مدل سازی سیستم های احتمالی صف با بهره گیری از زنجیره مارکوف با محدودیت چیدمان

مدل سازی سیستم های احتمالی صف با بهره گیری از زنجیره مارکوف با محدودیت چیدمان

اسلاید 1: مدل سازی سیستم های احتمالی صف با بهره گیری از زنجیره مارکوف با محدودیت چیدمانارائه کننده: فاطمه زارع زادهاستادمربوطه: سرکارخانم دکتر سعادت جو زمستان 931

اسلاید 2: ارتباط تنگاتنگ زنجيره هاي ماركوف پيوسته با زمان از يكسو و همبستگي كامل آن با توزيع نمائي از سوي ديگرباعث گرديده است كه مدل ه اي احتمالي داراي كاربردزيادي در مسايل واقعي گردند . چرا كه توزيع نمائي اكثراًتقريب خوبي از واقعيت ه اي موجود بوده و روند حركت فرايندها در زمان را بخوبي با زنجيره ه اي ماركوف پيوندمي دهد. چيدمان پمپ هاي بنزين در جايگاه هاي موجود دركشور طوري طراحي و احداث شده اند خودروها پس ازاتمام سوخت گيري در خروج از سيستم ، بجز خودروهاييكه از اولين پمپ جلو در هر سكو سوخت گيري مي كنند، ازآزادي عمل برخوردار نيستند كه اين امر باعث آن مي گردد ميانگين زمان سوخت گيري خودرو ها و به تبع آن ميانگين مدت زمان انتظار جهت دريافت خدمت افزايش يابد .سيستم صف فوق با توجه به نرخ خدمت دهي متغير ومحدوديت هاي فيزيكي موجود در سيستم نمي توان بااستفاده از مدل هاي موجود در سيستم صف مورد تجزيه وتحليل قرار داد . پس ابتدا سيستم صف موجود را بر اساس دو خدمت دهنده با استفاده از مفاهيم زنجيره ماركوف ومدل M /M /C وتعريف پارامترهاي جديد با توسعه مدلسازي كرده و درنهايت با بسط مدل پيشنهادي باپارامترهاي احتمالي، مدل نهايي را استخراج مي نماييم.مقدمه2

اسلاید 3: سیستم های صف بر اساس دو عامل نوع کانال ورودی و خدمت دهنده مورد تجزیه و تحلیل قرار میگیرد.الف) سیستم تک کاناله و تک خدمت دهندهب) سیستم تک کاناله و خدمت دهنده چندگانهانواع سیستم های صف بر حسب چیدمان فیزیکی خدمت دهنده نوع 1 خدمت دهنده نوع 2خدمت دهنده نوع 13

اسلاید 4: ج) سیستم چندگانه وتک خدمت دهندهد) سیستم چندکاناله وخدمت دهنده چندگانه انواع سیستم های صف بر حسب چیدمان فیزیکیخدمت دهنده نوع1خدمت دهنده نوع1خدمت دهنده نوع2 خدمت دهنده نوع2خدمت دهنده نوع1خدمت دهنده نوع14

اسلاید 5: در سیستم تک خدمته G/G/1 با نرخ ورود ومیانگین زمان خدمت ،میزان کاروارد شده در واحد زمان برابر است با اگر آنگاه ظرفیت سیستم جوابگوی کل تقاضابرای دریافت خدمت نبوده آنگاه شرط پایداری در اکثر سیستم های صف می باشد.اگر و آنگاه نرخ کارکردی یا ضریب بهره وری نامیده می شود که بجز سیستم D/D/1، سیستم های با حالت غیرتصادفی و ارائه غیرگروهی از این رابطه استفاده می کنند.نرخ کارکرد سیستم5

اسلاید 6: اگر مدت زمان انتظار مشتری nام درسیستم برابر با مدت زمان انتظار انتظار جهت دریافت خدمت بعلاوه مدت زمان خدمت دهی باشد آنگاه .اگردر صف مدلG/G/C متغیر تصادفی L(t) بیانگرتعداد مشتریان موجود در سیستم در زمان t و S n بیانگر زمان انتظار n مشتری در سیستم باشد با فرض اینکه آنگاه احتمال وجود K نفر در سیستم از رابطه زیر بدست می آیدمعیارهای ارزیابی عملکرد سیستم های صف6

اسلاید 7: میانگین تعداد مشتریان موجود در سیستم در یک بازه زمانی [0,t] از رابطه زیر بدست می آید.میانگین تعداد مشتریان موجود در سیستم در بلند مدت از رابطه زیر بدست می آید.در نتیجه طبق قانون لیتل رابطه زیر برقرار استمعیارهای ارزیابی عملکرد سیستم های صف7

اسلاید 8: ارتباط تنگاتنگ زنجیره های مارکوف پیوسته با زمان از یک سو و همبستگی کامل آن با توزیع نمائی از سوی دیگر باعث گردیده است که این مدل های احتمالی دارای کاربرد زیادی در مسایل واقعی گردند.چرا که توزیع نمائی اکثراً تقریب خوبی از واقعیت های موجود بوده و روند حرکت فرایندها در زمان را بخوبی با زنجیرههای مارکوف پیوند می دهد.اگر (t)P ij احتمال انتقال سیستم از وضعیت i به j در مدت زمان t باشد. آنگاه رابطه زیر برقرار است. زنجیره های مارکوف با زمان پیوسته8

اسلاید 9: با توجه به افزایش به رشد نسبی مصرف سوخت در ایران مدل سازی سیستم های صف سوخت رسانی امری ضروری محسوب می شود.با توجه به شماتیک زیر ملاحظه میگردد نرخ خدمت دهی متغییر و محدودیت های فیزیکی موجود در سیستم نمی توان از مدل های موجود درسیستم صف استفاده نمود.لذا ابتدا سیستم را براساس دو خدمت دهنده و در یک ردیف با استفاده از مفاهیم زنجیره مارکوف و تعریف پارامترهای جدید با توسعه مدل M/M/C مدل سازی کرده و در نهایت با بسط مدل پیشنهادی در قالب i ردیف، مدل نهایی را استخراج می نماییم.بیان مساله9

اسلاید 10: مدت زمان خدمت گیری فرد اول با t1 و مدت زمان خدمت گیری فرد دوم با t2 در نظر میگیریم.فقط امکان تشکیل یک ردیف صف وجود دارد.دوخدمت دهنده به صورت سری در شرایط خاص در حال خدمت دهی هستند.تا زمانی که ارائه خدمت به فرد اول تمام نشده باشد، فرد دوم قادر به ترک سیستم نمی باشد.در صورت بیکار بودن هر دو خدمه ، فرد به خدمت دهنده اول و در صورتی که خدمت دهنده اول مشغول به کار باشد،فرد دوم قادر به ترک سیستم نمی باشد.در این سیستم اگر خدمت دهنده دوم مشغول کار باشد و خدمت دهنده اول بیکار باشد، نفر سوم در صف نمی تواند به خدمت دهنده اول مراجعه نماید.برای مدل سازی سیستم صف موجود را برحسب مدت زمان ارائه خدمت به دو دسته تقسیم بندی می نماییم.مدل سازی سیستم صف موجود بر اساس یک ردیف با دو خدمت دهنده10

اسلاید 11: دراین حالت مدت زمان خدمت گیری فرد از خدمت دهنده اول یعنی t1 برابر یا بیشتر از مدت زمان خدمت گیری فرد دوم در سیستم یعنی t2 می باشد.با توجه به اینکه t1>t2 است، در نتیجه خواهیم داشت .همانطور که در شکل زیر نیز قابل مشاهده می باشد اگر فرد اول با زمان t1 در حال خدمت گیری باشد، فرد دوم هم همین مدت زمان درحال خدمت گیری می باشد.با این تفاوت که t1 کلاً صرف خدمت دهی به فرد اول می شود، اما فرد دوم مدت زمان t2 صرف خدمت دهی آن میشود به اضافه زمانی به اندازه بنابراین خواهیم داشت:مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض اول11

اسلاید 12: نرخ خدمت دهی برای فرد اول و دوم برابر خواهد شدبنابر این خواهیم داشت:مدل سیستم صف پیشنهادی در حالت اول به نوع خاصی ازمدل تبدیل می شود.مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض اول12

اسلاید 13: انواع وضعیت های ممکن در سیستم در حالت اول:دیاگرام آهنگ انتقال مدل در حالت اول:مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض اول13

اسلاید 14: با توجه به نمودار آهنگ انتقال و مساوی قراردادن نرخ ورود و خروج هر وضعیت دستگاه معادلات تعادل سیستم بصورت زیر است:مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض اول14

اسلاید 15: برای محاسبه دستگاه معادلات ابتدا مقدار P0 را بدست آورده و در دستگاه معادلات جایگذاری می کنیم لذا با توجه به معادله زیر داریم:لذا به ازای با توجه به تعریف موجود خواهیم داشت جهت محاسبه P0 با فرض داریم:لذا در حالت کلی برای محاسبه احتمال وجود n نفر در سیستم خواهیم داشت:مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض اول15

اسلاید 16: طبق تعاریف موجود و روابط لیتل و با توجه به شرط پایداری داریم.متوسط تعداد افراد داخل صف ( Lq) و سیستم ( L ) :متوسط زمان انتظار مشتریان داخل صف (Wq ) و سیستم (W) :مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض اول16

اسلاید 17: دراین حالت مدت زمان خدمت گیری فرد از خدمت دهنده اول یعنی t1 برابر یا بیشتر از مدت زمان خدمت گیری فرد دوم در سیستم یعنی t2 می باشد.با توجه به اینکه است، در نتیجه خواهیم داشت .همانطور که در شکل زیر نیز قابل مشاهده می باشد اگر فرد دوم با زمان t2 در حال خدمت گیری باشد، فرد اول هم همین مدت زمان درحال خدمت گیری می باشد.با این تفاوت که t2 کلاً صرف خدمت دهی به فرد دوم می شود، اما فرد اول مدت زمان t1 صرف خدمت دهی آن میشود به اضافه زمانی به اندازه که فرد دوم از سیستم خارج شود بنابراین خواهیم داشت:مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم17

اسلاید 18: نرخ خدمت دهی برای فرد اول و دوم برابر خواهد شد بنابر این خواهیم داشت:مدل سیستم صف پیشنهادی در حالت دوم به مدلی که نرخ خدمت دهی هر دو خدمت دهنده برابر می باشد بنابراین داریم: مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم18

اسلاید 19: انواع وضعیت های ممکن در سیستم در حالت دوم:دیاگرام آهنگ انتقال مدل در حالت اول:مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم19

اسلاید 20: با توجه به نمودار آهنگ انتقال و مساوی قراردادن نرخ ورود و خروج هر وضعیت دستگاه معادلات تعادل سیستم بصورت زیر است:مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم20

اسلاید 21: با حل دستگاه معادلات و در نظر گرفتن اینکه می توان مقادیر احتمالات حدی را محاسبه نمود.صفی تشکیل نمی شودبا توجه به تعریف موجود محاسبه P0 و pn به صورت زیر خواهد بود:مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم21

اسلاید 22: طبق تعاریف موجود و روابط لیتل و با توجه به شرط پایداری داریم.متوسط تعداد افراد داخل صف ( Lq) و سیستم ( L ) :متوسط زمان انتظار مشتریان داخل صف (Wq ) و سیستم (W) :مدل سازی سیستم صف بر اساس فرض دوم22

اسلاید 23: در اين سيستم صف موجود را بر اساس دو خدمت دهنده با پارامترهاي به ترتيب و دريك رديف با استفاده از مفاهيم زنجيره ماركوف و تعريف پارامترهاي جديدبا توسعه مدل M /M /C مدل سازی نموده ايم . اما واقعيت اين گونه نيست كه يكي از اين حالت هارخ دهند،بلكه درواقعیت تركيبي از دو حالت فوق همواره اتفاق مي افتد. پس براي ارا ئه يك مدل تركيبي نيازبه تعريف دو متغير جديد داريم كه تركيبي از دو حالت فوق را در بر گيرد . بدين منظور احتمال رخداد حالت اول را دربازه زمانی را و احتمال رخدادحالت دوم را می نامیم.ابتدا با فرض اين كه كلاً حالت اول اتفاق مي افتد و سپس با فرض اين كه كلاً حالت دوم اتفاق مي افتد محاسبه نموده ، سپس از آنها با توجه به مقادير احتمالي و ميانگين وزني مي گيريم:ارايه مدل تركيبي با فرض دو خدمت دهنده23

اسلاید 24: مدل پيشنهادي در اين مقاله مي تواند پايه و اساس تحليل در سيستم هاي صف با محدوديت هاي چيدمان و شرايط خاص باشد.نتیجه گیری24

اسلاید 25: ؟25

اسلاید 26: با تشکر از دقت و توجه شما26

اسلاید 27: پایان27