توزیع احتمال

توزیع احتمال

اسلاید 1: 1Probability Distributionsپارامترهای ارزیابی قابلیت اطمینان توسط تابع توزیع احتمال توصیف می شوندزمان از کار افتادن یک قطعه از سیستم از تابع توزیع احتمال پیروی می کندعدم امکان محاسبه تعیین توزیع احتمال بر اساس دانش از هندسه قطعه یا سیستم در عملارتباط بین توابع توزیع احتمال و قابلیت اطمینان چگونه است؟اصطلاحات توزیع ها کدامند و نقش آنها در ارزیابی قابلیت اطمینان چیست؟

اسلاید 2: 2Probability DistributionsProbability Distributions describe the random behavior of a system or a component from a set of data. In some applications only one value (mean value) is sufficient. e.g. previous examples, long-term reliability evaluationIn other applications the entire distribution is required.e.g. short-term or time-dependent evaluation, simulation methodsProbability Density Function, f(x) - plot of Prob. vs. Random Variable x(Cumulative) Probability Distribution Function, F(x) For continuous distribution, F(x) = ∫f(x).dx Discrete distribution, F(x) = ∑f(x)f(x) = dF(x) dx

اسلاید 3: 3Probability Distributionsانواع توزیع های آماری: ناپیوسته (دوجمله ای و پواسون)پیوسته (نرمال، نمایی، ویبال، گاما و ریلای)اصطلاحات توزیعها:چگالی احتمال، تابع توزیع تجمعیمقدار انتظاری یا میانگین، واریانس و یا انحراف معیار

اسلاید 4: 4Probability Distributionsویژگی تابع ازکار افتادندر لحظه صفر، احتمال شکست سیستم برابر صفر است و در زمان بینهایت این احتمال یک است.این ویژگی تابع توزیع فراوانی تجمعی استتابع توزیع فراوانی تجمعی به نام توزیع فراوانی از کارافتادن شناخته شده است و با Q(t) نشان داده می شود.اگر احتمال بقا را R(t) در نظر بگیریم:R(t)=1.-Q(t)تابع چگالی احتمال مشتق تابع فراوانی تجمعی استf(t) = dQ(t) dt

اسلاید 5: 5Probability Distributions in Reliability EvaluationIn reliability evaluation, the random variable is usually time (t)Failure Density Function, f(t)(Cumulative) Failure Distribution Function, Q(t) Probability of FailureSurvivor Function R(t) = 1 – Q(t) Probability of Successf(t) = dQ(t) dtQ(t) = f(t)dtR(t) = f(t)dt

اسلاید 6: 6Probability Distributionsآهنگ وقوع خطر (Hazard Rate)تعداد از کار افتادگی در واحد زمان به تعداد عضوهای در معرض از کار افتادنHazard Rate, l(t) = f(t) / R(t) = # of failures per unit time # of components exposed to failure

اسلاید 7: 7تابعهای کلی قابلیت اطمینانتعیین رابطه بین توابع مختلف بدون در نظر گرفتن شکل تابع ریاضی آنهاتعداد عضوهای معیوب شده در مدت زمان t= Nf(t)تعداد عضوهای سالم در مدت زمان t = Ns (t) Ns (t)+ Nf(t)= N0قابلیت اطمینان تا زمان معین tـ برای از کار افتادن:

اسلاید 8: 8تابعهای کلی قابلیت اطمیناندر بیان آهنگ وقوع خطر داریم:

اسلاید 9: 9تابعهای کلی قابلیت اطمینان

اسلاید 10: 10Total number of samples = N0 Number of failures at time t = Nf(t)Number of survivors at time t = Ns(t) = N0 - Nf(t)Number of failures in interval Dt = DNf (t)Failure Density Function, f(t) = DNf (t) / N0Failure Distribution Function, Q(t) = Nf (t) / N0 (Probability of Failure)Survivor Function R(t) = Ns (t) / N0 (Probability of Success)Hazard Rate, l(t) = f(t) / R(t)Example using Discrete Distribution

اسلاید 11: 11

اسلاید 12: 12

اسلاید 13: 13Example: Plots of Q(t) and R(t)

اسلاید 14: 14Example: Plots of f(t) and l(t)

اسلاید 15: 15Bathtub CurveTypical Electric Component Hazard Rate as a Function of Age De-buggingNormal operating Or useful lifeWear outor FatigueRegion 1Region 2Region 3Operating LifeHazard rate

اسلاید 16: 16Time Dependent ReliabilityReliability of a component for a time period t isR(t) = where l(t) is the hazard rate.Proof:# of failures per unit time =# of components exposed to failurel(t) =Dividing numerator and denominator by N0 (total # of samples),l(t) =ororR(t) = If l(t) is constant (during useful life),R(t) =

اسلاید 17: 17Application of Probability Distributions in Reliability Assessment Poisson DistributionUseful life of system componentsObtain expected value and distributions of failure probabilityStandby & spares Exponential DistributionUseful life of system componentsMost widely used probability distribution Normal DistributionMost widely used probability distribution in statistics, quality (6-s)Reliability assessment during wear-out life of componentsUncertainty considerations (e.g. forecast uncertainty) Weibull DistributionCan be shaped to fit collected datae.g wind power, repair duration

اسلاید 18: 18Poisson Distributionبرای بیان احتمال وقوع تعداد معینی از یک رخداد در یک فاصله زمانی، مشروط بر اینکه آهنگ وقوع خطر در آن فاصله زمانی ثابت باشدوقوع رخداد تصادفی استویژگی خاص در پواسون شمارش وقوع رخدادها است نه عدم وقوع آن (برخلاف توزیع دوجمله ای)در بسیاری از موارد می توان تنها وقوع رخدادها را بر شمرد. مثلاً :تعداد دفعات رعد و برق در یک دوره زمانیتعداد دفعات زنگ تلفن در یک فاصله زمانیتعداد خطاهای سیستم

اسلاید 19: 19Poisson DistributionCan be used to evaluate the probability of an isolated event occurring a specific number of times in a given time interval, e.g. # of faults, # of lightning strokes time interval Requirements:Events must be randomHazard rate must be constantOnly applies to the useful life period of a system componentExpression for Poisson Distribution:Px(t) = Px(t): probability of event occurring x times in time t: constant hazard rate (known as failure rate) Expected value of Poisson distribution, E(x) = m = ltProbability of zero failures in time t, P0(t) = R(t) = =

اسلاید 20: 20Poisson Distributionکاربرد تابع توزیع پواسون:در صورت شکست ناشی از وقوع عیب، مدت زمان تعمیر و تعویض آن عضو در مقایسه با مدت زمان میانگین برای از کار افتادن سیستم ناچیز باشددر غیر اینصورت باید از شیوه های دیگری استفاده گردد

اسلاید 21: 21Poisson Distribution ExampleIf the average number of cable faults per year per 10 km of cable is 0.05,evaluate the probabilities of 0, 1, 2, .. faults occurring in20 year period40 year periodPx(t) = Failure Rate, l = 0.05 f/yr For a 20 year period, t = 20 yrExpected # of failures, E(x) = lt = 0.05 x 20 = 1.0Failure Distribution FunctionFailure Density Function

اسلاید 22: 22Poisson Distribution Example(b) For a 40 year period, t = 40 yrPx(t) = Expected # of failures, E(x) = lt = 0.05 x 40 = 2.0Failure Density FunctionsFailure Distribution Functions

اسلاید 23: 23Poisson Distributionتوزیع پواسون بعنوان تقریب مناسبی برای محاسبات توزیع دوجمله ای استفاده می شوداگر در توزیع دوجمله ای، تعداد آزمایشها نسبت به تعداد حادثه مورد نظر خیلی بزرگ باشد می توان این تقریب ارا استفاده کرد

اسلاید 24: 24Exponential DistributionMost widely used probability distribution in reliability assessment. Requirements:Events must be randomHazard rate must be constantOnly applies to the useful life period of a system componentR(t) =Q(t) = 1 -f(t) = = =lMean Time to Failure, MTTF = t.f(t)dt = 1/lMean or Expected value of f(x)E(x) = x.f(x)dx

اسلاید 25: 25Example: Exponential DistributionFind the mean time to failure of a component which has a failure rate of 2 failures per year. Calculate its reliability for different mission times, e.g. 10, 1000, 10000 hours.R(t) =MTTF = 1/l= ½ = 0.5 yrs = 0.5 x 8760 = 4380 hrsR(10)=0.997719, R(1000)=0.795877, R(10000)=0.101967

اسلاید 26: 26Failure Probability in a Time Intervalاگر احتمال خرابی از لحظه صفر ارزیابی شود؛ احتمال سلفی (priori probability) نامیده می شود اگر قطعه ای در مدت زمان T سالم بوده باشد ، احتمال اینکه در بازه T تا T+t خراب شود، به احتمال از کار افتادن خلفی ((A Posteriori Probability موسوم است.برای ارزیابی احتمال خلفی، باید شرط سالم بودن قطعه در بازه زمانی (0,T) را در نظر گرفت

اسلاید 27: 27Failure Probability in a Time IntervalA Priori Probability: probability calculated by logically examining existing informationA priori probability of failure in time interval t, Q(t) = 1 -A Posteriori Probability: conditional probability that is assigned after relevant information is taken into account.The probability of failure in the next interval t actually depends conditionally upon its behavior preceding that interval. e.g. it cannot fail in that interval if it already failed prior to that interval It is, therefore, required to determine (a posteriori) probability of a component failing in an interval t given that it has survived prior to that interval.

اسلاید 28: 28A Posteriori ProbabilityProbability of component failing during t given that it has survived up to T, Qc(t)EventA: failure during t (shaded area)B: surviving up to T (colored area)P(A|B) = =But, f(t) =lQc(t) =1 -= a priori probability Q(t)Reliability evaluation in the useful life of a component is, therefore, relatively simple as exponential distribution is applicable.In the wear-out phase, conditional probability must be used.

اسلاید 29: 29 Series Systems2121 Parallel SystemsExponential Distribution Applications

اسلاید 30: 30Normal DistributionMost widely used probability distribution in statistics. Applicable in reliability assessment of components in the wear-out phase.The Normal probability density function f(x) is perfectly symmetrical about its mean value m.f(x) =Mean m: location parameterStd. Dev (spread about mean) s: scale parameter

اسلاید 31: 31Normal DistributionProbability value between x1 and x2 (shaded area) =f(x)dxF(x) = dxLet z = (x – m) / s Then f(z) =for which m = 0 & s = 1 Probability F(z) = dzThe area under the normal prob. density function f(z)between z=0 and z=z1 can obtained from a table.Table gives the area to the right of the mean, z=0.

اسلاید 32: 32Normal Distribution: ExampleWhat is the probability of electric lamps failing in the first 700 burning hours, if the average life is 1000 burning hours with a standard deviation of 200 hours? Assume that the failure density function is a normal distribution.z = (x – m) / s m = 1000 hr & s = 200 hr From the Table: F(z) = 0.4332 for z = 1.5For x = 700, z = (700 – 1000) / 200 = -1.5Area up to 700 hours = 0.5 – 0.4332 = 0.0668which is the probability of failing in the first 700 burning hours.

اسلاید 33: 33Weibull DistributionNo specific characteristic shape, and can be shaped to represent many distributions using different values of shaping parameters, b and a.Failure Density Function, f(t) =where, t ≥ 0, b > 0, a > 0

اسلاید 34: 34Other Distribution The Gamma DistributionThe Rayleigh DistributionThe Lognormal DistributionThe Rectangular (or Uniform) Distributio