هندسه

هندسه

اسلاید 1: هنـدسـهکاری از:اسماء جباری

اسلاید 2: هندسه (به انگلیسی: Geometry) ((به یونانی: γεωμετρία)؛ ژئو زمین، -مترون اندازه گیری) شاخه ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی اشکال و ویژگیهای فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخه هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می شود. هندسه به طور مستقلی در پاره‌ای از تمدنهای اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی در آمده بود و کار اقلیدس - هندسه اقلیدسی - استانداردی را پایه ریزی نمود که قرنها دنبال شد. ارشمیدس روشهای هوشمندانه‌ای برای محاسبه مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیشرو حساب انتگرال جدید محسوب می شوند.

اسلاید 3: معرفی دستگاه مختصات توسط رنه دکارت و توسعه همزمان در جبر، مرحله تازه ای را در هندسه آغاز کرد؛ زیرا اشکال هندسی همچون منحنی های رویه ای را می شد به شکل تحلیلی یعنی با توابع و معادلات نمایش داد. این موضوع نقش کلیدی در پیدایش حساب بی نهایت کوچک در قرن هفدهم داشت. علاوه براین نظریه ژرفانمایی نیز نشان داد که در هندسه چیزی بیش از ویژگی های متریک اشکال وجود دارد. نظریه ژرفانمایی بنیان هندسه تصویری را بنا نهاد. موضوع هندسه با مطالعه ساختار ذاتی اجسام هندسی و با شروع از کارهای اویلر و گاوس ، غنی تر گردید و به پیدایش توپولوژی و هندسه دیفرانسیل انجامید.

اسلاید 4: در دوران اقلیدس تمایز آشکاری بین فضای فیزیکی و فضای هندسی وجود نداشت.از قرن نوزدهم و کشف هندسه نااقلیدسی مفهوم فضا دستخوش تغییرات اساسی شده است و پرسشی پدید آمده است: کدام فضای هندسی تطابق بیشتری با فضای فیزیکی دارد؟ امروزه باید بین فضای فیزیکی، فضای هندسی (که در آن هنوز خط و نقطه معانی حسی خود را دارا هستند) و فضاهای انتزاعی تمایز قائل شد. هندسه معاصر امروز با خمینه ها سر و کار دارد؛ فضاهایی که از فضای اقلیدسی آشنا بسیار انتزاعی تر است. می‌توان به این فضا ها ساختارهایی افزود که بتوانیم در مورد طول در این فضا ها صحبت کنیم.هندسه مدرن پیوند های مستحکمی با فیزیک دارد که به طور نمونه می توان به هندسه شبه ریمانی و نسبیت عام اشاره نمود. یکی از جوانترین نظریه‌های فیزیکی یعنی نظریه ریسمان نیز حال و هوایی هندسی دارد.اگرچه ماهیت تصویری هندسه آن را در ابتدا از سایر شاخه های ریاضیات مانند جبر و نظریه اعداد قابل درک تر می نماید، زبان هندسی نیز در زمینه هایی که بسیار با حالت سنتی اقلیدسی آن تفاوت دارد به کار رفته است (مثلا هندسه فراکتالی یا هندسه جبری)

اسلاید 5: هندسه عملیهندسه به عنوان دانشی عملی یه وجود آمد و با بررسی، اندازه گیری، مساحت و حجم مرتبط بود. دستاوردهای قابل توجه آن کشف فرمولهایی برای طول، مساحت و حجم بودند.مثل قضیه فیثاغورس ، محیط و مساحت دایره، مساحت مثلث، حجم استوانه، کره و هرم. روشی برای محاسبه فواصل و ارتفاعهای دور از دسترس بااستفاده از تشابه به تالس نسبت داده می شود. رشد اخترشناسی به پیدایش مثلثات و مثلثات کروی انجامید.

اسلاید 6: هندسه اصل موضوعیاقلیدس در کتاب اصول خود دیدگاهی انتزاعی تر در پیش گرفت و اصول موضوع خاصی را مطرح نمود که ویژگیهای اولیه یا خودآشکار نقطه، خط و صفحه را بیان می کرد و برای انتاج سایر ویژگی ها از استدلال استفاده کرد. مشخصه مهم دیدگاه اقلیدس استواری نتیجه گیری ها بود. در ابتدای قرن نوزدهم کشف هندسه های نا اقلیدسی توسط گاوس، لباچفسکی و یانوش بویویی و دیگران به احیای علاقه منجر شد و در قرن بیستم داوید هیلبرت استدلال اصل موضوعی را برای ارائه بنیان مدرن هندسه به کار گرفت.

اسلاید 7: احتمالاً بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب را ابداع کردند. آن‌ها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.در آغاز هندسه بر پایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلاً هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.

اسلاید 8: یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه، مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استنتاجی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. روش استنتاجی روشی است علمی (بر خلاف روش استقرایی) که در آن مساله‌ای به وسیله قضایا و حکم‌ها ثابت می‌گردد. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالاً از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به نام او مشهور است اثبات (ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آن‌ها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتاب‌ها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌رفتند.

اسلاید 9: بر اساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌کنند.خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آن‌ها احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م) و زنون (۴۹۰ ق. م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.

اسلاید 10: در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم کرد و جدولی بر اساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده‌است.بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

اسلاید 11: هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌شود:هنـدسه مسطحه هندسه فضایی هندسه خطی. هندسه پویا در هندسه مسطحه، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها، استوانه‌ها، مخروط‌ها، کره‌ها و غیره‌است.

اسلاید 12: استدلال، ترکیب قانون‌مند قضیه(های) معلوم برای رسیدن به قضیه(های) تازه است. در استدلال، ذهن بین چند قضیه، ارتباط برقرار می‌کند تا از پیوند آن‌ها، نتیجه زاده شود و به‌این‌ترتیب نسبتی مشکوک و مبهم به نسبتی یقینی تبدیل شود.

اسلاید 13: استدلال منطقی روش نتیجه‌گیری براساس «اصول منطقی» حاصل از «اندیشیدن» و «تفکر عقلانی» است؛ بنابراین هرگاه از استدلالی منطقی استفاده گردد؛ باید دلایل ارایه‌شده براساس اصول «درستی» اندیشه باشد که «منطق» نام می‌گیرد. بدیهی است در غیراین‌صورت گزاره بالا سفسطه است. پیشینه چالش‌های فراوانی میان سوفسطائیان و فلاسفه یونان باستان درمورد چگونگی چیدش روش استدلال منطقی روی داده‌است و ارسطو در کتاب ارغنون روش‌هایی را در جهت روشن‌کردن روش «استدلال منطقی» ارایه داده‌است.

اسلاید 14: روش استدلال منطقی منطق وظیفه حفظ شکل استدلال در جهت «غیرمغالطاتی» برعهده دارد؛ ولی غیرمغالطه‌بودن دلالت ذاتی گزاره برعهده منطق نیست. برای نمونه وقتی دو گزاره «بیضی، دایره است» و «بیضی، دایره نیست» کنار هم قرار می‌گیرد، روش استدلال منطقی این دو را متناقض و دست‌کم یکی را دارای مغالطه برمی‌شمارد. اما هنگامی که دو گزاره «بیضی، دایره‌است» و «بیضی، استوانه است» کنار هم قرار می‌گیرد، روش استدلال منطقی مغلطه‌ای در جهت ارتباط‌دهی میان این دو گزاره نمی‌بیند. به‌بیان‌دیگر از جهت سلامت شکل گزاره مغالطه‌ای دیده نمی‌شود؛ اما ضروری است از دید راست‌آزمایی دلالت و ذات گزاره‌ها که آیا دارای قوام عقلی هستند یا خیر، به فلسفه روی آورد و همین مسئله تفاوت بنیادین میان منطق و فلسفه را می‌نمایاند. استدلال مبتنی بر منطق، شرط لازم و ناکافی برای پایه‌ریزی استدلالات عقلانی است و در واقع منطق این وظیفه را برعهده دارد که چگونگی درست‌اندیشیدن را حاصل دهد تا بدین‌صورت پایه‌ریزی استدلالات و اندیشیدن درست (آنگونه که منطق آن را درست می‌داند) فراهم گردد.

اسلاید 15: منبعدانشنامه رشد