مدارهای الکتریکی

مدارهای الکتریکی

اسلاید 1: مدارهاي الكتريكي

اسلاید 2: رئوس مطالبمعرفي عناصرالکتريکي و روابط آنهامدارهاي معادل نورتن و توننقوانين جريان و ولتاژ کيرشهفروشهاي ولتاژ-گره و جريان-خانهمدارهاي مرتبه اولمدارهاي مرتبه دوم

اسلاید 3: معرفي عناصر الکتريکي و روابط آنها

اسلاید 4: مقاومت الکتريکيواحد اندازه گيري آن اهم مي‌باشد.بين جريان و ولتاژ آن هميشه قانون اهم برقرار است:V=R IکهR مقاومت، I جريان و V ولتاژ است.

اسلاید 5: خازنواحد اندازه گيري آن فاراد مي باشد.رابطه ولتاژ و بار الکتريکي خازن بصورت زير مي باشد:که C ظرفيت، q بار الکتريکي و v ولتاژ خازن مي باشند.

اسلاید 6: روابط خازننکته: ولتاژ خازن بطور ناگهاني تغيير نميکند.I جريان و v ولتاژ خازن مي باشند:i =c (dv/dt )

اسلاید 7: ترکيب موازي خازنها

اسلاید 8: ترکيب سري خازنها

اسلاید 9: سلف (القاگر)واحد اندازه گيري آن هانري (H) ميباشد.روابط آن بصورت زير ميباشد که L القاکنايي، w انرژي، i جريان و v ولتاژ سلف ميباشد.نکته: جريان سلف تغيير ناگهاني ندارد.

اسلاید 10: روابط سلفهاي سري

اسلاید 11: روابط سلفهاي موازي

اسلاید 12: منابع ولتاژمنابع ولتاژ همواره داراي ولتاژ ثابتي هستند و ولتاژ آنها بستگي به ميزان جريان آنها ندارد.منابع ولتاژ بر دو نوع هستند، منابع ولتاژ مستقل و منابع ولتاژ وابسته.ميزان ولتاژ منابع ولتاژ وابسته، بستگي به جريان يا ولتاژ قسمت ديگري از مدار دارد.i(t)v(t)+–منبع ولتاژمستقل–v = r icياv = b vc+منبع ولتاژوابسته

اسلاید 13: منابع جريانمنابع جريان همواره داراي جريان ثابتي هستند و جريان آنها بستگي به ميزان ولتاژ آنها ندارد.منابع جريان بر دو نوع هستند، منابع جريان مستقل و منابع جريان وابسته.ميزان جريان منابع جريان وابسته، بستگي به جريان يا ولتاژ قسمت ديگري از مدار دارد.i(t)v(t)+– منبع جريان مستقلi = g vc ياi = d icمنبع جريان وابسته

اسلاید 14: اصل جمع آثاردر مدارهايي که چند منبع ولتاژ وجود دارد، هر بار تنها يکي از آنها را در نظر گرفته و با صفر کردن بقيه منابع، پاسخ مدار محاسبه ميشود. اين عمل براي همه منابع انجام ميشود و در نهايت همه پاسخهاي محاسبه شده با هم جمع ميشوند تا جواب نهايي بدست آيد.منظور از پاسخ مدار، مجهولي است که در مسأله خواسته شده است.

اسلاید 15: نکته: براي صفر کردن منابع ولتاژ، آنها را اتصال کوتاه و منابع جريان را مدار باز ميکنيم.

اسلاید 16: مثالدر مدار زير با استفاده از اصل جمع آثار مقدار ولتاژ VX را بدست آوريد.

اسلاید 17: حل مثالبراي حل، مشابه آنچه که در شکلهاي بالا ديده ميشود، هربار تنها يکي از منابع در نظر گرفته ميشود و ساير منابع صفر ميشوند. مقادير VX1 و VX2 بصورت زير محاسبه ميشوند:

اسلاید 18: i1=5/(1+2+1)=1.25mAVX1=2 i1=2.5 Vi2=50*1/(1+3)=12.5mAVX2=-2 i2=-25VV=VX1+VX2=2.5-25V=-22.5V

اسلاید 19: چند مدار ساده

اسلاید 20: مدار تقسيم کننده ولتاژمدار تقسيم کننده ولتاژ ازترکيب يک منبع ولتاژ و مقاومتهاي سري تشکيل شده است.براي بدست آوردن رابطه روبرو، ابتدا جريان مدار محاسبه و سپس ولتاژ هر يک از مقاومتها بدست مي آيد.

اسلاید 21: مثال در مدار زير با استفاده از روابط تقسيم کننده ولتاژ مقدار ولتاژ VX را بدست آوريد.

اسلاید 22: حلبراي حل مسأله با توجه به موازي بودن مقاومتهاي 40K، ابتدا مداربصورت روبروساده مي شود.براي مدار جديد با استفاده از روابط تقسيم کننده ولتاژ مي توان نوشت:Vx=10*20/(10+20)=6.67V

اسلاید 23: مدار تقسيم کننده جريانمدار تقسيم کننده جريان ازترکيب يک منبع جريان و مقاومتهاي موازي تشکيل شده است.براي بدست آوردن رابطه روبرو، ابتدا ولتاژ مدار محاسبه و سپس جريان هر يک از مقاومتها بدست مي آيد.منظور از Gi هدايت الکتريکي مقاومت iام و برابر با 1/Ri ميباشد.

اسلاید 24: مثالدر مدار روبرو با استفاده از روابط تقسيم کننده جريان مقدار جريان iX را بدست آوريد.

اسلاید 25: حلبا توجه به روابط گفته شده در قسمت قبل همچنين موازي بودن سه مقاومت 1K,10K,1K ميتوان نوشت:ix=100*0.5/(0.5+10) =4.76mAاز آنجا که دو مقاومت 1k با يکديگر موازي هستند، بجاي آنها از مقاومت 0.5K استفاده شده است.

اسلاید 26: تبديل ستاره-مثلث و برعکسYY  

اسلاید 27: مدارهاي معادل نورتن و تونن

اسلاید 28: مدارهاي معادل تونن و نورتنمدارهاي معادل نورتن و تونن تکنيکهايي براي ساده سازي بعضي از مدارهاي الکتريکي هستند.همه مدارهاي خطي که فقط داراي مقاومتها و منابع هستند را ميتوان بفرم معادل نورتن يا تونن تبديل کرد. io+-voio+-voمدار معادل توننمدار معادل نورتن

اسلاید 29: مدار معادل توننيکي از روشها براي يافتن مدار معادل تونن به اينصورت است که: ابتدا با فرض مدار باز بودن ترمينالهاي a وb، ولتاژ بين آن دو Vab را محاسبه ميکنيم.سپس با اتصال کوتاه کردن ترمينالهاي a و b، جريان اتصال کوتاه ISc محاسبه ميشود.

اسلاید 30: با تقسيم کردن ولتاژ Vab بر ISC مقدار مقاومت تونن که همان RTh ميباشد، بدست ميآيد.مقدار ولتاژ منبع ولتاژ در مدار معادل تونن همان ولتاژ مدار باز Vab ميباشد.VTh=Vab/ISCVTh=Vab

اسلاید 31: مثالمدار معادل تونن مدار زير را بدست آوريد.

اسلاید 32: حلبراي حل مسأله از اصل جمع آثار استفاده مي‌کنيم:

اسلاید 33: از آنجا که مقاومت 4 اهمي از طرف پايانه a مدار باز است از آن جرياني عبور نميکند. بنابراين با استفاده از روابط تقسيم کننده ولتاژ داريم: Vab1=25*20/(20+5)=20V

اسلاید 34: اينبار با صفر کردن منبع ولتاژ ، مقدار ولتاژ Vab2 محاسبه ميشود: R=R1|| R2=5*20/(5+20)=4ΩVab2=3*4=12V

اسلاید 35: بنابراين مقدار Vab برابر خواهد شد با:Vab=Vab1+Vab2=20+12=32Vحال با فرض اتصال کوتاه بودن ترمينالهاي a و b مقدار جريان اتصال کوتاه محاسبه مي‌شود:

اسلاید 36: با استفاده از اصل جمع آثار مقدار جريان اتصال کوتاه برابر 4 آمپر بدست مي آيد ISC=4A.مقادير منبع ولتاژ و مقاومت تونن بصورت زير محاسبه ميشوند:VTh=Vab=32V RTh=Vab/ISC=32/4=8Ω

اسلاید 37: روش دوم محاسبه مدارمعادل توننبراي بدست آوردن مقاومت تونن مي توان به اينصورت عمل کرد که ابتدا تمام منابع ولتاژ و جريان مستقل را صفر کرده و مقاومت معادل ديده شده از دو سر a وb محاسبه ميشود. اين مقاومت همان مقاومت معادل تونن RTh ميباشد.مقدار ولتاژ منبع ولتاژ معادل تونن VTh مشابه حالت قبل محاسبه ميشود و همان Vab با فرض مدارباز بودن دو سر a و b ميباشد.

اسلاید 38: مثالبراي مدار زير مدار معادل تونن را بدست آوريد (همان مدار مثال قبلي(.

اسلاید 39: حلنحوه محاسبه ولتاژ VTh مشابه مثال قبلي است و مقدار آن برابر با 32V ميباشد. براي محاسبه RTh، ابتدا تمام منابع مستقل را صفر ميکنيم و مدار زير حاصل ميشود. سپس مقدار مقاومت معادل ديده شده از دو سر a و b را محاسبه ميکنيم:

اسلاید 40: از آنجا که مقاومتهاي 5 و 20 اهمي با هم موازي و مجموعه آنها با مقاومت 4 اهمي سري هستند، مقاومت معادل کل از رابطه زير بدست ميآيد:R=(5||20)+4=5*20/(5+20)+4R=4+4=8ΩRTh=8Ω

اسلاید 41: حالت خاص در بعضي موارد که در مدار منابع ولتاژ يا جريان وابسته وجود دارد، براي يافتن مقاومت معادل ميتوان يک منبع ولتاژ آزمون VT به دو سر a و b اعمال کرد و جريان ورودي به مدار IT را محاسبه کرد. مقدار مقاومت تونن از رابطه زير قابل محاسبه است:RTh=VT/IT

اسلاید 42: مقاومت معادل تونن مدار زير را بدست آوريد:(توجه کنيد که منبع جريان وابسته است.) مثال از حالت خاص

اسلاید 43: حلاز آنجا که منبع ولتاژ داخل مدار وابسته است نبايد آنرا صفر کرد. با اعمال يک منبع ولتاژ ولتاژ مستقل در پايانه هاي a و b مدار زير بدست ميآيد:

اسلاید 44: با توجه به اينکه i و IT مساوي و در جهت مخالف هستند، بنابراين i=-IT خواهد بود. i1=(VT-1.5 i)/3i2=VT/2IT=i1+i2=(VT-1.5 i)/3+VT/2=5VT/6- 0.5 iIT=(5/3)VT RTh=VT/IT=3/5=0.6Ωبنابراين مقدار مقاومت تونن برابر با 0.6 اهم ميباشد.

اسلاید 45: مدار معادل نورتنمشابه آنچه براي مدار معادل تونن گفته شد، مي‌توان بجاي هر مدار شامل مقاومتها، منابع مستقل يا وابستة ولتاژ يا جريان از تركيب موازي يك منبع جريان و يك مقاومت استفاده كرد.

اسلاید 46: بجاي مدار سمت چپ از معادل آن مي‌توان استفاده كرد كه در سمت راست نشان داده شده است. io+-vo

اسلاید 47: نحوة محاسبة مدار معادل نورتن شامل دو مرحله است:1-يافتن مقاومت نورتن2- يافتن مقدار منبع جريان نورتنio+-vo

اسلاید 48: مقاومت نورتننحوة يافتن مقاومت نورتن مشابه روشهاي يافتن مقاومت تونن است. با محاسبة ولتاژ ترمينالهاي خروجي وقتي كه مدار باز هستند و سپس محاسبه جريان اتصال كوتاه ترمينالهاي خروجي. R=V/ISCتمامي منابع مستقل ولتاژ و جريان برابر با صفر قرار داده مي‌شود، سپس مقاومت معادل محاسبه مي‌شود.

اسلاید 49: منبع جريان نورتن مقدار جريان منبع جريان نورتن، برابر است با همان جريان اتصال كوتاه ترمينالهاي خروجي.توضيح: در صورتيكه مدار معادل تونن موجود باشد، از رابطة زير هم مي‌توان جريان منبع را بدست آورد:IN=VTh/RTh

اسلاید 50: مثالمدار معادل نورتن مدار زير را بدست آوريد:

اسلاید 51: حلابتدا جريان اتصال كوتاه را محاسبه مي‌كنيم:

اسلاید 52: با استفاده از اصل جمع آثار مقدار جريان 4 آمپر بدست مي‌آيد.ISC=4Aهمانگونه كه بعداً نيز اشاره خواهد شد، براي يافتن جريان اتصال كوتاه مي‌توان از روشهاي ديگري مثل ولتاژ-گره، جريان-خانه، KCL و يا KVL استفاده كرد.

اسلاید 53: مقاومت نورتن براي يافتن مقاومت نورتن منابع مستقل را صفر كرده مقومت ديده شده را محاسبه مي‌كنيم:R=4+(5||20)=4+4=8

اسلاید 54: بنابراين مدار معادل نورتن بشكل زير است:

اسلاید 55: انتقال توان ماكزيمم

اسلاید 56: انتقال ماکزيمم توان تصور کنيد مداري شامل ترکيبي از مقاومتها، منابع مستقل يا وابسته جريان ويا ولتاژ باشد که دو ترمينال خروجي a و b آن به مقاومت بار (مصرف کننده) RL متصل شده باشد. مي خواهيم مقدار مناسب RL را بيابيم بطوري که حداکثر توان به مقاومت بار منتقل شود.

اسلاید 57: شبکه مقاوتي که شامل منابع وابسته يا مستقل جريان يا ولتاژ مي باشد.

اسلاید 58: براي يافتن مقدار مناسب مقاومت بار، ابتدا شبکه مقاومت و منابع را بصورت يک مدار معادل تونن نمايش ميدهيم. سپس رابطه توان را براي مقاومت بار نوشته و از آن مشتق گرفته تا مقدار بهينه بدست آيد. از حل اين معادله مقدار مقاومت بار برابر با مقدار مقاومت تونن بدست مي آيد.RL=RTh pmax = =

اسلاید 59: مثالدر مدار زير با تغيير مقاومت بار از صفر تا 10 اهم مقدار توان مصرفي در مقاومت بار را رسم کرده و مقدار ماکزيمم آن به ازاي چه مقداري از مقاومت بار اتفاق مي افتد؟

اسلاید 60: حلبا استفاده از رابطه توان و مقادير مقاومت و منبع، منحني زير بدست ميآيد:همانگونه که ديده ميشود مقدار ماکزيمم توان به ازاي مقاومت بار 5 اهم بدست ميآيد که برابر با مقدار مقاومت تونن است.

اسلاید 61: تبديل منابعدر بعضي موارد تبديل منبع جريان به منبع ولتا‍ژ يا برعكس، باعث سادگي مسأله مي‌شود.مي‌توان بجاي منبع ولتاژ سري با مقاومت، از يك منبع جريان موازي با مقاومت استفاده كرد.

اسلاید 62: قوانين جريان و ولتاژ کيرشهف

اسلاید 63: بعضي تعاريف اوليهگره(Node): محل اتصال دو يا بيشتر عنصر الکتريکي به يکديگر را گره ميگويند.حلقه(Loop): هر مسير بسته در داخل مدار الکتريکي را گويند.مسير: مجموعه عناصري که ميتوان آنها را بدون عبور مجدد از يک گره پيمود.شاخه: مسيري که تنها از يک عنصر و دو گره مربوط به دو سر آن عنصر تشکيل ميشود.

اسلاید 64: قانون جريان کيرشهفاين قانون اصطلاحاً Kirchhoff’s Current Law يا KCL نيز ناميده ميشود بصورت زير است:مجموع جبري تمام جريانها در هر گره از مدار همواره برابر با صفر است. به عبارت ديگر مجموع جريانهاي ورودي در هر گره برابر با مجموع جريانهاي خروجي از آن گره است. نکته: در هنگام نوشتن معادلات KCL جريانهاي خروجي را با علامت مثبت و جريانهاي ورودي را با علامت منفي نمايش ميدهيم.

اسلاید 65: مثال از KCLدر مدار زير با استفاده از روابط KCL جريانهاي هر شاخه را بدست آوريد.R2= 20I=5AR1=10R3= 5+_+_+_گره 1گره 2گره 3

اسلاید 66: R2= 20I=5AR1=10R3= 5+_+_+_i1i2i3INode 1: +I - i1 = 0 V2=V3Node 2: +i1 - i2 - i3 = 0 R2 i2=R3 i3Node 3: +i2 + i3 - I = 0 20 i2=5 i3 حل

اسلاید 67: براي هر گره يک معادله نوشته شد و سه معادله بدست آمد در حاليکه مجهولهاي مسأله i1, i2, i3, I هستند. براي يافتن جواب نياز به داشتن يک معادله ديگر است.با توجه به شکل مسأله I، همان مقدار جريان منبع جريان و برابر با 5 ميباشد. بنابراين I=5 معادله بعدي است.با حل دستگاه چهار معادله، چهار مجهول، مقادير جريانهاي هر شاخه بدست ميآيد.I=5 , i1=5 , i2=1 , i3=4AV1=50 , V2=V3=20V

اسلاید 68: قانون ولتاژ کيرشهفاين قانون اصطلاحاً Kirchhoff’s Voltage Law يا KVL نيز ناميده ميشود بصورت زير است:مجموع جبري ولتاژ تمام عناصر الکتريکي در هر حلقه از مدار الکتريکي همواره برابر با صفر است. نکته: در هنگام نوشتن معادلات KVL هرگاه از طرف علامت مثبت وارد يک عنصر شويم، آن ولتاژ را با علامت مثبت جمع ميکنيم و اگر از طرف علامت منفي وارد عنصر شويم، آن ولتاژ را با علامت منفي جمع ميکنيم.

اسلاید 69: مثال از KVLدر مدار زير با استفاده از روابط KVL مقادير جريانها و ولتاژها را بدست آوريد:R2= 20V= 5vR1=10+_+_+_

اسلاید 70: حلبراي حل مدار از نقطه نشان داده شده در شکل شروع کرده و رابطه KVL را مينويسيم:-V+ VR1+VR2 = 0براي حل مدار نياز به روابط ديگري نيز ميباشد که با توجه به شکل، آنها را مينويسيم:V=5ViV = iR1 = iR2 VR1=10 iR1VR2=20 iR2R2= 20V= 5vR1=10+_+_حلقه 1+_نقطه شروع

اسلاید 71: از حل دستگاه معادلات بالا مقادير جريانها و ولتاژها بصورت زير بدست مي آيند:V=5VVR1=5/3VR2=10/3iR1=iR2=5/30

اسلاید 72: روش ولتاژ-گره

اسلاید 73: چرا روشهاي جديد؟روشهاي ولتاژ-گره و جريان-خانه دو روش براي حل مدارهاي الکتريکي هستند که نسبت به روشهاي حل مدار گفته شده تا حال، داراي مزايايي هستند:همه مدارهاي الکتريکي را نمي توان با روشهاي قبلي حل کرد در حاليکه با روشهاي جريان-خانه و ولتاژ-گره ميتوان همه مدارهاي الکتريکي را تحليل کرد.روشهاي جريان-خانه و ولتاژ-گره را ميتوان بصورت الگوريتمهاي کامپيوتري پياده سازي کرد ولي روشهاي قبلي را نميتوان بصورت الگوريتم مشخصي براي همه مدارها بکار برد.در روشهاي قبلي مشخص نمودن و نوشتن معادلات مستقل از هم، مشكل است در حاليكه در روشهاي ولتا‍ژ-گره و جريان-خانه معادلات مستقل از هم ميباشند.

اسلاید 74: روش ولتاژ-گرهاين روش بر اساس معادلات KCL مي‌باشد و متغييرها ولتاژ گره‌ها هستند. اين روش شامل 4 مرحله مي‌باشد:1-مشخص نمودن تمام گره‌هاي اصلي و انتخاب يكي از آنها بعنوان گره مبنا.2-شماره‌گذاري سايرگره‌ها.3- نوشتن روابط KCL براي همه گره‌ها بجز گره مبنا. متغيرهاي بكاررفته در معادلات ولتاژهاي گره‌ها هستند.4- تشكيل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن.

اسلاید 75: مثال از ولتاژ-گرهدر مدار زير با استفاده از روش ولتاژ-گره، مقادير جريان و ولتاژ هر يك از مقاومتها را بدست آوريد.500W500WI1=3mA+–1kW500WI2=5mA500W

اسلاید 76: 1-مشخص نمودن تمام گره‌هاي اصلي و انتخاب يكي از آنها بعنوان گره مبنا.2-شماره‌گذاري سايرگره‌ها.3- نوشتن روابط KCL براي همه گره‌ها بجز گره مبنا. متغيرهاي بكاررفته در معادلات ولتاژهاي گره‌ها هستند.4- تشكيل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن. حل

اسلاید 77: ابتدا يكي از گره‌ها را بعنوان گره مبنا را انتخاب مي‌كنيم. I1=3mA+–1kW500WI2=5mA500W500W500W

اسلاید 78: 1-مشخص نمودن تمام گره‌هاي اصلي و انتخاب يكي از آنها بعنوان گره مبنا.2-شماره‌گذاري سايرگره‌ها.3- نوشتن روابط KCL براي همه گره‌ها بجز گره مبنا. متغيرهاي بكاررفته در معادلات ولتاژهاي گره‌ها هستند.4- تشكيل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن.

اسلاید 79: پس از انتخاب گره مبنا، همة گره‌ها شماره‌گذاري مي‌شوند.123V1V2V3I1=3mA+–1kW500WI2=5mA500W500W500W

اسلاید 80: 1-مشخص نمودن تمام گره‌هاي اصلي و انتخاب يكي از آنها بعنوان گره مبنا.2-شماره‌گذاري سايرگره‌ها.3- نوشتن روابط KCL براي همه گره‌ها بجز گره مبنا.4- تشكيل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن.

اسلاید 81: 1-مشخص نمودن تمام گره‌هاي اصلي و انتخاب يكي از آنها بعنوان گره مبنا.2-شماره‌گذاري سايرگره‌ها.3- نوشتن روابط KCL براي همه گره‌ها بجز گره مبنا. متغيرهاي بكاررفته در معادلات ولتاژهاي گره‌ها هستند.4- تشكيل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن.

اسلاید 82: از آنجا كه گره مبنا زمين در نظر گرفته شده است، ولتاژ آن برابر با صفر است.500WV1500WV1V2

اسلاید 83: رابطة KCL براي گره شماره 1 بصورت زير مي‌باشد:500W500WI1V1V2

اسلاید 84: رابطة KCL براي گره شماره 2 بصورت زير مي‌باشد:500W1kW500WV2V3V1

اسلاید 85: بطور مشابه، رابطة KCL براي گره شماره 3 بصورت زير خواهد شد:500W500WI2V2V3

اسلاید 86: 1-مشخص نمودن تمام گره‌هاي اصلي و انتخاب يكي از آنها بعنوان گره مبنا.2-شماره‌گذاري سايرگره‌ها.3- نوشتن روابط KCL براي همه گره‌ها بجز گره مبنا. 4- تشكيل دستگاه n معادله، nمجهول و حل آن.

اسلاید 87: با مرتب كردن روابط KCL نوشته شده در بالا، دستگاه معادلات را تشكيل داده و مقادير متغيرها محاسبه مي‌شوند:

اسلاید 88: دستگاه فوق يك دستگاه چهار معادله، چهار مجهول است كه مي‌توان آنرا به روشهاي گوناگون حل كرد.از حل معادلات فوق جوابهاي زير بدست مي‌آيد:V1=1.3333V2=1.1667V3=1.5833

اسلاید 89: روشهاي حل دستگاه معادلات براي حل دستگاه معادلات n معادله n مجهول، چند روش وجود دارد:ساده‌سازي معادلات و حل آنهاروش حل ماتريسيروش حل كرامر

اسلاید 90: ساده‌سازي معادلات و حل آنهادر اين روش با استفاده از تركيب و ساده‌سازي معادلات، تعداد مجهولات را كاهش داده تا نهايتاً مقدار يكي از مجهولات بدست آيد.با استفاده از معادلات ساده شده و مقدار بدست آمده براي مجهول اول، مقادير بقيه مجهولات نيز محاسبه مي‌شود.

اسلاید 91: ساده‌سازي معادلات و حل آنهاروش حل ماتريسيروش حل كرامر

اسلاید 92: روش حل ماتريسياگر فرض كنيم كه معادلات بصورت زير باشند، آنها را مرتب كرده و بفرم ماتريسي نمايش مي‌دهيم: ............

اسلاید 93: دستگاه معادلات را مي‌توان بصورت زير نمايش داد:AX = B

اسلاید 94: اگر همة معادلات از يكديگر مستقل باشند، دترمينان ماتريس A مخالف با صفر خواهد شد و يك جواب منحصر بفرد براي مجهولات بدست مي‌آيد.از آنجا كه دترمينان A مخالف با صفر است، ماتريس معكوس A-1 را مي‌توان بصورت زير بدست آورد:

اسلاید 95: 2x+z=2x+y=33x+2y+z=1,,مثالدستگاه معادلات زير را بروش ماتريسي حل كنيد

اسلاید 96: پس از محاسبة ماتريس معكوس ميتوان مقادير متغيرها را بدست آورد:بنابراين خواهيم داشت:x=7, y=-4 , z=-12

اسلاید 97: ساده‌سازي معادلات و حل آنهاروش حل ماتريسيروش حل كرامر

اسلاید 98: روش كرامربا فرض اينكه n معادله n مجهولي مستقل از هم بصورت زيرداشته باشيم:كه a11,…,ann و b1,…,bn ضرايب ثابت هستند.............

اسلاید 99: روش كرامرمقادير متغيرها از روابط زير بدست مي‌آيند:كه Ai از تعويض ستون iام ماتريس A با بردار B بدست مي‌آيد.نكته: براي استفاده از روش كرامر، معادلات بايد حتماً مستقل از هم باشند تا دترمينان ماتريس A مخالف صفر شود. در غير اينصورت مخرج كسرها برابر با صفر شده و جوابي بدست نمي‌آيد.AAxAAxAAxnn===,....,,2211

اسلاید 100: مثال از روش كرامربا استفاده از روش كرامر دستگاه معادلات زير را حل كنيد.2x+z=2x+y=33x+2y+z=1,

اسلاید 101: حل مثالهمانگونه كه ديده مي‌شود همه معادلات مستقل از هم هستند و دترمينان A مخالف صفر است. همچنين داريم:

اسلاید 102: و بنابراين مي‌توان نوشت:12,4,7332211-==-====AAxAAxAAx

اسلاید 103: مثال مدار زير را با استفاده از روش ولتاژ-گره حل كنيد.

اسلاید 104: حلابتدا همة گره‌هاي اصلي را شماره‌گذاري كرده و گره مبنا را تعيين مي‌كنيم.

اسلاید 105: سپس روابط KCL را براي هر گره مي‌نويسيم:KCL 1:KCL 2:KCL 3:

اسلاید 106: همانگونه كه ديده مي‌شود، تعداد معادلات از تعداد مجهولات بيشتر است و نياز به يك معادله ديگر است. در چنين مواردي معمولاً مي‌توان از شكل مسأله استفاده كرد و معادلات لازم را اضافه نمود.V3=5vدستگاه معادلات را حل كرده و جوابها را بدست مي‌آوريم: V1 = 7.29VV2 = 1.88V

اسلاید 107: مثال از ولتاژ-گره در مدار زير مقادير ولتاژهاي V1 و V2 را با استفاده از روش ولتاژ-گره بدست آوريد.

اسلاید 108: حل ابتدا گره‌هاي اصلي را شماره‌گذاري كرده و معادلات KCL را مي‌نويسيم:

اسلاید 109: KCL 1: -I1+V1/R1+ (V1-V2)/R2 +I2=0KCL 2: -I2+ (V2-V1)/R2 + V2/R3=0

اسلاید 110: با مرتب كردن معادلات مي‌توان آنها را بفرم ماتريسي نمايش داد:كه منظور از G هدايت الكتريكي و برابر با 1/R مي‌باشد.

اسلاید 111: مثال در مدار زير با استفاده از روش ولتاژ-گره مقادير ولتاژهاي نشان داده شده را بيابيد.+- + v2-+v1-15101222A10V

اسلاید 112: حل گره‌هاي اصلي را شماره‌گذاري كرده و معادلات KCL را براي آنها مي‌نويسيم:KCL 1: (V1-10)/1+ V1/5 +(V1-V2)/2=0KCL 2: (V2-V1)/2 + V2/10 -2 =0 +- + v2-+v1-151012A10V22

اسلاید 113: همانگونه كه ديده مي‌شود براي نوشتن رابطة KCL در گره شماره 1 از مقدار منبع ولتاژ نيز استفاده شد.با مرتب كردن روابط فوق آنها را حل مي‌كنيم: V1=9.1V V2=11V

اسلاید 114: مثال از ولتاژ-گره ولتاژهاي خواسته شده در مدار زير را با استفاده از روش ولتاژ-گره بدست آوريد.+-+-+v2-+v1-2205210i8i20

اسلاید 115: حل گره‌ها را شماره‌گذاري كرده و روابط KCL را مي‌نويسيم:+-+-+v2-+v1-2205210i128i20

اسلاید 116: با توجه به شكل مي‌توان يك رابطه ديگر نيز اضافه كرد:i=(V1-V2)/5+-+-+v2-+v1-2205210i12208i

اسلاید 117: با مرتب كردن و حل معادلات بدست مي‌آيد:15 V1- 4 V2=200-10 V1+16 V2=0V1=16VV2=10V

اسلاید 118: ابرگره در بعضي موارد هنگام استفاده از روش ولتاژ-گره، منبع ولتاژي بين دو گره اصلي واقع مي‌شود. در چنين مواردي با تعريف ابرگره، رابطة KCL را براي آن مي‌نويسيم.10i

اسلاید 119: گره‌هاي اصلي را شماره‌گذاري مي‌نماييم و همانگونه كه ديده مي‌شود بين گره‌هاي 2 و 3 يك منبع ولتاژ قرار دارد كه جريان آن نامشخص است. در اينگونه موارد يك ابرگره تعريف مي‌كنيم.10i

اسلاید 120: KCL 1: +-+v2-+v1-40550i12+v3-10050V34A

اسلاید 121: از طرفي مقدار ولتاژ V1=50 مي‌باشد و بنابراين مي‌توان دستگاه معادلات را حل كرد. V1=50V2=60V3=80i=2

اسلاید 122: مثال از ابرگره در مدار زير با استفاده از روش ولتاژ-گره مقادير ولتاژهاي V1 و V2 را بدست آوريد.+ -6k12k6 mA6 V4 mAV1V2

اسلاید 123: حل همانگونه كه ديده مي‌شود بين دو گره كه هيچيك گره مبنا نمي‌باشد، يك منبع ولتاژ قرار گرفته است. براي حل اين مثال از ابرگره استفاده مي‌كنيم.1- با كشيدن يك دايره به دور گره هاي شماره 1 و 2 يك ابرگره مشخص مي‌كنيم.2- رابطه اي بين مقادير ولتاژهاي گره هاي مربوط به ابرگره و منبع ولتاژ مي نويسيم.3- براي ابرگره معادلة KCL را مي‌نويسيم.

اسلاید 124: 4- معادلات نوشته شده را مرتب كرده و دستگاه معادلات را حل مي‌كنيم.+ -6k12k6 mA6 V4 mAV1V2

اسلاید 125: V1 – V2 = 6V1 =10V V2 = 4V

اسلاید 126: مثال از ابرگره در مدار زير با استفاده از روش ولتاژ-گره مقادير ولتاژهاي گره‌هاي نشان داده شده را بدست آوريد.012

اسلاید 127: حلپس از مشخص كردن ابرگره، روابط KCL را مي‌نويسيم: 012 At node 0:

اسلاید 128: 012 در ابر گره

اسلاید 129: و نهايتاً مقادير ولتاژها بصورت زير بدست مي‌آيند: 

اسلاید 130: مثال از منابع وابسته در مدارزير ولتاژ گره‌هاي مشخص شده را با استفاده از روش ولتاژ-گره بدست آوريد.01

اسلاید 131: حل اگرچه به گره شماره 1 يك منبع ولتاژ متصل است و نمي‌توان رابطه KCL نوشت، ولي مي‌توان رابطة ديگري نوشت: در گره شماره 1در گره شماره 0

اسلاید 132: رابطة‌ سوم با توجه به شكل مسأله بصورت زير نوشته مي‌شود:روابط بالا را مرتب كرده و آنها را حل مي‌كنيم:

اسلاید 133: جوابها بصورت زير بدست مي‌آيند: 

اسلاید 134: مثال در مدار زير مقادير ولتاژها را با استفاده از روش ولتاژ-گره بدست آوريد:012

اسلاید 135: حل ابتدا ابرگره را مشخص مي‌كنيم و سپس روابط KCL را مي‌نويسيم:012

اسلاید 136: همچنين براي داخل ابرگره و با توجه به منبع ولتاژ وابسته مي‌توان نوشت: 012

اسلاید 137: رابطة‌ديگر با توجه به موقعيت منبع ولتاژ مستقل 12 ولتي نوشته مي‌شود: 012V1=12v

اسلاید 138: با مرتب كردن روابط فوق ماتريس زير بدست مي‌آيد:

اسلاید 139: از حل روابط فوق مقادير ولتاژها بدست مي‌آيند:

اسلاید 140: روش جريان-خانه

اسلاید 141: روش جريان-خانهروش جريان-خانه تكنيك ديگري است كه براي حل مدارهاي الكتريكي مي‌توان از آن استفاده كرد. اساس كار بر معادلات KVL است و متغيرهاي بكار رفته درمعادلات از جنس جريان هستند.حلقه(Loop): هر مسير بسته در مدار الكتريكي را گويند.خانه (Mesh): كوچكترين حلقه كه نمي‌توان داخل آن حلقة ديگري مشخص كرد.

اسلاید 142: مراحل روش جريان-خانه1-مشخص كردن همة خانه‌ها (مش‌ها).2-اختصاص جريان به هر خانه.3-اعمال قانون KVL به هريك ازخانه‌ها بر اساس جريانهاي مشخص شده براي خانه‌ها.4-حل معادلات بدست آمده و يافتن مقادير جريان خانه‌ها.5-استفاده از مقادير جريان خانه‌ها براي يافتن جريان شاخه‌ها.

اسلاید 143: مثال از جريان-خانهبا استفاده از روش جريان-خانه، ولتاژ Vout را در مدار زير بدست آوريد.+–Vout1kW1kW1kWV1V2+–+–

اسلاید 144: حل 1-مشخص كردن همة خانه‌ها (مش‌ها).2-اختصاص جريان به هر خانه.3-اعمال قانون KVL به هريك ازخانه‌ها بر اساس جريانهاي مشخص شده براي خانه‌ها.4-حل معادلات بدست آمده و يافتن مقادير جريان خانه‌ها.5-استفاده از مقادير جريان خانه‌ها براي يافتن جريان شاخه‌ها.

اسلاید 145: كلاً دو خانه مي‌توان براي مدار تعريف كرد:Mesh 21kW1kW1kWV1V2Mesh 1+–+–

اسلاید 146: 1-مشخص كردن همة خانه‌ها (مش‌ها).2-اختصاص جريان به هر خانه.3-اعمال قانون KVL به هريك ازخانه‌ها بر اساس جريانهاي مشخص شده براي خانه‌ها.4-حل معادلات بدست آمده و يافتن مقادير جريان خانه‌ها.5-استفاده از مقادير جريان خانه‌ها براي يافتن جريان شاخه‌ها.

اسلاید 147: جريان خانه‌هاي I1 و I2 براي مدار تعريف مي‌شوند.1kW1kW1kWV1V2I1I2+–+–

اسلاید 148: 1-مشخص كردن همة خانه‌ها (مش‌ها).2-اختصاص جريان به هر خانه.3-اعمال قانون KVL به هريك ازخانه‌ها بر اساس جريانهاي مشخص شده براي خانه‌ها.4-حل معادلات بدست آمده و يافتن مقادير جريان خانه‌ها.5-استفاده از مقادير جريان خانه‌ها براي يافتن جريان شاخه‌ها.

اسلاید 149: نحوة نوشتن روابط KVL با توجه به جهت جريانها و بصورت زير است.RI1+–VRVR = I1 RRI1+–VRI2VR = (I1 - I2 ) R

اسلاید 150: توجه: در حين نوشتن روابط KVL براي هر حلقه، اگر به مثبت منبع ولتاژ وارد شويم از علامت مثبت و اگر از طرف منفي وارد شويم، از علامت منفي استفاده مي‌كنيم.1kW1kW1kWV1V2I1I2+–+–KVL1: -V1 + I1 1kW + (I1 - I2) 1kW = 0KVL 2: (I2 - I1) 1kW+ I2 1kW + V2 = 0

اسلاید 151: 1-مشخص كردن همة خانه‌ها (مش‌ها).2-اختصاص جريان به هر خانه.3-اعمال قانون KVL به هريك ازخانه‌ها بر اساس جريانهاي مشخص شده براي خانه‌ها.4-حل معادلات بدست آمده و يافتن مقادير جريان خانه‌ها.5-استفاده از مقادير جريان خانه‌ها براي يافتن جريان شاخه‌ها.

اسلاید 152: معادلات بالا را مي‌توان بفرم ماتريسي زير تبديل كرده و سپس آنها را حل نمود.

اسلاید 153: اگر مقادير V1=7V و V2=4V را براي منابع در نظر بگيريم، جواب دستگاه معادلات بصورت زير خواهد شد:I1 = 3.33 mAI2 = -0.33 mAاين جريانها مقادير جريان خانه‌ها هستند. حال جريان مقاومت وسط را يافته و از روي آن Vout را محاسبه مي‌كنيم:Vout = (I1 - I2) 1kW = 3.66V

اسلاید 154: 1-مشخص كردن همة خانه‌ها (مش‌ها).2-اختصاص جريان به هر خانه.3-اعمال قانون KVL به هريك ازخانه‌ها بر اساس جريانهاي مشخص شده براي خانه‌ها.4-حل معادلات بدست آمده و يافتن مقادير جريان خانه‌ها.5-استفاده از مقادير جريان خانه‌ها براي يافتن جريان شاخه‌ها.

اسلاید 155: با توجه به شكل زيرمي‌توان كليه جريانهاي المانها را بدست آورد. جريان مقاومت 1kΩ سمت چپ برابر با I1 و 3.33mA ميباشد. همچنين جريان مقاومت 1kΩ سمت راست برابر با I2 و -0.33mA مي‌باشد. جريان مقاومت مياني نيز برابر I1-I2=3.66mA مي‌باشد.1kW1kW1kWV1V2I1I2+–+–

اسلاید 156: مثال از جريان-خانه در بعضي از موارد مانند مدار زير، منابع جريان مستقل يا وابسته وجود دارند. براي حل اين نوع مسائل بايد با توجه به شكل معادلات ديگري نيز اضافه نمود.

اسلاید 157: حل براي هر خانه يك جريان مشخص كرده و روابط مربوطه را مي‌نويسيم:KVL 1: -10+4 i1+6(i1-i2)=0

اسلاید 158: همانگونه كه ديده ميشود نمي‌توان براي حلقة دوم رابطة مناسبي نوشت، زيرا ولتاژ دو سر منبع جريان نامشخص است. در عوض با توجه به شكل مدار مي‌توان از رابطة زير استفاده كرد:i2=-5

اسلاید 159: با استفاده از دو رابطة بالا بدست مي‌آيد:i1=-2Aو جريان مقاومت وسط برابر با i1-i2=-2+5=3Aاز بالا به پايين مي‌باشد.

اسلاید 160: مثال از جريان خانه مدار زير را با استفاده از روش جريان-خانه حل كنيد:

اسلاید 161: حل براي حل مسأله دو خانه براي مدار تعريف كرده، جريانهاي آنها را نامگذاري مي‌كنيم و سپس مدار را حل مي‌كنيم.I1I2

اسلاید 162: براي هر حلقه روابط KVL را بصورت زير مي‌نويسيم:I1I2(1)(2): KVLدر خانه 1: KVLدر خانه 2

اسلاید 163: از طرفي ازروي شكل مي‌توان رابطه ديگري هم نوشت:(3)I1I2

اسلاید 164: با حل اين معادلات جوابها بصورت زير بدست مي‌آيند:I1 =3 mA I2 = 3 mA Ix = 3 mA

اسلاید 165: مثال از جريان-خانهدر مدار زير با استفاده از روش جريان-خانه جريان مقاومتها را محاسبه كنيد.

اسلاید 166: حلبا توجه به صورت سوال متوجه مي‌شويم كه جريانهاي i1 و i2 دقيقاً همان جريانهاي منابع جريان مستقل هستند. بنابراين: i1=4mAi2=-2mA

اسلاید 167: با استفاده از شكل، رابطة KVL را براي خانه شماره 3 مي‌نويسيم:4000(i3-i2) + 2000(i3-i1)+6000i3-3 = 0

اسلاید 168: از مقادير i1 و i2 استفاده كرده و i3 را نيز محاسبه مي‌كنيم:i3=0.25mAVo = 6000i3 – 3 = -1.5 V

اسلاید 169: حال با داشتن مقادير جريان خانه‌ها، جريانهاي مقاومتها را محاسبه مي‌كنيم:I1=i2-i1=-2-4=-6mAI2=i1-i3=4-0.25=3.75mAI3=i2-i3=-2-0.25=-2.25mAI4=i3=0.25mA

اسلاید 170: مثال از جريان-خانهدر مدار زير با استفاده از روش جريان-خانه مقدار جريان مقاومت Ω1 را بدست آوريد.

اسلاید 171: حلابتدا براي هر خانه جرياني مشخص كرده و روابط KVL را مي‌نويسيم.KVL 1: 5(i1 – i2) + 20(i1 – i3)-50=0KVL 2: 5(i2 – i1) + 1i2 + 4(i2 – i3)=0

اسلاید 172: KVL 3: 20(i3 - i1) + 4(i3 – i2) + 15iΦ=0

اسلاید 173: همچنين از روي شكل مي‌توان نوشت:iΦ = i1 – i3

اسلاید 174: از حل معادلات فوق مقاديرجريان خانه‌ها بدست مي‌آيد.از آنجا كه جريان مقاومت Ω1 همان جريان i2 مي‌باشد، مقدار آن برابر با 26mA خواهد بود.i1=29.6mA i2=26mA i3=28mA

اسلاید 175: ابرخانه چيست؟ در بعضي موارد قرارگرفتن منبع جريان مستقل يا وابسته در مرز مشترك بين دو خانة مجاور باعث مي‌شود كه در روابط KVL نوشته شده براي خانه‌ها، يك متغير اضافه وارد شود. بعلت نامشخص بودن ولتاژ دو سر منبع جريان، متغيري علاوه بر جريان خانه‌ها در معادلة KVL وارد مي‌شود.براي رفع اين مشكل، رابطة KVL براي حلقه‌اي نوشته مي‌شود كه شامل همة عناصر دو خانه، بدون منبع جريان مشترك بين آندو مي‌با‌شد. به اين حلقه كه از حذف منبع جريان مشترك بين دو خانه حاصل مي‌شود، ابرخانه گويند.

اسلاید 176: مثال از ابرخانهدر مدار زير با استفاده از روش جريان-خانه مشخص كنيد كه چقدر جريان از منبع ولتاژ مي‌گذرد.

اسلاید 177: حلبراي حل مسأله استفاده بايد ابتدا جريان خانه‌ها را مشخص كرد. همانگونه كه ديده مي‌شود منبع جريان 4mA بين خانه‌هاي دوم و سوم مشترك است. بنابراين رابطة KVL براي حلقه‌اي نوشته مي‌شود كه در آن منبع جريان مشترك حذف شده باشد.I2I1I3

اسلاید 178: رابطة KVL ابرخانه به اينصورت مي‌باشد:I2I3I1KVL: -6 + 1kI3+2kI2+2k(I2-I1)+1k(I3-I1) = 0

اسلاید 179: همچنين با توجه به شكل، جريان I2 همان جرياني است كه از منبع جريان 2mA عبور مي‌كند. همچنين منبع جريان 4mA حاصل تفاضل جريانهاي حلقه‌هاي دوم و سوم است. I2I1I3I1=2mAI2-I3=4mA

اسلاید 180: از حل معادلات بالا مقادير جريانهاي خانه‌ها بدست مي‌آيد.جرياني كه از منبع ولتاژ مي‌گذرد، همان جريان I3 و برابر با 2/3mA مي‌باشد. I1=2mAI2=10/3mAI3=-2/3mA

اسلاید 181: مثال از ابرخانهدر مدارزير مقدار ولتاژ V0 را با استفاده از روش جريان-خانه بدست آوريد.I1I2I3

اسلاید 182: حلدر اين مدار يك منبع جريان بين دو خانه مجاور بطور مشترك قرار گرفته است. بنابراين از ابرخانه استفاده مي‌كنيم.5mA2kW1kWIx+Vo_I2I3I1+-

اسلاید 183: از روي شكل ديده مي‌شود كه جريان I1 همان جريان 5mA مي‌باشد. همچنين رابطه KVL براي ابرخانه بصورت زير است:5mA2kW1kWIx+Vo_I2I3I1+-KVL: 2k(I2-I1) +1kI3 = 0 I1 = 5mA

اسلاید 184: همچنين از روي شكل مي‌توان رابطة ديگري نيز نوشت:I1I2I3 I2-I3 = 2 Ix I1-I2 = Ix

اسلاید 185: از ساده كردن روابط فوق مقادير جريان خانه‌ها و بدنبال آن ساير مقادير مدار بدست مي‌آيند. I1 =5 mA I2 = 4 mA I3= 2 mAIx= 1 mAV0= 1 I3=2V

اسلاید 186: نتيجه‌گيري و مقايسهدر چه مواردي از جريان-خانه و در چه مواردي از ولتاژ-گره استفاده كنيم؟اگر در مدار تعداد گره‌ها كمتر از خانه‌ها باشد، بهتر است كه از روش ولتاژ-گره استفاده شود. بطور مشابه هنگامي كه تعداد خانه‌ها كمتر از تعداد گره‌ها است، بهتر است از روش جريان-خانه استفاده شود.مجهول مسأله هم مي‌تواند درانتخاب روش مؤثر باشد. اگر در سوال مقدار ولتاژ نقاط خواسته شود بهتر است كه از روش ولتاژ-گره استفاده شود. اگر جريان عناصر خواسته شود، روش جريان-خانه بهتر است.

اسلاید 187: مدارهاي مرتبه اول

اسلاید 188: مدار مرتبه اول چيست؟هر مداري كه شامل تنها يك عنصر ذخيره كنندة انرژي، تعدادي منبع و تعدادي مقاومت باشد مدار مرتبه اول ناميده مي‌شود.عنصر ذخيره‌كنندة انرژي مي‌تواند خازن يا مقاومت باشد. يكي از خواص مدارهاي مرتبه اول اينست كه پاسخ مدار داراي تابع ديفرانسيلي درجه اول مي‌باشد.

اسلاید 189: مفاهيم مربوط به مدارهاي درجه اولمعادلة ديفرانسيل و ويژگي‌ها و روشهاي حل آن.پاسخ طبيعي.ثابت زماني.پاسخ گذرا و پاسخ ماندگار مدار.

اسلاید 190: انواع مدارهاي مرتبه اولبطور كلي دو نوع مدار مرتبه اول وجود دارد:مدار RC: مدارهايي كه داراي مجموعه‌اي از مقاومتها و منابع هستند و تنها يك خازن نيز در آنها وجود دارد.مدار RL: مدارهايي كه داراي مجموعه‌اي از مقاومتها و منابع هستند و تنها يك سلف نيز در آنها وجود دارد.

اسلاید 191: همانگونه كه در مبحث مدارهاي معادل نورتن و تونن گفته شد، هر مدار شامل منابع و مقاومتها را مي‌توان بصورت تركيب سري يك منبع ولتاژ و مقاومت (معادل تونن) يا تركيب موازي يك منبع جريان و مقاومت (معادل نورتن) نمايش داد.

اسلاید 192:

اسلاید 193: مدار RC

اسلاید 194: مدار RCمدار RC از يك مقاومت و يك خازن تشكيل شده است. مجموعة مقاومت و منبع ولتاژ ممكن است معادل تونن يك مدار ديگر باشد. RCvs(t)+–vc(t)+–vr(t)+–

اسلاید 195: روابط مدار RCرابطة KVL را براي مدار نوشته و سپس آنرا تبديل به يك معادلة ديفرانسيل كرده و حل مي‌كنيم:RCvs(t)+–vc(t)+–vr(t)+–vr(t) + vc(t) = vs(t)

اسلاید 196:

اسلاید 197: همانگونه كه ديده مي‌شود معادلات ديفرانسيل بدست آمده درجه اول هستند. براي حل اين معادله مي‌توان از روشهاي حل معادلات ديفرانسيل يا از روش لاپلاس استفاده كرد.براي حل معادلات ديفرانسيل نياز به دانستن شرايط اوليه است. شرايط اوليه با توجه به شكل مدار معلوم مي‌شوند.

اسلاید 198: تعيين شرايط اولية مدار RCيكي از ويژگي‌هاي خازن اينست كه ولتاژ آن بطور ناگهاني تغيير نمي‌كند.در شكل زير يك مدار RC نشان داده شده است كه سوئيچ آن درست در زمان صفر بسته مي‌شود و خازن شروع به شارژ مي‌كند.

اسلاید 199: وضعيت مدارRC قبل از بستن كليد، درست بعد از بستن كليد و نهايتاَ پس از گذشت زمان طولاني از بستن كليد ديده مي‌شود: قبل از بستنبلافاصله بعد از بستنبعد از گذشت زمان طولاني

اسلاید 200: نكته: خازن در ابتدا شارژ و ولتاژ آن زياد مي‌شود ولي بعد از گذشت زمان جريان كمي از آن عبور مي‌كند و با گذشت زمان، جريان عبوري به سمت صفر ميل مي‌كند. به همين دليل خازن در زمان بي‌نهايت بعد از تغيير وضعيت كليد، مدار باز در نظر گرفته مي‌شود.

اسلاید 201: معادلة ديفرانسيل براي مدار زير با استفاده از رابطة KCL نوشته شده و حل مي‌گردد:

اسلاید 202: مثال از مدارRCولتاژ اوليه خازن برابر با صفر است. در لحظة t=0 كليد بسته مي‌شود. رابطه ولتاژ خازن را براي زمانهاي بعد از صفر بدست آوريد.

اسلاید 203: حلبا توجه به شكل مدارروابط زير را مي‌تواننوشت:

اسلاید 204: ولتاژ منبع مقدارثابتي است و مشتق آن برابر با صفر مي‌باشد. بنابراين:يكي از جوابهاي معادله فوق مي‌تواند بفرم ke-1000t باشد.با توجه به صورت مسأله مقدار ولتاژ اولية خازن برابر با صفر است و چون ولتاژ خازن تغيير ناگهاني ندارد، مقدار آن بلافاصله بعد از صفر نيز برابر با صفر خواهد ماند.با جايگزيني شرايط فوق در معادله مقدار k بدست مي‌آيد.1000 di/dt + i =0

اسلاید 205: از آنجا كه بلافاصله بعد از بستن كليد، ولتاژ خازن برابر با صفر است: Vs=R i0+ + Vc(0+)100=105 i0+ + 0i0+=10-3

اسلاید 206: يا به عبارت ديگر شرط اوليه مسأله به اينصورت است:i0+=10-3 با جايگذاري شرط اوليه در فرمول بدست آمده خواهيم داشت:i(t)=10-3 e-1000t

اسلاید 207: مدار RC در حالت كليمدار مرتبه اول زير را در نظر بگيريد. مي‌خواهيم رابطة جريان را بدست آوريم.

اسلاید 208: حل

اسلاید 209: حلبا توجه به رابطه زير يكي از جوابها بصورت ke-t/Rc مي‌باشد.از طرف ديگر با توجه به شكل مسأله، پس از گذشت زمان طولاني مقدار ولتاژ خازن برابر با VT مي‌شود. بنابراين فرم كلي جواب بصورت زير است:

اسلاید 210: مثال از مدار RCدر مدار زير ولتاژ اولية خازن برابر با 30 ولت مي‌باشد. درزمان t=0 كليد بسته مي‌شود. مطلوبست رابطه جريان خازن i(t).

اسلاید 211: حلابتدا مقدارمقاومت معادل REQ را محاسبه مي‌كنيم.REQ=20||20+10=20K

اسلاید 212: 

اسلاید 213: و بنابراين مقدار ولتاژ خازن بصورت زير بدست مي‌آيد:با توجه به صورت مسأله شرايط اوليه را اعمال مي‌كنيم. مقدار ولتاژ اولية خازن برابر با 30 مي‌باشد. بلافاصله بعد از بستن كليد نيز ولتاژ ثابت خواهد ماند. بنابراين v0+=30V مي‌باشد. رابطه ولتاژ خازن بصورت زير مي‌باشد:

اسلاید 214: با مشتق‌گيري از رابطه ولتاژ رابطه جريان خازن بدست مي‌آيد.

اسلاید 215: روش دوم حل مدارهاي RCدر قسمتهاي قبلي با استفاده از روشهاي حل معادلات ديفرانسيل و يا لاپلاس پاسخ مدار محاسبه مي‌شد. روش ديگري نيز براي يافتن پاسخ مدارهاي Rc وجود دارد.ابتدا با استفاده از مقاومت معادل، ثابت زماني مداربدست مي‌آيد:سپس از فرمول زير استفاده مي شود:e-t/RC*(مقدار نهايي-مقدار اوليه)+مقدار نهايي=پاسخ مدار

اسلاید 216: مثال از مدار RCهمان مثال قبلي را از روش جديد حل كنيد.

اسلاید 217: مقدار مقاومت معادل برابر با 20 كيلو اهم مي‌باشد. بنابراين:مقدار جريان اوليه برابر است با:

اسلاید 218: پس از گذشت زمان طولاني خازن دشارژ شده و مقدار جريان آن به صفر مي‌رسد. بنابراين:

اسلاید 219: با استفاده از فرمول گفته شده مقدار جريان خازن بدست مي‌آيد:

اسلاید 220: مثال از مدار RCدر مدار زير رابطة ولتاژ خازن را بدست آوريد با اين فرض كه مقدار اوليه ولتاژ خازن برابر صفر است. منظور از U(t) تابعي است كه براي زمانهاي قبل از صفر مقدار آن برابر با صفر و براي زمانهاي بعد از صفر مقدارآن برابر 1 مي‌باشد. 2mF1MW+vu (t) -vs (t) = u(t)

اسلاید 221: حلابتدا ثابت زماني مدار را بدست مي‌آوريم.سپس مقادير اوليه و نهايي ولتاژ را محاسبه مي‌كنيم:VC(0+)=VC(0-)=0VC(∞)=1

اسلاید 222: حلبا استفاده از رابطة‌ زير ولتاژ خازن را بدست مي‌آوريم. e-t/RC*(مقدار نهايي-مقدار اوليه)+مقدار نهايي=پاسخ مدار VC(t)=1-(0-1)e-t/2VC(t)=1-e-t/2

اسلاید 223: مثال از مدار RCمدار زير همراه مقادير اوليه ولتاژهاي آن داده شده است. مطلوبست مقدار ولتاژ v(t).

اسلاید 224: حلخازنها با يكديگر سري هستند. بنابراين خازن معادل آن بصورت زير است:مقدار ولتاژ اوليه مجموع دو خازن:

اسلاید 225: مدار داراي چند مقاومت ميباشد و لازم است ابتدا معادل تونن آن را بدست آورد.

اسلاید 226: مقدار مقاومت معادل نيز بصورت زير بدست مي‌آيد.مقدار ثابت زماني را محاسبه مي‌كنيم

اسلاید 227: حلبا استفاده از فرمول زير جواب بدست مي‌آيد. e-t/RC*(مقدار نهايي-مقدار اوليه)+مقدار نهايي=پاسخ مدار

اسلاید 228: مدارهاي مرتبه اول RL

اسلاید 229: مدار هاي RLمشابه مدارهاي RC هستند و داراي يك سلف و تعدادي مقاومت و منبع مي‌باشد. پاسخ مدار نيز جواب معادله ديفرانسيلي درجه اول است.

اسلاید 230: پاسخ مدار RL

اسلاید 231:

اسلاید 232: مدار RL در مدار زير قبل از صفر جرياني از مدار عبور نمي‌كند. پس از بستن كليد رابطه جريان را بدست آوريد.

اسلاید 233: حل

اسلاید 234: منحني تغييرات پاسخ مدار مشابه مدار RC است و بصورت نمايي تغيير مي‌كند. بطور كلي در مدارهاي مرتبه اول پس از گذشت زماني معادل 3 برابر ثابت زماني پاسخ مدار تقريباً به مقدار نهايي خود مي‌رسد.

اسلاید 235: تعيين شرايط اولية مدار RLيكي از ويژگي‌هاي سلف اينست كه جريان آن بطور ناگهاني تغيير نمي‌كند.در شكل زير يك مدار RL نشان داده شده است كه سوئيچ آن درست در زمان صفر بسته مي‌شود و جريان در مدار برقرار مي‌شود.

اسلاید 236: وضعيت مدارRL قبل از بستن كليد، درست بعد از بستن كليد و نهايتاَ پس از گذشت زمان طولاني از بستن كليد ديده مي‌شود: قبل از بستنبلافاصله بعد از بستنبعد از گذشت زمان طولاني

اسلاید 237: نكته: سلف در ابتدا مقاومت زيادي در مقابل عبور جريان از خود نشان مي‌دهد ولي بعد از گذشت زمان جريان بيشتري از آن عبور مي‌كند. بعبارت ديگرسلف در زمان بي‌نهايت بعد از تغيير وضعيت كليد، اتصال كوتاه در نظر گرفته مي‌شود.

اسلاید 238: روشهاي يافتن پاسخ مدار RLمشابه آنچه كه براي مدار RC گفته شد به دو طريق مي‌توان پاسخ مدار را بدست آورد.در روش اول با استفاده از حل معادله ديفرانسيل يا روش لاپلاس جواب بدست مي‌آيد.در روش دوم از فرمول زير استفاده مي‌شود: e-tR/L*(مقدار نهايي-مقدار اوليه)+مقدار نهايي=پاسخ مدار

اسلاید 239: مثال از مدار RLدر مدار زير L1=10mH و L2=30mH و R1=2K و R2=6K و iL(0-)=100mA مي‌باشد. مطلوبست رابطه جريان سلف در زمانهاي بعد از بستن كليد.

اسلاید 240: حل سلفها با هم سري و مقاومتها موازي هستند. بنابراين:

اسلاید 241: ثابت زماني مدار برابر با L/R مي‌باشد. بنابراين:مي‌توان رابطة جريان سلف را بصورت زير نوشت:

اسلاید 242: با استفاده از روابط تقسيم كننده جريان مي‌توان جريان مقاومتها را بدست آورد.

اسلاید 243: مثال از مدارRL در مدار زير كليد درست در لحظة صفر بسته مي‌شود. مطلوبست معادلة جريان مدار.

اسلاید 244: حلدر لحظة قبل از صفر i(0-)=0 مي‌باشد و جرياني از سلف نمي‌گذرد.در زمان بي‌نهايت بعد از بسته شدن كليد نيز سلف اتصال كوتاه فرض مي‌شود و بنابراين: i(∞)=10/2=5A

اسلاید 245: حال ثابت زماني مدار را بدست مي‌آوريم.با داشتن ثابت زماني، مقدار اوليه و مقدارنهايي مي‌توان رابطة جريان را نوشت: ثابت زماني=L/R=5/2=2.5i(t)=5+(0-5) e-t/2.5=5(1-e-t/2.5)e-tR/L*(مقدار نهايي-مقدار اوليه)+مقدار نهايي=پاسخ مدار

اسلاید 246: مثال از مدار RLدر مدار زير مقدار جريان سلف را بعد از باز كردن كليد بدست آوريد.

اسلاید 247: حلدر لحظات قبل از صفر كليد بسته است و جريان از هر دو مقاومت عبور مي‌كند. در اين حالت سلف مثل يك اتصال كوتاه عمل مي‌كند: i(0-) =10/)2||2)=10A

اسلاید 248: از آنجا كه جريان سلف تغيير ناگهاني ندارد، داريم:i(0+)=i(0-)=10Aبعد از گذشت مدت زمان زيادي از تغيير وضعيت كليد، سلف دوباره مشابه اتصال كوتاه عمل مي‌كند: i(∞)=10/2=5A

اسلاید 249: پس از باز كردن كليد، مقاومتي كه توسط سلف ديده مي‌شود برابر با 2 اهم مي‌باشد. بنابراين ثابت زماني آن برابر است با:ثابت زماني=L/R=5/2=2.5S

اسلاید 250: با استفاده از رابطة زير معادلة‌ جريان سلف را بدست مي‌آوريم:e-tR/L*(مقدار نهايي-مقدار اوليه)+مقدار نهايي=پاسخ مدار i(t)=5+(10-5) e-t/2.5=5(1+e-t/2.5)

اسلاید 251: مدارهاي مرتبه اول با دو كليددر بعضي از مدارها بيش از يك كليد وجود دارد و دو تغيير وضعيت درمدار داريم. در اينگونه موارد بايد ابتدا معادله جريان يا ولتاژ را محاسبه كرد و در زمان تغيير وضعيت كليد دوم مقدار جريان يا ولتاژ سلف يا خازن بعنوان مقادير اوليه جديد استفاده مي‌شوند.

اسلاید 252: مثال از مدارهاي مرتبه اول با دو كليددر مدار زير كليد اول در زمان صفر باز مي‌شود و در زمان t=10 كليد دوم بسته مي‌شود. معادله جريان مقاومت 2 اهم سمت چپ را بدست آوريد.

اسلاید 253: حل اين مسأله شامل دو قسمت است:قسمت اول از زمان صفر تا 10 ثانيه است كه بايد شرايط اوليه و نهايي را بدست آورد.قسمت دوم از زمان 10 ثانيه به بعد است كه دوباره بايد شرايط اوليه و نهايي را بدست آورد.

اسلاید 254: قسمت اول از صفر تا 10 ثانيهدر زمان قبل از صفر كه كليدها تغيير وضعيت نداده‌اند خازن مشابه مدار باز عمل مي‌كند:Vc(0-)=5 (2 || 2)=5V

اسلاید 255: ولتاژ خازن تغيير ناگهاني ندارد و بنابراين:VC(0+)=VC(0-)=5ViR(0+)=5/2=2.5A

اسلاید 256: در زمانهاي بعد از صفر و كمتر از 10 ثانيه خازن به حالت پايدار خود مي‌رسد‌ و دوباره مشابه مدار باز عمل مي‌كند:iR(∞)=5AVC(∞)=5*2=10V

اسلاید 257: مقاومت ديده شده توسط خازن برابر با 2 اهم است و بنابراين ثابت زماني برابر است با: = RC = (2) (3F) = 6sبنابراين معادله جريان مقاومت برابر است با:iR(t)=5 + (2.5 – 5)e-t/iR(t)=5 - 2.5 e-t/6 براي زمانهاي بين صفر تا 10 ثانيه VC(t)=10 + (5-10) e-t/6

اسلاید 258: قسمت دوم از 10 ثانيه به بعددر t=10 كليدها تغيير وضعيت مي‌دهند. مقدار ولتاژ خازن در t=10 بعنوان شرط اوليه براي قسمت دوم استفاده مي‌شود. در قسمت اول، رابطة زير را براي ولتاژ خازن بدست آورديم: VC(t)=10 + (5-10) e-t/6 VC(10-)=10 + (5-10) e-10/6=9.06VVC(10+)= VC(10-)=9.06ViR(10+)=9.1V/2 = 4.53V

اسلاید 259: براي زمانهاي بعد از 10 ثانيه (زمان بي‌نهايت)، جريان را با توجه به شكل زير محاسبه مي‌كنيم:iR()=2.5A

اسلاید 260: ثابت زماني مدار نيز بصورت زير بدست مي‌آيد:RTH = 2 || 2 = 1  = RC = (1) (3F) = 3S

اسلاید 261: بنابراين رابطة جريان مقاومت بصورت زير مي‌باشد:iR(t)=2.5 + (4.53 – 2.5)e-(t-10)/3

اسلاید 262: مدارهاي مرتبه دوم

اسلاید 263: مدار مرتبه دوم چيست؟مدارهايي كه داراي تعدادي مقاومت و منبع، يك خازن و يك سلف مي‌باشند. اين مدارها بر دو نوع هستند، مدار RLC سري و مدار RLC موازي.سريموازي

اسلاید 264: مدار RLC موازي

اسلاید 265: مدار RLC سري

اسلاید 266: فرم كلي معادلاتسريa 1bRth/Lc1/(LC)موازي11/(RthC)1/(LC)

اسلاید 267: فرم كلي جوابفرم كلي جواب مدارهاي مرتبه دوم بصورت زير است:مقدار نهايي + پاسخ طبيعي=پاسخ مداركه مقدار نهايي در واقع پاسخ مدار است وقتي كه مدار به حالت پايدار خود رسيده باشد يا بعبارت ديگر با فرض مدارباز بودن خازنها و اتصال كوتاه بودن سلفها، پاسخ مدار محاسبه مي‌شود.

اسلاید 268: پاسخ طبيعيبراي بدست آوردن پاسخ طبيعي معادلة‌ ديفرانسيلي را حل مي‌كنيم:

اسلاید 269: با حل معادلة‌ درجه دوم، ريشه‌هاي معادله بدست مي‌آيد:بسته به مقادير ريشه‌ها سه حالت ممكن است اتفاق افتد كه فوق ميرا، ميراي بحراني و زير ميرا ناميده مي‌شوند.

اسلاید 270: حالت فوق ميرااگر b2 > 4ac باشد مقادير p1 و p2 حقيقي هستند و جواب معادلة ديفرانسيلي (پاسخ گذرا) بصورت زيراست:كه مقادير p1 و p2 معلوم هستند ولي مقاديرA1 و A2 بايد معلوم شوند.

اسلاید 271: حالت ميراي بحرانياين حالت زماني اتفاق مي‌افتد كه b2 = 4ac باشد. با توجه به آنچه از معادلات ديفرانسيل مي‌دانيم فرم جواب بصورت زير است:كه مشابه حالت قبل مقادير p1 و p2 معلوم هستند ولي مقادير A1 و A2 بايد معلوم شوند.

اسلاید 272: حالت زير ميرااين حالت زماني اتفاق مي‌افتد كه b2 < 4ac باشد. با توجه به آنچه از معادلات ديفرانسيل مي‌دانيم فرم جواب بصورت زير است:كه مشابه حالت قبل مقادير p1 و p2 معلوم هستند ولي مقاديرC و  بايد معلوم شوند.

اسلاید 273:

اسلاید 274: مثال از RLC سريدر يك مدار RLC سري مقدار C=0.25uF و L=1H مي‌باشند. براي مقادير مختلف مقاومت RT=8.5kΩ و 4k و 8k مشخص كنيد كه مدار زيرميرا، فوق ميرا يا ميراي بحراني است.

اسلاید 275: حلتعريف: معادله زير كه از حل آن مقادير فركانسهاي طبيعي بدست مي‌آيد را معادله مشخصه مي‌نامند:براي مشخص كردن اينكه مدار در كدام يك از حالات زيرميرا، فوق ميرا يا ميراي بحراني است، بايد معادله مشخصه را نوشته و حل كرد.

اسلاید 276: RT=8.5KΩدر حالت سري a=1 و b=R/L و c=1/LC ميباشند. بنابراين:

اسلاید 277: با توجه به اينكه مقدار b2-4ac=56.25*106 بزرگتر از صفر مي‌باشد، معادله دو جواب حقيقي دارد و مدار در حالت فوق ميرا قرار دارد.p1=-8000p2=-500

اسلاید 278: RT=4KΩدوباره معادله مشخصه تشكيل مي‌شود و ريشه‌ها را بدست مي‌آوريم: a=1 و b=R/L و c=1/LC a=1 و b=4000 و c=4*106 b2-4ac=16*106-16*106=0بنابراين مدار در حالت ميراي بحراني قرار دارد. و هر دو ريشه معادله برابر هم و -2000 هستند.

اسلاید 279: RT=1KΩمعادله مشخصه تشكيل مي‌شود و ريشه‌ها را بدست مي‌آوريم: a=1 و b=R/L و c=1/LCa=1, b=1000, c=4*106b2-4ac=106-16*106=-15*106

اسلاید 280: در اين حالت مدار داراي دو ريشة موهومي است و بنابراين در حالت زير ميرا قرار دارد:مدار با فركانس 1936 نوسان ميكند:

اسلاید 281: مثال از مدار RLC موازيدر مدار RLC زير ابتدا مقادير اوليه ولتاژ خازن و جريان سلف را بدست آوريد. سپس رابطة ولتاژ خازن را براي زمانهاي بعد از بسته شدن كليد بدست آوريد.

اسلاید 282: حلدر زمانهاي قبل از صفر كه كليد تغيير وضعيت ندارد، سلف مانند اتصال كوتاه و خازن مدار باز درنظر گرفته مي‌شود. بنابراين جريان سلف برابر است با:iL(0-) =9/(250+50)=30mAVC(0-)=0

اسلاید 283: حال با استفاده از روابط گفته شده براي مدارهاي RLC پاسخ مدار را بدست مي‌آوريم. براي RLC موازي a=1 و b=1/RC و c=1/LC مي‌باشند.a=1b=1/(50*4*10-6)=5000c=1 /(4*10-6)=25*104توجه به اين نكته لازم است كه بعد از بسته شدن كليد تنها مقاومت 50 اهم در مدار RLC وجود دارد.

اسلاید 284: حال معادله مشخصه را نوشته و حل مي‌كنيم:

اسلاید 285: بنابراين مدار در حالت فوق ميرا قرار دارد و پاسخ آن بشكل زير است:براي يافتن مقادير مجهول از شرايط اوليه استفاده مي‌كنيم:

اسلاید 286: خازن و سلف با هم موازي هستند بنابراين مي‌توان از ولتاژ اوليه خازن بعنوان يكي از شروط اوليه استفاده كرد:

اسلاید 287: دو رابطة بدست آمده تشكل يك دستگاه دو معادله دو مجهول مي‌دهند:با حل دستگاه مقادير مجهولات بدست مي‌آيد و داريم:

اسلاید 288: از آنجا كه خازن و سلف با هم موازي هستند مي‌توان نوشت:حال مي‌توان جريان عبوري از سوئيچ را براي زمانهاي بعد از صفر بدست آورد.

اسلاید 289: پاسخ پله مدار RLCهمانگونه كه قبلاً گفته شد پاسخ كامل مدار RLC شامل دو قسمت است:مقدار نهايي + پاسخ طبيعي=پاسخ مداردر حالتي كه منبعي در مدار وجود دارد وبه آن انرژي مي‌دهد، بايد مقدار نهايي هم محاسبه شود و در هنگام يافتن ضرايب مجهول پاسخ مدار، از آنها استفاده شود.

اسلاید 290: مثال از پاسخ پله مدار RLCدر مدار زير شرايط اوليه صفر است. ولتاژ خازن را براي زمانهاي بعد از صفر بدست آوريد.

اسلاید 291: حلمدار RLC سري است و بنابراين داريم:از حل معادله فوق پاسخ طبيعي مدار بدست مي‌آيد:با توجه به وجود منبع ولتاژ در مدار بايد پاسخ نهايي را نيز به رابطه فوق اضافه كنيم:

اسلاید 292: حال ‌با استفاده از شرايط اوليه مقادير مجهولات را در ربطة فوق بدست مي‌آوريم:

اسلاید 293: از حل دستگاه فوق مقادير k1 و k2 بصورت زير بدست مي‌آيند:K1=-10 , K2=-2.58

اسلاید 294: نحوة تغييرات ولتاژ خازن بصورت زير است:

اسلاید 295: خلاصه‌اي از روش حل مدارهاي RLC

اسلاید 296: با توجه به سري يا موازي بودن مدار RLC چندجمله‌اي مشخصه را تشكيل دهيد.با استفاده از روشهاي حل معادلات ديفرانسيل يا روش لاپلاس، جواب معادله مشخصه را بدست آوريد.مقدارنهايي پاسخ را با فرض مدار باز بودن خازن و اتصال كوتاه بودن سلف بدست آورده به معادله اضافه كنيد.با استفاده از شرايط اوليه، مجهولات موجود در پاسخ را بدست آوريد.

اسلاید 297: پايان