فیبوناچی

فیبوناچی

اسلاید 1: بسم الله الرحمن الرحیم

اسلاید 2: فیبوناچی

اسلاید 3:

اسلاید 4: دنباله فيبوناچي  و دنباله لوكاس نوع ديگري از رشد و تصاعد را نشان مي دهند. بيادآوريد كه در تصاعد حسابي ، جمله بعدي از جمع  يك مقدار ثابت به جمله، كنوني  بدست مي آيد و در تصاعد هندسي، جمله بعدي از ضرب يك مقدار ثابت در جمله كنوني بدست مي آيد  و اما در دنباله فيبوناچي  و دنباله لوكاس  و امثال اينها، جمله بعدي از ضرب مقدار ثابت  1.618033988 در جمله كنوني بدست مي آيد كه  عددي اسرارآميز است.    بررسي اين عدد شگفت انگيز صدهاسال قبل از ميلاد در هند و 1200 سال بعد از ميلاد  توسط  فيبوناچي، شيربچه يِ پيزا در ايتاليا وارد رياضيات شد و نسبت مقدس و نسبت طلائي نام گرفت

اسلاید 5: که به این معادله درجه دوم منجر میشودو با حل آن دو مقدار برای بخش بزرگتر به دست می آید را کنار می گذاریمX2ولی چون بخش بزرگتر نمی تواند منفی باشد

اسلاید 6: دنباله  لوكاس فرض كنيد فروشگاهي  تاسيس مي كنيد كه در روز اول 1 تومان و در روز دوم 3 تومان مي فروشد ولي  از آنپس، مقدار فروش هر روز باندازه مجموع فروش دو روز قبل از آن است.  با چنين فرضياتي فروش ما چگونه رشد مي كند؟ ...  1,3,4,7,11,18,29 اين دنباله  در ستون LS  نشان داده شده  و دنباله لوكاس ناميده مي شود. در جدول مقابل، اولين ستون از سمت چپ روز را نشان مي دهد و ستون LSميزان فروش روزها و ستون  Φ نسبت فروش روز به فروش روز قبل و ستون φ نسبت فروش روز به فروش روزبعد است. چنانكه ديده مي شود  Φ و φ  بسوي  مقدار ثابت  1.618033988 و 0.618033988 ميل مي كنند. اين دو مقدار را نسبت فيبوناچي يا نسبت طلائي يا نسبت مقدس   ناميده اند

اسلاید 7: دنباله  فيبوناچي روش بدست آوردن دنباله فيبوناچي نيز مانند دنباله  لوكاس است با اين تفاوت كه مقدار فروش روز اول و دوم بترتيب 0 و 1 مي باشد.  في الواقع  دو مقدار اوليه مي توانندهر عددي باشند بشرطي كه مجموعشان صفر نباشد. بين   Φ و φ اين رابطه بر قرار است: Φ  - φ  =  1كل هر چيزي را ، ومثلا پاره خط بالا را ‌چگونه  به دو بخش كوچك (b) و بزرگ (a) تقسيم  مي كنيد كه نسبت  بخش كوچك به بخش بزرگ برابر باشد با نسبت بخش بزرگ به كل هر دو بخش؟  اين مساله را مي توانيد به بيان رياضي  برگردانيد: بخش كوچكتر را برابر با 1 و بخش بزرگتر را برابر با x مي گيريم. در اينصورت : نسبت مقدس از فرمولي با كسرهاي متداوم  و راديكالهاي تودرتو  و توابع مثلثاتي هم  بدست مي آيد

اسلاید 8: توجه: در اين مقاله نشانه هاي   Φ و φ  بنحو يكسان  و كاملا متمايزي  بجاي نسبت بزرگتر از 1 و نسبت كوچكتر از 1 بكار نرفته  ولي از روي مقدارعددي مي توان بسهولت تشخيص داد كه نشانه به كداميك مربوط است تشخيص دهيم كه مقصود چيست.و گاهي از نشانه هاي  Phi و  phi استفاده شده است

اسلاید 9: ساختن مستطيل طلائي الف - مربعي به ابعاد 1 بسازيد ب - از وسط يكي از اضلاع خطي به يكي از زواياي روبرو  رسم كند ج - با شعاعي باندازه اين خط   يك كمان رسم كنيد كه  طول مستطيل را مشخص نمايد

اسلاید 10: مثلث طلائي و ستاره پنج پر طلائي مثلث ABC  طلائي است هرگاه  متساوي الساقين باشد و با رسم نيمساز زاويه  C مثلث  CXB بوجود آيد  چنانكه با مثلث اصلي متشابه باشد. ستاره پنچ پر كه Pentagram نام دارد از 5 مثلث طلائي ساخته شده و همه اضلاع يكديگر را به نسبت طلائي تقسيم مي كنند

اسلاید 11: قضيه بطلميوسبه ازای هر چهار عدد مختلط به آسانی می توان تساوی زیر را تحقیق کرد و با توجه به نابرابری مثلثی خواهیم داشت اکنون به بررسی حالتی می‌پردازیم که این نابرابری به برابری بدل شود. در حالت نابرابری مثلثی،

اسلاید 12: تساوی، فقط و فقط هنگامی برقرار خواهد شد که یک عدد حقیقی مثبت(‌ به شرط باشد.) پس به جستجوی شرطی می پردازیم که ضامن مثبت و حقیقی بودن عدد

اسلاید 13: یعنی همدایره هستند .و در دو طرف وتر واصل بین دو نقطه قرار دارند،‌ که نتیجه آن به ترتیب الفبایی قرار گرفتن این نقاط (ساعتسو یا پادساعتسو ) است. پس قضیه زیر را ثابت کردیم.

اسلاید 14: قضیه1. به ازای هر چهار نقطه در صفحه داریم تساوی هنگامی و فقط هنگامی برقرار می‌شود که این چهار نقطه همدایره ( یا همخط ) باشند و به ترتیب الفبایی ( ساعتسو یا پاد ساعتسو ) قرار گرفته باشند. حالت تساوی توسط ک. بطلیموس ( حدود 85 – 165 ب.م ) کشف گردید، در صورتی که حالت کلی متجاوز از هزار سال بعد توسط ل. اویلر (1707 – 1783) پیدا شد. ولی با استفاده از اعداد مختلط نتایج آن را می‌توان فقط در یک سطر به دست آورد. عبارت را نسبت ناهمساز چهار نقطهگویند

اسلاید 15: گویند، این نسبت نقش مهمی در بخشهای مختلف ریاضیات، به خصوص در هندسه تصویری، که مسلماً یکی از زیباترین شاخه های ریاضیات است ایفا می کند. فرع 1. چهار نقطه همدایره ( همخط ) اند، اگر و فقط اگر در مطالب بعد، همخطی، حالت خاص (‌ تباهیده ) همدایرگی در نظر گرفته می‌شود. هنگامی که چهار ضلعی محاطی به مستطیل بدل شود، قضیه بطلیموس به صورت زیر در می آید: فرع 2. ( فیثاغورس ) در مثلث قائم الزاویه ، قائمه در راس داریم

اسلاید 16: مثال. فرض می‌کنیم پنج ضلعی منتظمی به ضلع محاط در دایره ای به شعاع وسط طول یک قطر آن باشد. با استفاده از قضیه بطلیموس برای چهار ضلعیهای خواهیم داشت: که درآن طول ضلع ده ضلعی منتظم محاط در دایره ای به شعاع است. از اینجا نتیجه می‌شود که در تساوی صدق می‌کند.

اسلاید 17: بنابراین نسبت شعاع به طول ضلع ده ضلعی منتظم محاطی، ، نسبت زرین معروف را می‌دهد:

اسلاید 18: ارتباط مثلث خيام /پاسكال و  دنباله فيبوناچي مثلث خيام را در سمت چپ مي بينيد كه هر عدد آن از جمع دو عدد بالايش بدست آمده است هرگاه آنرا به شكل يك مثلث قائم الزاويه بچينيم چنانكه در تصوير سمت راست ديده مي شود، آنگاه ارتباطش با دنباله فيبوناچي ديده خواهد شد اين ارتباط در رديف زير با رنگ نشان داده شده است

اسلاید 19:

اسلاید 20: اين مثلث قائم الزاويه  را كه از روي مثلث خيام پاسكال ساختيم مي توانيم بجاي آنكه افقي يا عمودي نگاه كنيم، بطور قطري بنگريم و اين نگرش با رنگ نشان داده شده است حاصل جمع هر قطر را در ستون سمت چپ با همان رنگ قطر مي نويسيم اگر به اعداد اين ستون دقت كنيم مي بينيم كه همان اعداد دنباله فيبوناچي  است ترتيبي ديگر از مثلث خيام پاسكال

اسلاید 21: در امتداد قطر ماتريس كه در آن نيز مجموع   اعداد عر ستون برابر  اعداد در دنباله فيبوناچي خوهد شد109 8 7 6 5 4 3 2 1 .........1.......11......121.....1331....14641....5101051.....201561......2171.......81........1.........55342113853211

اسلاید 22: يكي از ارتباطات عجيب بين اعداد فيبوناچي و كسر گوياي  يك هشتاد ونهم است 89/1 كه هرچند گويا است ولي اگر تقسيم كنيم عدد اعشاري حاصله هرگز تمام نمي شود.  قسمتي ازآن عدد اعشاري اينست:  0.011235955056179775280898876404494 حال اگر اعداد دنباله فيبوناچي را بنحوي كه در شكل روبرو ديده مي شود بچينيم و از سمت راست، ستون به ستون جمع كنيم  ديده مي شود كه همان عدد اعشاري بدست مي آيد يك نكته اضافي كه از مطلب اين رديف و دو رديف بالا مي توانيم نتيجه بگيريم اينست كه ترتيب مي تواند بسيار پرمعنا و نتيجه بخش باشد آنچه كه در يك چيدمان خاص پنهان است، در چيدمان ديگري مي تواند عيان و آشكار شود بنا بر اين ما حق داريم ترتيبات موجود را قابل تغيير بشماريم

اسلاید 23: - براي يادآوري ذكر مي شود كه رابطه  يا معادله خطي آن است كه متغيرهايش از درجه يك باشند يعني توان دوم و سوم و...راديكال و   غيره نداشته باشند و همچنين متغيرها در يكديگر ضرب نشده باشند.  مثلا x.y=5  يا   x2-3x+1=y خطي نيستند .

اسلاید 24: 2- علائم   Lو F    در تصوير روبرو بترتيب نشانه عدد لوكاس و عدد فيبوناچي است 3 - همچنين  (F(n نشانه عدد  امn  در دنباله فيبوناچي است  و  (F(n+2  نشانه  دومين عدد سمت راست آن و  (F(n-2  نشانه دومين عدد سمت چپ آن است با اين ترتيب فرمول نخستين را براي   n=6  از دنباله فيبوناچي   و دو عدد سمت چپ و راستش را مي آزمائيم 9 8 765432 1 34 21 13 8 5 3 2 1 1 كه درست است زيرا 3+ 8 + 21 = 4 x 832 = 32              

اسلاید 25:                  

اسلاید 26:

اسلاید 27:

اسلاید 28:

اسلاید 29: مجموع فیبوناچی و لوکاس 

اسلاید 30:

اسلاید 31:

اسلاید 32:

اسلاید 33: با تشکر از توجه شما