پروژه درس الکترومغناطیس

پروژه درس الکترومغناطیس

اسلاید 1: پروژه درس الکترومغناطیس استاد : خانم عقیقی تهیه کنندگان : مرتضی فیروزی نیاول حمید مالمیرWwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 2: سرفصل های الکترومغناطیس:فصل 1- آنالیز برداری – بردارها – بردار یکه – ضرب سه گانه – سیستم های مختصات متعامد سه گانه – توابع برداری – میدان های اسکالر و برداری – انتگرالگیری برداری – تعریف گرادیان – دایبرژانس – کرل درهرسه سیستم کارتزین، استوانه ای وکروی - قضیه گوس – قضیه استوکسفصل 2- بارهای الکتریکی – چگالی بارالکتریکی – توزیع های سه گانه بار در حوزه مختلط – شدت میدان الکترواستاتیک – محاسبه میدان الکتریکی و پتانسیل الکتریکی – رابطه کار و انرژی – بررسی اثرمحیط درمیدان الکتریکی – ضریب دی الکتریک اجسام – بردار جابجایی الکتریکی – قانون پیوستگی میدان فصل 3- هادی در میدان الکتریکی – ظرفیت خازن فازی در رساناها و چند رساناها – ضریب ماکسول – معادلات پواسن و لاپلاس – حل معادله لاپلاس در مختصات کارتزین، استوانه ای و کروی – کاربرد معادله لاپلاس در تعیین شدت میدان الکتریکی – حل معادله لاپلاس در تعیین شدت میدان الکترومغناطیس فصل 4- جریان دائم – چگالی جریان الکتریکی – رسانندگی و محاسبه مقاومت یک جسم – آنالیز بردار چگالی روی مرز دو محیطفصل 5- قانون بیوساوار – شدت میدان مغناطیسی دائم – توزیع جریان خطی، سطحی و حجمی – بردار پتانسیل مغناطیسی خطوط نیرو برای میدان های مغناطیسی – شار مغناطیسی – بررسی دو قطبی مغناطیسی – جریان های سطحی و حجمیفصل 6- مدارهای مغناطیسی – فرمول نریسی – تعیین اندوکتانس سلف – قانون القاء فارادهWwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 3: مراجع مورد نیاز:الکترومغناطیس میدان و موج ( دیوید چنگ) الکترومغناطیس (ادمنیسر) الکترومغناطیس (هیت)ارزشیابی:کار در کلاس (حضور و غیاب- تمرین- کوئیز) 4 نمره میانترم 6 نمره پایان ترم 10 نمره WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 4: مقدمه:به بیان ساده ، الکترومغناطیس ، مطالعات تاثیر بارهای الکتریکی ساکن و متحرک است. از فیزیک می دانیم که دو نوع بار مثبت و منفی وجود دارد که هر دو منشا یک میدان الکتریکی هستند. الکترومغناطیس از نظر فیزیکدان ها و مهندسین برق و کامپیوتر دارای اهمیت بنیادی است . نظریه الکترومغناطیس در تفهیم اصول شکافنده های اتمی ، نوسان نگارهای پرتو کاتدی ، رادار ، مخابرات ماهواره ای ، دریافت تلویزیون ، تشخیص از راه دور ، اختر شناسی رادیویی ، ادوات مایکروویو ، مخابرات الیاف نوری ، حالت های گذرا در خطوط انتقال و مسائل سازگاری الکترومغناطیس ، سیستم های دقیق فرود ، تبدیل انرژی الکترومکانیکی و غیره اجتناب ناپذیر است.WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 5: در پی ریزی یک پدیده مایکروسکوپی یا تئوری الکترومغناطیس با مقیاس بزرگ ، در می یابیم که استفاده از توابع چگالی متوسط هموار شده نتایج بسیار خوبی به بار می آورد. چگالی بار حجمی ، ρv را به عنوان یک کمیت منبع به صورت زیر تعریف می کنیم:که در آن Δq ، مقدار بار در حجم بسیار کوچک Δv است.در بعضی از موارد فیزیکی ممکن است ، یک مقدار بار Δq با جز کوچک سطحی Δs یا جز کوچک خطیΔl مشخص شود. درچنین مواردی مناسب تر است که چگالی بار سطحی ، ρs ، یا چگالی بارخطی، ρl را تعریف کنیم: WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 6: جریان ، نرخ تغییر بار نسبت به زمان است ; یعنی،واحد جریان کولمب بر ثانیه یا آمپر است.چهار کمیت اصلی میدان برداری در الکترومغناطیس وجود دارد : شدت میدان الکتریکی E ، چگالی شار الکتریکی(یا جابجایی الکتریکی) D ، چگالی شار مغناطیسی B ، و شدت میدان مغناطیسی H .WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 7: واحدهای اصلی SI C : سرعت امواج الکترومغناطیس در فضای آزاد.ε : گذردهی فضای آزاد.μ: نفوذ پذیری فضای آزادE: شدت میدان الکتریکیB: چگالی شار مغناطیسیH: شدت میدان مغناطیسیWwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 8: ثابت های جهانی درآحاد SIWwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 9: فصل اول : ریاضیات برداری بردارها واسکالرها اصولا کمیت های فیزیکی از نظر معرفی و معین شدن در دو دسته قرار می گیرند: اسکالر و بردار اسکالر scalar: به کمیت هایی اتلاق می شود که تنها توسط یک عدد که همان اندازه کمیت باشد مشخص می شود مانند : جرم، انرژی و بار الکتریکی. بردار vector: کمیت هایی هستند که برای مشخص شدن آنان علاوه بر اندازه، به جهت نیز نیازمند هستند مانند نیرو، شدت میدان الکتریکی و چگالی جریان حجمی الکتریکی منظور از جهت در این کلام، معلوم بودن راستا محمل بردار، جهت و سمت بردار بر روی این راستا می باشد مانند شکل روبرو: شکل 1 WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 10: عموما به منظور تفکیک نمودن کمیت های اسکالر و برداری از یکدیگر بصورت پارامتری و نمادی بطریق زیر عمل می شود: کمیتهای اسکالر با حروف کوچک و کمیت های برداری با حروف بزرگ توام با علائمی در بالای آنها مانند: اسکالر برداری برای نمایش اندازه یک بردار یا حرف مربوطه را بدون علائم بردار بکار می رود و یا از علامت قدر مطلق مانند: بردار یکان unit vector: بردار واحد یا بردار یکان یک بردار عبارتست از برداری با اندازه های واحد و همجهت با بردار مربوطه برای نمایش این بزداز عموما از حرف a،u همراه با علامت ^ بر روی آن استفاده می شود.همچنین برای مشخص تر شدن آن از یک اندیس مشابه با اسم بردار اصلی به همراه حروف uو a نیز استفاده به عمل می آید. WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 11: بنابراین: جبر بردار ها vector Algebra: چهار عمل اصلی در ریاضیات برداری یصورت زیر معرفی می شود: جمع بردار ها: از نظر گرافیکی(هندسی) جمع چند بردار به دو روش صورت می گیرد: روش اول تشکیل متوازی الاضلاع است. روش دوم روش چند ضلعی یا مثلثی است.

اسلاید 12: از نظر تحلیلی جمع دو بردار پس از تجزیه آندو به مولفه های هم جهت، می توان با جمع جبری مولفه های هم جهت دو بردار عمل جمع را انجام داد. در جمع بردارها خاصیت جابجایی و شرکت پذیری صادق است. تفریق بردارها: در این عمل بردار را با معکوس شده بردار جمع می شود

اسلاید 13: ضرب بردارها الف) ضرب دو بردار: 1-ضرب داخلی دو بردار نتیجه ضرب داخلی دو بردار یک اسکالر می باشد، مانند: ( کوچکترین زاویه بین دو بردار) بهمین دلیل این نوع ضرب را ضرب اسکالر نیز می گویند. همچنین چون در نمایش این ضرب از علامت نقطه بعنوان عملیات ضرب استفاده می شود، به آن ضرب نقطه ای نیز گفته می شود. Scalar porduct , Dot product از خواص این نوع ضرب جابجایی وتوضیع پذیری است. مهمترین کاربرد این ضرب یافتن مولفه یا تصویر یک بردار در جهت (راستا)خاصی است : کافی است بردار واحد آن جهت خاص را در بردار مذکور ضرب داخلی کرد.

اسلاید 14: 2-ضرب خارجی نتیجه این ضرب یک بردار است و چون در نمایش آن از علامت کراس استفاده می شود به آن ضرب کراس نیز گفته می شود Cross product کوچکترین زاویه بین است که بردار را در امتداد بردار قرار میدهد. جهت بردار بر دو بردار عمود است و طبق قانون دست راست بدست می آید. واضح است که: همچنین خاصیت توزیع پذیری در ضرب خارجی وجود دارد. WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 15: ب) ضرب یک اسکالر در یک بردار این ضرب بصورت روبرو نمایش داده می شود: نتیجه این ضرب بردار است با اندازه m برابر و چنانچه m مثبت باشد بردار نهایی هم جهت و در غیر اینصورت در خلاف جهت بردار خواهد یود. تقسیم: تنها تعریفی که در مورد تقسیم در مبحث بردارها وجود دارد تقسیم یک بردار بر یک اسکالر است که همان مفهوم ضرب یک اسکالر در بردار را دارد: دستگاه های مختصات متعامد orthogonal coordinate systems در این درس سه دستگاه مختصات سه بعدی که سه جهت آن بر هم عمود هستند را مورد بررسی و استفاده قرار می دهیم. 1- دستگاه مختصات مستطیلی Rectangular coordinates بدلیل آنکه با تشکیل یک مکعب مستطیل می توان این دستگاه رابرپا کرده وموقعیت نقطه یا مکانی را مشخص نمود، مختصات مستطیلی به آن اتلاق می شود. از دیگر نام های این دستگاه دکارتی و کارتزین Cartesian است. WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 16: در این دستگاهبا سه پارامتر x وy وz موقعیت یک نقطه روشن می گردد. سه محور مربوطه در نقطه مبدا مختصات بر هم عموداند. بنابراین برای یافتن مکان هر نقطه و یا انتهای هر بردار کافی است که از آن نقطه بر سه محور عمود کرد. بعنوان مثال نقطه P را در تصویر مشاهده می کنید. در واقع این خطوط عمود، قطرهای سه وجه از 6 وجه یک مکعب مستطیل است که مبدا مختصات (O) و نقطه P در ابتدا و انتهای قطر اصلی (بزرگ)آن واقع شده است. بردارهای یکان سه جهت عبارتند از و هر کدام با اندازه واحد و درجهت مثبت سه محور x وy وz و منطبق با سه محور فوق خواهند بود. که بنابراین بر هم عمودند. پس:

اسلاید 17: نمایش یک بردار در فضای مختصات مستطیلی بصورت تحلیلی: بترتیب مولفه (تصویر) بردار در سه جهت x وy وz می باشند.

اسلاید 18: برای یک شکل کوچک دیفرانسیلی با ابعاد می توان بردار دیفرانسیلی طولی بقرار زیر تعریف نمود. بنابراین: با تعریف بردار نرمال (عمود) بر یک سطح که عبارتست از برداری که بر سطح مورد نظر عمود بوده در جهت خارج از سطح است واندازه آن برابر مساحت آن سطح می باشد، می توان سه بردار نرمال به سطح با توجه به شکل دیفرانسیلی قبل ارائه کرد.

اسلاید 19: بنابراین: آخرین ترمدیفرانسیلی یک کمیت اسکالر است دیفرانسیل حجم می باشد: برای مقادیر ثابت x یا y یا z ، مکان هندسی بوجود می آید که متشکل از صفحات مسطحو بینهایت عمود بر سه محور x وy وz خواهد بود. 2- دستگاه مختصات استوانه ای Cylindrical coordinates این دستگاه مختصات سه بعدی بطریقی تعریف می شود که با برپائی یک شکل استوانه ای سه پارامتر نشان دهنده موقعیت یک نقطه را براحتی میسر می کند و بهمین دلیل نام استوانه ای به این دستگاه اتلاق شده است. WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 20: سه پارامتر این دستگاه است. r فاصله عمودی از محور z هاست. زاویه ای است که تصویر r بر روی صفحه افق (xy) با جهت مثبت محور x می سازد. همان کمیت (پارامتر) سوم مختصات مستطیلی است. بنابراین می توان استوانه ای تصور و رسم نمود که شعاع قاعده آن r محور استوانه محور z ها قاعده بالای ان در موقعیت z=z قاعده پایین استوانه در سطح افقی واقع شده است و نقطه p روی لبه آن استوانه مستقر می شود (ارتفاع استوانه برابر با z با پارامتر سوم مختصات نقطه p می باشد) محدوده با توجه به تعریف انجام شده: برای یافتن بردارهای واحد سه جهت مربوطه یعنی بترتیب کافی است در نقطه p در امتداد شعاع r در جهت دور شدن از محور z به اندازه واحد، بردار را بدست آورید. اگر بر سطح استوانه و در نقطه p مماسی رسم گردد، امتداد این مماس راستای خواهد بود و در جهت مثبت آن در جهت دور شدن از جهت مثبت محور x هاست. بنابراین واضح است که بر خلاف بردارهای واحد مختصات مستطیلی وابسته به مکان خواهند بود. مشابه دستگاه مختصات مستطیلی تعریف می شود.WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 21: مشابه مختصات مستطیلی در این مختصات داریم: برای تعریف بردارهای دیفرانسیلی طولی و سطحی بایستی قسمتی از فضای بین دو استوانه هم محور با اختلاف شعاع قاعده برابر با را در نظر گرفت این حجم دیفرانسیلی که دارای ارتفاعی برابر با است در دهانه واقع می شود.

اسلاید 22: بنابراین بردار دیفرانسیل طولی: توجه داریم که چون اندازه یک زاویه (بر حسب رادیان) است نمی تواند بعنوان طول در نظر گرفته شود. بنابراین با توجه به کمان روبرو به زاویه از شعاع دایره r آنرا به طول تبدیل کرده ایم. بردارهای دیفرانسیلی سطحی

اسلاید 23: برای کمیت اسکالر دیفرانسیلی حجم در این مختصات که از ضرب سه بعد شکل دیفرانسیلی فوق یعنی و و بدست آمده است. همچنین در خصوص ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارهای یکان این دستگاه با توجه به متعامد بودن سه جهت: در این مختصات برای پارامترهای ثایت مکان هندسی خاصی را حاصل می کند که بقرار زیر است: برای r=k : سطح جانبی یک استوانه نامحدود با محوریت محور z ها خواهد بود که شعاع قاعده آن k می باشد. برای =k : یک نیم صفحه بینهایت، مسطح و محدود به محور z هاست که در زاویه قرار گرفته است. برای z=k : مشابه مختصات مستطیلی یک صفحه بینهایت، مسطح در ارتفاع z=k خواهد بود.

اسلاید 24: 3- دستگاه مختصات کروی Spherical coordinates این دستگاه در فضای سه بعدی دارای سه پارامتر است و چون با مرور کردن یک کره به شعاع R بمرکز مبدا مختصات از نقطه مورد نظری که می خواهیم مختصات آنرا نمایش دهیم تعریف می شود بنابراین بنام مختصات کروی موسوم است. R فاصله نقطه تا مبدا مختصات است. زاویه بین R و جهت مثبت محور z هاست. و همان تعریف در مختصات استوانه ای را داراست یعنی از تصویر کردن R در صفحه xy به r رسیده زاویه بین r و جهت مثبت محور x ها زاویه خواهد بود. بنابراین طبق تعاریف انجام شده محدوده سه پارامتر این مختصات عبارتند از:

اسلاید 25: بردارهای واحد سه جهت تعریف شده بصورت زیر بدست می آیند که بر هم عمودند. چنانچه مرکز o را به نقطه p متصل نمود ادامه دهیم، امتداد بدست آمده و جهت آن در جهت دور شدن از مرکز خواهد بود. حال اگر بر این امتداد عمودی رسم نمائیم که بر کره به شعاع R مماس بوده و در صفحه ای که شامل محور z و خط R باشد، واقع گردد امتداد می دهد و جهت مثبت آن در جهت دور شدن از محور +Z است. چنانچه بر سطح کره به شعاع R در نقطه p مماسی بموازات صفحه افق رسم شود را بدست می آوریم که جهت مثبت آن در جهت دور شدن از قسمت مثبت محور x هاست. ملاحظه می شود که در این دستگاه مختصات هر سه بردار واحد وابسته به مکان خواهد بود یعنی با تغییر نقطه p و یا انتهای هر بردار در این دستگاه بردارهای ممکن است تغییر بنمایند. برای یک بردار مانند بردار

اسلاید 26: بردارهای دیفرانسیلی طولی و سطحی را می توان از حجم دیفرانسیلی که محصور بین دو کره هم مرکز با شعاع های و است و محدود در زوایای می باشد بدست آورد. بنابراین بردار دیفرانسیلی طولی

اسلاید 27: همچنین بردار دیفرانسیلی نرمال به سطح: برای کمیت اسکالر دیفرانسیلی حجم که از حاصل ضرب سه بعد حاصل شده است. در این مختصات نیز ضرب های داخلی و خارجی بردارهای واحد یه جهت عمود بر هم بصورت زیر بدست می آیند.

اسلاید 28: مکان هندسی پارامترهای ثابت در این دستگاه مختصات طبق تعاریف قبلی بصورت زیر بدست می آیند. برای کره ای خواهد بود به شعاع k بمرکز مبدا مختصات برای مخروط وارونی با زاویه راس kواقع در مبدا مختصات که دارای ابعاد بینهایت است. برای مشابه مختصات استوانه ای، نیم صفحه بینهایت و محدود به محور z هاست که در زاویه قرار گرفته است. تبدیل مختصات مستطیلی، استوانه ای و کروی به یکدیگر گاهی اوقات بایستی مختصات نقطه ای که در دستگاه نمایش داده شده است در دستگاه دیگری بیان شود و یا نمایش تحلیلی بردار را در مختصات دیگری ارائه شود که عمده ترین علت جمع و یا ترکیب دو برداری است که در دستگاه مختصاتی ارائه شده اند که بردارهای واحد آنها تابع مکان هستند یعنی: بنابراین نیازمند تبدیل پارامترها و مولفه های مختلف در یک دستگاه به دستگاه دیگر است.

اسلاید 29: -تبدیل مختصات استوانه ای به مختصات مستطیلی و برعکس تبدیل متغیر با پارامترهای مختصات استوانه ای به مستطیلی: برعکس: اگر برای رسیدن به نمایش این بردار در مختصات استوانه ای باید را بدست آورد. بنابراین:

اسلاید 30: ماتریس تبدیل مختصات مستطیلی به استوانه ای: و برعکس: ماتریس تبدیل مختصات استوانه ای به مستطیلی: -تبدیل متغیرهای مختصات کروی به مستطیلی و برعکس تبدیل متغیرهای مختصات کروی به مستطیلی برعکس:

اسلاید 31: با توجه به شکل ماتریس تبدیل مختصات مستطیلی به کروی: و برعکس: ماتریس تبدیل مختصات کروی به مستطیلی:

اسلاید 32: -تبدیل مختصات کروی به استوانه ای و برعکس: این تبدیل بندرت اتفاده می شود: تبدیل پارامترها انتگرال گیری انتگرال هائی که در ارتباط با بردارهای می باشند عبارتند از: اما مهمترین انتگرال گیری، دو انتگرال اول و است که بترتیب بنام انتگرال خطی و انتگرال سطحی از آن نام می بریم.

اسلاید 33: انتگرال خطی Line integral بعنوان مثال روی مسیری مانند c بصورت زیر انجام می گیرید. برای محاسبه آن در هر نقطه، مولفه را مماس بر منحنی در آن نقطه است ( ) را بدست آورده در طول ضرب می کنیم. که همان مفهوم است و نتیجه انتگرال گیری تابع اسکالر از نقطه A تا B خواهد بود. مفهوم انتگرال خطی: چنانچه بردار نیروی وارد بر جسمی باشد، این انتگرال میزان کار لازم برای حرکت جسم زوی مسیر c از نقطه A به B می باشد که می تواند متناسب با انرژی لازم برای عملیات فوق باشد.

اسلاید 34: انتگرال سطحی Surface integral طریقه نمایش بصورت روبرو می باشد: و با توجه به تعریف که بردار عمود بر سطح در جهت خارج از سطح در جهت خارج از سطح است مولفه در جهت عمود بر سطح را بدست آورده در ضرب می کنیم و نهایتا روی سطح s انتگرال می گیریم: مفهوم انتگرال سطحی: چنانچه بردار نمایش دهنده یک میدان باشد انتگرال کل فلو (شار) بردار که از سطح s خارج می شود را محاسبه می نماید. چنانچه سطح s باز باشد از نمایش روبرو استفاده می کنیم: WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 35: دیورژانس (بخش) یک تابع برداری Divergence تعریف: بنابراین دیورژانس یک تابع برداری با فلوی خروجی از هر متر مکعب برابر می گردد. با صرفنظر کردن از طریقه عملیات، محاسبه دیورژانس در دستگاههای مختصات متعامد معرفی شده بصورت زیر خواهد بود. در دستگاه مستطیلی در دستگاه استوانه ای در دستگاه کروی کاربرد: اگر سرعت حرکت یک سیال در هر نقطه باشد و چگالی حجمی آن سیال به مفهوم آن خواهد بود که سیال غیر قابل تراکم پذیری است یعنی شار (فلوی) جرم وارد شده به یک سطح بسته همواره با فلوی خارج شده از آن سطح برابر است و نشان دهنده یک ماده قابل انفجار و بعنوان منبع source برای یک فرآیند تراکم پذیر نتیجه می دهد و بعنوان حفره و گودال sink است. WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 36: کرل (پیچش) یک تابع برداری Curl تعریف: با توجه به تعریف فوق مشخص است که چنانچه بر روی سطح عمود باشد و یا تصویری نداشته باشد مولفه کرل در جهت وجود ندارد و یا بعبارتی چرخشی ندارد یعنی پیچش این بردار در جهت برابر صفر است. بنابراین مولفه کرل هر بردار در هر جهت معیاری از چرخش خطوط میدان برداری فوق در صفحه عمود بر آن جهت است. می تواند یا هر جهت دیگر باشد. در مختصات مستطیلی در مختصات استوانه ای در مختصات کروی

اسلاید 37: گرادیان (شیب) Gradient گرادیان بزرگترین مقدار مشتق یک تابع اسکالر نسبت به تغییر مکان می باشد و جهتش در همان سمتی که بزرگترین مقدار مشتق نسبت به تغییر مکان اتفاق می افتد می باشد بنابراین گرادیان یک مشتق گیری جهتی است. Directional derivative برای درک مفهوم گرادیان تابع اسکالر را در نظر بگیرید: اگر کمترین مقدار باشد، بزرگترین تغییرات (مشتق) را خواهد داشت برای محاسبه بیشترین تغییرات باید شود: یعنی در مختصات مستطیلی در مختصات استوانه ای در مختصات کروی WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 38: قضایائی بر روی توابع برداری - فضای صفر (Null) - قضیه گاوس (دیورژانس) برای هر سطح بسته s که شامل حجم v است. - قضیه استوکس Stokes برای هر مسیر بسته c که شامل سطح باز s است. - قضیه هلمهولتس Helmholtz با توجه به شکل ریاضی این قضیه در محیط نا محدود این قضیه چنین بیان می شود که هر میدان برداری توسط پخش و پیچش (دیورژانس و کرل) میدان کاملا مشخص می شود یعنی برای مشخص کردن کامل میدان فقط نیاز به داشتن و است. بیان دیگر: یک میدان برداری یا تابع برداری را می توان بصورت مجموع گرادیان یک تابع اسکالر و کرل یک تابع برداری نوشت.WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 39: مشتقات مرتبه بالاتر علاوه بر قضایای صفر، لاپلاسین نیز یک مشتق از مرتبه بالاتر می باشند: مثلا در مختصات مستطیلی در مختصات استوانه ای در مختصات کروی نوع دیگر مشتقات از درجه بالاتر که در آن (مختصات مستطیلی) WwW.Dariushmoridi.blogfa.com

اسلاید 40: Question & CommentsYou Can download this project from: WwW.Dariushmoridi.blogfa.comبرای دانلود جدیدترین مقالات برق الکترونیک و کامپیوتر به آدرس زیر مراجعه کنید .