آشنایی با نظریه مجموعه‌ های فازی

صفحه 1:
آشنایی با نظریه مجموعه‌های فازی 

صفحه 2:
فصل ۱: مفاهیم و تعاریف مقدماتی چند مفهوم مقدماتی نماد گذاری "عدد اصلی یک مجموعه فازی "عملگرهای مجموعه‌ای و ویژگی‌های آن‌ها افراز فازی چند عملکر دیگر "حاصلضرب دکارتی ۷ برش‌ها و تحدب 

صفحه 3:
مثال فرض كنيد: [0,100] أ > ۳ به عنان سن باشد و زیر مجموعه فازی ۸ از ‎X‏ پیری را نشان می‌دهد. آنگاه: 90 > 2 1 50> 2 >1 ۲ 5 1+ x- 0 (x ا / 

صفحه 4:
مثال در مثال زیر مجموعه ۸۵ بیانگر " آپارتمان‌های نامناسب برای یک خانواده ۴ نفره" است: این شیوه از نمایش مجموعه مرجع را به شکل ضمنی بیان می‌کند. به عبارت دیگر (7 ,... رل ر3 ر2 ,41 1 است. 

صفحه 5:
چند مفهوم مقدماتی ۲ - 0< )۸ *«تکی هگاه (5110۳0۸) ۸ : مجموعه نقاطی از 26 که برای آن نقاط *ارتفاع مجموعه 6294 5۱01۲ 1۷ ‎x‏ اكر ارتفاع مجموعه فازی ۸ برابر یک باشد آنگاه ۸ نومال نامیده می‌شود. در غیر این‌صورت ۸ را زیرنرمال گوییم. هر مجموعه فازی زیر نرمال ۸ را می‌توان با تفسیم 9 ها بر ارتفاع ۸ نرمال کرد. 1 Hal) 4 ‏يكفقطه كنر (معبر) 4 مبياشد ار‎ + *“ 

صفحه 6:
نمادگذاری توصیف یک مجموعه فازی به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب: ‎xe X‏ ز ‎A=| (xu,(9)‏ اگر 2 یک مجموعه متناهی و یا نامتناهی شمارا باشد. آنگاه یک زیر مجموعه فازی از ۶ بصورت های زیر نمایش داده می‌شود: | TCA) 77 ul) x % x 2۳۳ رت ,2 < و / لودايم + ‎+٠٠١‏ هد /ليدارم -4 * علامت + نشان دهنده اجتماع مىباشد. نه جمع حسابى. 

صفحه 7:
اگر »2 یک مجموعه پیوسته باشد. آنگاه نماد زیر بکار برده می‌شود. A [uala/x # برای اختصار, به‌جای 8 را متويسيم ‎Ax‏ 

صفحه 8:
عدد اصلی یک مجموعه فازی تعریف ۱: اگر 2 : مجموعه معمولی متناهی و ۸ : زیر مجموعه فازی آن باشد انگاه: عدد اصلی ۸: ادام ۳۸-2 0 ۳ ‏و‎ ek. در حالتی که 6ا نامتناهی باشد: |4 = [usa ds «عدد اصلى زیر مجموعه فازی ۸ از 2 

صفحه 9:
مثال: خانواده‌ای شش نفره را در نظر می‌گیریم» اگر مجموعه فازی افراد بی‌کار اين خانواده باشد: 1 06 08 05 01 0 0 دختر كوجكا دختربزرگ " پسرکوچک " پسربزرگ ‎ple‏ يدر آنگاه: 1=3+---+0+0.1= ‎|A=¥ w(x‏ ۲ عور * به بیان دیگر گویی سه نفر از اعضای خانواده تمام وقت کار می‌کنند و سه نفر تمام وقت بی‌کار 

صفحه 10:
عملگرهای مجموعه‌ای Ax =0. xe X Aw =1. xe X (AcB تعریف ۳: مجموعه فازی ۸ را زیرمجموعه فازی ظ گوییم ۰ 2 ( > ۳ ۰ xe X ‏اکربرای هر‎ تعریف ۱: مجموعه فازی ۸ راتمهی گویيم.اگر بای هر تعریف ۲: مجموعه فازی ۸ را تام گوییم. اگر برای هر 1 -۸) 26 ۰ 0 - ۸4 ‎thee‏ دو مجموعه فازى .4 و 83 را مساوى كوييم 0257 47 : تعريفه: 7 “'. متمم مجموعه فازى 8 توسط تبع عضویت زیر تعریف می‌شود: ‎A(x) =1- Ax vee X‏ ‎Borin ys‏ هم دی ۸ نست‌به ری ۵ -ظ) نشان داده می‌شود بصورت یک مجموعه ۱ ۰ ا وم دص 

صفحه 11:
مثال: هر [1,2,..,10 |< 2 زیر مجموعه فازی ۸ از 1 نشان دهنده ويزكى « نه خيلى كوجك و نه خيلى يزرك» و و زیر مجموعه فازی 3 از 26 نشان دهنده ویژگی « نزدیک به 6۵ ‎BL‏ یعنی: ‎Aau/[O1 03 05 08 08 05 03 01‏ 5 4 5۳ 6 7 5 9 pu[O1 04 06 08 1 08 06 04 01 ‏و‎ lt * Bes 2 5 ۲5 ۴ 5 9 - 10 * چون برای هر «از > 20 کل ک ‎AS B., Ax)‏ همجنين داريم : 1 609 ۵7 05 02 " 8-19 ۰" 27 5 1 وه 06 04 02 7 9° 2 مه 7 ۳ ۹ 60 01 01 با ۱ ۳ ۲ 7 

صفحه 12:
مثال: فرض كنيد +1 > 26 و زیر مجموعه فازی ۸ از 26 نشان دهنده ویژگی «نسبت به یک بزرگ» و زیر مجموعه فازی 13 از 2۴ نشان دهنده ویژگی « خیلی بزرگتر از یک» توسط توابع عضویت زیر تعریف شده باشند: 1> »ر 0 1> ۲ 0 ‎Ax = 1 Ax = 1‏ 3 ee x T+(x-D? ~*~ 14+10x- D? بر 49 > 88 بر ‎BoA‏ ‏پس # چون برای هر ۶ از يعنى برای هر عدد بزرگتر از یک ویژگی «نسبت به یک بزرگ» را بیشتر از ویژگی «خیلی پزرگتر از یک» داراست. 

صفحه 13:
تعریف 3۷ لا اجتماع دو مجموعه فازی ‎1B yA‏ ‎(AUB =matAx , Ax] ۷ ۲‏ ‎Bx‏ ۲ 2۸۰ < 9 بام) و یا به بیان ساده‌ترد تعريف ,8 ‎42١‏ , اشتراک دو مجموعه فازی ۸ و : (AnB=minAx , ‏اد‎ vxe X )۸ ۵ 2 2۸4 ۰ 29 و یا به بیان ساده‌تر: 

صفحه 14:
انهايى با تعدد تاق‌های آن از یک تا هفت است. مثال: یک مجتمع مسکونی که دارای 5251271 بنابراين: | 000 0 0 1 0.7 03 0. os “142787457 G7] | AT Sebel” A p= (01,03 0.6 0.7 0.8 1 02° Sees Sore 7, ‏آپایتمارهایب زیرگ‎ ” :8 اجتماع ۸ و ظ که مجموعه فازی "آپارتمان‌های بزرگ یا مناسب یک خانواده ۴ نفره" استء خواهد بود: ‎DI ot‏ 2 ]هم 6-7 2 1 و اشتراک ۸ و ظ که مجموعه فازی "آپارتمان‌های بزرگ و مناسب یک خانواده ۴ نفره" است. خواهد بود: ۱ اش )وهم 7 6 5 4 3 

صفحه 15:
همجنين در اين مثال: 

صفحه 16:
مثال: فرض : ‎A‏ 2غ 262 مجموعه فازی "عداد نزدیک به یک" ‎ .‏ 33 مجموعه فازی "/عداد نزدیک به دو" بتابراين داريمة = ‎ie‏ ار ‎Ae a ‏عا ا‎ > ‎nea x<15 abs) (AU BU) = meee ge A ‏152 سس ‎+(x ۳ ‎ae X=15 ‏تن رشان مدا‎ 3 ‎Lo< x.‏ مس ‎Toe ۳ ‏* دنإينجا اجتماع 4 و 8 يعنى: مجموعه فازى "اعدادى كه يا به يك نزديكاند ويا به دو“ * و اشتراك أنها يعنى: مجموعه فازى "اعدادى كه هم به يك نزديكاند و هم به دو“ 

صفحه 17:
ویژگی‌های عملگرهای متمم و اجتماع و اشتراک در لین بخش قضایلیی را بررسی می‌کنيم که نشان می‌دهند تعاریف ارانه شده برای متمم ‏ اجتماع . اشتراک مجموعه‌های فازی, دارای همان ویژگی‌های اجتماع و اشتراک مجموعه‌های معمولی می‌باشند. البته ریگ مورد تفاوت نیز وجود دارد. قضیه ۱: آعمال اجتماع و اشتراک بین دو مجموعه فازی. دارای ویژگی‌های خودتولنی. جابجایی و شرکتپذیری هستند یعنی ‎glace gare Cog A.B oly‏ فازی دلخواهه AUA=A ANA=A AUB=BUA ۸40 ۶ 2 ۸ AU(BUO =(AUBUC An(BnO =(An Bac 

صفحه 18:
:۱ ‏اثبات قضیه‎ C(x) 5 A(X). BOX) ‏فرض: تولبع عضویت مجموعه‌های فازی ۸۰۳ و 0 به ترتیب»‎ ‏هستند. بنایاین برای هر 2 1 داریم:‎ 1) AX =maxAx , Ax| = AUA=A 2) maxAx , Bx] =makhx , AX] = AUB=BUA 3) makAw , maxAx , Cx|| =maxmakdy , Ax] , Cy] = Au(BUO =(AUBUC * یات روابظ مربوط به ‎Sigal‏ بر ما 

صفحه 19:
قضیه ۲: عمل اجتماع. نسبت به اشتراک و عمل اشتواک نسبت به اجتماع ويزكى توزيعيذيرى دارند. یعنی: ‎(a‏ 0 شام 2 ماع ‎AU(BNO‏ ‎An(BUO <)۸ ۵ 40 io‏ آثبات: برای اثبات رابطه (الف) کافی است ثابت کنیم که برای هرگ 26 + | , مهد , لد , لدش‌لمصننه- | ادلی , دنه , فده برای تحقیق رابطه فوق. کافی است شش حالت مختلف زیر را بررسی كنيم: 1 - 9 < 2 < ۸ 2 - 2 < 09 < 24 3 - لرل < ۸4 < لد 4 - 2۸ < 09 < 1 5 - 2 < ۸4 < 0 6 - 2۸ < 19 < 0 ‎maxAx , Bx| = Ax‏ در حالت اول : طرف چی رابطه حکه ‎mitAx , 2۸ - Deel ees‏ © می‌توانید صحت تساوی رابطه حکم را برای پنج حالت دیگر و همچنین صحت رابطه (ب) را خودنان بررسی 

صفحه 20:
قضیه۳ (قوانین دمورگان): برای هر دو مجموعه فازی ۸ و 8 داريم: ‎(AUB =AnB (a‏ (AnB =AUB 3 اثبات؛ برای اثبات رابطه (لفم) کافی است ثابت کنیم که بای هرگ 6 , | در -1 ‎=mihl- ,‏ | ار ر لاله -1 1 > 5 ود ات 259 | 80 > ندم ; : ‎Bx‏ -1_ اشيم أنكاه هر دو طرف تساوى فوق برابر خواهد شد. و بنابراين رابطه فوق در هر حالتی برقرار است. ‎cll a‏ رابطه (ب) نیز ب‌طور مشابه انجام می‌شود. 

صفحه 21:
** تنها قوانین مربوط به مجموعههاى معميلى كه در زمینه مجموعه‌های فازی برقرر نیست. قوائین مربوط به متمم (قوانین شمولیت و طرد) است. ANA #¢ AUA#X یعنی برای مجموعه‌های فازی در حالت کلی: * این امر از آنجا ناشی می‌شود که مجموعه‌های فازی ۸ و۸ هیچکدام کران‌های دقیقی ندارند. در نتیجه ۸و تا اندازهاى همديكر را در بر دارند و اصطلاحاً همپوش هستند. 1 1 minA x, A(x) a vx, VA Bee al Sean ‏اه این همپوشی‎ 1 لاه و۸ باه کل داتس ود ۲ ‎maxA x, A(x] 25 Vx, VA‏ مثال: فرض كنيد 3 مجموعه تمام كلها و ۸ زیر مجموعه فازی گل‌های قرمزباشد. در لین صورت (06 ۸ نکر درجه فرمز بودن یک گل خاص است. حال یک گل صورتی رنگ با درجه‌ی ۱/۲ عضو ۸ است و همین‌طوربا درجمی ۲ عضو ۸ (زیر مجموعه فازی گل‌های غیرقرمز) است. به بیان ساده‌تره گل صورتی تا اندا‌ای گل قرمز و در عين حال تا انداه‌ای گل غیر قرمز محسوب می‌شود. 

صفحه 22:
افراز فازی تعریف ۱: فرض کنید کیک مجموعه مرجع باشد و 4۳۰۰۰۰۰4 رای عر4 ۰ ۴ 4 و ۶۵ 4 ) زیرمجموعه‌های فازی 6 باشند به قسمی که برای هر * از 2 داشته باشیم: 1- ۸9 دز maf X ‏رایک افراز فازی‎ (A 

صفحه 23:
مثال: فرض كنيد [1,2,...,10) -3 یک افراز فازی برای برا: 3 ازی برای برای مجموعه مرجع 2 با سه زیرمجموعه فازی زیر حاصل می‌شود: 0 ۱ wis : "عداد کاملاً بزرگ*: 

صفحه 24:
عملگرهای دیگر تعریف۱: جمع جبری (احتمللی) دو مجموعه فازی ۸ و ظ, که با ۸۵-3 نشان داده می‌شوده به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. فد . لام - ۵ + ۸49 < ‎(A+ Bld‏ تعریف ۲: حاصل‌ضرب جبری دو مجموعه فازی ۸ و ۰8 که با 3 ۰ ۵ نشان داده می‌شوده به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ند ۰ ۸ - ۵ ۸۰) 

صفحه 25:
عملگرهای دیگر تعریف۳: اقداز جو مجموعه فازی هو ظ. ‎Beye Si cj, SRO OE)” AL‏ ‎ae‏ ججع اوادو مجموعه ری و ‎paar ba‏ يك ‎gerne‏ ence ee ares eee (Ae Bix =min1, Ax + Ay) 8 تعریف»4: تفاضل کراندار دو مجموعه فازی ۸ و ۰8 که‌با ۸ ۳ 3 نشان داده می‌شوده به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ‎(A © B\(x) =max 0, A(x) + Blx) - 1)‏ قضیه ۱: برای هر دو مجموعه فازی ‎«Bg A‏ داریم: 9 ۸ ع 9 +۸ > 3 دا۸ ع 8 ۸0 2 ۸۰ > 8 ۸6 

صفحه 26:
و ادا ۱ ۱ ده 03 06 28 جر 5 54 21۳۳3 1 ۸ 08 1 08 04 7 0 1۳ ۰ 3 و زیرمجموعه ۸ از 6 نشان دهندهویژگی " کوچک بودن" B و زیرمجموعه ظ از 26 نشان دهنده ویژگی " نزدیک به پنج*: آنگاه: 04 08 1 086 076 08 ر [اسوربر 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 1 قل شيمم 3 2 3 4 6 7 01 01 = ادق وم (t+ | 2 ‎wl‏ ‏ص ‏0 ‎BID‏ ‏ص ‏هه ‏8ه 

صفحه 27:
عملگرهای دیگر تعریف۵: اگر ۸ یک مجموعه فازی باشد. آنگاه 2۸ که در 55 )0,1 ‎ac‏ ب سور دک مجموعه فازی با تب عضویت زیر تعریف می‌شود. (aA(x) =a A(x) ‎ploy gles Mek yd‏ (() < 7) یک مجموعه فازی ® ‎A‏ نشان داده می‌شود به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود: ‎Ax) =|Ax|™ ‏به عنوان دو حللت خاص تعریف فوق. عملکرهای تمرکز و گسترش (اشباع) بر یک مجموعه فازی () اینگونه ‎ese‏ تم - 60/۸ ‎DIL A =A45‏ 

صفحه 28:
ادامه مثال: و همچنین با توجه یه اینکه : 1 08 06 03 a1 10۳2 2۱ 4 5 داریم 2:۳ ۲۲ ۲ ۲۳ 5 727 3 ۸ 5 1 089 077 055 032 ee ee CONA = 0 0.64 036 9 oo A= 

صفحه 29:
حاصلضرب دکارتی تعریف ۷: اگر 00014 زیرمجموعه‌های فازی از ‎Bape‏ حاصلضرب دکارتی ‎XA AeA‏ كن ‎XX..xX,‏ ‏ان داده می‌شود به صورت یک زیرمجموعه فازی از فضای حاصلضرب با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ‎(Ax..xA)(x,...,x) =min A(X) | 29 ‎ 

صفحه 30:
مثال: =56 = 35,7) د 

صفحه 31:
- برش تعریف ۱: زیرمجموعه (سمیلی) عناصری را از 1 كه درجه عضویت آن‌ه در مجموعه فازی ۸ حدقل به بزرگی )0 > 6) ۰ بادد - برش ۸یا مجموعه تیاز » واسته به ۸)کویم یشان می‌دهیم پس: | »< 24 | 2۲ |- ۸4 در يعضى مود یز از موم برش قوی استفده میشود كد با وفك نشان دلده مى شود اء< لال | ۲ ۶ < ۸ 

صفحه 32:
‎Ac‏ ه و عم ‎(AUB, =4 UB, ۳ 4 ‎(An B, =4, 9B, ‏5 ‏* روابط قضيه فوق براى - برس هاى قوى نيز برقرارند. يادآورى: عمل متممكيرى با عمل - برش بر یک مجموعه فازی, تعويض يذير نيستند يعنى در حالت كلى ‎۳ ‏م-‎ | Pr cla: (A), (4) ‎ ‎a ‎Ta ‏یعنی,-/0متمم .۸ برابر است با متمم. -(۱-کبرش قوی .۵ 

صفحه 33:
اتحاد تجزیه: هر مجموعه فازی مانند ۸ را می‌توان به‌صورت زیر بر حسب مجموعه‌های تراز ‎ol‏ تجزیه کرد: ‎A=Ua A,‏ 3 در بعضى موارد بسته به اينكه تابع عضويت ‏ كسسته باشد يا بيوسته باشد رابطه فوق به‌صورت‌های زیر نیز نوشته می‌شود A=[aA, 4-4 که البته را 3 ‎fear‏ ها را نشان می‌دهد. 

صفحه 34:
مثال: فرض کنید: (1,2,...,10 |< 2 03 7 1 07 , 03 ]مر و زیرمجموعه ۸ از 26 نشان دهنده ویژگی " حدود سه": ‎ass‏ ۶ ۲۷۲ 5 ,21,2 وم داریم: ‎Ay =2,3,4‏ ‎A=|3)‏ ‏رت ,دهع 00 3 4 3 2 5 1 1 |3 |1 نا !4 , 3 , 2 0.7 نا |5 4-03|1,2,3,4 ويا به طور خلاصهتر: ابا استفاده از نماد :2 نیز تجزیه فوق اینگونه نوشته می‌شود: ۰ 153 +4 ,2,3 0.7 + 5 ,2,3,4 ,۸4-03۱1 

صفحه 35:
تحدب تعریف ۱: مجموعه فازی ۸ را محدب گوییم. اگر و فقط اگر برای هر - برش ‎ely) A‏ تمام 0۵ < ك )0 1) محدب باشد. یعنی: مجموحه فازی .۸ محدب است اگر و فقط اک را ۰۰ و 0:1 ‎El‏ بان بش ‎Aa x+(1- 2) x|>min Ax), Ax)‏ * اگر ۸ و ظ دو مجموعه فازی محدب باشند. اشتراک آن‌ها نیز یک مجموعه فازی محدب است. درباره اجتماع این نتیجه برقرار نیست. تعریف ۲: مجموعه فازی ۸ را کراندار گوییم. اگر برش‌های ۸ (برای هر 0 < 0). کراندارباشد. یعنی برای هر 0<0 یک (11)01 متناهی وجود داشته باشد که برای ‎XE A,‏ دفته بائیم ||9)0> || كه درن || رم اقلیدسی > است. 

صفحه 36:
)نم تین عضوبت پک مبموت آاری ۶ ۳ مدا تلع عضویت یک مجمونهفاری خر ب) ثمودار تابع عضويت يك مجموعه فازى محدب و كرائدار 

آشنایی با نظریه مجموعه‌های فازی فصل :1مفاهیم و تعاریف مقدماتی ‏چند مفهوم مقدماتی ‏نماد گذاری ‏عدد اصلی یک مجموعه فازی ‏عملگرهای مجموعه‌ای و ویژگی‌های آن‌ها ‏افراز فازی ‏چند عملگر ديگر ‏حاصلضرب دکارتي 2 ‏برش‌ها و تحدب مثال فرض کنیدXX=[0,100] :و x  به عنوان سن باشد و میدهد ،آنگاه: زیر مجموعه فازی Aاز Xپیری را نشان ‌ ‏x  50 50  x 100 3 ‏0 ‏ ‏ 1 ‏ A x   ‏2 ‏ ‏ x  50 ‏1   5  ‏ مثال در مثال زیر مجموعه Aبیانگر ” آپارتمان‌های نامناسب برای یک خانواده 4نفره“ است: 0.5 0.2 0 0.3 0.7 0.9 ‏ 0.8 ‏A  , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 ‏ 1 این شیوه از نمایش مجموعه مرجع را به شکل ضمنی بیان می‌کند. به عبارت دیگر } X={1, 2, 3, 4, …, 7است. 4 چند مفهوم مقدماتی ‏ A (x)  0 تکیهگاه ) : A (suppAمجموعه نقاطی از Xکه برای آن نقاط • ‌ •ارتفاع مجموعه M sup A (x:)A ‏x اگر ارتفاع مجموعه فازی Aبرابر یک باشد ،آنگاه Aنرمال نامیده می‌شود. در غیر این‌صورت Aرا زیرنرمال گوییم. میتوان با تقسیم )  A (xها بر ارتفاع Aنرمال کرد. هر مجموعه فازی زیر نرمال Aرا ‌ 1 ‏ A (x)  میباشد ،اگر2 x •5یک نقطه گذر (معبر) ‌ A نمادگذاری مجموعهای از زوج‌های مرتب: ‌ توصیف یک مجموعه فازی به صورت ‏A   x,  A x ; x  X  اگر Xیک مجموعه متناهی و یا نامتناهی شمارا باشد ،آنگاه یک زیر مجموع;;ه ف;;ازی Aاز Xبصورت های زیر نمایش داده می‌شود: ‏  A x1  A x2  ‏ A xn  ‏A  , , , ‏ ‏x2 ‏xn  ‏ x1 ‏n ‏A   A x1 x1     A xn  xn    A xi  xi ‏i 1 میباشد ،نه جمع حسابی. * عالمت +نشان دهنده اجتماع ‌ 6 اگر Xیک مجموعه پیوسته باشد ،آنگاه نماد زیر بکار برده می‌شود. بهجای  A xمی‌نویسیم . Ax * برای اختصار‌ ، 7 ‏A    A x x ‏X عدد اصلی یک مجموعه فازی تعریف :1اگر : Xمجموعه معمولی متناهی و : Aزیر مجموعه فازی آن باشد ،انگاه: عدد اصلی : A عدد اصلی نسبی : A در حالتی که Xنامتناهی باشد: 8عدد اصلی زیر مجموعه فازی Aاز : X ‏A    A x ‏x X ‏A ‏A  ‏X ‏A    A x dx ‏X مثال: میگیریم، خانوادهای شش نفره را در نظر ‌ ‌ اگر مجموعه فازی افراد بی‌کار این خانواده باشد: 0.8 0.6 1  , , , ‏ پسر کوچک دختر کوچک دختر بزرگ آنگاه: 0.1 0.5 ‏ 0 ‏A  , , پسر بزرگ مادر پدر  ‏A    A x 0 0.1   13 ‏x X بیکار میکنند و سه نفر تمام وقت ‌ * به بیان دیگر گویی سه نفر از اعضای خانواده تمام وقت کار ‌ هستند. 9 عملگرهای مجموعه‌ای تعریف :1مجموعه فازی Aرا تهی گوییم ،اگر برای هر ‏Ax  0 ، x  X تعریف :2مجموعه فازی Aرا تام گوییم ،اگر برای هر Ax 1 ، x  X تعریف :3مجموعه فازی Aرا زیرمجموعه فازی Bگوییم، A  B اگر برای هر ‏Ax  Bx ، x  X تعریف :4دو مجموعه فازی Aو Bرا مساوی گوییم ، A  Bاگر برای هرAx  Bx ، x  X ‏A تعریف:5 ،متمم مجموعه فازی ،Aتوسط تابع عضویت زیر تعریف می‌شود: ‏x  X ‏Ax 1  Ax تعریف :6اگر ، A  Bمتمم نسبی Aنسبت به Bکه با B  Aنشان داده می‌شود ،بصورت ی[[ک مجموع[[ه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود: 10 ‏x  X ‏B  Ax  Bx  Ax مثال :اگر X   1, 2, ,10و زیر مجموعه فازی Aاز Xنشان دهنده ویژگی « نه خیلی کوچک و نه خیلی بزرگ» و زیر مجموعه فازی Bاز Xنشان دهنده ویژگی « نزدیک به »5باشد ،یعنی: 0.8 0.8 0.5 0.3 0.1 ‏ 0.1 0.3 0.5 , , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 8 9  ‏ 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 0.1 0 ‏ 0.1 0.4 ‏B  , , , , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ‏ 1 ‏A  * چون برای هر xاز * همچنین داریم : Ax  Bx،XپسA  B 0.7 , 8 0.5 , 7 0.2 , 6 0.2 , 5 0.5 , 4 . 0.7 , 3 0.9 , 2 ‏1 , ‏1 0.9 1 , ‏ 9 10 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.9 1 ‏ 0.9 ‏B  , , , , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ‏ 1 0.3 0.3 0.3 0.2 0 0.1 0.1 0 0 ‏ 0.1 11  ‏B  A  , , , , , , , , , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ‏ ‏ ‏A  مثال :فرض کنید X = Rو زیر مجموعه فازی Aاز Xنشان دهنده ویژگی « نسبت به یک ،بزرگ» و زیر مجموعه فازی Bاز Xنشان دهنده ویژگی « خیلی بزرگتر از یک» توسط توابع عضویت زیر تعریف شده باشند: ‏x 1 1 x ‏0 ‏ ‏Bx   1 ‏1  10x  1 1 ‏ ‏x 1 1 x ‏0 ‏ ‏Ax   1 ‏1  x  1 1 ‏ * چون برای هر xاز Bx  Ax،Xپس. B  A * یعنی برای هر عدد بزرگتر از یک ،ویژگی « نسبت به یک ،بزرگ» را بیشتر از ویژگی «خیلی 12بزرگتر از یک» داراست. : B وA اجتماع دو مجموعه فازی، A  B :7تعریف A  B  max Ax , Bx x  X A  B  Ax  Bx :و یا به بیان ساده‌تر : B وA اشتراک دو مجموعه فازی، A  B:8تعریف A  B  min Ax , Bx A  B  Ax  Bx x  X :و یا به بیان ساده‌تر 13 مثال :یک مجتمع مسکونی که دارای آپارتمان‌هایی با تعداد اتاق‌های آن از یک تا هفت است. بنابراین: ‏ ‏X  1 , 2 ,  , 7 ” :Aآپارتمان‌های مناسب یک خانواده 4نفره“ ” :Bآپارتمان‌های بزرگ“ ‏ 0.2 0.5 0.8 1 0.7 0.3 0.1 , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 ‏ 1 ‏ 0.1 0.3 0.6 0.7 0.8 1 ‏B  , , , , ,  3 4 5 6 7 ‏ 2 ‏A  اجتماع Aو Bکه مجموعه فازی ”آپارتمان‌های بزرگ یا مناسب یک خانواده 4نفره“ است ،خواهد بود: ‏ 0.2 0.5 0.8 1 0.7 0.8 1 , , , , , ,  2 3 4 5 6 7 ‏ 1 ‏A B  و اشتراک Aو Bکه مجموعه فازی ”آپارتمان‌های بزرگ و مناسب یک خانواده 4نفره“ است ،خواهد بود: 14 0.3 0.6 0.7 0.3 0.1 ‏ 0.1 , , , , , ‏ 3 4 5 6 7 ‏ 2 ‏A B  همچنین در این مثال: َََ :Aمجموعه ” آپارتمان‌های نامناسب برای یک خانواده 4نفره“ ‏ 0.8 0.5 0.2 0 0.3 0.7 0.9 ‏ ‏A  , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 ‏ 1 َ :Bمجموعه ” آپارتمان‌های کوچک“ 1 0.9 0.7 0.4 0.3 0.2 0 ‏ ‏B  , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 ‏ 1 15 مثال :فرض : ‏A ، بنابراین داریم: آنگاه: :X=Rمجموعه فازی ”اعداد نزدیک به یک“ ‏x  X ‏x 1.5 1.5  x ‏x 1.5 1.5  x ، 1 2 1  x  2 :Bمجموعه فازی ”اعداد نزدیک به دو“ ‏Bx  1 2 1  x  1 ‏Ax  1 ‏ ‏1  x  12 ‏A  Bx  max Ax , Bx    1 ‏ ‏1  x  22 1 ‏ ‏1  x  22 ‏A  Bx  min Ax , Bx    1 ‏ ‏1  x  12 * در16اینجا اجتماع Aو Bیعنی :مجموعه فازی ”اعدادی که یا به یک نزدیک‌اند و یا به دو“ * و اشتراک آنها یعنی :مجموعه فازی ”اعدادی که هم به یک نزدیک‌اند و هم به دو“ ویژگی‌های عملگرهای متمم و اجتماع و اشتراک در این بخش قضایایی را بررسی می‌کنیم که نشان می‌دهند ،تعاریف ارائه ش[[ده ب[[رای متمم ،اجتماع ،اش;;تراِک مجموعه‌های فازی ،دارای همان ویژگی‌های اجتماع و اشتراک مجموعه‌های معمولی می‌باش[[ند .البت;ه ی;ک م;ورد تفاوت نیز وجود دارد. قضیه َ :1اعمال اجتماع و اشتراک بین دو مجموع;;ه ف;;ازی ،دارای ویژگی‌های خودت;;وانی ،جابجایی و شرکتپذیری هستند. یعنی برای A ، Bو ،Cمجموعه‌های فازی دلخواه، ‏A A  A ‏A B B A ‏A  B  C  A  B  C 17 ‏A A  A ‏A B B A ‏A  B  C  A  B  C :1 اثبات قضیه C(x) وA(x)، B(x) ، ب[[ه ترتیبC وA ، B توابع عضویت مجموعه‌های ف[[ازی:فرض : داریمx  X بنابراین برای هر.هستند 1) Ax  max Ax , Ax  A  A  A 2) max Ax , Bx  maxBx , Ax  A  B  B  A 3) max Ax , maxBx , Cx   maxmax Ax , Bx , Cx  A  B  C  A  B  C .* اثبات روابط مربوط به اشتراک نیز مشابه است 18 قضیه :2عمل اجتماع ،نسبت به اشتراک و عمل اشتراک نسبت به اجتماع ویژگی توزیعپذیری دارند. یعنی: الف) ب) ‏A  B  C  A  B  A  C ‏A  B  C  A  B  A  C اثبات :برای اثبات رابطه (الف) کافی است ثابت کنیم که برای هر ، x  X ‏max Ax , minBx , Cx   minmax Ax , Bx , max Ax , Cx  برای تحقیق رابطه فوق ،کافی است شش حالت مختلف زیر را بررسی کنیم: ‏Ax  Cx  Bx  2 ‏Ax  Bx  Cx  1 ‏Bx  Cx  Ax  4 ‏Bx  Ax  Cx  3 ‏Cx  Bx  Ax  6 ‏Cx  Ax  Bx  5 در حالت اول : طرف چپ رابطه حکم: و طرف راست آن : ‏max Ax , Bx  Ax ‏min Ax , Ax  Ax 19 * می‌ توانید صحت تساوی رابطه حکم را برای پنج حالت دیگر و همچنین صحت رابطه (ب) را خودتان بررسی کنید. قضیه( 3قوانین دمورگان) :برای هر دو مجموعه فازی Aو Bداریم: ‏A  B  A  B ‏A  B  A  B الف) ب) اثبات :برای اثبات رابطه (الف) کافی است ثابت کنیم که برای هر ، x  X 1  max Ax , Bx   min1  Ax , 1  Bx  1  Ax ‏Ax  Bx ، x  X آنگاه دو طرف تساوی فوق برابر اگر برای هر ‏Ax  Bx 1  Bx خواهد شد .و بنابراین رابطه فوق در هر حالتی آنگاه هر دو طرف تساوی فوق برابر باشیم برقرار است. 20 * اثبات رابطه (ب) نیز به‌طور مشابه انجام می‌شود. خواهد شد .و اگر داشته ** تنها قوانین مربوط به مجموعه‌های معمولی که در زمینه مجموعه‌های فازی برقرار نیست ،قوانین مرب[[وط به متمم (قوانین شمولیت و طرد) است. یعنی برای مجموعه‌های فازی در حالت کلی: ‏A  A   ‏A  A  X * این امر از آنجا ناشی می‌شود که مجموعه‌های فازی Aوَ Aهیچکدام کران‌های دقیقی ندارند .در نتیجه Aو َ Aتا اندازه‌ای همدیگر را در بر دارند و اصطالحًا همپوش هستند. البته این همپوشی محدود است یعنی: ‏x , A بعالوه Aوَ Aبا هم کل Xرا نمی‌پوشانند ،اما: ‏x , A 1 2 1 ‏max Ax, Ax  2 ‏min Ax, Ax  مثال :فرض کنید ،Xمجموعه تمام گل‌ها و Aزیر مجموعه فازی گل‌های قرمز باشد .در این صورت ) A(xبیانگر درجه قرمز بودن یک گل خاص است .حال يک گل صورتي رنگ با درجه‌ی 1/2عضو Aاست و همین‌طور با درجه‌ی 211/2عضوَ ( Aزیر مجموعه فازی گل‌های غیرقرمز) است .به بیان ساده‌تر ،گل صورتی تا اندازه‌ای گل قرمز و در عین حال تا اندازه‌ای گل غیر قرمز محسوب مي‌شود. افراز فازی تعریف :1فرض کنید Xیک مجموعه مرجع باشد و ( An , , A1ب[[[رای هر Ai  X ، Aiو ) Ai   زیرمجموعه‌های فازی Xباشند به قسمی که برای هر xاز Xداشته باشیم: ‏n ‏Ai x 1 ‏ ‏i ‏1 در این صورت A1 , , An را یک افراز فازی Xگوییم. 22 مثال :فرض کنید }،X={1,2,…,10 یک افراز فازی برای برای مجموعه مرجع Xبا سه زیرمجموعه فازی زیر حاصل می‌شود: ‏B1 0 ‏1 0.8 0.5 0.3 0 0 0 0 0 ‏B1  , , , , , , , , ,  2 3 4 ” :اعداد کامًال کوچک“5 6 7 8 9 10 : ‏1 ‏B2 ” :اعداد متوسط“: ‏B3 ” :اعداد کامًال بزرگ“: 23 0 ‏ 0 0.2 0.5 0.7 1 1 0.7 0.5 0.2 ‏B2  , , , , , , , , ,  2 3 4 5 6 7 8 9 10 ‏1 1 ‏ 0 0 0 0 0 0 0.3 0.5 0.8 ‏B3  , , , , , , , , ,  7 8 9 10 ‏1 2 3 4 5 6 عملگرهای دیگر تعریف :1جمع جبری (احتمالی) دو مجموعه فازی Aو ، Bکه با A+Bنشان داده می‌شود ،به‌ص[[ورت ی[[ک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ‏A  Bx  Ax  Bx  Ax Bx تعریف :2حاصل‌ضرب جبری دو مجموعه فازی Aو ، Bکه با A . Bنش[[ان داده می‌ش[[ود ،به‌ص[[ورت ی[[ک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ‏A Bx  Ax Bx 24 عملگرهای دیگر تعریف :3جمع کراندار دو مجموعه فازی Aو ، Bکه با B Aنشان داده می‌شود ،به‌ص[[ورت ی[[ک مجموع[[ه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ‏A  Bx  min 1, Ax  Bx  تعریف :4تفاضل کراندار دو مجموعه فازی Aو ، Bکه با A Bنشان داده می‌شود ،به‌صورت یک مجموع[[ه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ‏A  Bx  max 0, Ax  Bx - 1 قضیه :1برای هر دو مجموعه فازی Aو ، Bداریم: ‏A  B  A B  A  B  A  B  A  B  A  B 25 مثال :فرض کنید X   1, 2, ,10 : و زیرمجموعه Aاز Xنشان دهنده ویژگی ” کوچک بودن“: 0.8 0.6 0.3 0.1 , , , ‏ 2 3 4 5 و زیرمجموعه Bاز Xنشان دهنده ویژگی ” نزدیک به پنج“: ‏ 0.4 0.8 1 0.8 0.4 , , , , ‏ 3 4 5 6 7 ‏ ‏ آنگاه: ‏1 ‏1 ‏A  , ‏B  0.8 0.76 0.86 1 0.8 0.4 ‏1 ‏A B  , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 ‏1 0.8 1 1 1 0.8 0.4 ‏1 ‏A B  , , , , , , ‏ 2 3 4 5 6 7 ‏1 0.1 ‏ 0.1 , ‏ 5 ‏ 4 0.24 0.1 ‏ 0.24 ‏AB  , , ‏ 3 4 5 ‏ ‏ ‏A B  26 عملگرهای دیگر تعریف :5اگر Aیک مجموعه فازی باشد ،آنگاه aAکه در آن a   0,1 به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. )(aA)(x) a.A(x تعریف :6توان mام ( )m > 0یک مجموعه فازی ،Aکه با فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود: ‏m Aنشان داده می‌شود ،به‌ص[[ورت ی[ک مجموع[ه ‏Amx   Ax  m به عنوان دو حالت خاص تعریف فوق ،عملکرهای تمرکز و گسترش (اشباع) بر یک مجموعه ف[[ازی Aاینگون[[ه تعریف می‌شوند: 2 ‏CONA  A 27 ‏DILA  A0.5 1 1 A  , 0.8 0.6 0.3 0.1 , , ,  2 3 4 5 : و همچنین با توجه به اینکه:ادامه مثال :داریم  0.4 0.32 0.24 0.12 0.04 0.4 A   , , , ,  2 3 4 5   1 1 1 CONA   , 1 1 DILA   , 0.64 0.36 0.09 0.01 , , ,  2 3 4 5  0.89 0.77 0.55 0.32 , , ,  2 3 4 5  28 حاصلضرب دکارتی تعریف :7اگر - ‏An , , A1 ‏An , , A1 که به ‏X1  Xn به‌ترتیب زیرمجموعه‌های فازی از ‏A1   An ‏Xn , , X1 باشند ،حاصلضرب دکارتی نشان داده می‌شود ،به صورت یک زیرمجموعه فازی از فضای حاصلضرب با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ‏A1  An x1 , , xn  minAi Xi   ‏i 1, , n 29 X1  X2   3, 5, 7   0.5 1 0.6 , ,   3 5 7 A1   و :مثال 1 3 A2   , 0.6  5  0.5 0.5 1 0.6 0.6 0.6  , , , , ,   3, 3 3, 5 5, 3 5, 5 7 , 3 7 , 5 و :آنگاه A1  A2   30  -αبرش‌ تعریف :1زیرمجموعه (معمولی) عناصری را از Xکه درجه عضویت آن‌ها در مجموعه فازی Aحداقل ب[[ه ب[[زرگی ( α )α > 0باشدα - ،برش ( Aیا مجموعه تراز αوابسته به )Aگوییم وباA ‏ ‏Ax   نشان می‌دهیم .پس: | A   x  X در بعضی موارد نیز از مفهوم –αبرش قوی استفاده می‌شود که با Aaنشان داده می‌شود: ‏ 31 ‏Ax   | A   x  X قضیه3 -1خانواده  A |    0,1  یکنواست ،یعنی: ‏ ‏A  A 0     1 ‏A  B -2 الف) -3 ب) ‏ ‏A B ‏ A  B ‏A  B ‏ A  B ‏A  B * روابط قضیه فوق برای α -برش‌های قوی نیز برقرارند. * یادآوری :عمل متمم‌گیری با عمل – αبرش بر یک مجموعه فازی ،تعویض‌پذیر نیستند یعنی در حالت کلی ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏A ‏ ‏A  ،اما در این مورد داریم: ‏ ‏ ‏ A  ‏ 1   32 یعنی – αمتمم Aبرابر است با متمم –( )α-1برش قوی .A ‏A اتحاد تجزیه :هر مجموعه فازی مانند Aرا می‌توان به‌صورت زیر بر حسب مجموعه‌های تراز ‏A  A آن تجزیه کرد: ‏ در بعضی موارد بسته ب[[ه اینک[[ه ت[[ابع عض[[ویت Aگسس[[ته باش[[د یا پیوس[[ته باش[[د رابط[[ه ف[[وق به‌صورت‌های زیر نیز نوشته می‌شود ‏A   A ‏ 1 که البته در آن‌ها 0 33 1 ‏A  A و ، اجتماع Aها را نشان می‌دهد. ‏ 0 مثال :فرض کنید X   1, 2, ,10 : و زیرمجموعه Aاز Xنشان دهنده ویژگی ” حدود سه“: داریم: ‏ 0.3 0.7 1 0.7 0.3 ‏A  , , , , ‏ 2 3 4 5 ‏ 1 ‏A0.3 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ‏A0.7 2 , 3 , 4 ‏A1  3  پس می‌توانیم بنویسیم: و یا به طور خالصه‌تر: ‏1 1 1 1 1 ‏ 1 1 1 ‏ 1 ‏A 0.3 , , , ,   0.7 , ,   1  ‏1 2 3 4 5 ‏ 2 3 4 ‏ 3 ‏A 0.3  1 , 2 , 3 , 4 , 5   0.7 2 , 3 , 4   1 3  با استفاده از نماد ∑ نیز تجزیه فوق اینگونه نوشته می‌شود: 34 ‏A 0.3  1 , 2 , 3 , 4 , 5   0.7 2 , 3 , 4   1 3  تحّد ب تعریف :1مجموعه فازی Aرا محدب گوییم ،اگر و فقط اگر برای هر – αبرش ( Aبرای تمام α ≤ < 0 )1محدب باشد .یعنی: مجموعه فازی Aمحدب است ،اگر و فقط اگر برای هر x1 , x2  Xو هر    0,1 داشته باشیم: ‏A x1  1   x2  min Ax1, Ax2   * اگر Aو Bدو مجموعه فازی محدب باشند ،اشتراک آن‌ها نیز ی[[ک مجموع[[ه ف[[ازی مح;دب اس[[ت .درباره اجتماع این نتیجه برقرار نیست. تعریف :2مجموعه فازی Aرا کراندار گوییم ،اگر برش‌های ( Aبرای هر ،)α < 0کراندار باشد .یعنی برای هر α>0یک ) R(αمتناهی وجود داشته باشد که برای هرx A 35||xنرم اقلیدسی xاست. داشته باشیم || ) ،x||≤R(αک[[ه در آن || الف) نمودار تابع عضویت یک مجموعه فازی غیرمحدب ب) نمودار تابع عضویت یک مجموعه فازی محدب و کراندار ج) نمودار تابع عضویت یک مجموعه فازی غیرکراندار 36