تئوری الاستیسیته

تئوری الاستیسیته

اسلاید 1: 1

اسلاید 2: 2تئوری الاستیسیتهTheory of Elasticityكريم عابدي

اسلاید 3: 3فصل چهارم:روش هاي انرژي

اسلاید 4: 4فصل چهارم: روش هاي انرژي1) تعاريف بنياديالف) كار (Work)هرگاه نقطه اثر نيروي F كه به سيستمي اعمال مي شود به اندازه جزئي جابجا شود، گفته مي شود كه مقدار جزئي كار dw انجام یافته است:ب) كار مجازي (Virtual Work)هرگاه نقطه اثر نيروي حقيقي اعمالي به سيستم ، يك جابجايي تصوري يا ذهني را طي كند، در اين صورت مقدار جزئي كار انجام مي گيرد كه به آن كار مجازي اطلاق مي شود:

اسلاید 5: 5فصل چهارم: روش هاي انرژيپ) كار مكمل مجازي (‍Complementary Virtual Work)هرگاه ميدان تغيير مكان يك سيستم تحت نيرو را با و تغييرمكان نقطه مشخصي از آن را با نشان دهيم، اگر در هنگام پديد آمدن ميدان تغييرمكان واقعی، نيروي مجازي را در نقطه مشخص i در نظر بگيريم ( )، با جابجايي نقطه اثر اين نيروي مجازي، مقداري كار مجازي صورت مي گيرد كه كار مكمل مجازي ناميده مي شود كه به صورت زير نمايش داده مي شود:

اسلاید 6: 62) اصل تغيير مكان های مجازي (Principle of Virtual Displacements)فصل چهارم: روش هاي انرژيجسم الاستيك شكل زير را در نظر مي گيريم كه محدوده حدي يا خارجي اين جسم كاملاً به دو قسمت عمده مجزا تقسيم مي شود:قسمت اول كه با St نشان داده مي شود، قسمتي است كه بر روي آن نيروهاي خارجي اعمال شده است. البته محدوده نيروي صفر نيز به عنوان محدوده نيرو يا وضعيت حدي نيرويي تلقي مي شود.قسمت دوم كه با Su نشان داده مي شود و منظور قسمتي است كه به عنوان تكيه گاه از آن نام برده مي شود و عموماً داراي تغيير مكان صفر يا جابجايي از پيش تعيين شده مي باشد.

اسلاید 7: 7فصل چهارم: روش هاي انرژيحال چنانچه صحبت از يك ميدان تغييرمكان مجازي در جسم فوق باشد، ‌اين ميدان را به صورتي مجسم مي كنيم كه در روي مرز حدي Su كه قيود تكيه گاهي سيستم قرار گرفته است، شرايط حدي سينماتيكي ارضاء شود. چنين ميدان تغييرمكان مجازي را ميدان مجاز يا قابل قبول (admissible) نامند.به منظور مطالعه و بررسي پيرامون استنتاج رابطه مناسبي بر اساس استفاده از مفهوم كار مجازي، ‌ابتدا فرض مي شود كه مؤلفه هاي يك ميدان تغييرمكان جزئي قابل قبول براي جسم الاستيك B كه در شكل زير نشان داده شده است، به ترتيب به صورت و يا در صورت لزوم به شكل تعريف شده باشند كه هريك از اين سه مؤلفه، تابع مختصات x1 و x2 و x3 خواهند بود.

اسلاید 8: 8فصل چهارم: روش هاي انرژيهرگاه عنصري از جسم شكل بالا را درنظر بگيريم، با پديد آوردن ميدان تغييرمكان مجازی، تنش هاي واقعی موجود در روي اين المان به دليل تغييرشكل مجازي پديد آمده، مقداري كار مجازي انجام مي دهند. چنانچه كل جسم را تحت اثر نيروهاي اعمالي خارجي در حال تعادل فرض كنيم، كار مجازي صورت گرفته شده كل، به دليل صفر بودن منتجه تنش در روي هر الماني از آن صفر مي باشد. به عبارت دیگر کار مجازي كل كه با نمايش داده مي شود، به صورت زير به دست مي آيد:معادله مذكور را مي توان به صورت زير نوشت:

اسلاید 9: 9فصل چهارم: روش هاي انرژيبا استفاده از قضيه ديورژانس، جمله اول سمت راست را می توان به انتگرال روی سطح تبدیل کرد. به عبارت دیگر داریم:St مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن نيرو تعريف شده است.معادله بالا را مي توان به صورت زير نيز نوشت:عبارت فوق عبارت كار مجازي يك سيستم الاستيك تحت نيرو بر اثر اعمال ميدان جابجايي مجازي است.

اسلاید 10: 10فصل چهارم: روش هاي انرژياگر دقت كنيم كه نيروهاي خارجي اعمالي به سيستم، متشكل از نيروهاي سطحي qi و نيروهاي حجمي Bi است، كار مجازي خارجي را مي توان به صورت زير فرموله كرد (كار مجازي توسط نيروهاي خارجي اعم از نيروهاي سطحي و نيروهاي حجمي): انرژي ارتجاعي مجازي را نيز مي توان به صورت زير نشان داد:بنابراين داريم:

اسلاید 11: 11فصل چهارم: روش هاي انرژيهرگاه يك جسم الاستيك تحت اثر نیروهای وارده در حال تعادل باشد و تغيير مكان اختياري مجازي سازگار با شرايط تكيه گاهي خود را تجربه نمايد، در اين صورت كار مجازي انجام يافته توسط نيروهاي خارجي اعمالي به آن، مساوي كار مجازي انجام يافته توسط نيروهاي داخلي آن مي باشد.چنين اصلي مستقل از خواص ماده است و در طي تحمل تغيير مكان مجازي، ‌نيروها ثابت هستند.معادله نهايي را مي توان در قالب قضيه زير بيان نمود:معادله را مي توان به عنوان شرط لازم و كافي براي ارضاي شرايط تعادل در يك جسم تلقي كرد. به عبارت ديگر قضيه اصل تغییرمکان های مجازي به صورت زير نيز قابل بيان مي باشد:شرط لازم و كافي براي تعادل يك جسم الاستيك، برابر بودن كار خارجي مجازي صورت گرفته شده توسط نيروهاي اعمالي به آن با كار داخلي مجازي انجام يافته توسط ميدان تنش آن در طي تجربه كردن يك ميدان تغیير مكان مجازي قابل قبول است.

اسلاید 12: 12فصل چهارم: روش هاي انرژي3) اصل نيروهاي مجازي (Principle of Virtual Forces)با ارائه اصل تغيير مكان های مجازي، به وضوح ديديم كه چگونه مي توان با در نظر گرفتن يك ميدان تغيير مكان مجازي قابل قبول و استفاده از اصل مزبور، به حل مسائل ارتجاعي پرداخت.شكل زير يك جسم ارتجاعي را نشان مي دهد كه اين جسم علاوه بر اينكه تحت اثر يك سيستم نيروي حقيقي قرار دارد كه اين سيستم نيرو باعث يك ميدان تنش كاملاً متعادل مي شود، تحت اثر يك سيستم نيروي مجازي نيز قرار گرفته است كه اين سيستم نيز متعادل بوده و منجر به يك ميدان تنش مجازي متعادل مي شود (سیستم نیروی حقیقی در شکل نشان داده نشده است):اکنون شکل دیگری از اصل کار مجازی را که تحت عنوان اصل نیروهای مجازی شناخته می شود، مورد دقت قرار می دهیم و نشان خواهیم داد که چگونه با در نظر گرفتن یک سیستم نیروی مجازی متعادل در روی یک جسم ارتجاعی می توان به یک میدان تغییرمکان سازگار دست یافت.

اسلاید 13: 13فصل چهارم: روش هاي انرژيكه را كار مجازي مكمل كل سيستم مي نامند. معادله فوق را به صورت زير مي نويسيم: سیستم نیروی مجازی را به طور سمبولیک با و میدان تنش مربوطه را با نشان می دهیم. از آنجا که مطابق فرض، سیستم نیروی مجازی در حال تعادل است، لذا معادله تعادل زیر صادق مي باشد:هرگاه طرفین معادله فوق را در مولفه میدان حقیقی تغییرمکان ضرب کرده و روی حجم سیستم انتگرال گیری کنیم، خواهیم داشت:

اسلاید 14: 14فصل چهارم: روش هاي انرژيبا استفاده از قضيه ديورژانس، جمله اول سمت راست را به انتگرال روی سطح تبدیل نموده و در ضمن با توجه به تقارن جمله دوم را به شکل جدیدی به صورت زیر ارائه می کنیم:که در آن SSt مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن تعريف شده است و بالاخره، كه در آن داريم:كار مجازي مكمل خارجی انرژي ارتجاعي مجازي مكمل

اسلاید 15: 15فصل چهارم: روش هاي انرژيشرط لازم و كافي براي سازگار بودن ميدان تغيير شكل يك سيستم الاستيك، مساوي بودن كار مجازي مكمل انجام يافته بر روي آن توسط يك سيستم نيروي مجازي در حال تعادل، با كار داخلي مجازي مكمل انجام يافته توسط تنش هاي مجازي در طي تحمل ميدان كرنش واقعي است. در مرحله تحمل نيروهاي مجازي، تغيير شكل سيستم ثابت است.بنابراين اصل نيروهاي مجازي به صورت زير است:این عبارت به نام اصل نیروهای مجازی شناخته می شود که در آن کار مجازی مکمل خارجی انجام شده توسط یک سیستم نیروی متعادل است وقتی که نقطه اثر این سیستم نیروی مجازی، تغییر مکان حقیقی را تحمل کرده باشد. انرژی ارتجاعی مجازی مکمل سیستم می باشد. را می توان به عنوان کار مجازی مکمل انجام یافته توسط تنش های مجازی داخلی در طی کرنش حقیقی سیستم تلقی کرد.

اسلاید 16: 16فصل چهارم: روش هاي انرژي4) قانون بتي در يك جسم الاستيك خطي با دو سيستم متفاوت بارگذاري، كار انجام يافته توسط سيستم اول نيروها در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم دوم مساوي است با كار انجام یافته توسط سيستم دوم نيروها در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم اول.برای اثبات قانون بتی، جسم ارتجاعی را که دارای رفتار خطی است، مورد توجه قرار داده و فرض می کنیم که این جسم تحت اثر سیستم نیروهای و بار دیگر تحت اثر سیستم نیروهای قرار می گیرد. دو سیستم نیروی اعمال شده، کاملا مستقل از همدیگر فرض می شوند. با اعمال هر یک از دو سیستم نیرو به جسم، دو میدان تغییرمکان کاملا متفاوت پدید می آید که این میدان ها را به ترتیب با و مشخص می کنیم.با اعمال سیستم اول نیروها در حالتی که با اندیس i شماره گذاری شده باشد ، تغییرمکان نقطه اثر سیستم اول را با و تغییرمکان نقطه اثر سیستم دوم نیروها را با نشان می دهیم. بالعکس با اعمال سیستم دوم نیروها در حالتی که با اندیس j شماره گذاری شده باشد ، تغییرمکان نقطه اثر سیستم اول را با و تغییرمکان نقطه اثر سیستم دوم نیروها را با نشان می دهیم.

اسلاید 17: 17فصل چهارم: روش هاي انرژياکنون تغییرمکان حاصل از اعمال سیستم اول نیروها را به عنوان تغییرمکان مجازی برای سیستم دوم نیروها و برعکس تغییرمکان حاصل از اعمال سیستم دوم نیروها را به عنوان تغییرمکان برای سیستم اول نیروها تلقی کرده و اصل تغییرمکان مجازی را به کار می بریم.برای سیستم اول نیروها و تغییرمکان متناظر این نیروها که از سیستم دوم نیروها حاصل می شود، معادله اصل تغییرمکان مجازی به صورت زیر در می آید:که در این معادله تانسور تنش حاصل از اعمال سیستم بارگذاری اول و تانسور کرنش حاصل از اعمال سیستم دوم بارگذاری است.برای سیستم دوم نیروها و تغییرمکان متناظر این نیروها که از سیستم اول نیروها حاصل می شود، معادله اصل تغییرمکان مجازی به صورت زیر در می آید:که در این معادله تانسور تنش حاصل از اعمال سیستم بارگذاری دوم و تانسور کرنش حاصل از اعمال سیستم اول بارگذاری است.

اسلاید 18: 18فصل چهارم: روش هاي انرژيبا در نظر داشتن رابطه کلی تنش-کرنش و متقارن بودن تانسور Cijkl نسبت به دو اندیس اول و آخر می توان نوشت: بنابر این سمت راست معادلات اصل کار مجازی در دو حالت مذکور عبارتند از:مشاهده می شود که طرفین سمت راست این روابط یکسان می باشند. بنابر این داریم:

اسلاید 19: 19فصل چهارم: روش هاي انرژيمعادله فوق تحت عنوان قانون بتي به صورت زير بيان مي شود:در يك جسم ارتجاعي خطي با دو سيستم بارگذاري متعادل متفاوت 1 و 2 که تغيير مكان هاي حاصل نيز به ترتيب با 1 و 2 علامت گذاري مي شود، كار انجام يافته توسط سيستم نيروهاي 1 در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم بارگذاري 2، مساوي است با كار انجام يافته توسط سيستم نيروهاي 2 در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم بارگذاري 1.حالت خاص قانون بتي، به عنوان معادله متقابل ماكسول شناخته مي شود كه به صورت زير تعريف مي گردد:در يك جسم ارتجاعي خطي، تغيير مكان نقطه i‌براثر اعمال نيروي واحد در نقطه j مساوي است با تغيير مكان نقطه j بر اثر اعمال نيروي واحد در نقطه i (تغيير مكان ها در راستاي نيروهاي تعميم يافته اندازه گيري مي شوند).

اسلاید 20: 20فصل چهارم: روش هاي انرژي 5) اصل انرژي پتانسيل مينيممدر این قسمت به معرفی تابعک (تابع تابع) انرژی پتانسیل کلی می پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل، دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مینیمم مشهور است و یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد. جسم ارتجاعی زیر را در نظر می گیریم:

اسلاید 21: 21فصل چهارم: روش هاي انرژياگر در جسم ارتجاعي نشان داده شده، انرژي ارتجاعي واحد حجم در يك نقطه غيرخاص را با U0 نشان دهيم، مقدار U0 بستگي به تانسور كرنش در نقطه مذكور خواهد داشت. به عبارت ديگر داريم:با دقت در اين كه تانسور كرنش برحسب ميدان تغيير مكان ui قابل ارائه است، به سادگي مي توان بيان داشت كه انرژي ارتجاعي، وابسته به ميدان تغيير مكان است. از اين رو نتيجه مي گيريم كه چگالي انرژي ارتجاعي به صورت يك تابعك (تابع تابع) ظاهر مي شود كه با تغيير ميدان تغيير مكان، مقدار آن تغيير مي كند.

اسلاید 22: 22فصل چهارم: روش هاي انرژيفرض كنيم كه در ميدان تغيير مكان يك سيستم، تغييري به شكل زير به وجود مي آيد، آنگاه خواهيم داشت:به عبارت ديگر خواهيم داشت:با توجه به رابطه مي توان نتيجه گرفت كه:مي توان رابطه فوق را چنين تفسير كرد كه اگر تغييرات تانسور كرنش به عنوان يك ميدان كرنش مجازي تلقي شود، در اين صورت تغيير در انرژي ارتجاعي جسم، چيزي جز انرژي ارتجاعي مجازي نخواهد بود.

اسلاید 23: 23فصل چهارم: روش هاي انرژيبا در نظر داشتن معادله مذکور، تغییرات انرژی پتانسیل که حاصل از تغییرات در جابجایی جسم می باشد (نیروها در طی این تغییرات ثابت در نظر گرفته می شوند) و با علامت δV نوشته می شود، از معادله زیر محاسبه می گردد:اگر تغييرات در ميدان تغيير مكان را به عنوان تغيير مكان مجازي تلقي نماييم، در اين صورت تغييرات در انرژي پتانسيل نيروها چيزي به جز كار مجازي خارجي نخواهد بود. با تركيب معادلات مربوط به و با توجه به ثابت بودن نيروها در طي تغييرات ميدان تغيير مكان مي توان نتيجه گرفت:حال چنانچه در سیستم مورد نظر، قبل از اعمال سیستم نیروهای q، انرژی پتانسیل نیروها را صفر فرض کنیم، از آنجا که نقطه اثر نیروها در فرایند اعمال به جسم به اندازه u جابجا شده و به همین ترتیب نیروهای حجمی نیز نقطه اثر خود را تغییر می دهند، لذا در صورتی که انرژی پتانسیل نیروهای خارجی اعم از سطحی و حجمی با V نشان داده شود، می توان نوشت:

اسلاید 24: 24فصل چهارم: روش هاي انرژياما با توجه به معادله اصل تغيير مكان هاي مجازي خواهيم داشت:بنابراين اگر بنويسيم:و را انرژي پتانسيل كلي سيستم بناميم، در اين صورت شرايط تعادل وقتي ارضاء مي شود كه معادله زير برقرار باشد:یعنی انرژی پتانسیل مانا (Stationary)می شود. معادله فوق داراي بياني به صورت زير است:در بين تمام وضعيت هاي ممكن تغيير شكل سازگار با شرايط مرزي Su، تنها تغيير شكل حقيقي سيستم (تغییر شکلی که تعادل را ارضا می کند) منجر به مانا شدن انرژي پتانسيل كلی سيستم مي شود.

اسلاید 25: 25فصل چهارم: روش هاي انرژيبرای بررسی در مورد حداقل یا حداکثر بودن انرژي پتانسيل كلي در شرایطی که این انرژی مانا است، وضعیت تعادل و وضعیت مجاور آن را در نظر می گیریم.هرگاه تانسور کرنش را برای وضعیت تعادل با eij و برای وضعیت مجاور با نشان دهیم و انرژی پتانسیل کلی مربوط به دو وضعیت مذکور را با 0∏ و ∏ مشخص نماییم، در این صورت می توان نوشت:یا داریم:

اسلاید 26: 26فصل چهارم: روش هاي انرژيتابع را مي توان به صورت زیر بسط داد:با جایگذاری معادله فوق در معادله اصلی مربوط به Δ∏ خواهیم داشت:با توجه به اصل تغییرمکان های مجازی عبارت زیر مساوی صفر است:

اسلاید 27: 27فصل چهارم: روش هاي انرژيبنابراین Δ∏ به صورت زیر در میآید :هرگاه انرژی ارتجاعی یک سیستم را در حالتی که آزاد از نیرو باشد، صفر فرض کنیم، در این صورت چگالی انرژی ارتجاعی آن در مجاورت وضعیت بدون بار یا وضعیت δeij از معادله زیر به دست می آید:برای استخراج معادله فرض می شود که تنش σij در وضعیت کرنش صفر، برابر صفر است. یعنی:

اسلاید 28: 28فصل چهارم: روش هاي انرژيبنابراين مي توان قضيه زير را بيان نمود:در بين تمام وضعيت هاي ممكن تغييرشكل سازگار با شرايط مرزي تغيير مكاني، تنها تغيير شكل حقيقي سيستم (كه معادلات تعادل را ارضاء مي كند) منجر به حداقل شدن مقدار انرژي پتانسيل كلي مي شود.هرگاه همواره مثبت باشد، در نتیجه نیز همواره مثبت خواهد بود. بنابراین اگر مثبت باشد، نتیجه می گیریم که عبارت زیر همواره مثبت خواهد بود:بنابراین Δ∏ نیز همواره مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر در می یابیم که انرژی پتانسیل کلی وضعیت مجاور تعادل، نسبت به انرژی پتانسیل کلی وضعیت تعادل افزون تر است و در نتیجه می توان اظهار داشت که در وضعیت تعادل، انرژی پتانسیل کلی در حداقل مقدار خودش است.

اسلاید 29: 29فصل چهارم: روش هاي انرژي6) قضيه اول كاستيليانوپیش از این نشان دادیم که هرگاه برای یک سیستم ارتجاعی، تابعک انرژی ارتجاعي داخلی U0 وجود داشته باشد، مولفه های تنش با مشتق گیری از این تابعک به شکل زیر حاصل می گردد:معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود:قضيه: مشتق تابعك چگالي انرژي ارتجاعي U0 نسبت به هريك از مؤلفه هاي كرنش آن، مساوي با مؤلفه تنش هم نام آن مؤلفه كرنش است.اینک با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل کلی مینیمم، به استخراج معادله ای نظیر معادله فوق برای نیروها و تغییرمکان های یک سیستم می پردازیم.

اسلاید 30: 30فصل چهارم: روش هاي انرژيجسمي را در نظر بگيريد كه تحت اثر نيروهاي F1 تا FN در حال تعادل بوده و تغییرشکل حقیقی خود را دارا باشد. هرگاه تغییرمکان نقطه اثر این سیستم نیرو را با u1 تا uN نشان دهیم، روشن است که انرژی ارتجاعی U تابعی از کلیه متغیرهای u1 تا uN خواهد بود و از اینرو می توان نوشت:از طرف دیگر داریم:δVبه صورت زیر نمایش داده می شود:تغییرات انرژی پتانسیل کلی به صورت زیر نمایش داده می شود:

اسلاید 31: 31فصل چهارم: روش هاي انرژيمعادله مذكور همان قضيه اول كاستيليانو است كه به صورت زير بيان مي شود:مشتق تابعك انرژي ارتجاعي يك جسم الاستيك نسبت به هر يك از اجزاء تغيير مكان آن، برابر نيروي اعمال شده هم راستا با آن تغيير مكان در نقطه مورد نظر است.* از اين قضيه براي استخراج ضرايب ماتريس نرمي در روش نيروها استفاده مي شود.پس از جایگذاری خواهیم داشت:و چون تغییرات δui اختیاری است، نتیجه می گیریم که:

اسلاید 32: 32فصل چهارم: روش هاي انرژي7) اصل انرژي پتانسيل مكمل مينيممدر يك جسم ارتجاعي، انرژي مكمل در واحد حجم در يك نقطه خاص را با U0* نشان مي دهيم. مقدار U0*بستگي به تانسور تنش در نقطه مذكور خواهد داشت. به عبارت ديگر داريم:در این قسمت به معرفی تابعک (تابع تابع) انرژی پتانسیل مکمل می پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مکمل مینیمم مشهور است و یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد. فرض كنيم كه در ميدان نیروی يك سيستم، تغييري به شكل زير به وجود مي آيد، آنگاه خواهيم داشت:

اسلاید 33: 33مي توان رابطه فوق را چنين تصوير كرد كه اگر تغييرات تانسور تنش به عنوان يك ميدان تنش مجازي تلقي شود، در اين صورت تغيير در انرژي ارتجاعي مكمل جسم، چيزي جز انرژي مجازي مكمل نخواهد بود. فصل چهارم: روش هاي انرژيدر این صورت خواهيم داشت:با توجه به رابطه مي توان نتيجه گرفت كه:چگالي انرژي ارتجاعي U0 و چگالي انرژي ارتجاعي مكمل U0* را مي توان در نمودار تنش-كرنش به صورت زير نشان داد:

اسلاید 34: 34فصل چهارم: روش هاي انرژيتغيير در انرژي پتانسيل V كه حاصل تغييري متعادل در سيستم نيروهاي اعمالي است (در حاليكه جابجايي ها ثابت مي مانند)، به صورت زير تعيين مي شود:بديهي است كه براي اجسام ارتجاعي خطي خواهيم داشت:که در آن Su قسمتی از سطح می باشد که در روی آن ui تعریف شده است. از تلفیق دو رابطه حاصل برای و خواهیم داشت:

اسلاید 35: 35فصل چهارم: روش هاي انرژيبنابراين مي توان بيان كرد كه:در بين تمام وضعيت هاي ممكن ميدان تنش كه شرايط تعادل و شرايط مرزي Stرا ارضاء مي كنند، تنها وضعيتي بيانگر سيستم حقيقي تنش است (یعنی شرایط سازگاری را ارضا می کند) كه منجر به مانا شدن انرژي پتانسيل مكمل كلي شود.مشخص است که با استفاده از اصل نیروهای مجازی داریم:با فرض به عنوان انرژی پتانسیل کلی مکمل خواهیم داشت:

اسلاید 36: 36فصل چهارم: روش هاي انرژيبرای بررسی در مورد حداقل یا حداکثر بودن انرژي پتانسيل مکمل كلي در شرایطی که این انرژی مانا است، وضعیت تعادل و وضعیت مجاور آن را در نظر می گیریم.یا داریم:هرگاه تانسور تنش را برای وضعیت تعادل با σij و برای وضعیت مجاور با نشان دهیم و انرژی پتانسیل کلی مکمل مربوط به دو وضعیت مذکور را با و مشخص نماییم، در این صورت می توان نوشت:

اسلاید 37: 37فصل چهارم: روش هاي انرژيتابع را مي توان به صورت زیر بسط داد:با توجه به اصل نیروهای مجازی عبارت زیر مساوی صفر است:با جایگذاری معادله فوق در معادله اصلی مربوط به خواهیم داشت:

اسلاید 38: 38فصل چهارم: روش هاي انرژيهرگاه انرژی ارتجاعی مکمل یک سیستم را در حالتی که آزاد از نیرو باشد، صفر فرض کنیم، در این صورت چگالی انرژی ارتجاعی مکمل آن در مجاورت وضعیت بدون بار یا وضعیت δσij از معادله زیر به دست می آید:برای استخراج معادله فرض می شود که کرنش eij در وضعیت تنش صفر، برابر صفر است. یعنی: بنابراین به صورت زیر در میآید :

اسلاید 39: 39فصل چهارم: روش هاي انرژيبنابراين مي توان قضيه زير را بيان نمود:هرگاه همواره مثبت باشد، در نتیجه نیز همواره مثبت خواهد بود. بنابراین اگر مثبت باشد، نتیجه می گیریم که عبارت زیر همواره مثبت خواهد بود:بنابراین نیز همواره مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر در می یابیم که انرژی پتانسیل مکمل کلی وضعیت مجاور تعادل نسبت به انرژی پتانسیل مکمل کلی وضعیت تعادل افزون تر است و در نتیجه می توان اظهار داشت که در وضعیت تعادل، انرژی پتانسیل مکمل کلی در حداقل مقدار خودش است.در بين تمام سيستم هاي مجاز تنش كه شرايط تعادل و شرايط مرزي نیرویی را ارضاء مي كنند، تنها سيستم حقيقي تنش (یعنی سیستمی که شرایط سازگاری را ارضا می کند)، منجر به حداقل شدن انرژي پتانسيل مكمل كلي مي شود.

اسلاید 40: 40فصل چهارم: روش هاي انرژي8) قضيه دوم كاستيليانومعادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود:پیش از این نشان دادیم که هرگاه برای یک سیستم ارتجاعی، تابعک انرژی ارتجاعي مکمل داخلی وجود داشته باشد، مولفه های کرنش با مشتق گیری از این تابعک به شکل زیر حاصل می گردد:قضيه: مشتق تابعك چگالي انرژي ارتجاعي مکمل نسبت به هريك از مؤلفه هاي تنش آن، مساوي با مؤلفه کرنش هم نام آن مؤلفه تنش است.هرگاه رفتار ماده ارتجاعی، خطی باشد، در این صورت به راحتی می توان نوشت:به عبارت دیگر برای اجسام ارتجاعی خطی داریم:

اسلاید 41: 41فصل چهارم: روش هاي انرژياز طرف دیگر داریم:δVبه صورت زیر نمایش داده می شود:تغییرات انرژی پتانسیل کلی مکمل به صورت زیر نمایش داده می شود:اینک با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل مکمل کلی مینیمم، به استخراج معادله ای نظیر معادله فوق برای نیروها و تغییرمکان های یک سیستم می پردازیم.جسمي را در نظر بگيريد كه تحت اثر تغییر مکان های u1 تا uN تغییر شکل داده باشد و برای ایجاد این سیستم تغییرمکان، سیستم نیروهای F1 تا FN به کار رفته باشد. روشن است که انرژی ارتجاعی مکمل تابعی از کلیه نیروهای F1 تا FN خواهد بود و از اینرو می توان نوشت:

اسلاید 42: 42فصل چهارم: روش هاي انرژيمعادله مذكور همان قضيه دوم كاستيليانو است كه به صورت زير بيان مي شود:مشتق تابعك انرژي ارتجاعي (مکمل) يك جسم الاستيك خطی نسبت به هر يك از اجزاء نیروهای اعمال شده، برابر تغییرمکان هم راستا با آن نیرو در نقطه مورد نظر است.* از اين قضيه براي استخراج ضرايب ماتريس سختی در روش تغییرمکان ها استفاده مي شود.پس از جایگذاری خواهیم داشت:و چون تغییرات δFi اختیاری است، نتیجه می گیریم که:برای اجسام ارتجاعی خطی نیز خواهیم داشت:

اسلاید 43: با تشکر از توجه شما …