آشنایی با فلسفه ریاضی

صفحه 1:
| 

صفحه 2:
: ماهیت قلسفه : روش جدید ریاضی : منطق نمادی : بحرانهای تاریخی در مبانی ریاضیات : فلسفه های ریاضی فش ۰ نوات ریاشی : بحثى فلسفى در باب اصل موضوع انتخاب 

صفحه 3:
ها 1۲۰ ‎١‏ ‏ا هداف اموزشی در سر "" بررسی ماهیت فلسفه * ارائه فلسفه های اصلی ریاضیات * نقد فلسفه های موجود * تحلیل فلسفی فلسفه * تاثیر شناخت فلسفی در آموزش ریاضی 8 آشنایی با بحرانهای ریاضی 

صفحه 4:
ها کی ۲ تس یک ماهیت فلسفه اهداف فصل "ا توضيح پیرامون ماهیت فلسفه "ا نظریات ریاضیدانان "ا مقایسه علم وقلسفه ‎ale CY pus‏ وفلسفه ومقایسه آنها 

صفحه 5:
SS ‏فصل یک‎ ماهیت ؤأسفه تقسیم بندی بر اساس سوالاتی از قبیل : "ا ماهیت وجود * ماهیت حقیقت "" ماهیت معرفت "ا ماهیت زیبایی 

صفحه 6:
تست ایده آلیسم ‎Saal,‏ | * پراگماتیسم * مفهوم گرا 

صفحه 7:
" فلاسفه پیرورواقیون آن را به فیزیک» اخلاق و منطق تقسیم می کردند. برخی فلاسفه آن را به مابعد الطبیعه» معرفت شناسی» منطق وارزش شناسی تقسیم می کنند. 

صفحه 8:
سوزانا لانگر : فلسفه بیشتر توسط تنظیم مسئله های خود مشخص می شود تا راه حل هایش برای آنان. نلسون گودمن : شاید روزی فرا رسد که در فلسفه بیشتر " بررسی " انجام گیرد تا " مجادله " و فلاسفه همانند صاحبان علم بیشتر بر حسب عناوینی که بررسی میکنند شناخته می شوند تا نظریاتی که دارند. 

صفحه 9:
a ‏فصل یک‎ ‏فلسفه علم فیزیک و ریاضی‎ ‏در فلسفه علم فیزیک از مفا هیم بنیادی چون جرم » زمان و‎ ‏طول بحث ميشود.‎ ‏در فلسفه رياضيات اينكه مبانى رياضيات بر جه جيزهايى‎ ‏قرار دارد بحث مى شود.‎ السفه هر علم نقد آن عم است, 

صفحه 10:
پلوتارک : سقراط نه صندلی برای شاگردانش چیده بودونه برکرسی می نشست نه ساعاتی ررابرای سخنرانیهایش از پیش تعیین می کرد. اوهميشه درحال فلسفیدن بود. هنگامی که لطیفه می گفت» موقعی که درحال آشامیدن بود درآن حال که درخدمت سربازی بود هرجا شما رادرخیابان ملاقات می کرد وسرانجام هنگامی که درزندان بود و زهررا می نوشید. 

صفحه 11:
یک وظیفه عمده فلسفه تصریح اين مطلب است که چه راهنمایی می تواند برای تجربه کردن منطقی به نظر آید. آیا آنجا که چنین صراحتهایی بتواند پیش از تجاربی خاص روشن گردد انها از نظر نقش مقدم بر آن تجارب خاص می باشند؟ 11 

صفحه 12:
"ا فلسفه در پرتو تجربه در حال انجام خود » قوانین خود را » که همان فهم از خود فلسفه است تبیین ميكند. * نتیجه فلسفه تعدادی قضیه فلسفی نیست» بلکه ریوشن ساختن قضیه ها است, 

صفحه 13:
SS ‏ل كك‎ ‏أس مقاصد علْمم‎ بندی بر اساس ی "ا فلسفه فیزیک "" فلسفه ریاضی "ا فلسفه هنر * فلسفه تاريخ "ا فلسفه آموزش و پرورش 8 فلسفه فلسفه 

صفحه 14:
= HO * برتراند راسل : فلسفه ای مناسب است که با مطالب مورد علاقه مردم تحصیل کرده معمولی سروکار داشته باشد. سی.ای. لوییس : ویژگی ممتاز فلسفه این است که فلسفه کار هرکسی است. نلسون گودمن : فلسفه به عنوان نقشی است برای روشن ساختن پیچیدگی ودرهمی سطوح اسفل تا سطوح اعلی سطح 

صفحه 15:
" اچ گوردون هولفیش : فلسفه به انسان درتفکر به نتایج اعمال روزانه کمک می کند تابا حکمتی بیشتر نتایجی برگزیند تا تفکراتش را عمیق کند. * افلاطون : پادشاهان باید فیلسوف باشند! * وتینگشتاین : فلسفه نظریه نیست بلکه عمل است. 15 

صفحه 16:
‎SS 222222--22272722----0-0‏ فصل یک ویژگی ماهیت فلسفه ۴ بازتابشی * خود پیروی : روش شناسی ومحدودیتهای از درون تعریف شده واين به معنی خود پیروی است. ‎16 

صفحه 17:
ها کی ۲ اهم امور فا فلسفه - "ا معرفت ازحقيقت امور "ا دريافت روابط ايده ها يا نظريات 8 قضاوتهای ارزشی 

صفحه 18:
مقصد نهایی علم : اصلاح وگسترش معرفت انسان از حقیقت امور * مقصد نهایی فلسفه : بهبود کیفیت قضاوتهای ارزشی انسان * سوالهای علمی : چگونگی وبیان واقعیات سوالهای فلسفی : بررسی ماهیت پدیده ها "ا مثالی ازکارعلمی درریاضی : اثبات یک قضیه * مثالی ازکارفلسفی در ریاضی : نقد روش اثبات 

صفحه 19:
تصل یک تمایز علم و فاسفه تمایزدرنحوه سئوالها سوالهای فلسفی 8 عدد چیست ؟ * آیا هندسه تبیین فیزیکی جهان خارج است یا علمی است مجرد وذهنی ؟ 8 دوات ریاضی کدامند ؟ * منطق حاکم برقضایا کدامند ؟ 

صفحه 20:
تمایزدرنحوه سئوالها سئوالهای علمی عدد مختلط چیست ؟ "ا تعریف مجموعه چیست ؟ بیان قضیه فیتاغورس درهندسه چگونه است ؟ نظریه نسبیت انیشتین چه می گوید ؟ 

صفحه 21:
"ا بعضی می گویند " قلسفه علم ء نگاه است به علم ازبیریون * بایداذعان کرداین گفته درستی نیست. کسی که ریاضی نمی داند فلسفه ریاضی نیزنخواهد دانست. کسی که تخصص علم فیزیک ندارد ازماهیت این علم چیزی نخواهد فهمید. فیلسوف ریاضی ریاضیدانی آشنا به روش ریاضی بوده و مبانی کلاسیک ریاضیات را فهمیده وتدریس کرده است. 21 

صفحه 22:
اهداف فصل "" آشنایی با روش جدید رییاضی فرمول بندی نظریه های منطقی * ارایه متالی ساده ازشاخه ای ازریاضیات * بیان سه کاربرد شاخه فوق الذکر * ارایه ویژگیهای مجموعه های بنداشتی 

صفحه 23:
* مبنای روش : قیاس واستنتاج "ا منشا روش : هندسه وجبر. # کاربران روش : صاحبان تئوری بنداشتی یا قیاسی شناخت سریع روش : بهره برداری ازروشهای جبروهندسه بنیانگذاران روش : هیلبرت لباچفسکی, اقلیدس» پوانکاره» کلاین» گاوس, بویویی 

صفحه 24:
SS ‏وش جديد رياضي ادامه‎ ‏جدید ریاصی‎ ابزارهای الگوهای منطقی 8 گزاره ها 8 متغیرها * توابع گزاره ای "ا حدود تعریف نشده * بنداشتها 8 توابع دکترین فرضیه ای 

صفحه 25:
"ا مشتمل برعبارتهای اولیه يا حدود تعریف نشده تعریف کلیه اصطلاحات به کمک عبارتهای اولیه مشتمل برمجموعه ای ازلحکام در باب خبارتهای ارلیه موسوم به بنداشتها یااحکام اولیه ( بدون اثبات ) 

صفحه 26:
* نتیجه گیری منطقی احکام جدید ازبنداشتها موسوم به قضایای تئوری ( با اثبات ) الگوی تفکربنداشتی مبتنی برعباراتی متناظر هرقضیه که دراثبات قضیه به همراه اثبات آورده می شود نظیر " این برهان راکامل می کند ". 

صفحه 27:
— ل دو ‎٠‏ ات هم عن اك و ام نک ن صیک بو عدوان دروا مصريلن ‏* راسل ریاضیات را به عنوان گردایه همه توابع دکترین فرضیه ای می انگارد. وى مى كويد : ” ریاضیات را میتوان موضوعی تلقی کرد که درآن ما هرگز نمی دانیم درباره چه چیزی صحبت می کنیم ونمی دانیم آنچه که می گوییم درست است یا نادرست ”. این تعبیربا گفته هانری پوانکاره مطابقت دارد که می گوید " ریاضیات عبارتست ازآنکه به چیزهای مختلف نام یکسان بدهیم " 

صفحه 28:
اشیا تعریف نشده : * مجموعه ) متشکل از اشیای تعریف نشده 7 ب ۱ "ا رابطه دوتائى 6 که اعضای ) را به هم نسبت می دهد هرگاه هن با ‎b‏ رابطه داشته باشد» می نویسیم ‎ub‏ 28 

صفحه 29:
بنداشتها: 8 : لكر ه مخاقط باشد. آنگاه اه یا 6۲0 8 : لگر اجب آنگاه با مخالفي لست 8 : لگر واه و ‎2S bRo‏ اه . 8 <) دقیقا چهارعضو دارد. 

صفحه 30:
قضیه 4 : اگر 6 آنگاه 0( . 8 قضیه © : اگر ج مخالف ه و همچنینم مخالف ما باشد و ٩ب‏ آنگاه يا ۲ب یا ‎.oRb‏ * قضیه 9 : حداقل یک عضودر ) هست که باهیچ عضو ) نسبت ندارد. 

صفحه 31:
8 قضیه ) : فقط یک عضو در 0 هست که با هیچ عضو 4 نسبت ؟) ندارد. "ا تعریف ) : هرگاه 0( گوییم 00۲ "ا قضیه 6 : هرگاه ۰۳0 )> آنگاه ‎Wo‏ . 

صفحه 32:
فصز فصل دو ‎Clie‏ ادامه ‏تعریف 6۵ : هرگاه ‎٩‏ وهیچ عضو ح در ) موجود نباشد به طوری که ۲7( و ‎Rb‏ گوییم ۰6 . ‎Apel‏ 0 : هرگاه هو 2۶ آنگاه حاجن 

صفحه 33:
a ‏فصل دو‎ مثال ادامه 8 قضیه 2" : هرگاه مه و ۶ آنگاه )7 * تعریف 6 : اگر 00 و )را آنگاه گوییم 2 . 

صفحه 34:
" ۲۲۲۲۲" ‎١‏ ةا أذ متا ‎Ks oa‏ لت ات اب ‏می توان این شاخه ریاضی را درمجموعه ای متشکل از ‎34 ‏جهارنفر بكار برد: يك مردء پدر آن مرد» پدر پدرآن ‏مرد » پدرپدر پدرآن مرد . ۰ به معنى سلف مى باشد. متضاد سلف را خلف می نامند. بااین تفسیریک مدل بدست می آید وقضیه ها وتعاریف فوق دراین مورداحکامی درست هستند بیان قضایا دراین مدل عبارتنداز : 

صفحه 35:
ف كر مسكر داشنا از مثال ادامه ب در سجره سباسی ر مدال ادام "ا قضيه ) : اكر بن سلف ما باشد» آنكاه دا سلف » نيست . 8 قضیه 0 : اگر ج فردی متمایز از ب وطا باشد وه يك سلف و باشد آنگاه یا مسلف -است و ياج سلف و است . "ا قضيه © : حداقل یک مرددر ) هست که سلف هیچ فردى در ) نیست 35 

صفحه 36:
a ‏فصل دو‎ ‏کاربرد درشجره شناسی ازمتال ادامه‎ ‏قضیه 4 : فقط یک مرد در) هست که سلف هیچ فردی‎ #8 ‏در 0 نیست‎ ‏تعریف : اگرم سلف وباشد» گوییم ب خلف ما است.‎ * 

صفحه 37:
فصل دو کاربرد درشجره شنا * تعریف 6 : اگر ب خلف ۲ و ۲ خلف ‎b>‏ آنگاه ب خلف ‏ است. "ا تعریف 6 : اگر و یک سلف ما باشد وهیچ فردی چون 7 موجودنباشد که ب سلف ‏ و سلف ما باشد» گوییم ب پدر «ا است. 

صفحه 38:
فصل دو که را ‎Nice Ra ere coe‏ 3 کاربرد درشجره شناسی 8 قضیه 9 : هرمرد حداکثریک پدردارد. "ا قضیه 2 : هرگاه هن يدرط و ط يدر ج باشدء » پدری نیست. "ا تعريفه © : هركاه ه يدر ءا و ا يدر ج باشد كوييم - يدر ‎cul Sy‏ 38 

صفحه 39:
" اگر ) متشکل ازچهار نقطه متمایزواقع بریک خط باشد و 8 به معنی " سمت چپ " باشد بازهم بنداشتها برقرار. بوده وشاخه دومی از ریاضیات کاربردی حاصل می شود. این يك مدل هندسى است. رابطه به معنى” سمت راست ” ورابطه ‎١١‏ به معنى ” نقطه بعدى )1) سمت جب ” ورابطه :ابه معنى ” دومين نقطه )1) سمت ‎cot "Gap‏ باشد 39 

صفحه 40:
ياك حسابي ن أزمتال ) متشكلازجهارعدد صحيح عو ©و ©و *6 میب‌اشد. رلبطه 8) ب4 معنى ” كوجكتراز ” موياشد. لينبارنيز بندلشتها برقراروشاخه جديدوازرياضياتكاربردىوحاصل می‌شود. در لینجا رلبطه 0) ب4 معنئٌ بزركتر از” و ريلبطه <) به معنى” يكولحد كوجكتر از ” ورلبطه 085 به معنى” دوولحد كوجكتراز” موياشد. 

صفحه 41:
SS ‏فصل دو‎ ‏رگ اى مجموعه بنداشتيم‎ ويرحيها 0 هم ارز ء ‎co‏ )0( "ا دو سیستم بنداشتی 6 , 6 راهم ارزمی نامند هرگاه هر ‎alas‏ دیگری را نتیجه دهد. هرگاه دوسیستم بنداشتی هم ارز باشند. دومطالعه مجردی که ازآن نتيجه گردد» یکی خواهد بود. 8 مثال قبل با ۴ 6 ,5 ,0 و قضیه ) * هم ارز است. 41 

صفحه 42:
* اکنون اين سئوال پیش می آید که ازمیان دوسیسنم بنداشتی کدامیک بهتراست ؟ شايدهيج ضابطه ای وجود نداشته باشد. به نظرمی آید آن سیستمی که تعداد عبارتهای اولیه وبنداشتهای کمتری دارد بهتراست . اما به آسانی می توان دریافت که کاهش تعداد بنداشتها به یک حد اقل» قدری تصنعی است. حتی می توان همه بنداشتهای یک مجموعه را دریک بنداشت بزرگ اما پیچیده جمع کنیم. 42 

صفحه 43:
حکم ساده ” يك و فقط يك م هست كه در («) صدق كند ” را ميتوان با ينج حكم زير تعويض كرد : )- تعداد »د هايى كه در («) صدق مى كند فرد است 8 تعداد بر هايى كه در () صدق می کند کمتر از 6 است 9- تعداد بر هایی که در (م« صدق مى كند برابر ۸ نیست ۶ تعداد بر هایی که در ()» صدق می کند برابر © نیست 0- تعداد بر هایی که در (مم)ب» صدق می کند برابر © نيست 43 

صفحه 44:
4- هم ارزی (4) مقایسه دو سیستم بنداشتی یک مجموعه بنداشتی ممکن است به اين دلیل بردیگری رجحان داشته باشد که قضیه ‎Gla‏ کلیدی آن تئوری را سریعتربتوان نتیجه گیری کرد. دراين راستا ممکن است چنین نتیجه های کلیدی رادرمجموعه بنداشتی قرارداده و بی هیچ اتلاف وقتی بدانها دست یافت. 44 

صفحه 45:
یک مجموعه بنداشتی راسازگارمی نامند اگردوگزاره متناقض ازآن نتیجه نشود. مجموعه بنداشتی ناسازگار فاقد ارزش است. * روش مناسب برای کنترل سازگاری :استفاده ازروش مدل سازی. اين کار با معنا دادن به عبارتهای اولیه حاصل می شود ( مانند مدلهای هندسی» حسابی وشجره شناسی که به مثال قبل ارانه کردیم ) 45 

صفحه 46:
انواع مدل : ملموس وایده آل. مدل ملموس : مدلی که هرگاه معنا پی که به عبارتهای اولیه آن متناظرمی گرددعبارت ازاشیا وروابطی باشدکه ازجهان واقعی اقتباس شده است. 46 

صفحه 47:
* مدل ایده آل :هرگاه معنایی که به عبارتهای اولیه متناظر می گرددعبارت ازاشیا وروابطی باشد که ازسیستم بنداشتی دیگری اقتباس شده است. چنین نیست که هميشه بتوان یک مدل ملموس ازیک مجموعه بنداشتی عرضه کرد. خصوصا وقتی مجموعه بنداشتی شامل نامتناهی عنصر ‎ails)‏ باشد» عرضه مدل ملموس غير ممکن است» زیرا جهان واقعی شامل نامتناهی ازاشیا 47 

صفحه 48:
سازگاری نسبی ابزاری از. ربوی ناچاری "! برای اثبات هندسه مسطحه لباچفسکی ازایده سازگاری 48 نسبی استفاده می شود (هندسه لباچفسکی سازگاراست اگر هندسه اقلیدسی سازگارباشد ) بطوریکه مفاهیم خاصی را از هندسه اقلیدسی به کار گرفته ومدل ایده آلی از هندسه لباچفسکی را که به مدل پوانکاره مشهوراست به دست می آوریم سپس نشان می دهیم هندسه لباچفسکی سازگاراست اگرهندسه اقلیدسی سازگار باشد. 

صفحه 49:
وه اثبات سازگاری به روش مدلها یک اثبات غیرمستقیم هیلبرت مساله اثبات سازگاری اعداد حقیقی رابه روش مستقیم مورد مطالعه قرار داد ولی موفقیت چندانی بدست نیاورد. زیرااین روش به قواعد استنتاج منطقی بستگی دارد وهرتغییری دراین قواعد میتواند اثبات سازگاری ازاين نوع رادگرگون سازد. 

صفحه 50:
"ا یک بنداشت ازیک مجموعه بنداشتی را مستقل می نامند هرگاه نتيجه منطقی ازدیگربنداشتهای آن مجموعه نباشد. یک مجموعه بنداشتی را مستقل نامیم هرگاه هر یک ازبنداشتهای آن مستقل باشد. 

صفحه 51:
؛ - استقلال * مثال ازیک بنداشت مستقل : بنداشت توازی اقلیدس مستقل است. 8 مثال ازیک مجموعه بنداشتی مستقل : مجموعه بنداشتی هندسه اقلیدسی ( شامل پنج بنداشت ) مستقل است. 51 

صفحه 52:
کاهش بنداشتها 8 استقلال یک مجمو عه بنداشنی عموماالزامی نیست یعنی یک مجموعه بنداشتی بدلیل عدم استقلال آن فاقداززش نخواهد بود. 52 

صفحه 53:
کاهش بنداشتها * مجموعه های بنداشتی مشهوری بودند که درآغازنا خواسته شامل بنداشتهای غیر مستقل بودند. مثلا مجموعه بنداشتهای هیلبرت چنین بود. بعدا نشان داده شد که این مجموعه شامل دوبنداشت است که ازدیگر بنداشتها نتیجه می شوند . کاهش این بنداشتها از اعتبارسیستم هیلبرت نمی کاهد. 

صفحه 54:
کاهش بنداشتها "ا مجموعه مشهو آر. ال. مور متشکل از هشت بنداشت اساس توپولوژی مدرن رابنا نهاده بود» آر.ال. ویلدر توانست این مجموعه رابه هفت بنداشت تقلیل دهد وبنداشت ششم موررا ‎Gin‏ کرد. " درواقع هرمجموعه بنداشتی مستل یا نا مستقل را به آسانی می توان با استفاده از رابطهای گزارهای به یک مجموعه مستقل وحتی متشکل ازتنها یک بنداشت تبدیل کرد. 

صفحه 55:
"ا یک مجموعه بنداشتی سازگاررا تمام می نامند هرگاه بدون توسعه عبارتهای اولیه نتوانیم بندشت مستقل دیگربی ریابه آن مجموعه بیفزائیم. * آزمون تمامیت:استفاده ازمفاهیم " کاتاگوری" و یکریختی". 

صفحه 56:
SS ‏فصل سه‎ نط منطو نمادى اهداف فصل 8 آشنائى با منطق نمادى "ا آشنائى با تاريخجه اين علم " آشنائى با منطقهاى جند ارزشى 

صفحه 57:
5 | 4 فصل سا 02©0 لايينيتزدرمقاله اى كه منتشر كرد " ©0602 و 096 جرج بول درمقالات منتشره 8 0962 اگوست دمورگان دررساله ای که منتشر کرد * 0 و 196 ارنست شرودردرکتاب " پیش درآمدی برجبرمنطق * 

صفحه 58:
تاریخچه ‎dere 9 *‏ گوتلب فرگه ‏۴ <066/پنانودرکتاب فرمولبندی ریاضیات ‏"ا وایتهد و راسل در کتاب اصول ریاضیات ‏# 195-1996 دیویدهیلبرت وپاول برنایزدرکتب مبانی ریاضیات ‏6 1096 --- مجله ادواری منطق نمادی 

صفحه 59:
اصول منصی نمادی نشان دادن عبارات اولیه با نمادها وعلائم مجردعاری ازسوی تفاهمات موجود درزبان معمولی 5 تمیش روابط بین احکام: محموحه ها ؛ رده ها ونظایرآن به وسیله فرمولها 

صفحه 60:
* گزاره : جمله ای بامحتوای درست یا نادرست ل ساخت : ساخت گزاره ها به کمک پنج نمادعطف؛ فصل» شرط دوشرط نقيض ساخت گزاره های جدید ازترکیب گزاره ها ساخت جدول ارزشی گزاره ها بررسی هم ارزی گزاره ها بااستفاده ازجدول ارزشی 60 

صفحه 61:
برخی قوانین 8 قانون طرد شق وسط 8 قانون نقض * قانون تعدی شرطی * قانون نفی ثانی * قانون عکس نقیض 61 

صفحه 62:
وحم وهم ‎ry‏ ‎poy‏ ‎poy‏ ‏۳۹ ‎Pug‏ ۳ (PA) ۳9 ‏دروحخم)‎ ‏درحوحكم)‎ ‎part ‎Lewes)" ‏دزو يم)‎ ‏لوجر‎ ‎]) ‏[(وجم)ج زوجو‎ 

صفحه 63:
a حساب گز اره ها زار * اجرای روش بنداشتی باشروع ازبنداشتها شروع ازمفروضات وختم به نتایج عدم توجه به درستی یانا درستی مفروضات 8 توجه به درستی استدلال دراثباتها 63 

صفحه 64:
64 (CW) Bo ‏ساب خر‎ روش ساخت : با تعداداندکی ازاتحادهای منطقی بقیه آنها بر طبق قواعد مشخص قواعد منطقی به دست می آیند . در اين روش اتحادها به وسیله محاسبات نمادی بدست می آیند. در اين روش اندکی ازمجموعه همه اتحادها به عنوان بنداشت انتخاب شده وسپس برطبق قواعد صوری دیگر اتحادهای منطقی به دست می آیند. این قواعدهمان نقشی رادرگسترش حساب گزاره ها دارندکه نتیجه گیری منطقی درگسترش هر ‎wos) Gost‏ 

صفحه 65:
"ا مجموعه ای مانند) متشکل از ‎Lo. pq‏ که گزاره می نامیم. " عمل دوتايى كه براعضای )اثرکرده وبا ۲ نشان می دهیم. "ا عمل دوتایی که براعضای )اثرکرده وبا * نشان می دهیم. سایراعمال به دلیل تعریف پذیری بااعمال فوق نیازبه تعریف ندارند. 65 

صفحه 66:
a Aue ‏و‎ تا ما ها ‎ay‏ ‏ی اسر سب تعریف )- وحم به معنى ورم مى باشد " ورج (ويص) - )را " (ورص) حو - هرا " (صو)ج (مم)- هنا " [لصم)ج رزصيم)] ب رصجه) - ‎LP‏ 

صفحه 67:
- قاعدم جایگرینی دریکلتحاد هرجاگزاره ب هستآن رلباگزارم م میتولنیم جایگزین‌سازيم ‎RO F‏ قاعدم جایگرینیت عریفی:جایگوینی‌هر بارتی‌در یکلتحاد باعارتمعادل‌آن ‏8 ۲9) - قاعدم لستلزلم : هوگام مب وم برقرارباشد» » برقرارلستب ‎gap Cake wtcLi_ REA‏ كزاره درستي وب مى توان‌لتحاد ثانویه مس رلبدستآورد. ‎67 

صفحه 68:
SS ‏ل سه‎ فضاياى حساب كزاره ها برخى فضاياى ب در ار 8 قضیه 0 ‎[porR)(poa)o(qor)‏ ‏"ا قضيه © ‎po(py)‏ "ا قضيه © مرجم "ا قضيه 62 دومح pop 9 ‏قضیه‎ 8 

صفحه 69:
SS ‎١.2 1 oe 2‏ 1 برخی قضایای حساب کزاره ها ‎٩‏ قضیه 8 مدبم‌دجم: 8 قضیه ۰۲ : ‎p>7(7p)‏ ‏۴ قضیه 0 ((7۳) ]7 ‏8 قضیه © :حمج+(م)د ‎Opor(7p) ‏قضیه‎ 8 

صفحه 70:
SS ‏با‎ فصل سه نطه حند.۱۱ ۱ 8 با متطه ‎Veda)! ue‏ منطق جند ارزشى يا منطق ‎sige! pe‏ 8 0 جی لوکازیویچ : بنا كذاشتن منطق سه ارزشى 062900 اى. ال. يست : بنا كذاشتن منطق © ارزشى 8 9 اچ ریچن باخ : بنا گذاشتن منطق بینهایت ارزشی " 1909 اف سویسکی : بکار گیری منطق چندارزشی در نظریه کوانتم فیزیک 

صفحه 71:
* برای عامه مردم باورکردنی نیست که شق دیگری ازقوانین منطقی بجزآنچه ارسطو درفرن چهارم قبل ازمیلاد بیان کرده است وجود داشته باشد. "!ا احساس عمومی براین است که قوانین منطق ارسطو به گونه ای با ساختار جهان و لذا با طبیعت استدلال انسانها در آميخته اند. "" اين منطق گرایی منطقی سرانجام درسال 16(6(0 فروريخت. 

صفحه 72:
آلونزویج : ماهیچ وجهی از یکتایی يا درستی مطلق را به هیچ یک از سیستمهای منطقی اطلاق نمی کنیم. ذوات منطقهای صوری مجردات هستند که به خاطر استفاده آنها در توصیف و سازماندهی به حقایق تجربی یا مشاهدات اختراع شده اند. ویژگیهای این ذوات به گونه ای بی روح و خشک برای استفاده مورد نظرمشخص می شوند. این ویژگی ها به انتخاب دلخواه مخترع نیز بستگی دارند. 

صفحه 73:
"ا پذیرش سه نوع ارزش درست. نادرست. نیمه درست "ا نوع جدول ارزشی : جدولی چهاردرچهاربرای عطف وجدولی چهاردردو برای نقیض تعداد جداول ارزشی ممکن : 000 نوع جدول ارزشی متفاوت 

صفحه 74:
ساختن جدول ارزش هریک ازرابطهای منطقی باقیمانده بر حسب جدول عطف ونقیض " ارتباط نزدیک بين منطقهای چند ارزشی ونظریه احتمال 

صفحه 75:
a Aue 5 یی جدول عاطف يك جدول ‎able‏ درمنطق سه 3 Alan ‏ارزشی‎ ‏م‎ 2 7 7, 6 2?) 2 87 e e ‏م«‎ iG 

صفحه 76:
* دو جدول ارزشی نقیض در ق‌ سه ارزشی Dp e P ۶ م 

صفحه 77:
"ا جورج کانتور: جوهره ریاضیات درآزادی نهفته است. منطقهای غیرارسطویی در کشف و پیشرفت علمی سهم بزرگی دارند. وقتی ازاینشتاین سنوال شد چگونه تئوری نسبیت را اختراع کردی پاسخ داد : یک اصل علمی را مورد سئوال وکاوش قرار دادم. "" هامیلتون وکیلی بنداشت جابجایی ضرب رامورد تردید قرار دادند 

صفحه 78:
خواجه نصیرطوسی, لباچفسکی وبویوئی اصل توازیی اقلیدس رامورد سئوال قراردادند. "ا کپرنیک این اصل را که زمین مرکز منظومه شمسی است مورد تردید قرارداد. # گالیله سقوط سریع اجسام سنگین را مورد تردید قرارداد. 

صفحه 79:
اهداف فصل "ا بررسی سه بحران ریاضی " بحرانی که هنوزرفع نشده است * پارادوکسهای نظریه مجموعه ها پارادوکسهای راسل وکانتور 

صفحه 80:
" زمان : قرن پنجم قبل ازمیلاد # منشا بحران : کمیتهای هندسی نامتناسب " رفع بحران : 00200 سال قبل ازمیلاد توسط ادوکسوس * تلاشی دیگردرراستای رفع بحران : ‎Den MORE‏ ددکیند نتیجه تاریخی : ابطال نظریه فیثاغورثیان درباب کمیتها 80 

صفحه 81:
"" زمان پیدایش بحران : اواخرقرن هفدهم * منشا بحران : کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتن ولایپ نیتز #8 موضوع بحران : تناقض و پارادوکسها درمفاهیم مشتق و نمومتغیرونسبت تغییرنموبه رشد موه 8 مفاهیم مبهم : کمیتهای بینهایت کوچک. سریهای نامتناهی » توان صفر 81 

صفحه 82:
تلاش برای رفع بحران کارل وایراشتراوس : مقابله با شهودهندسی درآنالیز با ارائه تابعی همه جا پیوسته و هیچ جا مشتق پذیر لنونارد اویلر: وضع فرمولگرایی درآنالیز * دالامبر: وضع قانون مبانی آنالیز "ا جوزف لویز لاگرانژ : بسط تابع به سری تیلور 82 

صفحه 83:
ما ‎٩‏ ادا دوم ادامه ‏كاوس : طرح استانداردهای منطقی آنالیزوطرح سریهای ابر‌هندسی 1 ‏آگوست لویوئی : وضع مفاهیم اتصال مشتق وانتگرال معين به شيوه اى نوين ‏* ریمان: ارائه انتگرال ریمان ‎83 

صفحه 84:
بحران سوم "ا زمان پیدایش بحران : 997 و 09002 * ویژگی : عدم رفع کامل بحران "ا زمینه بحران : پارادوکسهای موجود درتئوری عمومی مجموعه های کانتور "ا ظهوراولین پارادوکس : 19672 توسط برالی فورتی در تئوری مجموعه ها 84 

صفحه 85:
" ظهوراولین پارادوکس : 660 توسط کانتور در تئوری مجموعه ها مشابه پارادوکس برالی فورتی "ا ظهوردومین پارادوکس : ‎(OOS‏ توسط برتراند راسل در تئوری مجموعه ها در خصوص مفهوم مجموعه 85 

صفحه 86:
ها کی ۲ ۱ ۱ فصل جهار بحران سوم ادامة تلاش برای رفع بحران 8 زرملو 8 هرمان وایل 8 فرا نکل اسكولم " فن نويمان # برنانز 86 

صفحه 87:
8 اواخرقرن نوزدهم * پاسخی برای حل بحران دوم قدمی برای فهم حساب دیفرانسیل وانتگرال * راهی بسوی منطق گرایی 87 

صفحه 88:
ها کی ۲ تئوری بنداشتی اعداد حفیقی # سابقه تاریخی : بابلیان» هندیان وایرانیان بابلیان : معرفی نماد صفر هندیان : معرفی نماد صفر * ایرانیان : توسعه جبر 88 

صفحه 89:
اصول پنانو * صفر عدد طبیعی است "ا تالی طبیعی» طبیعی است "ا هيج دو عدد طبیعی متمایز یک تالی ندارند " صفر تالی هیچ عدد طبیعی نیست اگر خاصیتی در باره صفر صدق کند» واگردرمورد یک عدد طبیعی صدق کند درباره تالی آن هم صدق می کند» درباره همه اعداد طبیعی صدق می کند 89 

صفحه 90:
اصطلاحات تعریف نشده در اصول پنانو: ‎a‏ صفر # تالی 8 عدد طبیعی ناتوانی اصول پثانو : "ا عدم تعریف انواع بالاتر اعداد عدم تعریف جمع و ضرب اعداد طبیعی 8 عدم وجود اصطلاحات تعریف نشده " مجموعه" و" زوج مرتب ‎90 

صفحه 91:
* معرفی تئوربی اعدادگویا برپایه تتوری اعداد طبیعی # روش : یک عدد گویا < زوجی مرتب ازدوعدد طبیعی "ا جمع دوعدد گویا : جمع زوجهای مرتب "ا ضرب دوعدد گویا : ضرب زوجهای مرتب 91 

صفحه 92:
"ا معرفی تئوری اعداد حقیقی برپایه تثورری اعداد گویا "" روش: استفاده از برش ددکیند » حد دنباله ای ازاعداد گویا "ا معرفی تثوری اعداد مختلط برپایه تئوری اعداد حقیقی یک بینش براساس پایه شمردن اعداد طبیعی : کرونکرمی گوید " خداوند اعداد طبیعی را ساخت ‏ بقیه کار بندگان ی اوست 92 

صفحه 93:
a — ۲۲۲۲۲" ‏فلسفه های ریاضی‎ ‏اهداف فصل‎ ‏آشنانی با لسفه منطق گرانی‎ * ‏آشنائی با فلسفه شهود گرائی‎ * ‏آشنائی با فلسفه اشراق‎ !" ‏آشنائى با فلسفه صورت گرائی‎ " ‏شناخت تئوری طبقات‎ 93 

صفحه 94:
8 پنداشتن ریاضیات به عنوان شاخه ای ازمنطق "ا تبدیل شدن منطق به كل ریاضیات "ا بیان تمام مفاهیم ریاضی به کمک منطق "" تمایزنامحسوس ریاضیات ومنطق "ا پنداشتن تمام قضایای ریاضی به عنوان قضایائی ازمنطق 94 

صفحه 95:
* اولین پایه گذار : فرگه "ا فرگه: فقط قوانین عدد را می توان به قوانین منطق تاویل کرد " دومین پایه گذار: برتراند راسل 8 راسل :همه ریاضیات را می توان به منطق تاویل کرد "ا شیوه فهم این استدلال : بیان هندسه به کمک هندسه تحلیلی 95 

صفحه 96:
* ویژگی استدلال :استفاده از "ایده های اولیه" ؛ "احکام اولیه “ * استفاده ازتتوری طبقات وحساب گزاره ها "ا سومین پایه گذار :وایتهد * وایتهد : همه ریاضیات را می توان به منطق تاویل کرد 96 

صفحه 97:
کتاب " اصول ریاضی " تلاش راسل ووایتهد درراستای منطق كرايى 7 8 استفاده ازتئورى طبقات 8 استخراج رياضيات ازاعداد طبيعى " بكار گیری "صفر ۳ ۲ نرم و”عدد طبیعی* 8 استفاده ازاصول پثانو 97 

صفحه 98:
تنوری طبقات اصل تنوری طبقات : قراردادن مجموعه ها » مجموعه مجموعه ها و.... در یک سلسله سطوح یا طبقات " عدم قبول مجموعه هائی با عضو هانی ازطبقه ای غیراز طبقه بلافاصله پایین ترازطبقه خودآن * وارد کردن مفهوم " بی معنی " به فلسفه 98 

صفحه 99:
تئوری طبقات نفی قانون طرد شق ثالث 8 عناد راسل درتقابل با پارادوکسها * اصل دورباطل ونقض پارادوکسها 

صفحه 100:
بررسی عمیق در باب تئوری طبقات # وجود دونوع پارادوکس : پارادوکس ناشی ازمعانی الفاظ یا تاق معتری وپارلذو کی تلف آز شور ی مجموعته ها "" پارادوکس اپیمندیس از نوع معنوی " عدم پردازش تئوری طبقات به پارادوکسهای معنوی 100 

صفحه 101:
"" تئوری طبقات به عنوان وسیله ای در انتظار پیدا شدن وسیله بهتری برای متوقف ساختن پارادوکسها * نظریه راسل به عنوان راه حلی موقت 8 " اصل بیکرانی "راسل و وایتهد راهی برای توجیه شکاف تئوری طبقات و تصدیق وجود تعداد بیشماری ذاتها از نوع يايين ترین طبقه 

صفحه 102:
بررسی عمیق تئوری طبقات ادامه " مطابقت نداشتن اصل بیکرانی با فلسفه واقعگرایی که بنا بر آن فرض بر اين است کهریاضیات عدد فقط آنچه را که ما از پیش درباره برخی ذاتهای مجرد می دانیم بیان می کند ۴ نقایص دیگر تتوری طبقات : عدم پذیرش " مجموعه مجموعه ها 2 " مجموعه تهی "و" مکمل مجموعه * و اینکه برای هر طبقه در سلسله مراتب طبقات عدد ” يى ” تازه اى وجود دارد. اين وضع براى بقيه اعداد طبيعى نيز در هر طبقه رح می دهد. "ا " اصل تحول پذیری " راسل راهی برای فرار از معضل به وجود آمده برای اعدأد طبیعی 102 

صفحه 103:
8 سابقه تاریخی : زمان کانت "ا تزشهود گرایان : ساختن اشیا وبرهانهای ریاضی با گامهای متوالی و متناهی "" قرارداشتن پایه ریاضیات بر شهود اولیه رک ما از *فل و بعد "ودرک یک شری مشخص و سپس ادراک های بعدی متوالی وبی پایان 8 حصول اعداد طبیعی به روش فوق 103 

صفحه 104:
کانت و شهود گرائی 8 اعداد وقتی وجود دارند که بتوان آنها راشمرد # عدم وجود بزرگترین عدد * عدم وجوداعداداصلی نامتناهی عدم وجود حداکثرطول در هندسه 104 

صفحه 105:
* ارائه نظریه بیکران بالقوه به جای بیکران بالفعل توسط كانت * هم خوانی نظریه کانت باارسطو درباب بی کرانی بالقوه * اصراربرگامهای ساختار گرایانه و طی گامهای متناهی 105 

صفحه 106:
شهود گرائی معاصر با نظریه ساختارگرائی "" چهره شاخص : ال. ای. جی بروئورهلندی " اعمال روش ساختارگرانه تتوری مجموعه ها سلب امکان وجود مجموعه های پارادوکس زا * قویترشدن تدریجی فلسفه بروئوربا گذشت زمان 106 

صفحه 107:
شهود گرایان درتقابل با نظریه کانتور * شهود گرائی درمقابل نظریه کانتور مبنی براینکه تعداد اعداد حقیقی بیشترتعداداعداد طبیعی است. 8 استفاده ازبسط اعشاری نامتناهی یک عدد حقیقی برای اثبات ادعای فوق توسط کانتوروسزنده نبودن اين استدلال ازدید شهود گرایان 

صفحه 108:
شهود گرایان ورد " قانون طرد شق وسط " "ا شهود گرائی درتقابل با مواردی درریاضیات که نه برای صحتشان دلیلی پیدا شده ونه برای بطلانشان مانند " آخرین قضر فرما * 5 حدس گلدباخ ‎a)‏ 108 

صفحه 109:
* اصرارشهود گرایان براینکه درمواردی مثل دومورد فوق باید به صراحت تصمیم گرفت وچون صحت یا سقم مشخص نیست پس حکم برشق وسط یعنی " نه صحیح ونه نادرست ” راباید پذیرفت. 109 

صفحه 110:
اضی برسر این فلسفه نيان رب تئورى هاى قربانى شده بشرط يذيرش شهود گرائی " اولين مورد : تئورى اعداد اصلى كانتور دومین مورد : هرمجموعه کراندار ازاعداد طبیعی یک کران بالا دارد * اصل موضوع انتخاب زرملو ( تاوانی بسیار سنگین ) " سایر اصول هم ارز اصل موضوع انتخاب نظیر لم زرن» اصل خوشترتیبی » استقرا 110 

صفحه 111:
" دراصول ریاضیات راسل ووایتهد قانون طرد شق وسط و قانون تناقض هم ارزانگاسته شده ولی برای شهودگرایان این وضع قابل قبول نیست وتلاش برای دستگاه منطقی که درآن ايده هاى شهودكرايانه قابل تحمل باشد درسال 0 توسط هیتینگ انجام گرفت ومنطق نمادی شهود گرایانه توسعه ورشد یافت. 

صفحه 112:
چه مقدارازریاضیات را میتوان با محدودیتهای شهود گرایانه بازسازی کرد؟ "ا بخش زیادی نظیرتئوری مجموعه ها وقضیه پیوستار کانتورتا حدودی بازسازی شده است. * گرایش شهود گرایانه بسیارکم توان ترازریاضیات کلاسیک ات 112 

صفحه 113:
چه مقدار از ریاضیات را میتوان با محدودیتهای شهود گرایانه بازسازی کرد؟ "ا نتیجه : بخش عظیمی ازریاضیات کلاسیک باید قربانی شود * یکی ازنقاط قوت فلسفه شهود گرائی +عدم بروز تناقض در روشهای شهود گرائی ( البته تا امروز ) 113 

صفحه 114:
"ا شیخ فلسفه اشراق : سهروردی فلسفه اشریاق بر استدلال و کشف و شهود هر دو تکیه دارد. سابقه شهود گرائی ریاضی به درک کانت ازعدد برمی گردد. درحالی که فلسفه شهود درمبانی کلی فلسفی که به فلسفه امراق معروف است به دور پیش از ار سطو میت داده میشود. 124 

صفحه 115:
115 "" سابقه تاريخى : ‎(OOS‏ دیوید هیلبرت "ا سايرين : برنايزء اكرمان» فن نويمان تزصورتكرائى : رياضيات با سيستمهاى نمادى صورى سروکاردارد وبنابراین ریاضیات عبارتست از گردایه ای ازسیستمهای نمادی مجرد که مفاهیم آن صرفا نمادهای بی معنی واحکام آن فرمولهانی هستند که بااین نمادها بیان می شوند. 

صفحه 116:
116 مفاد يك سيستم صورى یک زبان رسمی ( گردایه ای از نمادها وقواعد ) گردایه ای ازبنداشتها یک سیستم استنتاجی ( گردایه ای از قواعد بربای نتیجه گیری حکمی ازحکمی ‎(Be‏ ‏قضیه هائی که باگامهای متناهی از بنداشتها نتیجه میشوند 

صفحه 117:
تلاش هیلبرت * تلاش هیلبرت برای رفع بحرانهای پارادوکسهای تئوری مجموعه ها باارانه تزصورتگرائی " 996 و 199 انتشار دوجلد کتاب مبانی ریاضیات هیلبرت» انجیل صورتگرایان " موفقیت هیلبرت درگروحل مسئله سازگاری 

صفحه 118:
تلاش هيلبريت (©) " روش مدلها فقط تضمین کننده سازگاری نسبی بود # کنارگذاشتن روش مدلها توسط هیلبرت 8 تلاش هيلبرت با روش مستقیم وجدید بنام " تتوری بر‌هان " پایان تراژیک تئوری برهان 118 

صفحه 119:
قشیه صم تمامیت گودل اعجاز تاريخ منطق وریاضیات ( کتاب آشنائی با منطق ریاضی تالیف اندرتون ترجمه خسروشاهی نشردانشگاهی ) ‎Ja Sad ۴‏ : قبل ازچاپ کتاب مبانی هیلبرت گودل با روشهای قاطع وغیر قابل تردید نشان داد که برای یک سیستم استنتاجی به قدرکافی غنی همچون سیستم کل ریاضیات کلاسیک هیلبرت» غیرممکن است که بتوان سازگاری سیستم رابا ‎ae‏ متعلق به آن سیستم اثبات ‎a‏ ‎11 

صفحه 120:
قضيه عدم تمامیت گودل ‎Slee!‏ تاریخ منطق وریاضیات کتاب آشناتی با منطق ریاضی تالیف اندرتون ترجمه خسروشاهر نشر دانشگاهی ( * كودل ( قضيه عدم كمال ) : سیستمهای صوری که مدعی اند برای استخراج ریاضیات کافی هستند قابل اطمینان نیستند یعنی سازگاری آنها را نمی توان با روشهای متناهی فرمولبندی شده درداخل سیستم آثبات کرد» درحالی که هرسیستمی که دراین معنی قابل اطمینان باشد غیرکافی است. 7 قضيه عدم كمال گودل شکست تئوری برهان هیلبرت 120 

صفحه 121:
8 اهداف فصل آشنائی باسئوالات ماهوی " بررسی دیدگاههای مختلف یاضی درباره ماهیت ذوات ریاضی * پاسخ دگماهای صورتگرایان افلاطونگرایان» شهود گرایان ونامگرایان درمورد ذوات ریاضی 

صفحه 122:
122 دیویدهرش : هرگاه کارروزانه تان ریاضی باشد» به نظرتان طبیعی ترین کاردردنیا می باشد. ه گاه کارتان را لحظه ای متوقف كنيد وفكركنيد جه كارمى كنيد واين كارها جه معنى داردء به نظرتان رياضيات يكى ازاسرارآميزترين اموراست. چرا هنوز هندسه اقلیدس درست است. درحالیکه فیزیک ارسطویی از سالها پیش مرده است ؟ در ریاضیات چه می دانیم وچگونه به آنها معرفت پیدا می کنیم؟ ذوات ریاضی چگونه ذواتی هستند؟ مجردند يا ملموس؟ فقط در ذهن آدمی هستند یا درجهان خارج نیزوجود دارند؟ 

صفحه 123:
"ا ذوات ریاضی را ما نمی سازیم بلکه ازقبل یکباروبرای همپشه وبه شکل ایده آل وازلی خلق شده اند. ما آنها را خلق نمی کنیم » آنها را کشف می کنیم . * یاضی نظری است که برطبق آن نوات ریاضی مستقل از وجود اسانها وریاضیدانان وجود دارند» در جایی خارج ازوجود ما. "" برطبق اين نظرء ریاضیات همتای نمادی جهان است که به تدریج رشد و گسترش یافته است. کاریک نظریه پردازریاضی این است که به نوای جهان گوش دهد و آنچه راکه می شنود ومی بیند ثبت کند. 123 

صفحه 124:
* ذوات ریاضی حقیقی بوده ووجود آنها مستقل ازدانش ما در موردآنهاست. 8 مجموعه هاء فضاهای برداری» منیفلدهاء منحنی های فضا پرکن همگی اعضای باغ وحش ریاضی هستند و ذواتی معین اند. " یک ریاضیدان» یک دانشمند علوم تجربی ومانند یک زمین شناس است وی نمی توانداختراع كند» اوکشف می کندهمه چیزازقبل اختراع شده است. 124 

صفحه 125:
رینه تام : همه چیزازقبل وجوددارد ریاضیدان به قدرکافی بايد شهامت داشته باشد که تمایلات عمیق خودرا بروزدهد وتایید کند که صورتهای ریاضی درواقع وجود دارند " گودل :علیرغم جدایی ذوات ریاضی ازحس تجربی ما موکدا چیزی شبیه دک ازاین ذوات تئوری مجموعه ها را داراهستیم. زیراملاحظه می کنیم که بنداشتهای اين تئورى خودرا به ما به عنوان ذواتی حقیقی تحمیل می کنند. 125 

صفحه 126:
* آلبرت رابینسون : من نمیتوانم تصورکنم به جرگه افلاطون گرایان برگردم. کسانی که جهان درواقع بی نهایت راپیش روی خودگسترده می بینند واعتقاد دارند که میتوانند ذوات غیرقابل فهم را درک کنند. "" ویگنشاین : منطق وریاضیات صرفا ما را به صورتهای استنتاج مجهزمی کنند» درکارریاضی ما فقط عباراتی رابه عباراتی تبدیل می نیم واین که چنین تبدیلهایی درست است یا نه ازجهت مطابقت با ذوات ریاضی نیستند بلکه فقط با اين ضابطه تعیین می شوند که چگونه افراد در واقع از این عبارتها استفاده کرده و چه چیزی را صحیح می نامند. 126 

صفحه 127:
ریاضیات علم استنتاجهای منطقی است که درآن از بنداشتها شروع وقضیه ها نتیجه گیری ميشود. حدوداولیه آن تعریف نمی شود. قضیه و بنداشتها فاقد محتوایند مگر آنکه بدانها تعبیر هایی متناظرکنیم. ‎aie sae Sel‏ اس ‏برای هرمطلب یا برهانی وجود دارد يا آنکه اصلا آن مطلب به حساب نمی آید. 

صفحه 128:
"" برای مثال در هندسه نقطه و خط عبارات تعریف نشده و گزاره "بر هر دو نقطه یک خط می گذرد " یک بنداشت است. 8 اهمیت منطقی چنین بنداشتی به تصوير ذهنی که ماا زآن داریم بستگی ندارد. می توانیم خط راجاده و نقطه را روستا بنامیم. " ازهردو روستا یک جاده می گذرد. " درروند تتوری هیچ تغییری حاصل نمی شود. 128 

صفحه 129:
بایداستنتاجهای منطقی حاصل ازبنداشتها برقرار باشد. نتایج حاصل را قضایای تئوری می نامند. "ا هيج كس نمی تواندادعا کند كه یک قضیه حقیقت دارد. قضیه ها به عنوان احکامی از ریاضیات محض نه حقیقت دارند ونه کذب» زیرااحکامی درباب عبارتهای تعریف نشده اند 129 

صفحه 130:
* تنها چیزی که می توان گفت قضیه ها نتیجه منطقی بنداشتها دنتسه‎ 8 قضیه ها فاقد محتوایند " قضیه ها مبری ازخطا وشک هستند زیرا فرآیند برهان و استنتاج منطقی هیچ ابهامی باقی نمی گذارد. 130 

صفحه 131:
* ازنظرتاریخی یک دلیل عمده برای ارائه نظرصورتگرایی پاسخی به سرنگونی و رد هندسه اقلییسی است. * ازدیدگاه اقلیدس بنداشتهای هندسه فقط فرضیاتی ساده تلقی نمی شوند بلکه " حقایقی خود آشکار. " به شمار. می آیند. * ازدیدگاه فیلسوف صورتگرااین تصوررا که می توان با "حقایق خودآشکار" یک نظریه را فرمولبندی کرد قابل قبول نیست. 

صفحه 132:
"" آیا بنداشت توازی اقلیدس ونقیض آن هردودرست است ؟ " صورتگرایان :هرگاه به عنوان یک ریاضیدان درصدد باشیم که آزادی عمل خود رابرای مطالعه هردو هندسه اقلیدسی ونااقلیدسی حفظ کنیم لازم است از این معنی که هر یک ازاین بنداشتها حقیقت داشته باشد صرفنظر کنیم . تنها چیزی که کفایت می کند سازگاری هریک ازاين هندسه ها است. 8 اين دوهندسه وقتی متضاد هم تلقی می شوند که به یک فضای فیزیکی حقیقی اعتقاد داشته و تاکید کنیم. 132 

صفحه 133:
" آیا قضایای هندسه صرفنظر ازتعبیرهای فیزیکی احکامی با معنی آیا میتوانیم از کلمات درست و نادرست درباب هندسه محض استفاده کنیم ؟ افلاطونگرایان به دوسوال فوق پاسخ مثبت می دهند زیرا اشیا ریاضی را مستقل ازعالم فیزیکی می پندارند. اما صورتگرایان پاسخ منفی می دهند و می گویند احکام هندسی نمی توانند درست یا نادرست باشند زیرادرمورد چیزی نبوده وهیچ معنایی دربرندارند. 133 

صفحه 134:
* یک صورتگرا چه مصداقها یا کاربردهایی برای تئوریی که توسعه می دهد درنظردارد ؟ * پاسخ:این گونه سوالها سوالهایی نامربوط است. وقتی که برای قضیه ای برهانی ارائه میشود کارریاضی انجام شده است. هرچیزدیگردراین باب مطلب اضافی است. * مقیاس اينکه چه مقدارریاضی دریک کلاس درس داده ایم اين است که چه مقداردراین کلاس مطلب ثابت کرده ایم. * این سوال که مستمعین ما چه مقدارفهمیده اند به ریاضیات ربطی ندارد. 134 

صفحه 135:
135 دراو اسط قرن بیستم صورتگرایی وضعیت فلسفی حاکم در کتابهای درسی ونوشته های رسمی ریاضی به شمار می رفت درحالیکه افلاطونگرایی که توسط بسیاری از ریاضی دانان مورد قبول بودبه صورت عقیده ای مخفی وخصوصی تلقی می شد وبندرت درمباحث عمومی ذکرمی گردید. 

صفحه 136:
136 یک دلیل عمده حاکمیت فلسفه صورتگرایی ارتباط آن با پوزیتیویسم منطقی بود. که گرایش حاکم برفلسفه در 960-60 بود. درحوزه علمی وین پوزیتیوسیت های منطقی به علم وحدت داده وآن را دریک حساب منطقی صوری طبقه بندی می کردند. 

صفحه 137:
درموردارائه پوزیتیویسم منطقی یک مثال بارزمکانیک کلاسیک ومکانیک کوانتم بود. در مکانیکهای کلاسیک قواعدی برای اندازه گیری کمیتهای بنیادی وجود دارد. مکانیک کوانتم قواعد خاص خودرادارد برطبق آن اصطلاح "مشاهده پذیری" درتئوری صوری به اندازه گیریهای تجریبی مربوط می شود. 

صفحه 138:
138 خودریاضیات. نه به عنوان یک علم» بلکه به عنوان یک زبان برای سایر,علوم تلقی می گردد. ریاضیات یک علم به حساب نمی آید زیراهیچ موضوعی ندارد. ریاضیات فاقد داده های تجربی است که بتوان برآن قواعد ققسیر ی ر ااعمال کرد. ریاضیات فقط یک ساختارصوری تلقی می گردد. 

صفحه 139:
" درسالهای اخیرعکس العمل درمقابل صورتگرایی افزايش یافته ودرپژوهشهای ریاضی اخیرچرخش به سوی مسا ثل ملموس و کاربردی فزونی یافته است. درکتابهای درسی و منابع علمی اهمیت بیشتری به مثالها قائل می شوند وبه ارائه صوری مطلب قاطعیت چندانی نمی دهند. 139 

صفحه 140:
8 تنوری عدد برخلاف بعضی تنوریهای ریاضی کم استعمال » درزندگیعادی ودرعلوم هميشه به کارمی رود. "ا برخی ریاضیدانان به کارکردن بااعداد طبیعی بدون توجه به اصطلاح عدد اکتفا می کنند. آیا باید وجود چنین ذواتی را باور کنیم؟ # صورتگرایان ومنطق گرایان بااستفاده ازنتایج منطقی فرضهای اولیه به تعبیرپثانوقناعت نموده وهمین که قضیه ها رانتيجه بنداشتهای آن می دانند وظیفه علم را تمام شده می دانند. 140 

صفحه 141:
* تئوری بنداشتی اعداد را می توان سیستمی نامعبرانگاشت و با روشی مجرد ومنطقی درآن پژوهش کرد اما اگر بخواهیم بااستفاده ازاین فرض بکوشیم که اندیشیدن درباره نوع و وجوداعدادرا منع کنیم ازحد ترخیص خارج می شویم. "ا ارسطو و کانت معنقد بودند که عملا وجوداشیا بی شماردر جهان مقدور نیست . 

صفحه 142:
8 آیا عدد وجود دارد ؟ * جوابهای فلاسفه ازچه نوع است ؟ آیاباقاطعیت میتوان "بله" گفت ؟ "ا چیزهایی که لابق داشتن عنوان عددهستند به طورقطع وجوددارند. 142 

صفحه 143:
‎Aline‏ کلیات درفلسفه مسئله ای بوددرباره وضع خواصی مانند فضیلت» چهارگوشی وسرخی. اينها همه نوات مجرد هستند یعنی چیزهایی که درفضا وزمان نمی گنجند. ‏* اين ‎GUIS‏ چه نوع حقیقتی دارند؟ چگونه درفکرما دارای اهمیت واعتبارند؟ ‏# مسئله تاش برای یافتن یک تعبیر لفظی برای عدد شباهت با مسئله کلیات دارد. ‎143 

صفحه 144:
* واقعگرایان : کلیات ذوات واقعی مجردی هستند که حقیقت وجودشان ازاشیا مجسم کمتر نیست . 8 مفهومگرایان : هرچند کلیات حقایق مجردند» درعالم خارج حقیقتی ندارند وفقط درفکرما موجودند. * نامگرایان : چیز‌هایی به نام کلیات وجودندارند واگر وجود داشته باشند ذاتهای مجرد نیستند. 144 

صفحه 145:
فصل شثر نامكرايى * نامگرایی نظری است كه بنا برآن ذوات مجرد وجود ندارند * نامگرایان بویژه منکروجودذاتهای مجردبه نام اعدادهستند. 8 آیا نامگرایان راه هایی برای تعبیراعداد دارند؟ 145 

صفحه 146:
SS ‏نامكر ايان و اعداد‎ ‏"ا انديشه هايى دريذهن ما‎ ‏"ا تصویریا نمودی فکری‎ ‏مدتی کوتاه درذهن وسپس هیچ‎ ‏فضا رااشغال نمی کند‎ # 146 

صفحه 147:
SS ‏با‎ فصل شر نامكرايى ازنوع ديكر و اعداد 39 از ۳ دور و اعداد به جای ذوات ذهنی ذوات عینی وطبیعی دارند. عددورقم یکی است وعدد چیزی بالاتریاپایین ترازرقم نیست. 8 عدد چیزی معین ومحسوس است. * بااین تعبیراصول تئوری اعداد درست درنمی آید. 

صفحه 148:
SS ‏فصل شثر‎ ‏نامگرایی از نوع دیکرواعداد‎ * اگرارقام وافی به مقصود نباشند فیلسوف نامگریا هر عددطبیعی را می تواند با چیزمعینی ازجهان مادی همانند گیرد. * آيا اين تعبيرميسراست ؟ Sean 148 

صفحه 149:
SS )9( ‏نامگرایی ازنوع دیکر و اعداد‎ * در.القانات نامگرایانه فوق اشاره ای نمی شود که اصطلاحات "مجمو ع+" و "ز وجهای مرتب" راچگونه بايد تعبیرکرد ؟ 8 بنظرمی رسداگرمجموعه وجود داشته باشد وجودش مجرد خواهد بود. 149 

صفحه 150:
عداد # نمی توان ازقبول اين نتیجه تن زد که برای تئوری اعداد تعبیرنامگرایانه ای وجود ندارد که به موجب آن اين تئورى صحیح درآید. درنظرنامگرای مومن ریاضیات عدد را نمی توان مانند معرفتی قطعی به شمارآورد. * اين نتيجه را غيرنامكرايان ”قياس ‎ayes‏ نامكرايى” مى دانند. 150 

صفحه 151:
8 هردوفرقه درمورد مسائلی که دارای وجود ریاضی هستند خست نشان می دهند. * واقعگرایان : ذاتهای مورد بحث بنداشتها به نحوی قاطع و جازم وجود دارند. "ا مفهوم گرایان : وجود ذوات ریاضی مجرد پذیرفتنی است لیکن ساخته و پرداخته ذهن بشر. 

صفحه 152:
8 جناح افراطی مفهوم گرایان اعداد يا هر ذات ریاضی را مخلوق ذهن می دانند. که در این صورت بنداشتهای مخلوق ریاضیدانان را به مثابه احکام خالق می توان انگاشت. وقتی یک ریاضیدان با خود می اندیشد که ” باید اصلی وضع کنم که بر طبق آن اعداد چنین و چنان باشند " آنها را به وجود می آورد و این آفرینندگی او همانند قدرت کامله الهی است که هرچه را که مشیتش تعلق گیرد ازنیستی به هستی درمی آورد. ۰ امااين افراط در خوشبينى است كه آيا رياضيدان درفعاليت خود از هرقید وبندی به کلی آزاد است ؟ 152 

صفحه 153:
* کانت معتقد است قوانین عدد همانند قوانین هندسه اقلیدسی هم قبلی هستند وهم ترکیبی. "" درنظرکانت معرفت مااز عدد برمبنای درک زمان ودرک ذهن قراردارد. "" برمبنای درک زمان عدد فقط نوعی شهود مطلق است. ذهن با شناخت اعداد فقط درکار داخلی خود بصیرت پیدا می کند نه دریک حقیقت. 153 

صفحه 154:
در فلسفه مفهوم گرایی ذوات ریاضی مانند مجموعه ها و اعداد مخلوق ذهن ما هستند. فلسفه شهود گرایی مجموعه ها و اعداد متناهی رامخلوق ذهن نمی دانند ولی مجموعه های نامتناهی» اعداد اصلی نامتناهی راذواتی بی معنی ثلقی می کنند. مفهوم گرایان برای ذهن قدرت آفرینش بی حد وحصر قانلند 154 

صفحه 155:
155 درنظرواقعگرا وظیفه یک ریاضیدان همانند وظیفه کسی است که برای کشف زمینهای دوردست راه سفرپیش می گیرد. نمیتواند چیزی اختراع کند او کشف. می کند. راسل : هرمعرفتی باید برای شناختن حقیقتی باشد وگرنه فریبی بیش نیست. حساب باید همانگونه کشف شده باشد که هندغربی توسط کریستف کلمب. هرچیزی که درباره اش بتوان اندیشید وجود دارد. 

صفحه 156:
درنظرواقعگرایان طرد براهین "ناسازنده" وتعاریف غیر حملی یا تصوراحکامی که نه درست باشدونه غلط به هیچ روی موجه به نظرنمی رسد. اگراعداد وسایرذاتهای ریاضی بی آنکه به وجود ما قائم باشند به طورحقیقی وجود داشته باشند وسواس شهود گرایان به کلی زايد وبى اساس است. 156 

صفحه 157:
” Sisal yy Ml ۲ ‏بر استدلالهای " نا سازنده‎ ‏هیچ ایرادی نیست.‎ 6 رر ا ‎Cory‏ ‏برای وا ایان آخریر 9 ۱ يان 1 ير قضیه فرما یا ‎١ é‏ 2 صحيح است ياغلط 

صفحه 158:
* فرگه : معرفت ما ازاعداد مبتنی بریک بینش عقلی قبلی است. هرگاه ماباچشم عقل درساختمان فارغ اززمان یک حقيقت عددی بنگریم به یک معرفت قبلی می رسیم. معرفتی قبل از تجربه واز طریق تفکر. معرفت به اعداد اساسا ربطی به فهمیدن و درک معانی کلمات ندارد. اگرکسی بتواند زبان اعداد را دریابد اماابری حجاب عقل اوشود به طوری که نتواند خود عدد رادرک کند» نخواهد توانست قوانین اعداد رابفهمد. 158 

صفحه 159:
قوانین عدد همه تحلیلی اند * فرگه :در حساب سروکارمابا چیزهایی نیست که آنچنان که دیدیم با خارج بیگانه باشند بلکه باچیزهایی است که مسنقیما با قوه عقلی ما ارتباط داریند و بررای آن چنان روشن اند که گویی نزدیکترین بسته آنند . 159 

صفحه 160:
قوانین ‎ore‏ همه تحلیلی اند 8 مراد فرگه ازگفتن آنکه قوانین عددتحلیلی اند فقط اینست که اين قوانين ” قابل تحويل” به قوانین منطقی هستنده نه بيشترونه كمتر. يعنى معرفت ما اساسا مبتنى است برربينش عقلى اما آن بينش عقلى كه علم به قوانين منطق براى ما تامين مى كند. 160 

صفحه 161:
> AM 9 19 cs واقع گرایان خود رامانند کاشفانی می شناختند که به کشف سطحی از حقیقت مجرد که تا آن زمان نا شناخته بود نائل آمدند» کاشفانی که دریافتند سرزمین پهناور ریاضی خود جزیره ای است ازیک قاره وسیع به نام حقایق منطقی, تصوری بود پرشور و هیجان انگیزاما مانند بسیاریی از رویاهای سپیده دم روشن و فرح بخش» هنوزخوب ظاهر نشده و شکل نگرفته محو گردید و ازمیان رفت. 

صفحه 162:
2 صورت به علوم رياضى بايد به صورت سيستمهاى بنداشتى و قالب ريزى شده نكريست. " دراين صورت ازبسيارى ازدردسرها وسئوالات بيجا در امان هستند. " اكربه ييروان اين فركه بكرويم يرسشهايى ازقبيل ” قوانين عدد چیستند " دورشده وبه هوا مى روند. ریاضیات بازی با علامتها است. 162 

صفحه 163:
اصل مو ضو 2 انتخاب 8 ) متشکلاز. عرطر,.... به همرلم نسبتدوتایی> را مرتب سادم گوییم لگردرسه ب ندلشتزیر صدقک ند "ام 0 . اگر راکیب آنگاه یا راکب یا مکی #ام © . اگر راکه آنكاه ديزن م 5 . هر گاه با > و و > آنگاه ج > و . "ا وقتى «ا > د گوییم ب مقدم بر ما است. 

صفحه 164:
ضميمه أو أصل موضوء اد 8 6 رابه همراه > خوشترتیب نامیم هر گاه بنداشت چهارم زیر نیز. برقرار باشد 8 م 6 . هر گاه ج" یک زیر مجموعه ‎pe‏ خالی باشد آنگاه عضوی چون ه از <" هست که برای هر عضو دیگر ‎b‏ ‏از جاک » ج یعنی هر زیر مجموعه غیر خالی ج عضو ابتدا داشته باشد. 164 

صفحه 165:
"" هرگاه عمجموعه ای دلخواه باشد یک نسبت دو تایی > در وجود دارد که نسبت به آن حخوشترتیب باشد . عکس العمل ها : برخی ریاضیدانان می گفتند یک جایی در برهان زرملو اشکالی بایدباشد. قضیه به نظر. باورکردنی نیست. 165 

صفحه 166:
SS ‏ضميمه او[‎ اصل موضوع انتخاب " اى برول دريافت كه زرملو برهانش را براصل به ظاهر واضحی قرار داده است که قبلا سالها رياضيدانان از آن استفاده می کردند بی آنکه به آن اصل استناد کنند. 166 

صفحه 167:
" ۲۲۲۲۲" بنداشت زرملو پا اصل موضو ع اذ 3 C2 ‏رر‎ " هرگاه مجموعه و به زیر مجموعه های غیرخالی دو بدو مجزا 6,0,,... افرازشود آنگاه لااقل یک مجموعه چون ,0,0,0 ‏وجود دارد که از هر یک از زیرمجموعه های‎ ٩ ‏دقیقا یک عضودارد.‎ .. " اين اصل مدعی است چنین انتخابی ممکن است. 

صفحه 168:
ضميمه أو أصل موضوء اد "ا برول متذكر شد كه نه تنها قضيه زرملو بريايه اصل انتخاب قرار دارد بلكه باآن معادل است . " امروزه ما شاهد وضعيتى راجع به اين اصل هستيم كه از پذیرش کامل آن تا رد کامل آن تغییر مى كند. * محققین مدرن توپولوژی بی وقفه آن را می تذيرند. 168 

صفحه 169:
* درجبرگرچه استدلالهایی بدون یاری ازاصل انتخاب پا در هوا مى ماند ليكن متخصصین جبر تمایل دارند تا آنجا که می توانند بدون استفاده از آن برهانهای خود را بیان کنند. # درآنالیز نادیده انگاشتن این اصل غیرممکن است. 

صفحه 170:
SS 222222--22272722----0-0 ضمیمه او ‎J‏ اصل موضوع انتخاب و اعتراض ها # مبتنی دانستن آن بردرک ماازوجود ریاضی ساختنی نبودن مجموعه مذکور دراصل * ایراد شهود گرایان بربرهانهای غیرساختنی 170 

صفحه 171:
متال راسل : اگربی شمار جفت کفش داشته باشیم می توانیم مجموعه ای متشکل ازیک لنگه ازآن کفشها رابسازیم»ءکافی ست لنگه های راست هر جفت راانتخاب کنیم كه نيازى به اصل انتخاب نداریم. اگربی شمارجفت جوراب داشته باشیم نمی توانیم مجموعه ای متشکل از یک لنگه ازآن جوراب ها رابسازيم بی آنکه ازاصل انتخاب استفاده کنیم زیرا نمی توانیم بدون بهره گیری ازاصل انتخاب لنگه ای از هرجفت راانتخاب کنیم . 171 

صفحه 172:
8 اگر ‎Ae genes‏ اعداد حقیقی بین «و) باشند ج را به زیر 172 مجموعه هایی که اعضایش اختلافشان عددی گویاست تجزیه می کنیم. اين زیرمجموعه ها دوبه دوازهم جدا وغیر خالی هستند. بدون یاری ازاصل انتخاب نمی توان مجموعه ای ساخت که از هریک از. زیر مجموعه های فوق دقیقا یک عضو داشته باشد. 

صفحه 173:
8 در هر فضای » بعدی ( < ۰ ) هر دو مجموعه محدود داخواه که شامل نقاط داخلی باشند با تجزیه متناهی معادل ‎BLK‏ "ا یک مثال ساده : دوکره توپرم و ‎Gla Ss‏ اولی به اندازه یک نخود و دومی به اندازه خورشید است را می توان به زیر مجموعه های دوبدو از هم جدا تجزیه کرد که به وسیله حرکات صلب معمولی ذرات سازنده نخود» همه کره خورشید راپرکند. 173 

صفحه 174:
* فکروبسط تثوری مجموعه ها وعمل کردن با آن بصورت یک موضوع خاص واصیل ازأن کانتورریاضیدان آلمانی اواخرفرن نوزدهم است. # برطبق سخن یک ریاضیدان : تئوری مجموعه های کانتور دایره المعارف جوانان است. 174 

صفحه 175:
175 

صفحه 176:
آشنایی بااعداد اصلء مثال اعداد طبیعی فرد با اعداد طبیعی زوج هم ارزاست. ۴ ,4,9,9 # 0, ,9,۴,0 مقایسه دومجموعه نامتناهی عینا شبیه مقایسه دومجموعه متناهی است. 

صفحه 177:
‎SS 222222--22272722----0-0‏ ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی مثال تعدادکل اعداد طبیعی با تعداد اعداد فرد یکی است ‏0 9, ۵, جر ور کیت ‎۱۱۱۱۱۱ | ‎0/6 ...,© ,6© ,© ,© ,0 ,0 

صفحه 178:
SS 222222--22272722----0-0 آشنایی بااعداد اصلی مثالی دیگر اعداد گویا با اعداد طبیعی هم ارز است ۵, 0۷, 9۷0, 9, ۱9), اهر ... | / ۲ / | 

صفحه 179:
ی بااعداد اصلء چند مثال # بازه -11/0 , 11/9)) با ‎)٩‏ هم ارز است. 8 اگر ج مجموعه همه رشته هایی باشد که ازجملات 0 یا 4 تشکیل یافته اند» با () هم ارز نیست. 8 مجموعه مذکور ء با ‎)٩‏ هم ارز است. 

صفحه 180:
اشنایبی بااعداد اصلء عده اعضای یک مجموعه را عدد اصلی آن مجموعه می نامند. عدد اصلی مجموعه ( را با نماد 1690 نشان می دهیم, "" مثال 1=9} 1{4,6,7 115, +۲ (۱۶2 6 0,91 < 410 , 41 9 

صفحه 181:
8 عدد اصلی () رابا ی نشان می دهیم. اگر مجموعه اعداد طبیعی فرد باشد ‎Ko‏ = 1001۱۶۱۵ <1 ل 41 "ا عدد اصلی © رابا ی نشان می دهیم. 10 , ۳۶ 

صفحه 182:
SS 222222--22272722----0-0 ضيبا شنایی بااعداد ۱ ی اشنایی + باشد ضوى ب ©) مجموعه اى 00 ‎ee meres‏ 2 1 (۶)<) 10 0 0 ع - »© - ۳( 

صفحه 183:
قضیه کانتور " هرمجموعه ازمجموعه توان خود کوچکتر است." "ا تبصره . وقتی گفته می شود که 0) از () کوچکتر است ؛ بدان معنی است که 9) با زیر مجموعه ای حقیقی از ) هم ارز است ولی با خود ‎DB‏ هم ارز نیست. 183 

صفحه 184:
12 داد أصلي فرضیه پیوستار. کانتور کانتورحدس زد عددی بزرگتر. از ۸ و کوچکتر از. ج وجود ندارد. گودل در سال ‎(GOP‏ ثابت کرد که در چار چوب بنداشتهای تنوری مجموعه ها نمی توان این حدس را ثابت کرد. درسال <9660) کوهن ثابت کرد درهمین چارچوب نمی توان این حدس را رد کرد. اين حدس معروف به فرضیه پیوستار کانتور یکی ازپارادوکسهای مهم به حساب می آید. 

صفحه 185:
نقص بنداشتها " ازدیدگاه افلاطون گرایانه بنداشتهای ما برای توصیف تئوری اعداد حقیقی غیر کامل اند. اين بنداشتهاآن قدر قوی نیستند که کل حقیقت را بیان کنند . "" در‌هرحال فرض پیوستار یا درست است یا نا درست اما ما به اندازه کافی مجموعه اعداد حقیقی را درک نکرده ایم که بتوانیم پاسخ درست را تشخیص دهیم. 185 

صفحه 186:
# حوزه درس این گروه دریکی ازرواقهای شهرآتنا منعقد می شده است. "" رواقین حکمت راتنها برای تعیین تکلیف زندگانی و دستور اخلاقی می دانستند. سرسلسله آنان زنون معاصر ابیقوربود. # شاگرد زنون خروسپوس جانشین وی بود. 186 

صفحه 187:
مراجع ايوزء دیوید آشنایی با تاریخ ریاضیات » ترجمه دکتر وحیدی اصل بارکر استفن » فلسفه ریاضی ‏ ترجمه احمد بیرزشک ان زاده محمد حسن مجله رشد آموزش ریاضی سال اول شماره اول ن زاده محمد حسن ذهنیت فلسفی در مدیربت آموزشی مجله رشد آموزش ریاضی شماره 9 اسمیت فیلیپ جی ذهنیت فلسفی در آموزش ریاضی ترجمه دکتر محمد رضا برنجی مصاحب غلامحسین آنالیز ریاضی جلد اول دکتر معین محمد فرهنگ فارسی دوره 0 جلدی 

صفحه 188:
Se ‏لا‎ ‏مر اجم‎ ‏زاجم‎ ‎Coxtespppry‏ وه ‎Oisvp &, the‏ ی ‎Othexvutics, Wistorta Ouatkewatirn lOPG‏ ‎2 Owes Our, Ousolubh Problews . Uok. Ounis bed. Wacdbovk oP wothexatical bil PP ‎= Oais PU The Criteriva Durkers, QOubewutios vod ‏اوق‎ Policy 9:99 

صفحه 189:
‎J, Ooders @xiowatic Dethods ood‏ رصصمولی‌ه) ‏0 منطو خان نت ‎C.O. @u Iatrocduction to the‏ مووررو(ا) ررل ‎ood (Puccdoceutal poavepts of‏ مرن ‎(Poured ‎Eves, ‎ ‎(Poured ‎wouhkewaios., IQOS Crock Phiipp, The Place oP Logic ood Oetaphpsios io advowwewed oP woders Griewe IOFO ‎189 

صفحه 190:
Griffis, W.®. and Witoa, Pad. Chassicdt Oukewutirs Wibert D. Ou The ToPicite Phyosophy oF Dukewairs (OOO Lukas 1. , @ Recuissuce oP Cuopirisc int the Revved Phylosophy oP Outkewutiios. هام ‎Probleso ia Phylosophy oP‏ .1 حور 995۶ 190 

صفحه 191:
29 .مسا رشان ‎٩,‏ اما و3 ‎Russel Bertrand. The Priwipd oP Outkewutios‏ 909 نواموعوصابواة) جمصاوع (ا) اه ‎Russel Bertrand. @ Wistory‏ 499 0 لیاسم مسا تیوه ای ارس<) 00۰.ظ) لمطص) , ‎Russel Bertrand‏ 00 مشاه( Oiteustein Lb. ‏)راون وم‎ 

صفحه 192: