویچ (استاندارد لوکاس ویچ) :در این منطق درجات درستی گزاره ها از مجموعه Tnانتخاب می شوند. 0 1 2 ‏n 2 n 1  ‏ ‏Tn 0  , , ,..., , ‏1 ‏n ‏ 1 ‏n ‏ 1 ‏n ‏ 1 ‏n ‏ 1 ‏n ‏ 1 ‏ ‏ و رابطهای منطقی بصورت زیر تعریف شده اند: • ~a = 1 – a )a Λ b = min (a, b )a → b = min (1, 1+b – a )a V b = max (a, b |a ↔ b = 1 – |a – b منطق چند ارزشی لوکاسویچ وقتی ∞→ ،nبا نظریه مجموعه های فازی برپایه عملگرهای minو maxو متمم معمولی یکریخت است. متغیرهای زبانی می گJوییم :در جامع ه ای ب ا م یزان باس وادی ب اال ،ناهنجاریه ای اجتماعی کم است؛ نمی گJوییم :در جامع ه ای ب ا م یزان باس وادی ببیشتر از ،٪90 ناهنجاریهای اجتم اعی در کمتر از ٪23افراد جامعه مشاهده می شود؛ می گوییم :افراد سنگین وزن بیشتر از افراد کم وزن در معرض ایست قلبی هستند؛ نمی گJوییم :افراد سنگین تر از 100کیلوگرم‌ ،دو برابر ونیم بیشتر از افراد زیر 70کیلوگرم در معرض ایست قلبی هستند؛ تعریف متغیر معمولی تعریف :1سه تایی مرتب () )X , U , R (X ; uبطوریکه: • Xنام متغیر • Uزیر مجموعه مرجع • ) R(X ; uیک زیرمجموعه از Uاست که به عنوان تحدیدی بر مقادیری از Uکه Xمی‌ تواند آنها را اختیار کند ،عمل می‌کند. مثال :فرض کنید Xمتغیر طول قد برای انسان‌ها باشد و ) U=(0,250و ] R(X)=[100,150در این صورت ) R(Xنشان دهنده تمام انسان‌هایی است که طول قد آنها حداقل 100و حداکثر 150سانتیمتر باشد ،دقت کنید که ) R(Xیک تحدید برای مجموعه مقادیری است که Xمی‌تواند در Uاختیار کند. بعالوه این تحدید کامًال مشخص و معین است. تعریف متغیر زبانی تعریف :2پنج تایی مرتب ( )X,T(X),U,G,Mبطوریکه: • Xنام متغیر • Uمجموعه مرجع رمهای مربوط به متغیر Xاست • ) T(Xمجموعه ِت ‌ • ترم ،یک مجموعه فازی است که توسط قاعJده نحJوی Gتولید می‌شود • Mی ک قاعJده معنJایی اس ت ک ه ب ه ه ر ت رم ) T(Xمعن ای آن را مربوط می‌سازد ،یعنی تابع عضویت آن ترم را مشخص می‌کند. مثJال :فرض کنید ،Xمتغیر زبانی طول قد باشد و ] ،U=[0,250ترم‌های این متغ یر زب انی ک ه ه ر ک دام ی ک زیرمجموع ه ف ازی از Uهس تند می‌توانن د چ نین باشند :بلند ،کوتاه ،خیلی بلند ،نه خیلی بلند و . ...بنابراین ) T(Xدر اینجا به ص ورت زی ر اس ت ،ک ه البت ه در ح الت کلی می‌توان د توس ط ی ک قاع ده )G(X بطورمنظم تولید شود. } نه خیلی بلند ،خیلی بلند ،کوتاه ،بلند )={... ،طول قد(T ) M(Xقاع ده‌ای اس ت ک ه ت  رم ،معن ایی را ب ه ص ورت ی ک ت ابع عض ویت از U می‌بخشد .مثًال برای ترم ” :Aبلند“ ،می‌توان تابع عضویت زیر را در نظر گرفت }U که در آن 0 u  150 150 u 250 )={(u , A(u)) , uبلند(M 0 ‏ ‏ ‏ 2 1 ‏Au    u  150   ‏  ‏ 1   ‏  30   متغیر زبانی درستی گزارهای می‌تواند بطور پیوسته از ‌ • در منطق ∞-ارزشی مقدار درستی [1و ]0انتخاب شود. • مقادیر درستی گزاره‌ها خود مقادیر زبانی هستند یعنی با متغیر زبانی درستی سر وکار داریم .مجموعه ترم‌های آن می‌تواند به صورت زیر باشد: { ،...نه درست نه نادرست ،... ‌،کامًال درست ‌،خیلی درست ،نادرست، درست} = (درستی) T • • • • مجموعه مرج ع [1و‌U=]0است .برای نمونه یک عضو از (درستی)T مثًال درس ت توس ط مجم وعه‌ی ف ازی از [1و‌I-]0تعری ف می‌ش ود ک ه بستگی به زمینه‌ی کاربرد آن دارد. تعریف بالدوین از ترم ”درست“ تابع همانی است ‌،یعنی A(u) = u بالدوین ترم‌های ”خیلی درست“ را با () 2)A(uو ”تقریب ًا درست“ را با () ½)A(uتعریف می‌کند. مثًال اگر درجه درستی گزاره‌ای 8/0باشد آن گزاره به اندازه 64/0 خیلی درست و به اندازه 89/0تقریبًا درست است.  برای 0ترم ” =Aدرست“ 0: تعریف زاده :تابع عضویت u  ‏a ‏ ‏  u  a  2 ‏Au  2 150 u 250 ‏ ‏  1 a  2 ‏ ‏u ‏ 1 ‏a 1 ‏ ‏1   ‏u 1 ‏ ‏  1  a  2 شJکل :3ترم‌ه ای ”درس ت“ و ”نادرس ت“ (= 6/0 )aب ر اس اس دو تعریف مختلف ‌بال دوین و زاده .ت رم نادرس ت بص ورت منطق کالسیک یا منطق ∞-ارزشی مقدار درستی گزاره ”افراد چاق ،خونسردند“ زیاد است مقدار درستی گزاره ”افراد خونسرد ،صبورند“ تقریبًا درست است مقدار درستی گزاره ”افراد چاق ،صبورند“ کم و بیش درست است • استنتاج زیر در قالب منطق کالسیک و حتی منطق ∞-ارزشی نمی‌گنجد ،اما با استفاده از متغیر زبانی درستی می‌توان بسیاری از گزاره‌ه ا و اس تنتاج‌ها را مانن د اس تنتاج ف وق ص ورت‌بندی و تحلیل کرد. متغیر زبانی احتمالی تعریJف :3یک قیJد زبJانی ،عملگری است که معنای یک ترم (مجموعه فازی) را تغییر می‌دهد .اگر Aیک ترم باشد و mیک قید زبانی ،آنگاه ) B= m(Aیک ترم مرکب است که نتیجه اعمال قید mبر ترم Aاست. الگوهای ریاضی رایج برای قیدهای زبانی : تعمیم چهار عمل اصلی برای اعداد فازی ‏CON Au   A2 u  1 2 (concentration) DIL Au   Au تمرکز 1 2 0  Au   1 ‏ Au  1 2 ‏ 2 ‏2 A u  ‏INT Au   ‏1  21  Au 2 ‏ گسترش یا اتساع )(dilatation تشدید )(Intensification الگوهای قبل به این نحو استفاده می‌شوند که چنانچه Aیک ترم (مجموعه فازی) باشد ،آنگاه داریم : )) Very (A) = CON (Aخیلی (A )) more or less A = DIL (Aکم و بیش (A ) plus A = A1.25بیش از (A ])not (very A ) slightly = INT [ Plus Aکمی (A تعJریف :4متغیر زبانی Xرا سJاخت‌یافته گوییم اگر مجموعه ) T(Xو معانی ترم‌های آن را بتوان توسط یک الگوریتم ،مشخص کرد. شکل 2توابع سازگاری چند ترم از متغیر زبانی «احتمال» مثJال :فرض کنید Xمتغیر طول قد باشد و ] U=[0,250و ترم (مجموعه فازی) بلند قد که آن را با Aنشان می‌دهیم با تابع سازگاری (عضویت) زیر تعریف 0 u  150 ‏ 0 شده باشد. ‏ ‏1 ‏u u   Au    u  150   2  150 u  250 ‏  ‏ 1   بلند ‏  30   قد در این صورت ترم‌های (مجموعه‌های فازی) بیانگر طول قد ”خیلی بلند“ و ”کم بود و بیش بلند“ دارای توابع 0 u  150 سازگاری (عضویت) زیر خواهند 0 ‏ ‏2 ‏very A ConA   u  150   2  150 u  250 ‏  خیلی ‏ 1   ‏  30   بلند 0 u  150 150 u  250 ‏ 0 ‏ 1 ‏ ‏ 2 ‏more or less A DILA   u  150   2 ‏  ‏ 1   کم و ‏  30   بیش بلند شکل 3نمودار توابع سازگاری (عضویت) بلند ،خیلی بلند و کم و بیش بلند مربوط به مثال قبل منطق فازی ویژگی‌ها و سیمای اصلی منطق فازی که آن را از سیستم‌های منطق کالسیک جدا می‌سازد ،به شرح زیر است: .1در سیستم‌های منطق دو ارزشی ،یک گزاره یا درست است و یا نادرست. در منطق‌های چند ارزشی ،هر گزاره می‌تواند درست یا نادرست باشد و یا یک مقدار درستی میانه داشته باشد که این مقدار درستی می‌تواند عضوی از یک مجموعه متناهی یا نامتناهی مقادیر درستی ( Tمعموًال ] )T= [0,1باشد. اما در منطق فازی مقادیر درستی ،زیرمجموعه‌های فازی از [ ]0,1هستند. مثًال «خیلی درست» یک مقدار درستی در منطق فازی است که به وسیله یک زیر مجموعه فازی از [ ]0,1تعریف و توصیف می‌شود .تابع عضویت این مجموعه ف ازی را که در موارد متفاوت می‌ت وان مختلف تعریف کرد ،تابع سازگاری ”خیلی درست“ نیز می‌گوییم.  .3در منطق‌های کالسیک تنها دو سور عمومی و وجودی داریم .که به ترتیب بی انگر هم ه و بعض ی (ح داقل یکی) اس ت .در مقاب ل ،در منط ق ف ازی می‌توانیم از سورهای فازی استفاده کنیم مانند :اکثر ،خیلی ،بندرت ،خیلی کم. ... ، .4در منطق کالسیک تنها قیدی که معنای یک گزاره را تغییر می‌دهد قید نفی (نه ،چنین نیست که) است .اما در منطق فازی می‌توان از قیدهای فازی برای تعدیل و تشدید و ، ...و به طور کلی تغییر معنای گزاره‌ها استفاده کرد .مانند قیدهای خیلی ،کم و بیش ،کمی ،خیلی خیلی. ... ، .5منطق کالسیک یک وجJه توصJیفی دارد که همان وجه درستی گزاره‌هاست و ه ر گزاره یا اس تنتاج از جنب ه درس تی س نجیده می‌ش ود .در ح الی ک ه در منطق فازی سه وجه توصیفی به شرح زیر دارد: .aتوصJیف درسJتی .مانند آنکه بگوییم :گزاره ” :Pاحمد جوان است،“. تقریبًا درست است. در اینجا گزاره Pبه وسیله یک توصیف درستی ارزیابی شده است. استدالل تقریبی مقدمه: اگر x، Aباشد ،آنگاه y، B است. مشاهده x، A :است. نتیجه: y، Bاست. قوانین مقدماتی استنتاج فازی قانون استلزام مثا ل : مریم خیلی جوان است. خیلی جوان زیر مجموعه جوان است. نتیجه :مریم جوان ‏X is A ‏AB _____ ‏X is B قانون عطف مثا ل : هوا خیلی گرم نیست. و هوا خیلی سرد نیست. نتیجه :هوا نه خیلی گرم است و نه خیلی سرد قانون فصل مثا ل : ‏X is A ‏and X is B _________ ‏X is A  B یا فشار خیلی زیاد است. فشار خیلی کم است. نتیجه :فشار ،خیلی زیاد یا خیلی کم است. ‏X is A ‏or X is B _________ ‏X is A  B X is A قانون حاصلضرب دکارتی مثا ل : ‏Y is B _________ فشار زیاد است. دما متوسط است. نتیجه( :فشار و دما)، متوسط × زیاد است. ‏X , Y is R قانون تصویر مثا ل : ‏X , Y is A B _________ ‏X is R X ( )X,Yنزدیک به ()7,3 است. نتیجه X :نزدیک به 7 است. X , Y is R قانون ترکیب مثا ل : هوای کوهرنگ بسیار سردتر از هوای شهرکرد است. هوای شهرکرد سرد است. ‏Y is B _________ ‏X is B  R نتیجه :هوای کوهرنگ بسیار سردتر Oسرد است. قانون نفی مثا ل : ‏not X is A _________ ‏X is A چنین نیست که فشار باال است. نتیجه :فشار باال نیست. قانون (اصل) گسترش که در آن Aی ک مجموع ه ف ازی در Uب ه ص ورت زیر ‏X is A ___________ ‏f X is f A ‏ 1 ‏n  ‏2 ‏A  , , , ‏ ‏u ‏u ‏u 2 ‏n  ‏ 1 و ) f(Aنیز به صورت مجموعه فازی زیر است ‏ 1 ‏n  ‏2 ‏f A  , , , ‏ ‏f u n  ‏ f u1  f u 2  مثا ل : Xکوچک است. نتیجهX2، )2 :کوچک( است. قانون قیاس استثنایی تعمیم یافته ()GMP مثا ل : ‏if X is A then Y is B مقدمه : ‏X is A مشاهده : ‏Y is B نتیجه : مقدمه:اگر فشار بیش از 10باشد ،آنگاه دما بیش از °65است. مشاهده:فشار بیش از 10است. نتیجه:دما بیش از °65است. استنتاج فازی به وسیله قانون ترکیبی )CRI( استنتاج P1 : if X is A then Y is B P2 : X is A*  Y is B* , B* = A* O R = A* O (A × B) مثال :قانون فازی P1و مشاهده P2به صورت زیر داده شده‌اند :P1اگر در یک روز هوا بارانی ( )Aباشد؛ آن شب هوا مرطوب ( )Bاست. :P2امروز هوا نیمه بارانی ( )*Aاست. که در آن مجموعه‌های فازی (توزیع‌های امکان) بیانگر = Aهوای بارانی و = B هوای مرطوب و = *Aهوای نیمه بارانی از مجموعه‌های مرجع Uو Vزیر می‌باش ند .ب رای س ادگی ،مجموعه‌ه ای مرج ع را گسس ته اختی ار ک رده‌ایم. رطوبت به نزدیک‌ترین عدد بارندگی درجهU  یا 0 , 5 , , 15و10 بنابراین فرض کنید هر مقدار , 20  از مجموعه مرجع خود گرد  شودV  25 , 50 , 75 , 100. مجموعه مرجع میزان بارندگی ‏ 0 0.3 0.6 0.8 1  ‏A  , , , , ‏ مجموعه مرجع درجه رطوبت 0 5 10 15 20 ‏ ‏ ‏ 0.1 0.4 0.7 0.9  ‏B  , , , ‏ ‏ 25 50 75 100  ‏ 0.1 0.4 1 0.4 0.1  ‏A*  , , , , ‏ ‏ 0 5 10 15 20  بارانی مرطوب مشاهده (نیمه بارانی) حال می‌خ واهیم درب اره م یزان رط وبت ه وای امش ب اس تنتاجی انج ام دهیم. یعنی یافتن یک مجموعه فازی *Bاز Vکه گزاره نتیجه زیر را کامل کند. امشب هوا )*B( ....است. بر اساس رابطه B* = A* O Rباید ابتدا Rو آنگاه A* O Rرا بیابیم .همانطور که گفته شد انتخاب‌های مختلفی برای رابطه استلزام Rو عملگر ترکیب O در A*O Rپیشنهاد شده است .ما در اینجا از دو عملگر رایج minو product ‏ 0.1 0.4 0.6 0.6  ‏B *  , , ‌کنیم, . استفاده کرده *Bرا min محاسبه م ‏ی  ‏ 25 50 75 100  ‏product ‏ ‏ 0.06 0.24 0.42 0.54  ‏B  , , , ‏ 75 100  ‏ 25 50 * استنتاج فازي به روش مقايسه الگو ()PM ‏P1 : if X is A then Y is B *P2 : X is A ‏Y is B * ‏B * min 1, B (v) / SM  الف) روش افزايش تابع عضويت: ‏ عضويتB * T B (v), SM : ب) روش کاهش تابع که در آن • ‌Tيک -Tنرم مناسب به ويژه ضرب است. • ‌SMميزان مشابهت ‌Aو *Aيا ميزان زيرمجموعگي *A در ‌Aاست. ميزان مشابهت برحسب فاصله تعJریف :1ف رض کنی د Aو Bدو زی ر مجموع ه ف ازی (تعری ف ش ده در m 1 نقطه) از مجموعه مرجع متناهی گسسته PX pباشند .فاصJله 1 Aو Bبه صورت ‏DM A , B      Ax  Bx   زیر تعریف می‌شود ‏m  xX ‏ 1 2 فاصله اقلیدسی در می1 2 ‌آید که در حالت خاص برای P = 2به صورت DM A , B      Ax  Bx   ‏m  xX ‏ صورتT  A ‌شودDM A تعریف 1می, B  زیر  sup همچنین اندازه دیگری برای فاصله Aو )Bبه( x), B( x ‏x که در آن -Tنرم دلخواه را می‌توان به کار برد. تعJریف :2با مفروضات تعریف پیشین ،انJدازه مشJابهت Aو Bبه صورت تابعی معکوس از فاصله Aو ،Bو یا مکمل آن ،تعریف می‌شود. یعنی یا ‏1  DM A , B  ‏SM A , B   1 ‏SM A , B  1  DM A , B  که با استفاده از رابطه سوم در تعریف قبل برای برای اندازه فاصله، ‏SM A , B  sup T  Ax  , Bx  ‌آید: رابطه قبل بدین صورت در می x مثJال :فرض کنی د } X={ 1 , 2 , … , 10و دو مجموع ه ف ازی Aو Bاز Xبه ‏ 1 0.8 0.6 0.4 0.2  صورت زیر تعریف شوند. ‏A  , , , , ‏ ‏1 2 3 4 5  ‏ 1 0.4 0.7 1 0.7 0.4 0.1  ‏B  , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 8 ‏ ‏ ‏ ‏ 1 1 2 2 داریم: تعریف8  ‏DM A , B    A1 B1   یک  A بنابر رابطه یک 2از B8 8 1 1 1.71 2 ‏  1 , , 0.01   ‏0.21 8 8 minبه جای -T نظر همچنین از رابطه دو از گرفتنA , B  تعریفx یک, Bوx با A ‏ عملگرDM ‏1  sup درmin نرم داریم ‏x ‏1  sup  0 , 0.1 ,  , 0  1  0.4 0.6 ‏x ميزان زيرمجموعگي تعJریف :3با مفروضات تعریف 1مJیزان زیرمجمJوعگی Aدر Bبه صورت زیر تعریف می‌شود ‏A B ‏A ‏QA , B   که در آن | |Aعدد اصلی مجموعه Aاست. همچ نین م یزان فJوق مجمJوعگی  A صO ‏A,B نسA , B ورت متمم م یزان 1ب ه بت بQه ،B  زیرمجموعگی تعریف می‌شود .یعنی ‏AB از تعریف زیرمجموعگی معلوم می‌شود که در حالت خاص‌که Q(A,B)=1و نیز اگر .آنگاه .Q(A , B) = Q(B , A) = 0 ‏A  B  ،داریم مثال :برای دو مجموعه Aو Bبه صورت زیر داریم: ‏ 1 0.8 0.6 0.4 0.2  ‏A  , , , , ‏ ‏1 2 3 4 5  ‏ 1 0.4 0.7 1 0.7 0.4 0.1  ‏B  , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 8 ‏ ‏ ‏ 0.1 0.4 0.4 0.2  ‏A  B  , , , ‏ 2 3 4 5 ‏ ‏ و ‏A  B 0.1    0.2 1.1 و لذا زیر مجموعگی Aدر B 1.1 ‏ 0.37 3 فوق مجموعگی Aنسبت به B و ‏A 1    0.2 3 ‏A B ‏A ‏QA , B   ‏OA , B  1  0.37 0.63 یعنی مجموعه Aبه اندازه 0.37زیرمجموعه Bاست و بالعکس مجموعه Bبه اندازه 0.63فوق مجموعه Aاست.