آشنایی با فلسفه ریاضی

آشنایی با فلسفه ریاضی

اسلاید 1: 1آشنایی با فلسفه ریاضی

اسلاید 2: 2فهرست مطالبفصل یک : ماهیت فلسفهفصل دو : روش جدید ریاضیفصل سه : منطق نمادیفصل چهار : بحرانهای تاریخی در مبانی ریاضیاتفصل پنج : فلسفه های ریاضیفصل شش : ذوات ریاضیفصل هفت : بحثی فلسفی در باب اصل موضوع انتخابفصل هشت : آشنایی با اعداد اصلیفصل نه : رواقیونمراجع

اسلاید 3: 3اهداف آموزشی درس بررسی ماهیت فلسفه ارائه فلسفه های اصلی ریاضیات نقد فلسفه های موجود تحلیل فلسفی فلسفه تاثیر شناخت فلسفی در آموزش ریاضی آشنایی با بحرانهای ریاضی

اسلاید 4: 4 فصل یک ماهیت فلسفه اهداف فصلتوضیح پیرامون ماهیت فلسفهنظریات ریاضیدانانمقایسه علم وفلسفهسوالات علم وفلسفه ومقایسه آنها

اسلاید 5: 5فصل یک ماهیت فلسفه تقسیم بندی بر اساس سوالاتی از قبیل : ماهیت وجود ماهیت حقیقت ماهیت معرفت ماهیت زیبایی

اسلاید 6: 6فصل یک طبقه بندی ایده آلیسم واقعگرا پراگماتیسم مفهوم گرا

اسلاید 7: 7فصل یک طبقه بندی (2)فلاسفه پیرورواقیون آن را به فیزیک، اخلاق و منطق تقسیم می کردند.برخی فلاسفه آن را به مابعد الطبیعه، معرفت شناسی، منطق وارزش شناسی تقسیم می کنند.

اسلاید 8: 8فصل یک برخی نظراتسوزانا لانگر : فلسفه بیشتر توسط تنظیم مسئله های خود مشخص می شود تا راه حل هایش برای آنان.نلسون گودمن : شاید روزی فرا رسد که در فلسفه بیشتر” بررسی ” انجام گیرد تا ” مجادله ” و فلاسفه همانند صاحبان علم بیشتر بر حسب عناوینی که بررسی میکنند شناخته می شوند تا نظریاتی که دارند.

اسلاید 9: 9فصل یک فلسفه علم فیزیک و ریاضیدر فلسفه علم فیزیک از مفا هیم بنیادی چون جرم ، زمان و طول بحث میشود.در فلسفه ریاضیات اینکه مبانی ریاضیات بر چه چیزهایی قرار دارد بحث می شود. فلسفه هر علم نقد آن علم است.

اسلاید 10: 10فصل یک فلاسفه چگونه می اندیشندپلوتارک : سقراط نه صندلی برای شاگردانش چیده بودونه برکرسی می نشست، نه ساعاتی رابرای سخنرانیهایش از پیش تعیین می کرد. اوهمیشه درحال فلسفیدن بود. هنگامی که لطیفه می گفت، موقعی که درحال آشامیدن بود درآن حال که درخدمت سربازی بود هرجا شما رادرخیابان ملاقات می کرد، وسرانجام هنگامی که درزندان بود و زهررا می نوشید.

اسلاید 11: 11فصل یک رسالت فلسفهیک وظیفه عمده فلسفه تصریح این مطلب است که چه راهنمایی می تواند برای تجربه کردن منطقی به نظر آید، آیا آنجا که چنین صراحتهایی بتواند پیش از تجاربی خاص روشن گردد، انها از نظر نقش مقدم بر آن تجارب خاص می باشند؟

اسلاید 12: 12فصل یک رسالت فلسفه (2) فلسفه در پرتو تجربه در حال انجام خود ، قوانین خود را ، که همان فهم از خود فلسفه است تبیین میکند.نتیجه فلسفه تعدادی قضیه فلسفی نیست، بلکه روشن ساختن قضیه ها است.

اسلاید 13: 13فصل یک طبقه بندی براساس مقاصد علمی فلسفه فیزیک فلسفه ریاضی فلسفه هنر فلسفه تاریخ فلسفه آموزش و پرورش فلسفه فلسفه

اسلاید 14: 14فصل یک نظرات برخی فلاسفه در ماهیت فلسفه (1)برتراند راسل : فلسفه ای مناسب است که با مطالب مورد علاقه مردم تحصیل کرده معمولی سروکار داشته باشد.سی.ای. لوییس : ویژگی ممتاز فلسفه این است که فلسفه کارهرکسی است.نلسون گودمن : فلسفه به عنوان نقشی است برای روشن ساختن پیچیدگی ودرهمی سطوح اسفل تا سطوح اعلی سطح تفکر.

اسلاید 15: 15فصل یک نظرات برخی فلاسفه در ماهیت فلسفه (2)اچ گوردون هولفیش : فلسفه به انسان درتفکر به نتایج اعمال روزانه کمک می کند تا با حکمتی بیشتر نتایجی برگزیند تا تفکراتش را عمیق کند.افلاطون : پادشاهان باید فیلسوف باشند!وتینگشتاین : فلسفه نظریه نیست بلکه عمل است.

اسلاید 16: 16فصل یک ویژگی ماهیت فلسفهبازتابشیخود پیروی : روش شناسی ومحدودیتهای از درون تعریف شده واین به معنی خود پیروی است.

اسلاید 17: 17فصل یک اهم امور فلسفه معرفت ازحقیقت امور دریافت روابط ایده ها یا نظریات قضاوتهای ارزشی

اسلاید 18: 18فصل یک علم و فلسفهمقصد نهایی علم : اصلاح وگسترش معرفت انسان از حقیقت امور مقصد نهایی فلسفه : بهبود کیفیت قضاوتهای ارزشی انسانسوالهای علمی : چگونگی وبیان واقعیات سوالهای فلسفی : بررسی ماهیت پدیده ها مثالی ازکارعلمی درریاضی : اثبات یک قضیه مثالی ازکارفلسفی در ریاضی : نقد روش اثبات

اسلاید 19: 19فصل یک تمایزعلم وفلسفهتمایزدرنحوه سئوالهاسوالهای فلسفیعدد چیست ؟آیا هندسه تبیین فیزیکی جهان خارج است یا علمی است مجرد وذهنی ؟ذوات ریاضی کدامند ؟منطق حاکم برقضایا کدامند ؟

اسلاید 20: 20فصل یک تمایزعلم و فلسفهتمایزدرنحوه سئوالها سئوالهای علمیعدد مختلط چیست ؟تعریف مجموعه چیست ؟بیان قضیه فیثاغورس درهندسه چگونه است ؟ نظریه نسبیت انیشتین چه می گوید ؟

اسلاید 21: 21فصل یک نقدی بر برخی نظراتبعضی می گویند ” فلسفه علم ، نگاه است به علم ازبیرون ”بایداذعان کرداین گفته درستی نیست. کسی که ریاضی نمی داند فلسفه ریاضی نیزنخواهد دانست. کسی که تخصص علم فیزیک ندارد ازماهیت این علم چیزی نخواهد فهمید. فیلسوف ریاضی ریاضیدانی آشنا به روش ریاضی بوده و مبانی کلاسیک ریاضیات را فهمیده وتدریس کرده است.

اسلاید 22: 22فصل دو تمایزعلم و فلسفهاهداف فصل آشنایی با روش جدید ریاضیفرمول بندی نظریه های منطقیارایه مثالی ساده ازشاخه ای ازریاضیات بیان سه کاربرد شاخه فوق الذکرارایه ویژگیهای مجموعه های بنداشتی

اسلاید 23: 23فصل دو روش جدید ریاضی ادامه مبنای روش : قیاس واستنتاج منشا روش : هندسه وجبر کاربران روش : صاحبان تئوری بنداشتی یا قیاسیشناخت سریع روش : بهره برداری ازروشهای جبروهندسهبنیانگذاران روش : هیلبرت، لباچفسکی، اقلیدس، پوانکاره، کلاین، گاوس، بویویی

اسلاید 24: 24فصل دو روش جدید ریاضی ادامهابزارهای الگوهای منطقیگزاره ها متغیرها توابع گزاره ایحدود تعریف نشده بنداشتهاتوابع دکترین فرضیه ای

اسلاید 25: 25فصل دو الگوی تئوریهای منطقیمشتمل برعبارتهای اولیه یا حدود تعریف نشدهتعریف کلیه اصطلاحات به کمک عبارتهای اولیهمشتمل برمجموعه ای ازاحکام درباب عبارتهای اولیه موسوم به بنداشتها یااحکام اولیه ( بدون اثبات )

اسلاید 26: 26فصل دو الگوی تئوریهای منطقینتیجه گیری منطقی احکام جدید ازبنداشتها موسوم به قضایای تئوری ( با اثبات ) الگوی تفکربنداشتی مبتنی برعباراتی متناظر هرقضیه که دراثبات قضیه به همراه اثبات آورده می شود نظیر ” این برهان راکامل می کند ”.

اسلاید 27: 27فصل دو ریاضیات به عنوان توابع دکترینراسل ریاضیات را به عنوان گردایه همه توابع دکترین فرضیه ای می انگارد. وی می گوید :” ریاضیات را میتوان موضوعی تلقی کرد که درآن ما هرگز نمی دانیم درباره چه چیزی صحبت می کنیم ونمی دانیم آنچه که می گوییم درست است یا نادرست ”.این تعبیربا گفته هانری پوانکاره مطابقت دارد که می گوید ” ریاضیات عبارتست ازآنکه به چیزهای مختلف نام یکسان بدهیم ”

اسلاید 28: 28فصل دو یک مثال از شاخه ای از ریاضیات اشیا تعریف نشده : مجموعه K متشکل از اشیای تعریف نشدهa, b, c, …. رابطه دوتائی R که اعضای K را به هم نسبت می دهد، هرگاه a با b رابطه داشته باشد، می نویسیم a R b

اسلاید 29: 29فصل دو مثال ادامهبنداشتها:P1 : اگر a مخالفb باشد، آنگاه aRb یا bRa.P2 : اگر aRb آنگاه b مخالف a است.P3 : اگر aRb و bRc آنگاه aRc .P4 : K دقیقا چهارعضو دارد.

اسلاید 30: 30فصل دو مثال ادامه قضیه 1 : اگر aRb آنگاه bRa . قضیه 2 : اگر c مخالف a و همچنینc مخالف b باشد و aRb آنگاه یا aRc یا cRb . قضیه 3 : حداقل یک عضودر K هست که باهیچ عضو K نسبت ندارد.

اسلاید 31: 31فصل دو مثال ادامه قضیه 4 : فقط یک عضو در K هست که با هیچ عضو K نسبت R ندارد. تعریف 1 : هرگاه bRa گوییم aDb قضیه 5 : هرگاه aDb ، bDc آنگاه aDc .

اسلاید 32: 32فصل دو مثال ادامه تعریف 2 : هرگاه aRb وهیچ عضو c در K موجود نباشد به طوری که aRc و cRb گوییم aFb . قضیه 6 : هرگاه aFc و bFc آنگاه a=b

اسلاید 33: 33فصل دو مثال ادامهقضیه 7 : هرگاه aFb و bFc آنگاه aFc. تعریف 3 : اگر aFb و bFc آنگاه گوییم aGc .

اسلاید 34: 34فصل دو کاربرد در شجره شناسی از مثال می توان این شاخه ریاضی را درمجموعه ای متشکل از چهارنفر بکار برد: یک مرد، پدر آن مرد، پدر پدرآن مرد ، پدرپدر پدرآن مرد . R به معنی سلف می باشد. متضاد سلف را خلف می نامند. بااین تفسیریک مدل بدست می آید وقضیه ها وتعاریف فوق دراین مورداحکامی درست هستند بیان قضایا دراین مدل عبارتنداز :

اسلاید 35: 35فصل دو کاربرد در شجره شناسی از مثال ادامهقضیه 1 : اگر a سلف b باشد، آنگاه b سلف a نیست .قضیه 2 : اگر c فردی متمایز از a وb باشد وa یک سلف b باشد آنگاه یا aسلف cاست و یا c سلف b است .قضیه 3 : حداقل یک مرددر K هست که سلف هیچ فردی در K نیست

اسلاید 36: 36فصل دو کاربرد درشجره شناسی ازمثال ادامهقضیه 4 : فقط یک مرد درK هست که سلف هیچ فردی در K نیستتعریف 1: اگرb سلف aباشد، گوییم a خلف b است.

اسلاید 37: 37فصل دو کاربرد درشجره شناسی ازمثال ادامهتعریف 5 : اگر a خلف b و b خلف c باشد ، آنگاه a خلف c است.تعریف 2 : اگر a یک سلف b باشد وهیچ فردی چون c موجودنباشد که a سلف c و cسلف b باشد، گوییم a پدر b است.

اسلاید 38: 38فصل دو کاربرد درشجره شناسی ازمثال ادامهقضیه 6 : هرمرد حداکثریک پدردارد.قضیه 7 : هرگاه a پدرb و b پدر c باشد، a پدرc نیست.تعریف 3 : هرگاه a پدر b و b پدر c باشد گوییم a پدر بزرگ c است.

اسلاید 39: 39فصل دو کاربرد درهندسه ازمثالاگر K متشکل ازچهار نقطه متمایزواقع بریک خط باشد و R به معنی ” سمت چپ ” باشد بازهم بنداشتها برقرار بوده وشاخه دومی از ریاضیات کاربردی حاصل می شود. این یک مدل هندسی است. رابطه Dبه معنی” سمت راست ” ورابطه F به معنی ” نقطه بعدی K سمت چپ ” ورابطه Gبه معنی ” دومین نقطه K سمت چپ” می باشد.

اسلاید 40: 40فصل دو کاربرد حسابی ازمثالK متشکل ازچهارعدد صحیح 1و 2و 3و 4 می باشد. رابطه R به معنی ” کوچکتراز ” می باشد. این بارنیز بنداشتها برقراروشاخه جدیدی ازریاضیات کاربردی حاصل می شود. در اینجا رابطه D به معنی” بزرگتر از” و رابطه F به معنی ” یک واحد کوچکتر از ” ورابطه G به معنی ” دوواحد کوچکتراز” می باشد.

اسلاید 41: 41 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 1- هم ارزی (1)دو سیستم بنداشتی P1 , P2 راهم ارزمی نامند هرگاه هر کدام دیگری را نتیجه دهد. هرگاه دوسیستم بنداشتی هم ارز باشند، دومطالعه مجردی که ازآن نتیجه گردد، یکی خواهد بود. مثال قبل با “ P1, P3, P4 و قضیه 1 “ هم ارز است.

اسلاید 42: 42فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 1- هم ارزی (2)اکنون این سئوال پیش می آید که ازمیان دوسیسنم بنداشتی کدامیک بهتراست ؟شایدهیچ ضابطه ای وجود نداشته باشد. به نظرمی آید آن سیستمی که تعداد عبارتهای اولیه وبنداشتهای کمتری دارد بهتراست .اما به آسانی می توان دریافت که کاهش تعداد بنداشتها به یک حد اقل، قدری تصنعی است. حتی می توان همه بنداشتهای یک مجموعه را دریک بنداشت بزرگ اما پیچیده جمع کنیم.

اسلاید 43: 43 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 1- هم ارزی (3) مثالی از کاهش بنداشتهاحکم ساده ” یک و فقط یک x هست که در g(x) صدق کند ” را میتوان با پنج حکم زیر تعویض کرد :1- تعداد x هایی که در g(x) صدق می کند فرد است2- تعداد x هایی که در g(x) صدق می کند کمتر از 8 است3- تعداد x هایی که در g(x) صدق می کند برابر 7 نیست4- تعداد x هایی که در g(x) صدق می کند برابر 5 نیست 5- تعداد x هایی که در g(x) صدق می کند برابر 3 نیست

اسلاید 44: 44 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 1- هم ارزی (4) مقایسه دو سیستم بنداشتی یک مجموعه بنداشتی ممکن است به این دلیل بردیگری رجحان داشته باشد که قضیه های کلیدی آن تئوری را سریعتربتوان نتیجه گیری کرد. دراین راستا ممکن است چنین نتیجه های کلیدی رادرمجموعه بنداشتی قرارداده و بی هیچ اتلاف وقتی بدانها دست یافت.

اسلاید 45: 45 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 2- سازگارییک مجموعه بنداشتی راسازگارمی نامند اگردوگزاره متناقض ازآن نتیجه نشود. مجموعه بنداشتی ناسازگارفاقد ارزش است.روش مناسب برای کنترل سازگاری :استفاده ازروش مدل سازی. این کار با معنا دادن به عبارتهای اولیه حاصل می شود ( مانند مدلهای هندسی، حسابی وشجره شناسی که به مثال قبل ارائه کردیم )

اسلاید 46: 46فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 2- سازگاری (2)انواع مدل : ملموس وایده آل.مدل ملموس : مدلی که هرگاه معنا یی که به عبارتهای اولیه آن متناظرمی گرددعبارت ازاشیا وروابطی باشدکه ازجهان واقعی اقتباس شده است.

اسلاید 47: 47فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 2- سازگاری (2)مدل ایده آل :هرگاه معنایی که به عبارتهای اولیه متناظر می گرددعبارت ازاشیا وروابطی باشد که ازسیستم بنداشتی دیگری اقتباس شده است.چنین نیست که همیشه بتوان یک مدل ملموس ازیک مجموعه بنداشتی عرضه کرد. خصوصا وقتی مجموعه بنداشتی شامل نامتناهی عنصر اولیه باشد، عرضه مدل ملموس غیر ممکن است، زیرا جهان واقعی شامل نامتناهی ازاشیا نیست.

اسلاید 48: 48فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 2- سازگاری (3)سازگاری نسبی ابزاری از روی ناچاریبرای اثبات هندسه مسطحه لباچفسکی ازایده سازگاری نسبی استفاده می شود (هندسه لباچفسکی سازگاراست اگر هندسه اقلیدسی سازگارباشد ) بطوریکه مفاهیم خاصی را ازهندسه اقلیدسی به کار گرفته ومدل ایده آلی ازهندسه لباچفسکی را که به مدل پوانکاره مشهوراست به دست می آوریم سپس نشان می دهیم هندسه لباچفسکی سازگاراست اگرهندسه اقلیدسی سازگار باشد.

اسلاید 49: 49فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 2- سازگاری (4) اثبات سازگاری به روش مدلها یک اثبات غیرمستقیم است.هیلبرت مساله اثبات سازگاری اعداد حقیقی رابه روش مستقیم مورد مطالعه قرار داد، ولی موفقیت چندانی بدست نیاورد. زیرااین روش به قواعد استنتاج منطقی بستگی دارد وهرتغییری دراین قواعد میتواند اثبات سازگاری ازاین نوع رادگرگون سازد.

اسلاید 50: 50 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 3 - استقلال یک بنداشت ازیک مجموعه بنداشتی را مستقل می نامند هرگاه نتیجه منطقی ازدیگربنداشتهای آن مجموعه نباشد. یک مجموعه بنداشتی را مستقل نامیم هرگاه هر یک ازبنداشتهای آن مستقل باشد.

اسلاید 51: 51 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 3 - استقلال مثال ازیک بنداشت مستقل : بنداشت توازی اقلیدس مستقل است. مثال ازیک مجموعه بنداشتی مستقل : مجموعه بنداشتی هندسه اقلیدسی ( شامل پنج بنداشت ) مستقل است.

اسلاید 52: 52فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 3 – استقلال (2) کاهش بنداشتها استقلال یک مجموعه بنداشتی عموماالزامی نیست یعنی یک مجموعه بنداشتی بدلیل عدم استقلال آن فاقدازش نخواهد بود.

اسلاید 53: 53فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 3 – استقلال (2) کاهش بنداشتهامجموعه های بنداشتی مشهوری بودند که درآغازنا خواسته شامل بنداشتهای غیر مستقل بودند. مثلا مجموعه بنداشتهای هیلبرت چنین بود. بعدا نشان داده شد که این مجموعه شامل دوبنداشت است که ازدیگر بنداشتها نتیجه می شوند . کاهش این بنداشتها ازاعتبارسیستم هیلبرت نمی کاهد.

اسلاید 54: 54فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 3 – استقلال (3) کاهش بنداشتها مجموعه مشهو آر. ال. مور متشکل از هشت بنداشت اساس توپولوژی مدرن رابنا نهاده بود، آر.ال. ویلدر توانست این مجموعه رابه هفت بنداشت تقلیل دهد وبنداشت ششم موررا حذف کرد. درواقع هرمجموعه بنداشتی مستل یا نا مستقل را به آسانی می توان با استفاده از رابطهای گزارهای به یک مجموعه مستقل وحتی متشکل ازتنها یک بنداشت تبدیل کرد.

اسلاید 55: 55 فصل دو ویژگیهای مجموعه بنداشتی 4 - تمامیتیک مجموعه بنداشتی سازگاررا تمام می نامند هرگاه بدون توسعه عبارتهای اولیه نتوانیم بندشت مستقل دیگری رابه آن مجموعه بیفزائیم.آزمون تمامیت:استفاده ازمفاهیم ” کاتاگوری“ و”یکریختی”.

اسلاید 56: 56فصل سه منطق نمادیاهداف فصل آشنائی با منطق نمادی آشنائی با تاریخچه این علم آشنائی با منطقهای چند ارزشی

اسلاید 57: 57فصل سه تاریخچه 1660 لایپنیتزدرمقاله ای که منتشر کرد 1848 و 1854 جرج بول درمقالات منتشره 1847 اگوست دمورگان دررساله ای که منتشر کرد 1890 و 1895 ارنست شرودردرکتاب ” پیش درآمدی برجبرمنطق “

اسلاید 58: 58فصل سه تاریخچه1903- 1879 گوتلب فرگه 1894پئانودرکتاب فرمولبندی ریاضیات وایتهد و راسل در کتاب اصول ریاضیات 1939-1934 دیویدهیلبرت وپاول برنایزدرکتب مبانی ریاضیات 1935- --- مجله ادواری منطق نمادی

اسلاید 59: 59فصل سه اصول منطق نمادی نشان دادن عبارات اولیه با نمادها وعلائم مجردعاری ازسوئ تفاهمات موجود درزبان معمولی نمایش روابط بین احکام، مجموعه ها ، رده ها ونظایرآن به وسیله فرمولها

اسلاید 60: 60فصل سه ترکیبات گزارهایگزاره : جمله ای بامحتوای درست یا نادرست ساخت : ساخت گزاره ها به کمک پنج نمادعطف، فصل، شرط، دوشرط، نقیض ساخت گزاره های جدید ازترکیب گزاره هاساخت جدول ارزشی گزاره هابررسی هم ارزی گزاره ها بااستفاده ازجدول ارزشی

اسلاید 61: 61فصل سه برخی قوانین منطقیقانون طرد شق وسطقانون نقضقانون تعدی شرطیقانون نفی ثانیقانون عکس نقیض

اسلاید 62: 62فصل سه گزاره های هم ارز

اسلاید 63: 63فصل سه حساب گزاره هااجرای روش بنداشتی باشروع ازبنداشتها شروع ازمفروضات وختم به نتایجعدم توجه به درستی یانا درستی مفروضات توجه به درستی استدلال دراثباتها

اسلاید 64: 64فصل سه حساب گزاره ها (2)روش ساخت : با تعداداندکی ازاتحادهای منطقی بقیه آنها بر طبق قواعد مشخص قواعد منطقی به دست می آیند . در این روش اتحادها به وسیله محاسبات نمادی بدست می آیند. در این روش اندکی ازمجموعه همه اتحادها به عنوان بنداشت انتخاب شده وسپس برطبق قواعد صوری دیگر اتحادهای منطقی به دست می آیند. این قواعدهمان نقشی رادرگسترش حساب گزاره ها دارندکه نتیجه گیری منطقی درگسترش هر تئوری ریاضی.

اسلاید 65: 65فصل سه عبارتهای اولیهمجموعه ای مانندP متشکل از p,q,r,… که گزاره می نامیم.عمل دوتایی که براعضای Pاثرکرده وبا  نشان می دهیم.عمل دوتایی که براعضای Pاثرکرده وبا  نشان می دهیم.سایراعمال به دلیل تعریف پذیری بااعمال فوق نیازبه تعریف ندارند.

اسلاید 66: 66فصل سه بنداشتها وتعاریفتعریف 1- p→q به معنی ¬pvq می باشدL1 – (pvq)→pL2 – q→(pvq)L3 –(pvq) →(qvp) L4 - (q→r)→ [(pvq)→(pvr)]

اسلاید 67: 67فصل سه قواعد استنتاج قضایا یا اتحادهای ثانویهR1 – قاعده جایگزینی: دریک اتحاد هرجاگزاره q هست آن راباگزاره p میتوانیم جایگزین سازیمR2 – قاعده جایگزینی تعریفی :جایگزینی هرعبارتی در یک اتحاد باعبارت معادل آن R3 – قاعده استلزام : هرگاه m وmn برقرارباشد، n برقراراست.R4 – قاعده عطف : هردو گزاره درست m وn می توان اتحاد ثانویه mn رابدست آورد.

اسلاید 68: 68فصل سه برخی قضایای حساب گزاره هاقضیه 1 (q→r)→[(p→q)→(p→rR]قضیه 2 p→(pvq)قضیه 3 p→pقضیه 4 ¬pvqقضیه 5 pv¬p

اسلاید 69: 69فصل سه برخی قضایای حساب گزاره هاقضیه 6 p→¬p→¬p : قضیه 7 : p→¬(¬p)قضیه 8: pv{¬(¬p)} قضیه 9 :¬p)→p)¬قضیه 10p↔¬(¬p):

اسلاید 70: 70فصل سه منطق چند ارزشی یا منطق غیر ارسطویی 1921 جی لوکازیویچ : بنا گذاشتن منطق سه ارزشی 1930 ای. ال. پست : بنا گذاشتن منطق m ارزشی1932 اچ ریچن باخ : بنا گذاشتن منطق بینهایت ارزشی1932 اف سویسکی : بکار گیری منطق چندارزشی در نظریه کوانتم فیزیک

اسلاید 71: 71فصل سه سقوط مطلق گرایی منطقی برای عامه مردم باورکردنی نیست که شق دیگری ازقوانین منطقی، بجزآنچه ارسطو درقرن چهارم قبل ازمیلاد بیان کرده است وجود داشته باشد. احساس عمومی براین است که قوانین منطق ارسطو به گونه ای با ساختار جهان و لذا با طبیعت استدلال انسانها در آمیخته اند. این منطق گرایی منطقی سرانجام درسال 1921 فروریخت.

اسلاید 72: 72فصل سه سقوط مطلق گرایی منطقی (2)آلونزویچ : ماهیچ وجهی از یکتایی یا درستی مطلق را به هیچ یک از سیستمهای منطقی اطلاق نمی کنیم. ذوات منطقهای صوری مجردات هستند که به خاطراستفاده آنها در توصیف و سازماندهی به حقایق تجربی یا مشاهدات اختراع شده اند. ویژگیهای این ذوات به گونه ای بی روح و خشک برای استفاده مورد نظرمشخص می شوند. این ویژگی ها به انتخاب دلخواه مخترع نیز بستگی دارند.

اسلاید 73: 73فصل سه منطق سه ارزشی ادامه پذیرش سه نوع ارزش درست، نادرست، نیمه درست نوع جدول ارزشی : جدولی چهاردرچهاربرای عطف وجدولی چهاردردو برای نقیض تعداد جداول ارزشی ممکن : 256 نوع جدول ارزشی متفاوت

اسلاید 74: 74فصل سه منطق سه ارزشی ادامهساختن جدول ارزش هریک ازرابطهای منطقی باقیمانده بر حسب جدول عطف ونقیض ارتباط نزدیک بین منطقهای چند ارزشی ونظریه احتمال

اسلاید 75: 75فصل سه یک جدول عاطفیک جدول عاطف درمنطق سه ارزشی

اسلاید 76: 76فصل سه دو جدول نقیضدو جدول ارزشی نقیض در منطق سه ارزشی

اسلاید 77: 77 فصل سه شک و تردید مولد علوم جدیدجورج کانتور: جوهره ریاضیات درآزادی نهفته است.منطقهای غیرارسطویی در کشف و پیشرفت علمی سهم بزرگی دارند. وقتی ازاینشتاین سئوال شد چگونه تئوری نسبیت را اختراع کردی پاسخ داد : یک اصل علمی را مورد سئوال وکاوش قرار دادم. هامیلتون وکیلی بنداشت جابجایی ضرب رامورد تردید قرار دادند.

اسلاید 78: 78فصل سه شک و تردید مولد علوم جدیدخواجه نصیرطوسی، لباچفسکی وبویوئی اصل توازی اقلیدس رامورد سئوال قراردادند.کپرنیک این اصل را که زمین مرکز منظومه شمسی است مورد تردید قرارداد.گالیله سقوط سریع اجسام سنگین را مورد تردید قرارداد.

اسلاید 79: 79فصل چهار بحرانهای تاریخی در مبانی ریاضیاتاهداف فصل بررسی سه بحران ریاضی بحرانی که هنوزرفع نشده است پارادوکسهای نظریه مجموعه ها پارادوکسهای راسل وکانتور

اسلاید 80: 80فصل چهار بحران اولزمان : قرن پنجم قبل ازمیلادمنشا بحران : کمیتهای هندسی نامتناسبرفع بحران : 370 سال قبل ازمیلاد توسط ادوکسوستلاشی دیگردرراستای رفع بحران : 1872 ریچارد ددکیندنتیجه تاریخی : ابطال نظریه فیثاغورثیان درباب کمیتها

اسلاید 81: 81فصل چهار بحران دومزمان پیدایش بحران : اواخرقرن هفدهممنشا بحران : کشف حساب دیفرانسیل وانتگرال توسط نیوتن ولایپ نیتزموضوع بحران : تناقض و پارادوکسها درمفاهیم مشتق و نمومتغیرونسبت تغییرنموبه رشد مفاهیم مبهم : کمیتهای بینهایت کوچک، سریهای نامتناهی ، توان صفر

اسلاید 82: 82فصل چهار بحران دوم ادامهتلاش برای رفع بحران کارل وایراشتراوس : مقابله با شهودهندسی درآنالیز با ارائه تابعی همه جا پیوسته وهیچ جا مشتق پذیرلئونارد اویلر: وضع فرمولگرایی درآنالیزدالامبر: وضع قانون مبانی آنالیزجوزف لویز لاگرانژ : بسط تابع به سری تیلور

اسلاید 83: 83فصل چهار بحران دوم ادامهگاوس : طرح استانداردهای منطقی آنالیزوطرح سریهای ابرهندسیآگوست لویوئی : وضع مفاهیم اتصال مشتق وانتگرال معین به شیوه ای نوینریمان: ارائه انتگرال ریمان

اسلاید 84: 84فصل چهار بحران سومزمان پیدایش بحران : 1897 و 1902ویژگی : عدم رفع کامل بحرانزمینه بحران : پارادوکسهای موجود درتئوری عمومی مجموعه های کانتور ظهوراولین پارادوکس : 1897 توسط برالی فورتی در تئوری مجموعه ها

اسلاید 85: 85فصل چهار بحران سومظهوراولین پارادوکس : 1898 توسط کانتور در تئوری مجموعه ها مشابه پارادوکس برالی فورتیظهوردومین پارادوکس : 1902 توسط برتراند راسل در تئوری مجموعه ها در خصوص مفهوم مجموعه

اسلاید 86: 86فصل چهار بحران سوم ادامهتلاش برای رفع بحران 1908 زرملو 1918 هرمان وایل فرا نکل اسکولم فن نویمان برنانز

اسلاید 87: 87فصل چهار تئوری بنداشتی اعداد حقیقی اواخرقرن نوزدهم پاسخی برای حل بحران دوم قدمی برای فهم حساب دیفرانسیل وانتگرال راهی بسوی منطق گرایی

اسلاید 88: 88فصل چهار تئوری بنداشتی اعداد حقیقیسابقه تاریخی : بابلیان، هندیان وایرانیان بابلیان : معرفی نماد صفرهندیان : معرفی نماد صفرایرانیان : توسعه جبر

اسلاید 89: 89فصل چهار اعداد طبیعیاصول پئانوصفر عدد طبیعی استتالی طبیعی، طبیعی استهیچ دو عدد طبیعی متمایز یک تالی ندارندصفر تالی هیچ عدد طبیعی نیستاگر خاصیتی در باره صفر صدق کند، واگردرمورد یک عدد طبیعی صدق کند درباره تالی ان هم صدق می کند، درباره همه اعداد طبیعی صدق می کند

اسلاید 90: 90فصل چهار اعداد طبیعیاصطلاحات تعریف نشده در اصول پئانو: صفرتالیعدد طبیعیناتوانی اصول پئانو :عدم تعریف انواع بالاتر اعدادعدم تعریف جمع و ضرب اعداد طبیعیعدم وجود اصطلاحات تعریف نشده ” مجموعه” و“ زوج مرتب“

اسلاید 91: 91 فصل چهار انواع بالاتراعدادمعرفی تئوری اعدادگویا برپایه تئوری اعداد طبیعی روش : یک عدد گویا = زوجی مرتب ازدوعدد طبیعیجمع دوعدد گویا : جمع زوجهای مرتب ضرب دوعدد گویا : ضرب زوجهای مرتب

اسلاید 92: 92فصل چهار انواع بالاتراعدادمعرفی تئوری اعداد حقیقی برپایه تئوری اعداد گویاروش: استفاده از برش ددکیند ، حد دنباله ای ازاعداد گویامعرفی تئوری اعداد مختلط برپایه تئوری اعداد حقیقی یک بینش براساس پایه شمردن اعداد طبیعی : کرونکرمی گوید ” خداوند اعداد طبیعی را ساخت ، بقیه کار بندگان اوست“

اسلاید 93: 93 فصل پنجم فلسفه های ریاضی اهداف فصلآشنائی با فلسفه منطق گرائیآشنائی با فلسفه شهود گرائیآشنائی با فلسفه اشراقآشنائی با فلسفه صورت گرائیشناخت تئوری طبقات

اسلاید 94: 94فصل پنجم منطق گرائیپنداشتن ریاضیات به عنوان شاخه ای ازمنطقتبدیل شدن منطق به کل ریاضیاتبیان تمام مفاهیم ریاضی به کمک منطقتمایزنامحسوس ریاضیات ومنطقپنداشتن تمام قضایای ریاضی به عنوان قضایائی ازمنطق

اسلاید 95: 95فصل پنجم منطق گرائی ادامهاولین پایه گذار : فرگه فرگه: فقط قوانین عدد را می توان به قوانین منطق تاویل کرددومین پایه گذار: برتراند راسلراسل :همه ریاضیات را می توان به منطق تاویل کردشیوه فهم این استدلال : بیان هندسه به کمک هندسه تحلیلی

اسلاید 96: 96فصل پنجم منطق گرائی ادامهویژگی استدلال :استفاده از”ایده های اولیه” ، ”احکام اولیه “استفاده ازتئوری طبقات وحساب گزاره ها سومین پایه گذار :وایتهدوایتهد : همه ریاضیات را می توان به منطق تاویل کرد

اسلاید 97: 97فصل پنجم منطق گرائی ادامهکتاب ” اصول ریاضی ” تلاش راسل ووایتهد درراستای منطق گرایی استفاده ازتئوری طبقات استخراج ریاضیات ازاعداد طبیعی بکار گیری ”صفر ”، ” تالی“ و”عدد طبیعی“ استفاده ازاصول پئانو

اسلاید 98: 98فصل پنجم منطق گرائی ادامهتئوری طبقاتاصل تئوری طبقات : قراردادن مجموعه ها ، مجموعه مجموعه ها و..... در یک سلسله سطوح یا طبقاتعدم قبول مجموعه هائی با عضو هائی ازطبقه ای غیراز طبقه بلافاصله پایین ترازطبقه خودآنوارد کردن مفهوم ” بی معنی ” به فلسفه

اسلاید 99: 99فصل پنجم منطق گرائی ادامهتئوری طبقاتنفی قانون طرد شق ثالثعناد راسل درتقابل با پارادوکسهااصل دورباطل ونقض پارادوکسها

اسلاید 100: 100فصل پنجم منطق گرائی ادامهبررسی عمیق در باب تئوری طبقاتوجود دونوع پارادوکس : پارادوکس ناشی ازمعانی الفاظ یا تناقض معنوی وپارادوکس ناشی ازتئوری مجموعه هاپارادوکس اپیمندیس از نوع معنویعدم پردازش تئوری طبقات به پارادوکسهای معنوی

اسلاید 101: 101فصل پنجم منطق گرائی ادامهتئوری طبقات به عنوان وسیله ای در انتظار پیدا شدن وسیله بهتری برای متوقف ساختن پارادوکسهانظریه راسل به عنوان راه حلی موقت ” اصل بیکرانی ”راسل و وایتهد راهی برای توجیه شکاف تئوری طبقات و تصدیق وجود تعداد بیشماری ذاتها از نوع پایین ترین طبقه

اسلاید 102: 102فصل پنجم منطق گرائی ادامهبررسی عمیق تئوری طبقات ادامهمطابقت نداشتن اصل بیکرانی با فلسفه واقعگرایی که بنا بر آن فرض بر این است کهریاضیات عدد فقط آنچه را که ما از پیش درباره برخی ذاتهای مجرد می دانیم بیان می کندنقایص دیگر تئوری طبقات : عدم پذیرش ” مجموعه مجموعه ها ” ، ” مجموعه تهی ” و” مکمل مجموعه “ و اینکه برای هر طبقه در سلسله مراتب طبقات عدد ” یک ” تازه ای وجود دارد. این وضع برای بقیه اعداد طبیعی نیز در هر طبقه رخ می دهد.” اصل تحول پذیری ” راسل راهی برای فرار از معضل به وجود آمده برای اعداد طبیعی

اسلاید 103: 103فصل پنجم شهود گرائیسابقه تاریخی : زمان کانتتزشهود گرایان : ساختن اشیا وبرهانهای ریاضی با گامهای متوالی و متناهیقرارداشتن پایه ریاضیات بر شهود اولیهدرک ما از ” قبل و بعد ” ودرک یک شیئ مشخص و سپس ادراک های بعدی متوالی وبی پایانحصول اعداد طبیعی به روش فوق

اسلاید 104: 104فصل پنجم شهود گرائیکانت و شهود گرائیاعداد وقتی وجود دارند که بتوان آنها راشمردعدم وجود بزرگترین عددعدم وجوداعداداصلی نامتناهیعدم وجود حداکثرطول درهندسه

اسلاید 105: 105فصل پنجم شهود گرائیارائه نظریه بیکران بالقوه به جای بیکران بالفعل توسط کانت هم خوانی نظریه کانت باارسطو درباب بی کرانی بالقوهاصراربرگامهای ساختار گرایانه و طی گامهای متناهی

اسلاید 106: 106فصل پنجم شهود گرائیشهود گرائی معاصر با نظریه ساختارگرائیچهره شاخص : ال. ای. جی بروئورهلندیاعمال روش ساختارگرانه تئوری مجموعه هاسلب امکان وجود مجموعه های پارادوکس زاقویترشدن تدریجی فلسفه بروئوربا گذشت زمان

اسلاید 107: 107فصل پنجم شهود گرائیشهود گرایان درتقابل با نظریه کانتورشهود گرائی درمقابل نظریه کانتور مبنی براینکه تعداد اعداد حقیقی بیشترتعداداعداد طبیعی است.استفاده ازبسط اعشاری نامتناهی یک عدد حقیقی برای اثبات ادعای فوق توسط کانتوروسزنده نبودن این استدلال ازدید شهود گرایان

اسلاید 108: 108فصل پنجم شهود گرائیشهود گرایان ورد “ قانون طرد شق وسط ”شهود گرائی درتقابل با مواردی درریاضیات که نه برای صحتشان دلیلی پیدا شده ونه برای بطلانشان مانند ” آخرین قضیه فرما ” و” حدس گلدباخ ”.

اسلاید 109: 109فصل پنجم شهود گرائیاصرارشهود گرایان براینکه درمواردی مثل دومورد فوق باید به صراحت تصمیم گرفت وچون صحت یا سقم مشخص نیست پس حکم برشق وسط یعنی ” نه صحیح ونه نادرست ” راباید پذیرفت.

اسلاید 110: 110فصل پنجم شهود گرائی و قربانیان ریاضی برسر این فلسفهتئوری های قربانی شده بشرط پذیرش شهود گرائیاولین مورد : تئوری اعداد اصلی کانتوردومین مورد : هرمجموعه کراندار ازاعداد طبیعی یک کران بالا دارداصل موضوع انتخاب زرملو ( تاوانی بسیار سنگین )سایر اصول هم ارز اصل موضوع انتخاب نظیر لم زرن، اصل خوشترتیبی ، استقرا

اسلاید 111: 111فصل پنجم شهود گرائی در تقابل با منطق گرائیدراصول ریاضیات راسل ووایتهد قانون طرد شق وسط و قانون تناقض هم ارزانگاسته شده ولی برای شهودگرایان این وضع قابل قبول نیست وتلاش برای دستگاه منطقی که درآن ایده های شهودگرایانه قابل تحمل باشد درسال 1930 توسط هیتینگ انجام گرفت ومنطق نمادی شهود گرایانه توسعه ورشد یافت.

اسلاید 112: 112فصل پنجم شهود گرائی و توسعه ریاضیاتچه مقدارازریاضیات را میتوان با محدودیتهای شهود گرایانه بازسازی کرد؟بخش زیادی نظیرتئوری مجموعه ها وقضیه پیوستار کانتورتا حدودی بازسازی شده است.گرایش شهود گرایانه بسیارکم توان ترازریاضیات کلاسیک است.

اسلاید 113: 113فصل پنجم شهود گرائی و توسعه ریاضیات (2)چه مقدار از ریاضیات را میتوان با محدودیتهای شهود گرایانه بازسازی کرد؟نتیجه : بخش عظیمی ازریاضیات کلاسیک باید قربانی شودیکی ازنقاط قوت فلسفه شهود گرائی :عدم بروز تناقض در روشهای شهود گرائی ( البته تا امروز )

اسلاید 114: 114فصل پنجم فلسفه اشراقشیخ فلسفه اشراق : سهروردیفلسفه اشراق بر استدلال و کشف و شهود هر دو تکیه دارد.سابقه شهود گرائی ریاضی به درک کانت ازعدد برمی گردد، درحالی که فلسفه شهود درمبانی کلی فلسفی که به فلسفه اشراق معروف است به دوره پیش از ارسطو نسبت داده میشود.

اسلاید 115: 115فصل پنجم صورتگرائیسابقه تاریخی : 1899 دیوید هیلبرت سایرین : برنایز، اکرمان، فن نویمانتزصورتگرائی : ریاضیات با سیستمهای نمادی صوری سروکاردارد وبنابراین ریاضیات عبارتست از گردایه ای ازسیستمهای نمادی مجرد که مفاهیم آن صرفا نمادهای بی معنی واحکام آن فرمولهائی هستند که بااین نمادها بیان می شوند.

اسلاید 116: 116فصل پنجم صورتگرائی ادامهمفاد یک سیستم صورییک زبان رسمی ( گردایه ای از نمادها وقواعد )گردایه ای ازبنداشتهایک سیستم استنتاجی ( گردایه ای از قواعد برای نتیجه گیری حکمی ازحکمی دیگر)قضیه هائی که باگامهای متناهی از بنداشتها نتیجه میشوند

اسلاید 117: 117فصل پنجم صورتگرائی ادامهتلاش هیلبرتتلاش هیلبرت برای رفع بحرانهای پارادوکسهای تئوری مجموعه ها باارائه تزصورتگرائی1934 و 1939 انتشار دوجلد کتاب مبانی ریاضیات هیلبرت، انجیل صورتگرایان موفقیت هیلبرت درگروحل مسئله سازگاری

اسلاید 118: 118فصل پنجم صورتگرائی ادامهتلاش هیلبرت (2)روش مدلها فقط تضمین کننده سازگاری نسبی بودکنارگذاشتن روش مدلها توسط هیلبرتتلاش هیلبرت با روش مستقیم وجدید بنام ” تئوری برهان ”پایان تراژیک تئوری برهان

اسلاید 119: 119فصل پنجم شکست تئوری برهانقضیه عدم تمامیت گودل اعجاز تاریخ منطق وریاضیات( کتاب آشنائی با منطق ریاضی تالیف اندرتون ترجمه خسروشاهی نشردانشگاهی ) 1931گودل : قبل ازچاپ کتاب مبانی هیلبرت گودل با روشهای قاطع وغیر قابل تردید نشان داد که برای یک سیستم استنتاجی به قدرکافی غنی همچون سیستم کل ریاضیات کلاسیک هیلبرت، غیرممکن است که بتوان سازگاری سیستم رابا روشهای متعلق به آن سیستم اثبات کرد.

اسلاید 120: 120فصل پنجم شکست تئوری برهانقضیه عدم تمامیت گودل اعجاز تاریخ منطق وریاضیات( کتاب آشنائی با منطق ریاضی تالیف اندرتون ترجمه خسروشاهی نشردانشگاهی )گودل ( قضیه عدم کمال ) : سیستمهای صوری که مدعی اند برای استخراج ریاضیات کافی هستند قابل اطمینان نیستند یعنی سازگاری آنها را نمی توان با روشهای متناهی فرمولبندی شده درداخل سیستم اثبات کرد، درحالی که هرسیستمی که دراین معنی قابل اطمینان باشد غیرکافی است.قضیه عدم کمال گودل شکست تئوری برهان هیلبرت

اسلاید 121: 121فصل شش ذوات ریاضیاهداف فصل آشنائی باسئوالات ماهوی بررسی دیدگاههای مختلف یاضی درباره ماهیت ذوات ریاضی پاسخ دگماهای صورتگرایان، افلاطونگرایان، شهود گرایان ونامگرایان درمورد ذوات ریاضی

اسلاید 122: 122فصل شش ذوات ریاضی چه ماهیتی دارند دیویدهرش : هرگاه کارروزانه تان ریاضی باشد، به نظرتان طبیعی ترین کاردردنیا می باشد. ه گاه کارتان را لحظه ای متوقف کنید وفکرکنید چه کارمی کنید واین کارها چه معنی دارد، به نظرتان ریاضیات یکی ازاسرارآمیزترین اموراست. چرا هنوزهندسه اقلیدس درست است، درحالیکه فیزیک ارسطویی از سالها پیش مرده است ؟ در ریاضیات چه می دانیم وچگونه به آنها معرفت پیدا می کنیم؟ ذوات ریاضی چگونه ذواتی هستند؟ مجردند یا ملموس؟ فقط در ذهن آدمی هستند یا درجهان خارج نیزوجود دارند؟

اسلاید 123: 123فصل شش افلاطونگراییذوات ریاضی را ما نمی سازیم بلکه ازقبل یکباروبرای همیشه وبه شکل ایده آل وازلی خلق شده اند. ما آنها را خلق نمی کنیم ، آنها را کشف می کنیم .یاضی نظری است که برطبق آن ذوات ریاضی مستقل از وجود انسانها وریاضیدانان وجود دارند، در جایی خارج ازوجود ما.برطبق این نظر، ریاضیات همتای نمادی جهان است که به تدریج رشد و گسترش یافته است. کاریک نظریه پردازریاضی این است که به نوای جهان گوش دهد و آنچه راکه می شنود ومی بیند ثبت کند.

اسلاید 124: 124فصل شش افلاطونگرایی (2)ذوات ریاضی حقیقی بوده ووجود آنها مستقل ازدانش ما در موردآنهاست.مجموعه ها، فضاهای برداری، منیفلدها، منحنی های فضا پرکن همگی اعضای باغ وحش ریاضی هستند و ذواتی معین اند.یک ریاضیدان، یک دانشمند علوم تجربی ومانند یک زمین شناس است، وی نمی توانداختراع کند، اوکشف می کندهمه چیزازقبل اختراع شده است.

اسلاید 125: 125فصل شش افلاطون گرایی (3)رینه تام : همه چیزازقبل وجوددارد ریاضیدان به قدرکافی باید شهامت داشته باشد که تمایلات عمیق خودرا بروزدهد وتایید کند که صورتهای ریاضی درواقع وجود دارندگودل :علیرغم جدایی ذوات ریاضی ازحس تجربی، ما موکدا چیزی شبیه دک ازاین ذوات تئوری مجموعه ها را داراهستیم. زیراملاحظه می کنیم که بنداشتهای این تئوری خودرا به ما به عنوان ذواتی حقیقی تحمیل می کنند.

اسلاید 126: 126فصل شش منتقدین فلسفه افلاطونگراییآلبرت رابینسون : من نمیتوانم تصورکنم به جرگه افلاطون گرایان برگردم. کسانی که جهان درواقع بی نهایت راپیش روی خودگسترده می بینند واعتقاد دارند که میتوانند ذوات غیرقابل فهم را درک کنند.ویگنشاین : منطق وریاضیات صرفا ما را به صورتهای استنتاج مجهزمی کنند، درکارریاضی ما فقط عباراتی رابه عباراتی تبدیل می کنیم واین که چنین تبدیلهایی درست است یا نه ازجهت مطابقت با ذوات ریاضی نیستند بلکه فقط با این ضابطه تعیین می شوند که چگونه افراد در واقع از این عبارتها استفاده کرده و چه چیزی را صحیح می نامند.

اسلاید 127: 127فصل شش صورتگراییریاضیات علم استنتاجهای منطقی است که درآن از بنداشتها شروع وقضیه ها نتیجه گیری میشود. حدوداولیه آن تعریف نمی شود. قضیه و بنداشتها فاقد محتوایند مگر آنکه بدانها تعبیرهایی متناظرکنیم.ریاضیات علم برهانهای منطقی است.برای هرمطلب یا برهانی وجود دارد یا آنکه اصلا آن مطلب به حساب نمی آید.

اسلاید 128: 128فصل شش صورتگرایی (2)برای مثال در هندسه نقطه و خط عبارات تعریف نشده و گزاره ” بر هر دو نقطه یک خط می گذرد ” یک بنداشت است. اهمیت منطقی چنین بنداشتی به تصویر ذهنی که ماازآن داریم بستگی ندارد. می توانیم خط راجاده و نقطه را روستا بنامیم. ” ازهردو روستا یک جاده می گذرد. ” درروند تئوری هیچ تغییری حاصل نمی شود.

اسلاید 129: 129فصل شش صورتگرایی (3) بایداستنتاجهای منطقی حاصل ازبنداشتها برقرار باشد. نتایج حاصل را قضایای تئوری می نامند. هیچ کس نمی تواندادعا کند که یک قضیه حقیقت دارد، قضیه ها به عنوان احکامی از ریاضیات محض نه حقیقت دارند ونه کذب، زیرااحکامی درباب عبارتهای تعریف نشده اند.

اسلاید 130: 130فصل شش صورتگرایی (3)تنها چیزی که می توان گفت، قضیه ها نتیجه منطقی بنداشتها هستند.قضیه ها فاقد محتوایندقضیه ها مبری ازخطا وشک هستند زیرا فرآیند برهان و استنتاج منطقی هیچ ابهامی باقی نمی گذارد.

اسلاید 131: 131فصل شش صورتگرایی و هندسهازنظرتاریخی یک دلیل عمده برای ارائه نظرصورتگرایی پاسخی به سرنگونی و رد هندسه اقلیدسی است.ازدیدگاه اقلیدس بنداشتهای هندسه فقط فرضیاتی ساده تلقی نمی شوند بلکه ” حقایقی خود آشکار ” به شمار می آیند.ازدیدگاه فیلسوف صورتگرااین تصوررا که می توان با ”حقایق خودآشکار” یک نظریه را فرمولبندی کرد قابل قبول نیست.

اسلاید 132: 132فصل شش صورتگرایی و بنداشت توازیآیا بنداشت توازی اقلیدس ونقیض آن هردودرست است ؟صورتگرایان :هرگاه به عنوان یک ریاضیدان درصدد باشیم که آزادی عمل خود رابرای مطالعه هردو هندسه اقلیدسی ونااقلیدسی حفظ کنیم لازم است از این معنی که هر یک ازاین بنداشتها حقیقت داشته باشد صرفنظر کنیم . تنها چیزی که کفایت می کند سازگاری هریک ازاین هندسه ها است.این دوهندسه وقتی متضاد هم تلقی می شوند که به یک فضای فیزیکی حقیقی اعتقاد داشته و تاکید کنیم.

اسلاید 133: 133فصل شش هندسه و فیزیک در صورتگرایی آیا قضایای هندسه صرفنظر ازتعبیرهای فیزیکی احکامی با معنی هستند ؟آیا میتوانیم ازکلمات درست و نادرست درباب هندسه محض استفاده کنیم ؟افلاطونگرایان به دوسوال فوق پاسخ مثبت می دهند زیرا اشیا ریاضی را مستقل ازعالم فیزیکی می پندارند.اما صورتگرایان پاسخ منفی می دهند و می گویند احکام هندسی نمی توانند درست یا نادرست باشند زیرادرمورد چیزی نبوده وهیچ معنایی دربرندارند.

اسلاید 134: 134فصل شش صورتگرایی و رسالت آموزشی یک صورتگرا چه مصداقها یا کاربردهایی برای تئوریی که توسعه می دهد درنظردارد ؟پاسخ:این گونه سوالها سوالهایی نامربوط است. وقتی که برای قضیه ای برهانی ارائه میشود کارریاضی انجام یشده است. هرچیزدیگردراین باب مطلب اضافی است.مقیاس اینکه چه مقدارریاضی دریک کلاس درس داده ایم این است که چه مقداردراین کلاس مطلب ثابت کرده ایم. این سوال که مستمعین ما چه مقدارفهمیده اند به ریاضیات ربطی ندارد.

اسلاید 135: 135فصل شش صورتگرایی فلسفه حاکم درمدارس دراواسط قرن بیستم صورتگرایی وضعیت فلسفی حاکم در کتابهای درسی ونوشته های رسمی ریاضی به شمار می رفت درحالیکه افلاطونگرایی که توسط بسیاری از ریاضی دانان مورد قبول بودبه صورت عقیده ای مخفی وخصوصی تلقی می شد وبندرت درمباحث عمومی ذکرمی گردید.

اسلاید 136: 136فصل شش صورتگرایی وپوزیتیویسم علمییک دلیل عمده حاکمیت فلسفه صورتگرایی ارتباط آن با پوزیتیویسم منطقی بود. که گرایش حاکم برفلسفه در 1940-1960 بود. درحوزه علمی وین پوزیتیوسیت های منطقی به علم وحدت داده وآن را دریک حساب منطقی صوری طبقه بندی می کردند.

اسلاید 137: 137فصل شش مثالی ازپوزیتیویسم منطقی درموردارائه پوزیتیویسم منطقی یک مثال بارزمکانیک کلاسیک ومکانیک کوانتم بود. در مکانیکهای کلاسیک قواعدی برای اندازه گیری کمیتهای بنیادی وجود دارد. مکانیک کوانتم قواعد خاص خودرادارد برطبق آن اصطلاح ”مشاهده پذیری” درتئوری صوری به اندازه گیریهای تجربی مربوط می شود.

اسلاید 138: 138فصل شش ریاضیات به عنوان یک زبان ازدیدگاه پوزیتیویسم منطقیخودریاضیات، نه به عنوان یک علم، بلکه به عنوان یک زبان برای سایرعلوم تلقی می گردد. ریاضیات یک علم به حساب نمی آید زیراهیچ موضوعی ندارد.ریاضیات فاقد داده های تجربی است که بتوان برآن قواعد تفسیری رااعمال کرد.ریاضیات فقط یک ساختارصوری تلقی می گردد.

اسلاید 139: 139فصل شش تمارض ازصورتگراییدرسالهای اخیرعکس العمل درمقابل صورتگرایی افزایش یافته ودرپژوهشهای ریاضی اخیرچرخش به سوی مسا ئل ملموس و کاربردی فزونی یافته است. درکتابهای درسی و منابع علمی اهمیت بیشتری به مثالها قائل می شوند وبه ارائه صوری مطلب قاطعیت چندانی نمی دهند.

اسلاید 140: 140فصل شش فلسفه های دیگرتئوری عدد برخلاف بعضی تئوریهای ریاضی کم استعمال ، درزندگیعادی ودرعلوم همیشه به کارمی رود.برخی ریاضیدانان به کارکردن بااعداد طبیعی بدون توجه به اصطلاح عدد اکتفا می کنند. آیا باید وجود چنین ذواتی را باور کنیم؟صورتگرایان ومنطق گرایان بااستفاده ازنتایج منطقی فرضهای اولیه به تعبیرپئانوقناعت نموده وهمین که قضیه ها رانتیجه بنداشتهای آن می دانند وظیفه علم را تمام شده می دانند.

اسلاید 141: 141 فصل شش تئوری بنداشتی اعداد به عنوان سیستمی نا معبرتئوری بنداشتی اعداد را می توان سیستمی نامعبرانگاشت و با روشی مجرد ومنطقی درآن پژوهش کرد اما اگر بخواهیم بااستفاده ازاین فرض بکوشیم که اندیشیدن درباره نوع و وجوداعدادرا منع کنیم ازحد ترخیص خارج می شویم.ارسطو و کانت معتقد بودند که عملا وجوداشیا بی شماردر جهان مقدور نیست .

اسلاید 142: 142فصل شش وجود عددآیا عدد وجود دارد ؟جوابهای فلاسفه ازچه نوع است ؟آیاباقاطعیت میتوان ”بله” گفت ؟چیزهایی که لایق داشتن عنوان عددهستند به طورقطع وجوددارند.

اسلاید 143: 143فصل شش مسئله کلیات درفلسفه وعدد مسئله کلیات درفلسفه مسئله ای بوددرباره وضع خواصی مانند فضیلت، چهارگوشی وسرخی. اینها همه ذوات مجرد هستند یعنی چیزهایی که درفضا وزمان نمی گنجند. این کلیات چه نوع حقیقتی دارند؟چگونه درفکرما دارای اهمیت واعتبارند؟مسئله تلاش برای یافتن یک تعبیر لفظی برای عدد شباهت با مسئله کلیات دارد.

اسلاید 144: 144فصل شش جواب فلاسفه به ماهیت کلیات واقعگرایان : کلیات ذوات واقعی مجردی هستند که حقیقت وجودشان ازاشیا مجسم کمتر نیست .مفهومگرایان : هرچند کلیات حقایق مجردند، درعالم خارج حقیقتی ندارند وفقط درفکرما موجودند.نامگرایان : چیزهایی به نام کلیات وجودندارند واگر وجود داشته باشند ذاتهای مجرد نیستند.

اسلاید 145: 145فصل شش نامگرایینامگرایی نظری است که بنا برآن ذوات مجرد وجود ندارند نامگرایان بویژه منکروجودذاتهای مجردبه نام اعدادهستند.آیا نامگرایان راه هایی برای تعبیراعداد دارند؟

اسلاید 146: 146فصل شش نامگرایان و اعداداندیشه هایی درذهن ما تصویریا نمودی فکریمدتی کوتاه درذهن وسپس هیچفضا رااشغال نمی کند

اسلاید 147: 147فصل شش نامگرایی ازنوع دیگرواعداداعداد به جای ذوات ذهنی ذوات عینی وطبیعی دارند.عددورقم یکی است وعدد چیزی بالاتریاپایین ترازرقم نیست.عدد چیزی معین ومحسوس است.بااین تعبیراصول تئوری اعداد درست درنمی آید.

اسلاید 148: 148فصل شش نامگرایی از نوع دیگرواعداداگرارقام وافی به مقصود نباشند فیلسوف نامگرا هرعددطبیعی را می تواند با چیزمعینی ازجهان مادی همانند گیرد.آیا این تعبیرمیسراست ؟ نه هرگز

اسلاید 149: 149فصل شش نامگرایی ازنوع دیگر و اعداد (2)درالقائات نامگرایانه فوق اشاره ای نمی شود که اصطلاحات ”مجموعه” و”زوجهای مرتب” راچگونه باید تعبیرکرد ؟بنظرمی رسداگرمجموعه وجود داشته باشد وجودش مجرد خواهد بود.

اسلاید 150: 150فصل شش نامگرایی وتعبیراعدادنمی توان ازقبول این نتیجه تن زد که برای تئوری اعداد تعبیرنامگرایانه ای وجود ندارد که به موجب آن این تئوری صحیح درآید.درنظرنامگرای مومن ریاضیات عدد را نمی توان مانند معرفتی قطعی به شمارآورد.این نتیجه را غیرنامگرایان”قیاس خلف نامگرایی”می دانند.

اسلاید 151: 151 فصل شش نامگرایی ومفهوم گرایی هردوفرقه درمورد مسائلی که دارای وجود ریاضی هستند خست نشان می دهند.واقعگرایان : ذاتهای مورد بحث بنداشتها به نحوی قاطع و جازم وجود دارند.مفهوم گرایان : وجود ذوات ریاضی مجرد پذیرفتنی است لیکن ساخته و پرداخته ذهن بشر.

اسلاید 152: 152مفهوم گرایی نقدی براین فلسفهجناح افراطی مفهوم گرایان اعداد یا هر ذات ریاضی را مخلوق ذهن می دانند. که در این صورت بنداشتهای مخلوق ریاضیدانان را به مثابه احکام خالق می توان انگاشت.وقتی یک ریاضیدان با خود می اندیشد که ” باید اصلی وضع کنم که بر طبق آن اعداد چنین و چنان باشند ”آنها را به وجود می آورد و این آفرینندگی او همانند قدرت کامله الهی است که هرچه را که مشیتش تعلق گیرد ازنیستی به هستی درمی آورد.امااین افراط در خوشبینی است که آیا ریاضیدان درفعالیت خود از هرقید وبندی به کلی آزاد است ؟

اسلاید 153: 153فصل شش کانت، مفهوم گرایی واقعیکانت معتقد است قوانین عدد همانند قوانین هندسه اقلیدسی هم قبلی هستند وهم ترکیبی.درنظرکانت معرفت ماازعدد برمبنای درک زمان ودرک ذهن قراردارد.برمبنای درک زمان عدد فقط نوعی شهود مطلق است.ذهن با شناخت اعداد فقط درکار داخلی خود بصیرت پیدا می کند نه دریک حقیقت.

اسلاید 154: 154فصل شش مقایسه مفهوم گرایی و شهود گرایی در باب اعداددر فلسفه مفهوم گرایی ذوات ریاضی مانند مجموعه ها و اعداد مخلوق ذهن ما هستند.فلسفه شهود گرایی مجموعه ها و اعداد متناهی رامخلوق ذهن نمی دانند ولی مجموعه های نامتناهی، اعداد اصلی نامتناهی راذواتی بی معنی تلقی می کنند.مفهوم گرایان برای ذهن قدرت آفرینش بی حد وحصر قائلند.

اسلاید 155: 155فصل شش واقعگرایاندرنظرواقعگرا وظیفه یک ریاضیدان همانند وظیفه کسی است که برای کشف زمینهای دوردست راه سفرپیش می گیرد. نمیتواند چیزی اختراع کند او کشف می کند.راسل : هرمعرفتی باید برای شناختن حقیقتی باشد وگرنه فریبی بیش نیست. حساب باید همانگونه کشف شده باشد که هندغربی توسط کریستف کلمب. هرچیزی که درباره اش بتوان اندیشید وجود دارد.

اسلاید 156: 156فصل شش واقعگرایان (2)درنظرواقعگرایان طرد براهین ”ناسازنده” وتعاریف غیر حملی یا تصوراحکامی که نه درست باشدونه غلط به هیچ روی موجه به نظرنمی رسد.اگراعداد وسایرذاتهای ریاضی بی آنکه به وجود ما قائم باشند به طورحقیقی وجود داشته باشند وسواس شهود گرایان به کلی زاید وبی اساس است.

اسلاید 157: 157فصل شش واقعگرایان (2)براستدلالهای ” نا سازنده ” هیچ ایرادی نیست.برای واقعگرایان آخرین قضیه فرما یا صحیح است یاغلط حتی اگرما نتوانیم ثابت کنیم.

اسلاید 158: 158 فصل شش فرگه واعدادفرگه : معرفت ما ازاعداد مبتنی بریک بینش عقلی قبلی است.هرگاه ماباچشم عقل درساختمان فارغ اززمان یک حقیقت عددی بنگریم به یک معرفت قبلی می رسیم. معرفتی قبل از تجربه واز طریق تفکر.معرفت به اعداد اساسا ربطی به فهمیدن و درک معانی کلمات ندارد.اگرکسی بتواند زبان اعداد را دریابد اماابری حجاب عقل اوشود به طوری که نتواند خود عدد رادرک کند، نخواهد توانست قوانین اعداد رابفهمد.

اسلاید 159: 159فصل شش فرگه واعداد (2)قوانین عدد همه تحلیلی اند فرگه :در حساب سروکارمابا چیزهایی نیست که آنچنان که دیدیم با خارج بیگانه باشند بلکه باچیزهایی است که مستقیما با قوه عقلی ما ارتباط دارند و برای آن چنان روشن اند که گویی نزدیکترین بسته آنند .

اسلاید 160: 160فصل شش فرگه واعداد (3)قوانین عدد همه تحلیلی اندمراد فرگه ازگفتن آنکه قوانین عددتحلیلی اند فقط اینست که این قوانین ” قابل تحویل”به قوانین منطقی هستند، نه بیشترونه کمتر. یعنی معرفت مااساسا مبتنی است بربینش عقلی اما آن بینش عقلی که علم به قوانین منطق برای ما تامین می کند.

اسلاید 161: 161فصل شش غروب واقع گرایی واقع گرایان خود رامانند کاشفانی می شناختند که به کشف سطحی ازحقیقت مجرد که تا آن زمان نا شناخته بود نائل آمدند، کاشفانی که دریافتند سرزمین پهناور ریاضی خود جزیره ای است ازیک قاره وسیع به نام حقایق منطقی. تصوری بود پرشور و هیجان انگیزاما مانند بسیاری از رویاهای سپیده دم روشن و فرح بخش، هنوزخوب ظاهر نشده و شکل نگرفته محو گردید و ازمیان رفت.

اسلاید 162: 162فصل شش صورت گرایان و بنداشتهابه علوم ریاضی باید به صورت سیستمهای بنداشتی و قالب ریزی شده نگریست.دراین صورت ازبسیاری ازدردسرها وسئوالات بیجا در امان هستند.اگربه پیروان این فرگه بگرویم پرسشهایی ازقبیل ” قوانین عدد چیستند ”دورشده وبه هوا می روند.ریاضیات بازی با علامتها است.

اسلاید 163: 163ضمیمه اول اصل موضوع انتخابS متشکل از a,b,c,…. به همراه نسبت دوتایی > را مرتب ساده گوییم اگردرسه بنداشت زیرصدق کند م 1 . اگر a≠b آنگاه یا a<b یا b<a.م 2 . اگر a<b آنگاه a≠b.م 3 . هر گاه a < b و b < c آنگاه a < c .وقتی a < b گوییم a مقدم بر b است.

اسلاید 164: 164ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب S را به همراه > خوشترتیب نامیم هر گاه بنداشت چهارم زیر نیز برقرار باشد م 4 . هر گاه s´ یک زیر مجموعه غیر خالی باشد آنگاه عضوی چون a از s´ هست که برای هر عضو دیگر b از s´ ، a<b یعنی هر زیر مجموعه غیر خالی s عضو ابتدا داشته باشد.

اسلاید 165: 165ضمیمه اول قضیه خوشترتیبی زرملوهرگاه sمجموعه ای دلخواه باشد یک نسبت دو تایی > در s وجود دارد که نسبت به آن sخوشترتیب باشد .عکس العمل ها : برخی ریاضیدانان می گفتند یک جایی در برهان زرملو اشکالی باید باشد.قضیه به نظر باورکردنی نیست.

اسلاید 166: 166ضمیمه اول اصل موضوع انتخابای برول دریافت که زرملو برهانش را براصل به ظاهر واضحی قرار داده است که قبلا سالها ریاضیدانان از آن استفاده می کردند بی آنکه به آن اصل استناد کنند.

اسلاید 167: 167ضمیمه اول بنداشت زرملو یا اصل موضوع انتخابهرگاه مجموعه s به زیر مجموعه های غیرخالی دو بدو مجزا A,B,C,… افرازشود آنگاه لااقل یک مجموعه چون R وجود دارد که از هر یک از زیرمجموعه های A,B,C,… دقیقا یک عضودارد.این اصل مدعی است چنین انتخابی ممکن است.

اسلاید 168: 168ضمیمه اول اصل موضوع انتخاببرول متذکر شد که نه تنها قضیه زرملو برپایه اصل انتخاب قرار دارد بلکه باآن معادل است .امروزه ما شاهد وضعیتی راجع به این اصل هستیم که از پذیرش کامل آن تا رد کامل آن تغییر می کند.محققین مدرن توپولوژی بی وقفه آن را می ئذیرند.

اسلاید 169: 169ضمیمه اول اصل موضوع انتخابدرجبرگرچه استدلالهایی بدون یاری ازاصل انتخاب پا در هوا می ماند لیکن متخصصین جبر تمایل دارند تا آنجا که می توانند بدون استفاده از آن برهانهای خود را بیان کنند.درآنالیز نادیده انگاشتن این اصل غیرممکن است.

اسلاید 170: 170ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب و اعتراض هامبتنی دانستن آن بردرک ماازوجود ریاضیساختنی نبودن مجموعه مذکور دراصل ایراد شهود گرایان بربرهانهای غیرساختنی

اسلاید 171: 171ضمیمه اول اصل موضوع انتخاب وراسل مثال راسل : اگربی شمار جفت کفش داشته باشیم می توانیم مجموعه ای متشکل ازیک لنگه ازآن کفشها رابسازیم،کافی ست لنگه های راست هر جفت راانتخاب کنیم که نیازی به اصل انتخاب نداریم.اگربی شمارجفت جوراب داشته باشیم نمی توانیم مجموعه ای متشکل از یک لنگه ازآن جوراب ها رابسازیم، بی آنکه ازاصل انتخاب استفاده کنیم زیرا نمی توانیم بدون بهره گیری ازاصل انتخاب لنگه ای ازهرجفت راانتخاب کنیم .

اسلاید 172: 172ضمیمه اول مثالی دیگربراصل موضوع انتخاباگر sمجموعه اعداد حقیقی بین 0و1 باشند s را به زیر مجموعه هایی که اعضایش اختلافشان عددی گویاست تجزیه می کنیم. این زیرمجموعه ها دوبه دوازهم جدا وغیر خالی هستند. بدون یاری ازاصل انتخاب نمی توان مجموعه ای ساخت که ازهریک از زیر مجموعه های فوق دقیقا یک عضو داشته باشد.

اسلاید 173: 173ضمیمه اول پارادوکس باناخ - تارسکیدر هر فضای n بعدی ( n >2 ) هر دو مجموعه محدود دلخواه که شامل نقاط داخلی باشند با تجزیه متناهی معادل یکدیگرند.یک مثال ساده : دوکره توپرp و sکه درآن اولی به اندازه یک نخود و دومی به اندازه خورشید است را می توان به زیر مجموعه های دوبدو ازهم جدا تجزیه کرد که به وسیله حرکات صلب معمولی ذرات سازنده نخود، همه کره خورشید راپرکند.

اسلاید 174: 174ضمیمه دوم آشنایی با اعداد اصلیسابقه تاریخی فکروبسط تئوری مجموعه ها وعمل کردن با آن بصورت یک موضوع خاص واصیل ازآن کانتورریاضیدان آلمانی اواخرقرن نوزدهم است.برطبق سخن یک ریاضیدان : تئوری مجموعه های کانتور دایره المعارف جوانان است.

اسلاید 175: 175ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلیتعاریف مقدماتیتناظر یک به یکهم ارزیتساویعضویتیک به یک پوشا

اسلاید 176: 176ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلیمثالاعداد طبیعی فرد با اعداد طبیعی زوج هم ارزاست.1,3,5,7,92,4,6,8,10 مقایسه دومجموعه نامتناهی عینا شبیه مقایسه دومجموعه متناهی است.

اسلاید 177: 177ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی مثالتعدادکل اعداد طبیعی با تعداد اعداد فرد یکی است 1, 3, 5, 7, 9, 11,…n…. 0, 1, 2, 3, 4, 5,…n-1/2

اسلاید 178: 178ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلیمثالی دیگراعداد گویا با اعداد طبیعی هم ارز است 01, 11, 12, 21, 31, 13, … 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, ,……

اسلاید 179: 179ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی چند مثالبازه -Л/2 , Л/2)) با R هم ارز است.اگر s مجموعه همه رشته هایی باشد که ازجملات 0 یا 1 تشکیل یافته اند، با N هم ارز نیست.مجموعه مذکور s با R هم ارز است.

اسلاید 180: 180ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلیعده اعضای یک مجموعه را عدد اصلی آن مجموعه می نامند. عدد اصلی مجموعه A را با نماد IAI نشان می دهیم.مثال I { 1,5,7 } I = 3 I { x , + } I = 2 I { 1, 5 } I = I { 0 , 1 } I

اسلاید 181: 181ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلی عدد اصلی N رابا 0 қ نشان می دهیم. اگر A مجموعه اعداد طبیعی فرد باشد I A I = I N I = I Q I = қ.0عدد اصلی R رابا c نشان می دهیم.I(0 , 1)I = c

اسلاید 182: 182ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلیفرض می کنیم A مجموعه ای nعضوی باشد I P(A) I = 2nمثال I P(N) I = 2қ. = c

اسلاید 183: 183ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلیقضیه کانتور ” هرمجموعه ازمجموعه توان خود کوچکتر است.“ تبصره . وقتی گفته می شود که A از B کوچکتر است ، بدان معنی است که A با زیر مجموعه ای حقیقی از B هم ارز است ولی با خود B هم ارز نیست.

اسلاید 184: 184ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلیفرضیه پیوستار کانتور کانتورحدس زد عددی بزرگتر از қ. و کوچکتر از c وجود ندارد. گودل در سال 1937 ثابت کرد که در چار چوب بنداشتهای تئوری مجموعه ها نمی توان این حدس را ثابت کرد. درسال 1964 کوهن ثابت کرد درهمین چارچوب نمی توان این حدس را رد کرد. این حدس معروف به فرضیه پیوستار کانتور یکی ازپارادوکسهای مهم به حساب می آید.

اسلاید 185: 185ضمیمه دوم آشنایی بااعداد اصلینقص بنداشتها ازدیدگاه افلاطون گرایانه بنداشتهای ما برای توصیف تئوری اعداد حقیقی غیر کامل اند. این بنداشتهاآن قدر قوی نیستند که کل حقیقت را بیان کنند . درهرحال فرض پیوستار یا درست است یا نا درست اما ما به اندازه کافی مجموعه اعداد حقیقی را درک نکرده ایم که بتوانیم پاسخ درست را تشخیص دهیم.

اسلاید 186: 186ضمیمه رواقیونحوزه درس این گروه دریکی ازرواقهای شهرآتنا منعقد می شده است.رواقین حکمت راتنها برای تعیین تکلیف زندگانی و دستور اخلاقی می دانستند.سرسلسله آنان زنون معاصر ابیقوربود.شاگرد زنون خروسپوس جانشین وی بود.

اسلاید 187: 187مراجعایوز، دیوید آشنایی با تاریخ ریاضیات ، ترجمه دکتر وحیدی اصلبارکر استفن ، فلسفه ریاضی ، ترجمه احمد بیرشکبیژن زاده محمد حسن مجله رشد آموزش ریاضی سال اول شماره اولبیژن زاده محمد حسن ذهنیت فلسفی در مدیریت آموزشی مجله رشد آموزش ریاضی شماره 39اسمیت فیلیپ جی ذهنیت فلسفی در آموزش ریاضی ترجمه دکتر محمد رضا برنجی مصاحب غلامحسین آنالیز ریاضی جلد اولدکتر معین محمد فرهنگ فارسی دوره 6 جلدی

اسلاید 188: 188مراجعBisop E, the crisis in Contempory Mtthematics, Historia Mathematica1975Davis Martin, Unsolvablr Problems . Joh. Barvis Led.Handbook of mathematical logic1977Davis P J The Criterion Markers, Mathematics and Social Policy 1962

اسلاید 189: 189مراجعDieudonnee, J, Modern Axiomatic Methods and Foundations of mathematics 1971Eves, H, Newsom C.V. An Introduction to the Foundations and Fundamental concepts of mathematics., 1965Frank Philipp, The Place of Logic and Metaphysics in advancement of modern Science 1948

اسلاید 190: 190مراجعGriffiths, H.B. and Hilton, P.J. Classical Mathematics Hilbert D. On The Infinite Phylosophy of Mathematics 1969Lakatos I. , A Renaissace of Empirism in the Reccent Phylosophy of Mathematics. Lakatos I.Problem in Phylosophy of mathematics 1967

اسلاید 191: 191مراجعPopper karl R, Objective Knoeledge. 1972Russel Bertrand. The Principal of Mathematics 1903Russel Bertrand. A History of Western Phylosophy 1945Russel Bertrand Human Knowledge 1948Russel Bertrand , Whitehead A.N. Principal Mathematica 1910Wittgenstein L. On Certainly 1969

اسلاید 192: 192 پایان