آمار و احتمال مهندسی

آمار و احتمال مهندسی

اسلاید 1: 1آمار و احتمال مهندسی

اسلاید 2: 2 بسم الله الرحمن الرحیم

اسلاید 3: 3فهرست: مقدمه فصل 1 : آمار توصیفی وارائه داده ها فصل 2 : احتمال فصل 3 : متغیر های تصادفی و توزیع آنها فصل 4 : معرفی چند توزیع احتمال گسسته فصل 5 : معرفی چند توزیع احتمال پیوسته فصل 6 : استنباط آماری فصل 7 : رگرسیون

اسلاید 4: 4مقدمه: کلمه آمار ابتدا به معنی مجموعه اطلاعاتی از جمعیت واقتصاد بود، اینک، آمار از آن شروع ابتدایی ، به یک روش علمی تجزیه و تحلیل که در تمام رشته های علوم اجتماعی ومهندسی و... به کار برده میشود،ترقی کرده است.آمار شاخهای از علوم است که به نقش:سازماندهی وخلاصه کردن استنباط ونتیجه گیری در باره مجموعه ای از داده هاست ،وقتی که تنها بخشی از آن ها مشاهده شده اند.

اسلاید 5: 5 درحقیقت آمار یک روش است که هدفش توصیف کردن است وعلاوه بر این ، یک روش کمی است که از عدد به عنوان وسیله ای برای بیان و توصیف استفاده میشود.با نگرش به این توصیف ، از نقطه نظر آموزشی ، سه مرحله زیر را میتوان در آمار در نظر گرفت:آمار توصیفی احتمالاتآمار ریاضی

اسلاید 6: 6فصل اول آمار توصیفی وارائه داده ها

اسلاید 7: 7هدف آموزشی فصلعلم آمار با روشهای مورد استفاده از جمع آوری، ارائه، تجزیه و تحلیل و تفسیرداده ها سروکار دارد. هر نوع عمل کردن روی داده ها که پیش بینی ها یا استنباط هایی درباره گروه بزرگتری از داده ها منجر شود. آمار استنباطی و مجموعه روشها و قوانینی که نتایج را ساده تر کند آمار توصیفی شمرده می شود.

اسلاید 8: 8جامعه و نمونه ها اگر يك مجموعه داده همه مشاهدات ممكن يك پديده خاص را شامل شود ، آن را يك جامعه مي ناميم . اگر يك مجموعه داده فقط يك بخش از مشاهدات را شامل شود ، آن را نمونه مي ناميم . به عنوان مثال برآمدهاي 12 پرتاب يك سكه (شير و خط) را در يك نمونه از همة پرتاب هاي ممكن سكه در جامعه بررسي مي‌كنيم .

اسلاید 9: 9ميانگين حسابیفرض کنید جامعه مورد بررسی دارای N عضو باشد. میانگین جامعه از رابطه زیر بدست می آید:مثال : در يك روز خاص ،9 دانش‌آموز به ترتيب : 1،2،3،0،1،5،2،1 و 3 نامه دريافت كرده‌اند ، ميانگين را پيدا كنيد .حل : تعداد كل نامه‌هايي كه 9 دانش‌آموز دريافت كرده‌اند برابر با 18 است . بنابراين و ميانگين تعداد نامه براي هر دانش‌آموز 2 است .

اسلاید 10: 10مثال: فرص کنید کانون مهندسین نرم افزار کامپیوتر دارای 7 عضو است که حقوق سالانه آن ها عبارتند از:1500 1700 1900 2000 1300 1400 1750میانگین جامعه را حساب کنید. حل:

اسلاید 11: 11میانگین هندسیاگر یک نمونه به حجم n از جامعه مورد بررسی باشد میانگین هندسی از رابطه زیر به دست می آید و با علامت G نمایش داده می شود:

اسلاید 12: 12میانگین هارمونیکاگر یک نمونه به حجم n از جامعه مورد بررسی باشد، میانگین هارمونیک از رابطه زیر بدست می آید و با علامت H نشان داده می شود. یا

اسلاید 13: 13در یک کارگاه تراشکاری یک قطعه خاص به وسیله سه رایانه در زمان های ساعت تراش داده می شود. میانگین هارمونیک را محاسبه کنید.

اسلاید 14: 14میانگین پیراستهمیانگین پیراسته حالت خاصی از میانگین حسابی است به طوری که تعداد ار مشاهدات به علت نا هماهنگ بودن، از داده ها حذف می شود و میانگین حسابی برای داده ها باقی مانده محاسبه می شود. اگرk تا از مشاهدات حذف شده باشند میانگین پیراسته از رابطه زیر بدست می آید(k<n).

اسلاید 15: 15ميانه و ديگر چندك به ‌منظورجلوگيري از خطاي ايجاد شده توسط مقادير خيلي بزرگ يا كوچك ، گاهي اوقات بهتر است ”وسط“ يا ”مركز” يك مجموعه از داده را بوسيله اندازه‌هاي آماري ديگر به جز ميانگين توصيف كنيم . تعريف : يكي از اين مقياس ها يعني ميانة n مقدار ما را ملزم مي‌سازد كه داده‌ها را بر حسب اندازة نمونه مرتب كنيم . وقتي كه n فرداست ، ميانه برابر با وسط داده هاست .وقتي كه n زوج است ، ميانه برابر با ميانگين دو عددي است كه نزديك وسط داده‌ها هستند.

اسلاید 16: 16در آمار چارك و صدك ها مهم هستند اما صدك ها به طور كلي در مورد مجموعه‌هاي بزرگ به كار مي‌روند . بنابراين اكنون سه چارك به صورت زير معرفي مي كنيم . :چارك اول ميانه تمام مقادير سمت چپ موقعيت ميانه تمام داده هاي مجموعه است . :چارك دوم ، ميانه است . :چارك سوم ، ميانه تمام مقادير سمت راست ميانه تمام داده هاي مجموعه است .

اسلاید 17: 17 مثال : اعداد زير تعداد دقايقي است كه فردي در طول 14 روز بايد براي رفتن به محل كارش منتظر اتوبوس شود 10،2،17،1،16،8،3،10،2،9،5،9،13،10و 10 ، ميانه ، و بيابيد . حل : براي موقعيت ميانه برابر است با ، بنابراين موقعيت ، و چهارمين مقدار از آخر مي‌باشد . هنگامي كه داده‌ها را براساس اندازه شان مرتب كنيم، داريم : 17،13،10،10،10،9،9،8،6،5،3،2،2و 1 . ملاحظه مي‌كنيد كه ميانه برابر با و و مي‌باشد .

اسلاید 18: 18دامنه « دامنه عبارتست از تفاوت کوچکترین مقدار و بزرگترین مقدار. »

اسلاید 19: 19 توزيع هاي فراواني يك جدول مانند جدول زیررا جدول توزيع فراواني و يا به طور ساده تري ، توزيع عددي مي نامند . اين جدول چگونگي توزيع سن 10 ميليون فرد دستگير شده را نشان مي‌دهد . اين مقادير داده‌ها بر طبق يك مقدار عدد (سن) طبقه‌بندي شده‌اند ، در بعضي از مثال ها اطلاعات را براساس مقياس هاي غير عددي مانند : رنگ،ناحيه جغرافيايي، تشخيص پزشكي دسته بندي مي‌كنيم

اسلاید 20: 20 نمايش نموداري براي خلاصه كردن مجموعه‌هاي بزرگي از داده‌ها در يك شكل ساده ، آنها را اغلب به صورت نموداري نمايش مي‌دهيم . معمولترين شكل نمايش به صورت نموداري توزيع فراواني ، بافت نگار است. قاعده مستطيل هاي نمايش داده شده روي فاصله‌هاي مساوي و ارتفاعشان مطابق با فراواني هاست .

اسلاید 21: 21 نمودار ميله ای برای توزيع تعداد دفعاتی که 80 دانشجو در فعاليتهای فوق برنامه کانديد شده اند.

اسلاید 22: 22چند ضلعی فراوانی توزيع تعداد ساعاتی که 80 دانشجو در فعاليتهای فوق برنامه کانديد شده اند

اسلاید 23: 23نمودار دايره اي نمودار وضعيت خانوارهای ارتشی سفيد پوست کشوری در سال 1982

اسلاید 24: 24اندازه نمونه ، معمولاً بوسيله حرف تعريف شده است . مقدار را در يك نمونه به صورت نشان می دهيم و می نويسيم : ميانگين نمونه اگر ميانگين نمونه باشد بنابراین:

اسلاید 25: 25ميانگين جامعه : ميانگين موزون : ميانگين كل داده هاي تركيب شده :

اسلاید 26: 26 مثال : در ماه اخير ، سازمان ماهيگيري اعلام كرد كه 53،31،67،53 و 36 تخلف در صيد ماهي در 5 ناحيه متفاوت اتفاق افتاده است . ميانة تعداد تخلفات براي ماه‌هاي اخير را پيدا كنيد:حل : ابتدا اعداد را به ترتيب صعودي مرتب مي‌كنيم . 67،53،53،36،31بنابراين ميانه برابر با 53 است

اسلاید 27: 27مُد مُد يكي ديگر از مقياس هاي مكان است كه در بعضي مواقع براي توصيف وسط يك مجموعه از داده‌ها مقياس هاي مكان ديگري در كنار ميانگين ، ميانه و مد وجود دارند و سوالي كه كدام متوسط در يك موقعيت به‌خصوص بايد انتخاب شود همواره به راحتي پاسخ داده نمي‌شود . واقعيت اين است كه جادوي آمار مي‌تواند هر چيزي را ثابت كند .

اسلاید 28: 28 مثال : نمونه‌اي از گزارش گرفته شده در سال جاري يك شركت وسايل نقليه موتوري حاكي ازآن است كه شانزده راننده در گروه‌هاي سني مشخص:2،3،3،1،0،2،1،0،3،4،0،3،2،3و0وجود دارد ، مد را پيداكنيد. حل :0 پنج بار، 1دو بار، 2سه بار، 3پنج بار، 4يك بار و 0و3 هركدام با بيشترين فراواني پنج بار تكرار شده‌اند ، بنابراين 2 مد وجود دارد . مي‌توانيم نتيجه بگيريم كه هم تعداد رانندگان خوب و هم رانندگان ضعيف زياد است . و تعداد رانندگاني بين اين دو دسته وجود دارند كم است .

اسلاید 29: 29مقياس پراكندگي : انحراف معيار براي معرفي انحراف معيار يكي از پركارترين مقياس پراكندگي بيان مي كنيم كه اگر مقادير در اطراف ميانگين متراكم باشند انحراف معيار كوچك و اگر از ميانگينشان دور باشند مقدارش بزرگ است . بنابراين به‌نظر قابل‌قبول مي‌رسد كه براي اندازه‌گيري پراكندگي داده‌ها در يك مجموعه ، تفاوتشان را از ميانگين محاسبه كنيم . اگر مجموعه‌اي از داده‌ها اعداد اعضاي يك جامعه با ميانگين باشد ، تفاوت بين انحراف از ميانگين ناميده مي‌شود .

اسلاید 30: 30انحراف معيار جامعه : انحراف معيار نمونه :فرمول براي استانداردكردن واحدها :ضريب تغييرات : ،

اسلاید 31: 31هر جايي كه داده‌ها يك نمونه يا يك جامعه تشكيل مي‌دهند ، از فرمول صفحه قبل مي توان استفاده كرد . در اين قسمت بيان مي كند كه متغيرها چند ، انحراف معيار استاندارد بالاتر يا پايين تر از ميانگين مجموعه داده‌ها قرار مي‌گيرد . واحد استاندارد در قسمت بعدي به كار برده مي‌شود .

اسلاید 32: 32 مثال : در طول چند ماه گذشته يك دونده با ميانگين 12 مايل درهفته با انحراف معيار استاندارد 2 مايل در حالي كه يك دونده ديگر با ميانگين 25 مايل در هفته با انحراف معيار استاندارد 3 مايل دويده است . كداميك از اين دو دونده سازگاري ارتباطي بيشتري با برنامة هفتگي دويدن دارد ؟ حل : دو ضريب تعيين به ترتيب : پس دونده دوم سازگاري ارتباط بيشتري با برنامه هفتگي دويدن دارد .

اسلاید 33: 33فصل دوم احتمال

اسلاید 34: 34هدف آموزشی فصلدر این فصل مبانی علم احتمال شرح داده شده است. مفاهیمی چون فضای نمونه، پیشامد و نیز اصول شمارش و جایگشت ها و ترکیب ها بیان شده است. و نیز مفهوم احتمال، تابع احتمال، اصل موضوع احتمال شرطی استقلال دو پیشامد قانون و احتمال کل توضیح داده می شود.

اسلاید 35: 35مفاهیم اولیه:فضای نمونه : اگر نتیجه آزمایشی معین نباشد ، اما همه ی برآمدهای ممکن آن از قبل قابل پیش بینی باشد، مجموعه ی همه آنها را فضای نمونه ای نامیم و آن را معمولا با S وهمچنین برآمدها را با نشان میدهیم:بنابراین فضای نمونه ای S:و برآمدها e:پیشامد : زیر مجموعه ای از فضای نمونه ای را یک پیشامد نامیم

اسلاید 36: 36توجه شودکه: برآمدها (e) می توانند به صورت یک نقطه تنها یا دو تایی مرتب ویا ... n تایی مرتب باشند :به مثالهای زیر توجه شود.

اسلاید 37: 37مثال :1- پرتاب سکه :2- پرتاب تاس : ... 3- پرتاب دو سکه :4- پرتاب سه سکه :

اسلاید 38: 385- فرض کنید آزمایشی دردومرحله انجام شود.ابتدا سکه ای پرتاب می شود.اگر خط بیاید، تاس پرتاب می شود واگر شیر بیاید ، سکه دوباره پرتاب می شود.فضای نمونه ای را تعریف کرده وپیشامدهای زیر را تعریف کنید .الف. آمدن شیردراولین پرتاب ب. آمدن عددی فرد وقتی تاس پرتاب شود .حل :الف. ب.

اسلاید 39: 396- فرض کنید سکه ای را آنقدر پرتاب می کنیم تا اولین شیر ظاهر شود .فضای نمونه ای را مشخص کنید .حل : این فضای نمونه ای نامتناهی ولیکن شمارا است . چنین فضای نمونه ای را فضای نمونه ای گسسته نامیم .اما مثال های 1 تا 5 ، دارای فضای نمونه ای متناهی می باشند .7- فرض کنید فضای نمونه ای عبارتست از : اندازه گیری طول عمر یک لامپ بنابراین داریم:A: پیشامد این که عمر یک لامپ حداقل 100 ساعت باشدB: پیشامد آن است که عمر لامپ حداکثر 1000 ساعت باشد C: پیشامد آن است که عمر لامپ دقیقا 505 ساعت باشد

اسلاید 40: 40 این فضای نمونه ای ، یک فضای پیوستار است . به عبارت دیگر چنین فضای نمونه ای را ، فضای نمونه از نوع پیوسته گوییم .

اسلاید 41: 41فضای نمونه پیوسته وقتی رخ می دهد که برآمدهای آزمایش ها ،اندازه گیری هایی با ویژگی های فیزیکی هستند که بر طبق مقیاس های پیوسته اندازه گیری می شوند . مانند : طول ، دما و ...می توانیم بر اساس پیشامد ها ، ترکیبی از پیشامد ها را داشتهباشیم.

اسلاید 42: 42ترکیب پیشامدها 1- مکمل( متمم) : مکمل پیشامد یعنی وقتی رخ می دهد که پیشامد رخ ندهد .2- اجتماع : اجتماع دو پیشامد یعنی پیشامدی است که وقتی رخ دهد که حداقل یکی رخ دهد .3- اشتراک : اشتراک دو پیشامد یعنی ( یا ) وقتی رخ می دهد که هر دو رخ دهند .

اسلاید 43: 434- زیر پیشامد : پیشامد را زیرمجموعه ی گوئیم اگر رخ دادن مستلزم رخ دادن باشد .5- ناسازگاری : دو پیشامد را ناسازگار گوییم هرگاه با هم رخ ندهند . یعنی : 6- تعمیم : مجموعه ی پیشامدهای را دوبدو ناسازگار گوییم هرگاه :

اسلاید 44: 447- پیشامد مطمئن : پیش آمدی که یقینا رخ دهد .8- پیشامد ناممکن : پیشامدی که یقینا رخ ندهد .9- تساوی : دو پیشامد را برابر گوییم ، هر گاه رخ دادن یکی مستلزم رخ دادن دیگری باشد .

اسلاید 45: 45نمادها قوانین دمورگان مثال :فرض کنید فرود هواپیماها بر اساس نظام سرویس دهی به ترتیب فرود می باشد . پیشامدهای را به صورت زیر تعریف می کنیم :منتظر ماندن حداکثر3هواپیما :منتظر ماندن حداقل2هواپیما : منتظر ماندن دقیقا2هواپیما : در این صورت تعریف کنید:الف. ؟ ب. ؟ ج. چه رابطه ای بین وجود دارد ؟د. چه رابطه ای بین وجود دارد ؟ هـ. چه رابطه ای دارند ؟

اسلاید 46: 46حل :پیشامد های زیررا تعریف می کنیم:الف. پیشامد منتظر ماندن حداکثر3هواپیماب. پیشامد منتظر ماندن حداقل4هواپیماج. د. ناسازگارند هـ. ناسازگارند اکنون آماده ایم تا اصول موضوع احتمال را بیان کنیم .

اسلاید 47: 47اصول موضوع احتمال فرض می کنیم S فضای نمونه ای یک آزمایش باشد . به هر پیشامد A از S عددی به نام احتمال وقوع A که با نماد p(A) نشان می دهیم ، نسبت داده که در اصول موضوع زیر صدق می کند .1) 2) 3) اگر دنباله ای از پیشامدهای دو به دو ناسازگار باشندآن گاه :

اسلاید 48: 48مثال :سکه ی نااریبی را پرتاب می کنیم . از آن جایی که سکه نااریب است ، بنابراین احتمال آمدن شیر و خط با هم برابر است . در پرتاب این سکه فضای نمونه ای برابر است با : چون وقوع پیشامدهای با هم برابرند در این صورت گوییم این دو پیشامد هم احتمالند و می نویسیم :از طرفی این دو پیشامد ناسازگارند ، پس :

اسلاید 49: 49مثال :فرض کنیم S فضای نمونه ای مربوط به آزمایش سه بار پرتاب یک سکه سالم باشد . فرض می کنیم پیشامد A پیشامد آمدن حداقل دو شیر باشد . پس :با توجه به اینکه سکه سالم فرض شده است ، نتیجه می گیریم احتمال رخ دادن پیشامدها با هم برابرند .

اسلاید 50: 50 یعنی هر یک از برآوردهای فضای نمونه ایبه همین ترتیب در مورد پیشامد A احتمال هر یک از پیشامدها برابرمی شود . بنابراین :با توجه به مثالهای بالا ، نتیجه می گیریم :به طور کلی اگر فضای نمونه ای S شامل N برآمد باشد و A پیشامدی از آن با n(A) برآمد باشد ، آن گاه :

اسلاید 51: 51مثال :فرض کنید برآمدهای یک آزمایش باشد که تعداد آن ها نامتناهی است ، تحقیق کنید آیا می تواند یک اندازه احتمال قابل قبول باشد .حل : می دانیم که:بنا بر اصل 1 باید که برای این مثال برقرار است.از طرفی باید در اینجا داریم: بنا براین می تواند یک اندازه قابل قبول باشد.

اسلاید 52: 52قضایا : داریم : 1)اگر داشته باشیم :

اسلاید 53: 53اگر داشته باشیم : 2) اگر آن گاه : A B

اسلاید 54: 54نتیجه :اگر آن گاه : چون قضیه :3) در صورتی که Aو B ناسازگار باشند ، آن گاه :

اسلاید 55: 55داریم :با توجه به اینکه سمت راست ناسازگارند ، داریم :از طرفی پس طبق قضیه قبل :این قضیه را می توانیم برای n پیشامد تعمیم دهیم . مثلا برای 3 پیشامد :

اسلاید 56: 56مثال :فرض کنید 25% مردم یک شهر روزنامه A و 20% روزنامه B و 13% روزنامه C و 10% روزنامه های A,B و 8% روزنامه های A,C و 5% روزنامه های B,C و 4% همه ی روزنامه ها را می خوانند . احتمال این که شخصی به تصادف از بین مردم این شهر انتخاب شود و هیچ یک از این روزنامه ها را نخواند چقدر است ؟

اسلاید 57: 57حل :فرض می کنیم E و F و G به ترتیب پیشامدهای خواندن روزنامه های A ، B و C باشند . پس پیشامد آن که شخصی حداقل یکی را بخواند عبارتست از :بنابراین : عبارتست از احتمال این که هیچ یک از روزنامه ها را نخواند .

اسلاید 58: 58احتمال شرطی :فرض کنید پیشامدی مانند B رخ داده است . احتمال وقوع A به شرط B که با نماد p(A|B) نشان می دهیم عبارتست از :داریم :( قانون ضرب احتمال ) به محض آن که A و B مستقل از یکدیگر باشند ، رابطه بالا به صورت ساده ای تبدیل می شود :

اسلاید 59: 59استقلال :پیشامد A را از B مستقل گوییم هر گاه :بدین ترتیب نتیجه می گیریم وقتی A و B مستقل باشند :فرمولهایی که برای جمع و ضرب بیان کردیم ، به صورت زیرخلاصه می کنیم.جمع :(A وB نا سازگار باشند)ضرب :(A وB مستقل باشند)

اسلاید 60: 60مثال :فرض کنید جعبه ای شامل 10 لامپ می باشد که دربین آن ها 4 لامپ معیوب وجود دارد . دو لامپ پشت سر هم و بدون جایگذاری استخراج می کنیم . احتمال این که هر دو لامپ معیوب باشند چقدر است ؟حل : اولی ناسالم :Aدومی ناسالم :B

اسلاید 61: 61قانون احتمال کل – قضیه بیز : گاهی اوقات به طور مستقیم نمی توانیم احتمال یک پیشامد مانند A را محاسبه کنیم . اما برای پیشامدی مانند B احتمالات و امکان پذیر است . در اینگونه موارد برای محاسبه می توانیم از قضیه مهمی به نام احتمال کل استفاده کنیم .این قضیه به صورت زیر بیان می شود :فرض کنید B پیشامدی باشد به طوری که و آن گاه برای هر پیشامد A از S داریم :

اسلاید 62: 62اثبات :مطابق شکل فرض می کنیم S فضای نمونه ای باشد . داریم :

اسلاید 63: 63مثال :فرض می کنیم برای پیشامدهای A و B داشته باشیم : و و . مطلوب است محاسبهحل :به طور کلی فرض می کنیم فضای نمونه ای S به افراز شده باشد .

اسلاید 64: 64یادآوری : را افرازی برای S گوییم هرگاه :1) 2) 3) در این صورت برای هر پیشامد دلخواه مانند A از S داریم :

اسلاید 65: 65مثال: فرض می کنیم به ترتیب 30% و 50% و 20% محصولات یک تولیدی بوسیله ی سه دستگاه A ، B وC تولید می شود . از طرفی معلوم شده است که به ترتیب 4% ، 5% و 3% این تولیدات ناقص می باشد . اگر محصولی به تصادف انتخاب شود احتمال این که معیوب باشد چقدر است ؟حل :احتمال پیشامد خراب بودن : p(D)

اسلاید 66: 66اکنون ممکن است این سئوال را مطرح کنیم : احتمال آن که محصول انتخابی معیوب باشد و توسط دستگاه B تولید شده باشد چقدر است ؟ دراین حالت در حقیقت می خواهیم p(B|D) را مورد نظر قرار دهیم دراین حالت از قضیه ی موسوم به قضیه بیز استفاده می کنیم .

اسلاید 67: 67قضیه بیز : فرض کنید افرازی از S باشد به طوریکه به ازاء . باشد.آنگاه برای هر پیشامد دلخواه A ازS داریم :اثبات :

اسلاید 68: 68مثال :1- برای مثال قبل مطلوب است احتمال اینکه محصولی که به تصادف انتخاب می شود و معیوب است ، متعلق به دستگاه C باشد .حل :

اسلاید 69: 692- فرض کنید می دانیم80% دانشجویان سال سوم و70% دانشجویان سال دوم و50% دانشجویان سال اول و30% دانشجویان پیش دانشگاهی ازکتابخانه استفاده می کنند. اگرازهمه ی دانشجویان 30% پیش دانشگاهی ، 25% سال اول ، 25% سال دوم و20% سال سوم باشند ، در اینصورت چند درصد همه ی دانشجویان از کتابخانه ی مرکزی استفاده می کنند ؟

اسلاید 70: 70حل :دانشجویی که به تصادف انتخاب می شود و از کتابخانه ی مرکزی استفاده می کند :A پیش دانشگاهی : F سال اول :O سال دوم :J سال سوم :E

اسلاید 71: 71آنالیز ترکیبی : مجموعه روش ها و تکنیک هایی که برای شمارش بکار می روند ، موضوع آنالیز ترکیبی را تشکیل می دهند .یکی از موضوعات اساسی در آنالیز ترکیبی اصل های جمع و ضرب است که در عین سادگی اهمیت و کاربرد دارند . بعد از این دو اصل ، موضوع ترتیب و ترکیب از موضوعات پرکاربردند که ما در این قسمت خلاصه ای از آن ها را بیان می کنیم .اصل جمعاگر یک عمل به m طریق و عمل دیگر به n طریق انجام شود ، در این صورت یکی از دو عمل را می توان به m+n طریق انجام داد .

اسلاید 72: 72بیان ریاضی اصل جمع :فرض کنید مجموعه A دارای n عضور و مجموعه B دارای m عضو باشد . اگر در این صورت دارای n+m عضو خواهد بود .تعمیم اصل جمعاگر عمل به صورت ، عمل به صورت و ... و عمل به صورت امکان پذیر باشد ، آن گاه انجام یکی از این اعمال به صورت امکان پذیر است .

اسلاید 73: 73اصل ضرب فرض کنید عملی در دو مرحله انجام می پذیرد . به طوری که مرحله اول را به صورت و مرحله دوم به صورت انجام داد . در این صورت آن عمل به صورت امکان می پذیرد .همین طور می توان اصل ضرب را تعمیم داد و بیان کرد : اگر عملی در k مرحله انجام شود ، به طوریکه مرحله اول صورت و ... و مرحله k ام صورت انجام شود در این صورت این عمل به صورت انجام می گیرد .

اسلاید 74: 74مثال :برای انتخاب دو کتاب از دو رشته مختلف از بین 6 کتاب ریاضی ، 7 کتاب ادبی ، 12 کتاب فلسفی انتخاب می کنیم . چند انتخاب متفاوت خواهیم داشت ؟

اسلاید 75: 75حل :کتاب ها ممکن است به صورت های: الف. ریاضی و ادبیب. ریاضی و فلسفی ج. ادبی و فلسفی باشند ، که با توجه به بیان اصل ضرب خواهیم داشت :الف. ریاضی و ادبی 42=7×6ب. ریاضی و فلسفی72=12×6ج. ادبی و فلسفی 84=12×7و بنابر اصل جمع در کل تعداد انتخاب ها برابر است با : 198=84+72+42

اسلاید 76: 76ترتیب هدف ما از ترتیب ، انتخاب گروه های k تایی از میان n عضو متمایز است : به طوری که باشد . مثل انتخاب گروه های 3 تایی از میان 5 عدد 2و4و5و7و9 به طوری که ارقام تکراری نباشند .ترتیب n شیء r به r اگر n و r اعداد طبیعی باشند و آن گاه :این قضیه برای انتخاب گروه های r تایی مرتب از n شیء متمایز است .لازم به ذکر است که تمایز در این جا به این معناست که1) مجموعه اشیاء بکار رفته متمایز باشند2) ترتیب قرار گرفتن اشیاء متفاوت باشد .

اسلاید 77: 77ترکیببرای انتخاب r شیء متمایز از n شیء متمایز از ترکیب استفاده می کنیم.لازم است که یادآور شویم که تمایز در ترکیب فقط به این معناست که مجموعه اشیائی که بکار رفته متمایز باشند .ترکیب n شیء r به r به ازای اعداد طبیعی n و r ، داریم :ویژگی های ترکیب n شیء r به r 1- 2- 3-

اسلاید 78: 78 فصل سوم متغیر های تصادفی و توزیع آنها

اسلاید 79: 79هدف آموزشی فصلدر این فصل ضمن تعریف متغیر تصادفی و بر حسب این که متغیر تصادفی از نوع گسسته یا پیوسته باشد یک قالب احتمال ارائه می شود. تابع چگالی احتمال، تابع توزیع، تابع چگالی احتمال توام، تابع توزیع توام و... از مفاهیم تعریف شده در این فصل می باشد. در پایان نیز با تعریف گشتاورها و تابع مولد احتمال، میانگین واریانس، و برجستگی در جامعه تعریف می شود.

اسلاید 80: 80 متغیرهای تصادفی و توزیع آن ها فرض کنید که X قانونی باشد که اگر سکه ای پرتاب شود و شیر بیاید ، X را برابر یک تعریف کنیم و اگر خط بیاید X را برابر صفر تعریف کنیم تعریف :تابع حقیقی مقدار X را که روی S ( فضای نمونه ای ) تعریف شده است ، یک متغیر تصادفی گوییم .متغیرهای تصادفی را با X ، Y ، Z و ... و مقادیر آن ها را با x ، y و ... نشان می دهیم .

اسلاید 81: 81مثال : 1- به جای مثلا ( شیر بیاید ) p می نویسیم :2- به جای آن که بگوییم ( خط بیاید ) p می نویسیم : به طور کلی اگر بنویسیم یعنی احتمال آنکه X مقدار x را اختیارکند .متغیرهای تصادفی می توانند گسسته یا پیوسته باشند .گسسته وقتی که فضای نمونه ای متناهی یا نامتناهی شمارا باشد .در غیر اینصورت متغیر تصادفی از نوع پیوسته است .

اسلاید 82: 821- متغیرهای تصادفی گسسته – توزیع آن ها در حالت گسسته احتمال ها بوسیله ی تابعی به نام تابع احتمال معرفی می شوند که عبارتست از مثلا بنابر اصول موضوع احتمال و به سبب برابری با وقتی یک تابع احتمال است که :1- در حوزه2-

اسلاید 83: 83توضیع های احتمال را به صورت های گوناگون میتوان نشان داد:راه اول: به صورت جدول مانند مثال زیر:

اسلاید 84: 84مثال : فرض می کنیم داده های زیررا داشته باشیم،آیا توزیع احتمال برقراراست ؟حل :1) داریم:اصل اول برقرار است ( )2) بنابراین ، اصول موضوع برقرار است و پاسخ مثبت است.به این ترتیب یکی از راه های توزیع احتمال به صورت جدول می باشد . مانند مثال فوق .

اسلاید 85: 85راه دوم : به صورت نموداری مانند شکل زیر:

اسلاید 86: 86راه سوم : فرمول ریاضی مانند توجه شود برای سایر مقادیر x که f(x) تعریف نمی شود آن را برابر صفر قرار می دهیم . به این ترتیب می توانیم تابع احتمال بالا را به صورت زیر بنویسید :

اسلاید 87: 87مثال : مقدار c را طوری تعیین کنید تا تابع یک تابع احتمال باشد .حل :1- پس باید 2- این رابطه هنگامی برقراراست که سری همگرا باشد . آن را به سری هندسی تبدیل می کنیم .

اسلاید 88: 88مثال : مقدار c را طوری تعیین کنید تا یک تابع احتمال باشدحل :1- پس 2- این سری باید همگرا باشد .اما این سری هارمونیک و واگرا است . پس این تابع به ازاء هیچ مقداری از c نمی تواند تابع احتمال باشد .

اسلاید 89: 89تابع توزیع گاهی اوقات مایلیم احتمالاتی به صورت را محاسبه کنیم . در حالت کلی این احتمالات تابعی از x می باشد . که آن را تابع توزیع x می نامیم و با نشان می دهیم .بنابراین می توانیم بنویسیم : مثال : اگر تابع احتمال X به صورت زیر باشد ، F(2) را بدست آورید .حل :

اسلاید 90: 90خصوصیات تابع توزیع 1- F(x) تابعی غیر نزولی است .2- شکل F(x) تابعی پله ای شکل است .3- و پس :

اسلاید 91: 91امید ریاضی تعریف : امید ریاضی ( مقدار مورد انتظار ) متغیر تصادفی X با تابع احتمال f(x) در صورت وجود عبارتست از :این امید ریاضی را میانگین X می نامیم و با یا نشان می دهیم .مثال : فرض کنید تابع احتمال X عبارتست از : . امید ریاضی X را حساب کنید .حل :

اسلاید 92: 92خصوصیات امید ریاضی 1- ( k عدد ثابت است )زیرا : 2-

اسلاید 93: 93مثال : اثبات :از 1 و 2 می توانیم بنویسیم :بدین ترتیب می توانیم نتیجه کلی زیر را بگیریم :مثال :بدین ترتیب نتیجه می گیریم که یک عملگر خطی است .

اسلاید 94: 94برخی امیدهای خاص1- : در آن صورت امید ریاضی آن را در صورت وجود میانگین X می نامیم و می نویسیم :2- امید ریاضی آن را واریانس X می نامیم و می نویسیم .

اسلاید 95: 95فرمول محاسباتی واریانسمثال : فرض می کنیم تابع احتمال X عبارت است از : واریانس X را از هر دو روش حل کنید .

اسلاید 96: 96حل : روش اول :روش دوم :

اسلاید 97: 97تعریف : جذر مثبت واریانس را انحراف معیار می نامیم و با نشان می دهیم خواص واریانس مثال : نتیجه :

اسلاید 98: 983-اگر امید ریاضی این تابع وجود داشته باشد ، آن را گشتاور مرتبه r ام می نامیم و با نشان می دهیم .یعنی گشتاور مرتبه اول همان میانگین توزیع است .در برابر این گشتاورها ، گشتاورهای حول میانگین را معرفی می کنیم که عبارتست از :

اسلاید 99: 994- تابع مولد گشتاورها اگر که آن گاه امید ریاضی آن را در صورت وجود تابع مولد گشتاورها می نامیم و می نویسیم :با توجه به اینکه می توانیم مشتقات را در همسایگی (حول) صفر حساب کنیم .اکنون مشتق دوم را حساب می کنیم : گشتاور مرتبه دوم به طور کلی داریم :

اسلاید 100: 100مثال : فرض می کنیم تابع احتمال X عبارتست از :تابع مولد گشتاورهای x و واریانس را حساب کنید .حل :فرض کنید بخواهیم میانگین x را حساب کنیم ، داریم :برای محاسبه واریانس داریم :

اسلاید 101: 101مثال : فرض می کنیم تابع احتمال X عبارت است از :تابع مولد گشتاورها را محاسبه نموده و با استفاده از آن و را محاسبه کنید .حل :

اسلاید 102: 102مثال : فرض می کنیم تابع احتمال X عبارت است از : میانگین X و واریانس آن را حساب کنید .حل : راه اول :راه دوم :X0123f(x)

اسلاید 103: 103فصل چهارم معرفی چند توزیع احتمال گسسته

اسلاید 104: 104هدف آموزشی فصلهدف این فصل معرفی چند توزیع احتمال خاص از نوع گسسته و پیوسته با ارائه الگو می باشد. با ارائه فرم تابع چگالی احتمال هر توزیع چند ویژگی توزیع نیز مورد بحث قرار می گیرد.

اسلاید 105: 105توزیع برنولیآزمایش برنولی : عبارت است از آزمایشی که دارای 2 نتیجه ، یکی به نام موفقیت و دیگری شکست باشد .موفقیت : s شکست : f فرض می کنیم X متغیر تصادفی وابسته به این آزمایش باشد ؛ آنگاه :اگر موفقیت اگر شکستاحتمال موفقیت را p می نامیم . پس احتمال شکست q=1-p . در اینصورت تابع احتمال برنولی عبارت است از :این تابع احتمال را می توان به صورت زیر نوشت :

اسلاید 106: 106تعریف : گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع برنولی است هرگاه تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :ثابت می کنیم بنا به اصول موضوع واقعا f(x) بالا می تواند یک تابع احتمال باشد .

اسلاید 107: 107مسئله : 1- میانگین برنولی :2- واریانس :3- مطلوبست محاسبه تابع مولد گشتاورها :

اسلاید 108: 108مثال : اگر در ریختن یک تاس سالم آمدن عدد 4 یا 6 را موفقیت بنامیم و بقیه حالت ها را شکست به حساب آوریم ، واریانس توزیع را حساب کنید .حل :

اسلاید 109: 109توزیع دوجمله ای اگر امتحان های برنولی را n بار و همه با احتمال موفقیت p به طور مستقل ازیکدیگر انجام شوند ، آنگاه X تعداد موفقیت ها دارای توزیعی به نام توزیع دوجمله ای می نامیم .اگر X دارای توزیع دوجمله ای باشد ، می نویسیم :می خوانیم X دارای توزیع دوجمله ای است با پارامترهای n و p .اکنون تعریف می کنیم :گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p می باشد هر گاه تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :

اسلاید 110: 110ثابت می کنیم تابع بالا واقعا تابع احتمال است :از بسط دوجمله ای :با مقایسه این دو فرمول قرار می دهیم : a=p و b=1-pمثال : احتمال آمدن پنج شیر و هفت خط در 12 بار پرتاب یک سکه سالم چقدر است ؟حل :

اسلاید 111: 111مثال : رستورانی 8 نوع خوراک ماهی ، 12 نوع خوراک گوشت و10 نوع خوراک مرغ درست می کند . اگر مشتریان این رستوران خوراک ها را به تصادف انتخاب کنند ، احتمال اینکه دونفر ازچهار مشتری بعدی خوراک ماهی سفارش دهند چقدر است ؟حل :با توجه به اینکه میانگین برنولی برابر p می باشد ، بنابراین در توزیع دوجمله ای داریم :به همین ترتیب واریانس در توزیع دوجمله ای برابر است با :

اسلاید 112: 112مثال : تابع مولد گشتاورها را در توزیع دوجمله ای محاسبه کنید .حل :با استفاده از بسط دوجمله ای نتیجه می گیریم : و

اسلاید 113: 113توزیع هندسی اگر دنباله ای از آزمایش های برنولی با احتمال موفقیت p را آنقدر انجام دهیم تا به اولین پیروزی برسیم در اینصورت متغیر تصادفی X وابسته به این آزمایش را گوییم دارای توزیع هندسی است .فرمول : فرض می کنیم شکست را با F و موفقیت را با S نشان دهیم.

اسلاید 114: 114به عنوان یک حالت ساده فرض می کنیم آزمایش را 4 بار انجام داده باشیم به طوری که احتمال موفقیت p باشد و در مرحله چهارم به اولین موفقیت رسیده باشیم ، بنابراین داریم : FFFSدر اینصورت اگر X تعداد شکست ها تا اولین پیروزی باشد داریم “به طور کلی فرض می کنیم آزمایش X+1 بار انجام شود .(p) در اینصورت p(X=x) برابر است با :در این صورت گوییم X دارای توزیع هندسی است .

اسلاید 115: 115مثال : در پرتاب یک تاس سالم احتمال آن که نخستین پیروزی در آزمایش ششم رخ دهد ، برابر است با :تذکر : گاهی اوقات تابع احتمال هندسی را به صورت زیر تعریف می کنیم :در این فرمول x تعداد امتحان ها است تا به اولین پیروزی برسیم .

اسلاید 116: 116مثال : اگر احتمال قبولی در یک امتحان رانندگی که شخصی هر بار شرکت میکند 75% باشد ، احتمال اینکه این شخص سرانجام در چهارمین بار قبول شود ، چند است ؟حل :در توزیع هندسی میانگین و واریانس به ترتیب عبارتند از :

اسلاید 117: 117توزیع دوجمله ای منفی اینک فرض می کنیم تعداد امتحان هایی را درنظربگیریم که برای آن k پیروزی رخ می دهد. دراین صورت شماره امتحانی که k امین پیروزی در آن رخ می دهد دارای توزیعی به نام توزیع دوجمله ای منفی است .تعریف :گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع دوجمله ای منفی است هرگاه تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :

اسلاید 118: 118به محض آنکه k=1 شود ، توزیع دوجمله ای منفی به توزیع هندسی تبدیل می شود .نتیجه : میانگین و واریانس دوجمله ای منفی عبارتست از :

اسلاید 119: 119مثال : اگر شخصی در معرض ابتلا به یک بیماری مسری قرار داشته باشد ، با احتمال 40% به آن دچار می شود . احتمال اینکه 10 امین شخص در معرض بیماری سومین شخصی باشد که به آن مبتلا می شود ، چقدر است ؟حل :

اسلاید 120: 120توزیع فوق هندسی مقدمه :حالتی را در نظر می گیریم که از جامعه ای با دو حالت ( موفقیت و شکست ) نمونه ای تصادفی بدون جایگذاری داشته باشیم .فرض می کنیم از جامعه ای با اندازه N با دو حالت موفقیت ( سالم بودن ) و شکست ( معیوب بودن ) داشته باشیم .از این جامعه نمونه ای به اندازه n انتخاب می کنیم .فرض می کنیم در این نمونه : x تا از نوع k و بقیه n-x از نوع N-k می باشند

اسلاید 121: 121هدف : p(X=x) = ?در اینصورت می گوییم X دارای توزیع فوق هندسی است .فرمول : x تا از k تا به صورت انتخاب می شود .به دنبال آن n-x تا از N-k تا به صورت انتخاب می شود و انتخاب کل عبارتست از :

اسلاید 122: 122بنا به تعریف : در این صورت تعریف زیر را داریم :گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع فوق هندسی است هرگاه تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :می توانیم ثابت کنیم f(x) تعریف شده دربالاواقعا یک تابع احتمال است

اسلاید 123: 123و برای این منظور از فرمول زیر می توانیم استفاده کنیم :مثال : فرض می کنیم از جعبه ای شامل 6 لامپ که 3 تای آن ها سوخته است ، 4 لامپ به تصادف و بدون جایگذاری انتخاب می کنیم احتمال اینکه بین این 4 لامپ ، 2 لامپ سوخته وجود داشته باشد چقدر است ؟حل :

اسلاید 124: 124توزیع پواسون ( تقریبی برای توزیع دوجمله ای ) در توزیع دوجمله ای وقتی n بزرگ باشد وp کوچک باشد وnp برابر مقدار ثابتی به نام باشد ، آنگاه توزیع دوجمله ای به سمت توزیعی به نام توزیع پواسون با پارامتر میل خواهد کرد؛ که آن را با نشان می دهیم .بنابراین :تعریف : گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع پواسون با پارامتر است اگر تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :

اسلاید 125: 125ثابت می کنیم f(x) بالا واقعا یک تابع احتمال است . میانگین و واریانس :با استفاده ازفرمولهای توزیع دوجمله ای ، میتوانیم میانگین و واریانس پواسون را به صورت زیر محاسبه کنیم :پواسون تنها توزیع آماری است که میانگین و واریانس آن با هم برابرند .

اسلاید 126: 126مثال : متوسط تعداد تلفن هایی که اشتباها به یک اداره بزرگ می شود در طول یک هفته هفت مورد است . مطلوب است احتمال اینکه : الف ) فردا 2 تلفن اشتباه وجود داشته باشد . ب) حداقل یک تلفن اشتباه وجود داشته باشد .

اسلاید 127: 127حل : فرض می کنیم هر روز تلفن های زیادی به این اداره زده می شود .x تعداد افرادی می باشد که به طور اشتباهی تلفن می زنند .در این صورت می توانیم فرض کنیم x تقریبا دارای توزیع پواسون است .الف )ب )

اسلاید 128: 128مثال : فرض کنید در هر 3 صفحه از کتابی به طور متوسط یک اشتباه چاپی وجود دارد . اگر فرض کنیم تعداد اشتباهات چاپی در هر صفحه یک متغیر تصادفی پواسون باشد ، مطلوب است احتمال اینکه در یک صفحه از این کتاب حداقل یک اشتباه پیدا شود .حل :

اسلاید 129: 129حالت پیوستهدر حالت پیوسته ( وقتی x متغیر تصادفی پیوسته باشد ) احتمالات تابعی به نام تابع چگالی احتمال را جزء فرض خود قرار می دهند به طوری که :

اسلاید 130: 130f(x) را تابع چگالی احتمال می نامیم .(P.U.f)نتیجه : تابعی مانند f(x) وقتی می تواند تابع چگالی احتمال باشد که :

اسلاید 131: 131مسئله مهم : فرض میکنیم تابع چگالی احتمال x عبارت است از (pdf)اولا : k را تعیین کنید . ثانیا :

اسلاید 132: 132حل :چون بنابر این بایدk>=0 باشد پس با شروع می کنیم :نتیجه :

اسلاید 133: 133تابع توزیع داریم : از رابطه بنا به قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال داریم :داریم :بنا به تعریف تابع توزیع داریم :نتیجه : با توجه به اینکه p(x=a) صفر است می توانیم همواره بنویسیم :

اسلاید 134: 134مسئله : در مثال قبل تابع توزیع را محاسبه کرده و بر اساس آن احتمال را محاسبه کنید .حل :

اسلاید 135: 135امید ریاضی تعریف : فرض می کنیم X متغیر تصادفی پیوسته با تابع چگالی احتمال f(x) و U(x) تابعی از X باشد . . امید ریاضی U(x) در صورت وجود عبارت است از : 1. : امید ریاضی آن را میانگین می نامیم . 2. : امید ریاضی آن را واریانس X می نامیم . ( واریانس توزیع )

اسلاید 136: 136در محاسبات ، واریانس به صورت زیر محاسبه می شود :نتیجه 1 : انحراف معیار :نتیجه 2 :

اسلاید 137: 137مثال : فرض می کنیم متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر است :میانگین و واریانس X را محاسبه کنید .حل :

اسلاید 138: 1383. گشتاور مرتبه r ام الف) حول مبدا : در صورت وجود عبارت است از : نتیجه :

اسلاید 139: 139مسئله : با فرض اینکه تابع چگالی احتمال X به صورت زیر باشد : اولا گشتاور مرتبه r ام را محاسبه کنید . ثانیا با استفاده از فرمول بدست آمده امید ریاضی را محاسبه کنید .حل : ب) گشتاور مرتبهr ام حول میانگین : نتیجه :

اسلاید 140: 1404. تابع مولد گشتاورهابا استفاده از این تابع و محاسبه مشتقات مراتب مختلف در نقطه t=0 می توانیم گشتاورهای هر مرتبه را تولید کنیم . به طور کلی داریم :گشتاور مرتبه r ام در (t=0) =مثال 1 : گشتاور مرتبه اول را بدست آورید .حل :

اسلاید 141: 141مثال 2 : فرمول واریانس بر حسب تابع مولد گشتاور ؟حل :مثال 3 : فرض می کنیم تابع چگالی احتمال X عبارتست از :مطلوبست محاسبه تابع مولد گشتاورهای X ؟حل :

اسلاید 142: 142تمرین : مدت زمان لازم برای سفارش و تحویل یک غذای خاص متغیری است تصادفی با تابع چگالی احتمال :الف. میانگین و انحراف معیار مدت زمان لازم برای تحویل این غذا را حساب کنید .ب. فرض کنید زمان لازم برای طبخ این غذا 12 دقیقه باشد . میانگین و انحراف معیار مدت زمان تحویل این غذا را تعیین کنید .

اسلاید 143: 143 کاربردهایی از میانگین و واریانس قضایای مارکوف – چی بیشف : قضیه مارکوف : اگر X متغیر تصادفی نامنفی باشد ، آنگاه برای هر داریم :اثبات ( حالت گسسته ) :فرض می کنیم A فضای نمونه ای X باشد و ( یعنی )

اسلاید 144: 144با استفاده از این نامساوی می توانیم نامساوی مهم چی بیشف را نتیجه بگیریم :چی بیشف : اگر X متغیر تصادفی با میانگین ووارایانس ( متناهی ) و باشد آنگاه :تذکر مهم : با استفاده از پیشامدهای متمم می توانیم قضیه چی بیشف را به صورت زیر نیز بنویسیم :یعنی احتمال اینکه X در فاصله k انحراف معیار از میانگین خود قرار گیرد ، حداقل برابر می باشد .

اسلاید 145: 145اثبات : در مارکوف انتخاب می کنیم : و . مقادیر را در مارکوف قرار می دهیم :مثال : فرض می کنیم X متغیر تصادفی با میانگین 25 و واریانس 16 باشد . مطلوب است احتمال آنکه 23>X > 17 باشد .حل :

اسلاید 146: 146تمرین 1 : قضیه مارکوف را در حالت پیوسته ثابت کنید .تمرین 2 : قضیه چی بیشف را به صورت مستقیم ثابت کنید .

اسلاید 147: 147فصل پنجم معرفی چند توزیع احتمال پیوسته

اسلاید 148: 148هدف آموزشیدر این فصل روی استنباط روی پارامتر یا پارامترهایی که بر اساس نمونه هایی از جامعه های نامتناهی است، می پردازیم. برای هر نمونه تصادفی از جامعه نامتناهی برآوردگر، برآورد، توزیع مشترک و توزیع آمار را مورد بحث قرار می دهیم.

اسلاید 149: 149معرفی چگالی های خاص 1- یکنواخت : متغیر تصادفی X دارای توزیع یکنواخت است اگر و تنها اگر تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر باشد :مساله 1 : میانگین ؟حل :

اسلاید 150: 150مساله 2 : واریانس ؟حل : جنبه های آماری استفاده از این توزیع به خاطر سادگی آن می باشد .تمرین : تابع توزیع یکنواخت را محاسبه کنید .

اسلاید 151: 151توزیع گاما ( نمایی – کای 2 ) تابع گاما : انتگرال را تابع گامای می نامیم و با نشان می دهیم .خصوصیات 1- 2- اگر آنگاه :مثال : 3-

اسلاید 152: 152توزیع گاما : متغیر تصادفی X دارای توزیع گاما است هرگاه تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر باشد :در این توزیع می توانیم میانگین و واریانس را به صورت زیر محاسبه کنیم :به همین ترتیب واریانس برابر است با :

اسلاید 153: 153در حالت خاص :1- در توزیع گاما قرار می دهیم : و .آنگاه توزیع حاصله را نمایی با پارامتر می نامیم .تعریف : X دارای توزیع نمایی است هرگاه تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر باشد :با استفاده از میانگین و واریانس گاما داریم :

اسلاید 154: 1542- کای 2 : اگر در توزیع گاما قرار دهیم : و ، در اینصورت توزیع حاصله را توزیع کای 2 می نامیم و r درجات آزادی توزیع می نامیمتعریف : متغیر تصادفی X دارای تویع کای 2 با r درجه آزادی است هرگاه تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر باشد :اکنون با انتخاب و ی مورد بحث و با در نظر گرفتن اینکه میانگین توزیع گاما برابر است و واریانس برابر می باشد ، نتیجه می گیریم میانگین و واریانس توزیع کای 2 به ترتیب عبارتست از :

اسلاید 155: 155توزیع بتا تابع بتا : عبارتست از مثال :بین تابع گاما و توزیع بتا رابطه زیر برقرار است :تعریف توزیع بتا : متغیر تصادفی X دارای توزیع بتا است هرگاه تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر باشد :برای این توزیع میانگین و واریانس عبارتست از :

اسلاید 156: 156حالت خاص :در این صورت داریم :بدین ترتیب نتیجه می گیریم تابع یکنواخت پیوسته f(x)=1 حالت خاصی از توزیع بتا است .

اسلاید 157: 157توزیع نرمال تعریف : متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال است هرگاه تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر باشد :خصوصیات 1- شکل توزیع : این توزیع زنگی شکل و مساحت کل زیر منحنی آن برابر 1 است .2- این منحنی نسبت به خط متقارن است .

اسلاید 158: 1583- در صورتی که به اندازه یک انحراف معیار در طرفین میانگین جدا کنیم ، سطح حاصله تقریبا برابر 68% سطح خواهد بود .4- اگر به اندازه ی 2 انحراف معیار در طرفین میانگین جدا کنیم ، سطح حاصله تقریبا 95% سطح کل می باشد .5- اگر به اندازه ی 3 انحراف معیار جدا کنیم ، سطح حاصله تقریبا 7/99% خواهد بود .برای این که در حالت کلی هر احتمالی را بتوانیم در توزیع نرمال حساب کنیم ، کافی است نرمال را به نرمال استاندارد تبدیل کرده و با استفاده از جدول های مربوطه مقدار احتمال را محاسبه کنیم .

اسلاید 159: 159نرمال استاندارد تعریف : اگر ، آنگاه متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال استاندارد است .قضیه ( مساله ) : داریم و

اسلاید 160: 160بعد از آن که نرمال استاندارد را تعریف کردیم فورا نتیجه می گیریم :احتمالات اخیر را می توانیم با استفاده از جدول نرمال استاندارد به راحتی محاسبه کنیم ( استفاده از جدول ) .جدول های مورد نظر کتاب مقدار احتمال را از تا عدد بخصوصی می دهد . برای این کتاب داریم :

اسلاید 161: 161مثال های نمونه :1- مطلوبست محاسبه ؟2- مطلوب است ؟با استفاده از جدول داریم :3- مطلوب است ؟با توجه به متقادن بودن توزیع نرمال می توانیم بنویسیم :نتیجه :

اسلاید 162: 1624- مطلوب است محاسبه احتمال ؟5- احتمال ؟6- فرض می کنیم X دارای توزیع نرمال با میانگین 4.35 و انحراف معیار 0.59 می باشد . مطلوب است احتمال آن که باشد .

اسلاید 163: 163کاربرد دوم توزیع نرمال : ( تقریب نرمال برای دوجمله ای ) زمانی که n در توزیع دوجمله ای بزرگ باشد ، می توانیم از توزیع نرمال برای تقریب دوجمله ای استفاده کنیم . یک شرط مناسب برای استفاده چنین تقریبی عبارتست از : .اکنون برای آن که بتوانیم x دوجمله ای را به کمک نرمال تقریب بزنیم باید توجه داشته باشیم که چون دوجمله ای یک توزیع گسسته می باشد و آن را به کمک توزیع نرمال که یک توزیع پیوسته می باشد تقریب می زنیم باید از تصحیح پیوستگی به صورت زیر استفاده کنیم :

اسلاید 164: 164با توجه به این که n بزرگ در نظر گرفته می شود ، این احتمال را به نرمال استاندارد تبدیل می کنیم به شرط آن که و منظور شود .بنابراین داریم :اکنون مانند قبل می توانیم این احتمال را به کمک جدول نرمال استاندارد محاسبه کنیم .

اسلاید 165: 165مثال : فرض می کنیم X دارای توزیع دوجمله ای به صورت باشد ، مطلوب است محاسبه به کمک تقریب نرمال ؟حل : تصحیح پیوستگی : = جدول

اسلاید 166: 166توزیع چند متغیره (دومتغیره) فرض می کنیم X و Y دو متغیر گسسته باشند . احتمال اینکهX مقدارx (X=x ) و Y مقدار y ( Y=y ) را اختیار کند را با نشان می دهیم . به عبارت دیگر این احتمال ، احتمال اشتراک پیشامدهای و می باشد . این احتمال را به صورت ساده نشان می دهیم وآن را توزیع توام x و y می نامیم . تعریف : اگر X و Y دو متغیر تصادفی گسسته باشند تابعی که با رابطه برای هر زوج مرتب در برد X و Y تعریف می شود ، توزیع احتمال توام X و Y ( تابع احتمال توام ) می نامیم .

اسلاید 167: 167از این تعریف نتیجه می گیریم :تابعی دومتغیره مانند وقتی و تنها وقتی می تواند توزیع احتمال توام زوج X و Y باشد که مقادیر آن در دو شرط زیر صدق کند :1- به ازاء هر متعلق به حوزه تعریف 2-

اسلاید 168: 168مثال : k را طوری تعیین کنید که یک توزیع احتمال توام باشد .حل : 1- با فرض اینکه 2-

اسلاید 169: 169یک توزیع احتمال را به دو صورت می توانیم مشخص کنیم :الف. به صورت فرمول مانند :ب. به صورت جدولمانند :مانند حالت یک متغیره در اینجا نیز می توانیم تابع توزیع توام را به صورت زیر تعریف کنیم :321xy......1...23

اسلاید 170: 170مثال : فرض کنید برای توزیع توام که بخواهیم را محاسبه کنیم .تمرین : فرض می کنیم توزیع توام X,Y به صورت زیر داده شده باشد :مطلوب است محاسبه و . .

اسلاید 171: 171حالت پیوسته تعریف : یک تابع دومتغیره با مقادیر که روی صفحه تعریف شده است تابع چگالی احتمال توام X,Y خوانده می شود اگر و فقط اگر برای هر ناحیه A داشته باشیم :ازاین تعریف فورا نتیجه می گیریم :تابع دومتغیره وقتی به عنوان تابع چگالی احتمال توام X,Y بکارمی رود که مقادیر آن یعنی در شرایط زیر صدق کند :1- به ازاء و داشته باشیم : 2- .

اسلاید 172: 172مثال : اگر تابع چگالی احتمال توام دو متغیر تصادفی y,x به صورت زیر باشد :مطلوب است محاسبه که برای آن A عبارتست از ناحیه ای از صفحه به صورت :حل : مطابق تعریف کلی :

اسلاید 173: 173مثال : را طوری تعیین کنید که به صورت زیر:یک تابع چگالی احتمال توام باشد .حل :

اسلاید 174: 174توزیع های حاشیه ای با استفاده از توزیع های توام یعنی با داشتن می خواهیم توزیع تنهای X و توزیع تنهای Y را معرفی کنیم که در این صورت آن ها را توزیع حاشیه ای X و یا توزیع حاشیه ای Y می نامیم .

اسلاید 175: 175حالت گسسته تعریف : اگر تابع احتمال توام X و Y باشد ، آنگاه تابع احتمال حاشیه ای X و تابع احتمال حاشیه ای Y عبارتست از :مثال : فرض کنید . مطلوب است احتمال حاشیه ای X و Y ؟حل :

اسلاید 176: 176مثال 2 : محاسبه حاشیه ای به کمک جدولفرض می کنیم توزیع احتمال X و Y به صورت زیر باشد : 0 0 210Y=yX=x0 102 1 1

اسلاید 177: 177حالت پیوسته تعریف : اگر X و Y متغیرهای تصادفی پیوسته و تابع چگالی احتمال توام باشد آنگاه تابع چگالی حاشیه ای X و Y به ترتیب عبارتند از :مثال : با فرض این که تابع چگالی توام X و Y به صورت زیر باشد :مطلوب است چگالی حاشیه ای X و Y ؟حل :

اسلاید 178: 178تمرین : با فرض اینکه تابع چگالی احتمال توام X و Y به صورت زیر باشد:مطلوب است اولا تعیین توزیع حاشیه ای X و Y و ثانیا تابع توزیع یکنواخت ؟

اسلاید 179: 179فصل ششم استنباط آماری

اسلاید 180: 180هدف آموزشی فصلدر این فصل انواع برآورد پارامترها و روش های برآورد را که شاخه ای از آماری است مورد بحث قرار می دهیم. به عنوان مثال ارائه یک عدد معینی بر اساس مشاهدات به منظور تخمین پارامتر را برآورد نقطه ای و ارائه یک فاصله بین دو مقدار عددی را برآورد فاصله می گویند. در انتهای فصل نیز برآورد فاصله ای برای مینگین، نسبت، واریانس و نسبت واریانس ها ارائه می شود.

اسلاید 181: 181توزیع های نمونه ایتعریف نمونه تصادفی : گوییم اگر متغیرهای تصادفی و مستقل و هم توزیع باشند ، تشکیل نمونه ای تصادفی به اندازه n از جامعه نامتناهی را می دهند .تعریف میانگین نمونه ای : اگر نمونه ای تصادفی باشد آنگاه میانگین نمونه ای عبارتست از :واریانس نمونه ای عبارت است از :

اسلاید 182: 182توزیع نمونه ای : قضیه : اگر میانگین نمونه ای تصادفی از جامعه ای با میانگین و واریانس باشد ، آنگاه :اثبات :اثبات :انحراف معیار نمونه ای :

اسلاید 183: 183توزیع : حالت 1 : اگر جامعه مورد مطالعه نرمال باشد ، آنگاه دارای توزیع نرمال با میانگین و واریانس است .حالت 2 : فرض می کنیم نمونه تصادفی به اندازه n از جامعه ای با توزیع غیرنرمال استخراج کرده باشیم ، در این حالت می توانیم از قضیه حد مرکزی به صورت زیر استفاده کنیم .

اسلاید 184: 184قضیه حد مرکزی : اگر نمونه ای تصادفی از جامعه نامتناهی به اندازه n را تشکیل دهد که دارای میانگین و واریانس و تابع مولد گشتاورهای می باشد ، آنگاه : وقتی به توزیع نرمال استاندارد همگراست .

اسلاید 185: 185آماره : استنباط آماری متکی بر آماره ها می باشد .تعریف آماره : تابعی از متغیرهای تصادفی که به هیچ پارامتر مجهولی بستگی نداشته باشد ( پارامتر = مشخصه های جامعه مانند ) .قرارداد : : پارامتر و : آمارهمثال : ، ، و ...مثال : X و آماره هستند ولی آماره نیست .(اگر معلوم نباشد)دو آماره مهم عبارتند از : و .از مشخصه های آماره ها یکی نااریب بودن آن ها است .

اسلاید 186: 186تعریف نااریبی :آماره را برای نااریب گوییم هرگاه : مثال : برای میانگین یک جامعه یعنی نااریب است .حل :مثال : در توزیع دوجمله ای نسبت پیروزی ها یعنی برای p نااریب است .حل :تمرین : ثابت کنید برای ( جامعه نرمال ) نااریب است .

اسلاید 187: 187از معیارهای دیگری که برای یک آماره در نظر می گیریم معیار کارایی می باشد .تعریف کارایی :اگر و دو آماره نااریب برای باشند و داشته باشیم :آنگاه گوییم کاراتر از است .

اسلاید 188: 188یکی دیگر از معیارهایی که برای آماره ها تعریف می کنیم سازگاری می باشد .تعریف سازگاری : آماره را برای سازگار گوییم هرگاه :به عنوان مثال برای داریم : یک آماره سازگار است

اسلاید 189: 189برآوردگر : آماره ای است که برای برآورد یک پارامتر به کار می بریم برآوردگر نامیده می شود .برآورد نقطه ای : اگر مقدار یک برآوردگر را برای برآورد یک پارامتر به کار بریم گوییم یک برآورد نقطه ای دارد .مثال : یک برآوردگر برای است . اگر داشته باشیم :آنگاه یک برآورد نقطه ای برای جامعه است .

اسلاید 190: 190برآوردهای نقطه ای به دو روش مورد نظر قرار می گیرند یعنی دو روش اساسی برای بدست آوردن برآورد نقطه ای وجود دارد . 1- روش درستنمایی ماکزیمم ( MLE ) 2- روش گشتاورها ( MME )

اسلاید 191: 1911- تعریف تابع درستنمایی : اگر مقادیر یک نمونه تصادفی از جامعه ای با چگالی باشد ، تابع درستنمایی عبارت است از :به این ترتیب نتیجه می گیریم که تابع درستنمایی عبارتست از چگالی توام این متغیرها یعنی .و با توجه به اینکه نمونه ای تصادفی می باشنند بنابراین مستقل هستند و چگالی مشترک یعنی برابر حاصلضرب چگالی های هر یک از متغیرهای تصادفی است . یعنی داریم :

اسلاید 192: 192به این ترتیب نتیجه می گیریم تابع درستنمایی به صورت زیر در مسائل مورد استفاده قرار می گیرد :روش درستنمایی ماکزیمم مبتنی بر این اصل است که مقداری از را بدست آوریم تا ماکزیمم شود که در این صورت می توانیم از مشتق آن استفاده کنیم . یعنی ماکزیمم شود : جواب همان است .

اسلاید 193: 193تذکر : در صورتی که لازم باشد و برای سادگی می توانیم به جای از نماد لگاریتمی نیز استفاده کنیم .الگوریتم :1- را تعیین کنید .2- را تشکیل دهید .3- از یا مشتق بگیرید

اسلاید 194: 194مسئله نمونه : فرض می کنیم نمونه تصادفی از توزیع زیر باشد: را به روش MLE برآورد کنید .حل :

اسلاید 195: 195مثال : اگر نمونه ای تصادفی از توزیع نمایی با پارامتر باشد ، را به روش MLE بدست آورید .حل :

اسلاید 196: 1962- روش گشتاورها برای استفاده از این روش دو تعریف زیر را در نظر می گیریم :تعریف : 1- گشتاور مرتبه r ام جامعه عبارتست از :2- گشتاور نمونه ای مرتبه r ام :از جمله گشتاورهای نمونه ای وقتی است که :

اسلاید 197: 197همواره ثابت می شود :به این ترتیب می توانیم از گشتاورهای نمونه ای برای گشتاورهای جامعه استفاده کنیم .اساس روش گشتاورها مبتنی بر همین قضیه می باشد .به عبارت دیگر برای استفاده از روش گشتاورها کافی است معادلات زیررا حل کنیم .برای روشن شدن مطلب به مثال زیر توجه شود :

اسلاید 198: 198مثال : فرض می کنیم تابع چگالی احتمال X عبارتست از : را به روش گشتاورها برآورد کنید .حل :کافی است معادله زیر را حل کنیم :

اسلاید 199: 199برآورد فاصله ای معرفی چند توزیع خاص مورد استفاده درس :1) یادآوری : 2)توان دوم Z عبارتست از : کای 2 3) ها جمع پذیرند با شرط استقلال . یعنی اگرمتغیرهای تصادفی مستقل ، نرمال استاندارد باشند آنگاه :

اسلاید 200: 2004) شکل خاصی از توزیع t :توزیع t مانند توزیع نرمال متقارن است .یادآوری می شود که در درس برآورد فاصله ای از این فرمول وقتی استفاده می کنیم که واریانس جامعه مجهول و اندازه ی نمونه یعنی n کوچک باشد ، کاربرد آن به دست آوردن برآورد فاصله ای برای میانگین جامعه است .5) شکل خاصی از کای 2 :کاربرد این فرمول در درس برآورد فاصله ای وقتی می باشد که بخواهیم برای ، یک برآورد فاصله ای بدست آوریم .

اسلاید 201: 201توزیع F :عبارتست از خارج قسمت تقسیم دو توزیع کای 2 مستقل . یعنی اگر و و فرض کنیم X و Y مستقل از یکدیگرند آنگاه دارای توزیعی به نام توزیع F یا توزیع فیشر خواهد بود . این توزیع دارای دو درجه آزادی است که یکی مربوط به صورت و یکی مربوط به مخرج کسر می باشد که می نویسیم :

اسلاید 202: 202فرض می کنیم دو جامعه ی نرمال داشته باشیم و از آن ها دو نمونه ی تصادفی و مستقل به اندازه های و استخراج کرده باشیم . در این صورت ثابت می شود که : دارای توزیع F به ترتیب با و درجه آزادی است .کاربرد این فرمول در درس جایی است که بخواهیم برای نسبت واریانس ها یعنی استنباط داشته باشیم .قضیه : ( نتیجه ) و مستقل از یکدیگرند

اسلاید 203: 203برآورد فاصله ای ( فاصله اطمینان ) : تعریف : فرض کنیم احتمال مشخص ولی بزرگی باشد . (ضمنا و و ... ) یک برآورد فاصله ای برای پارامتری مانند عبارتست از فاصله ی بازی مانند ( تابعی از می باشند ) . که با احتمال داشته باشیم : را سطح اطمینان (ضریب اطمینان )می نامیم و معمولا با درصد بیان می شود .با استنباط از این تعریف نتیجه می گیریم که در برآورد فاصله ای باید فاصله ی بازی مانند را بیابیم که با احتمال مشخص تعریف بالا برقرار باشد .

اسلاید 204: 204در این درس فاصله های اطمینانی که پیدا می کنیم عبارتند از :برآورد فاصله ای برای برآورد فاصله ای برای برآورد فاصله ای برای تفاوت میانگین هابرآورد فاصله ای برای برآورد فاصله ای برای

اسلاید 205: 2051- تعیین برآورد فاصله ای برای ( میانگین جامعه ) 1-1 جامعه نرمال - معلوم - تابع محوری ( فرمول ) مورد نظر :

اسلاید 206: 2061- تعیین برآورد فاصله ای برای ( میانگین جامعه ) مطابق شکل داريم: پس ثابت می شود :در این فرمول میانگین نمونه ای مربوط به جامعه ی نرمال ، انحراف معیار جامعه و n اندازه ی نمونه می باشد . عبارتست از مقداری از Z که با داشتن یا از جدول بدست می آید .

اسلاید 207: 207مثال : فرض می کنیم عمر کامپیوترهای تولیدی یک موسسه از توزیع نرمال با میانگین و واریانس 0.25 سال پیروی می کند . بر اساس نمونه ی تصادفی از این جامعه مقادیر زیر حاصل شده است :7 – 6 - 9- 5 – 8 – 5 – 6 – 7 - 10یک فاصله اطمینان 0.95 برای بیابید .حل :قرار می دهیم:

اسلاید 208: 208تذکر : اگر جامعه ای نرمال و با اندازه ی n بزرگ باشد ( از 30 بزرگ تر ) در صورتی که معلوم نباشد ، در فرمول بالا بجای از S استفاده می کنیم . در این صورت فاصله اطمینان مورد نظر عبارت است از :

اسلاید 209: 2092-1 برآورد فاصله ای برای از جامعه نرمال وقتی n کوچک و مجهول باشدعبارتند از:

اسلاید 210: 210مطابق شکل داريم:در این حالت از توزیع t استفاده کردیم و بنابراین برآورد فاصله ای به صورت زیر خواهد بود :

اسلاید 211: 211برآورد فاصله ای برای p ( دوجمله ای ) :در توزیع دوجمله ای : : تعداد موفقیت ها: احتمال موفقیت نسبت پیروزی ها برای برآورد p است .

اسلاید 212: 212هدف : تعیین برآورد فاصله ای برای p .با فرض اینکه n بزرگ آنگاه یک برآورد فاصله ای برای P .

اسلاید 213: 213مساله : برآورد فاصله اطمینان ( فاصله ای ) برای تفاوت میانگین ها حالت اول : دو جامعه ی نرمال و واریانس های آن ها معلوم است . فرض می کنیم دو نمونه ی تصادفی مستقل از هم به اندازه های از دو جامعه ی نرمال استخراج کرده باشیم . با فرض این که میانگین و واریانس جامعه ای اول و میانگین و واریانس جامعه ی دوم می باشد .

اسلاید 214: 214هدف آن است که برای یک برآورد فاصله ای با ضریب اطمینان بدست آوریم .که در این صورت داریم :در این صورت فرمول بالا به صورت زیر کامل می شود :توجه شود که واریانس ها معلوم فرض شدند .

اسلاید 215: 215حالت دوم : تذکر : اگر اندازه های نمونه بزرگ باشند ولیکن واریانس ها معلوم نباشند در این صورت می توانیم در مسئله ی قبل به جای از استفاده کنیم . ولیکن مسئله ی مهم وقتی اتفاق می افتد که اندازه های نمونه کوچک و واریانس ها مجهول باشند . در این صورت در فرمول برآورد فاصله ای از واریانس خاصی به نام واریانس ترکیبی یا ادغام شده استفاده کرده که آن را با نماد نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم :

اسلاید 216: 216 در این صورت در برآورد فاصله ای مورد نظر باید از توزیع t با درجه ی آزادی استفاده نمود و بدین ترتیب برآورد فاصله ای به صورت زیر خواهد بود .

اسلاید 217: 217برآورد فاصله ای برای وقتی که اندازه ی نمونه های حاصل از دو جامعه نرمال یعنی کوچک و واریانس های دو جامعه نامعلوم باشند .یک شرط اساسی که برای این مسئله در نظر می گیریم آن است که هر چند واریانس ها نامعلومند ولیکن آن ها را مساوی می گیریم . یعنی داریمدر این صورت برآورد فاصله مورد نظر عبارتست از :

اسلاید 218: 218برآورد فاصله ای برای واریانس جامعه : چنان چه می دانیم اگر از جامعه ی نرمالی با میانگین و واریانس مجهول نمونه ای تصادفی انتخاب کنیم آن گاه متغیر تصادفی دارای توزیعی به نام توزیع کای 2 با n-1 درجه آزادی است .با استفاده از این توزیع می توانیم برای ی جامعه ی نرمال استنباط داشته باشیم .از جمله می توانیم برآورد فاصله ای به صورت زیر را معرفی کنیم :با معلوم بودن یا و نیز اندازه ی نمونه مقادیر و بدست می آید .برآورد فاصله ای برای واریانس جامعه

اسلاید 219: 219برآورد فاصله ای برای نسبت واریانس ها همان طور که گفته شد در این مورد باید از توزیعی به نام توزیع F یا فیشر استفاده کنیم . اگر از یک جامعه ی نرمال دو نمونه ی تصادفی ومستقل از یکدیگر با واریانس های مجهول انتخاب کنیم آن گاه متغیر تصادفی دارای توزیعی به نام توزیع F با درجات آزادی صورت و مخرج به صورت زیر خواهد بود :

اسلاید 220: 220با استفاده از این توزیع می توانیم یک برآورد فاصله ای برای به صورت زیر بیابیم :مقادیر F از جدول محاسبه می شود .

اسلاید 221: 221تذکر مهم : گاهی اوقات مقادیر F در جدول وجود ندارد ؛ در اینصورت می توانیم از رابطه ی زیر استفاده کنیم :

اسلاید 222: 222تمرین : زمان لازم برای انجام یک کار به دو روش برای کاربران رایانه ، توسط مقادیر زیر بدست آمده است :روش اول : 20 – 16 – 26 – 27 – 23 – 22روش دوم : 27 – 32 – 42 – 35 – 32 – 34 – 38الف. یک فاصله اطمینان 90/0 برای واریانس هر یک از دو روش بدست آورید .ب. یک برآورد فاصله ای 90/0 برای نسبت واریانس ها بدست آورید

اسلاید 223: 223آزمون فرض : تعریف فرض آماری : حکمی است درباره ی پارامتر جامعه . مثال : ادعا شده است متوسط عمر تزاشه های تولیدی یک کارخانه بزرگ برابر 1000ساعت است . بنابراین فرض آماری عبارتست از :فرض ها به دو دسته تقسیم می شوند : یا ساده هستند و یا مرکب .

اسلاید 224: 224فرض ساده است اگر توزیع آماری را کاملا مشخص کند . در غیر این صوزت مرکب است.فرض مرکب : به سه دسته تقسیم می شوند که عبارتند از : یک طرفه از چپیک طرفه از راستدو طرفه

اسلاید 225: 2254) مشخص کردن فرض هاي مرکب يک طرفه از راست

اسلاید 226: 226يک طرفه از چپ

اسلاید 227: 227 دو طرفه

اسلاید 228: 228بنابراین در آزمون فرض ها با دو فرض روبرو هستیم . یکی از این فرض ها را فرض صفر نامیده و با نشان می دهیم و فرض دوم را فرض مقابل نامیده و با نشان می دهیم .در آزمون فرض ها با دو نوع خطا مواجه هستیم که عبارتند از :خطای نوع اول : که احتمال آن را با نشان می دهیم .خطای نوع دوم : که احتمال آن را با نشان می دهیم : رد/درست است قبول/درست است

اسلاید 229: 229 در یک طرفه از راست وقتی رد می شود که مقدار مسئله ی مورد نظر که بر اساس تابعی از نمونه ی تصادفی بدست می آید که بزرگ تراز باشد اگر مقدار حاصل از مسئله را با نشان دهیم رد می شود اگر و فقط اگر حالت 2: یک طرفه از چپدر آزمون یک طرفه از چپ وقتی رد می شود که مسئله در شرط صدق کند.

اسلاید 230: 230حالت 3 : فرض دو طرفه : گامهای اساسی در حل مسائل آزمون فرض:فرض های و را تنظیم می کنیم . را تعیین می کنیم .بر اساس نمونه ی مورد نظر تابع محوری مورد بحث مسئله و توزیع آن را مشخص می کنیم .تصمیم لازم را اخذ می کنیم.

اسلاید 231: 231( تابع های محوری مانند یا )این تابع محوری را بر اساس تنظیم می کنیم .اینک تصمیم لازم را اخذ می کنیم . برای همه ی مواردی که برآورد فاصله ای داشتیم می خواهیم آزمون فرض را انجام دهیم .

اسلاید 232: 232مسئله اول : آزمون فرض برای جامعه .حالت 1) جامعه نرمال ( n بزرگ ) و معلوم . (1 و معلوم و آماره آزمون عبارت است از: قاعده تصميم:

اسلاید 233: 233 (2 و معلوم و آماره آزمون عبارت است از: قاعده تصميم: (2

اسلاید 234: 234 (3 و معلوم و آماره آزمون عبارت است از: قاعده تصميم:

اسلاید 235: 235تذکر : در حالت اول اگر مجهول باشد و شرایط مسئله ی حالت اول برقرار باشد ( n به اندازه ی کافی بزرگ باشد ) در تابع محوری به جای از S استفاده می کنیم . بقیه ی شرایط مسئله به همان صورت خواهد بود .

اسلاید 236: 236مثال : از جامعه ی نرمالی نمونه ای تصادفی به اندازه ی 25 انتخاب کرده ایم که بر اساس این نمونه ی تصادفی میانگین نمونه ای برابر 76 بدست آمده است . اگر واریانس جامعه برابر 10 باشد فرض را در برابر فرض در سطح معنی دار 1/0 آزمون کنید .حل :نتیجه : پس رد نمی شود .

اسلاید 237: 237حالت 2) آزمون و فرض برای از جامعه نرمال : وقتی n کوچک و مجهول باشد .همان طور که در برآورد فاصله ای گفته شد در این حالت آزمون را بر مبنای توزیع t قرار می دهیم .در این صورت داریم :

اسلاید 238: 238مثال : فرض می کنیم نمونه ی تصادفی به اندازه ی n=5 از جامعه ی نرمالی انتخاب کرده باشیم که بر اساس آن نتایج زیر حاصل شده است :6/171 – 8/191 – 3/187 – 9/184 – 1/189می خواهیم فرض صفر را در برابر درسطح معنی دارمحاسبه کنیم .حل :نتیجه : رد نمی شود .

اسلاید 239: 239تمرین : نمونه ی تصادفی به اندازه ی 6 از جامعه ی نرمالی انتخاب کرده ایم . که بر اساس آن مقادیر 24 و 28 و 21 و 23 و 32 و 22 حاصل شده است . آیا در سطح معنی دار 05/0 می توان ادعا کرد که میانگین جامعه حداکثر برابر 29 است ؟

اسلاید 240: 240مساله 2 : آزمون فرض در مورد p دوجمله ای :آزمون فرض در مورد p از دوجمله ای به صورت های زیر مطرح خواهد شد :با فرض این که اندازه ی نمونه بزرگ باشد در مورد آزمون فرض برای توزیع p از توزیع دوجمله ای فقط از توزیع Z استفاده می کنیم ، بنابراین تابع محوری مورد نظر عبارت است از :

اسلاید 241: 241تحت فرض خواهیم داشت :برای تصمیم گیری کافیست را به ترتیب با مقایسه کنیم .

اسلاید 242: 242تابع محوری :این تابع محوری را تحت فرض تنظیم می کنیم سپس تصمیم لازم را اخذ می کنیم . دراین مسئله فرض به صورت :بنابراین تابع محوری تحت این فرض برابر است :در این صورت داریم :

اسلاید 243: 243تذکر : اگر در این مسئله همه شرایط برقرار بوده و واریانس ها معلوم نباشند در این حالت در فرمول تابع محوری به جای می توانیم استفاده کنیم . اما مسئله اساسی وقتی می باشد که اندازه نمونه ها کوچک و واریانس ها مجهول باشد که در این صورت آن را به صورت حالت 2 مطرح می کنیم .

اسلاید 244: 244حالت 2 ) آزمون فرض برای میانگین ها وقتی اندازه های نمونه کوچک و واریانس ها مجهول ( ولی با هم برابر ) باشد ( 2 جامعه نرمال ) هم چنان که در برآوردهای فاصله ای گفته شد در این حالت توزیع مورد استفاده توزیع t خواهد بود و به جای مجهول ولی مشترک از استفاده می کنیم .این t را تحت فرض تنظیم می کنیم .

اسلاید 245: 245بنابراین فرض های زیر را داریم :

اسلاید 246: 246مثال 1 : از دو جامعه نرمال نمونه های تصادفی و مستقل از یکدیگر با اندازه های 32 اختیار کرده ایم که بر اساس آن ها میانگین های نمونه ای به ترتیب برابر 136/0 و 083/0 بدست آمده است . ادعا شده است که تفوت میانگین های واقعی بیشتر از 05/0 است . آزمون فرض مربوط به این ادعا را انجام دهید . با فرض این که انحراف معیارهای جامعه اصلی به ترتیب برابر 004/0 و 005/0 می باشد .

اسلاید 247: 247حل :نتیجه : چون پس رد می شود . پس

اسلاید 248: 248مثال 2 : فرض کنید از دو جامعه نرمال دونمونه تصادفی و مستقل به اندازه های 5 و 7 انتخاب کرده باشیم که بر اساس آن ها میانگین ها به ترتیب برابر71/31 و 2/35 شده است . هم چنین واریانس های نمونه ای به ترتیب برابر 9/2 و 62/2 محاسبه شده است . فرض در سطح معنی دار 05/0 آزمون کنید .حل :نتیجه : رد می شود .نتیجه :

اسلاید 249: 249تمرین : فرض می کنیم دو نمونه تصادفی به اندازه های 4 از دو جامعه نرمال انتخاب کرده باشیم که بر اساس آن ها میانگین ها برابر 512 و 492 بدست آمده است . اگر بر اساس این نمونه ها انحراف معیارهای نمونه ای به ترتیب برابر 31 و 26 باشد ، فرض در برابر در سطح 05/0 آزمون کنید .

اسلاید 250: 250مثال : محموله ای شامل 50 رایانه است . اگر 8 رایانه در این محموله معیوب باشد ، آیا در سطح 5 درصد می توان گفت نسبت معیوب ها کمتر از 20 درصد است ؟حل :نتیجه : ملاحظه می شود که رد نمی شود ( یعنی پذیرفته می شود ).

اسلاید 251: 2513- آزمون فرض در مورد : همان طور که در مورد برآورد فاصله ای گفته شد استنباط در مورد با استفاده از توزیع کای 2 با درجه n-1 آزادی خواهد بود که داریم : آزمون فرض در مورد نیز بر اساس همین توزیع کای 2 می باشد هرگاه آن را تحت فرض تنظیم کنیم بنا براین داریم:

اسلاید 252: 252انجام آزمون: (1

اسلاید 253: 253

اسلاید 254: 254

اسلاید 255: 255مثال : فرض می کنیم از جامعه نرمالی نمونه تصادفی به اندازه n=18 انتخاب کرده باشیم . بر اساس این نمونه تصادفی انحراف معیار نمونه ای برابر 68/0 محاسبه شده است . فرض را در برابر فرض در سطح معنی دار 0.05 محاسبه کنید .حل :نتیجه : با توجه به اینکه مقدار مسئله کمتر از مقدار جدول است بنابراین فرض رد نمی شود .

اسلاید 256: 2564- آزمون فرض درباره نسبت واریانس ها : چنان که گفته شد در این مورد باید از توزیع F به صورت :ولیکن توجه داریم که هدف از این آزمون آن است که تحقیق کنیم آیا هست یا خیر . یا معادل آن تحقیق می کنیم هست یا خیر .

اسلاید 257: 257بنابراین فرض به صورت و یا در این صورت با توجه به این که F توزیع نامتقارن است در مورد آزمون فرض به ترتیب داریم :

اسلاید 258: 258مثال : فرض می کنیم از دو جامعه نرمال نمونه های تصادفی به اندازه های 13 و 16 انتخاب کرده باشیم که بر اساس آن ها واریانس های نمونه ای به ترتیب برابر 2/19 و 5/3 محاسبه شده اند . در سطح معنی دار %5 فرض برابری واریانس ها را در برابر فرض مخالف آن که واریانس ها مساوی نباشند آزمون کنید .حل :نتیجه : رد می شود .

اسلاید 259: 259مثال : فرض می کنیم از دو جامعه نرمال دو نمونه تصادفی با اندازه های 21 و 16 انتخاب کرده باشیم که بر اساس آن ها واریانس های نمونه ای به ترتیب برابر 275 و 150 محاسبه شده است . فرض در برابر در سطح %5 آزمون کنید .حل :نتیجه : شرط رد شدن برقرار نیست و رد نمی شود چون است .

اسلاید 260: 260فصل هفتم رگرسيون

اسلاید 261: 261هدف آموزشی فصلدر فصل اول با جامعه آماری که از مقادیر یک یا چند صفت متغیر تشکیل شده بود آشنا شدیم. گاهی اوقات تحلیلگر آماری علاقه مند به مطالعه همزمان دو یا چند صفت آماری در جامعه است اگر دو متغیر x,y صفات متغیر مورد بررسی باشند همبستگی بین آنها برازش خط رگرسیون، پیش بینی، و آزمون فرض ها روی پارامترهای خط رگرسیون در این فصل مورد بحث قرار می گیرند.

اسلاید 262: 262هدف: در بسياري از موارد با کميت هايي روبرو هستيم که تغييرات آن ها به نوعي به يکديگر وابسته است. (يکي از کميت ها را با X و ديگري را با Y نشان مي دهيم).با فرض اينکه اين تغييرات (وابستگي) به صورت خطي باشد يعني داشته باشيم:

اسلاید 263: 263مي خواهيم معادله خط را پيدا کنيم. بديهي است وقتي اين معادله مشخص مي شود که و معلوم باشند, که در اين جا آن ها را به کمک نمونه اي تصادفي برآورد خواهيم کرد. روشي که در اين مورد انتخاب مي کنيم, روش کمترين مربعات مي باشد. تعريف 1) X را متغير مستقل يا پيش بين مي ناميم. تعريف 2) Y را متغير وابسته يا پاسخ مي ناميم.

اسلاید 264: 264روش کارا) جمع آوري داده هامعمولاً مقاديرX را با ومقاديرY را با نشان مي دهيم. چنانچه اين داده ها قابل کنترل باشند, توسط آزمايشگر مورد نظرقرار مي گيرند, يعني اگر مقاديرX توسط آزمايشگر قابل کنترل باشد, براساس آن مقاديرY يعني مشاهده مي شود, وليکنX قابل کنترل نيست. در اين صورت بايد نمونه اي را از جامعه انتخاب و براساس مقادير(X,Y) آن ها را موردنظر قرار دهيم.

اسلاید 265: 2652) تنظيم داده هاپس از انتخاب نمونه مي توانيم داده ها را به يکي از صورت هاي زير تنظيم کنيم: (1 (2 روش برآورد و روشي به نام روش حداقل مربعات (کمترين مربعات ) مي باشد.xy

اسلاید 266: 2663) تعيين مدلواقعيت آن است که مدلي که انتخاب مي شود عبارت است از:که ها خطاهاي تصادفي مي باشند. با فرض اينکه هر شکل بعدی رادر نظر مي گيريم (براي بررسي روش حداقل مربعات )

اسلاید 267: 267

اسلاید 268: 268مطابق شکل داريم: ازآنجا که مجموع ها معمولاً صفرمي باشد بنابراين ازمجموع توان دوم آن استفاده مي کنيم. روش حداقل مربعات عبارت است ازمينيمم کردن رابطه زير:

اسلاید 269: 269با فرض اينکه: بنابراين روش حداقل مربعات عبارت است ازحداقل نمودن تابع زير: در اين صورت بايد داشته باشيم:

اسلاید 270: 270جوابهاي دستگاه، معادلاتي را ارائه مي کند که بر مبناي آن تابع (a,b)A حداقل مقدار خود را اختيار مي کند. معادلاتي را که از حل اين دستگاه بدست مي آيد معادلات نرمال مي ناميم.براي حل معادلات و رسيدن به نتيجه مطلوب, فرمول هاي پايه اي را معرفي مي کنيم:

اسلاید 271: 271فرمول هاي پايه اي:

اسلاید 272: 272با داشتن اين فرمول ها و معادلات نرمال نتيجه خواهيم گرفت: به اين ترتيب معادله خط برآورد شده عبارت است از:

اسلاید 273: 273مثال29) فرض مي کنيم بخواهيم رابطه خطي يا معادله رگرسيوني بين دو متغير Y وX را بر اساس نمونه تصادفي به اندازه 15 بدست آوريم. بر اساس اين نتايج حاصله از نمونه مسئله را حل کنيد:

اسلاید 274: 274حل: در نتيجه معادله خط رگرسيون برآورد شده عبارت است از:

اسلاید 275: 275تذکر:به کمک معادله رگرسيون مي توانيم به ازاي مقدار خاصي از x مانندx* مقدار y را پيش بيني کنيم: مثلاً در مثال قبل به ازاي x*=2 مقدار پيش بيني برابر است با

اسلاید 276: 276مثال30) با توجه به داده هاي زير معادله خط رگرسيون را محاسبه کنيد:

اسلاید 277: 277حل: در نتيجه معادله خط رگرسيون برآورد شده عبارت است از:

اسلاید 278: 278تذکر: مجموع مانده ها که آن را با نماد SSE نشان مي دهيم, عبارت است از: به عنوان نمونه مي توانيم مجموع مانده ها در مثال قبل را محاسبه کنيم:

اسلاید 279: 279مثال32) براي تعيين رابطه خطي بين دو متغير تصادفي X وY نمونه تصادفي به اندازه 20 از جامعه استخراج کرده ايم که بر اساس آن نتايج زير حاصل شده است. معادله خط رگرسيون و مجموع مربعات مانده ها را بدست آوريد.

اسلاید 280: 280حل: در نتيجه معادله خط رگرسيون برآورد شده عبارت است از:

اسلاید 281: 281مثال33) براي تعيين رابطه هزينه حمل يک کالا که آن را با y نشان مي دهيم, با فاصله فروشگاه که آن را با x نشان مي دهيم, نمونه اي تصادفي شامل 8 فروشگاه را انتخاب و براساس آن نتايج زير را بدست آورذه ايم: معادله خط رگرسيون را مشخص کنيد.

اسلاید 282: 282حل: در نتيجه معادله خط رگرسيون برآورد شده عبارت است از:

اسلاید 283: 283خواص برآورد کننده ها برآورد کننده هاي کمترين مربعات داراي خواصي به ترتيب زير هستند:

اسلاید 284: 284از اين فرمول ها مي توانيم براي استنباط داشته باشيم وقتي بر اساس توزيع t استنباط انجام مي دهيم, موارد زير مورد نظر قرار مي گيرند: از اين فرمولها مي توانيم جهت انجام استنباط درمورد استفاده کنيم, مثلاً يک فاصله اطمينان براي عبارت است از:

اسلاید 285: 285به همين ترتيب يک فاصله اطمينان براي عبارت است از: همچنين مانند درس هاي گذشته مي توانيد براي آزمون فرض انجام دهيد. در برابر فرض هاي مقابل آن ها مي توانيم آزمون کنيم.

اسلاید 286: 286مثال34) براي جدول مقادير زير پارامترها را برآورد کنيد.معادله خط رگرسيون را بنويسيد.آزمون فرض زير را در سطح انجام دهيد. 64 43 21 39 28 57 47 34 75 52 : x 82 78 52 65 73 92 89 56 98 75 : y

اسلاید 287: 287حل:

اسلاید 288: 288در نتيجه معادله خط رگرسيون برآورد شده عبارت است از:

اسلاید 289: 289 جدول زير تعداد ساعات مطالعه را در برابر نمره دريافتي براي درس زبان براي 10 نفر مي باشد. با توجه به اين داده ها معادله خط رگرسيون را كه در حقيقت رگرسيون نمرات امتحاني روي تعداد ساعات مطالعه را تقريب مي كند, بيابيد. سپس آزمون را در برابر فرض در سطح 01/0 انجام دهيد. همچنين يك فاصله ي اطمينان 95% براي بسازيد.

اسلاید 290: 290 همانطور كه مي دانيم معادله خط رگرسيون بصورت مي باشد اما چون نمونه اي از جامعه را داريم پس بايد به فكر برآورد ضرايب رگرسيون باشيم:

اسلاید 291: 291 حال مي خواهيم آزمون زير را در سطح 01/0 بيازماييم: براي اين كار ابتدا به يك آماره نياز داريم تا آزمون را بر اساس آن بنا كنيم. آماره آزمون عبارت است از:

اسلاید 292: 292براي محاسبه آماره آزمون به يک سري محاسبات نياز داريم:

اسلاید 293: 293بنابراين نتيجه مي گيريم كه نمي توانيم ادعا كنيم كه بطور متوسط يك ساعت مطالعه بيشتر نمره امتحاني را سه نمره افزايش خواهد داد.حال مي خواهيم يك فاصله اطمينان 95% براي بسازيم, براي اين كار داريم:

اسلاید 294: 294 پایان