درس ریاضی فیریک 1

صفحه 1:


صفحه 2:
درا باضی فیزیک1 ‎Mathematical metho s for physicists‏ رشته فیزیک واحد درسی 3 منبع : ریاضی فیزیک 1چاپ پیام نور تاليف اررحم کوفی قایق دين عليرض بینش تدوين باوريوينت : بهزاد شوكت, فاطمه عباسى Mohandes.bakelas@yahoo.com 

صفحه 3:
فسل اول ‎La jlo»‏ 

صفحه 4:
خی زر ‎eee sea‏ درک یت فیزیک چون مکانیک کوانتومی.الکترومغناطیسمکانیک کلاسیک و اپتیک,وغیره کاربردهای اساسی دارند. ۱- جمع و ضرب (برداری ونرده ای) وضوبهای سه گانه ۲- فرمول عملگر دیفرانسیل برداری * رادرمختصات دکارتی ۳- تعریف شیب يك تابع عددى ‎١‏ ۱ ؟- تعريف واگرایی با دیورژانس یک میدان برداری ۵ تسریف ناویک میدان برداری . ۶- بررسی قضیه استوکس و قضیه واگرایی فصل اول : 

صفحه 5:
: 1 33 تعاريف: كميت هاى فيزيك به دو دسته اسكالر و بردارهاتقسيم مى شوند. اسكالرها فقط بامقدارشان مشخص مى شوندو بردارها بامقداروجهت شان مشخص مى شوند. نمليش بردارها در فضا : بردار راجا بيكلنى درفضا نمليش مى دهيم كه طول آن معرف اندازه بردار ورستای پیکان جهت بردار میباشد. جمع بردارها به روش هندسی: جمع دو پرداگ و رلبه سورت 3 +2۸ 0 نشان مى دهيم وبه دو روش متوازى الضلاع. 1 pees روش جند ضلعى: ا اا ل قرارعى دهيم . بردار حاصل جمع( © ‎ern‏ است كه ابتدليش ابتداى 1 وانتهايش انتهاى 2 است. تفاضل دوبردار به روش هندسی: تفاضل دوبردار 4 و راکه به صورت 13 7 > 2نمایش داده می شودرامی توان با قرر دادن ابتداى دو بردارك و بر هم به دست آورد به طوری که ابتدای ‎B tasty Actes‏ ‎of clas! 9«‏ باشد. 

صفحه 6:
نمایش مولفه ای بردارها: نقطه انتهاى بوذار با مختصات لكك ‎slog A sly ost tog ee peste A Ae‏ آن با محورهای 26 ولاو 2 به ترتیب2./0,6 باشند: ‎Ay = Acoser‏ 2 ,۸ ‎A, =Aoosy‏ که در آنها ‎cosy, 00S 8, Cosa‏ را کسینوس های هادی می نامند. به گونه ای که : 1- 005*0000 درنتیجه: ۸. ۸,۰ 4, 

صفحه 7:
اگر بردارهای که در امتداد محورهای6 و ۷ و2 ربا رل یک نشان دهیم ومی توان بردار 4 استفاده از بردارهاى يكه به صورت لوك اط لم4 درك به صور ‎(Apt At As‏ می‌باشد. جمع وتفريق بردارها به رفس موف ای a glust B=Bi+ Bj+ BK, A=Adt+ Aj+ AK ‏بعر‎ ‎A+B=i(A, +By)+ (A +B) + KA, +B,) ‏كر عل ث3 + 8-27 -4 و ع6 +21 + 2-30 + باشند. بردارهای او و رابر حسب‎ -١ ‏مثال‎ ‏مولفه هاى آنها تعيين كنيد.‎ Aah Ae Bala 7 3 2+3 + )+2(+ LOK ‏حل:‎ ‘2 ae! (AtB- (A- 2 | 2+0۰ 3+6 

صفحه 8:
فصل1 بردارها مثال۳-۱: بردار ازمبدا مختصات به ‎Aus‏ مختصات (۴و ۳و۲) درفضارسم شده است زوایای این بردار بامحورهای مختصات راتعیین کنید. حل: 1 3 1 39- *29- 422 + 3 + 27)- 2( + + )عم A, =Acosa = cosa ae 2 = 2 =0.371 = a =0os ' 0.371 ~68. 

صفحه 9:
تمرین۵-۱صفحه ۸کتاب درسی: پرداری به طول۱۰بامحورهای 26,1/,2 زاویه های مساوی می سازد . مولفه های آنرابدست آورید. ‎Je‏ ‏6 بر- م- ‎A-10> A 10° =100.a‏ 0 تومع100- ۸2 2-0 ۸ ‎A, =10c0s6 = 4 =100cos*0‏ 0 - يه 2 ‎A,=10c0s0‏ ‏48 100-30000 AA ‏متام‎ =f =y =54.74 =0.37 

صفحه 10:
NY ۳ Aceh تمرین۶-۱صفحه ۸کتاب درسی: پرداری که در صفحه 26۷ قرارداردوباجهت مثبت محور ‎YoX‏ زاویه مساوی می سازد ۰ مولفه های آن رابه دست آورید. حل: 

صفحه 11:
‎By,‏ کدا ‏ام است؟ ‎ ‎ 

صفحه 12:
تست ۲- چه رابطه ای بین کسینوس های هادی برقرار است؟ الف 0 9و0 +6 009+ وی ب: ‎cosa +cosB+oosy=0‏ 0050 + 005 8 + cosy =1 cos” a + 00s" f + 008" y =1 5 2]- 10050: , [ - 10058 , 72-1005( Pte He = =r (cos’ a + cos’ B + cos” y) =1 costa tone p vox? y = 1 

صفحه 13:
RY ضرب نرده ای ی داخلی حاصل ضرب نرده اى يا داخلى دو ‎By Ajay‏ رابه صورت066 42 < 42 نمایش می‌دهیم که 62 زاویه کوچک تر ميان دو بردرل وق است. از آنجا که 2000 اندازه تصویر بردار در ای 33 باشدآن گاه داریم: jj AB P=|Acosé > P=——_ ۸ a حاصل ضرب نرده ای دو بردار به روش مولفه اى: B=Bi+Bj+ Bk A=AI+AJ+ALK ‏بر‎ 1 داخلی این دو بردار برابر است با : 1 AB=AB.+AB+AB) ee. 4 ‏ود‎ 

صفحه 14:
NY به دست آوردن زاويه بين دو بردار: ee cog! AB t AB + AB, aa #8 خواص ضرب داخلی (نرده ای) بردارها: ‎6D, as,‏ ل شوافيم داهت ‏ خاصیت خطی: ‎(qat+ @b).c=qact+G@be‏ که ازآن خاصیت توزیع پذیری به دست می آید: 96 +3,0 < 10(.0 +3) خاصیت تفارن: ‎AD HDA‏ 

صفحه 15:
RY باتوجه به ین نکنه بع > [6096] است‌سی توان از ضرب داخلی امساوی شورتز را اثبات نمود: زرد > له کاربردهای ضرب نرده ای کار انجام یافته نیرو: کاری که نیروی درجابه جایی ‎d‏ انجام می دهد برابر است با: 2 »عم له > مولفه نیرو در راستای مشخص: در لین حللت از مفهوم مولفه یا تصویر یک بردار در راستای بردار غیر صفر دیگر استفاده می شود. 

صفحه 16:
مثال۱۰-۱صفحه ۱۲کتاب درسی : اگر [4,1,0] و [2,0,1-]<8 باشدبردارت) به طول واحد را طوری بیاپید که عمود بر دو برداره و 8باشد. A=(4,10), B=(- 2,0,1),C=(C,,C,, C) 1 6۸-0 46+ 6-0 C, =-4C, CB=0>- 26+ 2 =e) - 9۳9 ‏ب‎ 41608440 =15 C eo = |- 3 ۱ 8 

صفحه 17:
تمرین۶-۲-۱صفحه ۱۶ کتاب درسی: مقدارمولفه 3 رادرراستای ۵ابه دست آورید؟ ‎a=[1,1,2],b=[0,0,6](wi‏ حل: ab __ (0x1) +(Ox1) + (2x6) _ ib 0+0 +0 5 2 NY 

صفحه 18:
تمرین۸-۲-۱صفحه ۱۶ کتاب درسی: اگر *#بردارئابت و۲ برداری ازمبدا مختصات تا نقطه (2,۷,2) باشد(بردارمکان):نشان دهید که رابطه زیرمعادله یک صفحه است. (r- A.r=0) ‏حل: مر هم‎ علد + ا + < بر دعل + بر + بج دم (r- A).A=0 = (x ait (y- Dj+(z 9۵62+ (+ ‏قله‎ -0 a(x- a)+Hy- D+ dz- 0 =0= axt byt w=(a@ +P +C) ax+ by+ cz+ d=0 ود 

صفحه 19:
NY تمرین۱۰-۲-۱صفحه ۱۶کتاب درسی : زاويه بين دوبردار 16+ [8-31+4 و 16+ [-8>1 رابيداكنيد. حل: AB _3-4+1_ (4a Jia 7 AB=|A.|Hoosa = cosa = 

صفحه 20:
تست ۳- ارو و برداریکه باشند ل< 0 +0 +8 حاصل08 +0 +2 امتقدار و ‎view‏ سا انم ‎(a+ b+ 0).(at+ b+) =0 50 0-0 cct+ab+actbat+bcot+ca+cb=0 2 + ۲ + Wab+be+ ca) =0 ‎1+1+1+ + 2ab+ ber ca =0 ‎ ‏مرو وا >3-= رت ‎ ‎ ‎ 

صفحه 21:
3 . فصل1 بردارها تست ۴- دوبردار 9 له صورت 119[= ‎a‏ رس مت 1 © رادرراستاى 10 بات ریبد ‎i 2‏ ‎a‏ 1 حل: ‎ab_ 12‏ . "۳ 6 7 وم 2[ = ‎ab=|4_|4o0s0‏ i 0 

صفحه 22:
RY ضرب برداری حاصل ضرب خارجی 93 ‎BA yy‏ به صورت 2-۸ نوشته می شود.اندازه آن 2/7900 رکه 0 زاویه كوجكتر ميان 4 است). گرصفحه 4 عمود است وجهت تن با استفاده از قاعده دست راست نعیین می شودنه کمنه ای که اگر جهار انگشت دست راست در راستای بردار ‏ وچرخش آن ها در جهت بردار 2 باشد. آن كاه انكشت شست جهت بردار ‎CO‏ ‏رانشان می دهد. با استفاده از اندازه حاصل ضرب خرجی درو بردار وقاعده دیست رایست داریم: ‎=jxj= =kxk=O‏ 3>< 3 ixj=& GxKk=i ki =F i 093 Fl Ee ۳ ‏میتی‎ 

صفحه 23:
ضرب بردارى به روش مولقه اى: wit ghuay B= Blt Bj+ Bk A=Ag+Aj+ A ‏م‎ حاصل ضرب خارجی دوبردارگ 9 به روش دتومینان: Bo ۹ عأ(رققبيف -بظيش) + [(يليف -,قلیش) + (قلیف -,ظبه)< یل ‎BI‏ مساحت متوازی الاضلاعی که ‎A jays‏ تنم آن هستند برابر است با: ‎ABsing‏ = هم |<ک ‎ ‎; ‎4 ‎By ‎ ‎C=AxB=| ‎ ‎ ‎ 

صفحه 24:
تمرین۴-۳-۱صفحه ۲۳ کتاب درسی : : ‏بااستفاده ازسه بردار © لور + 10050 - صر تابت کنید‎ 0-1 ‏مومه‎ - jsing R=icosg- jsing sin(@ + ¢) =sin@ cos¢ + cosé@ sing ue cos(6 + ¢) =cosé cos¢ - sind sing n¥ ‏ص‎ 057 دوع جم سمه رو وما ديم PR=PRoosa =|F| Roos(o +9) =cos0 cosg- sindsing~ R A =|R =Voos’0 + sin’ el <> Bs ار 

صفحه 25:
تمرین۵-۳-۱صفحه ۲۳ کتاب درسی : ۲ ۲ ۲ پااستفاده ازشکل زیر,قانون سینوس ها ‎Sse‏ راثابت او 4| ۳۶ 1 1 1 ‏ماد‎ =518xq =5/4xq| |4|4siny =|4] C/sine =|4|C\sinp x sina _sinf _siny i 4 <> 

صفحه 26:
تمرین۸-۳-۱صفحه ۴ ۲کتاب درسی : نشان دهید إن 8 -تم- ه جم).ه -م) (A- B)x(At B) =2AxB حل: الف (8 +يكى)( -يك) + (8 +يك)(,8 -يك) + ل +یش)(ظ -ش)< 3 )3 -2) se (A Bx(A+ B)=i[(4- BY A+ B)- (44+ BA- Bt. i[(4A+4B- BA- BB)- AA+4B- BA+BB) ۲ 3 _=UA4B.- BAV+{AB.- BA)}+1AB,- BA)K=2AxB 

صفحه 27:
NY ‎B=|4-21, A=[2.32 pete‏ تدم است! الف: 06-16 ج. 026718 ‏حل: ‎=(3+ i+ (8- 2)j+(-4- 1k ‎ 

صفحه 28:
تست ۶- اگردوبردار 310[ 3 ,201 ]2 مفروض باشند. بودازک راکه طول آن واحد إست طورى بيا بيابيدكه بر دو بردار 44 7 عمودباشند. ‎k‏ 35 رد ‎a ae a a‏ ی 34,25 15 ‎ee eG Waal et‏ حل: ‎C=AxB=‏ ‎ ‎7 7 i 2 3 2-7- 37+24 4 -2 1 ‎ae: 3 62 > 0 -/1+9+4 -./14 + ‏<ه‎ ‏ار‎ 2 eal al a ‎Iq ‎ ‎ 

صفحه 29:
تست ۷- مساحت مثلثی که دوبرد6 + +۸41 و 1+16 تشکیل می دهند,چقدر است؟ 7 ب 0/2 3 د: و ‎AxB=|‏ ij 1 1 1-2-۶ 2 ۳ 1 2 هد مساحت متوازی الاضلاع 2 ار ‎i‏ ee 

صفحه 30:
ضرب سه گانه بردارها 1- ضرب سه گانه نرده ای تقر سه بردار (ي© 4 2:(4 ‎€:(G,6,G). b:(h, BB).‏ راداشته باشيم. حاصل ضرب نرده ای (6< )سرب اسه كانه نرده اى مى ناميم وبه صورت زير نشان مى (abc) =a(bxc) Fee ‏حجم متوازی السطوحی است که سه ضلع‎ w1,,A(BxO)| ‏كدر مطلق سرب سه كلنه ترده أى‎ a GB A uo of ---|A4A A-BxC=|R B, B\=V © © © 

صفحه 31:
شرط هم صفحه بودن سه بردار ‎cba‏ بدین صورت است: 2,)<0( <0 ۲- ضرب سه گانه برداری ار هی 896 و اک عر لان ل را دستور بک- کب برای محاسبه حاصل ضرب سه گانه برداری: Ax(BxC) =KAC)- C(A-B) 

صفحه 32:
تمرین۱-۴-۱صفحه ۸ ۲کتاب درسی :حجم متوازی السطوح متشکل از ۳ بردار زير رابه دست آورید. الف ‎J+ Ak i- K2j+ Kk‏ - i+ j, j+k2i- 6k V=A(BxQ) =(7- H[(2x4+Di1=9 wal V=A(BxQ) =(2i- 62.7- j+B =-4 

صفحه 33:
RY تمرین ۲-۴-۱صفحه ۲۸ کتاب درسی :آیاسه بردارزیر دریک صفحه اند؟ الف:) او :وا لوا اواوءواءواوا[ ب: ]۳و ۷- و۲اوا۸وکو۵اوا۲- و۳و1۷ ‎b a‏ 6 حل:شرط هم صفحه بودن 0= ‎a(bxc) =b.aXxc) =C(aXb)‏ پس درقسمت الف باتوجه به رابطه فوق داریم: یعنی بردارها هم صفحه نیستند.ودرقسمت ب نیز به همین ترتیب. 2 و «ز )و +)< 2008 2-< )8 ‎c(axd) =(i+ .-i- j+‏ 60- 551 + 25 +ز5) 89 +9 +نع)< (2«۵)ظ 

صفحه 34:
« .., فصل1 بردارها ‎ee‏ ‏تمرین۲-۴-۱صفحه ۲۸ کتاب درسی :نشان دهید (AxB).(AxB) =|4"|B? - (AB? (AxB.(AXB)- =|4'|8°- ‏“طم‎ [oh 4 sta =|4 af ‏معد سن‎ 2۵ ‏هم‎ 

صفحه 35:
ad Als | by تمرین۶-۴-۱صفحه۲۸کتاب درسی :اگر ‎obs CaS SD‏ ازسه بردار ناهم صفحه(ونامتعامد)زیر باشد ‎ae (EZ meee‏ ضرایب 8و0و)ازنسبت ضربهای سه گانه نرده ‎al‏ 3 وغیره حل: ‎(@A+ bB+cO).(BxC) — aA(BxC) =e‏ _ 8 )12 ‎A(BxQ) A(BxQ) A(BxO)‏ b= D(AxCc) ae D(AxB) B(AxXQ)’~ C(AxB) 

صفحه 36:
NY ۳ Aceh میدان های نرده ای وبرداری لگر تلبع نرده ای (۳۰2 ,۳6۴ در نقطه (۰2 ۲2۴۰ ازفضا مقداری معین داشته باشد. گوییم هيدان نرده ای 4 درتن نقطه تعردف شده است. در هو نقطه مقدار ۷ مستقل از اتعاب دستگاه مختصات است. میدان برداری: وقتی تابع ‎PRY Ass‏ درهرنقطه ‎wots EZ)‏ تعریف شده باشدمی توان گفت که آن ناحیه یک میدان برداری است. نمایش میدان برداٍری در دستگاه مختصات دکارتی: ۳), 22 + ‏,بر‎ 20+ OLY DE ‏خطوط میدان برداری:‎ هرمنحنی که بردار مماس درهر نقطه آن.درجهت ‎le‏ باشدراخط میدان گویند. <p 

صفحه 37:
RY شیب(گرادیان) میدان نرده ای نسبت تغییرات میدان نرده ای 7 رادر یک جهت معین.مشتق جهتي آن میدان حی گویند.اگر تغییرمکان.بی نهلیت کوچک درجهت مورد نیازباشد لَن, مشتق جهتی است. ‎cZ, dY, dX‏ مشتق جهتی ‎the. OP ae pg iat‏ 3 _ باشد داریم: 2 OX & ay as” OZ ds شیب(گرادیان)میدان نرده ای: برداری است که اندازه آن بیشینه مشتق جهتی درنقطه مورد نظر وجهت ّن. جهتی است که مشتق جهتی درآن راستا بیشینه باشد. 

صفحه 38:
RY شیب نرده ای‌با گرادیان راب۷ (عملگر دل)با 9۳ نشان می دهيم وجیتی درد عمود برسطح تراز 3 که از نقطه مورد نظر می گذرد. عملگر دل (گرادیان)درمختصات دکارتی: aie ه ‏وج‎ a 209 . 30D . 20m ‏جر و ا رای ره ار‎ ۷۷ ‏جرج ۷ج( جرج 1 ۷۲ « وج اج(‎ برداریکه عمود برسطح تراز رویه ای درجهت افزایش ‎Ve‏ ‏۳۹ a= 

صفحه 39:
مثال۲۵-۱صفحه ۴ ۲کتاب درسی : برداريكه اى رابيابيد كه برسطح تراز (20050[2 -2[2 + 36ج كله اى به مختصات عمود ودر جهت آگزایش باشد. حل: می دانیم برداری که عمود بر سطح تراز درنقطه )3-20( باشد برابر است با poe = OU ee ۳ ‏گر‎ Ox = a y OZ =42x- cos y2)]+ {22+ xzsin( y2)] + H2y+ xysin( 9] =5i- 4k : ‏بتابراین برداری یکه مورد سوال در این نقطه به قرار زیر خواهد بود‎ 3 ‏_م‎ ۷۸ _5- 4 1 2 Ja 

صفحه 40:
RY مثال۲۶-۱صفحه ۵ کتاب درسی : 1 + زور ‎gles‏ نقطه (2 ,۵6,۷ يك محيط در زمان + به صو رق كله +224 تود - 0ت ب »002 فرض شده است.آهنگ تغییر دما نسبت به زمان ذره ای را که با سرعت ‎V=i+ j- 2k‏ می گذرد.محاسبه کنید. متغییرهای فضا را درطول مسیر ذره می توان توابعی از زمان در نظر گرفت و بتابراین 4 تابع مركبى از زمان است. با مسشتق كيرى نسبت به زمان خواهيم داشت ۲ _ a ‏که درآن کر +۷ پردر سرعت) است . پس با مشتق گیری ودر نظر گرفتن‎ 221 172 )26 ,چنین نتیجه می شود : 

صفحه 41:
ادامه مثال۲۶-۱: op ot Vip =i) + toos xt)+ 2, ay 2f) + 2hyt =91-+12 =2yz+ xoos xt=8 اکنون آهنگ تغیردما را ازرابطه(۳۳-۱)به دست می آوریم 29= رد1 +ن9).وز2 -ز جن) +و- 4 0 

صفحه 42:
... فصل1 بردارها مثال(-۲۷صفحه ۳۵کتاب درسی : اگر 2 شت م قر + )> 2 إل قاد باشدمطلوب است ‎VS cau‏ 3.5 )423 ب)اندازه كراديان 5يعنى ۷۹ در ‎suis‏ )12,3 ج) کسینوس های هادی ‎Vs‏ در نقطه ‎G29)‏ حل: ‎joe ee‏ + و۲7 ‎ex “dy 2 teal‏ بت جرج ورد 21-3 ‎Sate p21 Saye ye‏ = = عل 4 -ز ۶ 32047 -ز ۶ [ز3 - 9+ 26+51 _ 3 ‏ب‎ ‎Vg = “ig ۷ 1 we <> ‏مت‎ 

صفحه 43:
ادامه مثال ۲۷-۱ & WOOF cosa = ۷۹ Ws) cos = = ۷۹ Ws), cosy = ۷۹ 

صفحه 44:
: ‏مثال۲۸-۱صفحه ۳۶ کتاب درسی‎ eS dale VED wa fo =f + +Z) oy vata =i j com +t ۱ aft) af ‏عرق‎ wre 82 ‏داريم‎ ‎a 2 ‏اكنون از دستور زنجيرى مشتق كيرى استفاده مى كنيم‎ ‏عت س2 د مم2 ع تر + +غرت قرب ب نر + تدم‎ 1 _, of) _xdf ox = rdr _, of) _y ae 1 ldf rdf _~df eee = VE(r) =(ixt jy+ ‏ها‎ - ae ak i. ofl 24 62 . ۳ ۳ > 

صفحه 45:
تمرین۱-۶-۱صفحه ۳۶ کتاب درسی : ‎Baa‏ زیر رابه دست آورید: ‎Gre) sil‏ ‏مر ا ‎gay) (Vee Zhe‏ ۱ ‎ ‎ ‎Ve =cos(¥) sinh( y)7 - sin(9 cosh() 7 ‎. * , & 5. * 4 ‏بل‎ ‎Ve “Tar Py B+ Vy RV) eV a ‎4 

صفحه 46:
تمرین۲-۶-۱صفحه ۳۶ کتاب درسی : درصورتی ‎fy Gas‏ دوتابع مشتق پذیر برحسب و لاو2 باشد.ثابت کنید: ان 9۷۶ +۶۷9 < (۷)۵ V( £") =nff 'V 7 حل: ‎nul‏ ‏- غ84 ‎OUD) >, 0) >, OUD) p_( OF‏ ۷۶ +2۷9 < ... + م و -] لسار 0 ‎eat‏ را ‎Ok‏ الك ا ا كين ‎OZ ‎al me Be ey ‎ 

صفحه 47:
RY تمرین۳-۶-۱صفحه ۳۷ کتاب درسی : دییک میدان دملیی به صورت *329 - 1-2 کرمادر جهت بیشینه کاهش دمای ""جریان می یابد.این جهت را درنقطه(2:1) به دست آورید . 7 207 اك لدي + در ‎oy‏ ~ الى ‎yu _ 9-12)‏ == J J81+144 VI= (3x - 3yY)i- 69 -9- 12 lay 

صفحه 48:
ساس چرس فصل( بردارها اد 0 تمرین۴-۶-۱صفحه ۳۷ کتاب درسی : اگرپتانسیل بین دواستوانه هم محور برحسب ولت به صورت (+110+301008- (ز ید۲ باشد.جهت میدان الکتریکی رادرنقطه ( ۲2۰ به دست آورید. حل: 2 بو 2 ‎ee +5 =‏ ان ور ‎7120; - 300 + acl ‎ae‏ هد ‎ 

صفحه 49:
تمرین۶-۶-۱صفحه ۳۷کتاب درسی : اگرتابع برداری ۴بستگی به فضای 661/2 وزمان#داشته باشد نشان دهید اشارهتر ک مثال۲۶-۱. ‎OF‏ OF =(drN) F+— at iy) at حل: ‎pe (aE he”‏ اه ا لك ان كك رن ‎Ox oy OZ ot ot‏ ‎ ‎ 

صفحه 50:
WG 7 1 by تمرین۷-۶-۱صفحه ۳۷ کتاب درسی : بردار یکه عمود برمنحنی مفروض در نقطه ] رابدست آورید P:(6,8), + ¥ =100 ‏اف‎ P:(34,5),z=/¥+¥ © ‏حل:‎ wal Aaa ‏اي ل ل‎ 5 2 Vo =2xi + 2y =127 +16. ‏سس کی‎ ۷ ۳ 006-00-6 9 3 ۷ 6 3 0 Veo _ 3 : 4+ 5 ‏م‎ ‎- ko VP =. Lois yey ae Vo 425) 264) 25 a 3 Ves > ۳ 

صفحه 51:
تمرین۸-۶-۱صفحه ۳۷کتاب درسی : و - اگر 4 کت باشد.ثایت كنيد 2 ‎Vo(s)‏ حل: é Sars Vel&) ‏كم‎ A=ai+t bj+ ck ‏د جر + رت در‎ § =axt by+ z= 9S) =9(axt by ‏هك‎ ‎09 +, Op >, Oy Vo =2P 34 OP 7, OP ۶ ox" ay? oz - ‏بز گر + 26و‎ Of k= Ak 2 og og ae 

صفحه 52:
RY as pe Hci nb ‏انتگرال برداری‎ ‏انتگرال خطی یک بردار:‎ -۱ ‎[AM sit oy, Ast‏ عبارتست از انتگرال خطی آن روی منحنی از نقطه ‏ا ‎Chis‏ ا لش ۰ و“ ازآنجا ىد لك ل ‎32 ‏ضربی نرده ای است.حاصل انتگرال نیز نرده ای خواهد بود. ‏انتگرال خطی یک بردارنه تهلبهنقاط 3 وق بستگی دارد.بلک‌یه مسی انتگرال گیری(منجنی ‏ )نیز وابسته است.درصورتی که حاصل انتگرال.به شکل مسیر بستگی نداشته باشد . درلین صورت میدان برداری مورد نظر را پایستار می گویند وانتگرال آن روی هر پربند بسته صفر می شود. ‎ra < 05 v‏ در نتسه پایستار است. ‏۲-انتگرال سطحی یک بردار روی سطح : ‏انتگرال سطحی بردارگ رو سطحگ را اینگونه تیم سک جر سطح از سطح © بوده. 4# بردار یکه عمود برسطح گ ‏ وجهت آن به سمت خارج ‎٩8‏ سطح بسته می باشد. ‎ ‎۱۳ ‎ ‎ 

صفحه 53:
RY ** حاصل انتكرال سطحى به شکل صفحه قبل یک کمیت نرده ای می باشد. ۳- انتگرال حجمی بردار 4 : متمد < ریک بردار است و/1 المان(عنصر) حجم از حجم 7 می باشد. ** حاصل انتگرال حجمی یک بردار کمیتی برداری است . 

صفحه 54:
فصل1 برارها مثال۲۲-۱صفحه!۴ کتاب درسی : دا درناحیه 0 < 2 ,00< 7 ,00 < 6 باشد.مطلوب است محاسبه 450017 ]] ‎[Fav= ifF.dV+ j [F,dV+ kfFdv‏ مهم ‎1١"‏ "أ ] هدم ]مدر سور تم زج را ‎Ee‏ ]3 0 ريد - مرو | ۲ عد سيمل ‎{#ar=-‏ ‏ع 27 دور ۳-3 = 

صفحه 55:
مج مثال۲۳-۱صفحه ۴۲ کتاب درسی : بارالکتریکی تقطه ای 6 درمبداء مختصات فرض می شود. میانگین حجمی میدان الكتريكى كن را در حجم كره اى.به شعاع 1 که مرکز آن روی بار فوق قرار دارد حساب کنید. yy 2_1 حل: بنابه تعريف 200 ] ربح تاىىه درآن لا حجم كره است.مولفه هاى عبارتنداز 

صفحه 56:
2 ادامه مثال۳۳-۱: q_rsiné cosp _ sind cosp 4, ‏تم‎ Anegr” 2۶ _ ¢ _— 050 a 00560 - Po Are, Axe yr” ‎rsiné sing _ — gsine sing‏ 20002 جر ‎Ane, Frey 3 ۳‏ ۲ ‎ededpdr‏ ._ مدمه 0 و ‎ae‏ ‎Are, Pr a‏ دوعس ‎2 ] ‏مه متف‎ ]" cosy dy =O ‎ ‎aoe 

صفحه 57:
تمرین۱-۷-۱صفحه ۴۳ کتاب درسی : ‎rer yas.‏ زان دست زورب حل: (Jude =[fxax+ + pares FZ) =0 

صفحه 58:
ساس چرس فصل( بردارها اد ‎as eID‏ ریم تشر تمرین۲-۷-۱صفحه ۴۳ کتاب درسی : کار انجام یافته از نف( ننقه(2 63 حاصل نیروی (3 +90 +( عدانت ۳ را دست آورید.مسیر انتخابی خود را دقیقا مشخص کنید وتوجه داشته ‎ee‏ ‏پایستار نیست. حل: ‎B23‏ ay a 

صفحه 59:
ادامه تمرین۲-۷-۱صفحه ۴۳ کتاب درسی : We Joe yae+ fox nave ‏عم[‎ yaer fox doy w [= | ‏امومع‎ 9-2] =12j 2 W = [Rar = free JEav+ [Rader [Edy = fOr peer f(x nays fle yd ] ) ‏جع‎ nay ز- 0 + |» — عل جهط ‎JEdr+‏ ۳ w Ww y W=0+| xy+—| +0+ ۳ 2 ‏ا ا‎ 2 

صفحه 60:
RY 7 ریم ثم تمرین۳-۷-۱صفحه ۴۳ کتاب درسی : 1 مقتار کل و رزو سي متب به فلن وح ل 99 0 داشته و درناحیه یک هشتم اول دستگاه مختصات باشد به دست آورید. حل: ابتدا مقدار انتگرال را برای سطوح مجاور نقطه (۰.۰.۵) محاسبه می کنیم .با لین فرض که راس اصلی مکعب روی این نقطه و بقیه آن بالای اين نقطه قرار دارد : 0= ( .20 +ژر +0 ) و ‎a‏ 5 = ۳ 1 ‎j) =0‏ )طعت ‎frrfida = 4 (xi+0j+ A‏ 3 5 5 2 2 = 1 -- وأ .500 +ژر +قد) + 3 

صفحه 61:
We برای سه وجه دیگر مکعب خواهیم داشت : 3 ‏نار‎ a+ ‏فده للد‎ -+ 4 frida = 4 (xt +1j+ ai) ‏)هط‎ ed + fl at+ 7+ 6h) cei ly =2 a Sil wl = 4 friida=0+0- +5521 

صفحه 62:
تمرین۴-۷-۱صفحه ۴۳ کتاب درس ‎[FO dr;‏ رادر حالت های زیر محاسبه کنید ‎F=xyit(y- 9 ju‏ ویدار رود به OD 1500 ws er=ttP yj, Foe )i- eopS)j ‏ب‎ ‏حل:‎ الف ری یو سای ‎ae ve dy: zm | ۳"‏ مه ككل مم)] -عدممر - ‎dr=dd- oj‏ cr = cd + 5 =-x 3 1 1 10 ‏و +3 +2< اجه هت ] + ار‎ 1=In3+— دی 

صفحه 63:
. فصل1 بردارها ادامه تمرین۴-۷-۱صفحه ۴۳ کتاب درسی : یا 135 pe 1sx<3 > ‏كد مضر] عفضط‎ 24 dy c: XY=1= dr=xdy+ ydx f(r =i+(x- 2+ 

صفحه 64:
wWy wh x=t> dx=dt 3 32 2 y=P > > << ۳ ۵ ‏ره‎ 0 > >1 ادامه تمرین۴-۷-۱صفحه ۴۳ کتاب درسی : , ب از( )0( گنه - كرتعم د زم 8 ‏سک هگ - هر‎ - |] 9 es panes 

صفحه 65:
07 (2 + جع 1 کنید.درصورتیکه ۷6 یک هشتم مثبت کره توپر 1< 2۶ + + باشد. حل -ط 0 2 بر جیر) ۲ = ل 0 we 1 ee {sin? g[sind - 01 Ee = تمرین۵-۷-۱صفحه ۴۳ کتاب درسی :مقدار 3 dee ae ۳ lees 3 fs’edp+ fsinpoosedy =Ho- 5 2600+ fe 21 <> 

صفحه 66:
واگرایی(دیورژانس) ديوزانس يك ابراتور بردارى است كه بزركى ميدان بردارى جاه يا جشمه را در یک جهت معین اندازه كيرى مى كند.حاصل عمل ابراتور ديورزانس در يك كميت بردارى اسكالر خواهد بود. ee s ‏یک بردار مطابق انتظار . به ما یک کمیت اسکالر خواهد‎ ‏أت ست دراو متيس ولق جم اسه لي شود‎ ie ‏و میدان الکتریکی ۰ است..‎ oe ‏همچنین در الکترومفناطیس . دیورژانس‎ ** ‏و سا ا بارهم شون وا سا‎ cm ‏یی سل ی ون‎ ‏ديورزلنس نشان دهنده جكللى حجمى شار خروجى از ليا ورودى بد)بيك حجم بسيار كوجك در‎ © hep 

صفحه 67:
مج واگرایی(دیورژانس)یک تابع برداری واگرایی بردارگگ راکه یک مشتق برداری است. بانماد ۲۳ یا 4 نمایش می دهیم. تعریف واگولیی: 1 ات ‎CAN srl sls ee V-A= - Aftda‏ عبارت است از حد انتگرال سطحی به ازای ولحي راز وقتى ا درون سطح " به صفر میل کند. V.A=0, در صورتی که داشته باشیم: .میدان برداری 3 راعيدان سيطيله إى ل کر واگرایی در مختصات دکارتی: ۲-94 + 9 + 4 Ox Oy 2 

صفحه 68:
NY ANS ‏اوم اسن لمر‎ تمرين4-1-١صفحهعكتاب‏ درسى : واكرايى توابع بردارى زير را به دست آوريد ‎ixe’- jsinxy+ kz.)‏ ioos xcosh y+ jsin xsinh y G+ J/sin xy- ZOOS XY ‏ب.‎ حل: ‎Sa 8 be‏ ار اک مس ریم رک ی دنس مان بات ‎٩ =e ea ae‏ ندست می آید پس داریم: ‏الف: ‎xcos xy+1‏ - و ‎- 2sin xcosh y 5 ‎i OOS Xy+ XOOS Xy- COS XV 3 ve... 

صفحه 69:
تمرین۲-۸-۱صفحه ۴۶ کتاب درسی : اتحاد بردای زیر راثابت کنید 6۷(5 +2۷.5 )۲۷ ‎GE ssa‏ مشتق پذیر ند. حل: ‎E=Ej+ Ej+ Ek‏ ب ‎pe Ek‏ + رظب + نرظ وح ل و ‎ED)‏ ري رات م ‎ne)‏ و ۲9 5( .. + گم + 96 - د[ 1 

صفحه 70:
NY تمرین۳-۸-۱صفحه ۴۶ کتاب درسی با استفاده ازاتحاد بردایتمرین قبلی,واگرایی تابع برداری زیر رامحاسبه کنید ‎oe 22‏ )در ++( ا ل 0 ‎oe‏ 3 ‎ B=(xit y+‏ 2(2 +۶ +)<ب 3 و5 3 رج جر مق (غر |3 ‎٠‏ رض مغر غم ‎Vig =WEt Wo). B=(e + 9+ 2)7@- SOx‏ gene 323 he. <P 

صفحه 71:
تمرین ۷-۸-۱ - میدان الکترواستاتیک بار نقطه یی برابر است با a E= ‏حم‎ ‎2 واگرایی را بدست آورید ‎Teel 1‏ = ا) - ارجا << ۳ 9 كت کب ۳ كك = 0 2151 821 2167 [1+1+1-3- دزد[ دمو ‎os - 3 -‏ ‎Boner‏ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 72:
نکته : می توان نشان داد (۲) که اگر 26 + + لا < 1 باشد در آنصورت : عق اه مر( )۷ 2۳:7 - Kat ee PAL) Foose V.F=V(1°r) ‏و‎ <- 33 +33 -0 

صفحه 73:
تمرین۸-۸-۱صفحه ۴۷کتاب درسی : ثابت کنید Vir +۰ ‏حل:‎ =3r"!4(n- Ir? ’Vrr =37"14(n- Dr??(y =(n+ 2)77! 

صفحه 74:
قضیه واگرایی(گاوس) انتگرال واگرلییبیک بردار روی حجم ۲ برابرانتگرال سطحی مولفه عمود برسطلح آن بردار روی سطح بسته مرزی حجم " است: [V-AdV =f Aftda 

صفحه 75:
مثال۳۷-۱صفحه ۴۸ کتاب درسی : ‎a‏ میدان بار الکتریکی نقطه ای٩)‏ که درمبدا مختصات قرار دارد با عبارت ۲۳۳ مشخص می شوه.ثابت کنید لل اا درآن ۷ هر حجم دلخواه است كه بار را دربر می گیرد. ۱ حل: نا برقشی اا جایگزینکنیم.حی رسیم يتم 1 __ ۱0050 ما ‎mou a‏ ‎Ace‏ اس ل وك لآ 4 = 4ك - مم >4 ane, «Are, £o 0 ‏تصوير عنصر سطح 3©روى صفحه‎ 9, < 020050 . ‏كه درن . مطلبق شكل صفحه بعد‎ 1 ‏است.‎ AQ عمود بر۲ و 2 برابر زاویه فضایی 

صفحه 76:
إن سس شکل۲۱-۱مثال ۳۷-۱ 

صفحه 77:
زاویه فضایی eee eae یکای سنجش ی ‎at eae‏ ی شب تم پا یک است. تست سيت dQ =sino db dp + ‏بيه4- ب مسر ده‎ a 

صفحه 78:
وت مثال۳۹-۱صفحه ۴۹ کتاب درسی : باتوجه به اتحاد برداری تمرین۲-۸-1بخش قبل اگرت میدان الکتریکی و 7 پتانسیل الکترواستاتیکی نظیر آن باشد نشان هيد ۵ کل ‎fevav=e,‏ ‏2 - ,- می‌دنیم 17#-- 8 ‎VE=2‏ ‏اما از اتحاد مزبور داریم ‎V.@ 2) =V¢).E+ W.E> W.E=VAGE)- (Vo).E‏ ‎eg .E=e)(V.~B)- (Ve).B)‏ > م۷ هم ارهظ نام مع د اولین انتگرال سمت راست برابرصفر است. حال اگر 5 < م۷ - را در انتكرال دوم 3 جام عق 2 ] وعم ووم] 1 

صفحه 79:
... فصل1 بردارها تمرین۱-۹-۱صفحه ۴۹ کتاب درسی :مقدار ‎[Fenda‏ ,\ بااستفاده ازقضیه واگرایی برای حالتهای زیر محاسبه کنید O<z<y, O<ysl 0<x<6 wus, F=10yi+ Zk ‏الف‎ |2 ‏جک‎ ¥+¥<a os, F=ei- yej+3ck ‏ب‎ zsh, Piya, F=sn x Altsn' ok حل: V.F=V.l0yi+ 2h =32 = مهت ] مسغد] | ] سمممدضمر سسصم -صع] مدفسهي] سهوم] ]- 

صفحه 80:
> فصل1 بردارها ادامه تمرین۱-۹-۱صفحه۴۹ کتاب درسی : 33+ -۵- لو + زور -۵ ]۷ بمب روم »3 ۵-3۷ ۲۳۲-۵ > ] it [Finda =f fot 2sin xoos x- (1+ sin? Ndi 

صفحه 81:
تمرین۲-۹-۱صفحه۵۰کتاب دربزی : شان دهیه ‏ الى ل ل هب شده است. حل: ‎ete oe 1 2 oS‏ ال 7ح عق] 2ح لوال -- وق ‎om‏ ‏ان 

صفحه 82:
تمرین۴-۹-۱صفحه۵۰کتاب درسی : ‎Vice‏ را روی سطح خمیده نیمکره 9< 27 +[ + و 220 در صورتی که ‎ ‏ع (1 22 )+ زد + ردم[ ‏حل: 1-2 ج0 2 دص لعن لدبرو ‎Ox oy 02‏ ‎[Vice = (V)av =2 av =2 fx? sinodydidr=49(3° mcd daa ‏چ> 0>0 -2<0 ‎r=3— 0<r<3‏ 2 > و > 0 جب ‎ 

صفحه 83:
* در ریاضیات برداری . کرل عملگری برداری است که چرخشبی نهلیت کوچک یک میدان. برداری سه بعدی را در هر تقطه از فضا مشخص می کند . * در هر نقطه از میدان کرل توسط ییک بردار مشخص می شود که جهت کرل در راستای محور دوران است و بر اساس قاعده دست راست بدست می آید و اندازه کرل شدت چرخش را مشخص می کند . ** در بیان فیزیکی تاو پانگر چرخشیک شاره‌یا سیال در فضا یا سطح است. یعنی گر یک چرخ پره دار را در منطقه ی با او مثبت بگذاریم شروع به چرخش پادساعتگرد می کند. (anon Sin ceo ete Sete ‏چر از بصورت‎ os . ) ‏گرادیان یک پتانسیل اسکالر نوشت ( همانند میدان الکتریکی‎ کرل یا تاو 

صفحه 84:


صفحه 85:
. فصل1 بردارها تاو(کرل)یک میدان برداری تاو یک بردارلگ را به صورت < ۷ يا 2211© نمايش می دهیم. تعریف تاو: ‎VxA= im, ae‏ عتی تاوعی ردار عمارت اس ده ‎Aa SCPE yee eres ay ipa oer gti ee‏ ‎avs, A‏ به جم ‎VM‏ ببه سمت صفر ميل مى ‎A VxA=0 Aas:‏ ** در حالتی که شود. میدان برداری .را ناتاوی(غیر چرخشی) گویند. RY 

صفحه 86:
i ax Ay ox ۲ 02 ax I ۲۸-3۵ Ac Oey, PA. Ang | © oY 2 14 0 ee 

صفحه 87:
NY ... فصل1 بردارها ‎oe‏ مثال۴۰-۱صفحه ۵۲ کتاب درسی : بردار ‎A=3xi+ ¥j+ (8+ Yk‏ مفروض است.تاوآن را محاسبه کنید. حل: 0-2-۰ -0) جژهر2 -0) +0۵ ۷۹۵۵ 

صفحه 88:
مثال۴۱-۱صفحه ۵۲ کتاب درسی : ثابت کنید Vxr=0 ‏حل:‎ 02 + ‏ار‎ ELS xe xr=i Vxr oy 0z OX Ox oy 05 <> 

صفحه 89:
مثال۴۲-۱ صفحه ۵۲ کتاب درسی : الف:اتحاد برداری زیرراثابت کنید 17 »< 6۲۷ +< ۷ )۱۷۹ ب:باتوجهبه اتحاد برداری بالا نشان دهید ‎she fet ghee VAAMA=0‏ Be ee ae ‏حل:‎ ‎6 ‎Vx@F) ABO ‏الف: فرض می کنیم 3 2 ارم وج‎ ‏جرج‎ a OF a ‏پنابراین داریم‎ = ‏ری بر 9 ند‎ ee 2 9 ‏رم رم‎ OF, a ek ed 2 sei ۳ 

صفحه 90:
et ‏مى دانيم پس با استفاده از انحادبند لف داریم‎ Vor fr) =Vir flxr+ FOV xr اما ازمثال۴۱-۱می دانيم (0< ۷ . پس به آسانی هی رسیم به 0ح رصم سالگ - 2 ۶۵ ۲۹ زیرا 0 >< است 

صفحه 91:
مثال۴۴-۱صفحه ۵۴ کتاب درسی اگرالا ,۷ ناتاوی باشند نشان دهید >« سیم لوله ای است. حل: می دانیم V.(AxB) = B(VXxA)- A(VxB) VAUXV) =V.(V xU)- ULV XV) ‏ولی‌می دانیم لاو لا ناناوی نند يعني 0 ۷۷ ۷۳7 هس نتیجه می‎ گیریم که 1 V.(UxV) =O یتح 

صفحه 92:
مثال۴۵-۱صفحه ۵۴ کتاب درسی : گشتاودوقطبی الکتریکی درمبدا مختصات ولقع است. لين دوقطبی پتانسیل الکتریکی زیررا درمحل۲ به وجود می آورد ‎Pr‏ ۳ came ‏را در" به دست آوريد.‎ E=-Vo ‏میدان الکتریکی‎ 3 ‏حل:‎ ‏داریم‎ 7 pr ‏بافرض‎ E=-Vo= wae 3 0 B= 0 ‏ها‎ x plana Vin] <p> 

صفحه 93:
تمرین۱-۱۰-۱صفحه ۴ ۵کتاب درسی : تاو توابع برداری زیر پا بدست آورید الف 2۵ + ژر +قد) 27(2 + +عد) ن. ‎ev(i+ j+k‏ .رنه +ز(۶ر + ‎In‏ Vx(®F) =0(VxF)+(VQ)xF w+ P42)? Fax ye ak ۲ ‏ت(ظ2 +غز + غر)- ۷۵0 ج‎ )0(+ )- 3-2 ar ‏ود‎ -0 #۶( + مر + تير) 4 ‎he.‏ 

صفحه 94:
ادامه تمرین۱-۱۰-۱صفحه ۴ ۵کتاب درسی (ز + ژد مود + مود + وین +(0) ۵۳ (ه «ژ +6 )تسه ۵ دز + د فود + زود + سر ) 7 - ‎(yz DB)‏ + زر جر حود) + أذود -جح)) © - 3 

صفحه 95:
)صل 2 رط 1 ‎KS arctan) - Inte +)‏ = ‎x x Oy‏ ay 2y -3y X+Y x+y 

صفحه 96:
تمرین۲-۱۰-۱صفحه ۵۵ کتاب درسی : اگر علز +23 +221 12 ,2 +12 +۷02 2232 باشدمطلوبست محاسبه الف: 796۷۲ پ: ۲۷۲۷ ر 1۷۷ ج. ‎Vx(f)‏ , ۲۷۸ حل: wa (agi+ yaj+ xl) > Vd ‏قد + ك‎ + yh) =( 297+ y+ cab <)2+ ‏(+ز‎ ‎=Ay+ Mita y+ D]+ Yor Dk با استفاده از قاعده بک-کب می توان ثابت AB)- ( AV) <P 

صفحه 97:
wy 2 ۱ ‏ات ی‎ ۳۹ ۳ Wy 2 mom ‏هر دور‎ = ays ae ve a) = wo ye ‏تج‎ 

صفحه 98:
NY ۳ Aceh تمرین۴-۱۰-۱صفحه ۵۵ کتاب درسی : اگر ناتاوی باشد نشان ‎AX Eos‏ حل: چون ۸۵ تاتو است پس کرل آن صفر است. می دانیم کرل بردارگ هم صفر است. اگر کرل عبارت فوق صفر باشد.سیم لوله ای خواهد بود: سیم اوله ای است. V.(Axr) =r(V xA)- A(V xr) =0 

صفحه 99:
> تمرین۵-۱۰-۱صفحه ۵۵ کتاب درسی : درمکانیک کوانتومی می دانیم عملگرهای تکانه زاویه ای به صورت Bei ey) ‏زک ود سور رک و‎ i= ‏تحت‎ Y=) y= ia =e hea Hie a) ل یعنی للع بل 557 ‏رك‎ re ee Ny ey ‏ا اس لك الم‎ XD Cae ad Vag 7a) oy ‏یر هر قر تقر فور فرك‎ ‏جروجو ل رهوج 22 رح‎ 2 618 2 2 0 yO 0 3 Se Oe Ving ae 

صفحه 100:
RY تمرین۸-۱۰-۱صفحه ۵۵ کتاب درسی(سوال|تشریحی نیمسال اول ۸۹-۸۸) : سرعت شارش دوبعدی شاره ای به صورت زیر است ۲۷ ‏زر نان‎ - JUx y) اگرشارش تراکم ناپذیر وشارش ناتاوی باشد نشان دهید. ‎au 6۷ © ou | ov? a‏ ax 6۲ ۲ 2۲ ox (17170 ۰۰ ‏دورابطه با را شرایط کوشی - ریمان می نامند.‎ ‏حل:با توجه به شرط تراكم نابذيرى 3 وشرط نانوی ۳17-0 (ز‎ ‏داريم:‎ ۷ 6 2 8 بو 

صفحه 101:
RY قضیه استوکس ‎c A 7‏ 1 3 انتگرال خطى بردار * “زوى ير بند ‎ata‏ برابر است با انتكرال مولفه قائم تاو آن بردار روى هر سطحى كه آن تادر بر می گیرد: ‎va\well = x<A.nda‏ ‎yaad =v‏ 5 كه منحنی بسته ای است که را در ير مى ميرد 

صفحه 102:
RY مثال۴۶-۱صفحه ۵۷ کتاب درسی :اگر ‎F=yi- apt yk‏ ناشد مطلویست محاسیه ‎SV xFds‏ 10 . که5 بخشی از سمي[ أل[ + *2)3- 2 در 2ك 2 است. حل: با استفاده از قضیه استوکس داریم ‎SV x<Fds =[JF.dl =[fl ydx- xdy)‏ 1 محل تقاطع سهمیگون (+*00-صنحه ‎SHG‏ دایره است که معادله آن 2 حاير مى باشد . بس براى كسير به روش پارامتری خواهیم داشت : 1 cost > de =e siné)ade| 1 ot y= pSint— dy = oostet 

صفحه 103:
ادامه حل مثال صفحه ۵۷ [VxFds 3 ]” ‏نصة‎ sintatt)- cost(costat) 23 ‏بوم‎ 57 = WVxFas= 3 f° (sin? t+ 00s" tat =- 5 [dt =- 5 

صفحه 104:
مثال۴۸-۱صفحه ۵۷ کتاب درسی : بااستفاده ازقضیه استوکس مقدار ‎rar‏ رامحاسبه کنید. حل: از قضیه استوكس ذاريم م۲۷ ع که ][] وبا درنظر گرفتن 0 ۷ ازمثال۴۱-۱نتیجه زیر به دست می آید. ۱۳ 

صفحه 105:
تمرین۳-۱۱-۱صفحه ‎۵٩‏ کتاب درسی : اگر 206 + زر - ودح 17 پاش مطلویست ‎JV XFS ates‏ که5 بخشی از سح (2[ + *) جد 2 در رد ۶ اشد [VxFas =Fa -][| ‏66ج‎ - 720۲ + 260 پس 5 همواره بخشی از سطح یک دایره است. 0 -- عله + 210050 ۲ 1 1 نع ‎Oe a‏ ال ی ور 2 3 ١ ae ‎pe =0‏ -- 50(084مه 0 تصفه - 0 نص 0ومه -) 2 ‎[ood yyy‏ = 3 0 1 ‏ويديف ‎ 

صفحه 106:
تمرین۵-۱۱-۱صفحه ‎۵٩‏ کتاب درسی : للف: نشان دهید مقدار و۱۳9 دوبرابر مساحت سطح تخت محصور در پربند انتگرال گیری است. ‏ ر ۲ ب: پیرامون بیضی با 951300 + 7120050 7 توصیف می شود.با استفاده از بند الف نشان دهید مساحت بیضی برابر با 2 ۳است. حل: الف: ك2 - شرت »1 (رم2 ام مه - چم []- ۵ [] 

صفحه 107:
: ‏کتاب درسی‎ ۵٩ ‏ادامه تمرین۵-۱۱-۱صفحه‎ 5 ١ Ne sty r =iacos6 + jbsino ‏اف‎ ‎2] 220050 - 86 -- 0 ‏0ب - 0صتعط- بر‎ ‏ژ مه‎ rxdr=|acosd bsin@ 0| =aboos’@ + absin?@ =ab -asind bceosd 0 = F(ab) do =2rab ES, § <nab x 

صفحه 108:
تمرین۶-۱1-۱صفحه ۵۹ کتاب درسی : با استفاده ازقضیه استوکس یاقضیه واگرلیی هریک ازانتگرال های رلبه آسان ترین راه ممکن حساب کنید. ال راروی سطح بسته مکمب مستطیلی معدودبه 225و 220 و ۶-9 +ثر است را به ازای عل (مهد + ع )+ غير - ‎=2xyi‏ 2 ۲ 2 ۷ ts 5 W =2y- 2y+1=1 ‏رز‎ aaa ey ] foci = si fee dycix =5 ['2V9- x7de =10 ‏دول‎ x =3c0st— dx =- 3sintat 

صفحه 109:
الک /< ۷] که 5 بخشى از سطح "1۳ - 17 -24 2 است که بالای صفحه )36,9( قرار دارد. در صورتی که عرش - زر + زتر- ۷ VV fds = JV al - ‏حل: 7 زر - ژر 21 أ‎ x =2oost—> dk =- 2sintdt y =2sint dy =2costdt z=0- d&=0 = i Ziext)- y*k)(de+ ay) =[fz4de+ xtdy— - ‏بز مل‎ - [" 800s? tot =r 

صفحه 110:
RY ۳ ریم تشر سایر عبارتهای شام ل ۷ عملگر لاپلاسین(لاپلاسی).واگرایی شیب یک تابع اسکالر استیعنی: 2 ۰۷/۷ ۱۷ عملگر لاپلاسی در مختصات دکارتی: 62 ay , Pp = + + ۳ ay? * oz? به کمک تعریف ضرب بوداری می توان ثابت کرد که تاوشیب یک تابع نوده ای دلخوا(/۲< ۷) هار ‎hie‏ م درنتیجه شیب یک تابع .ناتاوی (غیر چرخشی) است. VxVe =0 = 

صفحه 111:
برخی از کاربرد های لاپلاسی در فیزیک معادله لاپلاس معادله موج معادله پخش يا معادله رسانش گرمایی می توان نشان دادعه: ‎VV XV =O)‏ .یعنی تاوییک تابع برداری همواره سیملوله ای است. با استفاده از دستور بک- کب می توان نشان داد که: 3 VxVx<A =V(V.A)- ۸ 

صفحه 112:
فصل1 بردارها چند رابطه مهم در ‎Aa‏ متوالى: ۱۷)۸۷( <)۷۸(۲ + ۲ VEG) =(FV)G + Fx(VxG) + (GV)F+GX(VXF) V.@F) =(Vo)F+QV.F V.(FxG) =(VXF).G - (VxG).F Vx(~F) =(Vo) XF + gVXF Vx(F XG) =(V.G)F- (V.F)G+(GV)F- (FV)G ee 

صفحه 113:
مثال۵۰-۱صفحه ۶۲کتاب درسی : هر 005 27 + 7 كاحت ۶باشد ۲0ابدست آورید. حل: 09 +7 ووم 27 مرو 2ب ay? Vo 

صفحه 114:
RY مثال۵۲-۱صفحه ۶۳کتاب درسی : نشان دهيد باسخ ‎asVXVXA- K?A=0 yu,‏ هلمهولتز. 0< 4" +۷4 .ودرشرط سیم لوله ای درآن 6 مقدار ثابتی است.درمعادله 0 ۷ صدق می کند از رابطه(6۵۵-۱داریم. ‎VXx(VxA) =V(V.A)- VA=>‏ وبرای معادله مفروض می توان نوشت 1۸-0 ۷۳۸۰ -(۷۷۸- 14۵ ۷۲۷۵۰ ‎eee‏ 0- ۲۸۱ +۳۳۸ - ۲۷۷۸۸ براى اين كه رابطه بالا همواره برقرار باشد بايد بنابراين ملاحظه عى كنيم كد هم در شرط سيم لوله اى وهم در معادله هلمهولتز صدق می کند. ۲۷۳۵+ ۸-0 , VA=0 

صفحه 115:
~< : ‏۵صفحه ۶۳کتاب درسی‎ ۳-۱ idee ‏یکی از کاربردهای معادله(۵۵-۱)استفاده ازتن برای به دست آوردن معادله موج‎ الکترومغناطیسی است. اگرمعادلات ماکسول در خلا به صورت زیر باشند: ۵۵۷ 20 ۲۵ ‎VE=O crow‏ هدج ‎VxB sane‏ 8 مم صم د ۷۵ كه درآن © ميدان الكتريكى و 8ميدان مغناطيسى و 20 00/ به ترتيب عبارتند ازكذو ‏ دهی الکتریکی وتراولیی مغناطیسی فضای آزاد(برحسب یکاهای51),معادله موج. الکترومغناطیس رادر خلا به دست آورید. 

صفحه 116:
RY ادامه مثال۵۳-۱صفحه ۶۳کتاب درسی : حل: نخست از رابطه (۵۷-1ج)نسبت به زمان مشتق می گیریم 6 a CE ‏سس‎ ‘B=. 7107 ‏و2‎ <8 toto Ge وسپس تاو دو سمت رابطه (۵۷-۱د)را به دست می آوریم aoe a Oe VXVXE = Bye ee Svxs— 2 ۰ اما سمت چپ معادله بالا را می توان با کمک رابطه (۵۵-۱)ساده کرد VXV XE =VV.E)- VE <g> 

صفحه 117:
NY ۳ Aceh ادامه مثال۵۳-۱صفحه ۶۳کتاب درسی : ولی اولین جمله سمت راست زابطه بالا برابر صفر( 0- ۲) است:در نتیجه ‎wee 7‏ 5 مج 0۳0 تيليا ‎OE‏ ‏0-۵۸ ۱ يح لان ومعادله(۵۸-۱)همان معادله موج الکترومغناطیسی درخلا است. 

صفحه 118:
RY تمرین۱-۱۲-۱صفحه ۶۴ کتاب درسی : لاپلاسی هریک ازمیدان های نرده ای را حساب كنيد ی,(27 + 22 - )رود حل: ‎2y? +24)‏ - عم روم زر نان 2 0 07 02 ‎(Cis! + 3] ‏عون‎ - 2y?+22)+2x2yz)i +... Ox ۰ 62 ‎ 

صفحه 119:
تمرین۲-۱۲-۱صفحه ۵ ۶کتاب درسی : براق و مطلوب است ‎ve 39‏ we) % حل: eS 

صفحه 120:
تمرین۳-۱۲-۱صفحه ۶۵کتاب درسی : اگر 2۷۲۸ 27 باشد. نشان دهید برای هر سطح بسته 5 داریم 00< ‎[B-fida‏ ‏حل: Of, 8-2 =f. Vx<A.ca =[V.(VxA)av =0 چون کرل یک بردار سیملوله ایی است که دیورژانس آن ‎pho ply‏ می باشد . 

صفحه 121:
فصل1 بردارها ‎AZ‏ تمرین۷-۱۲-۱صفحه ۶۵کتاب درسی : ابت کنید 0 2۷ 0۷ - )۱۷۳ حل: V (fg) =V.(Vfg) =V.gVif+ Vg) = 97۳۶ +۷9۷۶ ۷+۷۶ ۷-۳۶ 27 No+tV'¢ 

صفحه 122:
تمرین۸-۱۲-۱صفحه ۶۵کتاب درسی : ثابت كنيد ۲۷۶۷9-۲۷۵۷۵ = 17 ۷۶ ۲۷۰۶۱۷9 - ۷۰/۷۵ 2۷ ۰۷9+ ۶۷ - ۷9۷ - ۶ 

صفحه 123:
فصل دوم دستگاه های مختصات 

صفحه 124:
فصل دوم: در این فصل در مورد جبر ودیفرانسیل و انتگرال بردارها در دستگاه مختصات خمیده که بسیار به کار می روند. می پردازيم: ۱- مقدمه ۲- مختصات خمیده خط الس الا ان اح برجا ررق درو جاه لا ايا ۴- دستگاه مختصات خاص: ب:دستگاه مختصات استوانه ای دوار( 2 , گر ۵- جداسازی متغییر ها: حته 

صفحه 125:
الف:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات دکارتی. ب‌جداسازی متغیبرها در دستگاه مختصات استوانه ای دوار ج:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات قطبی کروی 

صفحه 126:
ee ‏لل تشکیل می شودوبه هر معور یک بردار‎ a ‏و‎ Sine 18 ‏یکه با طول ثابت وجهت ثابت مربوط می شود‎ مختصات خمیده خط سه دسته سطح ثابت © 2© 437 عه الزاما عمود برهم يا مسطح نباشند را در نظر می كيريمجون فصل مشترك سه دسته سطح (ثلبت © وثلبت 92 وثليت 95 )به صورت خط های خمیده شکل لند.مختصات( . ‎DLE‏ )را مختصات خميده خط می نامند. ~< 

صفحه 127:
1 ‎Sr‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‎1 ‎ ‏هر نقطه دلخواه ‎cigar‏ را در فضاعل " می توان بایک سه تایی در مختصات دکارتی ‎WRK Zi‏ ‏یک سه تایی در مختصات خمیده خط( ‏ 02+45 10 )مشخص نمود. روابط ‎FX ye etn cia) ane‏ )و( ‎Dh Ds Ds‏ ))عبارتند از: ‎X =X(G, Gq) ‎=V(G, %, G) =2(G, GG) ‎YZ 0‏ روابط معکوس(روابط ‎a‏ 9 )و( ))عبار تند از: ‎=Q(X.Y,Z) ‎=Q@(X.Y,Z) ‎=q@(X.Y,Z) ‎a ‎2 ‎a ‎A 2 ‎4 ‎ ‎a 

صفحه 128:
مج برای هر سطح ثلبت می توان‌یک بردار ‎AS‏ چون ‏ 4 عمود برسطح و درجهت افزايش 47 تعريف كرد. بردار دلخواه ل در مختصات خميده خط: کی + کی + 46 - م 6 ها بردارهاى يكه هستند وجهت آن ها ثابت در صورتى كه دستكاه راست گرد باشد: درمختصات خميده خط؛مربع طول عبارت است از: ر6ك رهه ری رگ 2 0 که 9 را ضرایب متریک می نامند. ۰ 1 Lae 05 ‏رو‎ aoe Ok, VY, Oz Oz ee ۷ ۳ 25 26 og 0g, 0G, 5 ‏ده‎ 

صفحه 129:
RY aH ‎ae‏ فصل 2 دستگاه های مختصات ‎1 ‎ ‏اگر دستگاه مختصات خمیده متعامد باشد: ‏می توان نشان داد ( تعرین ۵-۲-۲ به ازای ل* آداریم 20 ‎str cite‏ ‎ij‏ للی می ماندکه كن هارا بل 9 نشان می دهلگ. که راعامل ای نی ‎ME‏ ‎: 13 ‏عقیاس(‎ ble oles ‎ ‎ ‎an eo 20 ‏مجذور عنصر فاصله درمختصات خمیده خط : ‏*(وویط) + *(یوفیط) + "ولج “عله ‏لقال رنه بت ‏مماس ها به نقطه 0 در مختصات خمیده : خط موازی با جهت های © ديق ‎Fay Bd gh, Gy,‏ ‎on Ae ee are‏ ها مر ‎ah‏ بر ‎hee — =h6 > SRogag hema hen ae ‎ 

صفحه 130:
1 ‎2c‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‎i ‎: ‏بردار دیفرانسیلی فاصله( 6 ) که بیانگر بردار دیفرانسیلی فاصله ۴ تا 04 است‎ ‎dr = (hag 6 + (h,dg,)6, + (ydg,)6, ‏شرایط متعامد بودن یک دستگاه مختصات: ‎Or _or or _or ar‏ 2 ر صعصههمه- ‎6G 0G OG OG, OG, oq, ‏عسرستح درمحسات عمیده عط( ) ۰ ‏ره ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎CON) be aca clans eae eae ‎ ‎adv =hh, hdc, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 131:
- فصل 2 دستگاه های مختصات ‎WG‏ مثال ۳-۲صفحه ۷۷کتاب درسی: اگر رابطه های تبدیل بین مختصات خمیده (۷:۷۶ومختصات دکارتی.به صورت زا u=2x+3 ,v=y-4, w=z+2 at ‏رابدون‎ Ay, ‏امقدار کل رل ریق‎ ee ea ‏نشان دهيد دستكاه مختصات ير‎ 0 9 ae ee 20 ‏استفاده ازرابطه(۳-۲)‎ ‏حل:‎ ‎—¥_ 3 ‏رابطه های تبدیل بالا را می توان به صورت زیر نوشت‎ ‏هه‎ ‏بر << رز‎ 4 ‎Z2>w 2‏ حال اگر" بردار مکان نقطه ای در فضا باشد: ‎3 r=ix+jy+k ‏ینت‎ ‎ee ‎ 

صفحه 132:
.. فصل 2 دستگاه های مختصات ‎WG‏ As ديم فاسان شر ادامه مثال ۳-۲صفحه ۷۷ کتاب درسی: ‎one 2 7‏ اس ‎۶2 ۳ +(V+4)j+(w- 2k ‏آنگاه داریم.‎ 5 ‏مرج‎ er or ‏بنابراين از رابطه بالامى توان يرح م يح + روح ‎aly‏ دست آورد : ‎ ‎er _- ‏52م 3_ مج جر‎ 12 =k. 7 Ww Ov ou 2 ‏از رابطه(۱۸-۲)شرط تعامد را می نویسیم‎ anor or or er or eu ov ev ew ew ‏مد‎ ‏اكنون ببينيم كه ليا ‎Ge Satis‏ ری یی ریت ‎ ‎i ‎eee emo 2 ‏ا ا اند‎ ee ‏زیرا ميدانيم اللو‎ ‏م۳‎ or or SS =j.6) =0 : ‏وتو _برای دومین رابطه داریم‎ ‎ ‎ov aw‏ میت ‎ 

صفحه 133:
وجح سج فصل 2 دستگاههای مختصات امد i ‏ادامه مثال ۳-۲ صفحه ۷۷کتاب درسی:‎ نه می ‎amp‏ aki وهمین طور برای سومین رابطهٍ جر عطق و ار ‎ow du‏ پس با قاطعیت می توان گفت دستگاه مختصات (1/:۲:3۷) متعامد است .اما می دانیم cs? =dx? + dy? + de بنابراين براى محاسبه © بايد »ا و الالكو 2 عراب دست آوريم. می‌دانیم ‎ay‏ + من کت ‎oie = cin‏ ‎eu ov ow‏ ولی از رابطه های تبدیل طریم ‎wt 2 ax 1 ax‏ ‎Oe =‏ كان ‎١‏ شان با ميدق * ‎u 2’ av‏ 

صفحه 134:
- فصل 2 دستگاه های مختصات ‎WG‏ ادامه مثال ۳-۲صفحه ۷۷کتاب درسی: این عمل را برای 61۷ وتل‌هم به صورت زیر انجام می دهیم ميت الك برق عل بر کش رن ‎ov ow‏ a ‏ولی‎ ‎_ ‏ب ههسر‎ 91 _o ‏رو مت اب ما‎ u ov w ‏پس‎ ‎dy =v ‏بق‎ 22 & a+ aw ‏وت‎ ‎ou ov ow ‏لهك‎ jez ‏او کر‎ du ov ow ‏پس‎ 

صفحه 135:
1 ‎er‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‎1 ‎ ‏ادامه مثال۳-۲صفحه ۷۷کتاب درسی: ‏اکنون برای‌به دست آوردن از ‎OB as‏ در مختصات خمیده استفاده مى کنیم. یعنی داریم ‎os? ha? +c? dw?‏ ‎ds? =du? + bidv? + dw? —— 4 —— — > ‏ازمقایسه دو رابطه اخیر داریم: ‎ 

صفحه 136:
‎ao:‏ اس ‎Jab‏ ستاه ی مختمات اد ‎ ‏مثال ۴-۲صفحه۷۹کتاب درسی: برای دستگاه مختصات استوانه سهموی (۳۰2 که به صورت زیر تهریف میشوند ‎y =u Zaz‏ ار ‏م > ج > مه - 6 > 1ك 0 6 >1 > مه - ‏بردارهای يکه ات و ضرايب مقياس 4:42:48 رابه دست آوريد ونشان دهید لین دستگاه متعلمد است.همچنین عنصر حجم رابرای لین دستگاهبه دست آورید. ‏حل: ‏نخست بردار "را دراین دستگاه به دست می آوریم ‎rakes ‏سل + بزل‎ - v?)i +uyj + zk ‎ 

صفحه 137:
WG claire gla olSiws 2 Jal, ادامه مثال ۴-۲ صفحه۷۹کتاب درسی: اکنون مشتقات ۲ را نسبت به لا و۷ و <2ت ‎or‏ ‏اکنون جزیی ۲ را ولاو تعيين مى كنيع وو = ‎mui +yj‏ لگ ازتقسيم بريزركى بردارها داهم بي مر ‎<i 2 0‏ - , =k - are) & ‏بنابراین از تساوی این رابطه با رابطه های قبلی داریم‎ 1< ول به , (ت تايط 2 رلك 4 اکنون‌با استفاده از ضرب نرده اى هرجفت بردار يکه :۴۵۰۵ حی توان نشان داد که 1 لته این دستگاه مختصات یک دستگاه مختصات متعامد است 1 ی 

صفحه 138:
فصل 2 دستگاه های مختصات اج 0 ادامه مثال ۴-۲ صفحه ۷۹کتاب درسی: فزت نشد ولاس دسف _ دك وم ‎VF +7) [ar +v7y weve‏ ‎oe i) 7) alsa‏ ا ‎We‏ ‏+ رد ‎a‏ ‏أ أ عر ‎uty‏ 53 ‎k=‏ >= ,64 ‎OF) (av) 5‏ اما 0- عل قح علاة بس ‎٩. -0‏ ع1. زا + عل. 51 - ‎“V+‏ جر ما( ‎u ۷"‏ 

صفحه 139:
1 ‎2c‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‎1 ‎ ‏ادامه مثال ۴-۲صفحه۷۹کتاب درسی: بنابرلین ‏ 0 ,,6< ر6ر6< ,6.6 یعنی دستگاه مختصات مزبور متعامد است.برای پیدا کردن عنصر حجم دراین دستگاه ازرابطه (۲۱-۲)داریم : ‎dv =Bh, hdudvdz, =(u? +v?)dudvdz ‎ 

صفحه 140:
1 ‎Sr‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‎1 ‎ ‏تست :برای دستگاه مختصات استوانه سهموی (۷:2) که‌به صورت زیر تعریف ‏میشود.مقدا رگ کدام است؟ ‎x - ‏عع‎ -v*) y=uw Zaz - ‏مه > 2 > هه - ۵ > 0۷ 6 >1 > مه‎ ‏مه + وت - 7 + وه‎ ‏مود بسچ‎ + ‏مه‎ ۳ wey ‏الل‎ ‎ae Suse ١ w+ ‏حل: به مثال قبل ر.ک‎ ‎ 

صفحه 141:
WG claire gla olSiws 2 Jal, مثال ۵-۲صفحه۸۰ کتاب درسی: دردستگاه مختصات کروی 2 ,20 و9 ,2۳ و وروابط تبدیل این دستگاه به دستگاه مختصات دکارتی به قرار زیر اند xX=rsindcosp y=rsindsinp z=rcosd مطلوب است ‎Bly Be ins‏ ‎ae‏ لك لك ‎8p’ 00" ar OS ‏ج:تشان دهید این دستگاه مختصات متعامد است ‎ ‏رابرای این دستگاه به دست آورید. حل: الف:از رابطه ‎so‏ ‎8 ‏بر- بر‎ (Sp By Sy <a ‎ 

صفحه 142:
فعل مگ امن ادامه مثال ۵-۲صفحه۸۰ کتاب درسی: 0 نومه + (م ‎sin®‏ + ی تعمم) ۵ تصنع- (0دم) + (مصله 0صلع) + ‎I =(sind cose)?‏ 1- بط سل 0 وم +0 تصوء Q =O Hf =(roosd oxsp)?+ (rous0sing)? + (- rsin6)? =r" ons?9(cns?p + sin?) + r?sin?9 =P (Sn'0+ 080) =r > h,=h =r ‏مدو‎ 5 cs Oy (as op 0 6 ‏ا ل اا ا"‎ 1 ‏مب‎ h =rsino ak 

صفحه 143:
WG ‏«ستگاه های مختصات‎ 7 Jal, As ديم فاسان شر ادامه مثال ۵-۲صفحه۸۰کتاب درسی: ب؛می دانیم + لّل + 3 7.بنابراین با استفاده از رابطه های تبدیل می توان نوشت ‎r=(rsind cosq)i + (rsind sing) j + (reoso)k‏ ‎or‏ ‎suse dia Ul‏ ۲ 5 وازآن ‎=(sind cos)/ + (sind sing) j + (cosa) E Or‏ & ‎or‏ ‏ونیز برای 60 ”روج داريم £ =(roos6 cosg)i + (roos@ sing) + )- rsina)e OF __ (rsino sing)i + (rsind cosy) j + (OK Op =- (rsind sing)i + (rsino cosy) j he 

صفحه 144:
- فصل 2 دستگاه های مختصات ‎WG‏ ادامه مثال ۵-۲صفحه۸۰کتاب درسی: ‎or or or‏ جبراى اين كه دستكاه مزبور متعامد باشد بايد برج مج "رم دوبه دوبرهم عمودباشند,یعنی or or _or 0۳ _ ۵۲ ۳ 2۳20 202 ۲ ‏دربررسی ضرب نرده ای اولین رابطه داریم‎ 22 =[(sind cosg)i + (sind sing) j + (cos) KL{(1'0080 cose)i 191 +(roosé sing) j- (rsind)k] قبل از ساده کردن رابطه بالا توجه داریم که ‎iizjj=kk=1‏ 1 ‎ij=j.k=ki=0‏ 

صفحه 145:
- فصل 2 دستگاه های مختصات ‎WG‏ ادامه مثال ۵-۲صفحه۸۰کتاب درسی: or or ‏رب جملات در یکدیگر داریم‎ 2-2 - ‏(0هذك)(06050) - (وصذة 50مهة)(جصة محذه) + (ي5م» 0050:():0050 0صذه)‎ =rsin0 cos#) cos’ p + rsind cosé sin’ y- rsind cos دردوجمله اول از 0050 5580 فاكتور مى كيريم ‎or or‏ ‎Fe ap =P Sin# 1086 (00s! +sin'g)- rsind) cose‏ ‎or ai‏ =rsind cosé - rsind cos =0 برای دومین رابطه داریم 

صفحه 146:
‎te eet‏ فصل 2 دستگاه های مختصات ‎ ‎Sw ‏سس‎ ‏ریم ثم ‎ ‏ادامه مثال ۵-۲صفحه۸۰کتاب درسی: ‏با انجام عمل ضرب خواهیم داشت ی ‎T & = (roosé wse)(rsing sing) + (roosé sing)(rsiné cose)‏ ‎205 ‎- 1 sin@ cos@ sing cos + ” sind cosé cosy sing =0 ‏همچنین برای سومین رابطه می نویسیم ‎or or‏ ‎dp or (sind sing) j + (cos0) x] ‎=[( rsind sing)i + (rsind cosq) j.{(sind cose) i + ‎ ‎=- (rsin@ sing)(sind cosq) + (rsiné cosp)(sing sing) ‎=- rsin’ @ sing cosy + rsin’ 6 cospsing =0 ‏بنابراین نتیجه می گیریم دستگاه مختصات کروی:یک دستگاه متعامد است. ‎3 ‎ 

صفحه 147:
1 ‎2c‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‏1 ‏ادامه مثال ۵-۲صفحه۸۰کتاب درسی: ‏د:اکنون از رابطه (۱۳-۲)داریم ‏از بندرالف)این مثال داریم ‎ ‎ds? ‏ول و)<‎ (* + (hyd)? + gel)? ‎=h, =r, dg, =d0) Uk =h, =1, dg; =dr)(h,=h, =rsind , dg, =dp)‏ رظ)ر ‏بنابراین نتیجه می گیریم ‏اما از رابطه (۲۱-۲) برای 61۷داريم ‎ ‏002 نص 2ر + 2002ر + 2رل - 062 ‎ ‏حول درد و مق ‏درنتیجه برای این دستگاه مختصات به نتیجه زیر می رسیم ‎ ‎dv =r sinddrdedy ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 148:
فصل 2 «ستگاه های مختصات تست ۲:در دستگاه مختصات كروى1 > :4 , 0> ي4 4 6 حی باشد با نوشتن روابط تبدیل این دستگاه به دستگاه دکارتی حاصل عبارت ‎eee‏ با 0 07 sie rsindcos@ ‏إن‎ reosp- rsing ., Ve ‏حل‌:روابط تبدیل دستگاه مختصات کروی به دکارتی به صورت زير می باشند.‎ ‏مکمه 2751۳0 عر‎ y=rsindsing z=roosd می ‎feild‏ بعلل + مور + بو بنابراین با استفاده از رابطه های تبدیل می توان نوشت ‎r=(rsiné cog) + (rsind sing) j+ ۲‏ ‎or or‏ واز آن ‎aro‏ م به دست می آید ‎T =(sin com) +(sind sing) j+cos#k‏ 7 oe (rcosp cosp)i+ (rco# sing) j+ ¢ rsin))k hee he. 

صفحه 149:
۲ ترس 3 فصل 2 دستگاه های مختصات OMI or or ‏ادامه تست ۲:اکنون به محاسبه 220 می پردازیم:‎ [(sim cog) i+ (sim sing) j+ ‏ومع ومع‎ cog)i+ (rcosising) j+ ia rim) قبل از ساده کردن رابطه بالا توجه داریم که زر ۱1 ‎ij =j.k=ki =0‏ از ضرب جملات در یکدیگر داریم oe =(sin# cogp)(rcos) cos) + (sin? sind) (rcos# sinp)- (co#)(rsin#) 01 =rsinf cos cos ¢ + rsin# cos? sit $- rsind cos) ۲ 00000 3 0- 609 مزر - وم مصزعرع وم فصنود. - (۵ ‎=rsindcos)(co$ ¢+sir‏ ۳ وت 

صفحه 150:
1 ‎Sr‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‎1 ‏مثال ۶-۲صفحه ۸۳کتاب درسی: ‎ ‏2 ‏۳ ‏یم و ‏به طور تحلیلی نشان دهید اگر ۴6 ۴924 *2مختصات خمیده خط متعامدی باشند که ‏با رابطه های تبدیل زیر تعریف شوند ‎X=X(G. DG) V=V(GGG) 2 =Z(G, GG) ‏و ژاکوبی [ به صورت زیر تعریف شود ‎Ox‏ ‏و2 ‎oy‏ ‏و2 ‎OZ‏ ‏99 ‎ ‎ ‎ ‏آنگاه داريم ‎ ‎ ‎Ox ‎99 ‎oy. ‎99 ‎OZ ‎995 ‎ ‎ ‎ ‎ox ‎9 ‏و‎ ‏ل‎ ‎a ‎24 ‎ ‎ ‎ 

صفحه 151:
‎dad,‏ 2 تا هاى مختصات ‎ ‏ادامه مثال ۶-۲صفحه ۸۳کتاب درسی: ‏حل‌نبا اندکی دقت در دترمینان بالا متوجه می شویم که هرستون‌به ترتیب مولفه های دكايقى وج جرج »يم چهستند بنابراین.نتیجه می گیریم که این دترمینان برابر با ضرب سه گانه نرده ای این سه بردار است.یعنی داریم : ‎ ‏لت (صیط< رعیط) 2199( ‎SG‏ يد ل ‏زيرا 5_6 بردارهای یکه متعامد اند. اگر لین دستگاه راستگرد باشد در رابطه بالا علامت مثبت واگر دستگاه چپ گرد باشد علامت منفیبه کار خواهد رفت. در ‏هر حالت داریم: ‎| =hbh, ‎ 

صفحه 152:
واي داسف هد 3 تمرین1-2-2صفحه84کتاب درسی رگا مختصات استوانه ای دوار ‎X=poosd y=psing 2-2‏ ورابطه. ‎sa‏ تبدیل ایق,ستگاه با دستگاه محتصات چکارتی به قرار زیر اند مطلوك است تعیین الف:عامل های مقیاس ج؟ صثما ينهي “نأهى- د مد سسكام ‎Lew‏ کنات( اه هدز ‏است ‎ 

صفحه 153:
.. فصل 2 دستگاه های مختصات ادامه تمرین1-2-2صفحه84 کتاب درسی : 1ح يط م- بل د لمع (معمه م) + (مصم < 7 ا ارس ‎OE)‏ op. op 4 or a(xi+ i+ zh) . 7: ne — — =- psing! + p cosqy =pé 

صفحه 154:
WY ‏ان مخصات‎ olin 2 das. SS ادامه تمرین1-2-2صفحه84 کتاب درسی : ‎d? =p ddp‏ | 02 م0 00 م 0/7 جك مك م- فك | د وق رت 2 م - ين 2 

صفحه 155:
فصل 2 دستگاه های مختصات عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیده شیب یاگرادیان یک تابع: ‎OD +8 OD +6 2‏ ‎hea hog, Og,‏ واگرایی یادیورژآْس تابع برداری (Fah) +s 2 5 ‏نه‎ (+ (Bah) | < ( ,6 رو VAG, GG) = ae 2 

صفحه 156:
& فصل 2 دستگاه هاى مختصات ۲ ‏یالاپلاسی:‎ Mis Vi? Tah ‏لی_ و‎ Ov ee aad aes 27۳7 0 965 ‏سل‎ OG h, 0G, ‏عملگر تاو(کرل]یک تابع برداری‎ 2 ۳ ah Ae ah VET 2 6 1 hE BF 

صفحه 157:
مثال7-2صفحه86کتاب درسی:باتوجه به مثال 5-2 كفن )قبلى رابطه شيب تابع را در مختصات كروى 2 ‎a‏ َ مدي ‎na‏ آورید. 0< وه حل:طيق بحث مثال ‎ear?‏ | 2 ‎ob 12 1 of‏ ۱ و ا ۰9 ۶ ۷۲:99 بنابراین با جایگزینی در رابطه (25-2)داریم: جع رود.ج) 

صفحه 158:
و اسف هد 3 مثال8-2صفحه86کتاب درسی:باتوجه به مثال4-2 بخش2-2 رابطه شیب ۰ مختصات استوانه سهموی به د دا peel = 2 1 1 ao 7100 ‏فورق, إزررا كلم (2ج25) دارييب'‎ elle )2-27( 

صفحه 159:
اي اسف هد 3 تال 9-2صص ای رس 7)بردارهای یکه متعامد را می توان به کمکو و اجه بر تعریفه ‎oe‏ @-2=28) وچون ازآن ژابطه آي بزاک آیدکه با معادله (2-13)ستا زگان‌«است. حل:ازجایگزینی ون داریم: 

صفحه 160:
3 ane) ادامه مثال9-2صفحه86کتاب درسی: ازجایگزینی این تب درمعادله (29-2)فوری نتیجه می شود؛ ‎i= *Ce — Gq)‏ که همان معادله (13-2)می باشد 

صفحه 161:
وري سس 3 مثال 10-2 صفحه88کتاب دووتی*واگرایی رابت مد ا ا فصل بيا ن شدء بسته مختصات ‎fe = PRs taal eau‏ مسئله آسان باشدرپابرنظپر مطلبء واضح است که برای حل این ‎ethan 01-0‏ الک یوار کرو ‎HELLS.‏ ‎SP‏ مختصات کروی بهترین انتخاب است.درا ‎ ‎ 

صفحه 162:
فمل 2 «ستگاههای مخصات مثال 11-2 صفحه89کتاب درسى:مى دانيم د عمّلگر ۲ یا لایلاسی بهمعنی واگرایی شیب است, یعنی اتود به این تعریف رابطم عملگر L ob VP. & ‏ال الل‎ 2 ‏)مریم‎ 27 el ۱۳۵ 2-۵ ‏لطاب‎ (*--) (۲-8 hhh 106 4 hog 6g 0 ۳ vor ‏ا م‎ + hhh|og h og 0G h 0G 6 1 Og LL 

صفحه 163:
مثال12-2ص فحه89کتال ‎٩‏ 5رسی:معادله 2 لایلاس 2 ختصات استوانه سهموی بیان کنید وتمام h=h ome 2-۷۷ 30.3 se ‏دمن‎ eps ‏معا‎ ‎ve Fw w=u+v با نشاندن آن در ‎nffies(33-2) abel,‏ بلاس add gre ‏به صورت زیر به دست‎ uw =A F=AnwB > dw 

صفحه 164:
فصل 2 دستكاه هاى مختصات ار بت سس درسی: تسام دارم ‎Ant? +¥)+ B‏ ده 

صفحه 165:
واي داسف هد 3 منال13-2صفحه1 9 کتاب درسی:ثابت کنید: ‎Vxe. f() =0‏ كه ذزآآن 200 تاب دلخواه خوشرفتار و بردار(یکه درآمتداد ۲ ‎F=f), F, =F, =Qeunl‏ is =r ‏حي‎ ١ ‏حل:اكرفرض‎ & E28 0 =r ۶ 20 0 A, =rsino ons ‏کروی داریم‎ ۱۲۷ ۰ 6 5 6 Ts ‏“ونيز مى‎ ‏سیم‎ 67 00 ae 2 ‏وی‎ 5 eb oh Lo 

صفحه 166:
< و ,1-2صفحه91کتاب درس :بردار يكه فرض کنید ونشان ‎V.AG, GG) = ۳۳‏ :مادک (332)واویم +(« ‎=@(q,0,0)‏ ‏- ج012 دراينجا داريم: 5 (يطيط)ة aq 

صفحه 167:
<< تمرین2-3-2صفحه91کتاب درسلی":با استفاده از رابطه (33-2), را در مختصات دم 5 ۱ وجوج و حل: ‎hhh,‏ ‏اله كط ۰ برد فد ‎٩‏ ,رطف ‎og og = OG,‏ بط 3 0 1 درمختصات کروچه ‎Rana)‏ ‎bh =h =r 9‏ هديو h, =h, =rsino 

صفحه 168:
.., فصل 2 «ستگاههایمختصات مد سا تس 1 27 من Sree es 7 i ‏ادامه تمرین2-3-2صفحه1 9کتاب‎ ‏درسی :بنابراین:‎ ‏ر بنابراين 1_ مووي و‎ rsing 6 singe, a ,rsindad 6 ‏مم‎ ‎=—(—_—— ) + — (——) + — ( er or 60 60 dp Oy 1 2 0 2۷۷۵ Mie ey rsing 2 2 2 72 2 2 ‏مدرد‎ @ + Psino 2 + rooso 2 & + rsino 2 ® 4 2 ® or or 60 60 602 ag 

صفحه 169:
- فصل 2 دستگاه های مختصات ‎WG‏ ای 7< ‎AIS‏ ‎Hed 8‏ تست :در دستكاه مختصات قطبى روح " برابر است با: ‎cos sing‏ برن, ‎cos cosp‏ 5 ‎si i i‏ ‎ae 3 sing sing‏ ‎rsing‏ ‏حل‌:رابطه زیر در دستگاه مختصات قطبی کروی برقرار است.برای یافتن پاسخ باید از 6 تسبت به لامشتق بگیریم ‎Zz‏ ‎=arccos——= _‏ @ (2+ +22 “ae ا ی ‎Seo‏ است از مه -1/«بنابراین: 

صفحه 170:
فصل 2 دستگاه های مختصات را ادامه تست ‎Hey? + 7 +77] ٩۳‏ - 1 95 52 567 3 9 (2 + مر +عر) ‎oy‏ ‎ae‏ >[ ‎ye 1‏ 26 = را رض ‎(E+ P+ 2? 4‏ عر + عير ع لب شر بر روابط تبديل بين دستكاه مختصات كروى ودكارتى به صورت زير مى باشد: ‎x=rsinOcosp y=rsindsinp z=rcosd‏ رزوی شرت مر + رار ب ره ترح مر با استفاده از روابط تبدیل, براى ‎OO‏ خواهيم داشت ‎oy‏ 

صفحه 171:
‎Fens‏ فصل 7 «ستگاه های مختصات ‏ادامه تست ۳: ‏فته ومع _ مصزو ووه مصنو _ ‎rsind 1‏ ‎1 ‎ ‎۲ ‎sito ‎2 ‎ ‎ ‎00 _(rsind sinp)(rcos) | oy ‎7 ‎ ‎ 

صفحه 172:
.. فصل 2 دستگاه های مختصات تست ۴:حاصل عبارت 5 "۷-7 برابر است با: ری **1(2 جص) ‎ees‏ ‏کر مره سمل د يوروائق ور مهتضات كروي به مورت زيز م باد - 2 aes Fis <7) +r (sir) +r * 9 0 oat oly de (1)1 قرار مى دهيم Vat = pe = oe ‘dr — n 1 2 1 fn ۳ ae ae oe =(n+ 2)r” <- a 

صفحه 173:
فصل 2 «ستگاه های مختصات تست ۵:اگر = () باشدآنگاه (۴)2 ۷۵ برابر است باذ 1 1 ‎foe 7 pe‏ 1 ج 2 ‎ps‏ ‏حل:دیورزانس ‎BID‏ ی 1 12 ‎PF) = el‏ د ‎sine 2 )| = 4S 3 2‏ | 8 ۳ 1 1 1 اد 

صفحه 174:
فصل 2 دستكاه هاى مخنصات ‎mas‏ ‏3هدل33>“©ٌخخضثفْشظزظضشفثْغثظثظغفهوهوُلووولو و61 هم 2 كا اد ا ا دستگاه مختصات کروی دراین دتگگا 4 ۵ ,20 )به صورت ‎eu‏ کت ) حئى كه آين سه مختصه روى آن ها تابتند. 1 - 21/2 + رز + )مر عبارتند از: کره های هم مرک حول ار 0 مخروط هاگ دوار قائم»حول محور بارآسی واقع درمبدا: رت ۱ ثابت 

صفحه 175:
مج ناض عد 3 روابط تبديل بين دستكاه هاى مختصات كروى دكار ‎xX=rsind cos¢‏ ‎y=rsind cos‏ 0 -ج2 ‎xy @ Ze 0‏ عد به گونه ای کهء ازمحور مثبت و درصفحعة > > 0 واز محؤو> 0 ,مثبت>اقدازه کی می شون ودامنه آن هاعبارت ات 3 he h= 4h, =rsing ‏از:‎ Dee eee ‏عامل های مقیاس‎ 

صفحه 176:
en clas gh ‏فصل 2 دستكاه‎ +. Vb <_< ‏ام تن‎ عنصر حجم درمختصات کروی: هل 000 صنه ۶ بل ععصرسطعی درمختصای کرو وا ‎dA=r sinededp‏ عنصر زاویه حجمی(فضایی): ‎PA‏ ‏004ص تیگ جه بردارهای يكة ی بردارهاعوهکم/ مختصنلبم «کازتیمججمه‌صنه - ۵ ‎ksing*‏ - مص 0دمه [ + وعمه 0دمه 7 ۵ g = ising + joos¢ 

صفحه 177:
و داسف هد مثال14-2صفحه92کتاب درسی:رابطه های تبدیل دستگاه مختصات کروی ودکارتی را حل:ازمعادله های (35-2) نا (37-2)ذا رف 0 ‎(-s112-35)‏ 7( رت 7 ۳۳۳ (2-36الف) = ‎tang‏ ‏(2-37الف) ازدومین معادله بالا فوری به دست 25084 P =22,518 (135227 BIC Slo LO 

صفحه 178:
سس ادامه منال14-2صفحه92کتاب درسی:اما ازمعادله (37-2الف)می ‎VERS bonis pis‏ )2-39( 9 بل تمه +1 با نشاندن(39-2)د ر(38-2) واستفاده از اتحاد ‎x=rsin 0 05 LL‏ رابطه زیر به دست می آید y=rsin 0 cosp ‏وسرانجام با نشاندن آن در(39-2)نتیجه می‎ x=rsindcos¢ y=rsind@cos¢ Z=T CORSA > 

صفحه 179:
مگ وهمین طور برای عنصر حجماك 98جیه تمه جا داسف هد 3 ادامه مثال 14-2 صفحه 92 کتاب درس :عوجه داريم را ازمحورة 0 دادس ‎SESE BSN Boe»‏ ‎ees‏ آنها به قرار زیر است اگربه منال75<2حت[3-2) بزگرتایم, ملاحطة قار ريه ‎dv=r sinédrdbdp‏ (2-41) 

صفحه 180:
فصل 2 دستگه های مختصات امه منال 2 14 ۳ ‎oA,‏ عتصصر ‎pees‏ ‏حجمی(فضایی) دراین ‎a ee‏ ‎fo =4r (2-44)‏ وتوجه داريم كه مه است.حال اگر از رابطه(4872)ترَوَعه اوه سمتی انتگرال بگیریم.عنصر سطح به صورت حلقه ای به عرض . او تعیآّیه (2-45) همچنین عنصر حجم را می توان به صورتٍ 

صفحه 181:
۱ ل 3 منال15-2صفحه 95کتاب درسی:مساحت بخشی از کره ی 24 لشفاع)وّاحد را که مرکز آن در میدا مختصات قرار دارد وبین ‎ae 1‏ اسیت به ‎nae‏ 0 < مه ] #مصنه ] عم حل:از رابطه(43-2)به ازای۲-1 داریم < 

صفحه 182:
3 detest مثال16-2صفحه96کتاب درسی(سوال 2تشریحی نیمسال اول86-85):باتوجه به معادله 3 1 )2-28( رابطه 1 ل ةا درمختصات قطبی با دکارتی به دست x=rsindcosp §=y=rsind.cosp 2-70050,ديروآ‎ حل:ازمعادله(28-2)داریم ‎ =rsine (2-47)‏ ررع< رل 1< 1 اما می دانیم 

صفحه 183:
ادامه منال16-2صفحه96کتاب درسی: 0عممعل + مصنه 0صنعژ + وحم 0صنه - 6 ‎=icosd cosy + joosdsing- ksino (2-48)‏ & ‎ising + joos¢‏ -= 6 جنائكه بيش از اين كفتيم؛ملاحظ ةمق شود ‎ee‏ ۲ تغییرمکان(یعنی باتغيير )تغييرمى كند. ‎ 

صفحه 184:
3 elas linda. ‏م‎ ۱ مثال17-2صفحه96کتاب درسی:بردارنیرو ۴ درمختصات دكار3 با طلوَرّت زیر است این بردار رابرحسب مختصات قطبی کروی ‎Sek ASAT SEPSIS As,‏ + ووه 1۳۳۵۴۸ حل:باتوجه تین 3()200۴23]ری 52 5۸ [ ]< 00506 - 506 )2-49( x=rsinfcosp 51۴0 005۵ 220 سنابراینبا تقاندل آلها ورابظه هاگ ‎FD) SES‏ 

صفحه 185:
واي داسف هد 3 مثال18-2صفحه97کتاب درسی:در فیزیک وارونی دستگاه مختصات؟ تاوژد! بمانة یا تغيير علامت بدهد)سر وكا "ذاريم كه بيارة مهم است. می دانیمواژونی/ در دفتگاه مختصاگ #کارتی به صورت: © است.الف:نشان دهیدوارونی(یعنی ‎aad‏ ‏1 ازمبت!)) تفه 7 ب 20 بر ‎cea:‏ . ‎oe‏ ی << (27 هلدمه (90 2 مر ‎@)sin(¢ +7) =- rsing‏ - 2۳67۲ بت ‏<ة#>نابت,شامل تبديق-قتا29954 اتقطه - )7005 +ع ‎ ‎ ‎ 

صفحه 186:
‎ef‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‎ ‏اداممه منال18-2صفحه 97 کتاب ‏بطه هاى(8-2 ‎ply = rhs fant Mansa Dp heal - 0)‏ و ‏كنيم ونوجه داريم جهتٍ ‎<- [ 5110 0050 - ‏زر‎ 5701 - FETE state. ‎8 — ‏مدمه‎ - 0( cos( x) + joos(r - 0)sin(g +7) + keos(x- 0) ‎-( 0050 ‏زوه‎ + joosdsing- ksind=@ 348 ok ‎8 > -Isin(a- #)+ joo +r) =ising- jsing = ‎tsb ae ‏پارینه فرد ‎ie‏ ‎ 

صفحه 187:
1 ‎2c‏ 3 فصل 2 دستگاه های مختصات ‎1 ‎ ‏تست ع:كدام يك از بردارهاى يكه ياريته زوج دارد؟ ‏۳ ۵ م دي 26 ‏حل:ررك مثال 18-2 صفحه 97 ‎ 

صفحه 188:
‎Re‏ فصل 2 دستگاه های مختصات ‎I SS yh‏ 1 2 ‏تست ۷:دردستگاه مختصات کروو(2 65 عنصر زاویه حجمی (فضایی)برابر است با: ‎r sinddra@ ., r sinodbdp ‏بری,‎ ‎sinddodp + rdrd ‏ج.‎ ‎92 ‏حل‌نر.ک منال 14-2 صفحه‎ ‎ 

صفحه 189:
اد ‎“us|‏ تس املع با ۳ 1۵ <ر(2 جور)در زا ‎7G on‏ ماه ‎a a=‏ # ۲ ‎Vara =‏ 6 2 rPsind lor r 

صفحه 190:
.. فصل 2 دستگاه های مختصات Si eet ‏گرادیان(شیبٍ‎ ‎rsino aa‏ ° 20 و ‎Sg‏ آگروی: ‎oF, ‎9 ‏لاپلاسی درمختصات کروی:‎ ‎5 ‏رون‎ ae 0۲ or 06 20 sind ag” ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎70 ‎ 

صفحه 191:
بت بن فصل 2 دستگاه های مختصات تاو(کرل)برداردرمختصات کروی: ا ك 1 ۱0۵ @ 0 ‏سرب‎ — v 7250016۲۳ 60 06 مك .رد ۲ 

صفحه 192:
فصل 2 دستكاه هاى مخنصات مثال24-2صفحه101كتاب درسی(سوال1 برداری معناطیسی #برقرار باشد ‏ نشان دهید این پتانسیل زدازنق به القای ‎Bo Sallis‏ ناشی( اوه کامود سجن 56 مفناطیسی نقطه ای با ‎hue‏ دو ae Sake 

صفحه 193:
ادامه مثال24-2صفحه101 کتاب درسی: 20 6 am. 2, ‏ى‎ 6 ,ansin’9 Sean aay ee 0) Te, ‏ع‎ ) _ 262220050 ‏نام 210500 _ر‎ 0 Mg msind = 6 6 =I le Ee 

صفحه 194:
RY بت بن فصل 2 دستگاه های مختصات تست ٩:کدام‏ یک از سطوح زیر مربوط به سطوح مختصات دستگاه کروی نمی باشد؟ الف: کره های هم مرکز ب:مخروط های دوار قائم حول محور 2 *ج: صفحه های موازی با صفحه ‎XY‏ د:نیم صفحه های گذرنده ازمحور 2 حل:دردستگاه کروی مختصات (, 0 :7),دسته سطوحی که لین سه مختصه روی آن ها ثابت اند به صورت زیر می باشد: ١.كره‏ هاى هم مركز حول مبدا 1 لع 22(2 + رز + عر) عبر ۲.مخروط های قائم حول محورعبا راسی واقع درمیدا ‎—alcc0s——‏ @ ‎V4 7)?‏ +4( ‎=arctad = 50‏ دبت ‎B=‏ 9 ۳.نیم صفحاتی که از محور 2می گذرند 

صفحه 195:
ادلمه تست ٩دردستگاه‏ مختصات استواه او[2 ,66,4۵ «دسته سطوحی كه لين سه مختصه در روی آن ها ثابت ان بهقرر زیر است: |.استوانه های مستیر قائمی که محورمحور مشترک آن ها است: و بيك - #(ضر + 22)- م "انیم صفحه های که از محورة مى كذرئدة ‎ery,‏ ‎=tan'==_, ۲‏ ¢ ‎aot ۱ ۱‏ ‎Zee‏ 

صفحه 196:
۱ واي امد هد 3 دستگاه مختصاتٌ السْنوانه دوار( ( در اين دستتگاه ‎٩,‏ 2.0۸2 ابه صورت( )بیان شده ودسته سطوحی که این سه مختصه رو آن هاثابت اند‌عبارت انداز؛ استوانه های دایروی قائمی ‎Joho S‏ + )دور مشترک آرٌها است: ‎=tan'(%) =‏ $ ‎eu bY‏ نيم صفحه هایی که ازمحور می ‎AB 3S‏ cals < 

صفحه 197:
X=p COSd ne y=psing ZZ ۳ که زاویه رح 5 © ‎Sake‏ 52552-0580 شود ودامنه های مختصان د از: سردم اف ‎h, =1h‏ عامل هاى مقیاس در مختصات استوانه ای: ‎dv=pdodpdz‏ ‎pic‏ حجم درمختصات استوانه ‎isl‏ 

صفحه 198:
واي داسف هد 3 مثال25-2صفحه103 کتاب درسی:رابطه های 'تبديل بين دستگاه مختصات استوانه ای آورید. حل:ا زمعاد ل5722(4)داریم ها 3 ازمعادله(56-2)به نتیجه زیر می رسیم ‎xX +x tan? ¢ =p"‏ ‎tan*¢ oh‏ +1 بنابراین بانشاندن آن درمعادله(۵)85-2ازمچ 

صفحه 199:
ادامه مثال25-2 صفحه103كتاب د لاق وبق آسانی نتیجه می شود بنابراین رابطه های تبدیل به قرار ز4ال؟ ۸ ‎y=psng‏ ‎zz (2-60)‏ همچنین عنصر حجم دراین دستگاگ بل انس با )2-61( ‎olfiwwril‏ مختصات قطبی کروی,جهت 

صفحه 200:
0 10 Vu (pop. Ret Bight Sas teks) anes Sr We 1 6F pe ۱ mac GS) ‏لابلاسی درمختضات/آشتلانم‎ See 6 ‏او‎ <a> 

صفحه 201:
فصل 2 دستكاه هاى مختصات 

صفحه 202:
منال26-2ص عحه104کتای درا 2 معادله(28-2)رابطه بین بردارهای يکه را درمختصات استوانه ‎eee EAE‏ دکارتی به دست آورید. ‎hog‏ ‏حل: 2ع ع ‎y=psng‏ 005 م حير اما میدانیم 1< یار ‎h=1 ,h=p‏ icos¢ + ‏وصور‎ - ising + joosp ‏بنابراین‎ =k ‏ههه‎ 

صفحه 203:
ووز اههد 3 ادامه مثال26-2صفحه104کتاب ‎٩‏ ‏درسی:درنتیجه ‎dogs Le‏ به شکل[8-2)»بردار یکه بة لسطح استوانه عمودودرجهت؟ افزایش" شعاع . استء برداريكه ثابت عمود ودرجهت افزایش زاویه سمتی استءوبردار يكه همان بردار یکه درمختصات دکارتی است. < 

صفحه 204:
A ۳ ریم تشر om 9 ‏*پء‎ Ss) 6 د:صفر 

صفحه 205:
فصل 2 دستگاه های مختصات ‎a - 00١ a‏ تست بيج گت باشد.حاصل عبارت >< ۷ چقدر است؟ | 1 ‎("Jao‏ ييا ‏يما ۵ (مصنه) ج: ( مصزه کر الات ‎te‏ ‎NY ‎ 

صفحه 206:
1 £2 3 فصل 2 دستگاه های مختصات 1 5 ۱۳ 7 or 2 ‏الف: و ب:‎ 3 Ax NIA t حل:برای یافتن حجم لین پوسته استوانه ای بلید از المان حجم در مختصات استوانه ای انتگرال گرفت ‎dv=pdpdpdz‏ [a= fod fab f.de—Zo°||5|(2 3 

صفحه 207:
NY ۳ لديم تشر اس .. فصل 2 دستگاه های مختصات ee تست ۱۳:بردار مکان * برحسب بردارهای یکه در دستگاه استوانه ای دوار برابر است با: الف ,0 نب 26 + 94+ 8م ج + يوم وب مدوم حل:در دستكاه مختصات استوانه اى روابط زير برقرار است ‎cogy- 4 sing‏ ,6= ووم مر ‎y=psing J=6sinp + 8 cos‏ ‎Zaz ke‏ ‏حال اين روابط را در بردار مکان آجایگزین می کنیم. ‎ 

صفحه 208:
فصل 2 استكاه هاى مختصات ‎WY‏ ادامه تست ۱۳: 2 +(609 ۵+ بصنه خ)(مصنهم) + ‎zk=(pco)(6, 609 - 8 sing)‏ + + رم ‎psitt 96, + psinp cose + 2B, =plsitt ys 908 0)6, +B,‏ + 03 مطلدم - 46 ‎T=pCos‏ ‏1 T=, + 2, 

صفحه 209:
مثال27-2صفحه 05 کنات نت : بردار ‎۹,٩‏ رادر مختصات استوانه ای دوار وبرحسب پردارهای یکه -16 ی ات مت y=psing ‏حل:‎ ‎7k‏ - ©(م تصن م3 -ودمه) + و (1+ دم م3) مهف 3- نز بنابراین با نشاندن آنها ومعادله های(60-2): درداریم ‎ ‏جه 

صفحه 210:
مج تمرین 1-4-2 صفحه 07اه لس :گر ۷۲,۷ VF (i OR (rsin’@)+ 0 aie 0 ‏وت یا آوّرید.‎ hea ‏را‎ ‎30 ‏حل:‎ ‎(3r’ sind + 220 00 0054 +0( -3+ 2:2 00‏ يبت ‎rsind ‎6B ۳0 2 ale 20 0 ‎ ‎r rsiné rsiné cosd| PS 

صفحه 211:
3 detest تمرین9-4-2صفحه109کتاب درسی :یک ‎eee‏ ‏باردار شده ابهجوءيى الث لت , داری مغناطیسی به قرار زیر در در ‎oe las‏ کند ‎r<a‏ 0090( كلكا / 6 ‎o 6‏ B=VxA که دراان وشعاع پوسته کروی» چگالی <> سطحى بار و١‏ سرعت زاویه ای آن 

صفحه 212:
سه فصل 2 دستكاه هاى مختصات WY “us| .— — ‏سس‎ ‏ای انش‎ 1 ‏ادامه تمرین9-4-2 الف:‎ ۵ ‏ور‎ . ‏جودررج‎ ۷۵- + z = 7 7۹۳۲ 0 7 ae 0 0 ‏ترس‎ ‎1 34 atom sind 1 12 (ran hor) : ۸ 0 م 3 ۲ 0 ۳00 2 قرلا 1 : { 1 Myo » Fagp ( 28nd cost) —— 16 =(( 6 ae <a> 

صفحه 213:
wy leita gl olan 2 ‏فصل‎ ota ole 8 18 100 ‏ی‎ 8 oe rsind|ér 00 ay 0 ‏مر گر‎ 0 -6 0 ‏مرب 1 ,800و و‎ 00 0 02 -)7 0 ‏وي 1 و۳‎ Oe -))20050( es 

صفحه 214:
‎ee eps ae‏ رسانایی که در امتداد محورة 31,9 ‎oS AMIS uh‏ اعبور كندء 00 ‎ae ‏است‎ ‎ ‎2-5-2 ‏نشان دهيد8 القاى مغناطيسيهر : أو رابطعرر لزه م ‏دست می ‎aul‏ ‎ ‏& ‏رقم و مد 2 ‎oz 2‏ ‎ 

صفحه 215:
- فصل 2 دستگاه های مختصات ‎WG‏ تست ۱۴: از سیم هادی در امتداد محورءجریان| عبور می کند, اگر بتانسبل تب !ری مله املهيسى حاصل برابر ا اا ررك )یه ری ف[ ده A B=VxA Dal)” cas 0.6.3( 3 حل:باتوجهبه رابطه جواب لین سوال,به راحتی باگرفتن کرل از تلبع ‏ .به دست می 3 آيد.فقط بليد دقت كنيم که کرل را درچه دستگاهی بنویسیم‌بادقت درگزینه هامی بینیم که با ازمختصات استوانه ای استفاده شده پس کول را دردستگاه استوانه وس 

صفحه 216:
‎i‏ الاسم ‎Se ‎ ‎1 ‏ادامه تست ۱۴: 2 هم ۵ ل هم ها ._ ‎bf‏ 2 م 1اه 2 1.6 ‎A= 7 ۱ 5 1‏ ‎ni 0‏ ۵ 6 ۵ مهام 22 2۵ مهام 7 ‎Bee ale oil‏ ‎p‏ 27 باتوجه به گزینه ها ‎ao‏ ‏مهو ‏2 ‎ ‎ 

صفحه 217:
فصل 2 «ستگاه های مختصات جداسازی متغیرها ‎Vy + ky ade.‏ در حل لاحافل فیریک ‎elses = (1,889) sob, »,489‏ لابلاس, 2( ۷۷۰-0 : معادله هلمهولتز 3( : معادله پخش 4) ثابت : معادله شرودینگر ۰ 101]1(2- :)۱ جداسازی متغیرهادر دستگاه مختصات دکارتی مسأله راباحل معادله هلمهولتز رب کم آکه دارای جوایی بده صورت زیر می باشد 

صفحه 218:
‎ye‏ درمعادله پر 107 ‎1dY_ a‏ 1 به نك ‎Rae) VP 2۵ oad alge - ۵+۳ + ‏زر‎ ‎nml ۳+ +7‏ که ِ ,1992( - ثليت هایی اندکه درمعادله صدق ِ اباشسخ به صورت زیرحو لو 1 ‏ححه ‏وی 3 باهرارل! 1 ‎ 

صفحه 219:
و 2 اك رعللكر1-آ > 2 2 لد باشدءآن كاه تابع كه در مُلثَادله هلمهولتز/! صدق می کندبرابرحاصل 7 تابع مستقل ازهم خواهد 7 75 برایرباترکلب خطی هاخواهد بود: نه ريت كر ‎ty) = Es 1+ he a bes‏ ۳ ده 

صفحه 220:
.. فصل 2 دستگاه های مختصات مثال 0-0 صفحه00کتاب: کدامیک از عملگرهای زیر خطی هستند؟ )الف( 2( ‎Lep (29 = xy‏ Lap (= x|Z)e co ( dx) Lap (39 =Ay* ‏هم‎ Ve ‏بخواهد یک عملگر خطی باشد بايد در دو شرط (©-©6©) و‎ وگا)فلا:لح‎ ‏صدق كند يعنى بايد ۲و <> ربرج) عد له‎ )©660-©( L=, +) =Lyp,+ Lp, 3 ‏باشد. نخست اولین شرط را بررسی می کنیم‎ Lay) ‏ك5‎ 0 =axy (9) =aly LW +2) =O PUBS PEABO S = XY, (9+ My .09 = Ly + Ly. سيو دومين شرط نبز برقرار است. ‎Tp $b‏ یک عملگر خطی است. 

صفحه 221:
فصل 7 دسنگاه های مختصات ادامه مثال 960-0 صفحه0/0)کتاب: ب)از اولين شرط داريم یاه هم سبكيعه - )9( ‎Law) =x (ay‏ ‎dx 1 dx a 0‏ كه برقرار است. اما براى دومين شرط داريم ‎CO +09)‏ لي )2 ‎PC)‏ ‎Loy, + Lape‏ = هدرگ ‎bid‏ ‏در نتيجه4 نيز يك عملكر خطى است. ج)از اولين شرط داريم هی "سره ع (هی "ری 2ع (سرواية ‏اما در حالت کلی در صورترای < ه خواهد بود 25 یک ثابت حقیقی باشد. چون چنین شرطی را براولگ نداری پس می توان نتیجه گرفت: ‏ییاه ع ‎Inlaw)‏ و ‎ ‎4 ‎=x Fo + x ‎ ‏ن مى كوييج 4 يك عملكر خطى نيست. ‎ ‏مس 

صفحه 222:
.. فصل 2 دستگاه های مختصات مثال 00-0 صفحه00کتاب: نشان دهید عم + ۷7۶ یک عملگر خطی است. حل)عملگتار + 72*-< رآ در صورتی خطی است که در دو شرط (- 9) و (00-0) صدق کند. نخست اولین شرط را بررسی می کنیم 7/2 < 6۷۶ + &)(ay) <۷7۶ ‏ری‎ (+ aky =aW +k yy =aby ‏در نتيجه اولين شرط برقرار است. برای دومین شرط داریم‎ LGp +2) = + OY, +2) HW + By + + Ry, = Ly, + Ly, 

صفحه 223:
فصل 7 دستگاه های مختصات مثال ‎٩42‏ صفعه 115 کناب تک دره انم در اه يالهاى 3 واو محبوس است. در مكانيك كوائكةمى اين ذره ريز با تابع موح توصيف مى شود كه در معاديله شرودينكر زير صدق می کند رب < ‎Vp‏ 3 ‎2m‏ h ‏که در آن۴ انیگتی و0جرم ذره و ابت پلانک است. چون ذره‎ در جعبه محبوس است بنابراین باید روی شش وجه جعبه مزبور برابر صفر باشد. اي شرط محدودیت هایی بر ثابت های جداسازی و در نتيجه بر انزو اعمال مى كند. كمترين مقدارع ام رچل) روط کول لپا بر وت کیت ررب 22 

صفحه 224:
فصل 2 دستكاه هاى مخنصات ‎NZ‏ ‏سکع 5 ob ١ ‏ادامه مثال 34-2 صفحه 115 كتاب:‎ روش جداسازى را در معادله بالا به كار مى بريم تا نتيجه هاى زير به x AY, PZ eae ‏وج" اا و‎ + 1 2 6 ‏أ[ 1۲ در‎ 1 ۴2 x ae ‏و کت و و کت‎ GEO XC =O dx 

صفحه 225:
فصل 2 دستگاه هی مختصات ‎WY‏ is 1 كاه TE ادامه مثال 34-2 صفحه 115 کتاب: (2% 6) (cosy sila) ub ‏بخواهد در معادله بالا صدق کند‎ ae 2S 0 (GE ‏باشد.با توجه به بازه‎ 0 مناسب تر است. از معادلات دیفرانسیل می دانيم اكر يى معادله ديفرانسيل جند ياسخ داشته باشدء تركيب خطي آنها نيز ياسخ معادله خواهد بود. بنابراين ‎X(X =Asinix+ Boodx‏ )2-85( که در آن ۸و8 ثابت کاملاً اختیاری دلخواه هستند. اما می دانیم روی شش وجه جعبه مزبور تابع موع باید برابر صفر باشد. با توجه به شکل (9-2) فرض می کنیم مبداً مختصات در یک کنج جعب موش ‎Jie‏ قرار داشته باشد. در نتيجه شرایط مرزی زیر ((7ر2006 نمی | X(0) =B=0 (2-86) از اولین شرط مرزی داریم ‎cosx‏ یعنی ثابت دلخواه8 ‎ul‏ برابر صفر باشد. چون این ثابت به تابع مربوط می شود و تابع کسینوس یک تابع زوح (م‌بستیم/ 2 کم ‎Ele‏ هرت متسه تام روج زا حرف کرده امن را حودي مرزى داريم 

صفحه 226:
فصل 2 دمنگه هی مختمات ادامه مثال 34-2 صفحه 115 کتاب: بنابراین بالق -1,2,3....2-م) (2187ل) - 20-01 پرسش چرا0-ونبی بواند باشد وهمی روش رآیرای رو با ل معمولى ديكر اعمال مى كنيم و به تقيجه هاى زير مى ‎=e q=123..‏ Sul gait al 1 oe a (02-87) eo (2-87) ‏یر + زیر + هر هر‎ eb GD), jl a ۳ Ce 5 (H+S+e ويا )2-88( اما كمترر ‎ese ea‏ كه ارتم < م اشير بنابراير نشرجة وى ‎ae‏ 2ك | ۲2722 4 مه دم 

صفحه 227:
فصل 2 «ستگاه های مختصات جداسازی متغییرها دردستگاه مختصات استوانه ‎V (Osby) st‏ باقرار دادن . 0-, رف + 5 + ۷ Using fi), 12 pop op pay Fat anne ose (P04 (6,0, =P(p)O@)Z(9. 02 100 _ =IZ ‏تفا‎ ‎igs on ‏قرار دادن درمعادله هلمهولتزوتقسیم آن ب‎ Pap gt te aaah ad cass ‏به‎ 

صفحه 228:
۱ و داسف هد 3 ور ال کلی باس ها اد ‎les‏ COC YA) ‎(e”,6™) (cosmmp,sinmp)‏ یا : برای معادل210۵)؟ ‎Yimn‏ يا ‎Vin =P By PXZ) Pye +‏ وبرای معادله(3)تابع بسل که به صورت __ بیان ‎AineP nl PIP PZ‏ 2= 7 درتتلیجه جواب عبارت است : ‎nm!‏ ارد فز ‎Oe‏ وب کل که ترکیب خی ‎ 

صفحه 229:
فصل 2 دستكاه ای مختمات ‎WY‏ ‎ZS 2‏ مثال (35-2)صفحه 119کتاب: کاواک دواری به ‎ore‏ قاعده 2 در نظر بگیرید که دیواره آن کاملاً رسانا باشد. امواح کل وی زمای مان مغناطیسی به صورت_ آنگاه وسار ماكسول نتيجه مى رتولا 2ل ‎Ux Ee‏ 104) با شرط ‎oa yh‏ 413 2میدان که :در معادله ‎Ep =a) = a? =0e oll‏ 5 کند, آن شب با شرا VV EWA. VIVV nas FS OS oe ‏صدق‎ حل: با توجه به اتحاد زیر معادله ‎PBB)‏ می کنیم اما می دانیم است» در نتیجه - برد << 0- 5ب + ۲۷۴ WV.E- VVNE=07¢ ty. E ماع گنه = ‎WE‏ 

صفحه 230:
فصل 7 دستگاه های مختصات ادامه مثال (35-2)صفحه 119کتاب: اما مى دانيع/] 172 |/1 172 بس دارم (2-105) 0- يعن + ورم البته با شرط م29 (2- م)ي و با استفاده از معادله (90-2). معاذله (105-2) به صورك زير در مى آيد ‎a‏ ات ذال هف 127 (02106- رةه + عك م 2 اكنون فرض مى كنيم (2-107) 2)2(م) (م)ط - د رورم )يط با نشاندن (107-2) در (106-2) و تقهَكّم آن بر داريم بح 1 , 1_2 _, قدى 1.2 ‎db p> ad 27 07‏ © من طم آکون کارت وایسته به مخنصه 2 راگرایر با یه pop” 6۵ 5 5 

صفحه 231:
نع بن فصل 7 «ستگاه های مختصات ادامه مثال (35-2)صفحه 119كتاب: توجه داریم پاسخ های معادله بالا برای حالت مو اورت و براى مسئله هابى با#2محدود ل خوانفد ‎“yt G51‏ فرض می ‎os‏ باشد و جمله ‎d@ ee‏ 1 جدا و برابر پا یریم 302 © 209 ليه ‎ie, e/) [sinmp,‏ که پاسخ هایی مت سرائجاوم ةالوو درگوگ ol جارك الا معادله بسل است و در مورد پاسح های این معادله و ای ال در نصا ‎oles ye‏ بان سل به تفصیل بجت خواهد شد. 

صفحه 232:
فصل 2 دستگاه های مختصات تاه ‎Si‏ مثال (36-2)صفحه 121كتاب: معاد ل ‎VEL‏ رادر مختصات استوالم )ص يوقتيؤه است حل كنيد. ‎ons‏ ‏لما 0 مه 21901 07ل ۳ 22 2۵2 تم "م2 ‎“pop‏ اما چون ((0) ۸ است بنابراین جمله اول معادله باقی می ماند. یعنی داریم 2 1 0= 0 116 ‎p dp~ dp‏ دو سمت معادله بالا را در ۸ ضرب می کنیم و مى رسيم به نت ‎ape‏ ۳ ‎—(p 2 =)‏ بنابراین عبارت داخل پرانتز باید برابر با مقدار ثابتی باشد» اين مقدار ثابت را مى گیریم ‎pit =k‏ در نتیجه پاسخ معادله دیفرانسیل مرتبه اول بالا را می توان به صورت زیر نوشت C1 >72< y(e) =kinp +a ied 

صفحه 233:
فصل 2 دستگاه های مختصات ادامه مثال (36-2)صفحه 121کتاب: که هیک ثابت اختیاری دیگر است. اما با توجه به شرط مرزی داریم ‎(Po) =O‏ عمد م بنابراین ‎I‏ له (111-2 شان حا ‎I‏ دس را در معادله ( ) می فشانب حاصلوبرا برابر صفر می گیریم و می رسیم به در نتيجه داریم وم ‎a=-‏ نشاندن مقدارة در رابطه (111-2) باسخ به دست مى آيد ا (ومصا - مسلط ممصطط - مسقاح (م) بن وم 

صفحه 234:
ای فصل 2 مشاه های متضان ‎WY‏ مثال (37-2)صفحه 122کتاب: نشان دهید اگر در معاوله هلمهولتز خثابتنباشلامللقه برابر با تابعی از چون باشد, هنوز اين معادله را می توان در دستگاه مختصات استوانه ای دوار جداسازی کر 2 ‏اه‎ Baty) ti ‏جامو ویر و‎ ۳ =o V (0.4.2 =PH)®BAD ‏آکنون مانند متن درس فرض می کنیم‎ ل 22 ‎_PZa’o‏ طو ‎eZ d‏ ‎ets‏ أن در له هلمه وم ۳ ‎١‏ ‏22 1 1 عا بتکم ناهيج" 6 ‎Z dz‏ ام م و عبارت را برابر با 

صفحه 235:
‎ae‏ فصل 2 دستگاه های مختصات ‎ ‏ادامه مثال (37-2)صفحه 122کتاب: ‏و به نتیجه زیر می رسیم ‎i gly, ik i ‏م‎ ‏2 حم 6 ‎pP dp” do” p*® dp ‏ضرب می کنیم و نتیجه را به صورت دو جمله در می آوریم‎ 7321) Vy alder Gy) ‏که یکی تابع و ديكرى تابع © باشد‎ ‎- a? +Hp)=0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‏اه را ‎pd (dP‏ 0 سومين جمله را كه فقط تابعى از 4 است برابر ب221. - مى كيريم ‎ee‏ 1 ‎ae?‏ © سرانجام داریم 0- و - مه -(معناء گم گید ‏08700 بنابراین معادله اصلی به سه معادله دیفرانسیل معمولی جداسازی شده است. ‎ ‎ 

صفحه 236:
فصل 2 دستگاه های مختصات جداسازی متغیرها در دستگاه مختصات قطبی کر لا :)2۷ ‎y‏ ‏اقراادلاو 1 ‎ing oY‏ 1 _ دپ دبظ oe Fam ag nee. ‏4ات‎ 1 9 1 ۷ )0:0,۵( -716)0(6)۵( v ‎oo nie 0‏ )9( باقرار دادن ‎ee‏ هلمهولتز ونقسیم طرفين معادلة بر( دار مک ی رید معاداظ «لقتراتسيلا (6)0 > که وا هات رابه دست ‎gro‏ ‎ 

صفحه 237:
۱ بي اسف هد 3 معادله شعاعی(معادله کرو ابْسل) برای یافتن ‎oe‏ 0 عر ‎ue‏ و که به ازای,ثابت مثبت roll VSO ‏واه‎ Op Qe Oss vie پاسخ کل حعاتله هملهولتز درمختصات کروی : كد کر( رورا + ‎a‏ ‏هلمهولتز را م توان باروش ل ا مي < لاكر مى رسيم. 

صفحه 238:
نع بن فصل 7 «ستگاه های مختصات مثال (38-2)صفحه 125کتاب:نشان دهید اگر در معلل1 - 12 هلمهولتز باشد باز هم آن مقادله را مى وا را دا ای ی رو ۱ حل) معادله لتر را به مورت نی سا 82 +( و ‎a), 1 os iC‏ 16 و۳2 00 ‎Por or‏ (0()۵) ۳120 ع (0,۵:) مره و با نشاندن آن در معادله ديفرانسيل ‎het Be‏ عبارت بر 1 dod 1 6: ‏داريم‎ a Ors ۳ a Gente ae ee rsira ss ‏تب‎ im ®. Lil 2B aint -0 dr © DP 

صفحه 239:
فصل 7 دستگاه های مختصات ادامه مثال (38-2)صفحه 125کتاب: اكنون عبار 2 را به سمت دیگر معادله می بریم ‎sin Oy flr’ sire 0‏ 4 کب ‎a ae eget‏ 2 ملاحظه می شود که سمت چپ معادله ‎VO‏ تابعی از 9 ‎crow‏ © ‎ul eu,‏ تابعی از و است. چون ایز7مفاد باید به ازای همه مقادیر و و برقرار باشد, بنابرایژگلقر سمت آن باید ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‏برابر با مقدار ثابتی چون باشد. ازم‌چمله “رك م ساق معن عرو ‎d (20K sit d (ing).‏ 9 517 ‎R dr ar © 0 a‏ ‏اکنون این معادله دیفرانسیل جَئَِلا به صورت دو معادله ‎1 ‏ديفرانسيل متويولى رمي ذ ای ابر عمل[معادله:‎ Fan Ge Soins BOO) NOR er gl ‎ ‎ 

صفحه 240:
فصل 7 دسنگاه های مختصات ادامه مثال (38-2)صفحه 125کتاب: دو عبارت ‎“fey.‏ رابه سفت ذيكر معا مى بريم 24 184 تمت ,® 1 أت ال 0 بار ديكر بنابر همان استدلال قبلى هر سمت معادله بالا را برابر با مققدار ثابتی چون مى كيريم ‎nt‏ 1 ‎eo a 9 | - 0‏ 0- قر - عرصم +9 0 كه اين معادله را مى توان به صورت زير درآورد ۳ - ‏0-جر(قرر‎ (e189) 

صفحه 241:
فصل 7 دستگاه های مختصات ادامه مثال (38-2)صفحه 125کتاب: چنانکه ملاحظه می شود معادله هلمهولتز را می توا ‎SLE aS‏ جداسازی کرد اما تفاوت اين جدآسلزی با حالت ثابت ‎٠‏ تنها در شکل دو معادله (2-124) و (2-126) است. معادله (2-126) را معادله همیسته لاگر می تامند (در فصل توان خاص در مورد اين معادله مفصل بحث خواهد شد) و در مسئله اتم هیارآگزی گر حل معادله موج شرودینگر ظاهر می شود. توجه داريم شرط به طورکسرده در مسایل فیریی ۳ ‎fae IS‏ روش جداسازى متغييرها در مختصات قطبى کروی در آن بسیار کارساز است, زیرا شرط درط هاء كراش الكر وا زسارى. فيريكة هة |2 و سر برقرار است. 

صفحه 242:
۷ فصل 2 دستگاه های مختصات ‎WY‏ ‏۱ 12 مثال (39-2)صفحه 126كتاب: معاد ل عا يلال ‎=wW,‏ )= حالتى كه باشد در مختصات قطبى كرون خل كنيز حل) با نشانداك) > 017 در معادله لايلاس داريم: WY \\ # ی 0 1 ‎ae)‏ ‎r as aE‏ درس فادله بالا تاد ضرب مى كنيم ‎d‏ ‎eo‏ 2 ‎ar” ar (2-127)‏ بنابراین باید عبارت داخل پرانتز را در معادله (127-2) برابر با مقدار ثابتی چون8 باشد ‎pw a‏ ‎dr‏ ‏يا ‎ay a is‏ (2-128) ۳ کهای معارله (128:2) به صورت زير خواهد بوز ‎Ms‏ ببس ‎oo (2-129) ۲‏ < () ۷ ‎ 

صفحه 243:
فصل 2 دستگاه های مختصات ادامه مثال (39-2)صفحه 126کتاب؛که در آنه وط دو مقدار ثابتی هستلد و شرط مرزی می توان یکی از آن دو را انجس ديكرى له دن آورة 5 ‎yg) =- oe‏ a b= ‏یعنی‎ ‎i (2-130) thi ww (IR4-2) ‏با نشاندن (130-2) در‎ 2 ا خ شي مره )2-131( ا كا که مقداره را می توان از شرایط اولین مسئله تعیین کرد. 

صفحه 244:
الف)معادله رسانش گرما يا پخش نوترون این معادله به صورت زیر است 0 رات ‎eu, 2‏ ‎ot‏ ‏بر . ممکن است دمای ماده همگن باشد زاین ‎yg‏ راتابک گرمای می نامندکه تابر است با كه درّآن رسانای گرمایی و گرمای ویژه و 9 كالى(اجللام است. 1 ممكن است شار ذرات در درون یک 0 ماده همگن باشد که در این صورت را >< ثابت پخش می نامند. ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 245:
تعر + فا ‎sf"‏ هی وان به آسانى با انتكرال كيرى تابع رایافت. ب) معادله موج 0 7 این" معادله به صورت زیر است ‎ean‏ £ م معادله هلمهولتز : Wut) + Kur) =0 ره ممکن است بیانگر جابه جایی از 2 تكادل سيم يا غشا یا ماده ارتعاشی باشد در ححه این صورت خواهد بود 

صفحه 246:
هت باقرادادن درمعادله اصلی و تقسیم -طزفینممادلم‌بغ۲ 0- تؤاهيم الإيبلك: معادله هلمهولتز: ‎agin dt cos cle | | ea a=)‏ الاج آن به صورت زیر است: 

صفحه 247:
فصل 7 دستگاه های مختصات توا تپ مثال (40-2)صفحه 130کتاب(سوال4تشریحی نیمسال85-84): اگر سیم کشسانی به طول اکه دو سر آن ثابت است, به ارتعاش درآید به طوری که (],۷)داانحراف سیم از وضع تعادل در معادله دیفرانسیل (معادله موح یک بعدی) زیر صدق کند, با روش جداسازی (],دارا به (فتنکآوژی _ 5۳060 28 ox (2-150) حل) چون دو سر اين سیم ثابت است بناببیچ ‎UDO Ds iro LHD‏ ارات (2-151) به ازاوع جسمع رمق اويا )ن با استفاده از روش جداسازی, و با فرض ‎Ge 2 ۳‏ و نشاندن آن در معادله می ‏ عم ‎BAG‏ رسیم ‎00112 ‏و ‎ong‏ ‏دو سمت معادله با رو چم 6 ‎eS SPREE‏ نتيجه ‎ ‎ 

صفحه 248:
‎ae‏ فصل 2 دستگاه های مختصات ‎ ‏ادامه مثال (40-2)صفحه 130کتاب: به این ترتیب متغیرها جدا شده اند و می توان هر سمت را برابر با مقدار ثابتی گرفت. فرض می کنیم ‎ ‎1 ۳ _ ‏(2-152) وي و در نتيجه داريم ‎1 2278 ‎7 ae ~ ck (e489) ‏پاسخ های معادله (96-6) را می توان به صورت زیر نوشت ‎ud =|coskxsinkx, |e 6 “(e.a0) ‏با توجه به این که دامنه #ربین() تا .| تغییر می کند» استفاده از صورت اول برای پاسخ‎ ud = Acosis Bsingg ۳ 2۳۹ ‏رو‎ ‎Gel U(0)=O میناد ‏ایط مرزی (-90) را اعمال می کنیم و می‎ ‎ ‎ ‎(0) = A=O ul (66-6) sh ‏نشاندن آن در‎ 9 ‎ ‎ 

صفحه 249:
فصل 2 «ستگاه های مختصات 7 ادامه مثال (40-2)صفحه 130 کتاب: یعنی به طور کلی پاسخ »۷ 05 حذف می شود.چون کسینوس تابع زوج است می گوییم پاسخ زوج معادله مزبور حذف شده است. سپس شرط مرزی بعدی ‎u(L)=0‏ را اعمال مى ‎u(L) = Bsink. (ease)‏ چون 0 ع 23 است (چرا؟)؛ بنابراین ‎sinkL=O‏ یعنی 6 باید برابر مضرب درستی از72 باشد. پس نتیجه می گیریم ‎ne‏ ‎n=12,... e406?)‏ سح عبد ‎AL=‏ لذا پاسخ («)لا رابه صورت زير مى نويسيم َ ne ‏)ره‎ > Bsir| ee | n=1,2,3,.@«6e) ‏را ازرابطه‎ K ‏اکنون در مورد حل معادله (©-©©)) بحث می کنیم. در این معادله مقدار‎ (007-0) می نشیم تا نتیجه زیر به دست م مس )227+ ‎aD‏ 

صفحه 250:
فصل 2 «ستگاه های مختصات ادامه مثال (40-2)صفحه 130کتاب: کر ال فرص ل ‎eam (2-160)‏ پر2 1 ‏پاسخ های معادله (96-6) مانند (0-*106) یا به صورت توابع نمایی و یا به صورت ‏توابع سینوسی و كسينوسى خواهد بود. در اينجا توابع نمايى أنها را آنتخاب می کنیم ‏ردمدی ‏ 7 عرط + “منورج - )7 ‏سرانجام جون (0)<(1)6ا> (1),6) استء بنابراين نتيجه مى شود ‎Fie Pat) sin Se‏ + #معى ير )- 1-22 ‏که در ‎cul HAD, , E=AG si‏ این مقدارهای ثابت را می توان از شرایظ اولیه هر مسئله تعبین کرد. توجه دارلل 2008 لآ چیر_ در معادلهدیفرانسیل (100(6) صدق می کند. نبراین این توبع را ‎Anse SPS eb odes‏ ‏را ویژه مقدارهاى سيم ارتعاشى و ني مجويقه را طيف اين سيم مى نامند. ‎ 

صفحه 251:
.., فصل 2 «ستگاههایمختصات مد بآ 7۱۳ ی ادامه مثال (40-2)صفحه 130کتاب: های آن 

صفحه 252:
فصل 7 دستگاه های مختصات ادامه مثال (40-2)صفحه 130کتاب: ‎AL‏ ‏ملاحظه مى شود کی هر ري مك ع است. اين حركت را مد بهنجار" ام سیم می نامند. و اولین مد بهنجار(1 ارا هد ايه ده رف 23 د | ...کسیر ‎sin x=0‏ چون به ازای عبارت مى شود ‎epee rera eld‏ ل سس سیم تعداد (061)گره دارد. کل از در رو شاک حرکتی نداشته باشد(رک شکل10-2). ۱ oe. (150-2) ‏دلم‎ ۱ ux =S. ‏تقو فتلت‎ des 2 

صفحه 253:
بج فصل 2 دسنگه هی مختمات ‎NVA‏ ‏۲ 2 ‎by‏ ‎hd 525 cla Slee 5) Gy pls 1p SIO PS Cus‏ هستند؟ لف: ‎Ly () =e‏ ‎Ly =| Gr ‎Ly (= f dO) ‏ج:‎ ‎ ‏ب: + ‎ ‏حل:الف:خطی نیست زیرا ‎VO. FO ev‏ = ( 2 )ر ربط + 30 )3:1 ) 1 هن ‎FAP + bE zaly, (0) + bly‏ ‎By 69) =F (cay 9 + By (29) ain as‏ +29( رمت )يم ‎ ‎d d gel ees ‎ 

صفحه 254:
فصل 2 دستگاه های مختصات ادامه تمرين ©-©-1)صفحه:0©)كتاب درسى: ‎d d‏ ‎Ea Ae‏ نا اک ج:خطی است زیرا > 0(۷ ,۵۷ + ۵) ,ها ‎BY09) = f‏ +29 متعاية af, de(ay (0x) +B f) dey.) =algp (2) + ‏فد) و روا‎ 

صفحه 255:
نع بن فصل 7 «ستگاه های مختصات تمرین 0 0-0صفحه ‎oe‏ کتاب درسی: ‎us‏ دهيد < (م. ,0 ]ما مس یج + )0 + ‎K+ Fi)‏ Oe See Vip (0.9) + حل: ‏ 2724 (2:0,۵) 1۶ وجاگذاری درمعادله وتقسیم بر /3 6ه 1 21589 1 ‎no‏ ‎Z| si 2 |‏ + + جر ‎GF) Kp)‏ هگ 1 0= ۶ + یز ‎ee‏ ‎ca a 22-2‏ ۱ طرفین معادله را در 0 5117 12 ضرب می کنیم تا ۴ مستقل شود؛ پس داریم: كت ¢ ‎ah) sie‏ 2 0 تزع ‎dr) © 6 ao‏ 0 2 ( sing tS a + sir 02+ £())+ g0)sir 0 + He) =O 

صفحه 256:
فصل 7 دسنگاه های مختصات ادامه تمرین 6-0 صفحه 06 کتاب درسی:تابعی/از 9 1- مه وسپس معادله رابر 5110 تقسیم مى كنيم تا عبارت مربوط به 6 جداسازی 1 شد[ اه ری ] 8 1 9 | تچ« ‎Rar‏ > = 7 ‎mia 1 CE f(D) + GOA) =‏ - 9 _ گر را ری 1- تابعی از ‎ :0‏ وج (9)6 اه هاش >= 1 وبا جایگذاری درمعادله قبل تابعی از 2۳ داریم: ۰۸ = p24). Pues £(2))- 7? =0 

صفحه 257:
فصل 7 دستگاه های مختصات تمرین0-0-صفحه 196 کتاب درسی: نشان دهید معادله هلمهولتز در دستگاه مختصات استوانه سهموی (۷,2,لا)جداسازی می شود و سه معادله دیفرانسیل معمولی را به دست آورید. ‎Vy + Ky =O us‏ درسیستم استوانه ای سهموی داریم: ‎Oy , Ory Oty =‏ 1 ‎=O =UVZ‏ + + + 22 | لس وطرفین راب / تقسيم مى كنيم ‎VZ 20 UZ 6۶1۷ 2‏ ا لم 7 سان رت = هر ب ‎OZ‏ 1 22 1 5 1 ‎UQP+V) aw VWar+vyav Zaz‏ ‎١‏ ات 1 ۲ ‎Zor =‏ 

صفحه 258:
فصل 7 دستگاه ای مختصات ee دامه تمرین 0-0 (کصفحه 1606 کتاب درسینبا جاگّاری- ضرب می کنیم: 1 220 1 22۷ ‏مر‎ = Dat ver Ete +v)=0 1 07 -- 1 7 ‏مرمع (قل+ )لا + مرج‎ + VE +k) + nt =r Vav 

صفحه 259:
فصل 2 «ستگاه های مختصات تمرین0--صفحه (106) کتاب درسی: کدام یک از معادلات دیفرانسیل جزنی زیر را می توان با روش جداسازی به دو يا چند معادله دیفرانسیل معمولی تبديك كرد؟ ون 02 5 رو چگ باه ‎Yay‏ وج ‎poe =02‏ 22 1 as ‏حلبب:‎ ع قر عمد مات 32022 = -0 ax “ay av * ay ‏رو ی 2م تر‎ 22 22 _p 6217 ‏ور‎ Xax Voy XK ar Yor 22 oor 5 6 12 UX ai + x SS Oe ae ۶ X ax Tae 2 26 ae ai or Ae ox Tot <> on 

صفحه 260:
NY As ریم ثم تمرين©-©-©صفحه 106 کتاب درسی:نخست معادله موج را در مختصات دکارتی دو بعدی »رو ۷ جداسازی کنید. سپس غشایی مستطیل شکل به اضلاع ج و امطابق شکل زیر در نظر بگیرید که لبه های آن محکم نگه داشته شده باشند و نشان دهید که بسامدهای این غشا لز رابطه زیر به دست می آید که در آن 0 و ۲5 اعداد صحیح مثبت اند. حل: 

صفحه 261:
فصل 2 «ستگاه های مختصات 7 ادامه تمرين©-©-©صفحه ©09 كتاب درسى: 2200 8210 0 Ox ey ‏جرهم‎ - ‏آم‎ 122 2 , XYD*Z ‏ده‎ oy oF با تقسیم بر 17 داریم: ‎ol‏ لا رن 1 أت 1 يدم 1 ee ee ‏ت‎ Toe X ax Yay Zar 18x ‏بر‎ 1eV_ ‏ج162‎ ‎xX ox " Yor ’ Zor 2 6 1 0- ( زر + ور + 3) + ۳ 

صفحه 262:
Se 1 الاسم تست ۵:کدام یک از عملگرهای زبر خطی اند؟ Memeo | face FeV ‏ی د‎ حل:عملگراخطی است اگردرشرایط زیر صدق کند ماع ( 112 ‎Q)Lep, ty.) =Ly, + Ly,‏ حال به بررسی تک تک گزینه ها می پردازيم nav) =| Gave] + ‏رمج عدج + |ض ميق مده‎ “Mos 05 Liaw) =f, ‏هد “فد (قد) بع )غك‎ dx (x) x)? aie Dette. 

صفحه 263:
ادامه تست ۱۵: كزينه ج: كزيئه د @ gt ale فصل 2 دستگاه های مختصات Lay) =asinay #aLgp Lay) = (ay) = ae Fy = aly (x) (9 +y(%) = Fs LY +2) a 

صفحه 264:
‎ae‏ فصل 7 دستگاه های مختصات ‎ ‎y =‏ تست ۱۶:جواب معادله لاپلاس 0< ۷۳ برای ‎Mees vO)‏ استوانه ای ‏عبارت است از: ‎۷ ‏د‎ es wy =Glnp +e, ye ‏ج: كه + مود بن ب “مود بن‎ ‏ل ا‎ 8 0 Mv Thi nie ۳ hog |” ۳۹ ag | ‎ ‎ ‏برای دستگاه استوانه ای: ‎1 ap oY ‎a” [5.2 [0% ap) prog? oF ‎aS ‏مت‎ ‎ 

صفحه 265:
‎Br‏ 5 فمل 2 اه هاى مختصات ‎ ‎Maa ‎۸ "op? ‏درمعادله لاپلاس قرار می دهیم: ‎ ‏= ۸۷-0 + ما ‎op p M op‏ م م2 ‎op‏ ‎+= ay Bye er ‏مصاوع‎ + ‏م‎ ‎ 

صفحه 266:
فصل 2 دستگاه های مختصات 5 دب تست ۱۷:کدام یک ازعبارات زیر نمی تواند پاسخ صحیحی برای معادله دیفرانسیل 7و @(¢) =Ad” + Be’ - OG) ۸۵۶ + ‏و‎ 1" ©) =Asin@p+a) ‏د‎ &(¢) = Asinm) + Bcosm > حل:معادله دیفرانسیل0- ور + ‎sp WX=0 dole 42. OP‏ سیستم. جرم وفنر می باشد که جواب آن تابعی"نوسانی است یعنی به صورت ‎Ae" + BEI‏ = ( )یز به طور مشابه برای معادله این مساله داریم: ‎&o‏ )1( **6 + *۸۵- (ماه 0- 210 + جت 

صفحه 267:
.. فصل 2 دستگاه های مختصات یل ست ۲دارریشد 1511 4 009 اسهم کون ی و ۱ 018 +i(A- Bsinmp =Acosm+ Bsinmp (2) همچنینبدنر کرفتن ‎asB = ACOS, A = ASIN‏ مندریثابت است میتوان شکل ‎=A cosmp + Hsin = Agi gi C05 Si‏ )019 singy+a) (g) =Asinoy+a) (3) oer ©(¢) =Acosmp + isinmp]+ Acosnp- isinm]=(A+ B)cosm هرسه شکل (۱)و(۲)و(۳کمی تولند جواب معادله دیفرانسیل باشند وتنها گزینه الف نمی تولند پاسخ صحیحی باشد چون تابع نوسانی نیست, گزینه الف پاسخ معادله دیفرانسیل زیر است: ‎do‏ 3۳ mt® =0=> 0(¢) =Aée” + Be™ 1 

صفحه 268:


صفحه 269:
فصل سوم : در لين فصل درمورد تانسورها وكاريرد هاى ‎ol‏ 45 در شاشه هاى مختلف فيزيك چون مکانیک کلاسیک.الکترومغناطیس.نسبیت خاص و غيره به كار مى روند . ‎-١‏ بردارهاى يادوردا وهموردا راتعريف كنيد. ‏وريه سور رامشجص وید خصوص مولفه های تانسور باد وزداى رنب دوم و حور اک ‏رتبه دوم تعریف کنید. ‏۳- تانسورهای موتبه صفر‌یکم ودوم راتعریف کنید. ‏۴- بربری جمع وتفریق وضرب داخلى وخارجى تانسورها رابنويسيد. ۵- ويؤكى تانسورهاى متقارن و يادمتقارن را تعريف كنيد. ‏۶- تانسورهای دکارتی ودیادیک ها راتعريف كنيد. ‎<-> ‎ 

صفحه 270:
تانسورها مقدمه یف ‎Divers ks one‏ سروکار داریم که نه اسکالرند و نه بردار, به آنها تانسور می گوتیم که ندز واقع اسکالر و بردار را نیز شام مت تتيوند. مثلاً در ‎oglu‏ تانسور جرم و ها مولفه های آن هستند. در رابطه تانسور ‎eee‏ ا ا 321 باشند. ‎eee‏ ‎Ls ‏نماد نویسی و قراردادها ‏*در فضای لا بعدی, مچموعه ‏مؤلفه های مختصات در این فضا می باشند. که(جرَ) شاخص است نه توان و در صورتی که هم شاخص ‏و هم توان را لازم است به کار ببریم. عدد توان را ‎ 

صفحه 271:
Xo =x" (x,x..... x") 1sasN ‏*و مشتق این دو رابطه عبارت است از:‎ ‏و مسق ابن دور بارت اسیی‌دربج‎ ‏سر << کت‎ 1<i<N as = ox ok l<a<N 2 ور *قرارداد جمع اینشتین: اگر شاخصی (به استثنای ‎(N‏ ‏طني در جمله اى تكرار شود. عمل جمع روى أن شاخص ان .+ ee Se 

صفحه 272:
EB oe le a 0 فصل‌3 تانسورها *روابط قبلی با استفاده از قراردادچمه اینشتین: ‎dx ae ax 1<i<N‏ 55 exe ee Xa SN *شاخص آزاد: در صورتی که در جمله ای يانه آن شاخص ‎Ss‏ ين 11 ا للا ديه ويه ۱ ‎aS et‏ *از آن جا که مولفه ‎a‏ کتختصات ‎glo‏ ‏یکدیگر مستقل اند, در نتيجه: که دلتای 

صفحه 273:
فصل3 تانسورها بردارهای پادوردا و هموردا *اگر !| گمیت توابع*ق از لاا مختصه : باشند, در صورتی آنها را مولفه های یک کزدار پادوردا می گویلء که اگر در دستگاه مختصات دیگری چون اندازه گیپری وكداق ای مولفه ‎sk‏ باشند در رابطه زیر ‎dui Ge,‏ ‎an = ox‏ ‎x A‏ ‎xe x‏ :1 1 كفت دایعی از پات رو ورب آنها را ‎oe‏ ار هموردا می نامند که با استفاده ار تبديك مر ‎ou claire‏ در رابطه مقابل صدق,,. 

صفحه 274:
*مولفه های بردار پادوردا با شاحص با و مؤلفه های بردار هموردا ۳ با شاخص پایین نشان مى دهيم. *سرعت و شتاب بردارهاى يادوردا و كراديان (شیب) میدان نرده ای یک بردار همورداست. تانسورهای رتبه دوم *مجموعه توایع را مولفم‌های,تانسور, ae asst St Saag ‏پادوردای رتبه دوم ی‎ اشيم 4 كه مؤلفه هاینتانتمون‌دن ‎olSiw>‏ ‏6 يريم دار هستند. 259 تيرج ‎Ox”‏ 8 > مجموعه توابع ۳ ۳ مولفه های تانسور 

صفحه 275:
*مجموعم‌اتوایع را مولفه های ‎a‏ رتبه دوم (تانسور پادوردای رتبه یکم و تانسور هموردای رتبه یکم) ارگویی اگر درزابطه نپر صدق کند: 2 اور رب نکم هسان بردار ایب که در حالت کلی, !۱ مولفه دارد. *تانسئوررتبه صفرها نها یک مولفه دارد که به <a آن تشر ار لكريم *مجموعه تابع را مؤلفه هاى يى تانسور يادورداى رتبه م و 

صفحه 276:
Wy ادامه: a, 0X" Ox" ax ax 7002۰. py ‎P‏ 1 .و ولج( رح ‎ax! 3 ax’ ox"‏ ...و0 ‎aS‏ دن( >> ,0 > و >1) 9 ‏شاخص های ازاد هستند.او مقادیری بین 1 تا !ا را مَمٌْاگیرند چون هر شاخص 5 می تواند !| مقدار داشته باشد بنابراین تانسور مؤلفه خواهد داشت. ‎ ‎ 

صفحه 277:
Wy 5 جبر تانسورى برابری تانسور و تانسور صفر BS 2 a AN ‏*دو تایه ور‎ در صورتی برابرند اگر و فقط اگر رتبه های پادوردا و هموردایشان ان باشند و هر مؤلفه یکی برابر با مولفه:متناظر دیگری وم باشد, یعنی: me ‏#اگر تمامی مولفه های تانسوری با رتبه‎ ‏کل ۲ متحد با صفر باشد., آن تانسور را تانسور‎ ‏صفر می نامند.‎ "**دو تانسور هم نوع: اگر دو تانسور رتبه 

صفحه 278:
فصل‌3 تانسورها جمع و تفریق تانسورها: *دو تانسور را در صورتی می توان جمع یا تفریق کرد که هم نوع باشند حاصل, تانسوری با رتبه های یکسان با تانسورهای اصلی است و مولفه های آن برابر حاصل جمع و یا حاصل ‎ee‏ = متناضی‌یو تانسور.ایسیخ: ی ‎views‏ 1 - *تفاضل تاتورها: بر رصع رو زمر 

صفحه 279:
ضرب برداری تانسورها *اگر هر مولفه تانسور اول را در هر مولفه اكور ارك ري ‎lee as‏ التسوري است كه رتبه آن برابر با جمع رتبه هاى دو تانسور اصلی می باشد. چا مر ضري ‎key‏ برداری دو تانسور می گویند.7 Ey, Al i aie Cy Cl = Al BE ‏ضرب نرده ای تانسورها‎ Goal ‏*تانسور را ضرب"‎ ‏تانسور گویند هر گاه:‎ 

صفحه 280:
فصل3 تانسورها 3 تانسورهاى متقارن و يادمتقارن *تانسور متقارن يادورداى رتبه دوم: Ai = Ai ‏تان ر متقارن هموردای رتبه دوم:‎ ‏و اضر ور‎ ‏*تانسور پادمتقارن پادوردای رتبه دوم:‎ Al = Al ‏تانسور پادمتقارن هموردای رتبه دوم:‎ Al =- Ali *تقارن یک تانسور, ویژگی ذاتی آن است و مستق[ از گزبنش دستگاه مختصات است. 

صفحه 281:
تانسورهای دکارتی و کاربردها ۳ *اگر دستگاه مختصات دکارتی راستگردی را ‎ea‏ 0 و لكات رام ‏رابطه تبديل به صورت زیر است*** د ‎ey ‏* هاء کسینوس هاعا هادی ‎sto‏ با شنودو به صورت 4.5 با هم ارتباط دارند *دورايطه مهم؛ ‎Bay =O x‏ ‎Ay Aix =d ‏عقر‎ ‎NY ‎ ‎ 

صفحه 282:
فصل3 تانسورها تانسورهای دکارتی *تانسورهای دکارتی رتبه ۲ در فضای اقلیدلتی سه بعدی مجموعه ای از موّلفه است که اين مولفه»ها طبق تمایلات مختصات دكارقي, تبدیل ‎Cig‏ وگ فر ‎Oty‏ 0406© *تانسور همسانگرد: در صورتی که تانسور دکارتی, مولفه هایش تحت چرخش محورها بدون تغییر بماند, تانسورها همسانگرد است. هر نردار (اسکالر) یک تانسور همسانگرد رتبه صفرم است. زیرا مقدارش در تمام دستگاه ‎sh‏ مختلف یکسان ‎scl‏ اما هیچ تانسور 

صفحه 283:
کاربردها الف:تنش, کرنش و قانون هوک *در تنش ها و كرنش ‎slo‏ کوچک, بنابر قانون هوک,/تلش با کرنش متناسببهاست. اگر مولفه ‎sk‏ تانسور دکارتی تنش و مولفه های تانسور دکارتی کرنیتی,باهتد ,كد داریم:ست 81- 3۶ g ‏که ضَزایب‎ ‏مقلفه اند)"رَاسَدولَ ای‎ ) ‏كسان دن امن‎ ‏ال کم رانطه‌ ای خی ين‎ ‏مولفه های کرنش ( . ) و مقلفه های‎ ۳ 

صفحه 284:
*تانسوزهای ۸ و « وارون یک دیگرند: ‎Sia =S nf jn‏ بت ‎xX; ©‏ a 1 = ey) Spo, ( ‏*تانسورهای کرنش‎ متقارن اند: باکر یک و پدیررفتاری ‎ESPEN cs)‏ *وابطه پذیررفتاری دی الکتریک: که میدان الکتریکی و قطبش الکتریکی و تانسور پذیررفتاری دی الکتریک محیط می باشد. ‎was, 2°‏ بلورها به علت تنش نگاتیکک - 27 , ‎ 

صفحه 285:
کف را ‎a‏ ضرایب کرنش پیزوالکتریک می نامند. *قطبش کل یک بلور پیژوالکتریک تررك - ج: تانسورهای گشتاور لختی ‎Ly‏ ‏52597 دورآنی, لختی دورانی تانسور رتبه 2 است. برای نمونه که گشتاور لختی جسم است. هه یک تانسور 

صفحه 286:
فصل‌3 تانسورها دیادیک ها 7 *اكر بين داق برتدار هيج عملكرى نباشد, يعنى , نتیجه را دياديك مى گویند. *ترتیب کمیت مرکب در دیادیک ها ‎digo‏ تفت, به طوری که: *#اگر ضرب دياديکي در هر بردار دلخواهی تعویض پذیر باشد, آن دیادیکُم بایخرآمتقازن- 7 باشد. *دیادیک بکه؛ ‎=O‏ : =- U,,U,, =U, عد دان 5 1 پادمتقارن:: 

صفحه 287:
*اگر لا یک دیادیک پادمتقارن و ۷ یک بردار باشد آن گاه: ‎VU =-UV‏ ‎VU.V=0‏ 

صفحه 288:
تانسورها در نسبیت خاص *#تبدیلات لورنتس مکان-زمان: 7 1-2 تنه لله يد ‎wl‏ ‏اور دایی طول پردار: لا وس نک تسیل متعامد دز دای مينكوفسكى است: 65= 0 داراى جهار مؤلفه است و اين بردار جهار 

صفحه 289:
فصل3 تانسورها *تبدیل لورنتس برای هوْلفه های بردار 0551 wv ۲ ‏چاربردار‎ Sly ‏*تبدیل وارون‎ A, => A wA,, V=12,34 ee jie Meles p> (olals)eae ‏ار‎ ‎ph 5% ‏در فضاى سه‎ wl)o = gradD = ‏رجن‎ =) Oxy 

صفحه 290:
As فصل3 تانسورها اعد = 1 7 ‎os‏ جهار بعدى اط 2 ‎a‏ GivA= A=-V.A+ 5 *واگرایی چهاربعدی یک چاربردار. کمیتي نرده ای در فضای مینکوفسکی است. که به ان نردار لورنتسی می گویند. ‎ve‏ ‏*عملگر دالامبری: ‎ne ane‏ در فضای فضای مینکوفسکی ‎wD‏ عار لاست موا 7 ‎sabe Shae + se‏ J, ‏در دی []< (مهد, ل)<‎ 01 a oa 

صفحه 291:
Go aS A ‏*چاربردار پتانشیله- مه‎ 37 ‎ol‏ پتانسیل برداری و پتانسیل نرده ای ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 292:
*شکل هموردای معادلات ماکسول: 2 ۳ یم و ‎oF 2‏ 2 aE i 1 ‏مم ح “د‎ ١ = Waa, Wo B ay 2 6 Hol ۳ 4 =12.34 ‎OVxE= OB _, OFin , OF , OF,‏ دصو ‎wy yg ‏مد‎ -0 ‎@t Om 29 ۰ pM AVA =123,4 ‎ ‎ ‎ ‎en. <= 

صفحه 293:
فصل جهارم رترمينان هاومانريس ها 

صفحه 294:
ص ‎aol Aad‏ وماتريس ها ‎ ‏فصل چهارم : ‏در اين فصل راجع به دترمينان ها .ماتريس هاءوكاربردهاى آنها درفيزيك مى بردازيم. ‎-١‏ دترمينان راتعريف كنيدوبسط آن رابر حسب نماد لوى -جى ويتا ولابلاس بنويسيد. ‏۲- ویژگی های عمومی ومشتق دترمینان رابنویسید. ‏كاوس -جوردن حل کنید. ‏۴- ماترس راتعریف کنید وجبرماتریسی وماتریس های خاص را دانسته وحل كنيد. ‏۵ ماتریس را بتونید ورون, قطری.یانرانهاد سازیدوردیک ماتریس رامحاسیه کنید. ‏۶- ماتریس های متعامد.هرمیتی.یکانی وبهنجاروزاویه های اویلر راتعریف کنید. ‏۷-ویژه بردارها وویژه مقدارهای یک ماتریس را به دست آورید وبه کمک آن یک ماتریس ‏ راقطری کنید. ‎ ‎ 

صفحه 295:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها دترمینان و ماتریس ها دترمینان ها #دترمینان آرایه ای مربعی از اعداد یا توابع است به صورت: 6 طاه © ه هدر © 2 5 #مرتبه دترمينان: تعداد سطر يا ستون هاى يك دترمينان را مرتبه آن دترمينان كويند. #مقدار دترمينان (] بر حسب عناصر تشكيل دهنده آن: « < 2 ‏برع)‎ (6 ijk ae a 

صفحه 296:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها ‎ah 6‏ #مقدار دترمینان مرتبه سوم یی یط ره |<ر1: ‎aha‏ ‏فر كد ‎Ds ye, abc‏ ‎iA ja ke‏ ‎Lgl So‏ ناد لوی - چی ویتا می باشد به این صورت که برای جایگشت های زوج برابر۱+ و برای جایگشت های فرد ‏اک تاش ها تکرا و را ۱۳ باشد. ‏#در نهایت م] به صورت زیر خواهد بود: ‎D=a(be,- bo)- a,(he,- bG)+ abe - bg)‏ ‎ ‎ 

صفحه 297:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها ‎WZ,‏ ‏1 مثال ۱-۴ صفحه ۱۹۹ کتاب درسی: مقدار دترمینان مرتبه سوم زیر را به دست آورید. ah Gg D=|a b G aha حل) با استفاده از تعریف (۱-۴) داریم ج تبه يو ‎D=> > De nad‏ از بسط اولين جمع داريم دس بع 33 DEX Spa bG + € abe + €y34BG) ‎jal‏ زر ‎ 

صفحه 298:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال ۱-۴ صفحه ۱۹۹کتاب درسی: همین طور اگر دومین جمع را بسط دهیم به نتیجه زیر می رسیم 3 (وه ملرکو برع + به ملرکر ورع + ]حمر (ه طلرکو ور + ره ملرکوورع + 6 ملرکرورع) + 1( 6 طلرکوور + ه‌ملرکووره + 6 بطلرکر ور ع) + اما پیش از بسط آخرین جمع, عبارت های داخل کروشه رابطه بالا را با استفاده از رابطه های (۲-۴) ساده می کنیم. می دانیم وو 2۱22 ‎Coes‏ ی کريم (ه ملبکورع + وه بلبکررع) روز = ‎BG + € 234 BG) + (€ 318 BDG + € i324 B,G)‏ ,6214( + 

صفحه 299:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال ۱-۴ صفحه ٩۱۹کتاب‏ درسی: ‎ee ee er oe‏ دهيم ‎D=(6, ADS + €1: AIG) + (612 DG + &2.ABG)+‏ ‎@DG + €13A4D,G) + (€r1 BAG + £2106) +‏ :213( ‎BG + £229 D.G,) + (623 DG + €23AD,G) +‏ 622( ‎AVG) + (E32 BG + €322D,.G) +‏ :€3 + و بلوگر روع) ‎DG + €330,D,6)‏ :33( ‏بار دیگر از رابطه (۲۳-۴) استفاده می کنیم تا به رابطه زیر ‎abg «+‏ - ره + یه - مره + له - ,مه ‎ 

صفحه 300:
فصل4 دترمینان ها وماترپس ها مثال ۲-۴ صفحه ۲۰۰کتاب درسی: مقدار دترمینان زیر را محاسبه کنید. حل) از مقایسه آن با (۱-۴) داریم 21 هر اکنون با استفاده از رابطه (۴-۴) می توان نوشت, B=ahe- aho+abg- aho+aho- abc 2 —B=0- 0+9GO- GOG+OOB- OC-4O Te. =0+24 15+3+4=16 

صفحه 301:
فصل4 دترمینن ها وماتریس ها بسط لاپلاس دترمینان #کهاد: دترمینانی را که از حذف هر سطر و یا هر ستون یک دترمینان به دست می آید را کهاد می نامند و با 24۵ نشان می دهند شاخص های [ و [مربوط به عنصر حذف شده واقع در سطر آام و ستون لام است. #همسازه: برای حذف عنصر [أام از یک دترمینان برای تشکیل کهاد. همسازه متناظر با آن عبارت است از ‎GHC DM,‏ #بسط لايلاس: روشى براى محاسبه مقدار دترمينان است كه نمونه آن را برای یک دترمینان مرتبه ۳ خواهیم ديد. داريم: a ‏ط‎ 6 © هله ©ه ور .هنگامی که دترمینان را حول ستون اول بسط 6 یط ه لابلاس دهم داريم: > \Z WY 7 ریم ثم 

صفحه 302:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها p=3(- DaM, => ‏تبره‎ ‎۲ ٩. he 2 ‏عانم ا‎ كه بسط حول هر سطر و يا ستون دلخواهى مى تواند صورت يذيرد و اين معادلات براى هر دترمينان مرتبه ‎1١‏ ام نيز قابل طرح مى باشد. 2 3 ۳ 

صفحه 303:
1 فصل4 دترمینن ها وماتریس ها pa ‎ie‏ 0 هس اه دترمینان را نسبت به سطر اول و بار دیگر نسبت به ستون دوم به دست آورید و نشان دهید حاصل هر دو یکی است که برابر پا بسط لوی - چی ویتا است. حل) نخست لین دترمینان را نسبت به سطر اول آن بسط می دهیم ‏رح سوت هو( چ ‎A=¢ Dab‏ امالز بسط آن نسبت به ستون دوم داریم ‎D** ha, =ab,- Ba,‏ + روط :1 -) دم ملاحظه مى كنيم كه حاصل هر دو بسط یکی است. اما برای بسط لوی - چی ویتای این دترمینان از رابطه (۲-۳) استفاده می کنیم ر ‏22 ‏[طبصير + طبه ما تعر - رطرحرء 2 4 ‎7a Ja ‏[ رطيهووع + ‎yon‏ عا طصی - ‎=lenaQ+‏ ‏ولی می دانیم 0 وو6 ررع ,1 ورع,1 -< وو6‌است. يس نتيجه مى كيريم 9 - بل <۸ ‏“تت ‎eo yl‏ من شود كه مقدار دم ‎ ‏۸ در هر صورت یکی است. 

صفحه 304:
7 0 فصل4 دترمينان ها وماتريس ها ویژگی های عمومی دترمینان #ویژگی پادمتقارن: اگر جای هر دو سطر و یا هر دو ستون دترمینانی را با هم عوض کنیم. مقدار دترمینان در ۱- ضرب می شود. #ویژگی ترانهش: اگر جای عناصر یک سطر را با عناصر هم مرتبه یک ستون دترمینان عوض کنیم مقدار دترمینان تغییری نخواهد کرد. #اگر دترمینانی دو سطر یا دو ستون مساوی داشته باشد. مقدارش برابر صفر است. #اگر تمام عناصر یک سطر یا یک ستون دترمینان را در عددی (مقدار ثابت) ضرب کنیم» دترمینان در آن مقدار ضرب می شود. #اگر مضربی از یک ستون (يا سطر) را با ستون دیگر (یا سطری دیگر) دترمینانی جمع کنیم.مقدار دترمینان تغییر نمی کند. ۲ #اگر دو سطر یا دو ستون دترمینانی با هم متناسب باشند. مقدار آن برابر صفر است. 

صفحه 305:
5 0 فصل4 دترمينان ها وماتريس ها مثال ۶-۴ صفحه ۲۰۴کتاب درسی: ثابت کنید =(a- D(b- ofc- a) Boe 1 a la wae حل) می دانیم مقدار دترمیتان بالا یک چند جمله ای مرتبه سوم بر حسب 3 و0او) است. که اگر8<0. 2 ,و یا<) باشد, برابر صفر خواهد بود. بنابراین از قضیه ای در جبر استفاده می کنیم و نتیجه می گیریم مقدار این دترمینان برابر است با 06 طاط -ه)ة که در آن 7 یک عدد است. با استفاده از تعریف (۲-۴) می توان نتيجه كرفت كه ضريب جمله 56 برابر یک است. پس 1 7 خواهد بود و مسله ثابت می شود. 

صفحه 306:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مشتق دترمینان ۲ #اكر دترمينان (آ از مرتبه ‎١‏ ام و عناصر آن توابع مشتق پذیری نسبت به كا باشند؛ داریم: = به 6< با اریم: ‎re tee‏ رد ‎ee wD‏ ‎cal ol Fp) pee os‏ که از تمامی عناصر سطر [ام دترمسنان نسبت به ۷ مشتق بگیریم. ‏#مشتق یک دترمینان مرتبه سوم نوعی: ‏2 و ۶ لا و ۶| 2 ۵ | ۵ 9 گر +2 9 لاد © ‎ame ۶ =p‏ ‎uy u ov uv uvw‏ ‎ 

صفحه 307:
فصل4 دترمینن ها وماتریس ها مثال ۷-۴ صفحه ۲۰۵کتاب درسی‌از دترمینان زیر نسبت به مشتق بگیرید و آن را ساده کنید. 3 1+ع تا D=|1 2x+1 ¥ ‎x -‏ 0 حل از رابطه (۱۰-۴) داریم ‎2x 1 0۱ jx x+1 3] |x x+1 3 ‎4 ‏رو‎ 2x-1 ‏باق‎ 2 3x}+]1 2x-1 x}=-Gx-12¢4+4x45 Ix ‎0 x -2 ۱0 x -2)0 1 1 ‎he. ‎ 

صفحه 308:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها کاربرد دترمینان: حل دستگاه معادلات خطی با ضراٍ #معادلات خطی غیرهمگن مقابل را در نظر بگیرید: ‎a,X, =,‏ +...+ 4% + 41% ‎An % +...+ BpX, =A,‏ + 8% ‎Ay % +... + An) X, = dy‏ + وت كه :© هاو ‎Y‏ ها ضرايب ثابتند. #دترمینان ضرایب دستگاه بالا عبارت است از: موه = ,4 ‎Sy‏ ره Ann on > 

صفحه 309:
ا كه در آن :10 دترمينانى است كه از تعويض ستون >لام دترمينان با استون م به دست مى آيد. #براى دستكاه معادلات همكن (كه در آن ) ها صفرند.) بایستی دترمينان ضرايب صفر باشد: #دستور كرامر تنها براى دترمينان هاى كوجك مفيد است و براى حل دستكاه هاى معادلات با ضرايب ثابت با دترمينان ضرايب مرتبه بالا از روش حذف كاوس و روش كاوس - جردن استفاده مى كنيم. 

صفحه 310:
sw 72 ریم ثم فصل4 دترمینن ها وماتریس ها 0 مثال ‎٩-۴‏ صفحه ۲۰۷کتاب درسی: دستگاه معادلات زير را حل كنيد. 5< ود + ورگ + ود + پر2 ‎3y- 4x, =-1‏ -%+% ‎3x +6x,- 2%+ x, =8‏ ‎2x +2x,+2%- 3x, =2‏ حل) نخست با استفاده از (۱۲-۴) مقدارم] را حساب می کنیم. 21-8 1 11-5 2۰ ۰ 2 2 ۵ - و همين طور 5 5 55 3- 1 1 1 ا 1 2 2 ae 

صفحه 311:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها ادامه مثال ‎٩-۴‏ صفحه ۲۰۷کتاب درسی: 5 1 215 5 te 1 1 -3 - 6 م ۳ ۰ 2 - 23222 اكنون با استفاده از (۱۳-۴) خواهیم داشت ‎Ee‏ NOR Nv at ا ‎Sols‏ 0 لها ‎I‏ os I “LS ols ‏ان‎ a I I ‏حراس‎ © ole 

صفحه 312:
5 0 فصل4 دترمينان ها وماتريس ها روش حذف كاوس #دستورالعمل روش حذف گاوس در حل دستگاه معادلات: #گام اول: ضریب اولین مجهول باید در تمام معادلات به یک تبدیل شود. #گام دوم: اولین معادله را به کلیه معادلاتی که شامل این مجهول است کم با اغافه می کم ‎Be se Yale eS Ire Gl‏ شود) #گام سوم: تکرار گام اول برای دومین مجهول در معادله دوم و سپس انجام گام دوم (همانند مجهول اول) #گام چهارم: گام سوم را تا آخرین مجهول تکرار کرده و پس از به دست آوردن آخرین مجهول. گام به گام به عقب بركشته. مجهول های دیگر را به دست مى أوريم. 

صفحه 313:
Wy ۱ فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ‎oe‏ ليه ناوشر مثال ۱۰-۴ صفحه ۲۰۹ کتاب درسی: در شبکه الکتریکی زیر جریانهای 13*12۰ را پیدا 102 202 ۱ ۱ ‎a 9017‏ \ -- 807 < 16 0 ‎s \‏ ‎i Ne‏ 4 ‎a ay‏ ۸ | ‎1g &‏ م ‎i‏ ‏حل) از قانون کیر شهوف و قانون اهم استفاده می کنیم و معادله های زیر را برای گره 0(یا(0) و حلقه های چپ و راست مدار می نویسیم. ‎ 

صفحه 314:
7 0 فصل4 دترمينان ها وماتريس ها ادامه مثال ۱۰-۴ صفحه ۲۰۹کتاب درسی: 0ح پر + یل - زر ‎Ques‏ ‏90- ت25 + رم 1 حلقه راست ‎one 20, +10; =80 ۱ ۱‏ فرض می کنیم 74 26 و" 5 وق 26 اين مقدارها را در معادله های قبلی می نشانیم تا نتایج زیر به دست آیند. 0 جر + جر - 24 ‎10x, + 25x, =90‏ 80= 0 1 + 204 گام اول را برمی داریم 20 ود + ود - 24 

صفحه 315:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها ادامه مثال ۱۰-۴ صفحه ۲۰۹کتاب درسی: اکنون نوبت گام دوم است. 24 - %%+% =O 10x, + 25x, =90 1.55 - x =4 از را حفط و و ۱ دوع يه يعد تبديل يه يك من کم وکا | برمی دا یم و تام سوم را برمی داریم = 2-0 ور + جر - 24 از حذف 22 در دو معادله آخر داریم 

صفحه 316:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال 10-4 صفحه 209كتاب درسي: ریز و وی له رسك ‎Rie‏ ‎SS‏ ‏2595 با نشاندن ‎gl‏ در دومیتمعادله محاسبه می شود % =9- 5=4 سرانجام با نشاندنگمقاز و دراولين #حادله مقدار به ۷ 1 22 ‏دست می آید‎ % =i =2A,x% =i, =4A, x, =i, =2A توجه داریم که اين پاسخها یگانه هستند. 

صفحه 317:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها a 8) #كام اول 9 092 مانند روش حذف گاوس است. در گام هاى بعدىء هر معادله جدید در حذف یک متغیر از تمام معادله ها به کار می رود نه فقط در معادله بعدی. 

صفحه 318:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مثال 114 صفحه 11 کنات درسی (س وال 2 تشر ی از :)85-4 مثال10-4را به روش گاوس - جردن حل کنید. حل) معادلات قبلی را می نویسیم ‎a‏ ‎10x, + 25x, =90‏ 2 04 + 1 0 -0 گام اول و دوم اين روش مانند روش حذف گافس‌جاسب بچس- بر داریم a ‏اکنون ضریب‎ iS ‏مى‎ 

صفحه 319:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها WY Z| +S یم ادامه مثال 11-4 صفحه 211کتاب درسی: = يس از حذقّت , معادله های اول و سوم به قرار زیراند ‎%+3.5x%, =9‏ 9ح ود2.5 + يد 19 . 95 3 3 در اين مرحله ضیف را در معادله سوم تبدیل به یک می کنیم 9< جر.3 + بر 9= 2.5 + جر 2= % و از حذفك- در دو معادله دیگر داریم 

صفحه 320:
aa 8 a2 2 Oa ‏ور‎ b =|b- b b =|0 b =O Ge CC € 0 

صفحه 321:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها تمرین2-2-4 صفحه 212کتاب درسی: مقدار دترمینان های زیر را به روش بسط لوی - چی ویتا محاسبه کنید. 36 87 11 الف:17 - 91 ‎O‏ ‏45 0 0 ‎a 8G‏ ول رس ط وی جی وتا داریم: یه یط ره ‎a, Gq‏ B, - ‏6لیق - رعطلية + وطلية -وطية + يعطبة -و طبه - ,رطقي‎ ‏بنابراين:‎ = = 0 wie 1 ‏رز‎ <)01 19143 - 0+0- 0+0- 0-4 

صفحه 322:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها اعد ‘ee 0 ‏ار در‎ ys 213 ants 82-4 yet ‏را به روش بسط لاپلاس محاسبه کنید.‎ ‎sinp ae‏ مومه الف: 0 ۲ ۳۲ ¢: ‎sing cosp‏ - 1 © © © ا 0 1 0 0 ‏حل:الف:بسط براساس سطر اول ۲ بره نع ع 1۵ -) 2 ‎2-1 ‎0 ‎-1 0 0 1 <-1(۳۶0( 0 0 1-11) a 1 ۱ = ‎00-1 ‎Be ‎ 

صفحه 323:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها 3 ا 0521322524 درس ج:بسط براساس ستون سوم D =E¢ 1(7 ۵ =S a ‏رخ‎ cosp sing 1 - ‏مضه‎ com O=(- 1۳ 08 ‏زو + م‎ ¢ =1 0 0 1 

صفحه 324:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ‎we‏ ‎bh‏ تمرین4-2-4 صفحه 213کتاب درسی: بدون بسط دترمینان, مقدار دترمینان های زیر را به دست آورید. 1 a bt 1 b Crate 1 6 at ‏حل:‎ ‎1 a Dt 1 a b+c+ 1 2 1 ‏مط 01 بو +ع)< ر(جوبم م 1 بطلط وب و‎ 1-0 1 ¢ at 1 c at+b+ 1 

صفحه 325:
تمرین5-2-4 صفحه 213کتاب درسی: نشان دهید همسازه هر عنصر دترمینان زیر, خود عنصری از همین دترمینان است. 

صفحه 326:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها WY Z 1 ob ‏صفحه‎ ‎١ ‏ادا مر 4 5:2 سس مهايا ' أ‎ 3 2 ‏حل:‎ ان ‎aoe‏ ‏كي صم 3 ‎G=-'M,=3‏ = 3 3 . 2 - 3 1 2-207 3 1 3 -و1(۳۵ وب د با wl 

صفحه 327:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مد ۰ 1 ‎by‏ ادامه تمرین5-2-4 صفحه 213کتاب درسی: 42 62 ورع گت - گرگ 3° 9 99 2 

صفحه 328:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها تمرین6-2-4 صفحه 214کتاب درسی: ثابت کنید la b c a B=(atb+O(at+ wht WoO(at wb+ wo Ib c 2 که در آن ۵7 ۲۷ است. a b =aP+B+C- 3abe cowie به تعریف داده شده عبارت زیر نتیلچه مي پزبود بط - زور + 5 أ سجر 2 2 3 3 2151 le eel W a(S tS) =40- 23-3) => W340 

صفحه 329:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه تمرین6-2-4 صفحه 214کتاب درسی:سمت راست: 2 ‏و‎ seed ABEND Se 6 (a+ b+ O(at Ola- Aa? - ce 2adiJ/3- 1) =}(at be ‏و9‎ + 23 - 1(+ 42 - 2063+ 1( - 2263+ 1+ 262/3- 1+ 42 - ‏جومم‎ O(4a? + 4B +4¢ + ‏-3ل +1 -3لة -16[و2‎ 1( + 2adiJ3- 1- iJ3- 1)+ 2bdiJ3- 1- iV3- 1) =j(arbe O(4a@ +40 + 4c - 4ab- 4ac- 4bd »!35 - 0 + [ز + ثم - وط جو لح 2 + زز+ ته)ن جطجو)- 0 

صفحه 330:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها تمرین8-2-4 صفحه 214کتاب درسی: مشتق دترمینان های زیر را ‎Xa cum‏ به دست آورده و ساده كنيد.2 2 تر 2+1 تير حل: +¥ ‎O 3x-2‏ 2 1 2۶ 1 || 0 2 لد ‎aX‏ ‎2xt1 =‏ رجا ید3 2 + قد. لمیر مراد | قر . میرم فاگ ‎3x-2 ¥+] ]0 3 2‏ ۱0 لاجر 32 ۱0| 1+تم ‎O 3x-2‏ (2x+ D(x? +1)- x°(Bx- 2)+ 2x +2- (9x'- 6x*))- 2x(x +1- (6x- 4) + (4x + 2x- 3x)- 2 (2x- 6) =2¥ 4+ 4+ 2x41- 3x 420 +2K 42x - ‏8ر4 جهرق - 26+122 - 22 - ترم + ثيرو‎ + 22 - Bx'- 204+ 6X = 6+1 - 212 + قرو + 12 - 

صفحه 331:
NVA فصل4 دترمینان ها وماتریس ها تمرین9-2-4 صفحه 214کتاب درسی: دستگاه معادله های زیر را حلو کنجر بر ‎xX‏ 32-0 جع - 2x+ y=1 حل: 11-=)2¢3+)3+2( := الف: ‎Se ee‏ عو ‎{—oraeaci9—35- y= B= ‏حا لالت‎ 2 

صفحه 332:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ترس ها #ماتريس آرايه اى مربعى يا مسستطيلى از اعداد يا توابع است: #در حالت کلی ماتریس ۸(با ۲0 سطر و 0 ستتون) به صورت زیر نوشت که و عنصر سطر [ام و سنتون ام می نامند. ع 0 = 21 (بر8)< ۱ 2p ang a, Fry oes Ap By «اگر ۱۱ باشد ۸ را ماتریس مربعی می نامند و قطر آن که شامل عناصر 

صفحه 333:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها #زیر ‎arin oa‏ که از حذف چند سطر یا ستون ( یا هر دو) ماتریسی مشخص ایجاد می شود را زیر ماتریس گویند. ‎A= au]‏ ,32 #برابرى ماتريس ها؛ اكر دو ماتريس هم مرتبه باشند و تمامى عَلفَاصوتتناظرٌ آتهًا ‎of MeL ply‏ دو ماتریس برابرند: 

صفحه 334:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها "۳ و چنانچه ۸<8 باشد, مطلوب است محاسبهه,0,»,0. a pe 006 ‏مثال 12-4 صفحه 218كتاب‎ حل) از تعریف (14-4) دارب ‎AA a) Ppa? Geese dei‏ 

صفحه 335:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها *جمع ماتریس هاأ:, 13 كاتا يفاح 8 را تنها در صورتی مى توان با هم جمع كرد کر سا سم ری است با همان مرتيه. اكه حنا لدان از جمععناض د م متناظر دو ماتریس ۸ و 8 حاصل شده اند: *ضرب نرده ای: حاصل ‎ot‏ ۵-۳ عددی مانند », ماتریسی است که أن ار طرف ‎yl een ee ae‏ *ماتریس صفر:اگر 20 باشد. ۵۸-0 که آن را ماتریس صفر می گویند و تمام عناصر آن صفر است. ‎a‏ ماتریس: (-1) ۸ یعنی -۸ را قرینه ۸ می 

صفحه 336:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ‎NVA‏ ‏18- 27 9 1 ‎ob‏ مثال 14-4 صفحه 220کتاب درس 09اگر0 |-۸ اب اوست محاسبه من 4 9 حل) از تعریف (16-4) داریم - 27 8 5 ‏و‎ ‎-A=| 0 -09 10-۱ 1 -9 +45 9 10 0 0 04-0 0-0 0 0 

صفحه 337:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها *#رابطه های زیر برای ماتریس های هم مرتبه صادق اند: *جا به جايى:8 + 8 ع 8 + م ا و + (۱۷۷ + ۷ + نا ع ۷ عضو خنثی: ۸ < 0 + ۸ A+(-A) = Oraualgden *ضرب ماتریسی: ماتریس ۸8 < ) حاصل ضرب ۸ ‎ee‏ ی راد 8 باشد عنصر زاام" ی 00 2 وه سیب ‎seas‏ تن ال ماه ‎ 

صفحه 338:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ‎we‏ ‏: 1 7 2 13 0 4 مثال 16-4 صفحه 221کتاب درسلی: كله دقو مطلوب است جات ۸۵ و۰۸ ۲ 21 حل) از تعریف (18-4) داریم ool HE 9495 0 104( )1 12 2 12 4( )3 0/۱ 4 |7 0 1 وه بنابر اين ملاحظه می ‎ABBA‏ 

صفحه 339:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها #خواص ماترپس ها برای عمل ضرب: #صرب ماتریس ها در حالت کلی ‎lle‏ لیر نییست: اگر دو ماتریس جا به جاپذیر باشند می توان از نماد کروشه پواسون استفاده کرد: ‎Bl=AB- BA=0‏ 4[ AB (C) < ۸ ‏«انجمنی:(56)‎ «توزیع پذیری:۵6 + ۵5 < (0 + 5) ۸ AO = OA = Ox A (-B) = - (AB) = (-A) Be ‎Sie‏ 0 = ۸5 باشد ضرورتی ندارد که 0 < ۸یا 0 < 8 و ‎ ‎ ‏یا 0 8۸ باهد. ۰ 2-0 248 ‏#ضرب تانسوری یبا اگر ۸ ماتتریس مربعی مرتبه ‏ام و ا ماتتریس مربعی مرتبه 0ام باشد, ضرب تانسوری دوي آنها به صورت نشان دا ‎a5;‏ ‎ ‎casi (NM) KIN ao‏ كة :عتاصب أغراة بابطةدناية ‎ 

صفحه 340:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها #ضرب تانسوری برای دو ماتریس مرتبه دوم: ‎ay ۳ B-| Dy Ds‏ ‎ay Dy Dy‏ ‎he B-| a,B 3‏ رتیت رت ‎anh,‏ له ‎a2,‏ ,42 ‎ab, ab, AP, ayb,‏ ‎and,‏ طلرره ‎ah, aD,‏ مطلرره ‎a,b, aby apd,‏ *ضرب تانسوری جا به جاپذیر نیست ولی ویژگی 1 

صفحه 341:
NY AIS فصل4 دترمینان ها وماتریس ها 3 2 1{ , 0-1 مثال 18-4 صفحه 223کتاب 132 ‎a5)‏ 1 1 4 5 ار و حل) نخستل 48‏ را با توجه به رابطه (24-4ج) محاسبه می ۸ ۸۵۶ B= 130 13-1 2x0 2x-)) (0 -1 ۵ ‏اه‎ ‎jope| D1 0 24 20| 0 2 0 = 2x0 -2x¢1) 1x0 0 | 0 2 0 -1 -2x1 -2x0 1 1x0] |-2 0 1 BoA Oxt 0x2 -1xt aka) ( osler24c Ox-2 Oxl -1x(-2) -1x] | 0 0 2 -1 Be A=| (2) = 1۳0 1*2 04 0۵1 | 1 2 162 14 0*2 0۵| ۱-2 1 

صفحه 342:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها تمرین5-3-4 صفحه 224کتاب درسی: اگر۸ ماتتللل مرتبه باشد,نشان دهید ‎deté A) =(- 1)"deta‏ o> - ‏يق‎ A, Ay Ar a. A cera | ie I eee || =e ۷ 9 an , Ann 5 an 4, Ay Ay ve An ‎An‏ . یه ره ‎=(- 17 a ‏وي‎ oe Sn = ..=¢1) an An vee An ‎ ‎ ‎۹ 3 2 ay ay a, (- 1)" det@) 

صفحه 343:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها NY < تمرین6-3-4 صفحه 224کتاب درسی: اگر6<۸8 باشد, نشان دهید ‎detC =(detA)(detB)‏ A= EE, Ex, ‏تجزیه ماتریس۸ با ماتریس های مقدما‎ cele ‏حل‎ ‎deté B=det@ 5, ,...E.B) - ‏تنأ‎ 0641 BBS oe det& det&, det&,... detE, detB=det€@ B...£,) detB=(detA)(detB) 

صفحه 344:
فصل4 دترمينان ها وماتريس ها ‎NY‏ ‎AIS) (a 3‏ تمرین9-3-4 صفحه 225کتاب در ‎ats‏ | - 0 15 2 مطلوب است محاهقه ۸۵ و لد 1 1 حل4 4- و 1 1- ۱ 0-14 O -4 B 4B -1 10-4 4 9 ۸۵ B= 5 = ‏و 2- 0 7 ارهاظ و‎ -1 6 -3 3 1 

صفحه 345:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ماتريس خاص 5 *ماتريس ترانهاد: ماتريسى كه عناصر أن از تبديل هر سطر به ستون متناظر ماتریس اولیه به دست می ‎A A=([a, bul‏ ماتریس ترانهاد آن ‎chal MXN ayo jl‏ عناصر آن عبارتند از :06040 - (0604 ,84 ع ‎(AB)‏ A a; =a; ‏ترانهاده‎ LA ‏*ماتریس متقارن: اگر ماتریس مربعی‎ ‏پراش اسان گاه ۸ را ماتريس متقارن‎ él ys ‏کی و اسر ان عبر سار‎ حب» *ماتریس پادمتقارن: اگر ماتریس مربعی ۸ با منفی 7 ةانق لبر اشد آن را ماتر تشر بادمتقاران Wy ۳ 

صفحه 346:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ‎RZ‏ *هر ماتریس مربعی دلخواه را می توان به صورت مجموع بك ماتريس متوإرن بريكة اربوس وبا راتقاون ور 49 5 ‎a i ۸20 2‏ مثال19-4 صفحه 226 کتاف لارسی: ‎ :‏ 5 آرتشد. وی رابطه (26-4) را تحقیق کنید. )4-26( حل) نخست ۸8 را 07 ‎AB= 5 1 1 al =|‏ 55 15 بتابراین ‎ss‏ 4 30 0 د 16 ۳ ‎ae‏ 

صفحه 347:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها 3 ادامه مثال19-4 صفحه 226 کتاب درسی:اما 2 3[ _ 1 40 926 ۲۱ 5 ‎Eigse ods‏ راب عراف ويا 5 4 1[_)30 0 214 3 5 16 1100 78 ‏6 2 9 ودر تیب = ‎(AB)‏ ‎ ‎ 

صفحه 348:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها "هریس سرت ای تا بدا ستون دارد. ماتریس يا بردار سنطري مي ناهةد* ‎[x]‏ «ماتریس ستتونی: اگر ماتریسی فقط یک سبتون داشته باشد. ماتریس یا بردار سنتوئی نا دی شود: x, 

صفحه 349:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مد ۹۳ «ضرب داخلی: اگر ماتریس سطری 3 در ماتریس ستونی دا ضرب شود حاصل یک ماتریس ۱۱ است که یک عدد می باشد و به آن ضرب نقطه ای (دا و 0 مى كويند. وه كر - | لد رصا ضت ‎a‏ ‎=ah+a,b,+...,a,b,‏ ‎A=laj]‏ «ماتریس قطری: ماتریس مربعی ۰ 1۶ 0 "راد#صورتی قطری می گویند که تمام عناصر بالا و پاییین قطراصلی برابر ‎pho‏ باشد یعنی به ازای جمع مقادییر bam ‏حابه هام‎ BaAl al ove ob . LIB A ‏الى‎ 

صفحه 350:
فصل4 دترمينان ها وماتريس ها 3 #ماتريس يكه: ماتريسى مربعى که تمام عناصر آن برایر (دلتای کرونکر) باشند: ۲ 13961 0 ij ¢ 1A=a1=A ‏برای یک ماتریس دلخواه #داریم:‎ حته 

صفحه 351:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها 3 متال ‎٩‏ 21 ی و نار و زیر را در نظریه نانسبیتی اسپین الکترون به کار برده است 0 1 2 - 0 1 0 ‎O23 >‏ و0 = ‎O71‏ ‏1- 10 3 0 ر-| 2 0 2“ نشان دهید الف:1< 7 ب: 0 رمره که د(ن32)< (2,31)< 2,9بل)ع در زا ج: 2۵ رم ره + رموره حل:الف:نخست فرض مى كنيم 1-1 ياشد: در اين صورت اریم: 027 1/1 10 0 ‎ap‏ [1 0 0 01 1 7 <0,0 -| 

صفحه 352:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال21-4 صفحه 229 کتاب درسی: همین طور را و Pte NY 0 (Fa) Oso, -| : i 1 5 2 |- وموه- وه لامي ع وه 6 

صفحه 353:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال21-4 صفحه 229 کتاب درسی:وسرانجام برای ‎(i,f,kK1=(3GQ51)‏ 1 00 1 ,105= = 5-6 0 1- 0 1(1- 0 ‎Gey‏ ‏گر سرت دارم ‎hosted)‏ بنابراین از ‎C0, +0 0; BAL AA 92D‏ اما اگرژ-اباشد از بند (الف) داریم 1< 07= ,60 ‎eee‏ تيك 1- رمن +رمره يا مى توان نوشت ‎00 +00; =2,1 ‎ ‏پس در حالت کلی می توان نتیجه گرفت 

صفحه 354:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها 4 مثال22-4 صفحه 230 کتاب کرسی: با استفاده از هاى پاولی در مثلو22402) نضاق جهیقو < ( ۰6 (0.2) که در آن ‎ko,‏ + رو ‎o =i0,+‏ وة وتا دو بردار معمولی هستند. )0.2( .©2( -) 0,3 + ‏(جلوه + بطيت + ظره) (بيووت + يهر»‎ ae اما ‎by Ay Age‏ عدد هستند, بس می تولرآلها رابا ‏ ها جابجا کرد. لذا با این دستور جمله های دو پرانتز را در هم ضرب می (c.a).CD =a,ho,0, + abo,o, + abovos + a,o,0, + 2b,o,0,+ 2bo,0,+ + a,o.,0,+ SN + a,Do,0;+ =Log, =io, (0.4). @b!#(ah + 50 + a + ‏بل یم از‎ ep ‎i(- i0,a,b, + io,a,B,) + (0,a,Q- 0,a,B,) =(SBI 2% (axD‏ + أ ‎ 

صفحه 355:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها ردماتریس: مجموعه عناصر قطری هر ماتتریس مربعی را ‎oe‏ می نامند. برای مثال برای یک مانتریس مربعی ازمرتبه ۱۶۱۱ داریم: ‎n‏ ‎A =S'a,‏ ‎ial‏ 2) ردحاصل ضرب دوماتريس 4 و 8 مستقل از ضرب ترتيب آنهااست: (AB)s, = ee ‏ماترييس مثلثى: لاتريس مربعى كه عناصر بالا يا يايين‎ ‏قطر اصلى آن برابر با صفر باشدء اكرعناصن يالا إتطراض فوم‎ ‏ماتریس برابر باصفر باشد. ماتریسپایین‎ ‏فا ای اش ماس‎ jj Leases ‏ای هار وی او مود واه عات بن قر‎ 

صفحه 356:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها 4 اگر دترمینان۸ مساوی صفر باشد. آن ماتریس را تک می گویند, چنین ماتریسی وارون تدارد #0 رای بودن وارون برای ماتریس۸: دوماتريس و8 وارون داشته باشنا ' 8 - ' (ظه) مثال24-4صفحه 233 کتاب درسی : نشان دهید که ‎po Aces guy ple‏ دارای یک وارون است. حل : فرضي كنيد" يوق هر دورو ارون /اشند ور تإيرايت ‎Ba Be‏ د نجه ماتريس هحداكتريى وازون تذازة. 

صفحه 357:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ۷ 954 مثال25-4صفحه 233 لي ,إلى باشد. ماتريس وارون آن را به د حل: از تمرين (9-3-4) استفاده مى كني4ك نإخست راما ی کم 1 3 2=10 2و 1 و 4۸ و به حرط 03 0.2 - د 2 او #2 ‎“ot les‏ که ‎ae Sle ots gli‏ ‎ 

صفحه 358:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مثال26-4صفحه 233 کتاب درسی :اگر دو ماتریس۸ و قاوارون داشته باشند. ‎ABE‏ [عركس 9-1 ير ) حل: نخست فرض مى كنيم 0-88 ‎٠‏ در اين صورت بنا همتع ر تفج لق 6 داریم: 2 ۸9 1 -1 ١ Al ١ ار ‎al‏ ‏اكنون ذو يعت رابطه ‎AABAB, GATS At‏ ۲ وم 138 چون می توان نوشت BAB? =A? ۱ ‏و‎ ‎۱8-1 + ‏حته‎ 

صفحه 359:
b ترس مان ها مارا فصل4 دترمب جر ‎١‏ 7 كتاجرد رسى زر 575 صفحه 2 مثال6-4 ادامه * 12 1 ور < 4 > رسیم به نتيجه مى بر نتیج (AB* م << 1 (4-38) 

صفحه 360:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ۷ مثال27-4صفحه 234 کتاب درسی :گرد هه 327 0 1 ماتريس مربعی 

صفحه 361:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مثال30-4صفحه 236 کتاب درسی : به روش گاوس - جردن وارون ماتریس زیر را به دست نید و هر A=|2 2 1 1 1 4 عر در این روش ماترسن یکه 1 را هم بعد ماتریس ‎aoe‏ بر ار هي كيريم و أن را به شكل زير كنار آن قرار می دهیم در شکل زیر این ذو فابريس باخط جزن اررهم جذااشده اند ار 100 24 10 0 : 1 2 1 0 0 : 4 1 

صفحه 362:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال30-4صفحه 236 کتاب درسی :اکنون عملیات يكسانى روي دو ماتريس أنجام من ذهيم نا ماترسرك به مائريس كه و ماتریشلمه ماتریس جدیدی تبدیل شود. ماتریس جدید همان 1>- وره خواهد بود. تخوهت هويك زه ومزهها ر! در وك هرب دي يم تا1 أه 05 05:0 1 1 1 0 0: 4 1 1 با تفريق سور اول از بتعطر وم و ‎HOS? +) O25‏ 1 0 05 0.25 : - 0.25 0,5 3 0 0.5 3.75 : -025 0 1 ui ‏به واحد‎ 1 oS“ 628? “6x80 o 0 1 O5:-0510 0 05 3.75 : - 025 0 1 ‏هد‎ 

صفحه 363:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال30-4صفحه 236 کتاب9رسی : سپس عنصر راضة فر مى رسانيم2 ى اين كار رادر0.5ضييو© واز كم مى كنيم. همين عمل را براى ‏ تيز انجام مى دهيم. در نتيجه 0 05 - 05 : 0 0 1 0 1 0.5 - :05 1 0 ‎O O 3.5: 0 - 0.5 1‏ سرانجافه ‏ را به واحد تبدیل می کنیم. 0 05 - : 05 0 0۰ 1 0 1 :05 - 05 1 0 8 0.143 - 0 1 0 0 ‎FAB olf aisle 5‏ 23و را به صفر می رسانیم. 0 5 - :05 0 10 ‎O 1 0 -0O5: 1.071 - 0.14‏ يه 8 0.143 - 0 1 0 0 

صفحه 364:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال30-4صفحه 236 کتاب درسی :نتیجه اينکه 0 5 - 0.5 ٩ <| - 0.5 1.071 -014 0 - 0.143 6 برای اطمینان از درست بودن نتیجه آن را به شکل زیر امتحان می کم 0 0001 - 1 0 05- ,0 الا 2 4 ۸۸ - 2 2 1-05 1.071 ۰-0143 [0 0999 0 1 1 4 0 - 0,143 0.286) 10 - 0 AA’ ‏ملاحظه مى شود که با خطای قابل قبولی برابر ماتریس یکه‎ ‏است.‎ 

صفحه 365:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها 609 - sind ‏تمرین1-4-4صفحه 239 کتایر‌رسچیی‎ باشد, نشان دهید ‎cos) - sinnd‏ ‎sinnd 000‏ 45 sin@ + 2) ‏با استقراءوقذ83 97 0© + 0596© عددزو ع‎ Se cos& + 8) =cosx cos - sina sing ee f(00% - sind)(co# - sing) _ 6036 - sirt@ - 2sindco# sind ‏وم مهد | وم‎ 2sindco# cosé- ‏نو‎ ‎cox# - sine 51۳020 ۰ ۵ 

صفحه 366:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ‎WW‏ i 1 0 05 259-51-4 ‏ار‎ cos - ‏20طذ5‎ |) »099 - sind = : --4تم - هر sin2@ cos }\sind cov co®#cos)- sin2#sind - sin)co@2#- sin2#co#| {cos - sin3# sinacos)+sinico®@# cox<cos)- sindvsin) | | sine cosa cos” - sinnd sinnd cos ۳ 

صفحه 367:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها تمرین6-4-4صفحه239 کتاب44رسی : نث ماتریس متقارن است. AA = AA ade 

صفحه 368:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها 31 تمرین8-4-4صفحه239 کتاب درسی : اگر سه ماتریس, ۸ 8 و ) دو به دو جابجا شوند, نشان دهید رابطه زیر بین آنان برقرار ۲2 6۸ 6 - 2 ۵ ‏است.‎ ‎AB=BA ao AC=CA BC=CB SY > anbsG, =trach ABO) =trac€CAB a 1 ببق رارك 2 :2 22 م۳۵۰6 < ۲ 2 7 

صفحه 369:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها a 4 ‏تعرین 4- -9-4صفحه 240 رت : هع‎ ۶ ‏باشد. نشان دهید‎ ‏در‎ 1] 2 ۳ |Al-a._ ay ‏و وارون ماتریس زیر را به دست آورید.‎ cos sing -sind cod ‏حل:‎ ‎2 Ax - ‏مقرة +يقرة‎ ean Ale . 3 Ane Ax ‏یه -میقره‎ “A &, a,)[- a ay 4 ‏ديه -ديقية‎ 0 4 3 | ‏مام‎ ‎0 ‏بیقیه -میفره‎ | 0 1 4 ee 

صفحه 370:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها ادامه تمرین9-4-4صفحه240 کتاب درسی : co# sing _{ cos sing 1_\- sind co¥#)} (cox - sind -sind co’ cosé +sir @ sind cos 

صفحه 371:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ۷ تمرين4 -7-4 صمحه 241 کناب درسی ۱ سپین یک, ماتریس های زیر بکار می روند رد ‎M, =—|i -i {==‏ ار و و2 و ز ” 10 ‎“Alo‏ ‏نشان دهید: ۸2 که رال +2 نز ‎L =M,- iM, (c,L)=2M,‏ (دوماتريسرط :1و راعملگرهای نردبانی می گویند که در مکانیک کوانتومی کاربرد دارند). i> 1 0 0 0 01 0/10 0 2 (,L)=ML-L£M,=2\0 0 ojo 0 1|-/0 0 1) 0 0 o|= B 0 0 0 -1[0 0 0 0 0 0۱0 0 -1 Me 

صفحه 372:
ادامه تمرین4-4. 0 1 0 0 0 1(<۳ 0 0 ae 2 WS ‏-17صفحه241‎ ‎0 0 0 2 95 - 0 0 0 

صفحه 373:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مد ۱ 9 7 ‎me‏ ادامه تمرین4 4 17صفحه 241 باب درس 0 1 0 ۳۵ ۳ 10) 0 ۵ ۵ ales 4 i @ ils 1 0 0 010 "20 : ‏م‎ 22١0 

صفحه 374:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ماتریس های متعامد ماتریس ‎SA Al olaicA‏ دترمینان هرماتریس متعامدبرابر است. ماتریس تبدیل دستگاه چَجیده ‎ae X3)‏ به دستگاه ثابت 6 (وقتی که دستگاه چرخید. محوي, به ‎a Oc ieee‏ 7 ره ‎ral a (Saal‏ 1 0 

صفحه 375:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مثال32-4صفحه 245 کتاب 0 بردار" ثابت و مستقل از دستکاط(مَجٌ ‎ot‏ 0 ‎rca oe‏ ا | به دست آورید. رود رود حل) اگره وا ۴ را در د 0 هی ‎ol oe 1 (Sees ah‏ وا ‎le‏ ‏کت 4724( رف ارات ‎a‏ ‏)4-55( 5 2 ا معادله ماتريسى بالارا م ىول مباضورك زير نوميت اسرد 2 7 (4-56) بت 2 اما طول بردار مستقل از دستگاه مختصات اس بلج د = حيبت (4-57) 

صفحه 376:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال32-4صفحه 245 کتاب درسی : با نشاندن رابطه )56-4( ‎en‏ بالاجتیجه زیر به دسبچ ‎aul Go‏ 38 =F Sao ‏مرکره درد گر بر‎ درنتیجه ,رابطه(57-4)در صورتی برقرار است که فقط رابطه زیر = ۲ ‏برقرار باشد.‎ BAe =O jx i= (4-57) و این همان شرط تعامد است که روی سطر جمع بسته می شد. fob ae oy} dos sly (47-4) clad ‏اما اكر از‎ ‏ود‎ =A] 6 (4-59) 8 = se 

صفحه 377:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ادامه مثال 2-4دصعحه 245 فان درسی را ماتریسی باامعادل رایجمزیرراست پر - = ‎i (4-60)‏ ‎Ss Oe ae‏ = 2 ( مرك زر ه ب يدود > >= ره در رابطه (4 -57) در صورتی برقرار است که فقط داشته پاش عرر © ح- ورك ر, 2 و اين همان شرط تعامد است که روی ستون جمع بسته شده است. 

صفحه 378:
1 فصل4 دترمینن ها وماتریس ها مثال33-4صفحه 247 کتاب درسی : فرض کنید یک دستگاه مختصاتجهه بعدی دکارتی حول مور ادساعتگرد به اندازه زاویه چرخیده باشد. ماتریس تبدیل دستگاه چرخیده به دستگاه ثابت را به pues حل) با توجه به شکل (3-4) می توان نوشت . ,و شکل3-4چرخش دستگاه مختصات دکارتی 25 حول 

صفحه 379:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ۹۳ ادامه مثال 4 ددصعی 247 فتا درس ‎=cosp =cos&, x)‏ ,2 (4-62) a2 =sing =cos& - 9) =cos&, %) ont 3 ‏یعنی کسینوس های هادی به دست‎ Vo polis ‏به این ترتیب‎ xj =x COsp + x sing Bilal eo - ‏جح + 5122 بد‎ »0 57 ‏تت‎ )4-63( رابطه های تبدیل بالا را می توان به صورت ماتریسی زيرٍ ببإن كرد ‎Let‏ (4-64) cos sing 0 - sing ‏ده‎ oO 0 oO 1 (4-65) رن 

صفحه 380:
فصل4 دترمینن ها وماتریس ها "ey ادامه مثال33-4صفحه 247 کتاب درسی : که ماتریس تبدیل دو دستگاه مختصات بی پریم و پریمدار است. به آسانی می توان Sit? ‏م‎ + COPD (61-4) ‏شرط تعامد )58-4( يا‎ sing Cos - sing cos =O و كنك يم اک واقعیت نتیجه می شود که الستء زبرا یط بوده است. همچنین از صفر بودن بعضی از‌قناصروهاترییج۸چنین استنتاج مى شود كه و ‎antl lg a‏ تست هی مطالب رامی تمان برات والسته ‎Bode 5 8 airs‏ 

صفحه 381:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها زاویه های اولر دستیابی به ماتیس تبدیل ۸وقتی که ازمجموع زوایای ی بای دوران ها شودازوابای اولر): درستگاه ‎Cae.‏ ۱ ( وب ‎ries‏ داده)تای ,6) ‎x,‏ | دست ۱ مرحله ۱:دستگاه حول محولا اه انداژو پادساعتگردمیچرخدتابه. تبدیل شود.ماتتریس تجدیك(,)] 0 01 PER onl ) ‏م‎ % — (X,X,X) fates ‏مرحله ۲:دستتگاه حول محوؤرارة - لله‎ Rese ‏می چرخدودستگاه به دست می آید.مانتریس‎ ‏این چرخش: 0 رف‎ 

صفحه 382:
wy ۳ مر فصل4 دترمینان ها وماتريس ها مرحله#:دسليقامَة ‎١),‏ "حول مور به اندازه ( رت" می چرخندوبه دستگاه 1 ۲ ‎sn‏ - 00 تبديل ميشوند.ماتريس تبديل اين جرخم 9 ‎a‏ ‎cosy” 0}‏ رح -<(0 1 60 0 (XXX) (XXX) ‏مات ان درت استنگا!‎ ‏درتبدیل دستگاه . _ 2/۸ رز‎ oe ‏اتريس‎ ‎cosycosf cosa- sinysina cosycosfsina+sinycosa - 05/6 - sSinycosf cosa- cosysina - snycosfsina+cosycosa sinysinf sinf cosa sinf sina 05 Spe 

صفحه 383:
فصل؛4 دترمینان ها وماتریس ها As مثال34-4صفحه 250 کتاب؟ذرشی : چرخش حول ‎Gh‏ مور با دو چرخش متوالی و حول همان محور صورت گرفته است. با استفاده از نمایش ماتریسی چرخش,اتحادهای مثلثاتی زیر را Cosh, +4) =cog, Cog, - sing, sings! “? ~ sing, +¢,) =sing, sinp, + cog), cos, از امه (88-4) رای دو جرخش ‎cos, 0‏ مه - | (يم)ي1 ‎۵ 4 dds), ‏وتوالووزی و‎ R@= 0 0 1 ‎- sing, cos, 0 0 0 1 ‎ ‏ابطه را 1 همين راب 0 |25 ‎cee‏ نويسيم ‎ ‎ ‎ ‎5 ۵+ ‏(ره‎ sing,+¢,) cosh,+¢,) 0 1 ۳ 5 <> 

صفحه 384:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ‎WY‏ ‎AS)‏ ادامه مثال34-4صفحه 250 کتاب درسی :اما می دانیم ‎RO)RG) =RE, + 2)‏ نخست سمت جب رابطه بالا را به دست مى آوريم 0 .ملک رنه + وه نومه ...ری ون - و60 6032 ‎sing, cosp,- cosp,sing, - sing, sing, +cosp,cos, 0‏ - 01 0 0 از تساوى ماتريس به دست آفوق بط ,)يل حكم مسئله ثابت می شود. ROR) = 

صفحه 385:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها تبدیل تشابه ماتريس «الردار تلبه بردار ۸۳ تبدیل میکطه 1 ,) 9 وحالادستتگاه ‎dy‏ دستگاه توسط ‎Beaten Sle‏ = 5 مى شود ب إريوم: بر درابين ‎shad‏ كه آن راتبديل تشأبه مى نامند. (گویادردستگاه جدیدماتریس ۵ا,دستگاه راچرخانده ولرابه نت درآورده است. ۰ حور )09591 !=( . "خرن - ره تبدیل تشابهی به صورت مولفه ای: “ 2 ۲ 3 2 > ‏وطبيقيظ‎ - bb,a, ij soe ‏رز‎ Aig: 1 use 2 eB yu ile $1 زیرراتبدیل تشابه متعامدمی نامند: 

صفحه 386:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مد ‎Aw 1‏ 0 تمرین ۱-۵-۴صفحه ۲۵۵ کتاب درسی : نشان دهید وارون ماتريس متعامد نيز متعامد است. A=A'> (A’) =(A)'=(41)! oa 

صفحه 387:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها Wy 7 1 97 ‏تمرين 2-5-4 صفحه 255 كتاب درسى‎ ان دهيد ‎doleio yur silo 92 JRE Lol>‏ , متعامد است. حل: 3 و ‎eee = (AB =BA=B'A' =(AB"‏ و و 

صفحه 388:
فصل4 دترمينان ها وماتريس ها ‎=a‏ ‏۱ 7 کر ۵ ۲سضن۵۵۰ ۱ کتان ‎pays‏ مد 2۳2 با وا متعامد و پادمتقارن باشد. 1 2 baa bc=-1-> be<0O> A= 

صفحه 389:
1 فصل4 دترمینن ها وماتریس ها تمرین ۵-۴ ا كتاب درسي : فرض کنید زمین طوری چرخیده است که قطب شمال به 300 طول شمالی و2 عرض غربی منتقل شده است. و نصف النهار درل) كجنوب غربى قرار كرفته لست (عرض و طول جغرافيايى در دستكاه اصلی بیان شده اند). الف) زاویه های اولر توصیف کننده این چرخش را به دست آورید. ب) کسیتوس های هادی متناظر را حساب کنید. Aa =20,6 =60,y =- 10) =R(- 10) R(60)R(20) = ‏حل:‎ cod 0cos60co20+ sinl Osin20 cod Ocos0sin20- sinl0co20 - cod Osin6! sinl 0cos0co20- cod 0sin20 sinl 0cos0sin20+ cod 0co20 - sinl Osin60) sin60co20 sin20sin20 050 

صفحه 390:
2 فصل4 دترمینان ها وماتريس ها تمرین ۵-۵-۴صفحه۲۵۵ کتاب درسی : تحقیق کنید که ماتریس چرخش زاویه های اولر (معادله۷۰-۴) تحت تبدیل زیر ناورداست. 2 ۶( حبر © فا 2 يرت 6 sin@ +z) =- sina ,cos@ +z) =- cosx,sin€ 8) = cos 3) =cos3 , sinf- 7) =sing& + y) =- siny cos¥- 2) =cosf& + y) =- cosy Aa +n, B,y- 1) =Rly- 1) Rp) Rata) = coscog3cogr+sinysing cogycos$sina- sinycos, - 09/5137 - sinycog cogz- cogysina - sinycos$sina+cogycogz — sinysing sing cosz sing sina cogs =Aca,B,y) sing 

صفحه 391:
فصل4 دترمنان ها وماتريس ها اد As ریم ثم ات ‎oe pis see‏ مزدوج مختلط ماتريس:اكردتمام عناصرماتريسى.عدد موهمي أرابه- أتبديل كنيم.ماتريس حاصل رامزدوج مختلط آن مى كويند.مزدوج مختلط كرابا "كر نشان مى دهند. 00 ماتريس الحاقىازترانهاده م ماتريس الحاقى بدست مى آيدكه آن ‎ALU,‏ نشان می دهند: ‎A=A =A“‏ ماتریس هرمیتی:ماتریس/درصو رتی ‎oe‏ است که لحاقی آن باخودش برابرباشد: }= ره < ۸<۸ ماتریس پادهرمیتی:/پادهرمیتی است اگر: ‎A=-A‏ ‏درموردماتریس های الحاقی داریم: ‎(AB! =BA‏ ماتریس یکانی!گروارون یک ماتریس بالحاقی آن برابرباشد آن را یکانی می نامند: 1 == ‏اه‎ ‎a «7 ae od 

صفحه 392:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها 0- | ها اگرماتریسی که درتبدیل تشابه شرکت دارد یکانی باشده‌آن را تبدیل ‎Peers‏ مت - "من - زمر ‏حاصل ضرب دوماتریس یکانیماتریس یکانی است. ماتریس هرمیتی تحت تبدیل ماتربس تشابه یکانی .هرمیتی می ماند. ‎ 

صفحه 393:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها مثال ۳۹-۴صفحه ۲۵۸ کتاب درسی : نشان دهید ماتریس هرمیتی تحت تبدیل تشابه یکانی, هرمیتی می ماند. حل) اگر۸ ماتریس هرمیتی باشد. می دانیم ۰ ۸4۷ تبدیل تشابه یکانی این مافرس از ‎kd‏ (۲ ۸۴ به دست میاه 1471 - ار از دو طرف رابطه بالا الحاقى مى كيريم ‎tut =UAU* =A‏ لكك اك م ‎AL te‏ نیز هرمیتی است. ‎۳ 

صفحه 394:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها bey (ABABA ‏تمرین۱-۶-۴صفحه۲۶۴ کتاب درسی : نشان دم‎ al (AB! =(AB) =(BA) =(B) (AY = BA 

صفحه 395:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها تمرین ۲-۶-۴صفحه۲۶۴ کتاب درسی : نشان دهید حاصل ضرب دو ماتریس ‎DXT 8,‏ یکانی است. حل‌نروش اول: 0 1 2 = AB =UAU'UBU' =UABU" eae ‏روش دوم:‎ ‏و‎ a = (AB =B A =B'A' =(AB" 

صفحه 396:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها تمرین ۲-۶-۴صفحه۲۶۴ کتاب درسی : نشان دهید وارون ماتریس یکانی هم ماتریس یکانی است. حل: ~ ~ بم ‎A =A'= (A) =((A')Y =(A4)'Y 2008 ( ۱ <)۵( ۱ 2۸۵ (۲‏ 

صفحه 397:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها تمرین ۴-۶-۴صفحه۲۶۴ کتاب درسی : نشان دهید حاصل ضرب مستقیم دو ماتریس یکانی هم یکانی است. A=! B=B = (A® Bt =((A@ B))* = Ae B=|a, dayAyy =(a,By =|4,(B"] =| 4,5] = (4 @ B') =(A' @ B') =(Ae By! a,B"| — 

صفحه 398:
AT * فصل4 دترمینن ها وماتریس ها تمرین ۷-۶-۴صفحه۲۶۴ کتاب درسی : دو ماتریس ‎LU gH‏ رابطه زیر به هم مريوط مو شوند ‎U=d#‏ كه در آن 8حقيقى است. (الف) اگر | آهرمیتی باشد. نشان دهيد لايكانى است. (ب) اگرلا یکانی باشد. نشان دهیدا آهرمیتی است ( اامستقل از3 است). حل:الف: _ ; 27 ابر ‎=U =(e?")' =((e"‏ = روسی))- ری ‎UF‏ سس - | رها ی ) -< هی -_ ‎=e‏ هی -_ & U' =e" =U =(e"") =e"! = Ht 

صفحه 399:
5 0 فصل4 دترمينان ها وماتريس ها قطرى سازى ماتريس دراغلب مسائل فيزيكى ميتوان ماتريسى راتحت تبديل تشابه متعامد ياتبديل يكانى به ماتريس قطرى كه تمامى عناصر غيرقطرى آن صفراست ءتبديل كنيم. ويزه بردارهاوويزه مقدارها: اكر ماتريس #روى بردار 2 اثركندوحاصل عددى جون ./ ضرب درهمان ,رحا رشو يعسي ارك "لك دراين حالت "2 راويؤه بردارو ا را ويذه مقدارماتریس"/ می نامیم. ۲ اگرماتریس(/یک ماتریس هرمیتی باشد.ویژه مقدارهای آن حقیقی و ویژه بردارهای آن متعامدند. 

صفحه 400:
\Z WY 7 ریم ثم 5 0 فصل4 دترمينان ها وماتريس ها مجموعه[ آویژه برداریک ماتریس هرمیتی .یک مجموعه کامل راتشکیل می دهند. تعیین ويزه مقدارها ويزه بردارهاى ماتريس دلخواهدر رابعطه ۳2 2 :2 را درماتريس يكه اضرب مى كنيم لولم 4النت: كه بيانكر دستكاه معادلات خطى وهمكن است وتنها درصورتى پاسخ دارد که دترمینان ضرایب ‎“$i‏ غر باشد, اين معادله را معادله سرشتی می نامنداگرهریمخ ویژه مقدلا< "رد مادله قرار دهیمبویژه بردار متناظربا آن ویژه مقدار رابه دست می آوریم. 

صفحه 401:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مد ۱ 2۳ مثال ۴۴-۴صفحه۲۶۸ کتاب درسی : ویژه مقدارها و ویژه بردارهای ماتریس زیر را به دست آورید. ‎A=|0 1 1‏ با ك حل) معادله سرشتی را برای اين ماتریس تشکیل می دهیم 0 0 1-2 ۳ له-1 1 0 ‎(ig‏ 120 - (2 -2(]0 -01 201- 2(0- 2( -0 ۳ 

صفحه 402:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها اد 7 9 ۱ by دنباله مثال ۴-۴ ۴صفحه۲۶۸ کتاب درسی : بنابراین پاسخها عبارتند از 0< هه , 2< م2 , 21 م2 حال می توان ویژه بردارها را به دست آورد (A- ADr=0 0 0 Ox) (0 ‏به ازلى 1ح وامداريم‎ 0 ‏0-ابرااد ه‎ 0 1 olla} lo از این معادله ماتریسی نتیجه می شود 261 2 و (< 1 اکنون فرش می کنیم طول بردار و برابر واحد باشد. یعنی 1ح خضو م تر يي قير ا 1 مه 1-- ير +1- هد 7 3 

صفحه 403:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها مد 7 ۳ دنباله مثال ۴۴-۴صفحه۲۶۸ کتاب درسی :در نتیجه داریم 1- 1 ‎i =| 0 7 0‏ 0 0 به ازلى 2 ح- وم می توان نوشت 0 0 0 1- 0 <- | ور || 1 1- 0 0 بص الاک 1 و از اين معادله ماتریسی نتيجه می گیریم که ودح ول و 20 ود بار دیگر طول ویژه بردار برایر واحد فرض می کنیم. یعنی ع ال > 1- 2ر2 ‎a>‏ ب 2-1 + تر بتر 

صفحه 404:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها دنباله مثال ۴-۴ ۴صفحه۲۶۸ کتاب در: AB ‏یا‎ - V2 2 2 WO - v2 2 om به ازلى 0 > و داریم و از اين معادله ماتريسى به نتيجه زير مى رسيم 15 ۶۰ 2 <> 

صفحه 405:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها دنباله مثال ۴-۴ ۴صفحه۲۶۸ کتاب درسی : باز هم طول ویژه بردار را برابر واحد فرض ‎Co‏ ۳ دير = ار 2 0 0 2 2 - پر 2 2 8 02 21ل - ‎a 2‏ البته می توانستيم و از شرط عمود بودن آن ‎By Ay‏ نیز به دست آوریم» یعنی 3 للك رک ور صت 

صفحه 406:
فصل4 دترمینن ها وماتریس ها مثال ۴ -۵صفحه ۲۷۰ کتا درمی : جسم صلبى را مى وان اسه جرم قله ل بد صورت زير نمايش داد. جرم 414 در نقطه (7-واو1) جرم 12 در نقطه (.و۱-و) جرم 138 در نقطه (۲واو() ألف) ماتريس کشتاور لحتی را به دست آورید. ب) ویژه مقدارها و ویژه بردارهای متعامد بهنجار (محورهای اصلی) را تعیین کنید. حل) نخست طول و5 وق را به دست می آوریم. 42۷6و ر لصو ر ول 1+4 ال < ور .حال عناصر ماتریس گشتاور لختی را حساب می کنیم 2 د - ‎Loe =>, IGP - 37) =m GP - 2) + mF - 34) + mG‏ = 12= )1 -1(6+)1 -2(2 + )1 -1(6= 2 ‎+m - 4)‏ - )وه +( ‎y= mG?- v)=mG?-‏ & 2 تو 2- (1 -1)6 +1 -2)2 +(1 -6 

صفحه 407:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها دنباله مثال ۴۵-۴صفحه ۲۷۰ کتاب درسی : ۷ ‎Z)=mGP- Z)+ my - Z)+mGz- Zz)‏ د ارم در 8= )4 -1(6+ )0 -2(2 + )4 -1(6= 2 > ‏جر را‎ TCX Yj) =- GRY + 123% Vo + 17435) =- ‏دمم‎ 2¢ DC )+1x1x1) = T= Teg = - m(%Z) =- GNX Z + ‏يدو ينقد‎ + ™m%Z,) =- (1X1 2) + 2- (0) +112) =O 3 (وتينق ,22 + يرك ون ,222 + ‎GAYA‏ -= ( ردب )23د — سر ‎Tye‏ ‎(x1 2) + 2- D(O) +112) =‏ -= 

صفحه 408:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها دنباله مثال ۴۵-۴صفحه ۲۷۰ کتاب درسی :بنابراین ماتریس گشتاور لختی برابر است با اکنون ویژه مقدارها را از معادله سرشتی (۱۱۰-۴) محاسبه می کنیم. 0 4 - 2 3 - 4 12-2 0 =O 0 0 8-2 ‏ويا‎ ‎)8- 20]42- 202- 16 -0 As 2-0 ‏ی 16 يد‎ A =f ‏بنابراین‎ ‎i 1 2 759 ‏ویژه بردلرها را به ترتیب از معادله (۱۰۹-۴) محاسبه می کنیم.‎ JE a 

صفحه 409:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها دنباله مثال ۴۵-۴صفحه ۲۷۰ كتاب درسی : ‎0\x) “(0‏ 4- 4 0-ابراله 4 4- ‎olla} lo‏ 0 0 ويا ل < 6 و 2 .اگر طول بردار وق را برابر واحد بكيريم داريم ‎V2‏ ‎=l = Rages‏ + رز + هر بنابراين 2 2 2 2 ‎v2 - V2‏ |_ ا اا 0 0 ‎ ‎ 

صفحه 410:
0 0۱ 4 - 4- ۱<0 ور 0 4 - 4- 0 2 8 0 0 ‎Ys,‏ -= %,0= 2 باشند. در نتیجه B+ yy +z 21 ‏ع‎ ‎V2 3 د 2 3 oe یا و9 ده ه 0 

صفحه 411:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها دنباله مثال ۴۵-۴صفحه ۲۷۰ کتاب درسی : اما به ازای 68 گر بخولهيم از معادله (۱۰۹-۴) استفاده کنیم به همان نتیجه قبلی مربوط به ۳63 2 می رسیم این حالت را واگنی می گویند. در این حالت از راد (۲ ۱۱۱۰ استفاده می شود تا برهار سوم تيزير دو برهار قبلى عووة باق 0 0 <| 0 0 1 -1 ۱ B= 9 

صفحه 412:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها مد مثال ۴۹-۴صفحه۲۷۴ کتاب درسی : ارتعاشات یک بعدی مدل کلاسیکی ملکول 2 (شکل۵-۴) را بررسی می کنیم. با استفاده از فن ماتریسی ویژه مقدارهاء در مورد حرکت این دستگاه بحث 

صفحه 413:
5 0 فصل4 دترمينان ها وماتريس ها دنباله مثال ۴۹-۴صفحه ۲۷۴ کتاب درسی : حل) مطابق شکل فرض می کنیم سه جرم روی محور افقی به فنرهایی با ثابت؟! متصل اند. همچنین می دانیم که بنا به فرض نیروهای فنر خطی هستند (جابجایی کوچک. قانون هوک) و سه جرم مجبورند که روی محور6 باقی بمانند. با استفاده لز قانون دوم نیوتن داریم a ۳ که و ‎k k‏ 35 رمدم )ود ‎x)- ee‏ ار و )% - ود كك -- هذ % - هتامم حل هد فرض كنيد © بسامد مشترك اين دستكاه باشد به طورى كه تمام جرم ها با اين بسامد ارتعاش كنند (مدل بهنجار). در لین صورت داریم -3 ۴۱۳ bs. == a و رورت ور 3 

صفحه 414:
دنباله مثال ۴۹-۴صفحه۲۷۴ کتاب درسی : با نشاندن رابطه (۱۱۳-۴) در رابطه (۱۱۲-۴) به دستگاه معادلات ماتریسی زیر می x x ‏|2م- | ود‎ ‏د د‎ )۴-۱۱۴( 

صفحه 415:
که از آن ‎niggle tide ons‏ به ديست مى ‎pe‏ ‏ی 3 د | ف رم ‎M Mm‏ با نشاندن این ویژه مقدارها در معادله (۱۱۴-۴) به ویژه بردارهای متناظر می رسیم. نخست به ازاى() - "هه داریم 0 در 0ح جر - و2 + 4 - 0- ور + 2 - ودع 2 24 حر كت يك حرکت انتقالی محض است, سرعت نسبی جرم ها صفر است. و هیچ ۰ انوع ‎oe meee) eal So‏ ‎chile‏ ~= 2 1 به ازلى 27 اريم د 0= % » 

صفحه 416:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها gh دنباله مثال ۴۹-۴صفحه۲۷۴ کتاب درسی یعنی جرم میانی ساکن و دو جرم دیگر در خلاف جهت هم حرکت می کنند (مرکز ا ‎pee ko‏ سرائجام ‎lies‏ مک + 095 نتيجه مى كيريم كه م = وح هد ‎m‏ : یعنی جرم میانی در خلاف جهت دو جرم دیگر حرکت می کند. در صورتی که دو جرم دیگر با هم حرکت می کنند (تکانه خطی کل برابر صفر است). جابجايى اين سه جرم در امتداد محور6را می توان با ترکیب خطى اين سه نوع حرکت (انتقالی, و دو نوع ارتعاشی) بیان کرد 

صفحه 417:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها روش قطری سازی ماتریس ماتریس هرمیتی(/رامی توان قطری کرد.ابتداازویژه بردارهایی که بدست امدند.ماتریس جدیدی مانند؟آمیسازيم که هرستون آن مربوط به يك ویژه بردار 1 می باشد. از آنجا که ویژه بردارهای ماتریس ‎HT‏ و این که *آیکانی است.داريم: 000 ا هابع (ه] ‎[x]‏ سااه) ها دسصمع )5 )+ 0 0|<۸ ,2 0 2 (ومیز! ‎oh,‏ ی ‎aa}‏ اد و 0 0 ‎ 

صفحه 418:
5 0 فصل4 دترمينان ها وماتريس ها عناصرقطرى:ويزه مقادير زب 2 مرتبط به ماتریس"می باشند وترتيب آن متناظر با ترتیب ویژه بردارهای 1 درماتریس*آاست. آزمون درستی عمل محاسبه ویژه مقادیر2 :حاصل جمع ر هابایستی با ند عاترسی اصلی باشد. ‎Daren ne ۳‏ 8 =( درصورتی که #۵مرمیتی نباشداستی لا 2 النتفادة نمود که ماتریشس له ماتریس فطری‌است «عتاصرفظران ویژه مقدارهای ماتریس"/هستند. برای قطری سازی ماتریس ها کافیست ویژه مقدارهای آن هارابدست آوریم وبه ترتیب درجای عناصر قطری قراردهیم وعناصر دیگر راتبدیل به ‎ 

صفحه 419:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها مثال ۱-۴ ۵صفحه۲۷۸ کتاب درسی :ماتریس های پاولی را قطری کنید. حل) با توجه به مثال (۲۱-۴) داریم 0 1 @ <i 1 0 sO TO NANG) oil OF چون این ماتریس ها هرمیتی هستند یعنی ۳ آنها از رابطه (۱۱۶-۴) استفاده می کنیم. نخست + راقطری می کنيم. ما مد ‎te‏ 0=| 1 = | - روا ‎A‏ - + بنایراین در قطری سازی در نتيجه ‎A=H‏ > 21 مم ‏تب 1 1 بای ‎Bees A‏ رابه دست می آوریم ‎| led 0 4 ‎ ‎a 

صفحه 420:
فصل4 دترمینن ها وماتریس ها دنباله مثال ۱-۴ صفحه ۲۷۸ کتاب درسی : کمشچ ‎AH‏ له یشب ری ‎ee ie‏ نتیجه می شود که 2= 7 7 بنابراین 1 ع اه 1 -] 2 ۲ 1 2 همچنین به ازای 1 -< بر نتيجه مى شود =, J2f+1 J2([- 1 ‏ا‎ اكنون به آسانی می توان ماتریس ‎٩‏ را بال و20 تشكيل داده وه را به دست آورد 1 1 1 [ro 

صفحه 421:
1 فصل4 دترمینن ها وماتریس ها دنباله مثال ۱-۴ ۵صفحه۲۷۸ کتاب درسی : با نشاندن آن در رابطه (۱۱۶-۴) نتیجه می cero Ae OE ‏لک و- اد‎ اگر از دسته دوم پاسخها در ساختناستفاده شود. چه خواهد شد؟ پاسخ دهید. سپس و را قطری می کنیم. معادله مشخصه این ماتریس به صورت زیر است م ‎ -‏ یر - 0= 3 ‎AS‏ 1 د م 5 21م به ازای 21> م2 . ویژه بردارجق را به دست می آوریم 0 يا 

صفحه 422:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها الل ‎eS‏ :1 م یه تک اهلد بهنجاری 1< ور و ‎rl‏ یی تن رد ‎v2‏ کارت موز -- 2 0 بنابراین 2 12 -] و ‎ORE‏ ۱۳ 22 هس به ایب 1 ۸ نتسه زير به دست می آید نا 

صفحه 423:
1 فصل4 دترمینن ها وماتریس ها دنباله مثال؟- ‎١‏ مصفحه ۲۷۸ کتاب درسی : 72 نتيجه می ‎og‏ < ول -< ول بنبراین اد ۰ لته ‎FG Rosle olf es ox!‏ را به دست آورد لا 2 اه 2 2 1 2-۶ ۶ 1 2۷۱ ‏و با نشاندن آنها در رابطه (۱۱۶-۴) داریم ‎1 9۵ ‏ره ‏ما ‎ ‏سرانجام. چون قطری سازی ماتریس 72 آسان و مانند دو ماتریس قبلی است آن را به ‏695 عهده خواننده می گذاریم. ‏ور اما به كمك رابطه بهنجارى1ح- بإ * و < ‎ln‏ ‎ ‎ 

صفحه 424:
فصل4 دترمینن ها وماتریس ها مثال ۵۳-۴صفحه ۲۸۱ کتاب درسی : ماتریس 2<62 زير را قطری کنید. 0 2 1 حل) از معادله سرشتی (۱۱۰-۴) داریم 2 2 -5 ‎a)(2- A)- 4=0‏ -5(= ‎١ ١‏ 1 -2 1 22 - 7A+6=(A- DA- & =O بنابراین ویژه مقدارها برابرند با 6 .2 و و در نتيجه ماتریس قطری جدید 0 6 ‎a-|‏ پرابراست پا 0 1 تمامی توا تم با تعیی ویوه برحارهاء لک راز رابطه (۱۱۷-۲) به دست می آوریم که اين كار را به عهيده خواندده مى ‎SIGS‏ ۱ 3 ‎A=R'AR <->‏ 0 ۱0 مت 

صفحه 425:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها تمرین ۱-۷2۴صفحه ۲۸۲ کتاب درسی : ماتریس های نمایشگر مولفه های نکانه وی ای لمع هرمت اند نشان دهید وه مفتارهای مررط با ۱7۰/۰۷ حقیقی نامتفی هستند. حل ‎JHA‏ ‎Tae HJ eit Jot Sah = Oe Ay + Hr‏ +12 + )دم لأقره- مرق کی2< 2[ asl italy a> (AAG EAD) ‏و‎ 3 

صفحه 426:
1 فصل4 دترمینن ها وماتریس ها تمرین ۷-۷-۴صفحه ۲۸۳ کتاب درسی : ویژه بردارها و ویژه مقدارهای ماتریس زیر را به دست اوري 2- 4 أ ‎a‏ 2 421 ‎A)(l- 4)- 6=0= 2۶ 5+4 6-02 23- 52۰ 2-0‏ -4( =0= 1 | 5+ =: 5283, Qe = 4, =5.37A, =-037 58 5 0 را[ 2- 137 ‎a ۳ ۷ 1.3725 - 2, =0> y; =- 0.69%‏ د21-537 ا 3 \¥+¥ =1= [¥+C069x) =1> x =083 , He 

صفحه 427:
فصل4 دترمینان ها وماتریس ها ‎WY‏ ‏: 9 ‎me‏ احلمه تمرین ۷-۷-۴صفحه ۲۸۳ کتاب درسی : 0 و2 - 437 ‎4.37x,- 2y, =0 5-21‏ 2 عد بر ۳ ۳ لو رد و ‎2+ 2 ‏ور 2042 ود حلت "(2196) +2د/. حا<‎ A ‎4=-037> ‎ ‎ 

صفحه 428:
We A\S ديم فاسان شر 5 0 فصل4 دترمینان ها وماتریس ها تمرین۸-۷-۴صفحه۲۸۴ کتاب درسی : (لف) ویژه مقدارها و ویژه بردارهای ماتریس زیر راحساب کنید. م 1 1 8 توجه کنید که ویژه مقدارها به ازای (0< 2 واگن هستند. (ب) ویژه بردارها و ویژه مقدارهای ماتریس زیر را حساب کنید. ۳ 1 1 22 توجه کنید که ویژه مقدارها به ازای 00< ۶ واكن هستندوبراى اين ماتريس نامتقارن:ویژه بردارها(0 < )فضا رادر بر نمی گیرند. حل:الف: 1 1 ‏0ط‎ omy ee Oe eee ۳ ۲ el € 1- Al eo | ee x is ‏میگ‎ 

صفحه 429:
فصل4 دترمینان ها وماترپس ها ‎AZ‏ احلمه تمرین ۸-۷-۴صفحه۲۸۴ کتاب درسی : و لك م ‎RG MK‏ 26 ‎a‏ جا ‎(ea‏ جا جرع هولا ۳1 ‏1 اد مه رش ‎9 alle 9. => ex +ey,=-0> %=-H% ‎[sea 8 =1> fee =1> x =4 = ‎I aa Jal. ‎ 

صفحه 430:
فصل4 دترمینن ها وماتریس ها ادلمه تمرین ۸-۷-۴صفحه۲۸۴ کتاب درسی :همان طور که می بینید به ازاو()- 2,2 است ولی با توجه بهب ‎Hy‏ به ازای00ع< ع و0 <- ۰۶ و و25 برهم عمودند. 2 1 ۳ |=0- (l- A)?- ‏دمح 2ع‎ (1- A) =4e 2 eon e LA ۳ ۸ 12 2, =1-6 1 دع +1- 2 0 ]1 مه ‎ne‏ یه لو ۶ 1 0 جر 1 2ع +1 جد ج1- *(ورع) + هر 1 

صفحه 431:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها احلمه تمرین ۸-۷-۴صفحه۲۸۴ کتاب درسی : 0 كع -> ول -0- ول + وده + أن |- 1 +(-£%)? =1> =+ 2 9 ۲ 5 1 ۰ ع ]2ج بل ۶ 1 به ااو(0< »بل جع .2 است وواگنی داریمولی به ای 0< ۰4| و1< و است درنتیجه این دو ویژه بردار فضای کامل را تشکیل نمی دهند. 

صفحه 432:
۲ ‏تیه‎ ‎we فصل4 دترمینان ها وماتريس ها RV تمرین۱۱-۷-۴صفحه۲۸۴ کتاب درسی : مطابق شکل زیر دو چرم ‎ty pb aes UM‏ هم متصل و به دیوار بسته شده اند فرض كنيد اين دو جرم در امتداد خط افقی باقی بمانند. . تت k k Loc] os > x الف‌قانون دوم نیوتن را برای هرجرم بنویسید. حل: الف: ب‌ویژه مقدارها ومدهای بهنجار حرکت را تعیین کنید. 

صفحه 433:
فصل4 دترمینان ها وماتريس ها ادلمه تمرین ۱-۷-۴ ۱صفحه۲۸۴ کتاب درسی : ‎ye Eee‏ ‎rt Pris 2‏ د (يد ليو ع ير كك -ح يذ د ‎ae ma‏ 5 ‏ب:فرض مى كنيم © بسامد مشترك اين دستكاه باشد به طورى كه تمام جرمها با اين بسامد ارتعاش كنئدددر اين حالت داريم: ‏و رید < ود و رجد < ور ‏پا قرار دادن 22 و 6 در روابط قسمت الف داریم: ع1 2 ‎k 2k‏ ‎epee . 2 = =i‏ وت و6( که ع( )2 ‎Ain‏ ‎3 ‎k k Bie a = aes feat =0 Fete”) Fit ow CO 0 <> ‎2 ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 434:
av ZB فصل4 دترمینن ها وماتریس ها ‎ZS 00‏ 0 ی در ‎os‏ انه رت رز ‎ee‏ 2 ع د ی 2۳| (2رم علض = ‎ra) | 2 aye‏ ار ‎eee gO‏ ‎m m‏ ‎k 3k‏ ‎a ee‏ ‎k k‏ ‎anole ee‏ ۱ تا ‎a‏ ‎m m‏ O> %o=%o 1 Ht ۱ 

صفحه 435:
موفق وپیروز باشید 

بردارها فصل اول : در اين فص ل از ج بر وآن الیز ب رداری وقض یه ه ای مرب وط ب ه آنهاک ه در ش اخه ه ای مختل ف فیزی ک چ ون مکانی ک کوانتومی،الکترومغناطیس،مکانیک کالسیک و اپتیک،وغیره کاربردهای اساسی دارند. -1جمع و ضرب (برداری  ونرده ای)وضربهای سه گانه -2فرمول عملگر دیفرانسیل برداری رادرمختصات دکارتی -3تعريف شيب يک تابع عددي -4تعريف واگرايي يا ديورژانس يک ميدان برداري -5تعريف تاو يک ميدان برداري -6بررسي قضيه استوکس و قضيه واگرايي 1 تعاریف : کمیت های فیزیک به دو دسته اسکالر و بردارهاتقسیم می شوند. اس کالرها فق ط بامقدارش ان مش خص می ش وندو برداره ا بامقداروجهت شان مشخص می شوند. نمایش بردارها در فضا :بردار را با پیکانی درفضا نمایش می دهیم که طول آن معرف اندازه بردار وراستای پیکان جهت بردار می باشد. ‏C A  ‏B ‏A هندسی: بردارها به Bروش جمع جمع دو بردار و نشان می رابه صور ت دهیم وبه دو روش B Aوچند ضلعی قابل حوصولCاست. متوازی الضالع روش چند ضلعی A:ابتدای بردارB ب ردار حاص ل جم ع( وانتهایش B A انتهای را در انتهای )ب رداری اس ت ک ه ابت دایش ابت دای استD  A  B . ‏A دوبردارBبه روش هندسی: تفاضل 2 تفاضل دوبردار قرار می دهیم ، و راکه به صورت ‏D ‏A ‏B نمایش نمایش مولفه ای بردارها: مختصات( AX نقطه انتهای بردار با) , AY , AZ شود .اگر اندازه بردار ترتیب ‏A مشخص می ‏,  ,  وزوایای آن با محورهای XوYو Zبه ‏AX  A cos  ‏AY  A cos  ‏AZ  A cos  باشند: ‏cos ,cos  ,cos  که در آنها 2 2 2 را کسینوس های هادی ‏ 1 ‏cos   cos  : cos می نامند ،به گونه ای که 2 3 درنتیجه: 2 2 2 ‏A X  A Y  A Z A ˆ اگر بردارهای یکه در امتداد محورهایˆˆj , Xiوk ,Yو Zرا با ˆ نشانAدهیم استفادهY ˆjازA  AX iˆ  A را با  AZ k بردارهای یکه به صورت ومی توان بردار 2 1/ 2 بردارA اندازه( AX2 داد Aو AY2  نشان ) Z صورت به می باشد. ˆ ˆ روش ˆ BY ˆj  ‏A وتفریقAX iˆ  A ایB B: به ˆBZ k بردارها جمعY j  AZ k مولفهX i  اگر و ˆ ) A B i ( AX BX )  ˆj ( AY BY )  kˆ( AZ BZ باشد،آن گاه: اگرA  B 2iˆ  3 ˆj  مثالkˆ :2-1 باشند ،بردارهای حل: 4 و ˆ 3iˆ  2 ˆj  6kوA  B ‏B A رابر حسب مولفه های آنها تعیین کنید. 1   1 ‏A   ( A  B)  ( A  B)    (2  3)iˆ  (3  2) ˆj  ( 1  6) kˆ  ‏ 2 2 ‏1  1 ‏B   ( A  B)  ( A  B)    (3  2)iˆ  (2  3) ˆj  (6  1) kˆ  ‏ 2 2 )2و3و4( به مختصات A مختصات به نقطه ازمبدا A :3-1مثال بردار درفضارس م ش ده اس ت زوای ای این ب ردار بامحوره ای مختص ات 2 x 2 y 2 z 1 2 2 2 2 1 2 1 2 .راتعیین کنید A ( A  A  A ) (2  3  4 ) 29 5.39 Ax 2 2 Ax  A cos   cos     0.371 A 29 5.39   cos  1 0.371 68.2 Ay 3 3 Ay  A cos   cos     0.557 A 29 5.39   cos  1 0.557 56.18 Az 4 4 Az  A cos   cos     0.742 A 29 5.39  cos  1 0.742 42.1 :حل 5 :کتاب درسی8صفحه5-1تمرین ، زاوی ه ه ای مس اوی می س ازدx,y,z بامحوره ای10برداری ب ه طول .مولفه های آنرابدست آورید A 10  A2 10 2 100,     Ax 10 cos  Ax 2 100 cos 2  Ay 10 cos   Ay2 100 cos 2  Az 10 cos  Az2 100 cos 2  100 300 cos 2  :حل 1 100 1 3   cos   1  cos   300 3 3 2 Ax  Ay  Az 10 3 ,    54.74 0.3 3 6 تمرین6-1صفحه8کتاب درسی: برداری که در صفحه xyقرارداردوباجهت مثبت محور xو yزاویه مساوی می سازد ،مولفه های آن رابه دست آورید. حل: ‏y 2 ‏A 2 2 ‏Ay  ‏A 2 ‏ ‏A ‏Ax  7 ‏ 45 ‏x ‏ 45  a مولفه های بردار. قطرمکعب است :ب :د 1 1 1 ( , , ) 3 3 3 x x x ( , , ) 3 3 3  a بردار- 1 تست واحد (است؟1,1,1) کدام :الف 1 1 1 ( , , ) 3 3 3 :ج  a 1  a ax2  a y2  az2 1, ax a:حل y az 1  2 2 2 2 2 a a x  ax  ax 3ax 1  ax  3 1 1  ax   ax a y az  3 3 8  چ ه رابط ه ای بین کس ینوس ه ای ه ادی برق رار-2 تس ت cos   cos   cos  0 :ب cos   cos   cos  1 cos 2   cos 2   cos 2 است؟  0 :الف cos 2   cos 2   cos 2  1 :د x r cos  , y r cos  , z r cos  :ج :حل x 2  y 2  z 2 r 2 (cos2   cos 2   cos 2 ) 1      r 2 cos 2   cos 2   cos 2  1 9 ضرب نرده ای یا داخلی رابهA.B ‏ A B cos داخلی B ‏A صورت دو بردار و حاصل ضرب نرده ای یا ‏ ‏A cos میان دو بردار کوچکتر می B نمایش A دهیم که ‏Aو ‏B است. از آنجا که   ‏A.B گاه داریم: باشدآنP  A cos   P   ‏B اندازه تصویر بردار ˆA  AX iˆ  AY ˆj  AZ k زاویه در راستای ˆB BX iˆ  BY ˆj  BZ k حاصل ضرب نرده ای دو بردار به روش مولفه ای: اگر 10 و  ‏A.B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz در آنصورت ضرب داخلی این دو بردار به دست آوردن زاویه بین دو بردار: ‏ ‏ 1 A.B ‏ 1 AX BX  AY BY  AZ BZ ‏ cos   cos ‏AB ‏A B خواص ضرب داخلی (نرده ای) بردارها: ‏ ‏ اگرc , b , a ‏q2 , q1 بردار و نرده ای باشند ،خواهیم داشت : ‏ (q1a  q2b ).c q1a.c  q2b .c ‏ ‏ (a  b ).c a.c  b .c خاصیت خطی: ‏ ‏ ‏a خاصیت.b b .a توزیع پذیری به دست می آید: که ازآن خاصیت تقارن: 11 نکتهکهcos  باتوجه به این 1 است،می توان از ‏ ضرب داخلی نامساوی شوارتز را اثبات نمود: ‏a.b  a b کاربردهای ضرب نرده ای  کار انجام یافته نیرو :کاریfکه نیروی ‏ dدرجابه جایی انجام می دهد برابر است با: ‏ ‏w  f d cos   f .d مولف ه ن یرو در راس تای مش خص :در این ح الت از مفه وم مولفه یا تصویر یک بردار در راستای بردار غیر صفر دیگر استفاده می شود. 12 : کتاب درسی12صفحه10-1مثال ب ه ط ول واح د را ط وری C باش دبردارB=[-2,0,1] وA=[4,1,0] اگ ر .باشدB وAبیابیدکه عمود بر دو بردار A (4,1, 0), B (  2, 0,1), C (Cx , C y , C z ) :حل  C. A  0  4C x  C y 0  C y  4C x C.B 0   2C x  C z 0  C z 2C x   C x2  16C x2  4C x2 1  C x  1 21  21 21 1  C   , 21  2   21  C x2 C y2 C z2 1 4 2   ,  , 21 21   1 4 , , 21 21 13 تمرین6-2-1صفحه16کتاب درسی: مقدارمولفه aرادرراستایbبه دست آورید؟ الف)]a=[1,1,2],b=[0,0,6 حل: ‏ )a.b (0 1)  (0 1)  (2 6 ‏Pa  ‏ ‏2 2 2 2 ‏b 0 0 6 14 :کتاب درسی16صفحه8-2-1تمرین )x,y,z( ب رداری ازمب دا مختص ات ت ا نقط هrبردارث ابت وA اگ ر نش ان دهی د ک ه رابط ه زیرمعادل ه ی ک،)باش د(بردارمک ان  r  xiˆ  tjˆ  zkˆ  A aiˆ  bjˆ  ckˆ    (r  A). A 0    r  A .r 0  .صفحه است :حل  (( x  a)iˆ  ( y  b) ˆj  ( z  c)kˆ).(aiˆ  bjˆ  ckˆ) 0 a ( x  a )  b( y  b)  c( z  c) 0  ax  by  cz (a 2  b 2  c 2 ) ax  by  cz  d 0 15 تمرین10-2-1صفحه16کتاب درسی : زاویه بین دوبردار A=3i+4j+kو B=i-j+kراپیداکنید. حل: ‏A.B 3  4  1 ‏A.B  A . B cos   cos   ‏ ‏0 ‏A B 14. 3 ‏ ‏ 2 16   a.b  b .c  c .a حاصل   a  وbباشند  c 0برداریکهc وbوa اگر-3 تست چقدر می شود؟ :ب :د  3 2 3 :الف 2  1 2 1 :ج 2 :حل   (a  b  c ).(a  b  c ) 0   a.a  b .b  c .c  a.b  a.c  b .a  b .c  c .a  c .b 0   2 2 2 a  b  c  2( a.b  b .c  c .a ) 0   1 1 1  2( a.b  b .c  c .a ) 0  3  2( a.b  b .c  c .a )  3  a.b  b .c  c .a  2 17  صورت b  0,0,6 , ‏بهa 1,1, 2 دوبردارb تست , a  -4 ‏ ‏b رادرراس تای aمفروض ند.مقدار مولف ه 1 2 آورید. 2 الف: 6 ج: 6 6 ب ه دس ت ب: د: حل: ‏ ‏ ‏ ‏a.b 12 ‏ ‏a.b  a . b cos   a cos     ‏2 36 ‏b 18 ضرب برداری ‏  ‏ ‏ حاصل ضرب خارجی , A دوBبردار C  A Bبه صورت ‏ ‏  شود،اندازه آن B, A ‏ AB sin  نوشته Cمی  ( Cکه ‏  برصفحه است). ‏B, Aزاویه کوچکتر میان ‏ عم ود اس ت وجهت آن ب ا اس تفاده از قاع ده A ‏ ‏ دس ت راس ت تع یین B می ش ود،ب ه گون ه ای ک ه اگ ر C چه ار انگش ت دس ت راس ت در راس تای ب ردار وچ رخش آن ه ا در جهت ب ردار باش د ،آن گ اه ˆ ‏iˆ iˆ  ˆj  ˆj kˆ kˆ 0 انگشت شست جهت بردار رانشانˆمی دهد. ˆ ˆ iˆ  ˆ j k، ˆ j k iˆ، kˆ iˆ  ‏j 19 با اس تفاده از ان دازه حاص ل ض رب خ ارجی دو ب ردار ˆj iˆ  kˆ، kˆ  ˆj  iˆ، iˆ kˆ  ˆj ضرب برداری به روش مولفه ای: اگر ˆ BY ˆj  BZ kˆ A  AX iˆ  AY ˆj  AZ kو ˆB BX i باشدآن گاه: ‏  ‏B, A حاصل ضرب خارجی دوبردار دترمینان: به روشˆ ˆ ˆ ‏k ‏j ˆAZ ( AY BZ  AZ BY )iˆ  ( AZ BX  AX BZ ) ˆj  ( AX BY  AX BY )k ‏AY ‏i ‏ ‏ ‏C  A B  AX ‏BZ ‏BY ‏BX ‏  ‏B, A مس احت مت وازی االض العی ک ه دوب ردار ‏  هستند برابر است با: ‏S  A B  AB sin ‏ 20 اض الع آن : کتاب درسی23صفحه4-3-1تمرین j sin بااستفاده ازسه  P i cos   بردار  Q i cos   j sin : ثابت کنید  R i cos   j sin   sin(   ) sin  cos   cos  sin  cos(   ) cos  cos   sin  sin  :حل  P Y     P R  P R sin(   ) sin  cos   cos  sin   P.R PR cos   P R cos(   ) cos  cos   sin  sin   P  R  cos 2   sin 2  1 X  R 21 : کتاب درسی23صفحه5-3-1تمرین sin  sin  sin  سینوس ها  قانون،بااستفاده ازشکل زیر A B C .راثابت کنید Y B   C A :حل  X 1 1 1 A B  B C  A C 2 2 2 A B sin   B C sin   A C sin   sin  sin  sin    A B C 22  نشان دهید: کتاب درسی24صفحه8-3-1تمرین 2 ( A  B).( A  B)  A2  B:الف ( A  B) ( A  B) 2 A B :ب :حل ( A  B).( A  B) ( Ax  Bx )( Ax  Bx )  ( Ay  By )( Ay  By )  ( Az  Bz )( Az  Bz :الف )  Ax2  Bx2  Ay2  By2  Az2  Bz2  A2  B2   ( A  B) ( A  B) iˆ  ( Ay  By )( Az  Bz )  ( Ay  By )( Az  Bz )  ... :ب iˆ  ( Ay Az  Ay Bz  By Az  By Bz )  Ay Az  Ay Bz  By Az  By Bz    ˆ ˆ ˆ 2( Ay Bz  By Az )i  2( Az Bx  Bz Ax ) j  2( Ax By  Bx Ay )k 2 A B 23   B  4,  2,1 , A  2,3,2  بردارعمودبر – 5 تست :ب  C  7,  6,  16  C  7, 6,  16 :د  C  7,6,16 است؟ کدام  C  6,7,16  :الف :ج iˆ   C  A B  2 ˆj 3 :حل kˆ 2 (3  4)iˆ  (8  2) ˆj  ( 4  12) kˆ 4 2 1  C  7, 6,  16 24  ‏ ردارB   2,0,1 , A  اگردوب3,1,0 ‏ تست -6 مفروض باشند ،بردار 2 6 3 6 1 6 بیابیدکه ˆjبر  ‏ ˆk دوˆ iبردار الف: ˆ 1 ˆ 3 ˆ 2 ‏i ‏j ‏k 14 14 14 ج: حل: ˆ 3 ˆ 2 ‏j ‏k 14 14 َ52 ‏ ‏C ‏  ,A راکه Bطول آن واحد است طوری ˆ 1 ˆ 3 ˆ 2 ‏i ‏j ‏k عمودباشند. 14 14 14 ˆ 1 ˆ 3 ˆ 2 ‏i ‏j ‏k 6 6 6 ب: د: ˆk ˆj ˆ2 iˆ  3 ˆj  2k 3 ‏ ‏ ‏C  A B  2 1 ‏2 4 ˆi ‏ ‏C ˆ 1 ‏nˆ   , C  1  9  4  14  nˆ  ‏i 14 ‏C  دوبردارA  تست -7مساحت مثلثی کهˆiˆ  ˆj  k ‏ ˆB iˆ  k تشکیل می دهند،چقدر است؟ 2 الف: 2 2 ب: 1 ج: 2 3 2 د: حل: ˆk ˆ1 iˆ  k 1 ‏  ‏ A B  2 مساحت متوازی االضالع ‏ ‏ 1 2 ‏ A B  2 2 26 و ˆj ˆi ‏  ‏A B  1 1 0 1 ضرب سه گانه بردارها -1ضرب سه گانه نرده ای ‏ ‏ ‏ بردارc : (c1 , c2 , c3 ) b : (، b1 , b2 , b3) a : (a1 , a2 , اگر سه ) a3 ، ‏ ) cرا.(b  aباشیم ،حاصل ضرب نرده ای داشته ‏ ‏ نامیم وبه صورت زیر نشان راضرب سه گانه نرده ای می (abc ) ) a.(b c می دهیم: ‏  ) A.( B C ‏ ‏C ,B قدر مطلق , A سه گانه نرده ای ضرب برابربا حجم متوازی السطوحی است که سه ضلع آن برداراهای هستند. 27 ‏A1 ‏A3 ‏A2 ‏B3 V ‏B2 ‏  ‏A B C  B1 ‏C3 ‏C2 ‏C1  سهc , b شرط هم صفحه بودن , a بردار بدین صورت است: ‏  ‏a.(b c ) 0 گانه برداری -2ضرب سه ‏ ‏  ‏ ‏a b ) cو( هایa (b c عبارت ) ضرب سه گانه برداری می گویند. دستور بک -کب برای محاسبه حاصل ضرب سه گانه برداری: ‏ ‏ ) A ( B C ) B ( A.C )  C ( A B 28 را تمرین1-4-1صفحه28کتاب درسی :حجم متوازی السطوح متشکل از3 بردار زیر رابه دست آورید. ‏ j  4k , i  k , 2 j  k الف: ‏i  j , j  k , 2i  6k ب: حل: الف: ب: 29 ‏  ‏V  A.( B C ) (iˆ  kˆ).[(2 4  1)iˆ] 9 ‏  ‏V  A.( B C ) (2iˆ  6kˆ).(iˆ  ˆj  kˆ)  4 تم رین2-4-1ص فحه28کتاب درس ی :آیاس ه بردارزی ر دری ک صفحه اند؟ الف1]:و0و[1و]1و1و[0و]0و1و[1 ب3] :و -7و[2و]8و9و[5و] -2و3و[7 ‏ ‏ ‏a.(b c ) b .(a c ) c .(a b ) 0 ‏C ‏b ‏a حل:شرط هم صفحه بودن پس درقسمت الف باتوجه به رابطه فوق داریم: نیستند.ودرقسمت همینc.(a  به b) (i  نیزj ).( بi  j  ‏k )  صفحه2, a.(b c) (i  k ).(i  j یعنی بردارها هم  k ) 2 ترتیب. ‏b.(a c) (5i  9 j  8k ).(5i  25 j  55k ) 690 30 نشان دهید: کتاب درسی28صفحه3-4-1تمرین 2 2 ( A B ).( A B )  A B  ( A.B ) 2 :حل   2 2 ( A B ).( A B )  A B  ( A.B ) 2  2 2 2 2 2 2 A B  A B sin   A B (1  cos 2  ) 2 2  A B  ( A.B ) 2 31 تمرین6-4-1صفحه28کتاب درسی :اگر Dترکیب خطی ازسه بردار ن اهم ص فحه(ونامتعام د)زی ر باش د ‏D=aA+bB+cCنش ان دهی د ک ه ) D.( B C ‏a ‏ ضرایبaوbوcازنس بت ض ربهای س ه گان ه ن رده ای ب ه ش کل زی ر ) A.( B C دست می آیند وغیره حل: ‏  ) D.( B C ) (aA  bB  cC ).( B C ) aA.( B C ‏ ‏  ‏ ‏a ) A.( B C ) A.( B C ) A.( B C ‏ ) D.( A C ) D.( A B ‏b    , c  ) B.( A C ) C.( A B 32 میدان های نرده ای وبرداری ای ( X , Y اگر تابع نرده) , Z ( Xنقطه ) , Y , Zدر مقداری  معین داشته باشد ،گوییم میدان نرده ای تعریف شده است .در هر نقطه مقدار است. دستگاه مختصات  برداریF ( X , Y , Z: ) میدان ‏ ازفضا درآن نقطه مستقل از انتخاب ) ( X ,Y , Z درهرنقطه وقتی تابع برداری یک ناحی ه تعری ف ش ده باش د،می ت وان گفت ک ه آن ناحی ه ی ک می دان ‏ استF FX ( X , Y , Z )iˆ  FY ( X , Y , Z ) ˆj  FZ ( X , Y. برداری ˆ, Z )k نمایش میدان برداری در دستگاه مختصات دکارتی: ‏ ‏F خطوط میدان برداری: هرمنحنی که بردار مماس درهر نقطه آن،درجهت 33 باشدراخط شیب(گرادیان) میدان نرده ای مشتق جهتی: نس بت تغی یرات می دانن رده ای dsجهتی آن میدان می گویند.اگر ‏ ‏dsگاه درجهت مورد نیازباشد آن رادر ی ک جهت معین،مش تق ‏d تغییرمکان بی نهایت کوچک ‏ds مشتقdZ , dY , dX جهتی است. دارای مولفه های دکارتی :اگر مشتق جهتی ‏d  dX درمختصات  dY ‏ dZ ‏ ‏ ‏ داریم: باشد ds X ds Y ds ‏Z ds شیب(گرادیان)میدان نرده ای: 34 برداری است که اندازه آن بیشینه مشتق جهتی درنقطه مورد نظر شیب نرده ای یا  گرادیان رابا ‏grad (عملگر دل) یا نشان می  دهیم وجهتی دارد عمود برسطح تراز که از نقطه مورد نظر می گذرد. عملگر دل (گرادیان)درمختصات دکارتی: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ˆ i ‏ ˆj ˆ k ˆ  i ‏ ˆj ˆ k ‏X ‏Y ‏Z ‏X ‏Y ‏Z ‏ رویه ای درجهت افزایش برداریکه عمود برسطح تراز  ‏ ‏n̂   ‏ 35 : مثال25-1صفحه34کتاب درسی : تراز  x 2  2 yz ( x cos برداریکه ای رابیابید که ) yz برسطح درنقطه ای به  مختصات افزایش حل: )P (3,  2, 0 عمود ودر جهت باشد. )(3,  2, 0 می دانیم برداری که عمود بر سطح تراز درنقطه ‏ ‏ ˆ  ˆ  ˆ باشد برابر است با ‏ i ‏j ‏k ‏x ‏y ‏z ‏i[2 x  cos( yz )]  j[2 z  xz sin( yz )]  k[2 y  xy sin( yz )] 5i  4k ‏ ‏ 5i  4k ˆ ‏n ‏ ‏ بن ابراین ب رداری یک ه م ورد س وال در ایننقط ه ب ه ق رار زی ر 41 ‏ 36خواهد بود : مثال26-1صفحه35کتاب درسی : صورت  ( x, y, z , t )  xy 2 به 2 yzt  ‏sintxt دمای نقطه ( )x,y,zیک محیط درزمان راiکهV ای j ذره 2 فرض شده است.آهنگ تغییر دما نسبت به زمان k با سرعت )(2, 3,1 درزمان t=0ازنقطه می گذرد،محاسبه کنید. حل: ‏ متغییره ای فض ا را درط ول مس یر ذره می ت وان ت وابعی از مرکبی از زمان گرفت تابعd  بنابراین   dx dzو dy  زمان در نظر  ‏  ‏ ‏ ‏  V . ‏dt ‏ ‏t ‏ ‏x ‏dt ‏ ‏y ‏dt ‏ ‏z ‏dt است .با مشتقtگیری نسبت به زمان خواهیم داشت ‏dx dy dz ‏ j k ‏dt ‏dt ‏dt )t 0, ( x, y, z ) (2, 3,1 ‏V i که درآن 37 با مشتق گیری ودر نظر گرفتن (بردار سرعت) است .پس :26-1ادامه مثال  2 yz  x cos xt 8 t  i ( y 2  t cos xt )  2 j ( xy  zt )  2kyt 9i  12 j )به دست می آوریم33-1(اکنون آهنگ تغیردما را ازرابطه  8  (i  j  2k ).(9i  12 j ) 29 t 38 مثال27-1صفحه35کتاب درسی : اگر 2 ‏3 2 2 2 ) s ( x, y, z ) ( x  y  z ‏s است باشدمطلوب )(1, 2, 3 ‏ ‏s درنقطه الف) ‏یعنی ب)اندازه گرادیان s s )(1, 2, 3 )(1, 2, 3 در نقطه ج)کسینوس های هادی در نقطه ‏ ‏ ‏ ‏ j k ‏x ‏y ‏z حل: ‏s i ‏5 ‏5 ‏5 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 الف) ‏ 2 x[ x  y  z ] i  2 y[ x  y  z ] j  2 z[ x  y  z ] 2 k 2 2 2 ‏5 ‏5 ‏5 ‏ 3[14] 2 i  3 2[14] 2 j  3 3[14] 2 k 39 ب) )(9  36  81 3 ‏ 145 142 ‏s  :27-1ادامه مثال cos   cos   (s ) x  s 1 14 (s ) y  2 14 (s ) z  s 3 14 cos   s )ج 40 : کتاب درسی36صفحه28-1مثال رامحاسبه باشد f (r ) f (r )  f ( x 2  y 2  z 2 اگر ) .کنید f (r ) df  x dr r x f f f f (r ) i  j  k x y z :حل داریم اکنون از دستور زنجیری مشتق گیری استفاده می کنیم r  x 2  y 2  z 2  r 2  x 2  y 2  z 2  2rr 2 xx  f (r ) x df  x r dr f (r ) y df   y r dr f (r ) z df   z r dr r x  x r   1 df r df  df  f (r ) (ix  jy  kz )  r0 r dr r dr dr 41 : کتاب درسی36صفحه1-6-1تمرین :میدان های زیر رابه دست آورید شیب 2 2 (y  z ) ( y 2  z 2:الف ) sin x sinh y:ب 1 ln( x 2  y 2 ) :ج 2 :حل 2 2 2 2 2 2 2 2       2 x ( y  z ) 2 y ( x  z )  2 z (( y  z )  ( x  z )) ˆ ˆ ˆj   iˆ  ˆj k  2 2 2 iˆ  k :الف x y z (y  z ) ( y 2  z 2 )2 ( y 2  z 2 )2  cos( x ) sinh( y )iˆ  sin( x) cosh( y ) ˆj   2 x 2 y x y i  j  i  j  x2  y 2 )  x2  y2 ) 2( 2( (x2  y2 ) (x2  y2 ) :ب :ج 42 : کتاب درسی36صفحه2-6-1تمرین ثابت، باشدzوyوx دوتابع مشتق پذیر برحسبf وgدرصورتی که ( fg )  f g  g:کنید f ( f n ) nf n  1 f :الف :ب :حل ( fg )  ( fg ) ˆ ( fg ) ˆ ( fg ) ˆ f g ˆ i j k ( g f )i  ... :الف f g  g f x y z x x  ( f n ) ˆ  ( f n ) ˆ n ˆ ( f )  ( f )i  j k x y z f f f n . f n  1iˆ  n f n  1 ˆj  n f n  1 nf n  1 f x y z n :ب 43 تمرین3-6-1صفحه37کتاب درسی : صورتT  x 3 دریک میدان دمایی به  3 xy 2 گرمادر )(2,1 جری ان می یاب د.این جهت را جهت بیش ینه ک اهش دم ای T درنقطه حل: 44 به دست آورید . ‏T ˆ T ˆT i ‏j ‏(3x 2  3 y 2 )iˆ  6 xy ˆj ‏9iˆ  12 ˆj )(2,1 ‏x ‏y ‏ ‏u 9iˆ  12 ˆj ‏   ‏u 81 144 تمرین4-6-1صفحه37کتاب درسی : صورت( V به x, y ) 110 ( 30ln برحسبx 2  ) y2 ولت اگرپتانسیل بین دواستوانه هم محور باشد،جهت میدان الکتریکی)(2, 5 رادرنقطه به دست آورید. حل: ‏ ‏V ‏V ˆ 2x 2y ˆj )  ˆE  V  (i ‏ ˆj ) (2,0)  30( 2 ‏i ‏ 2 2 2 ‏x ‏y ‏x y ‏x y ‏ ‏ 120 ˆ  300 ˆ u ‏i ‏j 29 29 ‏u 45 تمرین6-6-1صفحه37کتاب درسی : به( x, y, z اگرتابع برداریFبستگی ) فضای باشد نشان دهید اشاره:ر ک مثال.26-1 وزمانtداشته ‏F ‏dF (dr.) F  ‏dt ‏t حل: ‏ ‏ F ‏F ‏F ‏F ‏F ‏ ‏dF  ‏dx  ‏dy  ‏dz  ‏dt (dr .) F  ‏dt ‏x ‏y ‏z ‏t ‏t 46 تمرین7-6-1صفحه37کتاب درسی : بردار یکه عمود برمنحنی مفروض در نقطه Pرابدست آورید الف) P : (6,8) , x 2  y 2 100 ب) P : (3, 4, 5) , z  x 2  y 2 حل: الف: ˆ  16 ˆj ‏ ‏ 12 ‏i ‏ 2 xiˆ  2 yjˆ 12iˆ  16 ˆj  ‏ ‏0.6iˆ  0.8 ˆj ‏ 144  256 ب: ˆ 5 ‏k 26 47 ˆj  kˆ    3 iˆ  4 ˆj  ‏ 26 26 2 x2  y 2 2y ‏iˆ  2x 2 x2  y 2 ‏  : کتاب درسی37صفحه8-6- 1تمرین  d    A.r اگر  ( ) ثابت،باشد A کنید d :حل  d    A.r   ( )  A A aiˆ  bjˆ  ckˆ d  ax  by  cz   ( )  ( ax  by  cz ) , r  xiˆ  yjˆ  zkˆ  ˆ  ˆ  ˆ   ˆ i j k . i  ... x y z  x  d  ˆ  ˆ  ˆ a i b j c k A    d   48 انتگرال برداری -1انتگرال خطی یک بردار: ‏  ‏ یک بردارA.dl عبارتست از c اگرA انتگرال ، باشد ‏a ‏ ‏b a خطی آن dl که در آن از نقطه cتا روی منحنی ‏  بردار A.dl می باشد. کوچکی مماس برمنحنی ‏b ضربی a نرده b ای است،حاصل انتگرال نیز ازآنجا که نرده ای c خواهد بود. انتگرال خطی یک بردار نه تنها به نقاط و دارد،بلکه ب ه مس یر انتگ رال گ یری(منح نی بستگی )ن یز وابس ته ‏ ‏ ‏0 ک ه حاصFل انتگ رال ب ه ش کل مس یر بس تگی ورتی است.درص ‏F .dl دان ب رداری م ورد نظ ر را نداش ته باشد .دراین ص ورت می  ‏ ˆ Aهر پربند بسته da .nda ‏A ‏S صفر می پایستار می گویند وانتگرال آن روی s شود.  49اگر ‏S ̂n ‏S در نتیجه پایستار است.  حاص ل انتگ رال س طحی ب ه ش کل ص فحه قب ل ی ک کمیت ‏ نرده ای می A باشد. -3انتگرال حجمی بردار ‏ ‏ ‏J AdV ‏v ‏dV : ‏V المان(عنصر) یک بردار است و حاصل انتگرال حجمی یک بردار کمیتی برداری است . می باشد. حجم از حجم 50 : کتاب درسی41صفحه32-1مثال 2 F  xyi  zxj  k اگر FdV مطلوب است،باشد v x 0, y 0, z درناحیه 0 2 2 x حجم  y هشتم  z 4یکV و کره  محاسبه FdV i F dV  j F dV  k F dV xydxdydz F dV xydxdydz   :حل 1 1   y x dydz    y (4  y  z ) dydz 2 2 1 1 32   (4  y  z ) dz   (4  z ) dz  8 8 15 32 F dv  zxdv  15 4 F dv  1 d v  V     3 32 4  Fdv  (i  j )  k 15 3 x v y z 4 z 2 x 0 v 4 z 2 2 2 z v 0 0 4 y 2  z 2 0 2 4  z2 0 2 2 y  4 z y 0 0 v 2 0 2 y 4 y  z 2 0 v 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 v 51 مثال33-1صفحه42کتاب درسی : بارالکتریکی نقط ه ای qدرمب داء مختص ات ف رض می ش ود. میانگین حجمی میدان الکتریکی آن را در حجم کره ای به ش عاعR کنید. ک ه مرک ز آن روی ب ار ف وق ق رار دارد حس اب 1 ‏E  Edv ‏V v ‏E که درآن Vحجم کره حل :بنا به تعریف است.مولفه های عبارتنداز : 1 ‏E x  E x dv ‏V v 1 ‏E y  E y dv ‏V v 52 1 ‏E z  E z dv ‏V v E  :33-1ادامه مثال r r3 x q r sin  cos  q sin  cos    3 3 r 4 0 r 4 0 r 2 q 4 0 q Ex  4 0 Ez  q 4 0 q Ey  4 0 x q q cos   cos   r3 4 0 4 0 r 2 x q r sin  sin  q sin  sin    r3 4 0 r3 4 0 r 2 q sin  cos  q sin  cos  d E x  dv  r sin  d d  dr 2 2  4 0 r 4 0 r q 2 dr  2  sin  d  cos  d 0   0 0 0 4 0 r R E y 0, E z 0 به همین ترتیب 53 : کتاب درسی43صفحه1-7-1تمرین r.drمقدار . رابه دست آورید :حل 2 2 2 a x y z r.dr xdx  ydy  zdz  2  2  2 0 a 54 تمرین2-7-1صفحه43کتاب درسی : حاصل F i ( x ) y)  j( x  y نیروی )(1,1نقطه) (3, 3تانقطه کار انجام یافته از رابه دست آورید.مسیر انتخابی خود را دقیقا مشخص کنید وتوجه داشته باشید این نیرو پایستار نیست. حل: )(3, 3 ‏d ‏c ‏b ‏a 55 )(1,1 : کتاب درسی43صفحه2-7-1ادامه تمرین   W1  F .dr  Fx dx  Fy dy  Fx dx  Fy dy      a a b b ( 3 ,1) ( 3 ,1) ( 3 ,3 ) ( 3 ,3 ) ( x  y ) dx  ( x  y )dy  ( x  y )dx  ( x  y )dy W1  (1,1) x W1   (1,1) 2  2   ( 3 ,1) ( 3 ,1)  xy    y  2  0  0   xy  (1,1) ( 3 ,1)  2  ( 3 ,3 ) 12 j ( 3 ,1)   W2  F .dr  Fx dx  Fy dy  Fx dx  Fy dy      c c d d (1,3 ) W2  (1,3 ) ( 3 ,3 ) ( 3 ,3 ) ( x  y )dx  ( x  y )dy  ( x  y) dx  ( x  y) dy (1,1) (1,1) y   W  0   xy   2   2 (1,3 ) 2 (1,1) (1,3 ) x  0  xy   2  2 (1,3 ) ( 3 ,3 )  0 4 j (1,3 ) 56 تمرین3-7-1صفحه43کتاب درسی : 1 مقدارr.nda ‏ ‏s 3 راروی سطح مکعبی به ضلع )0,5 (0,که واحد قرار داشته و درناحیه یک هشتم یک راس آن در نقطه اول دستگاه مختصات باشد به دست آورید. حل: ابتدا مقدار انتگرال را برای سطوح مجاور نقطه ( )0.0.5محاسبه ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ مکعب روی این نقطه و می کنیم .با این فرض کهˆ راس اصلی 1 ‏ ˆ ˆ ˆ 3  0i  yj  zk .dydz (  i ) 0 بقیه آن باالی این نقطه قرار دارد : ‏ ‏1 1  ˆ  0 ˆj  zkˆ .dxdz ( ˆj ) 0 ˆ ‏r . ‏nda ‏ ‏xi ‏ 3 3 ‏ ‏ 13  xiˆ  yjˆ  5kˆ .dydz (  kˆ)  53 ‏ 57 برای سه وجه دیگر مکعب خواهیم : داشت        1 1iˆ  yjˆ  zkˆ .dydz (iˆ)  1 3 3  1 1  ˆ  1 ˆj  zkˆ .dxdz ( ˆj )  1 ˆ r . nda  xi  3 3 3   13  xiˆ  yjˆ  6kˆ .dxdy (kˆ) 2  5 1 1 1  ˆ  3 r .nda 0  0     2 1 3 3 3 58 ( r ).dr کتاب43صفحه4-7-1تمرین F: درسی رادر c c : xy 1 (0,1) (0, 0) 2 کنید زیر های حالت ,1  x  3, محاسبه F  xyi  ( y  x ) j 2 2 3 2 c : r ti  t j , F exp( y 3 )i  exp( x 3 ) j:الف :ب تانقطه ازنقطه 1 1  :حل xy 1  y   dy  2 dx  x x الف  3 y  x  ˆ  dr dxi  dyjˆ (dx  ( 2 )dx )   F (r ).dr  1 x  dx   dr dxiˆ  2 ˆj x   1  x 3 1 3 1 10 3 x  x 1   ( 2 )dx 2  (ln x  2 ) 1 2  ln 3   1 ln 3  1 x x 9 9 59  یا: کتاب درسی43صفحه4-7-1ادامه تمرین 1 ˆ 2 ˆ c : XY 1  dr  xdy  ydx f (r ) i  ( x  2  2 ) j x 3 1 1 2 1  x 3  F (r ).dr  ydx  1 x ( x  2  2 )dy 1 3 x 1 1 1 1 2  y 1  dx  1 ( 3   y )dy 3 3 x y y 60 : کتاب درسی43صفحه4-7-1ادامه تمرین :ب x t  dx dt 2 3 12 y t  dy  t dt , t  y 3 0 t 1 2 1  1 1 23 3   F (r )dr Fx dx  Fy dy et dt  et . t 2 dt et  ... 0 0 2 3 2 61  z )dv: کتاب درسی43صفحه5-7-1تمرین ( x  yمقدار v 2 2 2 کره توپرxمثبت  y هشتم  z 1یک Vدرصورتیکه،را محاسبه کنید .باشد 1 x 1 2 1 x  y   0 0 0   2 1 0 0 0 2 2 ( x  y  z )dxdydz  :حل 2 r    sin [r cos  sin   r sin  sin   r cos  ]drd d  2 4 1 r 2 [sin [cos   sin  ]  sin  cos  ]d d  0 0 4 0  2  2   1 2 2 2 2 {sin  [sin   cos  ]  (sin  cos  )  }d   0 0 0 4  1 2  2 1 1  3 2 2 sin  d   sin  cos  d   (   sin 2  )     0 0 0 2 8 4 2 16 16 62 واگرایی(دیورژانس) دی وژانس ی ک اپرات ور ب رداری اس ت ک ه ب زرگی می دان ب رداری چ اه ی ا چشمه را در یک جهت معین اندازه گیری می کند.حاصل عمل اپراتور دیورژانس در یک کمیت برداری اسکالر خواهد بود. خود دیورژانس برداری است که در جهات مختلف مشتق می گیرد و ض رب داخلی این اپرات ور در ی ک ب ردار مط ابق انتظ ار ،ب ه م ا ی ک کمیت اسکالر خواهد داد. این کمیت در الکترو مغناطیس و بقای جرم استفاده می شود. همچنین در الکترومغناطیس ،دیورژانس بردار میدان مغناطیسی و میدان الکتریکی 0است. دلیل آن خیلی ساده است ،تعداد خطوط میدانی که به یک جسم وارد می شوند ،برابرند با تعداد خطوطی که خارج می شوند. دی ورژانس نشان دهنده چگالی حجمی ش ار خروجی از (یا ورودی به) یک حجم بسیار کوچک در می باشد. 63 واگرایی(دیورژانس)یک تابع برداری ‏ واگرایی A بردار ‏ ‏  ‏divA .A بانماد برداریاست، راکه یک مشتق نمایش می دهیم. ‏  1 ˆ ‏A  lim ‏A.nda واگرایی: تعریف ‏ ‏ ‏ ‏v ‏ 0 ‏ ‏v S ‏A ‏ ‏A ‏V ‏S یعنی واگرایی بردار ‏ ‏  حد. A  عبارت است از 0 انتگرال سطحی بهA ازای واحد حجم بردار وقتی حجم درون سطح در صورتی که داشته باشیم: رامیدان سیملوله ای می گویند. به صفر میل کند. ،میدان برداری ‏  Ax Ay Az ‏A  ‏ ‏ ‏x دکارتیy: واگرایی در مختصات z 64 یا تمرین1-8-1صفحه46کتاب درسی : واگرایی توابع برداری زیر را به دست آورید الفixe y  j sin xy  kz: بi cos x cosh y  j sin x sinh y: ج(i  j ) sin xy  kz cos xy : حل: توابع فوق دارای مشتق های ساده ای هستند وهمانطور که ‏  Ax Ay Az دانیم A  ‏ ‏ با رابطه واگرایی ‏x می y ‏z بدست می آید .پس داریم: الف: 65 ب: ج: ‏e y  x cos xy  1 ‏ 2 sin x cosh y ‏y cos xy  x cos xy  cos xy : کتاب درسی46صفحه2-8-1تمرین اتحاد بردای زیر راثابت کنید .( E ) .E  ( ).E .مشتق پذیر ند E E x i  E y j  E z k  , Eکه درآن     E  E x i   E y j   E z k      . E  ( E x )  ( E y )  ( E z ) x y z E x   .E x    ... ( ).E   (.E ) x x :حل 66 تمرین3-8-1صفحه46کتاب درسی : با اس تفاده ازاتح اد بردایتم رین قبلی،واگ رایی ت ابع ب رداری زی ر رامحاسبه کنید ‏3 2 2 2 2 ) ( x  y  z ) ( xi  yj  zk حل: ‏.( E ) .E  ( ).E ازتمرین 2داریم کنیمE ( xi  میyj  zk فوق را به شکل مذکور تبدیل ) ‏3 2 2 ‏3 2 2 پس تابع )  ( x 2  y 2  z 3 2 2 2 2 25 3 2 2 2 2 25 ) .( E ) .E  ( ).E ( x  y  z ) (3)  (2 x )( x  y  z )  2 y ( x  y  z 2 2 ‏5 3 2 2 2 2 25 ‏ (2 z )( x  y  z )  3( x 2  y 2  z 2 ) 2 ( x 2  y 2  z 2 )  3  3   3 0 2 67 2 2 q   q r E . 3 4 0 r   q r q  1  1  q  1 3r    .E  .  3    3 .r   3 .r    3 (3)  5 .r  0 4 0  r  4 0  r r  4 0  r r   ˆ  ˆ ˆ ˆ    .r  iˆ  j  k  . xi  yj  zkˆ 1 1 1 3 y z   x   1  1 3  3r  3   3  rˆ  4 rˆ  5 r r  r  r r   68  ˆ ˆ r اگر xi که yj  ) zk می توان نشان داد (ˆ ؟: نکته : باشد در آنصورت df       .  f (r )r  r 3 f dr r  x2  y 2  z 2   F  دهید r  3 r نشان-36-1 مثال   . سیملوله ایی است  d 3 3 .F . r r r r  3r  3  3r  3  3r  3 0 dr     69 : کتاب درسی47صفحه8-8-1تمرین  .r r n  1 (n  2)r n  1 ثابت کنید :حل  n  1        . r r r (.r )  (r n  1 ).r n 1 n  2  3r  (n  1)r r .r .( E ) . E (  ). E  n 1  3r n  1  (n  1)r n  2 (r ) (n  2)r n  1 70 قضیه واگرایی(گاوس) Vروی حجم انتگ رال واگ رایی ی ک ب ردار براب ر انتگ رال سطحی مولفه عمود V برسطح آن بردار روی سطح بسته مرزی حجم است: ‏  ˆ ‏. AdV A.nda ‏v 71  مثال37-1صفحه48کتاب درسی : ‏qr دارد E می دان بار الکتریکی نقط ه ای qکه درمب دا مختصات 3قرار  با 4 0 r ‏q ‏ . ‏Edv ‏ مشخص می شود.ثابت کنید عبارت ‏ ‏0 که درآن Vهر حجم دلخواه است که بار qرا دربر می گیرد. ‏.Edv  E.nda حل: ‏s حال واگرایی،داریم بنا dan ‏q ‏rda cos  برقضیه q ‏ ˆ  ˆ  ‏r .nda ‏ 3 2 ‏s E.nda ‏ ‏s 4 r 3 رسیم به کنیم ،می4 0 جایگزین r اگرErرا4 0 0 ‏q ‏q ‏0 ‏dan ‏r 4  ‏q 4 0 ‏d   ‏q 4 0 ‏ ‏dan da cos  مطابق شکل صفحهd بع د ، که درآن ، 2 72 تصویر عنصر سطح daروی صفحه عمود بر rو برابر n ‏z ‏ ‏r ‏y ‏x شکل21-1مثال 37-1 73 S  k 2 r  2 d  sin  d d   sin  d d 4 0 0 74 مثال39-1صفحه49کتاب درسی : باتوج ه ب ه اتح اد ب رداری تم رین2-8-1بخش قب ل اگ ر Eمی دان الک تریکی و نشان دهید حلE   : 2 ‏ ‏dv ‏ ‏ ‏E ‏dv الکترواس0  ‏آن باش د تاتیکی نظ یر پتانس یل ‏  ‏.E  ‏0 می دانیم داریم.( E ) ( ).E  .E  .E ‏.( اتحاد( E )  ‏ ).E مزبور اما از )   0.E  0 (.( E )  ( ).E ]  0 .Edv  0 [ .( E )dv   .Edv ‏  E راست برابرصفر است .حال اگر اولین انتگرال سمت 2 75 ‏dv  E dv ‏ را در انتگرال دوم بنشانیم 0  .nda کتاب49صفحه1-9-1تمرین مق دارs:Fدرسی را بااس تفاده ازقض یه واگ رایی ب رای حالته ای زی ر محاس به F 10 yi  کنید z 3k 0  z  y, 0  y 1, 0  x 6 2 z h, x 2  yسطح a 2sو F e xi  ye x j  3zk :الف 2 2 1 2 2 F  sin xi  z (1  sin x)k:ب z  , سطح x  y sو z سطحsو 2 :ج  :حل .F .(10 yiˆ  z 3kˆ) 3 z 2  6 1 y 6:الف 1 2 2 3 y F .nda .Fdv (3z )dxdydz  3z dzdydx z dydx s v 0 0 0 0 0 0 1 6  y dydx  dx  1.5 0 0 0 4 4 6 1 3 6 76 : کتاب درسی49صفحه1-9-1ادامه تمرین :ب   . e xiˆ  ye x ˆj  3zkˆ e x  e x  3 3  2 2 F . nda   . Fdv  3 dv  3 V  3(  a (2 h ))  6  a h    s :ج 1 2 F .nda   s   z z   z  y2 z y 2 2 sin x cos x  (1  sin x)dxdydz 2 77 تمرین2-9-1صفحه50کتاب درسی : 1 نشان دهید r.da V ‏ ‏s 3 که درآن Vحجمی است که با سطح بسته Sمحصور شده است. حل: 1  1 3 ‏r . ‏da ‏ ‏ . ‏r ‏dv ‏ ‏dv V ‏ ‏ ‏ 3 s 3 v 3 v 78 : کتاب درسی50صفحه4-9-1تمرین 2 2 2 z 0 نیمکره x  y خمیده z 9 را روی سطح و  ˆ V .nda در صورتی که V  yiˆ  xzjˆ  2 z  1 kˆ     .V  ( y )  ( xz )  (2 z  1) 2 x y z :حل   4 3 2 ˆ V . nda   . V dV  2 dV  2 r sin  d  d  dr   3 36       3 0 0 0   3 2 2 z 0  0   2 r 3  0  r  3  0   2 79 کرل یا تاو در ریاضیات برداری ،کرل عملگری برداری است ک ه چرخش بی نهایت کوچک یک میدان برداری سه بعدی را در هر نقطه از فضا مشخص می کند . در هر نقطه از میدان کرل توسط یک بردار مشخص می شود که جهت کرل در راستای محور دوران است و بر اساس قاعده دس ت راس ت بدس ت می آی د و ان دازه ک رل ش دت چ رخش را مشخص می کند . در بیان فیزیکی تاو بیانگر چرخش یک شاره یا سیال در فضا یا سطح است .یعنی اگر یک چرخ پره دار را در منطقه ی با تاو مثبت بگذاریم شروع به چرخش پادساعتگرد می کند. میدان برداری را که کرل آن صفر باشد را غیر چرخشی یا نا تاوی می نامیم . می توان نشان داد که اگر میدان غیر چرخشی باشد ،می توان آن را بص ورت ( منفی ) گرادی ان ی ک پتانس یل اس کالر نوش ت ( 80همانند میدان الکتریکی ) . 81 تاو(کرل)یک میدان برداری ‏ تاو یک A بردار ‏  را بهA صورت ‏ ‏curlA یا نمایش می دهیم. ‏  1 ‏A  lim  ‏nˆ Ada تعریف تاوv  0 v : ‏S ‏n̂ ، یعنی تاو ‏ ارت اس تVاز ح د V Aی ک ب ردار عب S نس بت انتگ رال س طحی ‏ ‏  ‏ حاص ل ض0 Aعم ود برس طح رداری ب ردار یک ه رب Aب ( )دربردار وقتی که ،روی سطح بسته به سمت صفر میل می کند. در حالتی که را ناتاوی(غیر چرخشی) گویند. 82 ،به حجم شود ،میدان برداری :تاو درمختصات دکارتی iˆ ˆj kˆ   AZ AY  A A A A A (  )iˆ  ( X  Z ) ˆj  ( Y  X )kˆ  Y Z Z X X Y X  Y AY  Z AZ AX 83 مثال40-1صفحه52کتاب درسی : بردارA 3x 2i  y 2 j  ( x 2  y 2 )k مفروض است.تاوآن را محاسبه کنید. حل: ‏  ˆA (2 y  0)iˆ  (0  2 x) ˆj  (0  0) kˆ 2 yiˆ  2 xj 84 : کتاب درسی52صفحه41-1مثال  r 0 ثابت کنید :حل z y x z y x  r i (  )  j (  )  k (  ) 0 y z z x x y 85 مثال42-1صفحه52کتاب درسی : الف:اتحاد برداری زیرراثابت کنید ‏( F ) F  ( ) F ب:باتوجه به اتحاد برداری باال ˆ] 0 دهید نشان[ f (r ) r که درآن تابع fدوبار مشتق پذیراست. حل: ‏F i Fx  j Fy  k Fz ‏ ‏ ( Fz  الف :فرض می کنیم( Fy 0]  ... ‏y ‏z بنابراین داریم ‏Fy ‏Fz ‏ ‏ ‏i[ ‏ ‏Fz   ‏ ‏Fy ]  ... ‏y ‏y ‏z ‏z ‏Fy ‏F ‏ ‏ ‏[i ( z  ( )  ...]  [i ‏Fz  ]Fy )  ... ‏y ‏z ‏y ‏z ‏F  ( ) F [( F ) i 86 ب: ‏ ‏r ˆ می دانیمr  پس با استفاده از اتحاد بند الف داریم ‏r ‏ ‏[r  1 f (r ) r ] [r  1 f ] r  r  1 f (r )r ‏ ‏ ‏r می اما ازمثال0 41-1 دانیم .پس به آسانی می رسیم به ‏d ‏ [ r  1 f ( r )]r r 0 ‏dr ‏  ‏r r 0 زیرا 87 است ‏[ f ( r ) rˆ]  مثال44-1صفحه54کتاب درسی : نشانU  ‏V دهید اگر V,Uناتاوی باشند سیم لوله ای است. حل: می دانیم ) .( A B ) B.(A)  A.(B لذا ) .(U V ) V .(U )  U .(V ‏U  اندV  ولی می دانیم Vو Uناتاوی 0 یعنی پس نتیجه می گیریم که 88 ‏.(U V ) 0 مثال45-1صفحه54کتاب درسی : گش تاودوقطبی الکتریکیPدرمب دا مختص ات واق ع اس ت .این دوقطبی پتانسیل الکتریکی زیررا درمحل rبه وجود می آورد ‏P.r 4 0 r 3 ‏ ‏E   ‏ الکتریکی میدان ‏ (r )  را در rبه دست آورید. ‏ ‏ 1 p.r ‏E     ) ( 3 4 0 r حل: ‏ بافرضf  p.r داریم ‏3 ‏dr ‏E  [ f (r  3 )  r  3f ]  [ fr0 ]  r  3f 4 0 4 0 ‏dr 1 1 1 1 3 ‏ [( p.r )( 3r r0 )  r ( p.r )]  ]) [ ( p.r )r0  ( p.r 3 4 0 4 0 r r 89 ‏3 ‏4 1 : کتاب درسی54صفحه1-10-1تمرین برداری زیر را بدست آورید تاو توابع 3 ( x 2  y 2  z 2 ) 2 ( xi  yj  zk:الف ) e xyz (i  j  k ) :ب y ln( x 2  y 2 )i  arctan( ) j :ج x :حل  (F )  (F )  (Q) F  ( x  y  z ) , F  xiˆ  yjˆ  zkˆ  2 2 2 23  (F ) ( x  y  z ) (0)  ( 3) 2 2 2 :الف 3 2  r  xr 0 2 2 2 52 (x  y  z ) 90 : کتاب درسی54صفحه1-10-1ادامه تمرین :ب curl (e xyz (iˆ  ˆj  kˆ)) e xyz (0)  ( yze xyz iˆ  xze xyz ˆj  xye xyz kˆ).x (iˆ  ˆj ) e xyz ( yziˆ  xyjˆ  xykˆ) x (iˆ  ˆj  kˆ) e xyz (( xz  xy )iˆ  ( xy  yz ) ˆj  ( yz  xz )kˆ) 91 : کتاب درسی54صفحه1-10-1ادامه تمرین iˆ  x ˆj  y ln( x 2  y 2 ) y arctan( ) x y ˆ ˆ curl (ln( x  y )i  arctan( ) j )  x 2 :ج 2 kˆ  z 0  y  arctan( )  ln( x 2  y 2 )) x x y  y 2 2y  3y x   2  2 2 y 2 x  y2 x  y 1 ( ) x kˆ( 92 : کتاب درسی55صفحه2-10-1تمرین f xyz , v xyi  yzj  zxk , u zi  xj  yk اگر v u باشدمطلوبست محاسبه v.v , v v:الف ( fv) , ( fu ) :ب :ج :حل ˆj  kˆ  xyiˆ  yzjˆ  zxkˆ ziˆ  xjˆ  ykˆ  xyiˆ  yzjˆ  zxkˆ iˆ  :الف  z ( y  x)iˆ  x ( y  z ) ˆj  y ( x  z )kˆ   : کرد ثابت توان با استفاده A  B می کب-بک A.B قاعده A. ازB       93 : کتاب درسی55صفحه2-10-1ادامه تمرین :ب xy yz zx  v.v  x xy  y yz   z zx       xy ( zx  yz )  yz ( zx  xy )  zx ( yz  xy )  y z x z x y  xy 2  yz 2  zx 2 94 تمرین4-10-1صفحه55کتاب درسی : اگر Aناتاوی باشد r Aدهید نشان سیم لوله ای است. حل: چون Aنات او اس ت پس ک رل آن ص فر اس ت .می دانیم ک رل ب ردار rهم ص فر اس ت .اگ ر ک رل عب ارت ف وق ص فر باشد،سیم لوله ای خواهد بود: ‏ ‏.( A r ) r .(A)  A.(r ) 0 95 : کتاب درسی55صفحه5-10-1تمرین درمکانیک کوانتومی می دانیم عملگرهای تکانه زاویه ای به Lz  i ( x    صورت     y ) , Ly  i ( z  x ) , Lx  i ( y  z ) y x z y x z Lx Ly  Ly Lx iLz  L L iLنشان دهید.هستند یعنی          z )( z  x )  ( z  x )( y  z ) z y x z x z z y :حل 2  2 x  2 2 2   y  yz  y  yx 2  z  zx x zx z z z yx yz Lx Ly  Ly Lx ( y 2 2 2  2   2  ( zy  z  xy 2  x  xz ) ( x  y )  iLz xz xy z y zy y x 96 تمرین8-10-1صفحه55کتاب درسی(سوال1تشریحی نیمسال اول: )89-88 بهV iu ( x ای, y )  jv سرعت شارش دوبعدی) ( x, y صورت زیر است شاره ‏v ‏x ‏u ‏y ‏v ‏y ‏u ‏x اگرشارش تراکم ناپذیر  وشارش ,ناتاویباشد نشان دهید ‏ ‏a ).V 0 دورابطه باال را شرایط کوشی – ریمان  نامند. می ‏b)V 0 حل:با توجه به شرط تراکم ناپذیری aوشرط ناتاویb 97 ‏u v ‏u v ‏  داریم: ‏ . ‏V ‏ 0 ‏ ‏ ‏ 0 ‏ ‏ ‏ ‏x y ‏x y ‏ ˆ ˆ ‏V iu  jv   ‏ ‏V 0  kˆ( v  u ) 0   v  u ‏ ‏x y ‏x y قضیه استوکس ‏ انتگرال خطی A بردار ‏c ‏c روی پر بند بسته برابر است با انتگرال مولفه قائم تاو آن بردار روی هر سطحی که ‏  ‏ آن رادر بر می گیرد: ˆ ‏A .dl A .nda ‏c که 98 ‏S منحنی بسته ای است که ‏s را در بر می گیرد. ‏c  اگرˆF  yi درسی xj:ˆ  مثال46-1صفحه57کتاب ˆyzk باشد مطلوبست محاسبه ‏ ‏F . ‏ds ‏ ‏s ) z 2(x 2  y 2 1 2 ‏z  که sبخشی از سطح در است. حل: ‏ ‏  ‏F .ds F .dl  ydx  xdy  ‏c استوکس داریم با استفاده از قضیه 1 4 ) z 2(x 2  y 2 ‏c 1 ‏z  2 ‏s ‏c ‏x2y2  و1 صفحه ‏x  cos t 99 1 محل تقاطع سهمیگون ‏ dx  ( sin t )dt 2 2 می باشد .پس 1 دایره است که معادله آن 1 ‏y  sin t  dy  cos tdt 2 2 برای مسیر به روش پارامتری خواهیم داشت : یک ادام ه ح ل مث ال 57 صفحه 1 2 F .ds   sin t (  sin tdt )  cos t (cos tdt )  4 0 s 1 2 1 2  2 2  F . ds  (sin t  cos t ) dt  dt   0 0 4 4 2 s 100 مثال48-1صفحه57کتاب درسی : ‏ توکسrمق دار بااس تفاده ازقض یه اس .dr رامحاسبه کنید. حل: ‏ از قضیه استوکس داریم ˆ ‏r .dr r .nda ‏  ‏r 0 ‏c ‏s وبا درنظر گرفتن دست می آید. ازمثال41-1نتیجه زیر به ‏r .dr 0 ‏c 101 : کتاب درسی59صفحه3-11-1تمرین مطلوبست محاسبه F .dsباشد 1 z  بخشی از سطح2sکه s F xyi  y 2 j  zxkاگر 1 z  (x 2  y 2 ) 2 باشد در   2  Fds  F . dl  xydx  y dy  zxdz    s c :حل c همواره x 1cos   dx .است sin  dدایره  بخشی از سطح یک 1 1 2 sپس , dz 0 , z  , z  (x  y 2 ) y 1sin   dy cos  d  2 2 2 sin 3  2 2 2  (xydx  y )dy  ( cos  sin   sin  cos  )d   2 0 0 3 0 2 102 تمرین5-11-1صفحه59کتاب درسی : ‏ ‏r الف :نشان دهید dr مقدار  دوبرابر مساحت سطح تخت محصور در پربند انتگرال گیری است. ˆ  بیضی بˆ ‏r ia ‏jbا cos   ب :پیرامون sin  توص یف می ش ود.با اس ab تفاده از بن د ال ف نش ان دهی د مساحت بیضی برابر با است. حل: الف: ‏ ‏r cte ˆ 2 ˆ  ˆ ˆ ‏r ‏ ‏dr ‏ ‏rdr ‏sin ‏k ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏r 2 ‏ ‏r ‏k ‏ 2 ‏ ‏r ‏k ‏ 2 ‏Sk ‏ ‏ 2 ‏ ‏ 103 : کتاب درسی59صفحه5-11-1ادامه تمرین 1 راه حل:ب  ˆ ˆ sin  r ia cos   jb x a cos   dx  a sin  d  y b sin   dy b cos  d  iˆ  r dr  a cos   a sin  jˆ b sin  b cos  kˆ 0 ab cos 2   ab sin 2  ab 0 S r dr2  ab d  2 ab   S  ab 2 0 104 تمرین6-11-1صفحه59کتاب درسی : با اس تفاده ازقض یه اس توکس یاقض یه واگ رایی هری ک ازانتگرال های رابه آسان ترین راه ممکن حساب کنید. ‏ بˆ : ‏V .nds به راروی سطح بسته مکعب z 0 z 5 محدود x مستطیلی  y 9 2 و و 2 است را به ازای ‏ ˆV 2xyiˆ  y 2 jˆ  z  xy  k ‏V .nds V. dV حل: ‏ V . 2 y  2 y  1 1 3 3 ‏dydx 5 2 9  x dx 10 9  x 2 0 2 0 ‏ 9 x 2 3 2 0 5 ‏dzdydx 5 ‏ 9 x 0 ‏ 9 x 2 3 2 0 ‏  ‏V .nds dV  ‏ 9 x ‏x 3cos t  dx  3sin tdt ‏ 105 ‏ ‏ 90  sin 2tdt 90( ) 45 0 2 x , y  2 2 z از 4  بخشی x y سطح  ˆ :الف V .nds S که s است که باالی صفحه  که2 در صورتی.قرار دارد 2ˆ 2 ˆ V z i  x j  y kˆ   2 2 2 ˆ V .nds V .dl  z iˆ  x jˆ  y kˆ .dl s c c   : حل x 2 cos t  dx  2sin tdt y 2sin t  dy 2 cos tdt z 0  dz 0    2 z 0 2 ˆ 2 ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ   z i  x j  y k . dxi  dyj z dx  x dy    x dy   8cos 2 tdt 8 c 2 c c 0 106  سایر عبارتهای شامل عملگر الپالسین(الپالسی)،واگرایی شیب یک تابع اسکالر است،یعنی: ‏ ‏ 2 عملگر الپالسی در مختصات دکارتی: ‏ ‏2 ‏2 ‏  ‏ ‏ 2 2 ‏X ‏Y ‏Z 2 2 2 ‏ ‏ تابع به کمک تعریف ضرب برداری می توان ثابت کرد که تاوشیبیک نرده ای دلخواه( ) همواره برابر صفر است،یعنی: درنتیجه شیب یک تابع ،ناتاوی (غیر چرخشی) است. 107 ‏ ‏ 0 برخی از کاربرد های الپالسی در فیزیک ‏2 0 معادله الپالس 1 2 ‏  2 2 ‏a t 1 2 2 ‏   2 2 ‏a t 2 معادله موج معادله پخش یا معادله رسانش گرمایی ‏ ‏ که. V : می توان نشان داد0 ،یعنی تاو یک تابع برداری همواره سیملوله ای است. با استفاده از دستور بک -کب می توان نشان داد که: ‏ ‏ ‏A (.A )  2 A 108 :های متوالی کاربردچند رابطه مهم در  ( ) ( )     (F .G ) (F .)G  F (G )  (G .) F  G (F )  .( F ) ( ) F  .F   .(F G ) (F ).G  (G ).F  ( F ) ( ) F  F   (F G ) (.G )F  (.F )G  (G .)F  (F .)G 109 : کتاب درسی62صفحه50-1مثال باشد 2   x 2 y  z 2 cos y اگر . رابدست آورید :حل 2 2 2 2   2    2 y  z cos y  2 cos y 2 2 x y z 2 110 مثال52-1صفحه63کتاب درسی : 2 معادلهA  K نشان دهید پاسخ A 0 ‏ است،درمعادله هلمهولتز.A 0 ، مقدارثابتی2 A  K 2 A ‏0 ،ودرشرط سیم لوله ای حل: از رابطه()55-1داریم صدق می کند. ‏(A ) (.A )  2 A  ‏A  k 2 A (.A )  2A  k 2A 0 وبرای معادله مفروض می توان نوشت درنتیجه داریم که درآن K ‏(.A )  (2 A  k 2 A ) 0 برای این که رابطه باال همواره برقرار باشد باید بن ابراین مالحظ ه می ک نیم که Aهم در ش رط س یم لول ه ای می, . وهم در معادله هلمهولتز صدقA 0 کند. 111 ‏2 A  K 2 A 0 مثال53-1صفحه63کتاب درسی : یکی از کاربردهای معادله()55-1استفاده ازآن برای به دست آوردن معادل ه م وج الکترومغناطیس ی اس ت .اگرمع ادالت ‏ خال به صورت زیر باشند: ماکسولدر.B 0 ‏ ‏.E 0 الف) ( 1-57 ‏ ‏E (1-57ب) B  0 0 ‏t (1-57ج)  (1-57د) ‏ ‏B ‏E  ‏t ‏0 ,  0 که درآن Eمیدان الکتریکی و Bمیدان مغناطیسی و ب ه ت رتیب عبارتن د ازگ ذر دهی الک تریکی وت راوایی 112 مغناطیس ی فض ای آزاد(برحس ب یکاه ای.)SIمعادل ه م وج ادامه مثال53-1صفحه63کتاب درسی : حل: نخست از رابطه (57-1ج)نسبت به زمان مشتق می گیریم ‏ 2 ‏ ‏ ‏E ‏B  0 0 ‏t ‏t 2 وسپس تاو دو سمت رابطه (57-1د)را به دست می آوریم ‏ ‏ ‏ ‏2 E ‏B  0 0 ‏t ‏t 2 ‏B ‏ ‏2E ‏E   ‏ ‏B       ‏   0 0 ‏t ‏t ‏t 2 ام ا س مت چپ معادل ه ب اال را می ت وان ب ا کم ک رابط ه (-1 )55ساده کرد 113 ‏E (.E )  2 E ادامه مثال53-1صفحه63کتاب درسی : ‏ ‏ . ‏E 0 رابطهباال برابر صفر( ولی اولین جمله سمت راست 2 نتیجه ) است،در E ‏  E   0 0 ‏t 2 2 یا 2 ()1-58 ‏E ‏ E  0 0 ‏t 2 2 ومعادل ه()58-1هم ان معادل ه م وج الکترومغناطیس ی درخال است. 114 : کتاب درسی64صفحه1-12-1تمرین الپالسی هریک ازمیدان های نرده ای را حساب کنید xyz (x 2  2 y 2  z 2 :ب ) :حل (   ˆ  ˆ  ˆ   ˆ  ˆ  ˆ i  j k ). ( i  j k )(xyz (x 2  2 y 2  z 2 )  x y z y z  x  (  ˆ  ˆ  ˆ i  j k ).[( yz (x 2  2 y 2  z 2 )  2x 2 yz )iˆ  ... x y z 115 : کتاب درسی65صفحه2-12-1تمرین  r xi  yj  zkبرای مطلوب است r .( ) :ب rr ( ) :ج r :حل :ب  3 r 3 1 2  r  1   1  .    .r    .r   3 .r    r r r r r r r r :ج    r     r r  r r  iˆ  jˆ  kˆ  xiˆ  yjˆ  zkˆ  r (0) (z  y )iˆ  (x  z ) jˆ  ( y  x )kˆ r    116 تمرین3-12-1صفحه65کتاب درسی : ‏ ‏ ‏ سطحˆ ‏B .nda هر باشد ،نشان دهید برای 0 اگر B A ‏S بسته ‏s داریم حل: ‏ ‏  ‏B .da A .da . A dV 0 ‏ ‏ ‏s ‏s چون ک رل ی ک ب ردار س یملوله ایی اس ت ک ه دی ورژانس آن برابر صفر می باشد . 117 : کتاب درسی65صفحه7-12-1تمرین ثابت کنید 2 (fg ) g 2 f  2f .g  f 2 g :حل 2 (fg ) .(fg ) .( g f  f g )  g 2 f  g .f  f 2 g  f .g g 2 f  2f .g  f 2 g 118 : کتاب درسی65صفحه8-12-1تمرین ثابت کنید .(f g )  .( g f ) f 2 g  g 2 f :حل .(f g )  .( g f ) f .g  f 2 g  g .f  g 2 f 119 دستگاه های مختصات فصل دوم: در اين فصل در مورد جبر ودیفرانسیل و انتگرال بردارها در دس تگاه مختص ات خمی ده ک ه بس یار ب ه ک ار می رون د ،می پردازیم. -1مقدمه -2مختصات خمیده خط -3عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیده -4دستگاه مختصات خاص: الف:دستگاه مختصات کرویr , f , z ب:دستگاه مختصات استوانه ای دوار( -5جداسازی متغییر ها: 120 )  -5جداسازی متغییر ها: الف:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات دکارتی ب:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات استوانه ای دوار ج:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات قطبی کروی 121 مقدمه دس تگاه مختص ات دک ارتی از فص ل مش ترک س ه س طح تخت ‏z 0, y  عمود 0, x ‏0 برهم ( ˆ ˆ ˆ میk , j )تشکیل , i شودوبه هر محور یک ب ردار یک ه ب ا ط ول ث ابت وجهت ث ابت مرب وط می ش ود ک ه عبارتند ازq 3 , q 2 , q1 : . ‏q2 ‏q1 ‏q ,q ,q 2 3که 1الزاما عمود برهم مختصات خمیده خط سه دسته سطح ثابت ‏q3 یا مسطح نباشند را در نظر می گیریم.چون فصل مشترک س ه دس ته س طح وثابت ( ث ابت وث ابت )به صورت خط های خمیده شکل اند،مختصات( )را مختصات خمیده خط می نامند. 122 P دلخواه چون را در فضای هر نقطه )q1 , q 2 , q 3یا مختصات دکارتی ( خط(q1 , q 2 خمیده , q 3 مختصاتX ,Y ,Z یک سه تایی در نمود. رواب ط تب بین( سهX ,Y می توان بایک , Z تایی در دیل(رابط )مشخص ) x x (q1 , q 2 , q 3 ‏y  ) , q 3هy (q1 , q 2ه ای ازz z: ))عبارتند(q1 ) ,q 2 ,q3 )و( ‏q1 , q 2 , q 3 ‏X ,Y , Z ط معک ) q1 q1 ( X ,Y , Z رواب بین( 123 )و( وس(روابq 2 q 2 ) ( X ,Y , Z ازq 3 : ))عبارتندq ) 3 ( X ,Y , Z ط برای هر سطحq i  ثابت می توان یک eˆi بردار یکه چون عمود q i برسطح و درجهت افزایش ‏ ‏A دلخواه بردار تعریف کرد. در مختصات خمیده خط: ‏ ˆ ‏e i A A1eˆ1  A 2eˆ2  A 3eˆ3 ، ها بردارهای یکه هستند وجهت آن ها ثابت نیست. در صورتی که دستگاه راست گرد باشد: ‏eˆ1 eˆ2 eˆ3 , eˆ2 eˆ3 eˆ1 , eˆ3 eˆ1 eˆ2 ‏eˆ2 .eˆ3 eˆ3 .eˆ1 eˆ1 .eˆ2 0 درمختصات خمیده خط،مربع طول عبارت است از: 2 ‏ds ‏  g ij dq i dq j ‏g که ‏ij ‏j ‏i متریک می نامند. ‏x x ‏y y ‏z z ‏g ij  ‏ 124می توان نشان دادکه: ‏q i q j ‏q i q j ‏q i q j را ضرایب اگر دستگاه مختصات خمیده متعامد باشد: ‏i )به ازایg ij 0 می توان نشان داد ( تمرین 5-j2-2 2 ‏g ‏ ‏h ‏h ‏i j ‏ij ‏i باقی iمی ماندکه آن های وتنها حالت داریم ه ارا ب ه ص ورت ‏i میhنامند. راعامل مقیاس نش ان می دهن د .ک ه ‏x x ‏y y ‏z z ‏g ij  ‏ ‏ ‏q i q j q i q j q i q j عامل x 2 آوردنy به z مقیاس( : ) 2 دست 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏h ‏ ( ) ‏ ( ) ‏ ( ) ‏i ‏i j ‏q i ‏q i ‏q i خمیده خط  g ij dq i dq j: مجذور عنصر فاصله درمختصات ‏i ‏j ‏ ‏ ‏   ds 2 (h1dq1 ) 2  (h 2dq 2 ) 2  (h3dq 3 ) 2 ‏ds 2  ‏eˆ3 , eˆ2 , eˆ1 ‏h3 , h2 , h1 موازی با جهت  ‏ مماس ها به نقطه   P ‏r خط 1 r مختصات خمیده r ، در 1 r ‏r 1 r ‏h1eˆ1  eˆ1  , ‏h2eˆ2  eˆ2  , ‏h3eˆ3  eˆ3  خواهند بود. بابزرگی ‏q1 ‏h1 q1 q 2 ‏h2 q 2 q3 هایh 125 3 q 3  ‏dr بردار دیفرانس یلی فاص له( ) ک ه بی انگر ب ردار ‏ دیفرانسیلی فاصله ˆPتا Qاست : ‏dr ( h1dq1 )eˆ1  (h 2dq 2 )e 2  (h 3dq 3 )eˆ3 ‏ ‏ ‏r دستگاه r یک r بودن r متعامد r شرایط r مختصات: ˆ ˆ eˆ .eˆ eˆ .eˆ 0 ‏ e.e  ‏   . ‏ . ‏ . ‏0 ‏q1 q 2 ‏q 2 q 3 ‏q 3 q1 2 ‏ds ij عنصرسطح درمختصات خمیده خط( ‏ds ij hi h j dq i dq j ) : ‏dv عنصر حجم درمختصات خمیده خط( ) : ‏dv h1h 2 h3dq1dq 2dq 3 126 1 1 3 3 2 مثال3-2صفحه77کتاب درسی: مختصات(u ,v ) ,w خمیده اگر رابطه های تبدیل بین ومختصات دکارتی به صورت زیر باشند : ‏u 2x  3 ,v  y  4, w z  2 2 ‏h , ‏h , ‏h , ‏ds نشان دهید دستگاه ) (u ,v ,w 3 2 1 متعامد است ومقدار مختصات ‏x 2 ‏y 2 ‏z 2 2 ‏h ‏ ( ) ‏ ( ) ‏ ( ) استفاده iازرابطه()13-2 رابدون ‏q i ‏q i ‏q i به دست آورید. حل: ‏u 3 ‏ 2 رابطه های تبدیل باال را می توان به صورت زیر2 نوشت ‏y v  4 ‏x  ‏z w  2 127 باشد: در حال اگر rبردار مکان فضا  ˆ نقطه ای ˆ ˆ ‏r ix  jy  kz ادامه مثال3-2صفحه77کتاب درسی: آنگاه داریم ‏ u 3 ˆr (  )iˆ  (v  4) jˆ  (w  2) k 2 2 ‏r ‏r r بنابراین از رابطه باال می ,توان , ‏w v u آورد : به دست را ‏r ‏ ‏r 1 ˆ ‏j , ˆ i ‏v ‏u 2 , ‏r ˆ ‏k ‏w می r )شرط تعامد راr ‏r r ‏r 18 ‏r . ‏0 , رابطه(. -2 از 0 . نویسیم 0 , ‏v w ‏u v ‏w u ‏ ‏r r ˆ 1 ˆ )  1 (iˆ. jˆ ) 0 . ‏ ( ‏i (). ‏j باالبرقرار هستند اکنون ببینیم که آیا در این شرطu  ‏v 2حالت سه2 یا نه.برای اولین رابطه داریم 128 ‏ ‏r r . ‏ سه ) ˆ( jˆ.k زیرا میدانیم iو jو 0 k متعامد درمختصات دکارتی بردار ‏v w ادامه مثال3-2صفحه77کتاب درسی: گیریم وهمین طور برای سومین رابطه نتیجه می  ‏r r 1 1 . ‏kˆ .( iˆ)  ( kˆ .iˆ) 0 ‏w u 2 2 دستگاه(u , پس با قاطعیت می توان گفت ) v ,w مختصات دانیم متعامد است .اما می 2 2 2 2 ‏ds dx  dy  dz ‏ds 2 ‏x بنابراین ب رای محاس بهx ‏dzdxراب ه دست duوdy xو ‏dx  بای د ‏dv  ‏dw ‏w آوریم. می دانیم ‏x ‏0 ‏w ‏v ‏x ‏0 , ‏v ولی از رابطه های تبدیل داریم 129 پس ‏u , ‏x 1 ‏ ‏u 2 1 ‏dx  du 2 ‏u 3 ‏x  2 2 ‏   :کتاب درسی77صفحه3-2ادامه مثال هم به صورت زیر انجام می دهیمdz وdyاین عمل را برای dy  v  4  y  y y y du  dv  dw u v w y 0 u y 1 v , ولی y 0 w , dy dv dz  w  2  z  z z z du  dv  dw u v w z 0 u , z 0 v , dz dw 1 2 ds  du  dv 2  dw 2 4 2 پس وسرانجام z 1 w پس درنتیجه داریم130 ادامه مثال3-2صفحه77کتاب درسی: اکنون برای به دستh3 , h2 , h1 آوردن ‏ds 2 از تعریف در مختصات خمیده استفاده می کنیم .یعنی داریم 1 ‏ds 2  du 2 dv 2 dw 2 4 ‏ds 2 h12du 2  h22dv 2  h32dw 2       ‏ ازمقایسه دو رابطه اخیر داریم: , h2 1 , h3 1 131 1 ‏h1  2 مثال4-2صفحه79کتاب درسی: ) ,v , z استوانه (uس هموی برای دستگاه مختصات میشوندy  ‏uv صورت زیرz z تعریف ‏ z  ‏eˆ3 , eˆ2 , eˆ1 بردارهای یکه 0 v   1 ) x  (u 2  v 2 2 ‏  u   که به ‏h3 , h2 , h1 و ضرایب مقیاس را ب ه دس ت آوری د ونش ان دهی د این دس تگاه متعام د اس ت.همچنین عنص ر حجم راب رای این دس تگاه ب ه دس ت آورید. ˆ  حل: ˆ  kz ˆ  1 (u 2  v 2 )i  uvj  zk ‏r ix ‏ jy نخست بردارrرا دراین دستگاه به 2 دست می آوریم 132 ادامه مثال4-2صفحه79کتاب درسی: اکنون مشتقات جزیی rرا نسبت به uو vو zتعیین ˆمی ˆکنیم r ‏ui vj h1eˆ1 ‏u ‏r ‏ viˆ  ujˆ h2eˆ2 ‏v ازتقسیم بربزرگی بردارها داریم ˆ viˆ  uj ˆ ‏eˆ3 k , 2 2 ) (u v ‏r ‏kˆ h3eˆ3 ‏z ‏eˆ2  , ˆuiˆ vj 2 2 ) (u v رابطه های قبلی داریم بنابراین از تساوی این رابطه با ‏ ‏ 1 r ‏eˆ3  ‏h3 q 3 ,     h3 1 1 r ‏eˆ2  ‏h2 q 2 ‏eˆ1  ‏ 1 r ‏eˆ1  ‏h1 q1 ‏ ‏ h1  (u 2 v 2 ) ,     )  h2  (u 2 v 2 اکنون با استفاده از ضرب نرده ای , eˆ2 , eˆ1 هرجفتeˆ3بردار یکه 133 می ت وان نش ان داد ک ه این دس تگاه مختص ات ی ک :کتاب درسی79صفحه4-2ادامه مثال uiˆ vjˆ  viˆ  ujˆ  uviˆ.iˆ  uvjˆ. jˆ  u 2iˆ. jˆ  v 2 jˆ.iˆ eˆ1 .eˆ2  .  2 2 2 2 u 2 v 2 (u v ) (u v ) i .i  j . j 1 , i . j  j .i 0 اما می دانیم  uv  uv eˆ1.eˆ2  2 0 2 u v eˆ1 .eˆ3  پس uiˆ vjˆ uiˆ.kˆ vjˆ.kˆ ˆ .k  2 2 (u v ) (u 2 v 2 ) i .k  j .k 0 پس e1.e3  0 eˆ2 .eˆ3   vi  uj 2 2 (u v ) .k  اما  vi .k  uj .k 2 2 (u v ) 0 134 ادامه مثال4-2صفحه79کتاب درسی: بن ابراینe1.e 2 e 2 .e 3 e 3 .e1 0 یعنی دستگاه مختصات مزبور متعامد است.برای پیدا کردن عنصر حجم دراین دستگاه ازرابطه ()21-2داریم : ‏dv h1h 2 h3dudvdz (u 2 v 2 )dudvdz 135 استوانه(u , ) v ,z سهموی تست :1برای دستگاه مختصات ‏ê2 صورت زیر تعریف میشود،مقدار که به ‏z z ‏y uv ‏ z  0 v   ج: 2 ‏ viˆ  uˆj ‏u 2  v2 ‏u 2  v2 ‏uiˆ  vˆj ̂k 2 ‏u v حل :به مثال قبل ر.ک 136 1 ) x  (u 2  v 2 2 ‏  u   ‏uiˆ  vˆj ٭ الف: کدام است؟ ب: د: مثال5-2صفحه80کتاب درسی: کرویq 3  , q 2  , دردستگاه مختصاتq1 r ورواب ط تب دیل این دس تگاه ب ه دس تگاه مختص ات دک ارتی ب ه ‏y r sin  sin  اند قرارزیر ‏z  ‏r cos ‏x r sin  cos  است . h , مطلوب h , hr ‏ ‏r r r الف:تعیین . , , ‏  r ب:تعیین 2 ‏dv , ‏ds ج:نشان دهید این دستگاه مختصات متعامد است د: رابرای این دستگاه به دست آورید. حل: ‏x 2 ‏y 2 13 ‏z )داریم ( )  137الف:از رابطه )  ( -2)(2 ‏r ‏r ‏r ‏q1 r (h12 hr2  :کتاب درسی80صفحه5-2ادامه مثال hr2 (sin  cos  ) 2  (sin  sin  ) 2  (cos  ) 2 sin 2  (cos 2   sin 2  )  cos 2  sin 2   cos 2  1  hr 1 q 2  h2 (r cos  cos  )2  (r cos  sin  )2  (  r sin  )2 r 2 cos2  (cos2   sin 2  )  r 2 sin 2  r 2 (sin 2   cos 2  ) r 2  h2 h r q 3  x 2 y z )  ( )2  ( )2    h2 ( r sin  sin  ) 2  (r sin  cos  ) 2  (0) 2 r 2 sin 2  (sin 2   cos 2  ) r 2 sin 2  h32 h2 (  h r sin  138 :کتاب درسی80صفحه5-2ادامه مثال بنابراین با.  ˆ ˆ  kz ˆ r ix  jy می دانیم:ب  توان r (r sin  cos نوشت )iˆ  ( r sin  sinمی  ) jˆتبدیل  ( r cosهای  ) kˆ استفاده از رابطه  r  به دست میآید وازآن r  r ˆ ˆ ˆ (sin  cos  )i  (sin  sin  ) j  (cos  ) k r  داریم r r , ونیز  برای   r (r cos  cos  )iˆ  ( r cos  sin  ) jˆ  (  r sin  ) kˆ   r  ( r sin  sin  )iˆ  ( r sin  cos  ) jˆ  (0) kˆ   ( r sin  sin  )i  ( r sin  cos  ) j 139 ادامه مثال5-2صفحه80کتاب درسی : ‏r r r متعامد , , باشد باید ج:برای این که دستگاه مزبور ‏  r دوبه دوبرهم عمودباشند،یعنی ‏ ‏r r r r r r . ‏ .  . 0 ‏r     r ‏ ‏r r رابطه اولین ای نرده ضرب دربررسی . داریم[(sin  cos  )i  (sin ‏ sin  ) j  (cos ([) k ]. ‏r cos  ‏cos  )i ‏r  ] (r cos  sin  ) j  ( r sin  ) k که داریم i .i توجه  j . j باالk .k قبل از ساده کردن رابطه1 140 ‏i . j  j .k k .i 0 :کتاب درسی80صفحه5-2ادامه مثال  ازضرب جمالت در یکدیگر داریم r r . (sin  cos  )( r cos  cos  )  (sin  sin  )( r cos  sin  )  (cos  )( r sin  ) r  r sin  cos  cos 2   r sin  cos  sin 2   r sin  cos  فاکتور می گیریم  r r . r sin  cos  (cos 2   sin 2  )  r sin  ) cos  r  r sin  cos   r sin  cos  0 r sin  cos از دردوجمله اول  r r . [(r cos  cos  )i  (r cos  sin  ) j  ( r sin  ) k ].برای دومین رابطه داریم   [ (r sin  sin  )i  (r sin  sin  ) j ] 141 :کتاب درسی80صفحه5-2ادامه مثال با انجام عمل ضرب خواهیم داشت  r r .  ( r cos  cos  )( r sin  sin  )  ( r cos  sin  )( r sin  cos  )    r 2 sin  cos  sin  cos   r 2 sin  cos  cos  sin  0 همچنین برای سومین رابطه می نویسیم  r r . [(  r sin  sin  )i  ( r sin  cos  ) j ].[(sin  cos  )i   r (sin  sin  ) j  (cos  ) k ]  (r sin  sin  )(sin  cos  )  ( r sin  cos  )(sin  sin  )  r sin 2  sin  cos   r sin 2  cos  sin  0 یک دستگاه،بنابراین نتیجه می گیریم دستگاه مختصات کروی .متعامد است 142 ادامه مثال5-2صفحه80کتاب درسی: )داریم د:اکنون از رابطه (14-2 2 2 2 2 ) ds (h1dq1 )  (h 2dq 2 )  (h 3dq 3 از بند(الف)این مثال داریم ) , ( h2 h r , dq 2 d  ) , ( h1 h r 1 , dq1 dr ) .(h3 h r sin  , dq 3 d  بنابراین نتیجه می گیریم ‏ds 2 dr 2  r 2d  2  r 2 sin 2  d  2 اما از رابطه ( )21-2برای dvداریم ‏dv h1h 2 h3dq1dq 2dq 3 درنتیجه برای این دستگاه مختصات به نتیجه زیر می رسیم ‏dv r 2 sin  drd  d  143 کرویq  , q2 مختصات , q1 ‏r تست :2در دستگاه ‏ 3 می باش د ب ا نوش تن رواب ط تب r r دیل این دس تگاه ب ه . ‏r  دستگاه دکارتی حاصل عبارت ‏r sin  cos 2  برابر است با: ‏r cos   r sin  ب:صفر الف: د: ج1 : دکr sin ‏ cos ‏y  مختصsin تگاه sin  دس z ‏r cos حل:رواب ط تب  ارتی ب xه روی ب ه ات rک دیل ˆ  ˆ  kz ˆ ‏r ix ‏jy باشند زیر می صورت ‏  ‏r r . دانیم می ‏r  ‏ ˆr (r sin  cos  )iˆ  (r sin  sin  ) ˆj  r cos k .بنابراین با استفاده از ‏r ˆˆj  cos k نوشت(sin  cos  )iˆ  (sin توان)  sin  رابطه های تبدیل می ‏r ‏ ‏r ˆ آید(r cos  cos  )iˆ  (r cos می sin دست ) ˆj ‏ ( r sin ‏ ) ‏k به 144واز آن ‏ می  :پردازیم  r r .  r    r r . اکنون به:2 ادامه تست محاسبه r  [(sin  cos  )iˆ  (sin  sin  ) ˆj  cos kˆ]. [( r cos  cos  )iˆ  (r cos  sin  ) ˆj  ( r sin  )kˆ] i .i  j . j k .k 1قبل از ساده کردن رابطه باال توجه داریم که i . j  j .k k .i 0 از ضرب جمالت در یکدیگر داریم   r r . (sin  cos  )( r cos  cos  )  (sin  sin  )( r cos  sin  )  (cos  )( r sin  ) r  r sin  cos  cos 2   r sin  cos  sin 2   r sin  cos     1   r sin  cos  (cos 2   sin 2  )  r sin  cos  r sin  cos   r sin  cos  0 145 مثال6-2صفحه83کتاب درسی: اگرq 3 دهید, q 2 به طور تحلیلی نشان , q1 مختصات خمی ده خ ط متعام دی باش ند ک ه ب ا رابط ه ه ای تب دیل زی ر شوند x x (q1 , q 2 , q 3 ) y  y (q1 , q 2 , q 3 ) z ‏z (q ) 1,q 2 ,q3 تعریف و ژاکوبی Jبه صورت زیر تعریف شودx ‏q 3 ‏x ‏q 2 ‏x ‏q1 ‏y ‏q 3 ‏y ‏q 2 ‏y ‏q1 ‏z ‏q 3 ‏z ‏q 2 ‏z ‏q1 آنگاه داریم 146 ‏J h1h2 h3 ‏J  ادامه مثال6-2صفحه83کتاب درسی: در دترمین ان ب اال متوج ه می ش ویم ک ه حل:ب ا ان دکی دقت ‏r ‏r r , هرستون , ترتیب مولفه های دکارتی بهq 3 q ‏q1 2 هستند.بنابراین ،نتیجه می گیریم که این دترمینان برابر ب ا ض رب س ه گان ه ن رده ای این س ه ب ردار اس ت.یعنی ‏r ‏r ‏r (. ‏ ) h1e1 .( h 2e 2 h3e 3 )  داریمh 1 h 2 h3 : ‏q1 q 2 q 3 ‏J  ‏eˆ3 , eˆ2 , eˆ1 زیرا بردارهای یکه متعامد اند .اگر این دس تگاه راس تگرد باش د در رابط ه ب اال عالمت مثبت واگ ر عالمتh1 دستگاه چپ گرد باشد h2 h3 منفیJبه کار خواهد رفت. 147 در هر حالت داریم: :دردستگاهq3  تمرین1-2-2صفحه84کتاب درسی z, q2  , q1  مختصات استوانه ای دوار ‏z z ‏y  sin  ‏x  cos  اینhz , تب دیل h , h دس .تگاه ب ا دس تگاه ورابط ه ه ای ‏ ‏r r r مختصات . , , دکارتی به قرار زیر اند ‏z   2 ‏dv , ‏ds مطلوب است تعیین الف:عامل های مقیاس ب: ‏x 2 ‏y 2 ‏z 2 2 ‏دh ( ات ) مختص(  تگاه)  دس ( این)  دهیدcos 2 ان sin ج:نش ‏1 متعام ‏q1 ‏q1 ‏q1 2 148 است : کتاب درسی84صفحه1-2-2ادامه تمرین h2 (   sin  ) 2  (  cos  ) 2  2  h  hz 1  r ( xiˆ  yˆj  zkˆ)  cos iˆ  sin ˆj eˆ    r ( xiˆ  yˆj  zkˆ)    sin iˆ   cos ˆj eˆ    r ˆ k eˆz z :ب eˆ .eˆ 0 , eˆ .eˆz 0 , eˆ .eˆz 0 :ج 149 : کتاب درسی84صفحه1-2-2ادامه تمرین dv  d d dz ds  d d  2 2 ds hi h j dqi dq j  ds  d dz ds 2 d dz  2 :د 150 عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیده شیب یاگرادیان یک تابع: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ( q1 , q2 , q3 ) eˆ1 ‏ eˆ2 ‏ eˆ3 ‏h1q1 ‏h2 q2 ‏h3 q3 ‏ ‏F : یادیورژانس تابع برداری واگرایی ‏  ‏.F ( q1 , q2 , q3 )  1   ‏ ‏ ( ‏F ‏h ‏h ) ‏ ( ‏F ‏h ‏h ) ‏ ( F3 h1h2 )  ‏ 1 2 3 2 3 1 ‏h1h2 h3  q1 ‏q2 ‏q3 151 :یاالپالسی 1  h1h2 h3 2  عملگر 2   h2 h3   h3 h1   h1h2   ( ) ( ) ( )  q2 h2 q2 q3 h3 q3   q1 h1 q1 :  F تاو(کرل)یک تابع برداری عملگر eˆ1h1   1  F  h1h2 h3 q1 h1 F1 eˆ2 h2  q2 h2 F2 eˆ3 h3  q3 h3 F3 152 مث ال7-2ص فحه86کتاب درس ی:باتوج ه ب ه مثال,  ,  )5-2 بخش(rقبلی رابطه شیب تابع را در مختصات کروی ‏hr 1 دست آورید. ‏ ‏h r ‏h  داریم ‏r sin5 حل:طبق بحث مثال -2 ‏  به ‏q1 r ‏ ‏q2  ‏q  ‏ 3 ‏ 1  1 ‏ ‏ ( r ,  ,  ) er ‏ e ‏ e ‏r ‏r  ‏r sin   بنابراین با جایگزینی در رابطه ()25-2داریم: 153 ()2-26 مث ال8-2ص فحه86کتاب درس ی:باتوج ه ب ه مثال 4-2بخش 2-2رابطه شیب تابع را در سهموی به دست آورید. مختصات استوانه 2 2 ‏h  u  v 1 داریم : مزبور حل:با توجه به مثال ‏ 2 2 ‏h2  u  v ‏h 1 3 ‏ ‏ ‏ 1 ‏ ‏ ‏ ev ‏k 2 2 v )u25داریم: ازu 2رابطه(u بنابراین ‏z ‏ v-22 فوری v 1 ()2-27 154 ‏q1 u ‏ ‏q2 v ‏q  z ‏ 3 ‏ (u , v, z ) eu مث ال9-2ص فحه86کتاب درس ی:از معادل ه(-2 )17برداره ای یک ه متعام د را می ت وان ب ه 1 r ‏e ‏ رابطه iزیر تعریف کرد: کمکhi q ‏i ‏hi )ei .e ( 1 ‏i 2-28 است،نشان دهید وچون ‏ei ‏i بei .e رای رابط ه 1ای ازآن ب ه دس ت می 1 2 r r ( ) . ) 1 ‏hi ‏qi qi آیدکه با معادله ( )سازگارr ix ( jy  kz2-13 است. حل:ازجایگزینی 155 داریم: ‏r ‏x ‏y ‏z ‏i رابطه  j در  k ‏qi ‏qi ‏qi ‏qi ادامه مثال9-2صفحه86کتاب درسی: ازجایگزینی این رابطه درمعادله ()29-2فوری ‏x 2 ‏y 2 ‏z 2 (h  ()  ()  نتیجه می شود) : ‏qi ‏qi ‏qi 2 ‏i که همان معادله ()13-2می باشد 156 مث ال10-2ص فحه88کتاب ‏ ‏r ‏F  ی:واگ رایی درس ‏r3 ن یروی مرک زی کول نی رامحاسبه کنید حل:چنانکه درآغاز این فصل بیا ن شد ،بسته ب ه ن وع مس ئله وتق ارن مرب وط ،دس تگاه ‏ hکنیم r ‏r 1 که q1 حل می مختصات راطوری انتخاب ‏ ‏ ‏h r ‏q2  این د.بادرنظرhگ رفتن مس ئله آس ان باش ‏q  ‏ ‏r ‏sin ‏ ‏ ‏  ‏ 3 مطلب ،واض ح اس ت ک ه ب رای ح ل این 1 ‏ 1 2 ‏ ‏ ‏ . ‏F ( ‏r , ‏ , ‏ ) ‏ [ ( ‏r ‏sin ‏ ) ‏ ( 0 ) ‏ (0)] 0 روی ،دس تگاه مس ئله ،ب ه دلی ل 2تق ارن ک 2 ‏r sin  r r ‏ ‏ 157 مختصات کروی بهترین انتخاب است.دراین 2 ‏ مث ال11-2ص فحه89کتاب ‏2  . ‏ر عملگ درس ی:می دانیم 2 ی ا الپالس ی ب همع نی واگ رایی .باتوجه شیب است ،یعنی ب ه این تعری ف رابط ه عملگ ر ‏ ‏ ‏ ‏ e2 ‏ e3 دستhآورید. خمیده hبه درمختصات ‏h3q3 1q1 2 q2 را ‏ ( q1 , q2 , q3 ) e1 حل:بنابه رابطه()25-2داریم 1   ‏ ‏ ‏ ‏ ‏  2 ‏  .  )  (h3h1 )  (h1h2 ) ‏ (h2 h3 ‏h1h2 h3  q1 ‏h1q1 q2 ‏h2q2 q3 ‏h3q3  اکنون با نشاندن آن درمعادله()32-2داریم 1   h2 h3   h3h1   h1h2   ‏ ( ) ( ) ) (  ‏h1h2 h3  q1 h1 q1 q2 h2 q2 q3 h3 q3  2 158 ویا 2 کتاب  مث ال12-2ص فحه0 89 درس ی:معادل ه 2 2 ‏ ‏ ‏F ( ‏u ‏ ‏v ) رادر مختص ات ) (u, v, zالپالس بیان کنید وتمام استوانه سهموی 1 2 2 صورتh1 h2 (u 2  v ) آنhرا که ,به جوابهای 3 1 دست آورید. است،به 2 2 2 ‏ 1 ‏  ‏  داریم   .  2 ( 42 - حل:باتوجه 2به )  ‏ 0 2 2 2 مثال ‏v ‏z  ‏ u  v u ‏w u 2  v 2 159 2 ) F (w ‏d 2 F dF الپالس )معادلهw 2  با نشاندن آن در رابطه (0 33-2 ‏dw dw به صورت زیر به دست می آید ‏dF ‏w ‏ A F  A ln w  B ‏dw ادامه مثال12-2صفحه89کتاب درسی: که درآن AوB مق دارهای ث ابت اختی اری هستند.سرانجام داریم 160 ‏  A ln(u 2  v 2 )  B مثال13-2صفحه91کتاب درسی:ثابت کنید: ‏er f (r ) 0 که ) f (r درآن تابع eدلخواه خوشرفتار و ‏r یکهF e درامتداد rاستFr  f (r ), F F 0. بردار) r f (r حل:اگرف ک نیم کروی داریم ‏h2 1 رضq 1 r ‏ ‏ ‏q ‏ ‏ ،درمختصات  ‏h r 2 ‏q  ‏h r sin  ‏ 3 ‏  ‏eˆr ،ونیز می دانیمreˆ r sin eˆ 1 ‏ ‏ ‏ ‏F  2 ‏0 ‏r sin  r ‏ ‏ )بهf ( r ) 34 رابطه (0 -2 0 نتیجه زیر می 161بنابراین طبق تمرین1-3-2صفحهe1 91 1 درسی: qبردار یکه کتاب ) 1 (h2 h3 ‏ . ‏e ‏ 1 افزایش رادرجهتh1 ‏h2 h3 q1 دهید الف: فرض کنید ونشان ‏  ‏.F ( q1 , q2 , q3 )  1   ‏ ‏ )داریم: 32 2 حل:ازمعادله( ( F1h2 h3 )  ( F2 h3 h1 )  ( F3 h1h2 )  ‏ ‏h1h2 h3  q1 ‏q2 ‏q3 )F ( q1 , q2 , q3 ) e1 ( q1 ,0,0 دراینجا داریم: 162 ‏F1 1 , F2 0 , F3 0 ) 1 (h2 h3 ‏.e1  ‏h1h2 h3 q1 2  با استفاده:درسی کتاب91صفحه2-3-2تمرین را در مختص ات 1 2  .  h1h2 h3 ،)33-2( از رابط ه .کروی به دست آورید :حل   h2 h3   h3 h1   h1h2   ( ) ( ) ( )  q2 h2 q2 q3 h3 q3   q1 h1 q1 h1 h2 1  h2 h r h h r sin    3 :داریم کروی درمختصات r q1   , q2  q   3 163 کتاب91فحه ص2-3-2رین 1   .  2 r sin  2 تم ه ادام :بنابراین: درسی   r 2 sin   r sin   r  ( ) ( ) ( )  r       r 1 2  .  2 r sin    2 2   2 2   r sin  2  r cos   r sin  2  r 2   2r sin  r r       164  مختصاتقطبی تست :3در دستگاه ‏y الفcos  cos : جsin  sin  : برابر است با: ‏cos  sin  ‏r ‏sin  ‏r sin  ب: د: حل:رابط ه زی ر در دس تگاه مختص ات قط بی ک روی برق رار  نسبت به yمشتق بگیریم است،برای یافتن پاسخ باید از ‏z ‏ arccos 1 2 2 2 2 ) (x  y  z ‏ u ‏arccos ‏u می دانیم مشتق بنابراین: 165 عبارت است از 1 u2 1 1  :3 ادامه تست 2 2 2 2   ( )( 2 y )( x  y  z ) ( z )   1 2   1 y (x2  y2  z 2 ) 2  2 z  1   2 2 2  x  y  z    yz 1   3 1 y 2 2 2 2 2 2  2 x y (x  y  z )  2  2 2   x y z  روابط تبدیل بین دستگاه مختصات کروی ودکارتی به صورت x r sin  cos  y r sin  sin  z r cos :زیر می باشد r 2  x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2 r 2 sin 2  خواهیم داشت  y با استفاده از روابط برای،تبدیل 166 :3 ادامه تست  ( r sin  sin  )( r cos  ) 1 sin  cos  sin  cos  sin      1 y r3 r sin  r  r 2 sin 2   2   2 r   167  n  .r eˆr حاصل:4 تست عبارت :برابر است با 1 ( n  1) r n :الف صفر:ب n 1 ( n  2 ) r :د nr n  1 :ج :دیورژانس درمختصات کروی به صورت زیر می باشد:حل   F 1  2  .F  2 [sin  (r Fr )  r (sin F )  r ] r sin  r   n r را حساب می  ابتدا .eˆr f (r ) قرار می دهیم  n .rیافتن eˆr حال برای کنیم ودرآخر رابه جایf (r )  1 d 2 1 2 f df 2 df ˆ .er f (r )  2 [sin  (r f )]  2 [2rf  r ]  r sin  dr r dr r dr  n f (r ) r  .eˆr r n 2r n  1  nr n  1 (n  2)r n  1 168  .eˆr f (r ) باشدآنگاه برابر 1 f (r )  اگر: 5 تست r3 :است با 1 r4 :ب  1 r4 :٭ الف 1  3 r r3 eˆr f (r ) :د :ج درمختصات کروی حل می را 1   2 1   1 دیورژانس:حل 2 .eˆr f (r )  2 sin  r Fr   2 r 3    r sin   r r   r r  :کنیم   1   1 1  1  1    2   2   4 2 r r  r  r  r  r 169 دستگاه های مختصات خاص دستگاه مختصات کروی ‏q1 , q2 , q3 ‏r , ,  دراین دستگاه ( )به صورت ( )بیان می شوند.دسته سطوحی ک ه این س ه مختص ه روی آن ه ا ثابتن د .عبارتن د ‏r ( x 2  y 2  z 2 )1/ 2  از: کره های هم مرکزZحول مبدا: ‏z ‏ arccos ( x 2  y 2  z 2 )1/ 2 ثابت بارأسی Zدوار قائم،حول محور مخروط های ‏y ‏ arctan  واقع درمبدا: ‏x 170 ثابت رواب ط تب دیل بین دس تگاه ه ای مختص ات ک روی ‏x r sin  cos  ودکارتی: ‏y r sin  cos  ‏z r cos  ‏ ‏Z به گونه ای ک ه، ‏ ‏xy ازمح ور ‏x مثبت و گیری اندازه 0 r  مثبت , محور0   واز  , درصفحه0  2 ‏ می شوندودامنه آن هاعبارت است از: ‏h r sin  , ‏h r ‏hr 1 , عامل های مقیاس درمختصات کروی عبارتند از: 171 :عنصر حجم درمختصات کروی dv r 2 sin drdd :عنصرسطحی درمختصات کروی dA r 2 sin dd :)عنصر زاویه حجمی(فضایی dA d  2 sin dd r ˆ برحس بk , ˆj , iˆ eˆه یک , eˆ ای , eˆr برداره eˆr iˆ sin یعنی cos دکارتی  ˆj sin مختصات sin   kˆیکه cosبردارهای  eˆ iˆ cos  cos   ˆj cos  sin   kˆ sin  : eˆ  iˆ sin   ˆj cos  172 مث ال14-2ص فحه92کتاب درس ی:رابط ه ه ای تب دیل دس تگاه مختص ات ک روی ودک ارتی را به دست آورید. )داریمr 2  x 2 ‏ y 2 37 حل:ازمعادله های ()35-2تا(z 2-2 ‏z ‏cos   2 (2-35الف) ( x  y 2  z 2 )1/ 2 ‏y (2-36الف) ‏tan   ‏x (2-37الف) ‏z ‏r cos ازدومین معادله باال فوری به دست  آید می 2 2 2 2 داریمr 2 : الف) x 2  y 2 ‏ z2  ‏x ‏ ‏y ‏ ‏r ‏sin 173باجایگزینیآن درمعادله(35-2 ادام ه مث ال14-2ص فحه92کتاب درس ی:ام ا گرفت y ‏ x tan  ازمعادله (37-2الف)می توان نتیجه 1 2 1  tan   ()2-39 ‏cos 2  با نشاندن()39-2در( )38-2واستفاده از اتحاد ‏x r sin  cos  مثلثاتی رابطه زیر به دست می آید ‏y r sin  cos  وس رانجام ب ا نش اندن آن در()39-2نتیج ه می ‏z r cos ‏ شود 174 ‏y r sin  cos  ‏x r sin  cos  کتاب درسی:توج ه ادام ه مث ال14-2ص فحه92 را ازمح ور zمثبت و داریم 0 r   , 0   , 0  2 ص فحه xyازمح ور xمثبت ان دازه می رادر گیریم.دامنه آنها به قرار زیر است ‏h برگ 1 , h ‏r )3 , -2h اگرب ه مث ال ‏ r sin ردیم،مالحظrه بخش( 5-2 می کنیم که عامل های مقیاس این دستگاه ‏dv r 2 sin drdd به قرار زیرند ()2-41 ‏dA r 2 sin حجمیdd ‏ داریم 175وهمین طور برای عنصر ادامه مثال14-2صفحه92کتاب درسی: بن d عنص ر ابراین ‏dA ‏d  2 sin dd حجمی(فضایی)دراین حالت برابر است با زاوی ه ‏r ‏ (d 4 )2-44 وتوج ه داریم ک ه ‏d زاویه )43 رویdA 2 ‏r 2 sin اس ت.حال اگ ر از رابطه(d-2 سمتی انتگرال بگیریم،عنصر سطح به صورت حلقه ای به عرض میآید در ‏dv ‏r 2 drd ()2-45 176 همچ نین عنص ر حجم را می ت وان ب ه ص ورت مث ال15-2ص فحه95کتاب درس ی:مس احت ‏ شعاع0  ‏ 0  بخشی از کره  واحد را که مرکز ای به 4 آن در مبدا مختصات قرار دارد وبین ‏ است به ‏ 1 ‏A  sin d  d   sin d  ( 4   ) 2 0 آورید. دست 8 4 0 ‏ حل:از رابطه()43-2به ازای r=1داریم 177 2 0 مث ال16-2ص فحه96کتاب درس ی(س وال 2تش ریحی نیمس ال اول:)86-85باتوج ه ب ه معادله 1 r ) 1 ( xi  yj  zk را ei یک ه  ( )2-28رابط ه بین ب ردار ه ای  ‏hi qi hi ‏qi درمختص ات قط بی ب ا دک ارتی ب ه دس ت آوریدz r cos . ‏y r sin  cos  حل:ازمعادله()28-2داریم ‏h r sin  ()2-47 اما می دانیم 178 ‏x r sin  cos  , h r , ‏hr 1 ادامه مثال16-2صفحه96کتاب درسی: ‏eˆr iˆ sin  cos   ˆj sin  sin   kˆ cos  ()2-48 ‏eˆ iˆ cos  cos   ˆj cos  sin   kˆ sin  ‏eˆ  iˆ sin   ˆj cos  می eˆ , چنانک ه پیش از این گف تیم،مالحظ هeˆ , eˆr ش ود جهت برداره,  یک ه ای 179 با تغییرمک ان(یع باتغییر )تغییرمی کند. نی مث ال17-2ص فحه96کتاب درس ی:بردارن یرو F به F  yi  دکارتیxj  2 zk صورت زیر است درمختصات این ب ردار رابرحس ب مختص ات قط بی ک روی ‏i cos  sin er  cos  cos e  sin e وبردار های یکه آن بیان کنید. )،داریمj sin  sin e حل:باتوجه e ‏r  sin 2cos به  cos  تمرین(-4-2e ‏k cos er  sin e ()2-49 ‏y r sin  cos  z r cos  180 ‏x r sin  cos  ‏F 2r cos 2 er  2r cos  sin e  r sin e بنابراین با نشاندن آنها ورابطه های تبدیل(-2 مث ال18-2ص فحه97کتاب درس ی:در فیزی ک ن وین ب ا خاص یت پاریت ه(یع نی کمی تی تحت د یا z بمان z , اوردا y   وارونی دس تگاه مختص ات xنy, x   بدهد)سروکار(r ,  ) , بسیارz , y, x داریم که تغییر عالمت تگاه دسr  r , در   وارونی   مهم اس ت .می دانیم ,     مختصاتe , ‏er دکارتی به صورت: ‏e اس ت.الف:نش ان دهی دوارونی(یع نی انعک اس 181 ه r  r ,   نقط  دا),    ازمب نس بت ب ه ‏x  r sin(   ) cos(  )  r sin  cos   x محورهای ‏y  r sin(   ) sin(  )  r sin  sin ‏  y استz  r cos(   زیر)  r هایcos تبدیل  ‏z ثابت،شامل کتاب97فحه ص18-2ال مث ه ادام )48-2(اکن ون از رابط ه ه ای:ب:درس ی eˆr  iˆ sin(   ) cos(  )  ˆj sin(  ) sin(  )  kˆ cos(   ) اس تفاده می ک نیم وتوج ه داریم جهت  iˆ sin  cos   ˆj sin  sin   kˆ cos   e .ثابت اندkوjوi یکهr بردارهای eˆ  iˆ cos(   ) cos(  )  ˆj cos(   ) sin(  )  kˆ cos(   ) iˆ cos  cos   ˆj cos  sin   kˆ sin  e پاریته فرد  eˆ   iˆ sin(   )  ˆj cos(  ) iˆ sin   ˆj sin   e پاریته زوج پاریته فرد 182 تست :6کدام یک از بردارهای یکه پاریته زوج دارد؟ الفê: ‏êr ب: ٭ جê : ‏ê د: حل:ر.ک مثال18-2صفحه97 183  dکروی مختصات تست :7دردستگاه (فضایی)برابر است با: ‏r 2 sin dd الفrdrd  : ج: حل:ر.ک مثال14-2صفحه92 184 عنصر زاویه حجمی ‏r 2 sin drd  sin ddب: ٭د:  n عبارت r eˆr حاصل:8 تست :برابر است با n sin r :ب : د n( n  2) r n  1eˆ n 1 eˆ :الف 1 r n  1eˆ sin  صفر:٭ ج :حل eˆr  1  n ˆ r er  2 r sin  r rn reˆ   0 r sin eˆ  0  0 185 :گرادیان(شیب تابع)درمختصات کروی   1  1   eˆr  eˆ  eˆ r r  r sin   :واگرایی(دیوژرانس)درمختصات کروی   F   1   2 .F  2 sin  ( r Fr )  r (sin F )  r  r sin   r    :الپالسی درمختصات کروی 2    1       1   2 2   .  2 )  (sin  )   sin  (r 2 r sin   r r   sin    186 :تاو(کرل)برداردرمختصات کروی eˆr   1  F  2 r sin  r Fr reˆ   rF r sin eˆ   r sin F 187 مث ال24-2ص فحه101کتاب درس ی(س وال1 ‏ ‏ m r ‏A ):اگر پتانسیل دوم90-089 تشریحی نیمسال 3 4 ‏r برداری مغناطیسی Aبرقرار باشد ‏ ‏m نش ان دهی د این پتانس یل بmk رداری ب ه الق ای ‏0 ‏ ‏a قطm  دو(mk m ازی eکer cos  ی Bناش ی) sin  بی مغناطیس 4 ‏ ‏r ‏rerمغناطیسی نقطه ای با گشتاور دو قطبیm ‏am منجر می شود.فرض کنیدA  2 sin e ‏r 188 است. ‏r sin eˆ ‏ حل:فرض می کنیم  ‏am sin 2  ومی دانیم ‏r ‏reˆ ‏ ‏ ‏eˆr 1 ‏ ‏B ‏ ‏r 2 sin  rباشد 0 0 :کتاب درسی101صفحه24-2ادامه مثال 1  am 2  am sin 2  B 2 [er ( sin  )  re ( )] r sin   r r r 0 2m cos  0 m sin  2am cos  am sin   er  e ( )[ ]er  ( )( 3 )e 3 3 3 r r 4 r 4 r 189 تست :9کدام یک از سطوح زیر مربوط به سطوح مختصات دستگاه کروی نمی باشد؟ ال ف :ک ره ه ای هم مرک ز ب:مخروط های دوار قائم حول محورZ با( r ,  , ٭ج :صفحه های موازی)  صفحه XY د:نیم صفحه های گذرنده ازمحورZ 1 2 2 ‏r ،دسته( x 2  y ‏ z2)  سطوحی حل:دردستگاه کروی مختصات که این سه مختصه روی آن ها ثابت اند به صورت زیر می باشد: .1کره های هم مرکز حول مبدا 190 ثابت ‏ ‏z 1 2 ‏ arccos ) (x2  y2  z 2 ‏y ‏ arctan  ‏x ادام ه تس ت ای :9دردس تگاه(  ,  , )z مختص ات اس توانه ،دسته سطوحی که این سه مختصه در روی آن ها ثابت ان به قرار زیر است: 1 2 آنها مشترک( x 2 ،محور )  y 2 .1استوانه های مستیر قائمی که محور z است: ‏y ‏ tan  1  ‏x ثابت .2نیم صفحه های که از محور zمی گذرند: ثابت .3صفحه هایی موازی باصفحه (xyماننددستگاه دکارتی): 191 ثابت=Z مختصات p,  , ‏z استوانه دوار( دستگاه ) ‏ , , z )به صورت( ‏q1(, q دستگاه در این 2 , q3 )بیان شده ودسته سطوحی که این Zآن هاثابت اند،عبارت انداز: سه مختصه روی 2 2 1/ 2 ‏ ‏ ( ‏x ‏ ‏y که ) استوانه های دایروی قائمی  ،محور محور مشترک آنZها است: ‏y ‏x ‏ tan  1 ( )  ‏xyثابت نیم صفحه هایی که ازمحور 192 ثابت گذرندZ: ‏ می رواب ط تب دیل بین دس تگاه مختص ات اس توانه ای ‏x  cos  ودکارتی: ‏y  sin  ‏z z ‏ که زاویه ‏x می0 گیری اندازه , 0   2 ,   ‏z   مثبت ازمحور شود ودامنه های مختصات عبارتند از: ‏h 1, h  , hz 1 عامل های مقیاس در مختصات استوانه ای: ‏dv dddz 193عنصر حجم درمختصات استوانه ای: مثال25-2صفحه103کتاب درسی:رابطه های تب دیل بین دس تگاه مختص ات اس توانه ای دست دواررابا دستگاه مختصات دکارتی بهz  z آورید. ‏y ‏y ‏x -tan ‏ )داریم tan  57 حل:ازمعادله(2 ‏x ازمعادله()56-2به نتیجه زیر می رسیم ‏x 2  x 2 tan 2   2 1 یا ‏cos 2  1  tan 2   ‏x ‏ cos  )داریم بنابراین بانشاندن آن درمعادله(55-2 194 ی:وب y درس  sin ادام ه مث ال25-2ص فحه103کتاب  ه آسانی نتیجه می شود زیراند x   بنابراین رابطه های تبدیل به قرار cos  ‏y   sin  ()2-60 ‏z z ‏dv  dddz همچنین عنصر حجم دراین دستگاه برابر است با ()2-61 195 مانندس تگاه مختص ات قط بی ک روی،جهت مختصات eˆz , ‏eˆ , eˆ استوانه ای بردارهای یکه دکارتیeˆ : مختصات iˆ cos  برحسب بردارهای یکه  ˆj sin  ‏eˆ  iˆ sin   ˆj cos  ˆeˆz k ‏ ‏ 1  ‏ ˆ ˆ  ای (  ,  , z: ) e ‏ eˆ ‏k استوانه مختصات شیب(گرادیان)در ‏ ‏  ‏z ‏  1  1 F Fz ‏.F  واگرایی(دیوژرانس)درمختصات) ( F ‏ ‏ استوانه ای: ‏  ‏  ‏z 1  ای: استوانه  درمختصات1  2 ‏ 2 الپالسی ‏  ( ) 2 ‏ 2 2 ‏  ‏ ‏  ‏z 196 2 :تاو(کرل) بردار درمختصات استوانه ای eˆ   1  F    F peˆ   pF kˆ  z Fz 197 مث ال26-2ص فحه104کتاب درس ی:باتوج ه ب ه معادل ه()28-2رابط ه بین برداره ای یک ه را 1 r دوار (ب ا1 ایxi  yj  درمختص ات اس توانه ) zk ات مختص ‏e  ‏ ‏qi دکارتی به دست آورید. حل: اما میدانیم ‏z z ‏y   sin  , hz 1 ‏hi ‏hi qi ‏z ‏x   cos  ‏h 1 , h  ‏eˆ iˆ cos   ˆj sin  بنابراین 198 ‏eˆ  iˆ sin   ˆj cos  ˆeˆz k ادام ه ال26-2ص مث فحهe 104 کتاب ‏ ‏e شکل(،)8-2بردار توجه به درسی:درنتیجه با یک ه ‏ س طح اس توانه عم ود ودرجهتez به اف زایش kش عاع اس ت ،برداریک ه برس طح اس توانه مم اس وب ه نیم ص فحه ثابت سمتی یکه 199 عمود ودرجهت افزایش زاویه است،وبردار یکه همان بردار درمختصات دکارتی است. ê تست :10دردستگاه مختصات استوانه ای ‏ با: ‏ê ‏ ê الفê: ٭ب: ج: د:صفر حل: 200 برابر است ؟   A حاصل عبارت،باشد  1  ˆr  2 e r  :٭ب sin  êr   cot g A eˆ11 تست اگر: r چقدر است؟  cos   ˆ   r  e  :الف 1   ˆ  2 e  r sin   :د :ج ؟ :حل 201  ای2,0که,1    استوانه z ‏2 تست:12حجم پوسته 2 3 2 الف4: ‏ ج: 0   است برابر است با: 2 ‏ ب: 2 د: ان ‏dالم ‏dاز ‏د حل:ب رای ی افتن حجم این پوس ته اس توانه ایdzبای ‏dv حجم در مختصات استوانه ای انتگرال گرفت ‏ 1 2 2   3 ‏ 4 1 ‏ ‏ ‏dv ‏ ‏ ‏d ‏ ‏d ‏ ‏dz ‏ ‏ 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏  ‏ ‏ ‏v 1 ‏ 0 2 1 2  2 ‏ 2 2 2 202 2 0 2  ‏r تست :13بردار مکان برحسب بردارهای یکه در دستگاه استوانه ای دوار برابر است با: ˆeˆ  eˆ  zk ‏ê ‏eˆ  eˆ الفeˆ  z: ˆk ج: ب: د: ‏iˆ eˆ cos اس eˆ sin حل:در دس تگاه مختص ات  رار برق توانه ای ‏ cos روابط زی ر  ‏x  ‏ ‏ ˆ ‏y ‏ ‏ ‏sin ‏ ‏ ‏ j eˆ sin   eˆ cos  است : ‏ z z ˆ ‏ ‏ ‏k eˆz ‏ ‏r حال این روابط را در بردار مکان 203 جایگزین می کنیم. :13 ادامه تست  ˆ ˆ ˆ r xi  yj  zk (  cos  )(eˆ cos   eˆ sin  )  (  sin  )(eˆ sin   eˆ cos  )  zeˆz  r  cos 2 eˆ   sin  cos eˆ   sin 2 eˆ   sin  cos eˆ  zeˆz  (sin 2   cos 2  )eˆ  zeˆz       1  r eˆ  zeˆz 204 2 کتاب F 3 yi  مثال27-2صفحهj  z k105 درسی:بردار ‏k , eˆ , eˆ رادر مختص ات استوانه ای دوار وبرحسب بردارهای یکه ‏k ez حل: کنیدi e cos   e. بیان sin  ‏j e sin   e cos  ‏y  sin  ‏F 3 sin  (3 cos   1)e  (cos   3 sin 2  )e  z 2 k بنابراین با نشاندن آنها ومعادله های(:)60-2 درFداریم 205 2 2 F reدرسی  r sin  e  r cos107 e صفحه1-4-2تمرین F ,.F اگر: r کتاب  1  3  2 2  2 ،باشد .F  2 (sin  . (r )  r (r sin  )  r (r cos )) را r sin  .آورید r دست کروی بهدرمختصات     0 1 2 (3r 2 sin   2r 3 sin  cos  0) 3  2r 2 cos r sin  eˆr reˆ r sin eˆ  1    F  2 ... r sin  r   r r 3 sin  r 3 sin  cos  :حل 206 تم رین9-4-2ص فحه109کتاب درس ی :ی ک پوسته کروی چرخان ،که به طور یکنواخت 4 ‏ ب اردار ش ده اس ت،ی ک sin  0 a  ‏e ب رداری یل پتانس ‏r a ‏  مغناطیسی به قرار زیر rدر 3 ایجادA  می فضا ‏ ‏e 0 a r cos  ‏r a کند ‏ ‏ 3 ‏ ‏ ‏B A که درآن aش عاع پوس ته ک روی، 207 س طحی ب ار و چگ الی س رعت زاوی ه ای آن : الف9-4-2ادامه تمرین r sin eˆ    0 a 4 sin  0 0 (r sin  ) 3 r 0 a 4 sin  0 a 4 sin  1  1  eˆr ((r sin  ) ) 2 reˆ ((r sin  ) ) 2 r sin   3 r r sin  r 3 r 0 a 4 1 2 cos  0 a 4 2 ((2 sin  cos  ) )eˆr (( 2 ) )eˆr r sin  3 r 3 eˆr reˆ  1   IF : r  a  A  2 r sin  r  208 : ب9-4-2ادامه تمرین reˆ r sin eˆ      0 a 0 r r cos  0 3 0 a 0 a  eˆr  2 1  2 ((r cos  ) ) 2 r sin eˆ ((r cos  ) ) 2 r sin   3 r sin  r 3 0 a ((2 cos  ) )eˆ 3 eˆr  1  IF : r  a  A  2 r sin  r 209 تمرین12-4-2صفحه109کتاب درسی(سوال 2تشریحی نیمس ال دوم: )87-86اگ ر از س یم رس انایی ک ه در ‏I امتداد محور zقرار 1 الکتریکی Iعبور کند، ،جریان دارد ‏A k ) (ln ‏ 2 پتانس یل ب رداری مغناطیس ی حاص ل ب ه ص ورت زی ر است ‏I ‏B e 2 رابط ه I 1 نش ان دهی د Bالق ای مغناطیس ی1آن I هA (lnزی ر kب ( lnاز )  )eˆz 2 ‏ 2 ‏ دست می آید ‏ ‏ ‏eˆz ‏ ‏ ‏     I ln( 1 )eˆ eˆ I ‏ ‏ ‏ ‏z ‏  2 حل : 2 ‏I 1  ‏ln( )  210 2 ‏  ‏eˆ ‏ ‏ 0 ‏ ˆ e ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏B A  ‏  ‏ ‏ 0 ‏ تست :14از سیم هادی در امتداد محورzجریان Iعبور ‏ پتانس1یل ب I ‏Aمغناطیس ی حاص ل رداری می کن د ،اگ ر ‏ ˆln( ) k ‏ برابر ‏ ‏  I  ˆ   ‏B 2    2 ‏ ˆ  I  ‏  ‏B 2    سیم برابر است این مغناطیسی باشد،میدان  ‏ ‏ ‏ I دراطراف  I ˆ   با2   : ‏ الف: ج: 211 ˆ  2    ‏B ‏   ‏B A )( , , z حل:باتوج ه ب ه رابط ه باگرفتن کرل از تابع ‏B ب: ٭  ‏A د: ج واب این س وال ب ه راحتی به دست می آید.فقط باید دقت کنیم که :14 ادامه تست eˆ   1  A    A eˆ   A kˆ eˆ  1   z   Az 0 eˆ   0 kˆ  z  I 1 ln( ) 2  1  (  eˆ )(  I 1 ln( ))  2  eˆ ˆ باتوجه به گزینه ها      I ˆ   B A  2    212 جداسازی متغیرها 2 2 2 ‏k ‏ 0 ‏ ‏ ‏ ‏k معادله ‏0 در حل مسائل فیزیک 2 2 2 ‏k ‏ ‏k ‏ 0 ‏k ‏0 :معادله کاربرد زیادی دارداگر)1 الپالس، 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏k ‏ 0 :معادل ه هلمهول تز )2 )3 :معادله پخش )4ثابت :معادله شرودینگر )  ( x, y, z )  X ( x)Y ( y ) Z ( z جداسازی متغیرهادر دستگاه مختصات دکارتی مسأله راباحل معادله هلمهولتز شروع می کنیم که دارای جوابی به 213 صورت زیر می باشد باقراردادن  ) ( x, y , z )  ( x, y , z درمعادل ه 2 2 2 1 ‏d هلمهولتزوتقسیم 2بر Z 2 2 2 ‏ ‏ ‏l , ‏ ‏ ‏m , ‏ ‏ ‏k ‏ ‏l ‏ ‏m ‏X dx 2 ‏Y dy 2 ‏Z dz 2 خواهیم آورد. ‏ n 2  k 2  l 2  m 2 ‏n, m, l k 2 l 2  m 2  n 2 2 1 d Yبه 1 d X دست . که ثابت ‏ که ‏ ‏X ( ‏x ) ‏Y ( ‏l ,m,n ‏l )m y)Z n ( z ه ایی اندک ه درمعادل ه ص دق می کنند.درنتیج ه 2 بودk 2 : زیرخواهدl 2  m ‏ n2 ‏n, m, l پاسخ به صورت 194 214 اگرعملگرL 2 ‏k2 باشد،آن گاه ‏ یک عملگر خطی ‏ هلمهولتز ‏l ,m,n تابع که در معادله ص دق می کن د،برابرحاص ل ض رب س ه ت ابع ‏   al ,m ,n l ,m ,n مس تقل ازهم خواه د بودوهمچ نین ‏l ,m,n ‏L برابرباترکیب خطی هاخواهد بود: ‏L (a ) aL ‏L ( 1  2 ) L 1  L 2 شرط خطی بودن عملگر ‏a 215 : مثال 32-2صفحه113کتاب :کدامیک از عملگرهای زیر خطی هستند؟ ) L  ( x )  x 3 ( x 1 )الف( ‏ d  ‏L2 ( x )  x  )  ( x )ب( * dx  ) L3 ( x )  ( x )ج( ‏L1 شرط باید در باشد ‏L دو( ‏a ) خطیaL حل:الف)اگر بخواهد یک عملگر  ( )83-2و ( )84-2صدق کند یعنی باید ‏L (  ) L  L و 2 1 2 1 3 کنیمL1 ( a )  x 3 می( a بررسی(  ‏x ))  اولین نخست) ( x باشدaL.1 ‏ ‏axرا شرط )) L1 ( 1  2 )  x 3 ( 1 ( x )  2 ( x که برقرار است اما برای دومین شرط داریم 3 ‏ x  1 ( x )  x 3 2 ( x )  L1 1  L1 2 216 ‏L و دومین شرط نیز برقرار است .لذا می گوییم یک عملگر ادامه مثال 32-2صفحه113کتاب: ب)از اولین شرط داریم ‏d ‏d ( a ( x )) ax ‏ ( x ) aL2 ‏dx ‏dx ‏L2 ( a )  x که برقرار است .اما برای دومین شرط داریم ‏d ‏L2 ( 1  2 )  x )) ( 1 ( x )  2 ( x ‏dx ‏d ‏d ‏x ‏ 1 ( x)  x ‏ 2 ( x ) L2 1  L2 2 ‏dx ‏dx در نتیجه L2نیز یک عملگر خطی است. ج)از اولین شرط داریم ) L3 ( a )  ( a * * ( x )) a * * ( x ‏a اما در حالت کلی در * a صورتی ‏a باشد .چون خواهدaبود که یک ثابت حقیقی چنین شرطی را برای نداری پس می توان نتیجه گرفت ‏L3 ( a ) :aL 3 ‏L3 217 بنابراین می گوییم یک عملگر خطی نیست. عملگر2 مثال 33-2صفحه114کتاب :نشان دهید k 2 یک عملگر خطی است. 2 L 2  kدر صورتی خطی است که در دو عملگر حل) شرط ( )83-2و ( )84-2صدق کند .نخست اولین شرط را بررسی می کنیم ) L ( a ) (2  k 2 )( a ‏2 ( a )  ak 2 a (2  k 2 ) aL در نتیجه اولین شرط برقرار است .برای دومین شرط داریم ) L ( 1  2 ) (2  k 2 )( 1  2 ‏(2  k 2 ) 1  (2  k 2 ) 2 L 1  L 2 218 مثال 34-2صفحه 115کتاب :یک ذره اتمی در جعبه ای به ‏ کوانتومی این ذره ریز با یالهایaوbوcمحبوس است .در مکانیک معادله شرودینگر زیر صدق توصیف می شود که در تابع موج ‏2 می کند ‏ ‏2  E 2m ‏ که در آن E انرژی وmجرم ذره و ثابت پالنک است .چون ذره در روی شش وجه جعبه مزبور جعبه محبوس است بنابراین باید برابر صفر باشد .این شرط2محدودیت هایی بر ثابت های ‏ جداسازی و در نتیجه بر انرژیEاعمال می کند .کمترین مقدار Eرا 2m به دست آورید. تقسیم2mE 2mE معادله باال 2را بر حل) دو طرف می کنیم2  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 0 2 2 ‏ ‏ 2mE ‏2 219 فرض می کنیم ‏k2  2 2 داریم 2 ‏ ‏ ‏بنابراین   k 2 0باشد. ‏ ‏x 2 ‏y 2 ‏z 2 ادامه مثال 34-2صفحه 115کتاب: روش جداسازی را در معادله باال به کار می بریم تا نتیجه های زیر به دست آیند. ‏d2X ‏d 2Y ‏d 2Z 2 ‏ k XYZ 0 1 d 2Z 2 ‏ ‏ ‏n ‏Z dz 2 2 ‏dz ‏ XY ‏c ‏b ‏a 220 ‏dy 1 d 2Y 2 ‏ ‏ ‏m ‏Y dy 2 نخست Z اولین معادله را حل می کنیم ‏Y 2 ‏X ‏ XZ 2 ‏dx ‏YZ 1 d2X 2 ‏ ‏ ‏l ‏X dx 2 ‏d2X 2 ‏ ‏l ‏X ( x ) 0 2 ‏dx ادامه مثال 34-2صفحه 115کتاب: اگر) X(xبخواهد در معادله باال صدق کند باید به) sin lx صورت ) (cos lx , کند(cos میlx , تغییرsin باشد.با توجه به بازهxکه بین 0تاlx ) a انتخاب ‏ ilx ‏ilx ‏eیا(e , مناسب تر است .از معادالت دیفرانسیل می دانیم اگر یک معادله دیفرانسیل چند پاسخ داشته باشد ،ترکیب خطی آنها نیز پاسخ معادله ‏X ( x)  A sin lx  B cos lx خواهد بود .بنابراین ()2-85 که در آن Aو Bثابت کامًال اختیاری دلخواه هستند .اما می دانیم روی شش وجه جعبه مزبور تابع موج باید برابر صفر باشد .با توجه به شکل ()9-2 فرض می کنیم مبدأ مختصات در یک کنج جعبه مکعب مستطیل قرار ‏X می(0 دست)  ‏به) X (a داشته باشد .در نتیجه شرایط مرزی زیر را برای 0 آوریم )X(x ()2-86 ‏X (0) B 0 از اولین شرط مرزی داریم ‏cos lx یعنی ثابت دلخواه Bباید برابر صفر باشد .چون این ثابت به تابع مربوط می شود و تابع کسینوس یک تابع زوج است ،بنابراین می گوییم شرایط مرزی مسئله تابع زوج را حذف کرده است .از شرط( X دومینa )  ‏A sin la ‏0 مرزی داریم 221 ادامه مثال 34-2صفحه 115کتاب: باید( p 1,2,3,...)la  p بنابراین  اینکه باشد .نتیجه p ‏l  (2-87الف)p 1,2,3,... ‏a پرسش :چراp=0نمی تواند باشد؟همین روش را برای دو معادله دیفرانسیل معمولی دیگر اعمال می کنیم و به نتیجه های زیر می ‏q ‏m ‏q 1,2,3,... رسیم. ‏b (2-87ب) ‏r ‏n ‏r 1,2,3,... ‏c (2-87ج) 2 2 2 2 ‏k l  m  n اما از رابطه ( )79-2داریم 2 2 2 رسیم به ‏)87در 2mE باالp می  رابطه  ‏q رابطه ( -2 سه r با نشاندن  ‏k2  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏2 ‏a ‏b ‏c ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 2 ‏ ‏2   2 ‏q2 ‏r2  ‏ ‏ ‏E  ‏ ‏ ‏c2  ‏ ‏ a2 ‏ و یا ()2-88 بنابراین نتیجه است که اما کمترین باشد2. ‏ ‏ 2 p=q=r=1 مقدارEوقتی1 1  ‏ 1 222 ‏E0  ‏ ‏ ‏ 2 2 می شود2 : 2m ‏a ‏b ‏c ‏ ‏b2 ‏ 2m جداس ازی متغییره ا دردس تگاه مختص ات اس توانه دوار (  ای ) ,  , z 1  2  2 2 باقرار دادن (  )  2 2  2  k  0 هلمهولتزخواهیم داشت     z: ‏  درمعادل1ه )  (  ,  , z ) (  )( )( z ) ( , , z 1 d 2 2 ‏ ‏ ‏m ‏ d 2 ‏d 2Z ‏lZ که با 2 ‏dz قرار دادن درمعادله هلمهولتزوتقسیم آن بر ‏d ‏d آوریم (  )  (n 2  2 : ‏ m 2 )  به دست 0 می ‏d d ()2 223 ()1 درح الت کلی پاس خ ه ای مع ادالت ص فحه قب ل (elz , e  lz ) (sinh ) lz , cosh lz عبارتنداز: ) (eim , e  im ) (cos m , sin m معادله(()mn1 ) :برای یا ‏ l ,m,n یا ‏ l ,m ,n mn (  ) ) ( )  ( z :برای lمعادله()2m ‏ وبرای معادله( n l:, m),3توابع بسل که به صورت شوند  almn mn (  ) m. می ( ) l بیان ) ( z ‏almn درنتیجه جواب ‏n, m, l 224 وجواب کل که ترکیب خطی ‏lmn عبارت است : ‏k 2 n 2  l 2 مثال ()35-2صفحه 119کتاب :کاواک دواری به شعاع قاعده aدر نظر بگیرید که دیواره آن کامًال رسانا باشد .امواج الکترومغناطیس ‏i t eزمانی در چنین کاواکی منتشر می شوند .اگر فرض کنیم وابستگی باشد ،آنگاه از معادالت میدان مغناطیسی به صورت 2 ‏E   0  0 E ماکسول نتیجه می شود (.E )02-104 ‏Ez میدان الکتریکی ،در با شرط مؤلفهz2 کهE z   2 دهیدE z نشان 0 ‏E z (  a ) 0 معادله ‏ 2  2  0 0 صدق می کند ،که در آن آن را حل کنید. حل :با توجه به اتحاد زیر ‏(V ) .V  .V معادله ( )104-2را ساده می کنیم ‏.E 0 اما می دانیم 225 است .با شرایط مرزی ‏.E  .E  2 0  0 E ‏ E    0  0 E 2 است ،در نتیجه 2 ‏ E   E 0 2 2 ادامه مثال ()35-2صفحه 119کتاب: اما می دانیم2 V z 2Vz پس داریم ()2-105 ‏2 E z   2 E z 0 البته با شرط 0 E z (  a ) و با استفاده از معادله (-2 مرزی ،)90معادله ( )105-2به صورت زیر در می آید 1  ‏E z 1 2 Ez ‏2 Ez 2 ( ) 2 ‏ ‏ ‏ (E z 0 )2-106 2 2 ‏  ‏ ‏   ‏z اکنون فرض می کنیم ()2-107 ) E z (  ,  , z ) P (  ) ( ) Z ( z ‏z داریم تقسیمEآن بر با نشاندن ( )107-2در ( )106-2و 1 d ‏dP 1 d 2 1 d 2Z ( ) 2 ‏ ‏  2 0 2 2 ‏P d ‏d ‏  d ‏Z dz اکنون عبارت وابسته به مختصه zرا k 2 برابر با 226 می گیریم 2 1 d Z ‏ k 2 2 ‏Z dz ادامه مثال ()35-2صفحه 119کتاب: توجه داریم پاسخ های معادله باال برای حالت موبر به e صورت ‏sin به kz , ‏cos و برای مسئله هایی باzمحدود مانند kz صورت کاواک ‏ خواهد بود 2 a 2  k 2. ‏ m2 2 1 d را  جدا و باشد و جمله مربوط 2به فرض می کنیم ‏ ‏ ‏m ‏ d 2 برابر با می گیریم ( ( ) )2-109 ] [e  im , e  im ] [sin m , cos m یا صورت نیز به که پاسخ هایی ‏ dPآید d  2 ) Pبه وابسته(به زیردر می   ‏ صورت( 2 ‏2  m است .سرانجام معادله ) 0 ‏d  d  ‏ikz معادله باال ،معادله بسل است و در مورد پاسخ های این معادله و ادامه این مثال در فصل مربوط به توابع بسل به تفصیل بحث خواهد شد. 227 را در الپالس ‏2 مثال ()36-2صفحه 121کتاب :معادله 0 است حل کنید. وقتیکه مختصات استوانه( ای  ) حل) می دانیم 2 2 1  ‏ 1  ‏ ‏2  ( ) 2 ‏ ‏0 2 2 ‏  ‏ ‏  ‏z اما چون)   ( است ،بنابراین جمله اول معادله باقی می ماند. یعنی داریم 1 d ‏d ) 0 ‏ دو سمت معادله باال را در ‏d ( ‏ d نتیجه زیرd ‏d رسیم به (  ضرب می کنیم و می) 0 ‏d ‏d بنابراین عبارت داخل پرانتز باید برابر با مقدار ثابتی باشد ،این مقدار ‏d ثابت را kمی گیریم ‏ ‏k ‏d توان به(  می) k را ln باال  228در نتیجه پاسخ معادله دیفرانسیل مرتبه اول a صورت زیر نوشت ادامه مثال ()36-2صفحه 121کتاب: که aیک ثابت اختیاری دیگر است .اما با توجه به شرط مرزی داریم ‏ (  0 ) 0 بنابراین  را در معادله ( )111-2می نشانیم و حاصل را 0 برابر صفر می گیریم و می رسیم به ‏k ln  0  a 0 در نتیجه داریم ‏a  k ln  0 با نشاندن مقدار aدر رابطه ( )111-2پاسخ به دست می آید ‏   ‏ ‏ (  ) k ln   k ln  0 k (ln   ln  0 ) k ln  ‏ 0  229 2 مثال ()37-2صفحه 122کتاب :نشان دهید اگر در معادلهkهلمهولتز ثابت نباشد بلکهبرابر)باh(  باشد ،هنوز این تابعی از چون معادله را می توان در دستگاه مختصات استوانه ای دوار جداسازی کرد. 2 مختصات  ‏ ‏  1 ‏ حل) معادله 2 نویسیم می ای استوانه در را هلمهولتز 2 1دوار 2 ‏  ‏  2 ‏ k   ‏ ‏ h(  ) 0 2 2 ‏       ‏z کنیم ‏ (  ,  , z ) P (  ) ( ) Z اکنون مانند متن درس فرض می) ( z ‏Z d  dP  PZ هلمهولتزd 2 ‏ و با نشاندن آن در  2 Z داریم معادله ‏  ‏  2 ‏ P ‏ h(  ) PZ 0 2 2 ‏ d  d   d ‏z 230 ‏ 1 d ‏dP کنیم 1 ‏d 2 دو سمت معادله را بر1 d 2 Z می تقسیم ( ) 2 ‏ ‏ h(  ) 0 2 2 ‏P d ‏d ‏  d ‏Z dz 2 1 ‏d ‏Z 2 ‏  2 2 ‏Z ‏dz 1 d Z 2 می را برابر با و عبارت گیریم  ‏Z dz 2 ادامه مثال ()37-2صفحه 122کتاب: و به نتیجه زیر می رسیم 1 d ‏dP 1 d 2 2 ( ) 2 ‏ ‏ ‏ h(  ) 0 2 ‏P d ‏d ‏  d اکنون معادله باال را  ضرب می کنیم و نتیجه را به صورت دو جمله در در می  آوریم که یکی تابع و دیگری تابع باشد 2 ‏ 1 2  ‏ d ‏dP 2 2 ( )  [ h (  )   ]   ‏0 2  ‏P d ‏d ‏    2 سومین جمله را که فقط  می گیریم برابر با است تابعی از ‏ m 1 2 ‏ m 2 2 ‏  سرانجام داریم ‏ d ‏dP ( )  [ h(  )   2 ] 2  m 2 0 ‏P d ‏d 231بنابراین معادله اصلی به سه معادله دیفرانسیل معمولی جداسازی شده است. جداس ازی متغیره ا در دس تگاه مختص ات قط بی کروی  (r , ) , معادله 1 1در   ‏ ‏ 1 باقراردادن 2 ‏ 2 ( ) ‏ (sin ‏ ) ‏ ‏ ‏k ‏ 0 2 2 2 2 2 ‏r r r ‏r sin   دست  به r sin هلمهولتز  ‏ میآوریم : )  (r , ,  ) R(r )( )( ‏ ‏ ‏d 2 2 ‏ ‏m ‏ 0 )  ( 2 ‏d ) ( درمعادله هلمهولتز وتقسیم باقرار دادن 2 1 d ‏d ‏m (sin  )  (n 2  ) 0 2 : داشت خواهیم ‏sin  d ‏d طرفین معادله بر sin  ‏l معادلهn 2 l (l  1 ) دیفرانسیل 232 که جواب های ) ( را به دست می رویR(r ) بس ل) ب رای ی افتن معادل ه ش عاعی(معادل ه ک جواب های ‏k2  1 d ‏n2 2 dR 2 (r )  ( k  : 2 ) R 0 ‏r 2 dr ‏dr ‏r ،جواب های آن که به ازای،ثابت مثبت ‏  anm Rn (r ) کروی(  ) m توابع بسل )  خواهند( nm بود. ‏n,m کلیk 2  f پاسخ ) ( r معادله هملهولتز درمختصات کروی : در صورتی ک ه 2 2 باشد،معادله ‏d 2 dR )  ( f ( r ) r  n ) R 0 (r drحل dr نمود هلمهولتز را م توان باروش جداسازی وبه جای معادله کروی بسل به معادله همبسته 233 الگر می رسیم. 2 هلمهولتزk معادله f ( r ) مثال ()38-2صفحه 125کتاب:نشان دهید اگر در باشد باز هم آن معادله را می توان در دستگاه مختصات قطبی کروی جداسازی کرد. حل) معادله هلمهولتز را به صورت زیر می نویسیم 1   1 ‏ ‏ 1 ‏ 2 ( ) 2 (sin  ) 2 ‏ f (r ) 0 2 2 2 ‏r r r ‏r sin   ‏ ‏r sin   و فرض می کنیم )  ( r ,  ,  ) R ( r )( ) ( و با نشاندن آن در معادله دیفرانسیل باال و تقسیم هر عبارت بر 1 d 2 dR 1 ‏d ‏d 1 داریم d 2  (r ) (sin  ) ‏ f (r ) 0 2 2 2 2 2 ‏r R dr ‏dr ‏r sin  d ‏d ‏r sin  d ‏r 2 sin 2  ‏sinمی نتیجه زیر از رسیم sin 2  d dبه d در 1 باالd 2 ضرب معادله  2 dR 2 2 (r ) (sin  ) ‏ f (r )r sin  0 2 ‏R dr ‏dr ‏ d ‏d ‏ d 234 ادامه مثال ()382-2صفحه 125کتاب: 1 d را به سمت دیگر معادله می بریم عبارت اکنون 2 ‏ d 1 d 2  sin 2  d 2 dR ‏sin  d ‏d 2 2 ‏ ‏ ( ‏r ) ‏ (sin ‏ ) ‏ ‏f ( ‏r ) ‏r ‏sin ‏ 2 ‏ d ‏R dr ‏dr ‏ d ‏d مالحظه می شود که سمت چپ معادله  ‏r باال تابعی از و سمت راست آن تابعی از و است .چون این  r ‏ معادلهباید به ازای همه مقادیر و و برقرار باشد ،بنابراین هر m 2 سمت آن باید برابر با مقدار ثابتی چون باشد .از2جمله 1 d 2  ‏ m 2 ‏ d ‏sin 2  d 2 dR ‏sin  d ‏d بنابراین (r ) (sin  )  f (r )r 2 sin 2   m 2 0 ‏R dr ‏dr ‏ d ‏d 2 جزئیsin اکنون این معادله دیفرانسیل  را به صورت دو معادله معادله باال معمولی 2می نویسیم. ‏dRرا 2بر 1 d ‏dبرای این dعمل 1 دیفرانسیل m 2 (r ) (sin  می کنیم)  f (r )r  ‏ 0 2 تقسیم ‏R dr ‏dr ‏ sin  d ‏d ‏sin  235 ادامه مثال ()38-2صفحه 125کتاب: دو عبارت مربوط به را به سمت دیگر معادله می بریم 1 ‏d ‏d ‏m2 1 d 2 dR 2 ‏ (sin  ) ‏ ( ‏r ) ‏ ‏f ( ‏r ) ‏r ‏ sin  d ‏d ‏sin 2  R dr ‏dr بار دیگر بنابر همان استدالل قبلی هر سمت معادله باال را برابر با 2 مقدار nثابتی چون می گیریم 1 d ‏d  2 ‏m2  ‏  0 (sin  )   n  2 ‏sin  d ‏d ‏sin   ‏ و نیز 1 d 2 dR (r )  f ( r ) r 2  n 2 0 ‏R dr ‏dr که این معادله را می توان به صورت زیر درآورد ()2-126 236 ‏d 2 dR (r )  f ( r ) r 2  n 2 R 0 ‏dr ‏dr ‏ ‏ ادامه مثال ()38-2صفحه 125کتاب: ‏k  توانf (r ) برای حتی چنانکه مالحظه می شود معادله هلمهولتز را می 2 ‏ جداسازیkبا حالت جداسازی کرد ،اما تفاوت این ،تنها در شکل دو معادله ( )2-124و ( )2-126است. ثابت معادله ( )2-126را معادله همبسته الگر می نامند (در فصل توابع خاص در مورد این معادله مفصل بحث خواهد شد) و در مسئله اتم حل معادله موج شرودینگر ظاهر می شود .توجه هیدروژن fازk 2  ) (r به طور گسترده در مسایل فیزیک به کار داریم شرط 2 رود( fو k  می ) r روش جداسازی متغییرها در مختصات قطبی کروی در درنظریه های آن بسیار کارساز است ،زیرا شرط گرانش ،الکترواستاتیک ،فیزیک هسته ای ،و غیره برقرار است. 2 237 2 الپالس مثال ()39-2صفحه 126کتاب:معادله  0 حالتی  را برای)  (r باشد در مختصات قطبی کروی حل کنید. که ) نشاندن   (rدر معادله الپالس داریم: حل) با 1 d 2 d (r ) 0 ‏r 2 dr ‏dr دو سمت معادله باال r 2 را در ضرب می کنیم ‏d 2 d (r ) 0 ()2-127 ‏dr ‏dr بنابراین باید عبارت داخل پرانتز را در معادله ( )127-2برابر با ‏d مقدار ثابتی چون aباشد ‏r2 ‏a ‏dr و یا ‏d ‏a ‏ 2 ‏dr ‏r ()2-128 که پاسخ معادله ( )128-2به صورت زیر خواهد بود 238 ()2-129 ‏a ‏b ‏r ‏ (r )  ادامه مثال ()39-2صفحه 126کتاب:که در آن aو bدو مقدار ثابتی می توان یکی از آن دو را بر شرط مرزی هستند و از(r0 ) 0 حسب دیگری به دست آورد ‏a ‏ (r0 )   b 0 ‏r0 ‏a ‏r0 یعنی ()2-130 میرسیم به با نشاندن ( )130-2در ( -2 1)129سرانجام1 ()2-131 ‏ ‏r ‏ ‏ ( r ) a  ‏ r0 که مقدار aرا می توان از شرایط اولین مسئله تعیین کرد. 239 ‏b الف)معادله رسانش گرما یا پخش نوترون این معادله به صورت زیر است ‏ ‏ ) u ( r , t ) c 22u ( r , t ‏t ممکن اس ت دم c 2 ای م اده همگن باش د ‏ ‏ ‏u ( ‏r ), t ‏ ‏ دراین صورت ‏c2  ‏ ‏u ( ‏r ) , tبرابر است با رسانای گرمایی و ‏ ‏ ‏u ( ‏r , ‏t ) ‏ ‏u ( ‏r ) )T (t ‏u است. چگالی جسم ‏ ‏ گرمایی می نامندکه راثابت که c 2 درآن گرمای ویژه و ‏u ممکن است شار ذرات در درون یک ماده همگن باشد که در این صورت 240 پخش می نامند. را ثابت معادله هلمهولتز : ‏ ‏ ‏2u ( r )  k 2u ( r ) 0 ) d 2T (t )  c 2 k 2T (t 2 ‏dt 2 2 ‏c k )t توان به می ) T (t که( e  آسانی با انتگرال گیری تابع رایافت. ‏ 2u ‏c 22u 2 ‏t ب) معادله موج ‏ ‏u ( ‏r ) , tاین معادله به صورت زیر است ‏T ‏ ) u (r , t ‏ ‏c2  ‏T ‏ ممکن است بیانگر جابه جایی از ‏ ‏ ‏H E تعادل سیم یا غشا یا ماده ارتعاشی باشد در 241 این صورت خواهد بود که  ‏ ) u ( r , t ) u ( r )T (t ‏u ‏u باقراردادن ‏ ‏ 2 بر درمعادله اصلی و تقسیم ‏ معادلهu طرفین( r )  k 2 ‏u ( r ) 0 ) d 2T (t 2 2 ‏ ‏c ‏k T (t ) 0 داشت: خواهیم 2 ‏dt معادله هلمهولتز: ‏ e ickt , e  ickt  آن به صورت زیر است: یا 242 ‏T (t ) sin ckt , cos ckt  که پاسخ مثال ()40-2صفحه 130کتاب(سوال4تشریحی نیمسال :)85-84اگر سیم کشسانی به طولLکه دو سر آن ثابت است ،به ارتعاش درآید به طوری که )u(x,tانحراف سیم از وضع تعادل در معادله دیفرانسیل (معادله موج یک بعدی) زیر صدق کند ،با روش )  2 u ( x, t دست 2u ( x جداسازی )u(x,tرا به ) , t آورید 2 ‏ ‏c ()2-150 ‏t 2 ‏x 2 آنu (0, زیربا ) t شرط مرزی 0 دوu ( L, t بنابراین)  0 حل) چون دو سر این سیم ثابت است سازگار است ()2-151 مقادیر ‏u ( x, t ) t جمیعu ( x)T به ازای ) (t با استفاده از روش جداسازی ،و با فرض ) d 2T (t ) d 2u ( x 2 معادله زیر ) x یک بعدیT،بهc می( uرسیم 2 و نشاندن آن در معادله موج 2 ‏dt ‏dx ) u ( x)T (t ) 1 d 2T (t ) 1 d 2u ( x 2 ‏c تقسیم می کنیم.در نتیجه دو سمت معادله باال را بر 2 ‏T (t ) dt ‏u ( x) dx 2 243 ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: به این ترتیب متغیرها جدا شده اند و می توان هر سمت را برابر با مقدار ثابتی گرفت .فرض می کنیم ) 1 d 2u ( x ‏ k 2 2 ‏u ( x ) dx ()2-152 و در نتیجه داریم ) 1 d 2T (t 2 2 ‏ ‏ ‏c ‏k ‏T (t ) dt 2 ()2-153 پاسخ های معادله ( )152-2را می توان به صورت زیر نوشت ‏ (, e  ikx )2-154 ‏ikx ‏e یا u ( x ) cos kx, sin kx با توجه به این که دامنه xبین 0تا Lتغییر می کند ،استفاده از صورت اول )u(xمناسب تر است .بنابراین: برای پاسخ های ‏u ( x )  A cos kx  B sin kx ()2-155 اکنون شرایط مرزی ( )151-2را اعمال می کنیم و می دانیم u(0)=0 244است .با نشاندن آن در معادله ( )155-2داریم u (0)  A 0 ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: یعنی به طور کلی پاسخ cos kxحذف می شود.چون کسینوس تابع زوج است می گوییم پاسخ زوج معادله مزبور حذف شده است. سپس شرط مرزی بعدی u(L)=0را اعمال می کنیم ‏u ( L )  B sin kL 0 ()2-156 چون B 0است (چرا؟) ،بنابراین ‏sin kL 0 از یعنی kLباید برابر مضرب درستی ()2-157 ‏n 1,2,... باشد .پس نتیجه می گیریم ‏n ‏L ‏k  ‏kL n لذا پاسخ ) u(xرا به صورت زیر می نویسیم (n 1,2,3,... )2-158 245 ‏ n ‏ ‏u n ( x )  B sin  ‏x ‏ L ‏ اکنون در مورد حل معادله ( )153-2بحث می کنیم .در این معادله مقدار K را ازرابطه ( )157-2می نشانیم تا نتیجه زیر به دست آید ) d 2T (t 2 ‏ nT (t ) 0 2 ‏dt ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: که در آن ،فرض این است که cn ()2-160 ‏n  ‏L پاسخ های معادله ( )159-2مانند ( )154-2یا به صورت توابع نمایی و یا به صورت توابع سینوسی و کسینوسی خواهد بود .در اینجا توابع نمایی آنها را انتخاب می کنیم )(2-161 ‏Tn (t ) C n e in t  Dn e  in t سرانجام چون ) u(x,t)=u(x)T(tاست ،بنابراین نتیجه می شود ‏n ‏x ‏L , En  AnCn ‏ ‏ ‏u n ( x, t )  E n e in t  Fn e  in t sin ‏Fn  An Dn ) un ( x, t مقدارهای ثابت را می که در آن است .این cn ‏n  داریم که توان از شرایط اولیه هر مسئله تعیین کرد .توجه ‏L در معادله دیفرانسیل (,... )150-2 میکند .بنابراین این توابع را ویژه صدق1 , 2 را ویژه مقدارهای سیم ارتعاشی و تابع ها و مقدارهای را طیف این سیم می نامند. 246نیز مجموعه ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: ‏n=3 ‏n=2 شکل10-2مدهای بهنجار سیم ارتعاشی وگره های آن 247 ‏n=1 ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: ‏n ‏cn مالحظه می شود کهuهر بیانگر یک حرکت هماهنگ با  ‏n بسامد 2 2L است .این حرکت را مد بهنجار nام سیم می نامند .و اولین مد بهنجار( )n=1را مد پایه و مدهای بعدی را تن های فرعی می گویند. ‏L L ‏L ‏n ‏x ‏ , ,..., ‏sin ‏x 0 ‏n 2n چون به ازای( n  1) L می شود، عبارت L بنابراین نتیجه می گیریم که مد بهنجار nام به غیر از دو سر سیم تعداد (n- )1گره دارد .گره نقطه ای در روی سیم است که هیچ حرکتی نداشته باشد(رک ) , t شکل.)10u-n2( x ها در معادله ( )150-2صدق می کنند بنابراین سرانجام چون صادق است .پس  ترکیب خطی آنها نیز در معادله مزبور  ‏n ‏sin ‏x ‏L ‏ 248 ‏ i n t ‏ Fn e ‏i n t ‏ ‏u ( x, t )  U n ( x, t )  En e ‏n 1 ‏n 1  کدام یک از عملگرهای زیر خطی:کتاب درسی134صفحه1-5-2تمرین هستند؟ L1 ( x) e ( x ) :الف  d  L2 ( x)   ( x)  a :ب  dx  x L3 ( x)  dx( ( x) x)  :ج L1 ( a 1 ( x )  b 2 ( x )) e a 1 ( x )  b  2 ( x ) نیست زیرا خطی:الف:حل a ( x ) b  ( x ) e 1 e 2 ae 1 ( x )  be 2 ( x ) aL1 1 ( x )  bL1 2 ( x ) L2 ( 1 ( x )   2 ( x ))   d ( 1 ( x )   2 ( x ))  a خطی نیست زیرا:ب dx d d  1 ( x)   2 ( x )  a  dx dx 249 :کتاب درسی134صفحه1-5-2ادامه تمرین d d  1 ( x )  a   2 ( x )  a L2 1 ( x )   L2 2 ( x ) dx dx خطی است زیرا:ج x L3 ( 1 ( x)   2 ( x))  dx(a 1 ( x)   2 ( x)) x   x x   a  dx(a 1 ( x) x)   dx( 2 ( x) x) L3 1 ( x)   L3 2 ( x) 250  نشان دهید: کتاب درسی134 صفحه2-5-2تمرین 1 1   2 ( r ,  ,  )   k 2  f ( r )  2 g ( )  2 h (  )  (r ,  ,  ) 0 2  r r sin    2 مقدار ثابتی است در مختصات قطبی کروی جداسازی میk که در آن .شود   (r ,  ,  ) R بر درمعادله وتقسیم d  2 dR 1 وجاگذاری d  d  :حل 1 r 2 r R dr    sin   2 dr  r sin  d  d  1 d 2 g ( ) h( ) 2   k  f (r )   2 0 2 2 2 2 2 r sin  d r r sin   ،مستقل شود ضرب می کنیم تا r 2 sin 2  طرفین معادله را در sin 2  d  2 dR  sin  d  d  :پس داریم r  sin      R dr  dr   d  d  1 d 2 2 2 2 2   r sin  ( k  f ( r ))  g (  ) sin   h( ) 0 2  d 251 :  : کتاب درسی134 صفحه2-5-2ادامه تمرین تابعی از  1 d 2 2   h (  )  L  d 2 مربوط بهتقسیم می کنیم تا عبارت sin  وسپس معادله رابر 1 d  2 dR  1 d  جداسازی شود d   r  sin      R dr  dr   sin  d  d  L2 2 2   r ( k  f ( r ))  g ( )  2 sin  1 d  d  L2   g ( ) n 2 : تابعی از  sin   sin  d  d  sin  r :داریم تابعی از وبا جایگذاری درمعادله قبل 1 d  2 dR  2 2 2  r   r ( k  f ( r ))  n 0 R dr  dr  252 تمرین5-5-2صفحه 135کتاب درسی :نشان دهید معادله هلمهولتز در دستگاه مختصات استوانه سهموی ()u,v,zجداسازی می شود و سه معادله دیفرانسیل معمولی را به دست آورید. حل: ‏2  k 2 0 درسیستم استوانه ای سهموی داریم: ‏ UVZ ‏ وطرفین رابر ‏  2 1 ‏ 2   2 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏k ‏ 0 2 2  2 2  2 ‏u  v  u ‏v  ‏z تقسیم می کنیم ‏VZ ‏ 2U ‏UZ ‏ 2V ‏UV  2 Z 2 ‏ ‏ ‏ ‏k ‏UVZ 0 2 2 2 2 2 2 2 ‏u  v u ‏u  v v ‏z 1 ‏ 2U 1 ‏ 2V 1 2 Z 2 ‏ ‏ ‏ ‏k ‏0 2 2 2 2 2 2 2 ‏U (u  v ) u ‏V (u  v ) v ‏Z z مستقل 253 1 2 Z 2 ‏ ‏ ‏ ‏L ‏Z z 2  L2با: کتاب درسی135 صفحه5-5-2ادامه تمرین جاگذاری طرفین را در :ضرب می کنیم 2 2 1 U 1 V 2 2 2 2   ( L  k )( u  v ) 0 2 2 U u V v 1  2U 1  2V 2 2 2 2 2 2 2 2 2  u ( L  k )   m  V ( L  k )  m  n U u 2 V v 2 u 2  v2 254  کدام یک از معادالت: کتاب درسی135 صفحه6-5-2تمرین دیفرانسیل جزئی زیر را می توان با روش جداسازی به دو یا چند 2 معمولی تبدیل کرد؟ دیفرانسیل  2u معادله 2  u x y 0 :ب 2 2 x y 2 2  x  u :د a2  y  0 x 2 t 2 U  XY :ب:حل x 2  2u  2u x 2Y 2 x yX 2 y y   0 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 2 x y 2 y  0 X x 2 Y y 2 x 2 2 x  L2 2 X x 2 x  2T U  XT a T X 0 2 2 x t 2 a 2 2 x 1  T 2   L  L2 m 2 2 2 X x T t 2 y 2 y  L2 m 2 2 Y y a 2  2 x 1  2T  0 :د 2 2 X x T t 255 تمرین8-5-2صفحه 135کتاب درسی:نخست معادله موج را در مختصات دکارتی دو بعدی xو yجداسازی کنید .سپس غشایی مستطیل شکل به اضالع aو bمطابق شکل زیر در نظر بگیرید که لبه های آن محکم نگه داشته شده باشند و نشان دهید که ‏y بسامدهای این غشا از رابطه زیر به دست می آید ‏b ‏x ‏a 2 2 ‏ n ‏ m ‏   ‏ ‏a ‏ b  که در آن nو mاعداد صحیح مثبت اند. حل: 256 ‏c ‏f nm  2 : کتاب درسی135 صفحه8-5-2ادامه تمرین 2  2u  2u  2u  2u  2 2 2  u  c  u  c    2 2 2 2 2  t t y z   x 2 XYZ 2T XZT  2Y XYT 2 Z  2  YZT  X  0 u  XYZT   c    2 2 2 2 t x y z   :داریم u با تقسیم بر 1  2T 1 2 X 1  2Y 1 2 Z    0 C 2T t 2 X x 2 Y y 2 Z z 2 1 2 X 2   L X x 2 , 1  2Y 2   m Y y 2 , 1 2 Z 2   n Z z 2 1  2T 2 2 2  ( L  m  n ) 0 2 2 C T t 257 کدام یک از عملگرهای زیر خطی اند؟:15 تست x 2    d x (  ( x ) x )  :ب  dn  (x) :د dx n  d   dx  ( x )   a:الف a sin  :ج خطی است اگردرشرایط زیر صدق کندLعملگر:حل 1) L( a ) aL 2) L( 1  2 ) L 1  L 2 حال به بررسی تک تک گزینه ها می پردازیم  d   d  :گزینه الف L1 ( a )  a ( x )   a a  ( x )   a aL1  dx   dx  x x :گزینه ب L2 (a )  dx( a ( x) x) a  dx( ( x) x) aL2  2 2  2 258 :15 ادامه تست L3 (a ) a sin a aL3 :گزینه ج :گزینه د dn dn L4 (a )  n (a ( x)) a n  ( x) aL4 ( x) dx dx dn dn dn L4 ( 1  2 )  n ( 1 ( x)  2 ( x))  n  1 ( x)  n  2 ( x) L4 1  L4 2 dx dx dx 259   (  ) برای حالت   0جواب معادله:16 تست الپالس 2 :دردستگاه استوانه ای عبارت است از c1 :ب    c2   c1 ln   c:الف 2 ٭ :د  c1  2  c1   c2 :ج : شکل کلی عملگر الپالسی به صورت:حل 1    h2 h3     h1h3     h1h2                   h1h2 h3  q1  h1 q1  q2  h2 q2  q3  h3 q3   2  1     1  2  2      2     2 2 z          :برای دستگاه استوانه ای 2 260 :16 ادامه تست 1     1   2 2        (  )      2         2   1  2 (  ) 0   0 2    :درمعادله الپالس قرار می دهیم  M 1 M M M  M   M 0          M  تغییر متغیر: c c  ln( M )  ln   ln c1 ln( 1 )  M  1     c1  ازcانتگرال :    c1 دوطرف   1 ln   c2    261 حیحی 1 d 2  تس ت :17ک دام ی ک ازعب ارات زی ر نمی توان د پاس خ ص 2 ‏ ‏m ‏ d 2 برای معادله دیفرانسیل باشد. ‏ ( )  Ae m  Be  m ‏ ( )  Ae im   Be  im  ب: ٭ الف: ‏ ( )  A sin m  B cos m ج: ‏d 2 2 ‏ ‏m ‏ 0 2 حل:معادله دیفرانسیل d برای سیستم 262 )  ( )  A sin( m   2 ‏d x 2 ‏  x 0 ‏dt 2 د: ‏t ‏i t معادلهx(t )  Ae i مشابه Be  جرم وفنر می باشد که جواب آن تابعی نوسانی یعنیd 2 است  2 ‏im  ‏ im  ‏ ‏m ‏ ‏ 0 ‏ ‏ ( ‏ ) ‏ ‏Ae ‏ ‏Be صورت( )1 به 2 ‏d به طور مشابه برای معادله این مساله داریم: رابطهei cos   ادامه تست :17از i sin  استفاده کرده وجواب رابه صورت دیگری می نویسیم. ‏ ‏ A ‏ ( )  A[cos m  i sin m ]  B[cos m  i sin m ] ( A  B ) cos m ‏ B ) i ( A  B) sin m  Acos m  Bsin m (2 گرفتن B  A cos  , A  همچنین بادرنظر A sin  که مق داری ث ابت اس ت می ت وان ش کل دیگ ری ازج واب را ب ه دس ت ‏ ( )  Acos m  Bsin m  A[sin ] sin m  ‏  cos m cos آورد . ) sin( m  ) ( )  A sin( m   ) (3 هرس ه شکل ()1و()2و()3می توان د ج واب معادل ه دیفرانسیل باش ند 2 ‏d ‏ پاسخ صحیحی باشد چون 2 نمی تواند m وتنها گزینه الف m تابع نوسانی 263 ‏ Be ‏ m  0   ( )  Ae نیست،گزینه الف پاسخ معادله دیفرانسیل زیر است: 2 ‏d فصل سوم : در اين فصل درمورد تانسورها وکاربرد های آن که در شاخه ه ای مختل ف فیزی ک چ ون مکانی ک کالسیک،الکترومغناطیس،نسبیت خاص و غیره به کار می روند . -1بردارهای پادوردا وهموردا راتعریف کنید. -2رتب ه تانس ور رامش خص وب ه خص وص مولف ه ه ای تانس ور پادوردای رتبه دوم وهموردای رتبه دوم تعریف کنید. -3تانسورهای مرتبه صفر،یکم ودوم راتعریف کنید. -4براب ری،جم ع وتفری ق وض رب داخلی وخ ارجی تانس ورها 264 رابنویسید. تانسورها مقدمه و تعریف *در فیزیک گاه با کمیت هایی سروکار داریم کهنه ‏ ‏m , ‏F ‏ ‏m ‏a اسکالرند و نه بردار ،به آنها تانسور می گوییم که در ‏ ‏ ًال ‏mij شوند .مث در می واقع ‏,J  اسکالر و بردار را نیز شاملE رابطه ij ها مؤلفه تانسور جرم و تانسور های آن هستند .در رابطه ها مؤلفه های آن می باشند. رسانندگی محیط و ‏x N ,...., x 2 , x1 ‏i نویسی xو i,قراردادها نماد 265 مجموعه *در فضای Nبعدی، که iدر مؤلفه های مختصات در این فضا می باشند. 2 ) (x شاخص شاخص است نه توان و در صورتی که هم و هم توان را الزم است به کار ببریم ،عدد توان را بیرون پرانتز قرار می دهیم: xi تابعیاز xمختصات دیگر مختصات *اگر باشد و بالعکس داریم: ‏x i  x i ( x1 , x2 ,...., xN ) 1 i  N ‏x  x ( x1 , x 2 ,...., x N ) 1   N است از: *و مشتق این دو رابطه عبارت ‏i 266 1 i N ‏x ‏ ‏ ‏d ‏x ‏ ‏ 1 x 1  N ‏x ‏i ‏ ‏dx ‏x i ‏i 1 ‏N ‏dx i  ‏N ‏ ‏dx *قرارداد جمع اینشتین :اگر شاخصی (به استثنای )N در جمله ای تکرار شود ،عمل جمع روی آن شاخص از قرارداد جمع *روابط قبلی با استفاده از ‏i ‏x ‏i ‏ ‏ ‏dx  ‏d ‏x اینشتین: ‏ 1 ‏ ‏i ‏ ‏N ‏ 1  N ‏x ‏x ‏ ‏i ‏dx  ‏dx ‏x i *شاخص آزاد :در صورتی که در جمله ای ‏i ‏x شاخصی فقط یک بار ظاهر شود ،آن شاخص ‏dx ‏ ‏ ‏ صحیحی بین 1تا Nدارد و به آن معین مقدار ‏dx ‏i j ‏ 1 شاخص آزاد گوییم. هایi  ‏j ‏ مختصات 0از *از آن جا که مؤلفه یکدیگر مستقل اند ،در نتیجه: دلتای که 267 کرونکر می باشد و ‏i ‏j ‏i ‏j ‏i ‏j ‏i ‏j بردارهای پادوردا و هموردا *اگر Ai N ‏xi توابعی از Nمختصه کمیت ‏ ‏ ‏x باشند ،در صورتی آنها را مؤلفه های یک بردار ‏ ‏ ‏A پادوردا می گویند که اگر در دستگاه مختصات گیری و x مؤلفه دارای دیگری چون اندازه  ‏ ‏A  ‏A ‏x باشند در رابطه زیرصدق کنند: های ‏i ‏Ai ‏Ai ‏xi ‏i ‏x ‏x i ‏A  ‏xi ‏ ‏x مختصه *اگر Nکمیت توابعی از x N ‏ ‏Ai  ‏A ‏i باشند ،در صورتی آنها را مؤلفه x یک بردار های ‏i ‏ ‏x استفادهاز هموردا می نامند که با تبدیل  ‏A ‏ ‏Ai ‏x در رابطه مقابل صدق به 268مختصات *مؤلفه های بردار پادوردا با شاخص باال و مؤلفه های بردار هموردا را با شاخص پایین نشان می دهیم. *سرعت و شتاب بردارهای پادوردا و گرادیان (شیب) میدان نرده ای یک بردار همورداست. تانسورهای رتبه دوم ‏ ‏ تانسور های مؤلفه *مجموعه توابع را ‏ ‏ ‏ ‏x ‏ ‏x ‏ij داشته A اگر  ‏A گویند x i پادوردای رتبه دوم می x j ‏ ‏A باشیم: ‏Aij دستگاه تانسورx iدر که مؤلفه هایx j ‏  ‏A ‏Aij ‏ ‏ پریم دار هستند. ‏x x را مؤلفه های تانسور * 269مجموعه توابع i را مؤلفه های مرکب رتبه *مجموعهAتوابع ‏j دوم (تانسور پادوردای رتبه یکم و تانسور ‏ ‏j ‏ ‏ ‏x ‏ ‏x زیر هموردای رتبه یکم) iگوییم اگر در رابطه  ‏ ‏A ‏ ‏Aj ‏ ‏i ‏ ‏x x صدق کند: *تانسور رتبه یکم ،همان بردار است که در حالت کلی N ،مؤلفه دارد. ‏i i .....i ‏p q ‏A ‏N صفرم ،تنها یک مؤلفه دارد که به رتبه *تانسور ‏j j .... j آن تانسور ناوردا ،یا نردار می گوییم. تعریف کلی را تابع *مجموعه 270مؤلفه های یک تانسور پادوردای رتبه pو ‏p 1 2 ‏q 1 2 ادامه: ‏jq ‏p ‏1 ‏x x x ‏x i1i2 ....i p ‏ i1 ... i p ...  q A j1 j2 .... jq ‏1 ‏x ‏x x x ‏j1 ‏1 2 ..... p ‏1 2 .... q ‏A که در) r آن(1 s q)  s (1 r  p و شاخص های آزاد  r هستند sو مقادیری ‏q گیرند چون هر شاخص بین 1تا Nرا میN p می تواند Nمقدار داشته باشد بنابراین و مؤلفه خواهد داشت. تانسور 271 جبر تانسوری برابری تانسور و تانسور صفر ‏i i .....i ‏i i ..... i ‏B ‏A j j .... jو *دو تانسور j j .... j در صورتی برابرند اگر و فقط اگر رتبه های پادوردا و هموردایشان یکسان باشند و هر ‏i i .....i مؤلفه i i ..... i متناظر مؤلفه یکی برابر با دیگریA j j ‏ ‏B .... j ‏j j .... j باشد ،یعنی: ‏p 1 2 ‏p 1 2 ‏q 1 ‏q 1 2 2 ‏p 1 2 ‏p 1 2 ‏q 1 ‏q 1 2 2 ‏Nr تانسوری با رتبه *اگر تمامی مؤلفه های کل rمتحد با صفر باشد ،آن تانسور را تانسور صفر می نامند. * 272دو تانسور هم نوع :اگر دو تانسور رتبه جمع و تفریق تانسورها: *دو تانسور را در صورتی می توان جمع یا تفریق کرد که هم نوع باشند حاصل ،تانسوری با رتبه های یکسان با تانسورهای اصلی است و مؤلفه های آن برابر حاصل جمع و یا حاصل است: تانسور متناظرi iدو مؤلفه های ‏i i ..... ‏i .....i تفریق i i ..... i ‏C j j .... j  A j j .... j  B j j .... j *جمع تانسورها: ‏p 1 2 ‏p 1 2 ‏p 1 2 ‏q 1 ‏q 1 ‏q 1 2 2 2 ‏p تانسورهاD j11 2j2 .... jpq  A j11 2j2 .... jpq : *تفاضل B j11 2j 2 .... ‏jq ‏i i ..... i 273 ‏i i .....i ‏i i .....i ضرب برداری تانسورها *اگر هر مؤلفه تانسور اول را در هر مؤلفه تانسور دیگری ضرب کنیم ،حاصل تانسوری است که رتبه آن برابر با جمع رتبه های دو ضرب تانسور اصلی می باشد .این pعمل ijرا ‏ijp ‏Ckq  A برداری دو تانسور می گویندk Bq . مثال: ‏Bqk , Akij ‏Cqij ضرب نرده ای تانسورها ‏Cqij  Akij Bqk را ضرب نرده ای دو *تانسور گویند هر گاه: تانسور 274 تانسورهای متقارن و پادمتقارن *تانسور متقارن پادوردای رتبه دوم: ‏ji ‏Aij  A تانسور متقارن هموردای رتبه دوم: ‏Aij  A ji *تانسور پادمتقارن پادوردای رتبه دوم: ‏Aij  A ji تانسور پادمتقارن هموردای رتبه دوم: ‏Aij  A ji *تقارن یک تانسور ،ویژگی ذاتی آن است و مستقل از گزینش دستگاه مختصات است. 275 تانسورهای دکارتی و کاربردها *اگر دستگاه مختصات دکارتی راستگردی را حول نقطه Oو محوری دلخواه بچرخانیم استxi aij x: ‏j رابطه تبدیل به صورت زیر ‏aij 2 2 می ai2 هادی a ها ،کسینوس های1 باشندaiو به * ‏i صورت زیر با هم ارتباط دارند 3 *دو رابطه مهم: 276 2 1 ‏aij akj  ik ‏aij aik  jk تانسورهای دکارتی 3r اقلیدسی *تانسورهای دکارتی رتبه rدر فضای مؤلفه است که سه بعدی مجموعه ای از دکارتی، تمایالت طبق ها این مؤلفه مختصاتA1 2 .... ‏ ‏a ‏a ... ‏a ‏A ‏r ‏1i1  2 i2 ‏ r ir i1i2 ...ir تبدیل می یابند: *تانسور همسانگرد :در صورتی که تانسور دکارتی ،مؤلفه هایش تحت چرخش محورها بدون تغییر بماند ،تانسورها همسانگرد است. هر نردار (اسکالر) یک تانسور همسانگرد رتبه صفرم است .زیرا مقدارش در تمام دستگاه 277های مختلف یکسان است ،اما هیچ تانسور کاربردها الف:تنش ،کرنش و قانون هوک *در تنش ها و کرنش های کوچک ،بنابر قانون هوکX ij ، تنش با کرنش متناسبeijاست .اگر مؤلفه های تانسور دکارتی تنش و ‏X ij  کرنشCijkl ‏ekl باشند مؤلفه های تانسور دکارتی داریم34 81 Cijkl : ‏eij که X ij ضرایب مدول eij راS ijkl اند) X ‏kl های مؤلفه ( ‏S ijkl کشسانی می نامند. *وارون رابطه باال ،که رابطه ای خطی بین ) و مؤلفه های 278مؤلفه های کرنش ( *تانسورهای S ijkl ‏Cijkl و دیگرند: ‏eij ،وارون یک ‏Cijkl S ijkl  im jn ‏X ij *تانسورهای کرنش ( متقارن اند: تنشeij) e ji ,(X ‏X) ji وij  ‏Pi  ij E j پیزوالکتریکو پذیررفتاری دی الکتریک ب: ‏X ‏ij الکتریک: پذیررفتاری دی *رابطه ‏E ‏P قطبش میدان الکتریکی و که تانسور پذیررفتاری دی الکتریکی و الکتریک محیط می باشد. مکانیکیPi  * 279در بعضی بلورها به علت تنش d ijk X jk کهd ijk را تانسور ضرایب کرنش پیزوالکتریک می نامند. *قطبش کل یک بلور پیزوالکتریکPi d ijk X: ‏jk   ij E j ج :تانسورهای گشتاور لختی ‏I ij ‏I ij ‏L *i دورانی ،لختی دورانی حرکت درi  I ij تانسور رتبه 2است .برای نمونه که گشتاور لختی جسم است. 280 یک تانسور دیادیک ها   ‏B, A بردار *اگر بین دو ‏ ‏B هیچAعملگری ،نتیجه را دیادیک می نباشد ،یعنی گویند. ˆˆji مهم iˆˆj  است، *ترتیب کمیت مرکب در دیادیک ها به طوری که: *اگر ضرب دیادیکی در هر بردار دلخواهی تعویض پذیر باشد ،آن متقارنlˆ  بایدiˆiˆ  ˆjˆj دیادیکˆ k ˆk باشد. ‏u xx u yy u zz 0 *دیادیک یکه: ‏u xy  u yx , u xz  u zx , u yz u zy * 281اگر Uیک دیادیک پادمتقارن باشد آن گاه: *اگر Uیک دیادیک پادمتقارن و Vیک بردار ‏ ‏ باشد آن گاه: ‏V .U  U .V ‏ ‏ ‏V .U .V 0 282 تانسورها در نسبیت خاص *تبدیالت لورنتس مکان-زمان: 4 ‏x   v xv ‏ 1,2,3,4 ‏v 1 *ناوردایی طول بردار: 4 4 2 ‏ ‏x ‏ ‏x ‏   v 2 ‏v 1 *تبدیل لورنتس یک تبدیل متعامد در فضای مینکوفسکی است: ‏ 1 4 ‏      ‏ ‏ ‏v ‏v ‏1 *بردار ( Aدلخواه) در فضای مینکوفسکی 283دارای چهار مؤلفه است و این بردار چهار  مؤلفه های بردار *تبدیل لورنتس برای A : 4 ‏A   v Av ,  1,2,3,4 ‏v 1 ‏ *تبدیل وارون A : برای چاربردار 4 ‏Av   v A , v 1,2,3,4 ‏ 1 ‏ ‏چهار بعدی: *عملگر شیب (گرادیان) در فضای □(مانند در فضای سه بعدی) ‏ ‏ ‏  v )  grad   (,  ‏x ‏xv ‏x4 ‏v 1 □ 284 4 *واگرایی چهار بعدی چاربردار: □ ‏ ‏ ‏  ‏A4 ‏divA  . A . A  ‏x4 *واگرایی چهاربعدی یک چاربردار ،کمیتی نرده ای در فضای مینکوفسکی است .که به آن ) ( نردار لورنتسی می گویند. *عملگر داالمبری :مانسته الپالسی در فضای مینکوفسکی ،در فضای سه بعدی 2 ‏  1  ‏ ‏ ( ‏ ‏ ) عملگر.   ‏را  داالمبری بعدی چهار الپالسی عملگر ‏x ‏c t ‏ می نامند. 2 2 2 285 □ □ ‏ 2 2 2 2 □ 4 ‏1 ‏ ] J  ( J , ic ) [ J 1 , J 2 , J 3 , ic   پتانسیلA (: ‏A, i *چاربردار ) ‏c پتانسیل برداری و ‏ ‏A ‏ که در پتانسیل نرده ای آن است. *شرط پیمانه ای لورنتس در فضای ‏A . A  ‏0 چهاربعدی: 4 ‏Fv □ iE1  ‏ B2 ‏ ‏c  ‏ ‏iE 2 میدان( *تانسور ‏ شدت B1 ‏ ‏c  ‏iE3  0 ‏ ‏c  ‏ ‏iE3 0  286 ‏c ‏ ‏ 1 x  ‏v ‏ 0 ‏B3 ‏ ‏ ‏ ‏  B3: ) 0 ‏Fv  ‏ B ‏ B1 2 ‏ ‏ iE ‏iE2 1 ‏ ‏c ‏ c :*شکل هموردای معادالت ماکسول  4 F       1 E v (.E  , B  2  0 J )    0 J  0 c t v 1 xv ,  1,2,3,4      Fv F Fv B (.B 0, E     0 t x x xv ,  v  1,2,3,4 287 فصل چهارم : در اين فص ل راج ع ب ه دترمین ان ه ا ،م اتریس ه ا،وکاربرده ای آنها درفیزیک می پردازیم. -1دترمینان راتعریف کنیدوبسط آن رابر حسب نماد لوی –چی ویتا والپالس بنویسید. -2ویژگی های عمومی ومشتق دترمینان رابنویسید. -3دس تگاه مع ادالت خطی باض رایب ث ابت راب ه روش کرامروحذف گاوس وحذف گاوس-جوردن حل کنید. -4ماتریس راتعریف کنید وجبرماتریسی وماتریس های خاص را دانسته وحل کنید. -5 288م اتریس را بتوانی د وارون،قط ری،یاترانه اد س ازیدوردیک دترمینان و ماتریس ها دترمینان ها *دترمینان آرایه ای مربعی از اعداد یا توابع است به صورت: ‏a ‏b c . . . 1 1 1 ‏ ‏ ‏a2 b2 c2 . . . ‏ ‏D ‏ . . . . . . . . ‏ ‏ ‏ an bn cn . . . *مرتبه دترمینان :تعداد سطر یا ستون های یک دترمینان را مرتبه آن دترمینان گویند. ‏D عناصر( ijk ‏ck تشکیل *مقدار دترمینان Dبر ‏ حسب.... ) ai b j ‏i , j ,k 289دهنده آن: b1 ‏c1  سومb2 *مقدار دترمینان مرتبهc2  ‏b3 c3  ‏ a1 : D  a2 ‏ a3 3 3 3 ‏D     ijk ai b j ck ‏i 1 j 1 k 1 که در آن ijk نماد لوی – چی ویتا می باشد به این صورت که برای جایگشت های زوج برابر +1و برای جایگشت های فرد برابر -1و اگر یکی از شاخص ها تکرار شود ،برابر صفر می باشد. بودD a1 (b2 c3: خواهد b3 زیرc2 )  a نهایتa3 *در (b1c2  ) b2 c1 صورت ‏ Dبه 2 (b1c ) 3  b3c1 290 مثال 1-4صفحه 199کتاب درسی :مقدار دترمینان مرتبه سوم زیر را به دست آورید. ‏b1 ‏c1  ‏c2  ‏c3  ‏b2 ‏b3 ‏ a1 ‏D  a2 ‏ a3 حل) با استفاده از تعریف ( )1-4داریم 3 3 3 ‏j 1 k 1 ‏i 1 ‏D     ijk ai b j ck از بسط اولین جمع داریم 3 3 ‏j 1 ‏i 1 ) D   ( ij 1ai b j c1   ij 2 ai b j c2   ij 3 ai b j c3 291 ادامه مثال 1-4صفحه 199کتاب درسی: همین طور اگر دومین جمع را بسط دهیم به نتیجه زیر می رسیم 3 ) D  [( i11 ai b1c1   i12 ai b1c2   i13 ai b1c3 ‏i 1 )  ( i 21 ai b2 c1   i 22 ai b2 c2   i 23 ai b2 c3 ])  ( i 31 ai b3c1   i 32 ai b3c2   i 33 ai b3c3 اما پیش از بسط آخرین جمع ،عبارت های داخل کروشه رابطه دانیم i11 می ‏ i 22 می ‏ i 33 ‏)0 کنیم. ساده باال را با استفاده از رابطه های (3-4 زیرا یک شاخص تکرار شده است .پس نتیجه می گیریم 3 ) D  ( i12 ai b1c2   i13 ai b1c3 ‏i 1 )  ( i 21 ai b2 c1   i 23 ai b2 c3 )  ( i 31 ai b3c1   i 32 ai b3c2 292 :کتاب درسی199 صفحه1-4 ادامه مثال اکنون آخرین جمع را بسط می دهیم D ( 112 a1b1c2   113 a1b1c3 )  ( 121a1b2 c1   123 a1b2 c3 )  ( 131 a1b3c1   132 a1b3c2 )  ( 212 a2b1c2   213 a2b1c3 )  ( 221a2b2 c1   223 a2b2 c3 )  ( 231 a2b3c1   232 a2b3c2 )  ( 312 a3b1c2   313 a3b1c3 )  ( 321 a3b2 c1   323 a3b2 c3 )  ( 331 a3b3c1   332 a3b3c2 ) ) استفاده می کنیم تا به رابطه زیر3-4( بار دیگر از رابطه D a1b2 c3  a1b3c2  a2b3c1  a2b1c3  a3b1c2  a3b2 c1 برسیم )4-4( 293 مثال 2-4صفحه 200کتاب درسی :مقدار دترمینان زیر را محاسبه کنید. 0 1 2 ‏B 3  4 8 5 3 1 داریم a1 0, a2 حل) از مقایسه آن 1با3 ),1a-34( ‏b1 1, b2  4, b3 8 ‏c1 1, c2 3 , c3 5 نوشتB a1b2c3  a1b3c2 توان a2b3c رابطه-a43b(1c استفاده2 cاز اکنون با می1  a 2b1c3)4 2  a3b 1 )B 0  0  (3)(8)(1)  (3)(1)(5)  (1)(1)(3)  (1)(  4)(1 294 ‏0  24  15  3  4 16 بسط الپالس دترمینان *کهاد :دترمینانی را که از حذف هر سطر و یا هر دستM می آید را کهاد می نامند ستون یک دترمینان به ‏ij نشان می دهند شاخص های iو jمربوط به و با عنصر حذف شده واقع در سطر iام و ستون jام است. ‏Cij (  1) i  j M ij *همسازه :برای حذف عنصر ijام از یک دترمینان برای تشکیل کهاد ،همسازه متناظر با آن عبارت است از : الپالس :روشی برای محاسبه مقدار دترمینان ‏b1 c1  *بسط a1 است که نمونه آن را برای یک دترمینان مرتبه 3 ‏D  a2 b2 c2  خواهیم دید .داریم: ‏ a3 b3 c3  ،هنگامی که دترمینان را حول 295ستون اول بسط 3 3 ‏i 1 ‏i 1 ‏D  (  1) i 1 ai M i1  ai Ci1 ‏c1 ‏c2 ‏c1 ‏b1 ‏ a3 ‏c3 ‏b2 ‏c2 ‏b1 ‏ a2 ‏c3 ‏b3 ‏b2 ‏a1 ‏b3 که بسط حول هر سطر و یا ستون دلخواهی می تواند صورت پذیرد و این معادالت برای هر دترمینان مرتبه nام نیز قابل طرح می باشد. 296 a1 ‏b1 ‏A اگر درسیa2: مثال 3-4صفحه 201کتاب b2 باشد، بسط الپالس این دترمینان را نسبت به سطر اول و بار دیگر نسبت به ستون دوم به دست آورید و نشان دهید حاصل هر دو یکی است که برابر با بسط لوی – چی ویتا است. 11 2 میA  ( 1 آن ) ‏a1b به(  1 نسبت)1 راb1a این a1b2 نخست b بسط اول سطر حل) 2  دترمینان 2 1a 2 دهیم ‏A (  1) 2 1 b1a2  (  1) 2  2 b2 a1 a1b2  b1a2 اما از بسط آن نسبت به ستون دوم داریم 2 2 2 است .اما ‏یکی دو[ بسط مالحظه می کنیم که حاصل برایA  ‏ ij ai b هر i ‏ ‏ ‏ ‏j ] 1ai b1   i 2 ai b2 استفاده دترمینان بسط لوی – چی ویتای این از رابطه (i 1 j 1)2-4 ‏i 1 می کنیم ] [ 11 a1b1   12 a1b2 ][ 21 a2b1   22 a2b2 ‏ 21  1 ,  12 1 ,  11  22 0 ‏A a1b2  b1a2 297ولی می دانیم است ،پس 298 ویژگی های عمومی دترمینان *ویژگی پادمتقارن :اگر جای هر دو سطر و یا هر دو ستون دترمینانی را با هم عوض کنیم ،مقدار دترمینان در -1ضرب می شود. *ویژگی ترانهش :اگر جای عناصر یک سطر را با عناصر هم مرتبه یک ستون دترمینان عوض کنیم مقدار دترمینان تغییری نخواهد کرد. *اگر دترمینانی دو سطر یا دو ستون مساوی داشته باشد ،مقدارش برابر صفر است. *اگر تمام عناصر یک سطر یا یک ستون دترمینان را در عددی (مقدار ثابت) ضرب کنیم ،دترمینان در آن مقدار ضرب می شود. *اگر مضربی از یک ستون (یا سطر) را با ستون دیگر (یا سطری دیگر) دترمینانی جمع کنیم،مقدار دترمینان تغییر نمی کند. مثال 6-4صفحه 204کتاب درسی :ثابت کنید 1 1 1 )a b c (a  b)(b  c)(c  a ‏a 2 b2 c2 حل) می دانیم مقدار دترمینان باال یک چند جمله ای مرتبه سوم بر حسبaوbو cاست ،که اگر ، b=c ،a=bو یا c=aباشد ،برابر صفر خواهد بود .بنابراین از قضیه ای در جبر استفاده می کنیم و نتیجه است( با می گیریم مقدار این برابرa  b)(b دترمینان c)(c  )a ‏ که 2 است .با استفاده از تعریف ( )2-4می توان درbcآن یک عدد  1 برابر یک است ،پس نتیجه گرفت که ضریب جمله خواهد بود و مسئله ثابت می شود. 299 مشتق دترمینان *اگر دترمینان Dاز مرتبه nام و عناصر آن توابع ‏d باشند، به x مشتق پذیری نسبت داریمD D(1: ‏ ‏D ‏ ... ‏ ‏D ) )( 2 )(n ‏dx ‏D این است که از تمامی عناصر که منظور) ( jاز سطر jام دترمینان نسبت به xمشتق بگیریم. *مشتق یک دترمینان مرتبه سوم نوعی: ‏f ‏f  g  h ‏g h f g h ‏r  p q r   p q r ‏w u v w u  v w 300 ‏h ‏g ‏q ‏r p ‏q ‏v ‏w ‏v ‏u ‏f ‏d ‏p ‏dx ‏u مثال 7-4صفحه 205کتاب درسی:از دترمینان زیر نسبت به مشتق بگیرید و آن را ساده کنید. 3 ‏x 1 ‏x2 ‏x3 2 x 1 ‏D 1 ‏ 2 ‏x 0 حل) از رابطه ( )10-4داریم 2x 1 0 x 2 x 1 3 x 2 x 1 3 ‏d ‏D  1 2x  1 x3  0 2 3x 2  1 2 x  1 x 3  6 x 5  12 x 2  4 x  5 ‏dx 0 ‏x ‏2 0 ‏x 2 0 1 1 301 کاربرد دترمینان :حل دستگاه معادالت خطی با ضرایب ثابت ‏a11 x در x2 ‏ ... غیرهمگن a1n *معادالت خطی xn d1 بگیرید: نظر مقابل را 1  a12 ‏a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn d 2 ‏an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn d n ‏aij ‏di ها ضرایب ثابتند. ها و که *دترمینان ضرایب دستگاه باال عبارت است از: 302 ‏a1n  ‏ ‏a2 n  ‏  ‏ ‏ann  .... ‏a12 .... ‏a22 ‏ ‏an 2 ‏ a11 ‏ ‏a21 ‏ ‏D ‏  ‏ ‏ an1 *دستور گرامر برای یافتن پاسخ دستگاه معادالت: ‏Dn ‏D1 ‏D2 ‏x1  , x2  ,..., xn  ‏D ‏D ‏D آنD دترمینانی است که از تعویض ستون Kام که در k دترمینانdباd n ,..., به دست می ستون شامل 2 , d1 آید. ‏di ها *برای دستگاه معادالت همگن (که در آن صفرند ).بایستی دترمینان ضرایب صفر باشدD=0 : *دستور کرامر تنها برای دترمینان های کوچک مفید است و برای حل دستگاه های معادالت با ضرایب ثابت با دترمینان ضرایب مرتبه باال از روش حذف گاوس و روش گاوس – جردن استفاده می کنیم. 303 مثال 9-4صفحه 207کتاب درسی :دستگاه معادالت زیر را حل کنید. 2 x1  x2  5 x3  x4 5 ‏x1  x2  3 x3  4 x4  1 3 x1  6 x2  2 x3  x4 8 2 x1  2 x2  2 x3  3 x4 2 کنیم. حساب 5می 2 1 حل) نخست با استفاده از ( )12-4مقدار Dرا 1 ‏ 120 و همین طور ‏ 240 304 ‏ 4 ‏ 3 1 1 1 ‏ 2 6 3 ‏ 3 2 2 2 1 5 1 5 ‏ 4 ‏ 3 1 ‏1 1 ‏ 2 6 8 ‏ 3 2 2 2 ‏D ‏D1  ادامه مثال 9-4صفحه 207کتاب درسی: ‏ 96 5 5 1 2 ‏1 ‏3 1 1 8 ‏ 2 6 3 2 2 2 2 1 ‏0 , D4  5 1 2 ‏1  4 1 1 1 6 6 3 ‏3 2 2 2 1 ‏ 24 , D3  اکنون با استفاده از ( )13-4خواهیم داشت 305 5 2 5 ‏1 3  4 1 1 ‏ 2 8 3 ‏3 2 2 2 ‏D1 ‏x1  2 ‏D ‏D2 1 ‏x2   ‏D 5 ‏D ‏x3  3 0 ‏D ‏D4 4 ‏x4   ‏D 5 ‏D2  306 روش حذف گاوس *دستورالعمل روش حذف گاوس در حل دستگاه معادالت: *گام اول :ضریب اولین مجهول باید در تمام معادالت به یک تبدیل شود. *گام دوم :اولین معادله را به کلیه معادالتی که شامل این مجهول است کم یا اضافه می کنیم( .تا این مجهول در تمامی معادالت دیگر حذف شود). *گام سوم :تکرار گام اول برای دومین مجهول در معادله دوم و سپس انجام گام دوم (همانند مجهول اول) *گام چهارم :گام سوم را تا آخرین مجهول تکرار کرده و پس از به دست آوردن آخرین مجهول ،گام به گام به عقب برگشته ،مجهول های دیگر را به دست می آوریم. الکتریکیi3 , i 2 , i1 زیر مثال 10-4صفحه 209کتاب درسی :در شبکه را پیدا کنید. جریانهای 10 20 ‏q 80V 90V 10 ‏i2 ‏i3 15 ‏p ‏i1 حل) از قانون کیر شهوف و قانون اهم استفاده می کنیم و معادله های زیر را برای گره (pیا )qو حلقه های چپ و راست مدار می نویسیم. 307 ادامه مثال 10-4صفحه 209کتاب درسی: ‏i1  i2  i3 0 گره pیا ()q 10i2  25i3 90حلقه راست 20i1  10i2 80 حلقه چپ فرض می i1 این مقدارها 2 i2 x1 و x3 i3 xو کنیم را در معادله های قبلی می نشانیم تا نتایج زیر به دست آیند. ‏x1  x2  x3 0 10 x2  25 x3 90 20 x1  10 x2 80 گام اول را برمی داریم ‏x1  x2  x3 0 10 x2  25 x3 90 308 ‏x1  0.5 x2 4 ادامه مثال 10-4صفحه 209کتاب درسی :اکنون نوبت گام دوم است ‏x1  x2  x3 0 10 x2  25 x3 90 1.5 x2  x3 4 معادله اول را حفظ و ضریب دومین مجهول را در معادله دوم به داریمx1  x2  x3 بعد تبدیل به یک می کنیم و گام سوم را برمی0 ‏x2  2.5 x3 9 2 8 ‏x3  3 3 ‏x2 از حذف 309 در دو معادله آخر داریم ‏x2  ‏x1  x2  x3 0 ‏x2  2.5 x3 9 9.5 19 ‏ ‏x3  3 3 ادامه مثال 10-4صفحه 209کتاب درسی: بنابراین از معادله x3 به دست می آید آخر با نشاندن x3 مقدار در دومینx2 معادله سرانجام با نشاندنx3 x2 مقدار می آید و 19 ‏2 9 .5 ‏x3  محاسبه می شود ‏x2 9  5 4 در اولین x1 معادله مقدار به دست ‏x1 4  2 2 ‏x1 i1 2 A , x2 i2 4 A, x3 i3 2 A پس نتیجه اینکه توجه داریم که این پاسخها یگانه هستند. 310 روش حذف گاوس -جردن *گام اول و دوم ،مانند روش حذف گاوس است .در گام های بعدی ،هر معادله جدید در حذف یک متغیر از تمام معادله ها به کار می رود نه فقط در معادله بعدی. 311 مثال 11-4صفحه 211کتاب درسی(سوال2تشریحی نیمسال -84 :)85 مثال10-4را به روش گاؤس – جردن حل کنید. ‏x1  x2  x3 0 حل) معادالت قبلی را می نویسیم 10 x2  25 x3 90 20 x1  10 x2 80 است، پس x1  ‏x2  گاؤس x3 گام اول و دوم این روش مانند روش حذف 0 داریم 10 x2  25 x3 90 ‏x2 اکنون ضریب کنیم 312 1.5 x2  x3 4 ‏x1  x2  x3 0 را در معادله های دوم و سوم به یک تبدیل می ‏x2  2.5 x3 9 2 8 ‏x3  3 3 ‏x2  ادامه مثال 11-4صفحه 211کتاب درسی: ، xمعادله های اول و سوم به قرار زیراند حذف پس از 2 ‏x1  3.5 x3 9 ‏x2  2.5 x3 9 ‏x3 ضریب در این مرحله 9.5 19 ‏x3  3 3 را در معادله سوم تبدیل به یک می کنیم ‏ ‏x1  3.5 x3 9 ‏x2  2.5 x3 9 ‏x3 و از حذف در دو معادله دیگر داریم ‏x3 2 313 ‏x3 2 ‏x2 4 ‏x1 2 تمرین 1-2-4صفحه 212کتاب درسی:نشان دهید اگر دترمینانی دو سطر یا دو ستون مساوی داشته باشد مقدارش برابر صفر است. حل: 314 ‏f ‏a 0 ‏f ‏a ‏a a ‏f ‏a ‏a ‏g 0 ‏b ‏g 0 ‏b ‏h b b ‏b ‏b ‏h ‏c ‏h ‏c ‏c c ‏g ‏c ‏c 0 تمرین 2-2-4صفحه 212کتاب درسی :مقدار دترمینان های زیر را به روش بسط لوی – چی ویتا محاسبه کنید. 36 87 11 الف 17 : 91 0 45 0 0 حل:دربسط لوی-چی ویتا داریم: ‏c1 ‏b1 ‏a1 ‏c2 ‏b2 ‏a2 ‏c3 ‏b3 ‏a3 3 3 3 ‏D   ijk ai b j ck a1b2 c3  a1b3c2  a2b3c1  a2b1c3  a3b1c2  a3b2 c1 ‏i 1 j 1 k 1 بنابراین: 315 ‏D (11 9145)  0  0  0  0  0 45045 تمرین 3-2-4صفحه 213کتاب درسی :مقدار دترمینان های زیر را به روش بسط الپالس محاسبه کنید. الف: 0 0 1 0 0 0 0 ‏1 1 0 0 0 0 ‏1 0 0 ج: 0 ‏sin  ‏cos  0 ‏cos  ‏ sin  1 0 0 حل:الف:بسط براساس سطر اول 4 ‏ai M i1  ai Ci1 ‏i 1 ‏1 316 1 0 ‏1 0 0 11 )1 ( 1)(  1) ( 1 0 0 ‏1 0 ‏i 1 )D  (  1 ‏1 1 2 ‏( 1) (1) 0 0 4 ‏i 1 1 0 0 0 0 0 ‏1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 :کتاب درسی213 صفحه3-2-4ادامه تمرین بسط براساس ستون سوم:ج 4 D  (  1) j 1 cos  sin  j 1 a j M 3 j  a j C3 j 0 j 1 0  sin  cos  0 ( 1) 0 4 1 3 3 (1) cos  sin   sin  cos  cos 2   sin 2  1 317 تمرین 4-2-4صفحه 213کتاب درسی :بدون بسط دترمینان ،مقدار دترمینان های زیر را به دست آورید. 1 a bc ب1 b c  a : 1 c a b حل: 1 a bc a 1 a bc 1 b c  a  b (a  b  c) 1 b 1 0 ‏j 2  j3 1 b ca  ‏ 1 c a b c 1 c a b 1 a 1 1 c 1 318 تمرین 5-2-4صفحه 213کتاب درسی :نشان دهید همسازه هر عنصر دترمینان زیر ،خود عنصری از همین دترمینان است. 2 ‏ 3 2 ‏ 3 1 3 2 ‏ 3 1 3 2 ‏ 3 1 ‏ 3 2 3 2 3 1 2 ‏ حل: 1 4 ‏ 3 ‏ 1 3      D Cij ( 1)i  j M ‏ C11 ( 1) 2 M 11  3 ‏ij 2 1 9 9 9 3 ‏ 3 3 2 2 ‏ 3  ( 2  4 )   6   2  D ‏ C12 ( 1) 3 M 12 ( 1) 3 2 1 9 9 9 3 319 3 3 2 :درسی 1 کتاب213 صفحه5-2-4ادامه تمرین :حل 2 4 6 2 4 3 3  C13 ( 1) M 13   (  )    D 2 2 9 9 9 3  3 3 2 2   3  (  2  4 )  6  2  D  C21 ( 1)3 M 21  3 2 1 9 9 9 3  3 3 1 2   3 (  1  4 )  3 1  D  C22 ( 1) 4 M 22  3 2 1 9 9 9 3 3 3 1 2   3  ( 2  4 )   6   2  D  C23 ( 1)5 M 23  3 2 2 9 9 9 3 320  3 3 :کتاب درسی213 صفحه5-2-4ادامه تمرین 2 2 :حل 4  C31 ( 1) M 31 ( 1) 31   3 3 ( 4  2 )  6  2  D 1 2 9 9 9 3  3 3 1 2  3 ( 1)( 2  4 )   6   2  D  C32 ( 1)5 M 32 ( 1) 32 3 2 2 9 9 9 3  3 3  1 2  3 (  1  4 )  3 1  D  C33 ( 1) 6 M 33 ( 1)31 3 2 1 9 9 9 3 3 3  321  ثابت کنید:کتاب درسی214 صفحه6-2-4تمرین a b c c a b (a  b  c)( a  wb  w2 c)( a  w2b  wc ) b c a a b c باتوجه به .است w e i 23 که در آن :سمت چپ:حل c a b a 3  b 3  c 3  3abc b:شود c می a تعریف داده شده عبارت زیر نتیجه 2 2 1 3 w e cos  i sin  i 3 3 2 2 1 3 2 1 1 2 w ( i )  (1  2i 3  3)  (i 3  1) 2 2 4 2 i 23 322 :سمت راست:کتاب درسی214 صفحه6-2-4ادامه تمرین i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 ( a  b  c)( a  b c)( a  b c) 2 2 2 2  4a 2  (i 3  1) 2ab  2ac (i 3  1)    1 2  ( a  b  c)  2ab(i 3  1)  4b  2bc (i 3  1)  4  2    2 ac ( i 3  1 )  2 bc ( i 3  1 )  4 c   1  (a  b  c)( 4a 2  4b 2  4c 2  2ab(  i 3  1  i 3  1) 4  2ac(i 3  1  i 3  1)  2bc(i 3  1  i 3  1)) 1  (a  b  c)( 4a 2  4b 2  4c 2  4ab  4ac  4bc) 4 (a  b  c)( a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc) a 3  b 3  c 3  3abc 323  مشتق دترمینان های زیر را:کتاب درسی214 صفحه8-2-4تمرین . به دست آورده و ساده کنیدXنسبت به x 1 2 :ب 2 3 x x 2 x 1 0 3x  2 x 2 1 1 2 x 1 :حل 0 0 x 1 2 x 1 2 d 2 x 2 x 1 x3  x 2 2 x 1 x3  2 x 2 3x 2  x 2 2 x  1 x 3  dx 0 3x  2 x 2  1 0 3x  2 x 2  1 0 3x  2 x 2  1 0 3 2x (2 x  1)( x 2  1)  x 3 (3x  2)  x(2 x 2  2  (9 x 3  6 x 2 ))  2 x( x 2  1  (6 x  4)  x(4 x 2  2 x  3 x 3 )  x 2 (2 x  6) 2 x 3  x 2  2 x  1  3x 3  2 x 3  2 x 3  2 x  9 x 4  6 x 3  2 x 3  2 x  12 x 2  8 x  4 x 3  2 x 2  3 x 4  2 x 3  6 x 2   12 x 4  9 x 3  21x 2  6 x  1 324  دستگاه معادله های زیر را:کتاب درسی214 صفحه9-2-4تمرین 5 حل  x  y  2 z .کنید    x  3 z 0  2 x  y 1 :الف  :حل 1 1 2 D  1 0 3  (3  2)  2(  3)  11 2 1 0  5 1 2 D1  0 0 3 3(  5  1)  12  x  1 1 1  5 0 2 D2   1 0 3  (3  2)  2(  15)  35  y  2 1 0 1 1  5 D3   1 0 0 2 1 1 D1  12 12   D  11 11  (  1  5))  4  z  D2  35 35   D  11 11 D3  4 4   D  11 11 325 ماتریس ها *ماتریس آرایه ای مربعی یا مستطیلی از اعداد یا توابع است: *در حالت کلی ماتریس ( Aبا mسطر و n عنصر نوشت ستون) به صورت زیر را  کهa11 a .... ‏a 12 1n ‏ ‏ نامند. می ام ‏k ستون و ام ‏j سطر ‏a ‏a .... a )  ( a ‏jk ‏ ‏ ‏ ‏amn  2n 326 22 ‏ ‏am 2 21 ‏A  ‏  ‏ ‏ am1 ‏ann ,..., a22 , a11 *اگر m=nباشد Aرا ماتریس مربعی می نامند و قطر آن که شامل عناصر *زیر ماتریس :ماتریسی که از حذف چند سطر یا ستون ( یا هر دو) ماتریسی مشخص ماتریس[B  زیرb jk ], A [a jk ایجاد می شود را ] گویند. *برابری ماتریس ها :اگر دو ماتریس ‏A باشند jkوB  a هم مرتبه b jk تمامی عناصر متناظر آنها برابر باشند ،آن دو ماتریس برابرند: 327 c  ‏4 0  ‏ a مثال 12-4صفحه 218کتاب درسی : :اگر  A و B  ‏ 3  1 ‏b  a d  c و چنانچه A=Bباشد ،مطلوب است محاسبه.d,c,b,a حل) از تعریف ( )14-4داریم ‏d  c 1  d  1 328 ‏b  a 3  b 7 ‏a 4 c 0 ماتریس B دو[b jk ], A  ها[a jk: *جمع ماتریس ] را تنها در صورتی می توان با هم جمع کرد که هم مرتبه باشند .ماتریس حاصل جمع ،ماتریسی عناصرA  جمعB  C از  عناصرآنa jk کهb jk  است با همان مرتبه c jk متناظر دو ماتریس Aو Bحاصل شده اند: ماتریس *ضرب نرده ای :حاصل درA ‏[n×m ‏a jk ]  هر[cA  ضرب ca ] jk عددی مانند ،cماتریسی است که عناصر آن از ضرب cدر تک تک آنها حاصل شده است: 329 *ماتریس صفر:اگر c=0باشد cA=0 ،که آن را ماتریس صفر می گویند و تمام عناصر آن صفر است. *قرینه ماتریس A (1-) :یعنی – Aرا قرینه Aمی نامند. مطلوب  2.7  1.8    A  0 اگر 0.9 :کتاب درسی220 صفحه14-4 مثال محاسبه است  9  4.5  10   0 A, A, A 9   2.7  1.8     A  0  0 .9    9  4.5    0  0. A  0 0  ) داریم16-4( حل) از تعریف 3  10 A  0 9  10   2  1   5  0  0  0 0  330 *رابطه های زیر برای ماتریس های هم مرتبه صادق اند: *جا به جاییA + B = B + A: *انجمنیW = U + (V + W) + )U + V( : *عضو خنثیA + O = A : ‏A  ‏A قرینهA + (-A) = O: *عضو * *ضرب ماتریسی :ماتریس C = ABحاصل ضرب Aدر Bاست اگر تعداد ستون های ماتریس Aبرابر تعداد ‏n سطرهای ماتریس Bباشد. حاصل Cij برابرaik ضرب)bkj  (حاصلai1b1 j  ماتریسai 2b2 j C... عنصر ijام  ain bnj ‏ ‏k 1 ضرب سطر iام Aدر ستون jام Bاست: 331  4 0 B  و  2 1  1 3  4   AB   2 1  2 4 BA  2  1 3  :درسی  A اگر کتاب221 صفحه16-4 مثال  2 1  .BAوABمطلوب است محاسبه ) داریم18-4( حل) از تعریف 0   10 3     1   10 1  اما 0   1 3   4 12       1  2 1   4 7  AB  کهBAبنابر این مالحظه می شود 332 *خواص ماتریس ها برای عمل ضرب: *ضرب ماتریس ها در حالت BA کلیجاABبه جاپذیر نیست: اگر دو ماتریس جا به جاپذیر باشند کرد[ A, B: استفاده]  AB می توان از نماد کروشه پواسون  BA 0 333 *انجمنیAB (C) = A (BC): *توزیع پذیریA (B + C) = AB + AC: *AO = OA = O *A (-B) = - (AB) = (-A) B *اگر AB = 0باشد ضرورتی ندارد که A = 0یا B = 0و یا ‏A  B C BA = 0باشد. *ضرب تانسوری یا مستقیم :اگر Aماتریس مربعی مرتبه mام و Bماتریس مربعی مرتبه nام باشد، ‏Cik , jl  Aij Bkl ضرب تانسوری آنها به صورت نشان داده می شود C،یک ماتریس )nm) ×mnاست :*ضرب تانسوری برای دو ماتریس مرتبه دوم  a11 A   a21 a12   b11  , B  a22   b21  a11 B a12 B   A  B   a21 B a22 B   a11b11 a11b12 a12b11   a11b21 a11b22 a12b21  a b a21b12 a22b  21 11 a b  21 21 a21b22 a22b21 b12   b22  a12b12   a12b22  a22b12   a22b22  *ضرب تانسوری جا به جاپذیر نیست ولی ویژگی .انجمنی دارد 334  1 2  0  1  B  A ،A B B  و A  اگر:درسی کتاب223 صفحه18-4 مثال 1 0  2 1    .را محاسبه کنید و A نخست B ج) محاسبه می کنیم24-4( را با توجه به رابطه )حل 1( 1)  10  10  11 A  B   2 0  2 ( 1)    2 1  2 0  2 0 2 ( 1)   0  1   2 1 2 0   1 0   10 1( 1) 0 2   11 10    2 0 داریم  0 1   0  2 B  A  11   1( 2)  0 2  11 0  2  2 0  0  1  1 0  B برای A همین طور  12   0   0 1  1( 2)  11   0   12 0 1 0 2 1   11 0 ( 2) 0 1    2 0  1  2  0 2  1 2 0 0   1 0 0  335 n مرتبهnماتریس A اگر:کتاب درسی224 صفحه5-3-4تمرین نشان دهید،باشد det(  A) ( 1) n det A :حل det(  A)   a11  a12 ....  a1n a11 a12 .... a1n  a21  a22 ....  a2 n a21 a22 .... a2 n        an 2  ann an1 an 2 ann a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2 n    an1 an 2 ann  an1 ( 1) 2 a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2 n     an 2  ann  an1 ( 1) n det( A) ( 1)  ... ( 1) n 336  نشان دهید، باشدC=AB اگر:کتاب درسی224 صفحه6-3-4تمرین det C (det A)(det B ) با ماتریس های مقدماتی بهAفرض کنیم تجزیه ماتریس:حل .صورت زیر باشد A E E E ...E 1 2 3 r det AB det( E1 E2 E3 ...Er B ) det E1 det( E2 E3 ...Er B )  det E1 det E2 det E3 ... det Er det B det( E1 E2 ...Er ) det B (det A)(det B ) 337  2 1 1   B  1 0 و 1  1 1 0    1 4  اگر :درسی کتاب225 صفحه9-3-4تمرین  A  وA B محاسبه B  A مطلوب است   1 .3  :حل  2 1 1 8 4 4   0  4 1 0  1 4   0 4 4  B 4B   1 1 0 A  B [aij B ]    2  1 1 6 3 3    B 3B    1 3 0  3 1 0  1 1 0 3 3 0   4  2 8 1  4 1    1 3 1 3   2A  A A    2 6 4 0 0  1  4  1   B  A [bij A]  A 0  A   1 0 0 1  3 3    A A 0    1 1 4 0 0   4  1 3 1 3  338 0 0   ماتریس خاص *ماتریس ترانهاد :ماتریسی که عناصر آن از تبدیل هر سطر به ستون متناظر ماتریس اولیه~ به دست می ‏A آیندA [a jk. ] ماتریس *اگر ماتریس n×mباشد~ a ، ‏a ‏ij ‏ji آن عناصر است و ترانهاد آن ~~ از مرتبه ~ m×n ~~ )( A B ) B A, det( A) det( A عبارتند از: ~ ‏A ‏aij a ji *ماتریس متقارن :اگر ماتریس مربعی Aبا ترانهاده برابر باشد ،آن گاه Aرا ماتریس متقارن اش گویند و عناصر آن عبارتند از : ‏a  a ‏ji 339 ‏ij *ماتریس پادمتقارن :اگر ماتریس مربعی Aبا منفی ترانهاده اش برابر باشد ،آن را ماتریس پادمتقارن *هر ماتریس مربعی دلخواه را می توان به صورت پادمتقارن مجموع یک ماتریس ماتریس 1 متقارن و یک1 ~ ~ ]A  [ A  A]  [ A  A در آورد: 2 2 4 9 ‏  ‏  ‏ 3 7 ‏B   A  0 2  ‏ 2 8 مثال 19-4صفحه 6  226 کتاب  1درسی : :اگر باشد~ ~ ، ~~ درستی رابطه ( )26-4را تحقیق کنید. و ( A B ) B A ()4-26 کنیم حل) نخست ABرا محاسبه 100می 30 ‏ ‏ 6  55  340 بنابراین ‏ 7  ‏  4 8  ‏ 15 15  ‏ 55  9 ‏ 3 2   2 ‏ ‏ 6 ‏4 ‏ ‏AB  0 ‏1 ‏ 4 ‏ 30 ~~ ( A B )  ‏ 100 16 ادامه مثال 19-4صفحه 226کتاب درسی:اما 2 ‏ 8 ~~ در این صورتB A 15  ‏ 55  ~ 3 ‏B  ‏7 برابر خواهد بود با 4 16 1   30 ‏  6   100 ~~ ~~ و در نتیجه( A B ) B A 341 ~  4 0 1 ‏ ‏A  ‏ 9 2 6 0 2 2  4 ‏  8  9 ~~  3 ‏B A  ‏7 *ماتریس سطری :ماتریسی که تنها یک سطر و n نامند: سطری [x ]  می[ x , x ,..., ستون دارد .ماتریس یا بردار ] x ‏n 2 1 ‏i *ماتریس ستونی :اگر ماتریسی فقط یک ستون وn ‏ x1  ستونی نامیده سطر داشته باشد ،ماتریس یا بردار   ‏ x2  می شود: ‏ .  [ x ]   ‏ .  ‏ .  ‏x  ‏ n 342 *ضرب داخلی :اگر ماتریس سطری aدر ماتریس ستونی bضرب شود حاصل یک ماتریس 1×1است آن ضرب نقطه ای به b که یک عدد می باشد و1  ‏ ‏ گویند. (داخلی) aو bمی ‏ b2  ‏n ‏ .  ‏a.b [ a1 , a2 ,..., an ]  ‏  ai bi ‏i 1 ‏ .  ‏ .  ‏b  ‏ n ‏a1b1  a2b2  ..., an bn ] A [a jk ‏a jk 0 k  j 343 *ماتریس قطری :ماتریس مربعی را در صورتی قطری می گویند که تمام عناصر باال و پایین قطراصلی برابر صفر باشد یعنی به ازای جمع باشد. مقادیر که تمام عناصر آن *ماتریس یکه :ماتریسی مربعی ij (دلتای کرونکر) باشند: برابر ‏1 ‏ ‏ 1 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 1 ‏ ‏ 1 [ ij ]  0 ‏ ‏ ‏ 0 ‏ ‏ 0  ‏ ‏ 1 ‏ برای یک ماتریس دلخواه Aداریم: 344 1A a1  A مثال 21-4صفحه 229کتاب درسی :پاؤلی ماتریس های زیر را در نظریه نانسبیتی اسپین الکترون به کار برده است 0  ‏ ‏ 1 ‏1 ‏ 3  ‏0 نشان دهید ‏ i ‏ 0  ‏ 0 ‏ 2  ‏ i 1 ‏ 0 ‏0 ‏ 1  ‏1 الف i2 1: ب i j i k : درآن(i, j , k ) (1,2,3) ( 2,3,1) (3,2 که ),1 ج i j   j i 2 ij 1 : حل:الف:نخست فرض می کنیم i=1باشد ،در این صورت داریم: 345 0 ‏ 1 1 1  1 ‏  0  0 1  0 ‏  0  1 ‏0 ‏ 1 1  ‏1 2 1 ‏  همین طور: کتاب درسی229 صفحه21-4ادامه مثال i=2برای  2 2 0  2 2  i  i  0   0  i  i 1   0  0  2 3 1  3 3  0 0  داشت 1 خواهیم 0 i=3 برای 0 و  1 سرانجام      1  1  0  1  0 1  0  1 1 )i,j,k(=)1و2و3(فرض میکنیم:ب  i  i 0     i 3 0  1 2  1 1  0   0  i 0  2 3  i  i   1)i,j,k0 i (=)  2و3  و01( همینطوربرای      i 1 346 0   0  1  i 0 0  0  i ادامه مثال 21-4صفحه 229کتاب درسی:وسرانجام (=)30 برای (1و2و 0   0 1  )i,j,k ‏1 ‏ 1 ‏  ‏  ‏ i 2 ‏ 3 1  0 ‏ 1 0 ‏ 1  1 ‏0 ‏i j ج:اگر (ب) داریم  i j i k بند j ‏از i ‏ i k باشد ‏ i j   j i  باالi ‏دوi k بنابراین از 0 داریم رابطه جمع ‏k  اما اگرi=jباشد از بند (الف) داریم  i i  i2 1 یا می توان نوشت 347 ‏ i i   i i 21 ‏ i j   j i 2 ij 1 پس در حالت کلی می توان نتیجه گرفت مثال 22-4صفحه 230کتاب  درسی :با استفاده از دهید مثال-4(b ( .a ).( .b) a.b1 نشان  ‏i .()21 ‏a پاؤلی در ) های ‏ i 1  j 2  k 3 که در آن و aو bدو بردار معمولی هستند. ) ( .a ).( .b) ( 1a1   2 a2   3 a3 )( 1b1   2b2   3b3 حل: ‏i ‏i ها توانآنها را با bها عدد هستند ،پس می چون aها iو اما جابجا کرد .لذا با این دستور جمله های دو پرانتز را در هم ضرب می کنیم ( .a ).( .b) a b    a b    a b   3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ‏ a2b1 2 1  a2b2 2 2  a2b3 2 3  ... ‏ a3b1 3 1  a3b2 3 2  a3b3 3 3  ... ,  i2 1,  i j i k بنابراین.bمی اما از ( .a ).( داریم) 1( a1b1  a2b2  a3b3 )  i ( 3 قبلی a1b2 مثال   ) 2 a1b3 توان نوشت: ) i (  i 1a2b3  i 1a2b3 )  i ( 2 a3b1   1a3b2 ) ( a.b)1  i .( a b 348 ردماتریس :مجموعه عناصر قطری هر ماتریس مربعی را ردماتریس می نامند .برای مثال برای یک ‏n ماتریس مربعی Aازمرتبه n×nداریم: ‏A  aii ‏i 1 رد 349 ردحاصل ضرب دوماتریس Aو Bمستقل از ضرب ترتیب آنهااست: ‏A 1 رد( = )BAرد()AB 1 باال 1 یا AA عناصرA ماترییس مثلثی :ماتریس مربعی که A 1 پایین قطر اصلی آن برابر با صفر باشد ،اگرعناصر باالی قطراصلی ماتریس برابر باصفر باشد، ‏Cij ‏1 ماتریس aij ‏ مثلثیCو اگرعناصر پایین قطراصلی برابر پایین ‏ij ‏A صفرباشد ،ماتریس باال مثلثی است. اگر دترمینان Aمساوی صفر باشد ،آن ماتریس را شرط تکین می گویند ،چنین ماتریسی وارون نداردA 0. دارا بودن وارون برای ماتریس:A ‏1 باشند( AB)  1 B  1 A: اگردوماتریسAوBوارون داشته مثال24-4صفحه 233کتاب درسی :نشان دهید که ماتریس مربعیAحداکثر دارای یک وارون است. حل:فرض کنید Cو Bهر دو وارون Aباشند .بنابراین داریم ‏B 1B (CBA) (CAB ) C1 C و در نتیجه ماتریسAحداکثر یک وارون دارد. 350  3 1 مثال25-4صفحه  233 کتاب A  درسی :اگر باشد ،ماتریس وارون آن را به 4  دست  2 آورید. ‏Aنخست حل :از تمرین ( )9-3-4استفاده می کنیم. کنیم ‏12  2 10 و به آسانی به این نتیجه می رسیم که ‏ 0.1 ‏ 0.3  351 ‏ 1  0.4 ‏  3    0 .2 را محاسبه می 1 3 4 2 ‏A  1  4 ‏ ‏ 10   2 ‏1 ‏A مثال26-4صفحه 233کتاب درسی :اگر دو ماتریس Aو ‏Bوارون داشته باشند 1 ، نشان دهیدکه( AB )  1  ‏B 1A تعریف )36-4( حل :نخست فرض می کنیم ، C=ABدر این صورت بنا بهCC 1 1 داریم: و یا ‏AB ( AB )  1 1 ‏A 1 ‏1 ‏1 ‏1 کنیمA  1 AB ( . می) AB ‏ ‏A 1 ‏ ‏A ضرب اکنون دو سمت رابطه باال را در ‏A  1 A 1 چون و یا 352 می توان نوشت 1B ( AB )  1  A  1 ‏B ( AB )  1  A  1 ‏1 ‏B ‏1 ‏B B 1 درسی:  کتاب ادامه مثال26-4صفحه 233 1 ‏1 ‏1 ‏A ‏B ) B ( AB ‏1 ‏B 1( AB )  1  B  1 A  1 در نتیجه می رسیم به ()4-38 353 ( AB )  1  B  1 A  1 4 4 بهAاگر: کتاب درسی234 صفحه27-4مثال زیر قرار ماتریس مربعی  1 0 1 2،باشد     0 1 2 4 A  0 0 2 1    0 0 1 2   A2 0 o  0 0  0  2 Y  1 و .محاسبه کنید را 2 1 1  X  2 2   4  که در آن،باشد X  با استفاده از افرازی  1 .روش  A  . o  . .  .   فرض:حل Yکنید  2 Aو  0 0را .محاسبه می کنیم 5 اکنون 7 .است    1 X   1 X   1 X  XY   0 1 10 14  2       A  AA  2  Y  0 Y  0 Y   0  0 0 5 4  0 0 4 5    354 مثال30-4صفحه 236کتاب درسی :به روش گاؤس – جردن وارون ماتریس زیر را به دست آورید. 1 ‏ 1 4  2 2 1 ‏4 ‏ ‏A  2 ‏1 ‏ حل:در این روش ماتریس یکه 1را هم بعد ماتریس مفروض در نظر می گیریم و آن را به شکل زیر کنار آن قرار می دهیم .در شکل زیر این دو ماتریس با خط چین از هم جدا شده اند. ‏A 1 0 0 ‏ 1 0 0 1 355 ‏ 1 1 2 ‏ 0 1 2 ‏ 0 4 1 ‏4 ‏ ‏A  2 ‏1 ‏ ادامه مثال30-4صفحه 236کتاب درسی :اکنون عملیات یکسانی روی دو ماتریس انجام می دهیم تا ماتریس Aبه ماتریس یکه و ‏1 ‏Aبه ماتریس جدیدی تبدیل شود .ماتریس جدید همان ماتریس1 ‏ak 1 1 خواهد بود .نخست هر یک از سطرها را می0. ضرب 5 عددی0. ‏در 25 0.25 0 0  کنیم تا 1 ‏ شوند. 0 1 0 .5 ‏ 0 0 .5 1 0 ‏ 0 4 1 ‏1 ‏1 ‏ با تفریق سطر اول از سطر دوم و سوم به نتیجه زیر می0.5 0.25 ‏ 0.25 0 0  رسیم  1 ‏ ‏ ‏ 0 0.5 0.25   0.25 0.5 0  ‏ 0 0. 5 3.75   0.25 0 1  ‏ ‏a22 حال عنصر 356 را به قرار زیر به واحد تبدیل می کنیم. 0 ‏ 0.25 0  ‏ ‏  0.5 1 0  ‏  0.25 0 1 0.25 0.5 0 .5 1 3.75 0.5 ‏1 ‏ ‏0 ‏0 ‏ a12 درسی :سپس عنصر ادامه مثال30-4صفحه 236کتاب صفر می رسانیمa12. ‏a22 ‏aو از ضرب برای این کار را به را در32 0.5 نیز انجام می دهیم .در نتیجه کم می کنیم .همین عمل را برای ‏ 0.5 ‏a33 سرانجام 0 ‏ 1 0  ‏ 0.5 1  0  0 0.5  0.5 1 3.5 0 0. 5 0 ‏1 ‏ ‏0 ‏0 ‏ را به واحد تبدیل می کنیم. 0 0 ‏1 ‏ ‏0 ‏0 ‏ 0.5   0.5 0 0  1 0.5  0.5 1 ‏ ‏  0.143 0.286  0 1 0 و مانند گام 23 را به صفر می رسانیم. قبلیa13 aو 0 0. 5   0 . 5 ‏1 0 0  ‏ ‏ ‏ 1 . 071 ‏ 0 . 143 0 1 0 ‏ 0 . 5 ‏ ‏ ‏ ‏0 0 ‏ ‏ 0 . 143 0 . 286 1 0 357 ‏ ‏ ادامه مثال30-4صفحه 236کتاب درسی :نتیجه اینکه 0 ‏ ‏ ‏ 0.143  0.286  ‏ 0 .5 1.071 ‏ 0.143 ‏ 0. 5 ‏ ‏1 ‏A   0.5 ‏ 0 ‏ برای اطمینان از درست بودن نتیجه آن را به شکل زیر امتحان می کنیم. ‏ 0 .5 0   1  0.001 0  ‏ 4 2 1   0.5 ‏ ‏ ‏  ‏ ‏1 ‏AA  2 2 1    0.5 1.071  0.143   0 0.999 0  ‏ 1 1 4  0 ‏ 0.143 0.286   0  0.001 1.001 ‏ ‏ 1 شود که مالحظه می ‏AA است. 358 با خطای قابل قبولی برابر ماتریس یکه  cos   sin    239صفحه1-4-4تمرین Aاگر : کتاب درسی  sin  cos   نشان دهید،باشد  cos n A   sin n n  sin n   cos n  n روی sin(   ) sin  cos   cos  sin اثابت با استقراء:حل :یادآوری cos(   ) cos  cos   sin  sin   cos   sin    cos  2   A   sin  cos    sin   cos 2  sin 2     sin 2 cos 2   sin    cos 2   sin 2    cos    2 sin  cos   2 sin  cos    2 2  cos   sin   359 : کتاب درسی239صفحه1-4-4ادامه تمرین  cos 2  sin 2   cos   sin       A  A A   sin 2 cos 2   sin  cos    cos 2 cos   sin 2 sin   sin  cos 2  sin 2 cos    cos 3     sin 2 cos   sin  cos 2 cos 2 cos   sin 2 sin    sin 3 ,  3 2  cos n A   sin n n  sin 3   cos 3   sin n   cos n  360 ~ تمرین6-4-4صفحه 239کتابAA درسی :نشان دهید ماتریس متقارن است. حل: 361 ~ ~~ ~~ ~ ( AA )  A A  AA یک A ، اگر سه ماتریس: کتاب درسی239صفحه8-4-4تمرین نشان دهید رابطه زیر بین آنان برقرار، دو به دو جابجا شوندC وB .است trace ( ABC ) trace (CBA) :حل  AB BA   AC CA  BC CB     a b c trace (( AB )C ) trace (CAB ) ik i k kl li l trace (CBA)    c jm bmn anj m n j 362  a11 a12  A  کتاب 240صفحه9-4-4تمرین A اگر 0 : درسی  a21 a22  نشان دهید،باشد و 1  a22  a12   A   A   a21 a11  1 .و وارون ماتریس زیر را به دست آورید  cos     sin  AA 1 1  a11   A  a21  a11 a22  a12 a21  A   0   a12   a22   a22    a21 sin    cos   :حل  a11 a22  a12 a21  a11 a12  a11 a12     a12   a21 a22  a22 a21 a11 a22  a12 a21    a11  A     1 0  I  A 1 A a11 a22  a12 a21   0 1   A  0 363  cos  B    sin  : کتاب درسی240صفحه9-4-4ادامه تمرین sin    cos    sin    sin  cos    cos   sin    1   B    2 2 cos   cos   cos   sin   sin  364  در توصیف ذراتی: کتاب درسی241صفحه17-4-4تمرین ماتریس های زیر بکار می روند،با اسپین یک  0 1 0  1  M x   1 0 1 2  0 1 0   0  i 0  1 0 0    1  1  M y   i 0  i Mz  0 0 0  2 2   0 i 0 0 0  1     :نشان دهید L M x  iMدرآن که y L M x  iM y M , L L L , L 2M  z     :د z  راعملگرهای نردبانی می گویند که در مکانیک وL L(دوماتریس .)کوانتومی کاربرد دارند :حل  1 0 0  0 1 0   0 1 0  1 0 0    2    2     ( M z , L ) M z L  L M z   0 0 0   0 0 1    0 0 1   0 0 0   2   0 0 0  2  0 0 0   0 0  1 0 0  1       365 : کتاب درسی241صفحه17-4-4ادامه تمرین  0 1 0 0 0 0   0 1 0  2    2  2    0 0 0   0 0  1   0 0 1  L 2 2 2     0 0 0 0 0 0   0 0 0  0 0 0  0 1 0   0 1 0  0 0 0    4   4       L , L L L  L L   1 0 0   0 0 1    0 0 1   1 0 0   2 2       0 1 0  0 0 0   0 0 0  0 1 0   0 0 0  1 0 0   1 0 0       2 0 1 0   2 0 1 0  2 0 0 0   2 M z  0 0 1  0 0 0  0 0 1        0 1 0 0  i 0   0 1 0    1  i  2   L M x  iM y   1 0 1   i 0  i   0 0 1 2 2 2    0  0 1 0 0 i  0 0 0   366 : کتاب درسی241صفحه17-4-4ادامه تمرین  0 1 0 0  i   1 i   L M x  iM y   1 0 1  i 0 2 2  0 1 0   0 i 0  0 0 0   2   i   1 0 0 2  0  0 1 0   367 ماتریس های متعامد ~ متعامداست Aاگر: ماتریس A ‏A 1 1 است. متعامدبرابر هرماتریس دترمینان ) ( X1, X 2 , X 3 چرخیده ماتریس تبدیل دستگاه ( X 1, X 2, )X 3 ‏ به دستگاه ثابت X 3 به (وقتی که دستگاه چرخیده حول محور اندازه sin  0 زاویه  cos چرخیده صورت پادساعتگرد به ‏x  Ax  A   sin  cos  0 باشد). ‏ 0 0 1 368 مثال32-4صفحه 245کتاب درسی :می دانیم طول بردارr مختصاتx, y, )z ثابت(()x,y,zیا دستگاه چرخیده ثابت و مستقل از دستگاه است .با توجه به این اصل شرط تعامد ( )54-4را به دست آورید. ثابت x3 دستگاه, x2 , x و همین مؤلفه ها حل) اگر مؤلفه های rرا در 1 نشان دهیم ،بین این مؤلفه ها و ، چرخیده با دستگاهx3 x2 را در x1 یعنی  x   x رابطه ( )47-4برقرار است ، ()4-55 ‏ 1  1 ‏ x2   A x2  ‏ x   x  ‏ 3  3 معادله ماتریسی باال را می توان به صورت زیر نوشت 3 ‏xi  aij x j , i 1,2,3 ‏j 1 ()4-56 3 بنابراین اما طول بردار مستقل از دستگاه مختصات است، ‏ x  x 2 ‏i ()4-57 369 3 ‏i 1 2 ‏i ‏i 1 ادامه مثال32-4صفحه 245کتاب درسی :با نشاندن باال،نتیجه زیر به دست 3می آید رابطه ( )56-4درمعادله 3 3 3 2 ‏x )  i  ( aij x j )(  aik xk ‏k 1 ‏j 1 ‏i 1 ‏i 1 3 3 3 )   x j xk (  aij aik ‏j 1 k 1 ‏i 1 درنتیجه ،رابطه()57-4در صورتی برقرار است که فقط رابطه زیر 3 برقرار باشد. ()4-57 ‏ jk ‏a a ‏ik ‏ij ‏i 1 و این همان شرط تعامد است که روی سطر جمع بسته می شد. استفاده کنیم ،داریم اما اگر از رابطه ( )47-4برای تبدیل  دوxدستگاه x ()4-59 370 ‏ 1 ‏ 1 ‏  ~  ‏ x2   A  x2  ‏x  ‏ x  ‏ 3 ‏ 3 ادامه مثال32-4صفحه 245کتاب درسی :معادله 3 ماتریسی باال معادل رابطه زیر است. ‏xi  a ji xj , i 1,2,3 ‏j 1 ()4-60 3 3 3 و با نشاندن در رابطه ( )57-4به نتیجه زیر می رسیم 3 )  x  ( a x )(  a x ‏k ‏j ‏ki ‏k 1 2 ‏i ‏ji ‏j 1 ‏i 1 ‏i 1 3 3 3 )   xj xk (  a ji aki ‏j 1 k 1 ‏i 1 رابطه ( )57-4در صورتی برقرار است که فقط داشته باشیم ‏ jk ‏ki 3 ‏a a ‏ji ‏i 1 و این همان شرط تعامد است که روی ستون جمع بسته شده است. 371 مثال33-4صفحه 247کتاب درسی :فرض کنید یک دستگاه سه بعدی دکارتی حول  مختصاتx3 پادساعتگرد به اندازه زاویه محور چرخیده باشد .ماتریس تبدیل دستگاه چرخیده به دستگاه ثابت را به دست آورید. حل) با توجه به شکل ( )3-4می توان نوشت ‏x 2 ‏r ‏ ‏x2 ‏x2 ‏ ‏x2 ‏x1 ‏x1 ‏x1 ‏ ‏x1 شکل3-4چرخش دستگاه مختصات دکارتی x3 حول 372 ادامه مثال33-4صفحه 247کتاب درسی : ()4-62 ) a11 cos  cos( x1, x1 ‏x )   ) cos( x1, x2 2 و غیره ماتریس به این ترتیب عناصر aij می آیند .نتیجه اینکه (a12 sin  cos یعنی کسینوس های هادی به دست ‏x1  x1 cos   x2 sin  ‏x2  x1 sin   x2 cos  ()4-63 ‏x3  x3 رابطه های تبدیل باال را می توان به صورت ماتریسی زیر بیان کرد. ‏ x   A x ()4-64 که درآن 373 ()4-65 0 ‏ 0 1 ‏ ‏sin  ‏cos  0 ‏ cos  ‏ ‏A   sin  ‏ 0 ‏ ادامه مثال33-4صفحه 247کتاب درسی :که ماتریس تبدیل دو دستگاه مختصات بی پریم و پریمدار است .به آسانی می توان شرط تعامد ( )58-4یا ( )61-4را بررسی کرد 2 2 ‏  cos  1 ‏sin  cos   sin  cos  0 ‏sin ‏a33 1 ‏x3  x3 3 اینxواقعیت نتیجه می شود که از چرخش  ‏x2 است ،زیرا بنا به فرض x1 ‏x بوده است .همچنین از محور حول 3 صفر بودن بعضی از ‏x3 و ‏Axچنین استنتاج می شود که ماتریس عناصرx1 2 وابسته نیستند .همین مطالب را می توان برای وابسته به بیان کرد. و به نبودن 374 زاویه های اولر دستیابی به ماتیس تبدیل Aوقتی که ازمجموع زوایای مستقلی برای دوران استفاده می شود(زوایای اولر): راسه( بار درستگاه )X 1, X 2, X 3 مختصات( X ) 1, X 2 , X 3 ‏ ‏X3 یابیم( X 1, X 2, X: ‏ دست دوران تابه( X 1 , X )3 داده 2 , X )3 محور مرحله :1دستگاه حول  ‏sin  0 ‏ cos به اندازه پادساعتگردمیچرخدتابهRz ( )   sin  cos  0 تبدیل شود.ماتریس تبدیل این چرخش: ‏ 0 0 1 ‏X 2 ‏ )( X 1, X 2, X 3 )( X 1, X 2, X 3 375 محور مرحله:2دستگاه حول  0 ‏ sin   ‏ cos ‏ 0 1 می چرخدودستگاه  به اندازه بهRy (  )  0 ‏ دست می آید.ماتریس تبدیل این  چرخش: ‏ sin  0 cos   ( X 1, X 2, X 3) حول محور X 3 , X 2, X 3) 3مرحله ( X 1دستگاه: می چرخندوبه دستگاه به اندازه  cos   sin  0 :چرخش ماتریس تبدیل این.تبدیل میشوند   Rz ()   sin  cos  0  0 0 1 X 3  X 3 ( X 1, X 2, X 3) ( X1, X 2 , X 3 ) ماتریس دوران درتبدیل دستگاه A( ,  , ) Rz () Ry (  ) Rz ( )  : به  cos  cos  cos   sin  sin  cos  cos  sin   sin  cos   cos  sin       sin  cos  cos   cos  sin   sin  cos  sin   cos  cos  sin  sin     sin  cos  sin  sin  cos    376 کتاب1   حول درسی :چرخش مثال34-4صفحه 250 2 محور Zبا دو چرخش متوالی و حول همان محور صورت گرفته ‏2 1 است .با استفاده از نمایش ماتریسی چرخش،اتحادهای مثلثاتی زیر را به دست آورید. ‏cos(1  2 ) cos 1 cos 2  sin 1 sin 2 ‏sin(1  2 ) sin 1 sin 2  cos 1 cos 2 ‏2 1 داریم حل) از رابطه ( )66-4برای دو چرخش 0 متوالی sin و  cos 1 ‏ 1 ‏ cos 2 sin 2 0  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏Rz (1 )   sin 1 cos 1 0  R ( )   sin  cos  0  ‏z 2 2 2 ‏ 0 ‏ ‏ 0 ‏ 0 1 0 1 ‏ ‏ ‏ ‏2  1 همین رابطه را به قرار زیر برای چرخش 377 می نویسیم ‏ cos(1  2 ) sin(1  2 ) 0  ‏ ‏ ‏Rz (1  2 )   sin(1  2 ) cos(1  2 ) 0  ‏ ‏ 0 0 1 ‏ ‏ اما می دانیم: کتاب درسی250 صفحه34-4ادامه مثال Rz (1 ) Rz (2 ) Rz (1  2 ) نخست سمت چپ رابطه باال را به دست می آوریم cos 2 sin 1  sin 2 sin 1 0   cos 1 cos 2  sin 1 sin 2   Rz (1 ) Rz (2 )   sin 2 cos 1  cos 2 sin 1  sin 2 sin 1  cos 2 cos 1 0   0 0 1   حکم از تساوی ماتریس به دست Rz (1  باآمده 2) .مسئله ثابت می شود 378 تشابه تبدیل ‏ ‏ ‏ )( X 1, X 2, X 3 میکند( X 1 بردار r1  Aتبدیل ) , X 2 , X 3 ماتریس rAبردار r1به ‏r ‏ ‏ ‏ توسط به دستگاه وحاالدستگاه ‏r1Br1 BAr ماتریس تبدیل می شود،داریم: ‏A BAB  1 که آن A راتبدیل تشابه می دراین فضا: نامند. راچرخانده (گویادردستگاه جدیدماتریس،Bدستگاه  1 ‏ ‏aij  bik akl blj درآورده است). وAرابه صورت ‏k مولفه ای: صورت تبدیل تشابهی به ~ ‏1 ‏B B ‏aij   bik akl b jl   bik b jl akl 379 اگرماتریس Bماتریس متعامدباشد(یعنی تشابه متعامدمی نامند: ‏l ‏k ‏l )تبدیل زیرراتبدیل ‏k تمرین1-5-4صفحه 255کتاب درسی :نشان دهید وارون ماتریس متعامد نیز متعامد است. حل: 380 ~ ~ 1 ‏1 ~ 1 ‏A  A  ( A ) ( A) ( A 1 )  1 تمرین2-5-4صفحه 255کتاب درسی :نشان دهید حاصل n n ،متعامد است. ضرب دو ماتریس متعامد حل: ~ ‏1 ‏ ~~ ~ ‏A A ‏1 ‏1 ‏1 ‏ ( ‏AB ) ‏ ‏B ‏A ‏ ‏B ‏A ‏ ( ‏AB ) ~ ‏1 ‏ ‏B ‏ ‏B ‏ 381  ماتریس2 یک2: کتاب درسی255صفحه4-5-4تمرین .به دست آورید که متعامد و پادمتقارن باشد :حل ~ 1  A  0 b  0  A 1 1  A  A, aii 0 A  , A  ~    c 0  c  A  A  b    bc 0   1 0  0 b  0 AA  1          c 0  b 0 0  bc 0 1        b  0  bc  1  bc 0  A   1 0  b   b 0  382 تمرین5-5-4صفحه 255کتاب درسی :فرض کنید زمین ‏ طوری چرخیده30 طول شمالی و است که قطب20شمال به ‏ 10غربی منتقل شده است ،و نصف النهار در جنوب عرض غربی قرار گرفته است (عرض و طول جغرافیایی در دستگاه اصلی بیان شده اند). الف) زاویه های اولر توصیف کننده این چرخش را به دست آورید. ‏A( 20 ,  60 ,   10 ) Rz ( 10 ) R y (60 ) Rz (20 )  ب) کسینوس های هادی متناظر را حساب کنید. ‏cos 10 sin 60 حل cos 10 cos 60 cos 20  sin 10 sin 20 cos 10 cos 60 sin 20  sin 10 cos 20 : ‏ sin 10 cos 60 cos 20  cos 10 sin 20 sin 10 cos 60 sin 20  cos 10 cos 20  sin 10 sin 60  ‏ ‏ ‏ ‏sin 60 cos 20 ‏sin 20 sin 20 ‏cos 60  383  تحقیق کنید که ماتریس: کتاب درسی255صفحه5-5-4تمرین ) تحت تبدیل زیر70-4چرخش زاویه های اولر (معادله      ,     ,     .ناورداست sin(   )  sin  , cos(   )  cos  , sin(   :حل )  sin  cos(   ) cos  , sin(    ) sin(   )  sin  cos(   ) cos(   )  cos  A(   ,  ,    ) Rz (   ) R y (  ) Rz (   )  cos  cos  sin   sin  cos   cos  sin    cos  cos  cos   sin  sin    sin  cos  cos   cos  sin   sin  cos  sin   cos  cos  sin  sin      sin  cos  sin  sin  cos    A( ,  , ) 384 ماتریس های هرمیتی،یکانی وبهنجار مزدوج مختلط ماتریس:اگردتمام عناصرماتریسی،عدد رامزدوج مختلط آن می موهمیiرابهi-تبدیل کنیم.ماتریس حاصل *A نشان می دهند. گویند.مزدوج مختلطAرابا ‏t ‏At ماتریس الحاقی:ازترانهاده نشان می دهند: آیدکه آن رابا ‏A ماتریس الحاقی بدست می * ~ *~ ‏A A A ‏t (یاخودالحاقی)A  هرمیتیAt  aij  ماتریس هرمیتی:ماتریسAدرصو رتی a *ji است که الحاقی آن باخودش برابرباشد: ماتریس پادهرمیتیA:پادهرمیتی است اگر: درموردماتریس های الحاقی داریم: ‏A  At ( AB ) t B t At آن باالحاقی آن ماتریس یکانی:اگروارون یک ماتریس * برابرباشد t ‏1 1 ‏U U  aij a ji 385را یکانی می نامند: باالحاقی خود ماتریس بهنجار:اگرماتریس At A جابجاپذیرباشدAراماتریس بهنجارمی گویند: ‏A, A  0 ‏t اگرماتریسی که درتبدیل تشابه شرکت دارد یکانی نامند: باشد،آن را تبدیل یکانی می ‏t ‏1 ‏A UAU UAU حاصل ضرب دوماتریس یکانی،ماتریس یکانی است. ماتریس هرمیتی تحت تبدیل ماتریس تشابه یکانی ،هرمیتی می ماند. 386 مثال39-4صفحه 258کتاب درسی :نشان دهید ماتریس هرمیتی تحت تبدیل تشابه یکانی ،هرمیتی می ماند. تبدیل دانیم . می ‏A حل) اگر Aماتریس هرمیتی باشدAt ، تشابه یکانی این ماتریس از رابطه ( )84-4به دست می آید. ‏A UAU  1 از دو طرف رابطه باال الحاقی می گیریم ‏At UAU  1 t U  1 t AtU t UAU  1  A یعنیA 387 نیز هرمیتی است. t ‏t t ( ‏AB ) ‏ ‏B تمرین1-6-4صفحه 264کتاب درسی :Aنشان دهید حل: 388 ~ ~~ ~ ~ ( AB ) t ( AB ) * ( B A)* ( B )* ( A)* B t At  نشان دهید حاصل: کتاب درسی264صفحه2-6-4تمرین nضرب n . یکانی است، دو ماتریس یکانی :روش اول:حل 1   A UAU 1 1 1    A B  UAU UBU  UABU  1   B  UBU  :روش دوم t 1  A A t t t 1 1 1  ( AB )  B A  B A  ( AB )  t 1  B  B  389 تمرین3-6-4صفحه 264کتاب درسی :نشان دهید وارون ماتریس یکانی هم ماتریس یکانی است. حل: * ~ ~ ~ ‏A  A  ( A ) (( A ) ) (( A)  1 )* (( A)* )  1 ( At )  1 ( A 1 )  1 ‏1 390 ‏1 t ‏1 ‏t  نشان دهید حاصل: کتاب درسی264صفحه4-6-4تمرین .ضرب مستقیم دو ماتریس یکانی هم یکانی است :حل 1  At  A  t ~ * 1 t  ( A  B ) (( A  B ) )   B B A  B  a B ij  ~ * ~ * ~ * * (( aij B ) ) ( a ji B )  a ji ( B )  a *ji B t  a *ji B  1              ( At  B  1 ) ( A  1  B  1 ) ( A  B )  1 391 تمرین7-6-4صفحه 264کتاب درسی :دو ماتریس Hو می شوند ‏Uبا رابطه زیر به هم مربوط iaH ‏U e که در آن aحقیقی است. (الف) اگر Hهرمیتی باشد ،نشان دهید Uیکانی است. (ب) اگر Uیکانی باشد ،نشان دهیدHهرمیتی است ( Hمستقل ازa است). ‏t حل:الف: ‏ ‏H ‏H ~ ‏ ‏t ‏iaH t ‏iaH * ‏ ‏U ‏ ‏U ‏ ( ‏e ) ‏ (( ‏e ) ) ‏iaH ‏e  iaH (e  iaH )  1 ‏ iaH t ‏e ‏tب: ‏U  1 (e iaH )  1 e  iaH  H ‏H 392 ‏ ‏ ‏U e ~ *)  ia ( H ‏ iaH t ‏e ‏t ‏U e قطری سازی ماتریس دراغلب مسائل فیزیکی میتوان ماتریسی راتحت تبدیل تشابه متعامد یاتبدیل یکانی به ماتریس قطری که تمامی عناصر غیرقطری آن صفراست ،تبدیل کنیم. ‏ ‏r مقدارها: بردارهاوویژه ویژه ‏ ‏ ‏  ‏r عددی چون اثرکندوحاصل بردار رویAr اگر ماتریس Ar ‏ دراین ضرب درهمان بردارشود،یعنی: راویژه بردارو را ویژه مقدارماتریس Aمی حالت نامیم. اگرماتریس،Aیک ماتریس هرمیتی باشد،ویژه مقدارهای آن حقیقی و ویژه بردارهای آن متعامدند. 393 مجموعهnویژه برداریک ماتریس هرمیتی ،یک مجموعه کامل راتشکیل می دهند. ‏  ‏ تعیین ویژه مقدارها ویژه بردارهای ماتریس r , Ar r ‏ ( A  1)r 0را دلخواه:Aدر رابطه درماتریس یکه1ضرب می کنیم وخواهیم داشت: ‏A  1 0 خطی وهمگن است که بیانگر دستگاه معادالت  دترمینان( A  1 )r 0 وتنها درصورتی پاسخ i ضرایب آن دارد که این معادله را معادله سرشتی صفر باشد، رادرمعادله می نامنداگرهرپاسخ ویژه مقدار قرار دهیم،ویژه بردار متناظربا آن ویژه مقدار رابه دست می آوریم. 394 مثال44-4صفحه 268کتاب درسی :ویژه مقدارها و ویژه دست 0 بردارهای ماتریس زیر را به 0  آورید 1. ‏ 1 1  ‏ ‏A  0 ‏0 ‏ 1 1 حل) معادله سرشتی را برای این ماتریس تشکیل می دهیم 0 1 0 1  395 0 1  1  ‏A  1  0 1 0 و یا (1   )[(1   ) 2  1] 0 یا ‏ (1   )(   2) 0 دنباله مثال44-4صفحه 268کتاب درسی :بنابراین پاسخها عبارتند از ‏1 ,  2 ,  0 3 2 ‏1 ‏ حال می توان ویژه بردارها را به دست آورد ( A  i 1) ri 0 ‏1 1 0 0 0 ‏x 0 ‏ ‏ 1    داریم به ازای ‏ ‏    ‏ 0 0 1   y1   0  ‏ 0 1 0  z   0  ‏ ‏ 1    ‏y1 0 z1 0 ‏ و معادلهrماتریسی نتیجه می شود از این 1 .اکنون فرض می کنیم طول بردار 396یا واحد باشد 2،یعنی برابر 2 2 ‏x  y  z 1 2 ‏x1 1  x1 1 دنباله مثال44-4صفحه 268کتاب درسی :در نتیجه داریم ‏2 2 به ازای ‏  1 ‏ ‏ ‏ 0  ‏ 0  ‏ ‏ می توان نوشت ‏ 1 ‏  ‏ 0 یاr1  ‏ 0 ‏  0   x2   0  ‏ ‏   1   y2   0  ‏ 1  z 2   0  و از این معادله ماتریسی نتیجه می گیریم که ‏y2  z 2 0 ‏1 1 ‏ 1 ‏ ‏ 0 ‏ 0 ‏ ‏0و x2 بار دیگر طول ویژه بردار برابر واحد فرض می کنیم ،یعنی 397 2 ‏y2  z 2  2 2 2 2 y 1  2 2 2 ‏x  y  z 1  در نتیجه: کتاب درسی268صفحه44-4دنباله مثال  0       یا2  r2    2   2  2    1  0 0  0 1 1  0       2    2   2  2    0   x3   0      1   y3   0  1   z3   0  داریم 3 0 به ازای و از این معادله ماتریسی به نتیجه زیر می رسیم x3 0 y3  z3 398 دنباله مثال44-4صفحه 268کتاب درسی :باز هم طول ویژه بردار را برابر واحد فرض می کنیم .در این صورت داریم 2 ‏y3  z3  2 2 3 2 y 1  2 2 ‏x3  y3  z3 1  پس ‏ 0  ‏ 0  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 2 ‏ 2 ‏r3  ‏ ‏ ‏ ‏ 2  ‏ 2  یا ‏ 2 ‏ 2 ‏ 2  ‏ 2  ‏ ‏ ‏ ‏ عمودr2 r نیز و بودن آن بر از شرط توانستیم البته می 1 ‏r3 ‏   به دست آوریم ،یعنی ‏r3 r1 r2 )4-111( 399 2 مثال45-4صفحه 270کتاب درسی :جسم صلبی را می توان با سه جرم نقطه ای به صورت زیر نمایش داد. جرم m1در نقطه (-2و1و)1 جرم mدر نقطه (0و-1و)-1 2 جرم mدر نقطه (2و1و)1 3 الف) ماتریس گشتاور لختی را به دست آورید. ویژه بردارهای متعامد بهنجار (محورهای ب) ویژه مقدارهاو  ‏ کنیدr3. تعیین r2 اصلی) را r1 طول و و را به  حل) نخست  دست می آوریم. ‏r3  1  1  4  6 , ‏r2  1  1  0  2 , ‏ ‏r1  1  1  4  6 کنیم می را حساب لختی ماتریس 2گشتاور .حال 2عناصر 2 2 2 2 2 2 3 ) I xx  mi ( ri  xi ) m1 ( r1  x1 )  m2 ( r2  x2 )  m3 ( r3  x3 ‏i 0 ‏1(6  1)  2( 2  1)  1(6  1) 12 3 ) I yy  mi ( ri 2  yi2 ) m1 ( r12  y12 )  m2 ( r22  y22 )  m3 ( r32  y32 ‏i 0 400 ‏1(6  1)  2( 2  1)  1(6  1) 12 : کتاب درسی270صفحه45-4دنباله مثال 3 I zz  mi ( ri 2  zi2 ) m1 ( r12  z12 )  m2 ( r22  z 22 )  m3 ( r32  z32 ) i 0 1(6  4)  2( 2  0)  1(6  4) 8 3 I xy I xy   mi ( xi yi )  ( m1 x1 y1  m2 x2 y 2  m3 x3 y3 ) i 0  (111  2(  1)(  1)  111)  4 3 I xz I xz   mi ( xi zi )  ( m1 x1 z1  m2 x2 z 2  m3 x3 z3 ) i 0  (11(  2)  2(  1)( 0)  112) 0 3 I yz I yz   mi ( yi zi )  ( m1 y1 z1  m2 y 2 z 2  m3 y3 z3 ) i 0  (11(  2)  2(  1)( 0)  112) 0 401 دنباله مثال45-4صفحه 270کتاب درسی :بنابراین ماتریس گشتاور لختی برابر است با 0 ‏ 0 8 ‏ ‏ 4 12 0 ‏ 12 ‏ ‏I   4 ‏ 0 ‏ سرشتی ( -4 ‏ 4 اکنون ویژه مقدارها را از0  ‏ 12 )110 محاسبه می معادله ‏ ‏ کنیم. 12   0  0 ‏  4 ‏ 0 0 8  ‏ ‏ و یا (8   )[(12   ) 2  16] 0 ‏1 8 بنابراین 402 , ‏2 16 , ‏3 8 ‏1 8 حال ویژه بردارها را به ترتیب از معادله ( )109-4محاسبه می  4   4  0   4 : کتاب درسی270صفحه45-4دنباله مثال 0   x1   0      4 0   y1   0  0 0   z1   0   را برابر طول بردارr1 اگر. و0 x1  y1و یا z1  داریم2 واحد بگیریم 2 2 2 x1  y1  z1 1  x1  y1  2  2    2   2 r1   2 یا     0     2    2   2   2      0    بنابراین 403 : کتاب درسی270صفحه45-4دنباله مثال 2 برای 16 همین طور  4   4  0   4 0   x2   0       4 0   y 2   0  0  8   z 2   0  z 2 و0 x2  yاگر در نتیجه،باشند 2 و یا 2 2 2 2 x2  y2  z 2 1  x2  y2  2  2     2   2 r2   یا 2      0     2  بنابراین   2    2    2     404  0    دنباله مثال45-4صفحه 270کتاب درسی : ازای3  اما به 8 اگر بخواهیم از معادله ( )109-4استفاده می رسیم .این قبلی مربوط به نتیجه کنیم به همان 1 8 حالت را واگنی می گویند .در این حالت از رابطه ()111-4 قبلی عمود باشد. بردار 0 نیزبر دو  سوم 0 استفاده می شود تا بردار  ‏ ‏ ‏ 0  ‏  1 ‏ ‏ 405 ‏     ‏r3 r1 r2  0   1 یا مدلCO 2 مثال49-4صفحه 274کتاب درسی :ارتعاشات یک بعدی کالسیکی ملکول (شکل )5-4را بررسی می کنیم .با استفاده از فن ماتریسی ویژه مقدارها ،در مورد حرکت این دستگاه بحث کنید. ‏k ‏k ‏M ‏x3 ‏m ‏x2 ‏M ‏x1 شکل 5-4مدل کالسیکی حرکت ملکول CO2 406 دنباله مثال49-4صفحه 274کتاب درسی : حل) مطابق شکل فرض می کنیم سه جرم روی محور افقی به فنرهایی با ثابت Kمتصل اند .همچنین می دانیم که بنا به فرض نیروهای فنر خطی هستند (جابجایی کوچک ،قانون هوک) و سه جرم مجبورند که روی محور xباقی بمانند .با استفاده از قانون ‏k دوم نیوتن داریم ‏x  ) (x  x 2 ()4-112 ‏ 1 1 ‏M ‏k ‏k ‏x2  ( x2  x1 )  ) ( x2  x3 ‏m ‏m ‏k ‏x3  ) ( x3  x2 ‏M فرض کنید بسامد مشترک این دستگاه باشد به طوری که تمام ‏it صورتx ‏ ‏x ‏e (مدلi 1,2 جرم ها با این بسامد ارتعاش کنند ,3 این بهنجار) ،در ‏i ‏i داریم )4-113( 407 دنباله مثال49-4صفحه 274کتاب درسی : با نشاندن رابطه ( )113-4در رابطه ( )112-4به دستگاه معادالت ماتریسی زیر می رسیم ()4-114 ‏ 0  ‏ x1  ‏  x1  ‏  ‏k   2 ‏x2    x2  ‏ ‏m   ‏x  ‏x ‏ ‏k  3 ‏ 3 ‏ ‏M  ‏k ‏M 2k ‏m ‏k ‏ ‏M که معادله سرشتی زیر از آن نتیجه می شود. ‏ ‏ ‏ ‏k ‏ 0 ‏ ‏m ‏ ‏k 2 ‏   ‏M ‏ 0 408 ‏k ‏ ‏M 2k ‏ 2 ‏m ‏k ‏ ‏M ‏ ‏ k ‏ ‏ M ‏ k ‏ m ‏ ‏ 0 ‏ ‏ k ‏ 2 ‏ ‏M ‏  k ‏ ‏m ‏ 0 ‏ ‏ دنباله مثال49-4صفحه 274کتاب درسی :سرانجام اینکه 2k ‏k  ‏ k 2  2 ‏  ‏     ‏ ‏ 0 ‏m ‏M  ‏M ‏ 2 که از آن ویژه مقدارهای زیر به دست می آیند. ‏k 2k ‏ ‏M ‏m , ‏k ‏M , ‏ 0 2 با نشاندن این ویژه مقدارها در معادله ( )114-4به ویژه متناظر 2 بردارهای 0 داریم می رسیم .نخست به ازای ‏x1  x2 0 ‏ x1  2 x2  x3 0 پس ‏ x1  x3 0 ‏x1  x2  x3 یعنی حرکت یک حرکت انتقالی محض است ،سرعت نسبی جرم ها صفر است ،و هیچ نوع حرکت ارتعاشی وجود ندارد. ‏k ‏2  داریم به ازای ‏M 409 ‏x1  x3 , x2 0 دنباله مثال49-4صفحه 274کتاب درسی : یعنی جرم میانی ساکن و دو جرم دیگر در خالف جهت هم حرکت می کنند (مرکز جرم ساکن است). ‏k 2k نتیجه می گیریم که ‏2  سرانجام به ازای  ‏m ‏M 2M ‏x2  ‏x1 ‏m , ‏x1  x3 یعنی جرم میانی در خالف جهت دو جرم دیگر حرکت می کند ،در صورتی که دو جرم دیگر با هم حرکت می کنند (تکانه خطی کل برابر صفر است) .جابجایی این سه جرم در امتداد محورXرا می توان با ترکیب خطی این سه نوع حرکت (انتقالی، و دو نوع ارتعاشی) بیان کرد. 410 روش قطری سازی ماتریس ماتریس هرمیتیAرامی توان قطری کرد،ابتداازویژه بردارهایی که بدست امدند،ماتریس جدیدی ‏ مانندri R میسازیم که هرستون آن مربوط به یک ویژه باشد ri t r.jاز آنجا که ویژه بردارهای بردار می ij * و ماتریس هرمیتی ،متعامدبهنجارند r1  : ‏ *  است،داریم : ‏ این که Rیکانی  ‏  ‏R AR  r  ( A)r  r  r  ‏   ‏ r  3 2 1 ‏t 2 * 3 ()4-116 * ‏ r1  ‏ 0 0 ‏ 1 ‏ *   ‏ ‏ ‏  ‏ r2  1r1  2 r2  3r3   0 2 0   A ‏ *  ‏0 0   ‏r 3 ‏ ‏ 3  411 ‏  ‏  ‏  مرتبط به ماتریسAمی مقادیر عناصرقطری،ویژه  i ‏ri متناظر با ترتیب ویژه بردارهای باشند وترتیب آن ها ‏i ‏i درماتریسRاست. :حاصل آزمون درستی عمل محاسبه ویژه مقادیر ‏1 ‏ ‏A ‏ ‏R ‏ARاصلی باشد. هابایستی برابر رد ماتریس جمع درصورتی که A A هرمیتی نباشد،بایستی ازرابطه ، استفاده نمود که ماتریس ماتریس قطری است وعناصرقطرآن ویژه مقدارهای ماتریسAهستند. برای قطری سازی ماتریس ها کافیست ویژه مقدارهای آن هارابدست آوریم وبه ترتیب درجای عناصر قطری قراردهیم وعناصر دیگر راتبدیل به صفر کنیم. 412 مثال51-4صفحه 278کتاب درسی :ماتریس های پاؤلی را قطری کنید. توجه به مثال (0 )21i -4 0  ‏ 0 1 داریم  حل) با  1 ‏ ‏ 1 ‏ 3  ‏0 ‏ 0  ‏ 2  ‏ i ‏ it  i ‏ 0 ‏ 1  ‏1 ، چون این ماتریس ها هرمیتی هستند یعنی بنابراین 1 در قطری سازی آنها از رابطه ( )116-4استفاده می کنیم. ‏ 1 1 این 1  1 مشخصه 1 ‏ را قطری می0 ماتریس کنیم .معادله نخست 1 ‏ 1 به صورت زیر است ‏1  در 1 نتیجه 413به ازای ‏ ‏r1 ‏1 1 ‏12 1  ‏  1 1   x1   0 ‏  ‏ ‏ می آوریم 1 ‏ دست ،ویژه بردار 0را به 1  y1  ‏ دنباله مثال51-4صفحه 278کتاب درسی : ‏ 2 t  نتیجهx1  y 1 بردارr1 r1 r1 بهنجاری x12 .اما به کمک رابطه y12 1 که در 2 نتیجه می شود که x1  y1  2 2   1 2   1 ازای1  همچنین به 1 2 1 یا ‏ 2 1 بنابراین ‏ ‏r1  2 شود x1  y1 نتیجه می 2 .بنابراین 2   1 2   1 2   1 2   1 ‏  ‏t ‏ r1 ‏r ‏R 1 تشکیل داده و اکنون به آسانی می توان ماتریس Rرا با 1  و  1را 1 2 1 به2  آورد دست ‏t ‏R ‏ ‏R ‏ 2 1  1 2 1  1 ‏ ‏r1 414 دنباله مثال51-4صفحه 278کتاب درسی :با نشاندن آن در رابطه ( )116-4نتیجه می شود 1   0 1  1 1  0 ‏1 1 1 ‏ 1 R t 1 R   ‏ ‏ 0  1 2 1  1  1 0 1  1 ‏ ‏ اگر از دسته دوم پاسخها در ساختنRاستفاده شود ،چه خواهد پاسخ دهید. شد؟ 2 مشخصه این ماتریس سپس معادله  2 را قطری می کنیم i . به صورت زیر است ‏ 2  12  ‏0 ‏ 2 یا ‏2 1 به ازای 415 ‏ ‏r2 ،ویژه بردار ‏i ‏2 1 ‏22 1  می 1 دستi  ‏ 0را به  x1  آوریم  ‏  ‏ ‏ ‏ i ‏ ‏ 1  y1   0 ‏ درسی: یا x2 دنباله مثال51-4صفحه 278کتاب iy 2 کمک 2 .اما به t  نتیجه می رابطهrبهنجاری ‏ ‏r 2 2 r2 1 شود 2 ‏x2  iy 2 i 2 بنابراین 2  i  2   1 2   i 2  1  یا ‏ ‏r2  ‏2  1 همچنین به ازای 416 نتیجه زیر به دست می آید ‏ i   x2   0 ‏  ‏ ‏ ‏ 1   y 2   0 ‏ 1 ‏ i ‏ دنباله مثال51-4صفحه 278کتاب درسی : در  نتیجهx2  iy 2 ‏ 2 .اما به کمک رابطه   بهنجاریr2  ‏r2t r2  1 2 ‏ ‏ نتیجه می شود x2  iy2 i 2 2   i 2   1 ‏t  ماتریس اکنون می توان R R 1 1 2  i ‏R  2   i ‏t بنابراین 2  i یا ‏ ‏ 2 1 و ‏ ‏r2  را به دست آورد ‏i ‏و 1 2  i 2  1 ‏ ‏R و با نشاندن آنها در رابطه ( )116-4داریم 0 ‏1 ‏ 2  ‏ ‏ 0  1 آسان و مانند دو سازیماتریس سرانجام ،چون قطری 3 417ماتریس قبلی است آن را به عهده خواننده می گذاریم. مثال53-4صفحه 281کتاب درسی2 :2 ماتریس قطری کنید. ‏ 5 4 ‏ ‏A  ‏ 1 2 4 حل) از معادله سرشتی ( )110-4داریم ‏5   ( 2   )  4 0 2  زیر را 5  1 ‏2  7  6 (  1)(   6) 0 ‏2 1 1 6 و در نتیجه بنابراین ویژه مقدارها برابرند با ‏ 6 0 ماتریس قطری جدید ‏ برابراست با A  ‏ 0 1 ‏A را از رابطه (-4 اما می توانستیم با تعیین ویژه بردارها، خواننده می )117 418به دست می آوریم که این کار را به عهده ‏1 ‏A R AR گذاریم. تمرین1-7-4صفحه 282کتاب درسی :ماتریس های نمایشگر 2 2 نشان J 2  J هرمیتی J z2 تکانه Jزاویه ای هایz , J مؤلفه y , J ‏x اندx , J y ,. دهید ویژه مقدارهای مربوط به حقیقی نامنفی هستند. حل: ‏J x r  x r  ‏ ‏J y r  y r  J 2 r ( J x2  J y2  J z2 ) r  J x2 r  J y2 r  J z2 r (2x  2y  2z ) r ‏ ‏J z r  z r  ) (2x  2y  2z و 419 حقیقی ونامنفی است.  ویژه بردارها و ویژه: کتاب درسی283صفحه7-7-4تمرین .مقدارهای ماتریس زیر را به دست آورید  4   3  2  :ب 1  :حل 4   2 0  (4   )(1   )  6 0  2  5  4  6 0  2  5  2 0  3 1  5  25  8 5  33    1 5.37, 2  0.37 2 2  2   x1   0   1.37  5.37       1.37 x1  2 y1 0  y1  0.69 x1      3  4.37  y1   0 2 1 2 1 x  y 1   0.83  x  ( 0.69 x1 ) 1  x1 0.83 , r1    0 . 57   2 1 2 420 : کتاب درسی283صفحه7-7-4ادامه تمرین  4.37  2   x2   0   0.37      4.37 x2  2 y2 0  y2 2.19 x2      3 1.37  y2   0  0.42 2 2 2 2 x2  y2 1  x2  (2.19 x2 ) 1  x2 0.42 , r2   0 . 91   421 تمرین8-7-4صفحه 284کتاب درسی ( :الف) ویژه مقدارها و حساب کنید. ویژه بردارهای ماتریس زیر را1   ‏ ‏ ‏ 1 واگن هستند. ازای توجه کنید که ویژه مقدارها 0به  (ب) ویژه بردارها و ویژه مقدارهای ماتریس زیر را حساب کنید. ‏ 1 1 ‏ 2 ‏ 1 ‏ توجه کنید که ویژه مقدارها 0به  ازای این ماتریس  0 نامتقارن،ویژه بردارها( گیرند. حل:الف: ‏0  (1   ) 2   2 0  (1   )  422 واگن هستندوبرای )فضا رادر بر نمی 1  ‏ ‏1  ‏A  ‏ ‏ ‏ 1  ‏  1 ‏ 1 1   , 2 1        2 1 : کتاب درسی284صفحه8-7-4ادامه تمرین    x1   0     x1  y1 0  x1  y1     y1   0 2 1 x y 1  1 1 r1    2 1    1 x  x 1  x1  2 1   1    2   1 2 1 or 2 1    x2   0    x2  y 2 0  x2  y 2    y   2  0 x22  y 22 1  1  1  r2    2   1 x22  x22 1  x2  or  1 2 1  1    2   1 423 1 2 ,می  که 0 همان طور: کتاب درسی284صفحه8-7-4ادامه تمرین r2 r1   0  0 r2 r1 بینید به ازای ، و 1  1  1 1 B  2    1 1     1 1   , 2 1   به ازای و است ولی با توجه به .برهم عمودند و :ب 2 2 0  (1   )   0  (1   )     1     2  1   x1   0     x1  y1 0  y1 x1        y1   0 1 x12  (x1 ) 2 1  x1 1   2 1  x1  1  2  1 1 r1  2   1    424 ادامه تمرین8-7-4صفحه 284کتاب درسی : ‏ ‏ 1     2 ‏ 1   x2   0  ‏ ‏ x2  y2 0  y 2  x2 ‏    y 2   0 1 ‏x22  (  x2 ) 2 1  x2  1  2 ‏ 1  1 ‏r2  ‏ ‏ 1  2     ازای1 2 1,   به 0 ازای ‏ 1 داریم.ولی بهr1 r2  است وواگنی ,  0 ‏ ‏ 0 است.درنتیجه این دو ویژه بردار فضای کامل را تشکیل نمی دهند. 425 تمرین11-7-4صفحه 284کتاب درسی :مطابق شکل زیر دو جرم Mبا سه فنر به هم متصل و به دیوار بسته شده اند .فرض کنید این دو جرم در امتداد خط افقی باقی بمانند. ‏k ‏k ‏M ‏x2 ‏k ‏M ‏x1 الف:قانون دوم نیوتن را برای هرجرم بنویسید. ب:ویژه مقدارها ومدهای بهنجار حرکت را تعیین کنید. حل: الف: 426 : کتاب درسی284صفحه11-7-4ادامه تمرین k k    x   x  ( x1  x2 ) 1  mx1  kx1  k ( x1  x2 )  1 m m    mx2  kx2  k ( x2  x1 )  x  k x  k ( x  x ) 2 2 2 1  m m   فرض می:ب بسامد مشترک این دستگاه باشد به کنیم در این حالت.طوری که تمام جرمها با این بسامد ارتعاش کنند :داریم x1  x.1e it x2  x.2 e it x1 x2 قرار دادنk با k:الف داریم k در روابط قسمت 2kو  2 2   x10  x10  ( x10  x20 ) (   ) x10  x20 0     m m m m      2 x  k x  k ( x  x )  k x  ( 2k   2 ) x 0 20 20 20 10 10 20   m m m   m 427 2k  2 m k  m  k m : کتاب درسی284صفحه11-7-4ادامه تمرین 2k k2 2k k 2 2 2 0  (  )   0  (   )   2 2k 2 m m m m  m k 3k  12  , 22  m m k  k   m m   x10   0  k x  k x 0  x  x  k 10 20 10 20 k   x20   0 m m   m   m 1 1 1 2 2 2 2  x10  x20 1  x10  x10 1  x10  , r1    2 2 1  k  m  k   m  k m   x10   0   k x  k x 0  x  x 10 20 10 20  0 k   x20  m m     m  2 10 x x 2 20 1  2 10 x 2 10 x 1 1  x10  2 , 1  1 r1    2   1 428 موفق وپیروز باشید 429