قانون احتمال کل

قانون احتمال کل

اسلاید 1: قانون احتمال کل

اسلاید 2: مثالدر جعبه اول 60پيچ كوتاه و 40پيچ بلند وجود دارد. در جعبه دوم 10پيچ كوتاه و 20پيچ بلند وجود دارد.يك جعبه به تصادف انتخاب كرده و پيچي بر مي داريم.احتمال اينكه پيچ كوتاه انتخاب كرده باشيم،چقدر است؟

اسلاید 3: حلاگر پيشامد انتخاب جعبه اول و پيشامد انتخاب جعبه دوم و پيشامد انتخاب پيچ كوتاه باشد:

اسلاید 4: قانون بیز سهم هر يك پيشامدهاي افراز در توليد B چقدر است؟

اسلاید 5: مثالسه ماشين و و با احتمالهاي نقص توليد به ترتيب يك درصد،دو درصد و سه درصد دركارخانه اي كار مي كنند.درصد كالاهاي توليدي اين سه ماشين به ترتيب 20درصد،30درصد و 50درصداست.فرض كنيدكالايي به تصادف از اين كارخانه انتخاب كرده و مشاهده شده كه معيوب است.احتمال اينكه از ماشين اول توليد شده باشد،چقدر است؟

اسلاید 6: حلفرض كنيد پيشامد D نشاندهنده كالاي معيوب باشد.

اسلاید 7: ادامهبنابراین

اسلاید 8: مثال:يك ماشين وجود دارد.در بهترين حالت ماشين،1درصد از توليدات آن معيوب است و 40درصد از توليدات در صورت نقص ماشين،معيوب هستند.90درصد از اوقات ماشين به صورت ايده ال كار مي كند.اگر از 6نمونه اي كه به تصادف انتخاب شده است،2كالا معيوب باشد احتمال اينكه ماشين در بهترين حالت كار خود باشد،چقدر است؟

اسلاید 9: حل

اسلاید 10: متغير تصادفي و توابع آماري

اسلاید 11: مثالسكه سالمي را دو بار مستقل از هم پرتاب مي كنيم.فضاي نمونه بصورت زير است : S={ HH,HT,TH,TT } اگر X ، متغير تصادفي برابر تعداد شيرها در دو پرتاب باشد ، داريم :X(HH)=2X(HT,TH)=1X(TT)=0

اسلاید 12: يعني

اسلاید 13: متغير تصادفيمتغير تصادفي تابعي است كه دامنه آن فضاي نمونه و برد آن زيرمجموعه اي از اعداد حقيقي مي باشد..در واقع با فضاي نمونه مفروض S متغير تصادفي X يك قاعده است كه براي هر يك از عناصر S عدد حقيقي تعيين مي كند.

اسلاید 14: تكيه گاه متغير تصادفي: برد متغير تصادفي شامل اعداد مي باشد.اگر اعداد را در مجموعه اي قرار دهيم،تكيه گاه متغير تصادفي به دست مي آيد.تكيه گاه را با نماد نشان مي دهيم.

اسلاید 15: متغير تصادفي گسسته و پيوسته اگر مقادير تکيه گاه شامل اعداد گسسته باشد متغير تصادفي را گسسته و اگر تکيه گاه به صورت يک فاصله باشد يا اجتماع چند فاصله باشد،متغير تصادفي را پيوسته گويند.

اسلاید 16: مثالنقطهMرا به تصادف در داخل دايره اي به شعاع R واحد و مركز O انتخاب مي كنيم.فضاي نمونه S از تمام نقاط داخل دايره تشكيل مي گردد.oR

اسلاید 17: فرض كنيد متغير تصادفي X براي هر نقطه M اندازه پاره خط OM باشد،كه آن را با xM نشان مي دهيم.تكيه گاه X برابر است با:RoMSxR0

اسلاید 18: تابع احتمال براي متغير تصادفي گسسته :اگر تكيه گاه متغير تصادفي از اعداد گسسته تشكيل شده باشد در اينصورت داريم :1- 2-3-

اسلاید 19: بصورت خلاصه مي توان گفتتابع احتمال نمي تواند منفي باشد و مجموع تمامي احتمالات پيشامدها بايد برابر يك باشد

اسلاید 20: از نظر فيزيكيمي توان تابع احتمال را بصورت يك ميله فلزي به وزن يك كيلوگرم تصور كرد بطوريكه وزن بر روي نقاط معيني تقسيم شده باشد.

اسلاید 21: اما مي دانيم كه احتمال هر پيشامد بصورت زير است : S={ HH,HT,TH,TT } P(HH)=P(X=2)=P(HT or TH)=P(HT)+P(TH)=P(X=1)=P(TT)=P(X=0)=

اسلاید 22: به طور خلاصهجدول فوق بيانگر تابع احتمال متغير تصافي X ، تعداد شيرها در دو بار پرتاب سكه مي باشد.

اسلاید 23: نمودار تابع احتمال

اسلاید 24: مثالتابع زير را درنظر مي گيريم: K را طوري بيابيد تا تابع فوق چگالي احتمال گردد.

اسلاید 25: 1- 2-

اسلاید 26:

اسلاید 27: تابع توزيع (تجمعي) متغير تصادفيفرض كنيد يك متغير تصادفي باشد.تابع حقيقي كه در آن يك عدد حقيقي است ، تابع توزيع X مي ناميم..

اسلاید 28: متغير تصادفي گسسته در حالتي كه متغير تصادفي گسسته است مجموع احتمالات تمامي جهش ها برابر يك است.نمودار بين جهش ها افقي است به اين معني كه احتمال در بين فواصل جهش ها برابر صفر است.

اسلاید 29: مثالمثال قبل را در نظر ميگيريم :بطور مثال مقدار تابع توزيع در نقطه برابر است با :

اسلاید 30: نمايش بصورت هندسي :

اسلاید 31: بنابراين :

اسلاید 32: نمودار تابع توزيع

اسلاید 33: خواص تابع توزيع1-2-3-4-

اسلاید 34: محاسبه احتمال از روي تابع توزيع مي توان احتمالات در بازه ها را توسط تابع توزيع تجمعي بدست آورد.اگرa و b دو مقدار حقيقي باشند،بطوريكه a<=b

اسلاید 35: ab

اسلاید 36: ba

اسلاید 37: ab

اسلاید 38: ab

اسلاید 39: احتمال در نقطه

اسلاید 40: توجه:در حالت پيوسته احتمال در يك نقطه برابر صفر است مگر اينكه جهش وجود داشته باشد كه دراينصورت ميزان احتمال برابر مقدار جهش است.

اسلاید 41: مثالفرض كنيد متغير تصادفي X در نقاط صفر و يك احتمال برابر 5/0 رابپذيرد.تابع توزيع تجمعي آن را بيابيد.

اسلاید 42: حلمي دانيمبنابراين

اسلاید 43: تمرين:تابع زير را در نظر بگيريد.الف-تابع توزيع تجمعي را بيابيد.ب- . چقدر است؟

اسلاید 44: متغير تصادفي ثابت:اگر تمام احتمال در نقطه متمركز شود ، يعني داشته باشيم مي گوييم يك متغير ثابت است.

اسلاید 45: نمايش هندسيc1

اسلاید 46: متغيرهاي تصادفي همتوزيعدو متغير تصادفي و را همتوزيع گويند هرگاه براي هر عدد حقيقي داشته باشيم :

اسلاید 47: مثالدر پرتاب سكه سالم در دو بار فرض مي كنيم متغير تصادفي تعدادشيرها و متغير تصادفي تعداد خطها باشد. در اينصورت : X=x012O.WP(X=x)0Y=y012O.WP(Y=y)0

اسلاید 48: تابع چگالي احتمال براي متغير تصادفي پيوستهمتغير تصادفي پيوسته است ، هرگاه احتمال را از فضاي نمونه به محور طولها ببرد ودر يك يا اجتماع چند فاصله جاي دهد.بنابراين تكيه گاه متغير تصادفي ، sx يك مجموعه يك فاصله و شمارش ناپذير است.

اسلاید 49: ميزان فشردگي احتمال در هر نقطه روي محور طولها تشكيل يك تابع حقيقي با خواص زير ميدهد كه آنرا تابع چگالي مي نامند:1-2-

اسلاید 50: محاسبه احتمال در بازه بطوريكه باشد بصورت زير است:

اسلاید 51: a b

اسلاید 52: توجهاگر نقطه اي به تصادف بر روي فاصله انتخاب كنيد،احتمال انتخاب نقطه معين برابر صفر است.

اسلاید 53: رابطه بين تابع چگالي احتمال و تابع توزيعاگر متغير تصادفي پيوسته باشد ،تابع توزيع با استفاده از انتگرال گيري از تابع چگالي در بازه بدست مي آيد.

اسلاید 54:

اسلاید 55: مثال نقطه اي درون دايره اي به مرکز O و به شعاع R انتخاب مي کنيم.فاصله نقطه تا مرکز را متغير تصادفي X در نظر مي گيريم.مي خواهيم را بيابيم.

اسلاید 56: حلمي خواهيم مساحت هاشور خورده را بدست آوريم:بنابراين

اسلاید 57: مثالتابع چگالي در مثال فوق را بدست آوريد.حل:و

اسلاید 58: تمرينالف-در مثال فوق احتمال اينکه نقطه انتخابي به مرکز نزديکتر باشد تا به محيط چقدر است؟ب-احتکال زير را محاسبه کنيد.

اسلاید 59: مثالفرض كنيد متغير تصادفي طول عمر يك لامپ برحسب ساعت باشد. نشان دهيد كه تابع زير مي تواند يك تابع چگالي باشد. تابع توزيع راپيدا كرده و را محاسبه كنيد.

اسلاید 60: 1- 2-

اسلاید 61:

اسلاید 62: توزيع توام(تابع توام): اگر دو متغير تصادفي و يا بيشتر داشته باشيم چه اتفاقي خواهد افتاد؟

اسلاید 63: براي مثالفرض كنيد اندازه وزن و قد شخصي را اندازه گيري كنيم.هر عدد به تنهايي اطلاعاتي درباره جفت داده ندارد.در اين حالت نيازمند به تعريف توزيع توام هستيم.گاهي اوقات بر روي يک فضاي نمونه بيش از يک متغير تصادفي تعريف مي شود در اينجا حالت دو متغيره را مورد بررسي قرار مي دهيم.

اسلاید 64: تعريف تابع (چگالي) احتمال توام دو متغير تصادفي:اگر X و Y دو متغير تصادفي گسسته(پيوسته)باشند آنگاه تابع (چگالي) احتمال توام به صورت زير تعريف مي شود:

اسلاید 65: مثال فرض کنيد سکه سالمي را 3 بار پرتاب کرده ايد اگر X نشان دهنده تعداد شيرها در 3 پرتاب و Y نشان دهنده تعداد شير ها در 2 پرتاب آخر باشد مي خواهيم تابع احتمال توام آنها را بيابيم.

اسلاید 66: حل: اگر سكه را سه بار پرتاب كنيم نتيجه زير حاصل خواهد شد:مشاهده مي شود كه مقاديردو متغير، زوج هاي را تشكيل داده است

اسلاید 67: اين مقادير را در جدول توام نمايش مي دهيم

اسلاید 68: چگالي حاشيه اي(کناري): اگر از تابع (چگالي) احتمال توام بر روي حدود يک متغير مجموع يابي(انتگرال گيري)کنيم چگالي حاشيه اي براي متغير دوم بدست مي آيد.

اسلاید 69: مثالدر مثال قبل چگالي هاي حاشيه اي را بيابيد.حل:

اسلاید 70: مثالتابع چگالي توام دو متغير تصادفي بصورت زيراست.مقدارK و چگالي هاي حاشيه اي را بيابيد.

اسلاید 71: حلطبق تعريف تابع چگالي بايد داشته باشيم: وبنابراين

اسلاید 72: ادامهبراي تعيين چگالي هاي حاشيه اي داريم:و

اسلاید 73: توزيع(تجمعي) توام دو متغير تصادفي: اگر X دوY متغير تصادفي گسسته(پيوسته)باشند را توزيع توام آنها گوييم و به صورت زير تعريف مي کنيم.و

اسلاید 74: از نظر شكل مي توان تابع توزيع تجمعي توام را بصورت زير نشان داد:

اسلاید 75: تابع توزيع تجمعي براي فقط يك متغيراگر تابع توزيع تجمعي براي فقط يك متغير مانند X را بخواهيم داريم:

اسلاید 76: مثالدر جدول زير مقدار را بيابيد.

اسلاید 77: حل

اسلاید 78: مثال:فرض كنيد X و Y متغيرهاي تصادفي پيوسته داراي تابع چگالي توام باشند.با استفاده از تعريف تابع توزيع,چگالي حاشيه اي X را بيابيد.

اسلاید 79: حلبه شكل زير توجه كنيد:حال با مشتق گرفتن از انتگرال بالا نسبت متغير X داريم:

اسلاید 80: استقلال دو متغير تصادفي اگر دو پيشامد A وB مستقل باشند داريم:در اين صورت براي دو متغير تصادفي گسسته

اسلاید 81: مثالآيا دو متغير X وY مستقل هستند؟

اسلاید 82: حل:يک نقطه به تصادف از جدول انتخاب مي کنيم:

اسلاید 83: مهمترين انتظار و چگونه با آن برخورد مي کنيد؟

اسلاید 84: مثالدر جعبه اي 3 مهره قرمز و 2 مهره سبز و 4 مهره سفيد و 1 مهره آبي وجود دارد. به تصادف مهره اي از جعبه خارج مي کنيم رنگ آن را نگاه كرده سپس به جعبه باز مي گردانيم. اگر رنگ مهره قرمز بود 2 ريال برنده ،اگر سبز بود 2 ريال برنده، اگر سفيد بود 3 ريال بازنده و اگر آبي بود 1 ريال بازنده ايم.اگر اين کار را چند بار تکرار کنيم انتظار داريم برنده بازي باشيم يا بازنده بازي؟

اسلاید 85: حل:ابتدا به نظر مي رسد كه نه برد خواهيم داشت و نه باخت.به دو دليل:1-تعداد مهره هاي برد و باخت برابر است.2-ميزان برد و باخت برابر است.

اسلاید 86: حل

اسلاید 87: اميد رياضياميد رياضي در مسائل مختلف مفاهيم متفاوتي دارد. از آن به معناي ميانگين مقادير،متوسط ،مقدار مورد انتظار ،مركز ثقل،تكيه گاه و ... استنباط مي شود.

اسلاید 88: تعريف اميد رياضي اگر متغير تصادفي گسسته(پيوسته)باشد داريم:

اسلاید 89: مثال فرض كنيد تاس سالمي را پرتاب كرده ايم.انتظار مقدار مورد نظر چه مقدار خواهد بود؟

اسلاید 90: حل مي دانيم احتمال رخداد هريك از وجوه با هم برابر است

اسلاید 91: فكر ديگر اين طور تصور كنيدكه،روي ميله اي افقي به اندازه يك واحد جرم داريد.به شكل زير توجه كنيد:اميد رياضي در اين حات برابر مركز ثقل روي ميله است.

اسلاید 92: مثال تابع زير را در نظر بگيريد.نقطه تعادل را بيابيد.

اسلاید 93: حل

اسلاید 94: اميد تابعي از يک متغير تصادفي اگر تابعي از يک متغير تصادفي باشد

اسلاید 95: مثال در مثال قبلي اميد چقدر است؟ حل

اسلاید 96: خواص اميد رياضي 1-اگر a مقدار ثابت باشد. 2-اگر ≠0 a مقدار ثابت باشد . 3-

اسلاید 97: ادامه4-اگر تابعي چند جمله اي از درجه n باشد،

اسلاید 98: مثال (ادامه) در مثال قبل اميد را بيابيد.حل

اسلاید 99: مثال:(توزيع كوشي) ابتدا ثابت كنيد كه تابع زير چگالي احتمال است.سپس اميد رياضي متغير تصادفي را بيابيد.

اسلاید 100: حلجهت درستي چگالي بايد از تابع روي حدود انتگرال گرفت.

اسلاید 101: ادامهحال براي بدست آوردن اميد رياضي داريم:

اسلاید 102: توجه اميد زماني وجود دارد كه اميد قدرمطلق كمتر از بي نهايت گردد.بنابراين در توزيع كوشي اميد وجود ندارد.

اسلاید 103: مثال سكه سالمي را n مرتبه پرتاب مي كنيم در پرتاب i ام اگر شير بيايد و اگر خط مشاهده شود درنظر مي گيريم.تعداد شيرها برابر است بااميد را بيابيد.

اسلاید 104: حلمي دانيم كه احتمال هر شير است.

اسلاید 105: واريانس ميزان تغييرات يک متغير با واريانس محاسبه مي شود.

اسلاید 106: خواص واريانس 1)اگر b ثابت باشد 2)اگر a غير صفر و ثابت باشد 3)

اسلاید 107: اميد تابعي از دو متغير تصادفي اگر X و Y داراي تابع احتمال توام باشند، اميد به صورت زير تعريف مي شود:

اسلاید 108: مثال در جدول زير اميد h(x,y)=X+Y و h(x,y)=XY را محاسبه کنيد.

اسلاید 109: حل

اسلاید 110: ادامه

اسلاید 111: تمرينتحقيق کنيد که آيا در مثال فوق رابطه زير برقرار است E(XY)=E(X)E(Y)

اسلاید 112: توجهاگر دو متغير تصادفي مستقل باشند آنگاه رابطه ي زير برقرار است.

اسلاید 113: مثال فرض کنيد X داراي چگالي زير است اگر Y=X² باشد آيا X,Y مستقلند؟ X=xP(X=x)

اسلاید 114: حلابتدا مي خواهيم رابطه زير را بررسي كنيم:

اسلاید 115: ادامه

اسلاید 116: ادامهمشاهده مي شود رابطه برقرار است ولي نمي توان گفت كه دو متغير مستقل هستند.

اسلاید 117: کوواريانس مي دانيم تغييرات يک متغير را با واريانس اندازه گيري مي کنند.اگر دو متغير تصادفي X و Y داشته باشيم ميزان پراکندگي همزمان آنها توسط کوواريانس صورت مي گيرد.و يا بطور خلاصه

اسلاید 118: خواص کوواريانس

اسلاید 119: ادامه

اسلاید 120: ادامه

اسلاید 121: مثالاحتمال توام زير را در نظر بگيريد مطلوب است محاسبه الف)چگالي هاي حاشيه ايب)ميزان کوواريانسج)واريانس X+YX=x Y=y 012000100200

اسلاید 122: حلالف-X=x Y=y 012P(Y=y)000100200P(X=x) 1

اسلاید 123: ادامهب-بايد از فرمول زير براي به دست آوردن كوواريانس استفاده كرد.اميد رياضي X و Y

اسلاید 124: ادامهاميد رياضي XYو

اسلاید 125: ادامهج-ابتدا عبارت زير محاسبه مي شودسپس

اسلاید 126: ادامهسرانجام

اسلاید 127: مثالدر مثال فوق مطلوب است:الف-حلب-حل

اسلاید 128: مثالج-حلد-حل

اسلاید 129: اندازه گيري رابطه آماريرابطه آماري يا همبستگي ،شدت و جهت تغييرات دو متغير را نسبت به يكديگر نشان مي دهد.بطور مثال همبستگي بين سن و قدرت حافظه و يا همبستگي بين قدرت درآمد و ميزان سو تغذيه. منظور ازشدت :مقدار كمي ميزان همبستگي و منظور از جهت :همسويي روند تغييرات دو متغير يا جهت مخالف يكديگر است .

اسلاید 130: مقدار عددي رابطه آماري ،ميزان شدت و جهت تغييرات دو متغير از نظر خطي بودن را اندازه گيري مي كند. ضريب همبستگي

اسلاید 131: تذكر به ياد داشته باشيد ضريب همبستگي بين دو متغير ارتباطي به اينكه يكي معلول ديگري باشد ندارد.

اسلاید 132: وجود رابطه آماري بين دو متغير بيشتر از همه در نموداري به نام نمودار پراكنش خود را نمايان مي كند.اين نمودار يك نمايش ترسيمي است كه از طريق آن مي توان ارتباط بين دو خصوصيت عددي را به طور تصويري در دستگاه مختصات نشان داد. نمودار پراكنش( Scatter Plot)

اسلاید 133: همبستگی مثبت -کامل r=+1

اسلاید 134: همبستگی منفی -کامل r =-1

اسلاید 135: همبستگی مثبت -ناقص 0<r<1

اسلاید 136: همبستگی معکوس -ناقص -1<r<0

اسلاید 137: وجود همبستگی غیرخطی r=0

اسلاید 138: عدم همبستگی

اسلاید 139: ضریب همبستگیمیزان همبستگی خطی بین دو متغیر را اندازه گیری می کنند.

اسلاید 140: خواص ضریب همبستگی 4)اگر X,Y مستقل باشند میزان ضریب همبستگی صفر است.

اسلاید 141: مثالدر مثال زیر مطلوبست محاسبه X=x Y=y 012000100200

اسلاید 142: حل

اسلاید 143: متغیر استاندارداگر متغیر تصادفی X دارای میانگین و معلوم باشد متغییر استاندارد به صورت زیر تعریف می شود.

اسلاید 144: تمرینثابت کنید:

اسلاید 145: به نام خدا

اسلاید 146: توزيع هاي گسستهتوزيع برنولي توزيع دوجمله اي توزيع هندسي توزيع پواسون توزيع يكنواخت گسسته

اسلاید 147: توزيع برنوليهر آزمايشي تصادفي که فقط داراي دو نتيجه پيروزي و شکست باشد، آزمايش برنولي ناميده مي شود.اگرعدد يك را به عنوان پيروزي و احتمال پيروزي را با pنشان داده و عدد صفر را به عنوان شكست در نظر بگيريم در اين صورت :

اسلاید 148: ادامه اگر X داراي توزيع برنولي با احتمال پيروزي p باشد با نماد نشان داده و تابع احتمال آن به صورت زير است:

اسلاید 149: مثال احتمال اينکه يک بسکتباليست توپ را وارد سبد كند80درصد است.او يک بار توپ را پرتاب مي کند .آيا اين يك آزمايش برنولي است؟تابع احتمال آن را بنويسيد.

اسلاید 150: حلمي دانيم كه پرتاب دو حالت دارد گل مي شود و يا ممكن است گل نشود پس يك آزمايش برنولي است.

اسلاید 151: مثالاحتمال اينكه هر شخص به كانديداي معيني رأي دهد 40درصد است. از يك شخص نظر سنجي مي‌شود آيا اين يك آزمايش برنولي است؟حل:هر شخص راي مي دهد يا نمي دهد. احتمال راي دادن 40درصد است.بنابراين :

اسلاید 152: تمرين يك تاس سالم را يك بار پرتاب مي‌كنيم. پيروزي ما در آمدن عدد 6 است. آيا اين يك آزمايش برنولي است؟تابع احتمال آن را بنويسيد. احتمال اينكه صفر مشاهده شود چقدر است؟

اسلاید 153: توزيع دوجمله اي (Binomial)اگر يك آزمايش برنولي را n بار تحت شرايط يكسان تكرار كنيم وX تعداد موفقيت ها در اين n بار آزمايش باشد، در اينصورت مي گوييم X داراي توزيع دوجمله اي است.با نماد نشان داده و تابع احتمال آن به صورت زير است:

اسلاید 154: پيروز پيروز شكست پيروز ... شكست F … S F S S 1 1 0 1 ... 0 1-p … p 1-p p p (1-p) …p. (1-p).p.p px(1-p)n-xn n-xx

اسلاید 155: بنابراين :

اسلاید 156: توجهاگر تعداد پيروزي در i امين آزمايش باشد آنگاه است.

اسلاید 157: توزيع دو جمله اي n=10 و p=0/5

اسلاید 158: مثال40 درصد از لامپهايي كه در يك كارخانه توليد مي شود معيوب هستند. احتمال اينكه در يك دوجين اصلا لامپ معيوبي نباشد، چيست؟

اسلاید 159: جدول توزيع احتمال دوجمله اي

اسلاید 160:

اسلاید 161: تمرين1-در يک نظر سنجي از 15 نفر در مورد راي دادن به کانديدا سوال مي شود.احتمال اينکه 10 نفر راي مثبت دهند چقدر است؟در تحقيقات احتمال راي مثبت هر فرد 80% ذکر شده است.2- فروشگاهي براساس نظرسنجي متوجه شده است كه 75% از مردم طرفدار تلويزيون رنگي ساخت شركت خاصي هستند.از 100 دستگاه موجود در فروشگاه احتمال اينكه بيشتر از 35دستگاه و كمتر از 90دستگاه به فروش رسد،چقدر است

اسلاید 162: توزيع هندسي (Geometric)يك آزمايش برنولي را مستقلا آنقدر تكرار مي كنيم تا براي اولين بار پيروز شويم. اگر X تعداد آزمايشات تا رسيدن به اولين پيروزي باشد دراينصورت ميگوييم X داراي توزيع هندسي است. با نماد نشان داده و تابع احتمال آن به صورت زير است:

اسلاید 163: پيروز شكست شكست... شكست شكستF … F F … F F S0 ... 0 0 … 0 0 1(1-P) … (1-p)(1-p) … (1-P) (1-p) p p(1-p)…(1-p)(1-p)xX-11

اسلاید 164: بنابراين :

اسلاید 165: مثاليك تيرانداز آنقدر به هدف شليك مي كند تا براي اولين بار به هدف بزند. احتمال به هدف زدن او 80 درصد است.احتمال اينكه در بار سوم موفق شود چقدر است؟

اسلاید 166: جدول توزيع احتمال هندسي براي p=0.8

اسلاید 167:

اسلاید 168: مثاليك سكه سالم را آنقدر پرتاب مي كنيم تا شير بيايد.فرض كنيد X تعداد آزمايشات لازم تا رسيدن به اولين پيروزي باشد، مي گوييم Xداراي توزيع هندسي با احتمال 5/0 است.

اسلاید 169: ادامه

اسلاید 170: تمرين1-جنگنده اي با احتمال 95% به هدف مي زند احتمال اينکه در 5امين بار موفق به انهدام هدف گردد چقدر است؟2- مأمور كنترل كيفيت در يك كارخانه با احتمال 90% كالاي معيوب را تشخيص مي‌دهد، احتمال اينكه پنجمين كالاي مورد بررسي اولين كالاي معيوبي باشد كه او متوجه آن شده است ،چقدر است؟

اسلاید 171: توزيع پواسون (Poisson)اگر در توزيع دوجمله اي تعداد آزمايشات مستقل n بسيار زياد و احتمال پيروزي p بسيار كوچك باشد، دراين صورت حاصلضرب np عدد ثابتي مانند است.اگر n به سمت بي نهايت ميل كند متغير تصادفي X داراي توزيع پواسون خوهد بود.با نماد نمايش داده و تابع احتمال آن به صورت زير است:

اسلاید 172: توجهتوزيع پواسون بيان كننده تنوع موقعيت است.بطور مثال تعداد خطاهاي تايپي در يك كتاب در صفحه بخصوص و يا تعداد ستارگان كه بطور تصادفي در نقطه اي از آسمان وجود داردو غيره.توزيع پواسون تقريب خوبي براي مسائل دنياي حقيقي است.

اسلاید 173:

اسلاید 174: و مي دانيم كه:

اسلاید 175: بنابراين :

اسلاید 176: مثالجعبه اي حاوي 200 ابزار است كه احتمال معيوب بودن هر كدام از آنها 0/03مي باشد. مطلوبست احتمال اينكه تمام ابزار يك جعبه تصادفي سالم باشد.

اسلاید 177: بنابراين:

اسلاید 178: جدول احتمال دوجمله اي و پواسون

اسلاید 179:

اسلاید 180: مثال به طور متوسط در يک سال در ايران 10 زلزله رخ مي دهد اگر X تعداد زلزله ها در ايران در يک سال باشد،مطلوب است:الف)تعيين تابع احتمالب)احتمال اينکه يك زلزله رخ دهد.ج)احتمال اينکه در آبان هيچ زلزله اي رخ ندهد.

اسلاید 181: حلمي دانيم X داراي توزيع پواسون براي يكسال است. الف-ب-

اسلاید 182: ادامه

اسلاید 183: ادامهج)يكسال داراي 12 ماه است.آبان يك ماه مي باشد.بنابراين بايد تابع جديدي براي يك ماه بدست آورد.در اينصورت X داراي توزيع مي باشد.

اسلاید 184: توجه:غالبا در مسئله اگرمکان يا زمان و يا مکان و زمان توام و کلمه به طور متوسط ذکر شد توزيع پواسون است.

اسلاید 185: تمرينبه طور متوسط در هر 15 دقيقه 3 خودرو وارد ايستگاه سوخت گيري مي شود. احتمال اينکه از ساعت 9:40 الي 9:50 دقيقه کمتر از 2 خودرو وارد ايستگاه شوند، چقدر است؟

اسلاید 186: توزيع يكنواخت گسسته مقادير متناهي با احتمال برابر براي هر پيشامد داراي توزيع يكنواخت گسسته هستند .اگر متغير تصادفي X داراي توزيع يكنواخت باشد با نماد نمايش داده و تابع احتمال آن به صورت زير است:

اسلاید 187: مثال در جعبه‌اي 5 مهره وجود دارد كه شماره‌هاي 1 تا 5 بر روي آن نوشته شده است. از جعبه‌اي مهره‌اي به روش بدون جايگذاري خارج مي‌كنيم. تابع احتمال را بيابيد.

اسلاید 188: حلاگر متغير تصادفي X شماره روي مهره باشد است:

اسلاید 189: توزيع هاي پيوستهتابع چگالي يكنواخت پيوسته تابع چگالي نمايي تابع چگالي نرمال تابع چگالي نرمال استاندارد

اسلاید 190: تابع چگالي يكنواخت پيوستهاگر متغير تصادفي X برروي فاصله [a,b] داراي توزيع يكنواخت باشد با نماد نمايش داده و تابع احتمال آن بصورت زير است:

اسلاید 191: نتيجهدر حالت خاص اگر به جاي a صفر و به جاي b يك قرار دهيم،توزيع يكنواخت در بازه [0,1] بدست مي آيد.

اسلاید 192: نمودار

اسلاید 193: مثالفرض كنيد متغير تصادفي X برروي فاصله [a,b] داراي توزيع يكنواخت باشد.اگرa < c < d < b برقرار باشد، P( c < X < d )چقدر است؟

اسلاید 194: حل

اسلاید 195: تابع چگالي نمايييكي از توابع بسيار مهم تابع نمايي است كه معروف به تابع عمر محصولات كيفي(الكترونيكي) مي باشد.در واقع زمان بين اتفاقات متوالي در توزيع پواسون داراي توزيع نمايي است. اگر متغير تصادفي X برروي فاصله داراي توزيع نمايي باشد با نماد نمايش داده و تابع احتمال آن بصورت زير است:

اسلاید 196: ادامهانتگرالگيري از تابع بالا منتج به يك مي شود:

اسلاید 197: مثال

اسلاید 198: تابع چگالی نرمالاگر متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال با میانگین µ و واریانس باشد با نماد نشان داده وتابع چگالی آن به صورت زیر است

اسلاید 199:

اسلاید 200: نمودار

اسلاید 201: یادآوریبرای به دست آوردن احتمال باید از تابع چگالی در بازه مورد نظر انتگرال گرفت.

اسلاید 202: مثالاندازه قد دانشجویان کلاس دارای توزیع نرمال با میانگین 168 سانتی متر و واریانس 16 می باشد.اگر یک دانشجو به تصادف از کلاس انتخاب کنیم احتمال اینکه اندازه قد آن از 165 سانتی متر بزرگتر و از 170 کوچکتر باشد چقدر است؟

اسلاید 203: حلانتگرال را در بازه (170 و 165) برای تابع چگالی نرمال با میانگین 168 و واریانس 16 محاسبه می کنیم.

اسلاید 204: تابع چگالی نرمال استاندارداگر X یک متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال با میانگین و واریانس باشد متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال استاندارد بوده و با نماد نشان داده و تابع چگالی آن به صورت زیر است:

اسلاید 205: نمودار

اسلاید 206: مثال در مثال قبل می خواهیم احتمال در بازه (170 و 165) را با استفاده از تابع نرمال استاندارد محاسبه کنیم

اسلاید 207: تمرینقطر داخلی پیچ های تولیدی یک کارخانه دارای توزیع نرمال با میانگین 0.25 اینچ و انحراف معیار 0.02 اینچ است که از نظر QC کارخانه پیچی معیوب است که قطر داخلی آن بزرگتر از 0.28 و یا کمتر از 0.2 اینچ باشد.چند درصد از محصولات کارخانه سالم هستند؟

اسلاید 208: نمونه تصادفیاگر یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه مشخص در صورتی که مستقل و هم توزیع باشند یک نمونه تصادفی هستند.

اسلاید 209: اگرXi ها دارای توزیع نرمال با میانگین µ و واریانس باشند در این صورت:میانگین نمونه تصادفی است.

اسلاید 210: امید میانگین نمونه تصادفی

اسلاید 211: واریانس میانگین نمونه تصادفیچون نمونه تصادفی است بنابراین مقدار کوواریانس صفر است.بنابراین

اسلاید 212: نتیجهXi ها دارای توزیع نرمال با میانگین µ و واریانس می باشند دراین صورت:یعنی دارای توزیع نرمال با میانگین µ و واریانس است.

اسلاید 213: مثالکودکستانی شامل 300 کودک می باشد اندازه قد کودکان X متغیر تصادفی نرمال با میانگین 68 سانتی متر و انحراف معیار 3 سانتی متر است اگر یک نمونه تصادفی 25تایی انتخاب کنیم مطلوب است.الف)امید و واریانس ب)احتمال اینکه متوسط قد این نمونه تصادفی از 66.3 بزرگتر و از 68.8 کوچکتر باشد چقدر است؟

اسلاید 214: حلالف-می دانیم دارای توزیع نرمال با میانگین µ و واریانس است.

اسلاید 215: ادامهب-می خواهیم احتمال زیر را به دست آوریم:می توان از استاندارد استفاده کرد:

اسلاید 216: ادامهبا استفاده از استاندارد کردن خواهیم داشت:بنابراین

اسلاید 217: قضیه حد مرکزیاگر یک نمونه تصادفی از جامعه مشخص با میانگین µ و واریانس 2σ معلوم باشد در این صورت اگر میانگین نمونه تصادفی را استاندارد کنیم در صورتی که تعداد نمونه به سمت بی نهایت میل کند توزیع حدی آن به سمت نرمال استاندارد میل خواهد کرد.

اسلاید 218: یعنی

اسلاید 219: مثال یک نمونه تصادفی 100تایی از توزیع یکنواخت پیوسته (1و0) انتخاب کرده ایم احتمال اینکه مجموع 100عدد از 50 بزرگتر باشد چقدر است؟

اسلاید 220: حلمی دانیم متغیر تصادفی X دارای توزیع یکنواخت گسسته است یعنی

اسلاید 221: ادامهابتدا باید امید و واریانس را به دست آورد

اسلاید 222: ادامه می توان نوشتحال استاندارد می کنیم

اسلاید 223: آمار استنباطي

اسلاید 224: 3 شانس خود را براي سرگرمي و سود بردن بيازماييد

اسلاید 225: شما و فرضيات :سئوال را بيازماييد ميزان سختي  خوب ميخواهيد يک محقق شويد!!

اسلاید 226: آمار استنباطيعبارتست از تصميم گيري دربارهً کل جامعه به کمک نمونه اي که ازآن جامعه به تصادف انتخاب شده ومعرف آن جامعه مي باشد.

اسلاید 227: جمعيت و نمونهجمعيتمجموعه افراد يا اشيا كه در يك يا چند صفت(ويژگي)مشترك باشند.نمونهقسمتي از جمعيت كه مطالعه روي آن انجام گرفته و نتيجه به جمعيت بسط داده مي شود.

اسلاید 228: پارامتر و برآور گرپارامتراگر در جامعه چيز مجهولي وجود داشته باشد كه بخواهيد آنرا به دست آوريد به آن پارامتر گوييم.برآوردگراگر آن مقدار مجهول جامعه را توسط معياري از نمونه تعيين كنيد به آن معيار برآوردگر گوييم.

اسلاید 229: آمار استنباطيالف-برآورد( (Estimateب-آزمون فرضيه (Hypothesis Testing )

اسلاید 230: الف-برآورد( (Estimate عبارت است از تعيين پارامتري ازجامعه به طورتقريبي وتخميني .1-برآوردنقطه اي( (Point Estimation2-برآورد فاصله اي ( (Interval Estimation

اسلاید 231: 1-برآوردنقطه اي( (Point Estimationاگر يك مقدار عددي براي تخمين پارامتر مجهول جمعيت (جامعه) در نظر بگيريم به ان عدد برآورد نقطه اي گوييم.مثالفرض كنيد با استفاده از نمونه تصادفي معيني ميزان مدت اقامت بيماران در بخش زنان بيمارستان امام 7/4 برحسب روز به دست آمده است.

اسلاید 232: آمارههر تابعی از نمونه ی تصادفی که در آن پارامتر مجهول نباشد یک آماره گویند.

اسلاید 233: مثال

اسلاید 234: برآوردگراگر مقدار عددی یک آماره به عنوان تخمین مناسب برای پارامتر در نظر گرفته شود به آن برآورد و تابع آن را برآوردگر گویند.

اسلاید 235: انواع پارامتر و برآوردگرالف-پارامتر و برآوردگر براي ميانگين جامعهپارامتر ميانگين جامعه را با نماد نشان داده و برآوردگر آن ميانگين نمونه با نماد نشان مي دهيم.

اسلاید 236: مثالفرض كنيد متوسط تعداد مراجعين به بيمارستان معيني در سال 86 را ندانيم.مي خواهيم آن را برآورد كنيم.بنابراين نمونه تصادفي مثلا 7 ماه انتخاب ميكنيم و ميانگين آن را محاسبه مي كنيم.به مقدار به دست آمده برآورد نقطه اي متوسط مراجعين در سال 86 مي گوييم.2352و1857و2005و1939و1756و2261و2115

اسلاید 237: ب-پارامتر و برآوردگر براي واريانس جامعه پارامتر واريانس جامعه را با نماد نشان داده و برآوردگر آن واريانس نمونه با نماد نشان مي دهيم.

اسلاید 238: مثالدر مثال قبل ميزان واريانس تعداد مراجعين را بيابيد.همانطوري كه مي دانيم براي راحتي بيان تغييرات از انحراف معيار استفاده مي كنيم.

اسلاید 239: ج-پارامتر و برآوردگر براي نسبت جامعهپارامتر نسبت جامعه را با نماد نشان داده و برآوردگر آن نسبت نمونه با نماد نشان مي دهيم.

اسلاید 240: مثالفرض كنيد تعداد كساني كه به بيمارستان معين مراجعه كرده اند را از نظر جنسيت بخواهيم مورد بررسي قرار دهيم.در اينجا مثلا مي خواهيم بيابيم كه چند درصد از مراجعين را مردان تشكيل داده اند.ازبين 14285 نمونه گرفته شده مشخص مي شود كه 8532 فرد مرجعه كننده مرد بوده اند.بنابراين يك برآورد نقطه اي درصد مردان مراجعه كننده برابر است با:

اسلاید 241: 2-برآورد فاصله اي ( (Interval Estimationشامل دو عدد است كه پارامتر مورد نظر را با اطمينان معيني تحت پوشش قرار مي دهد.فاصله ی تصادفی به طوری که U تابعی از نمونه تصادفی - -، با اطمینان 1-α اگر پارامتر مجهول را بپوشانید یک برآورد فاصله ای یا فاصله ی اطمینان می باشد.

اسلاید 242: آزمون فرضيه (Hypothesis Testing ) ممكن است پارامتر جامعه معلوم باشد ولي در درستي يا نادرستي مقدار آن شك به وجود آمده است.آزمودن صحت و سقم موضوع را آزمون فرض گويند.ياروشي است جهت سنجش ميزان تطابق وهمخواني داده هاي بدست آمده ازنمونه با فرضيه اي که محقق درصدد بررسي درستي ويا نادرستي آن است.

اسلاید 243: فرضيه چيست؟ حدس وياگمان عالمانه اي که امکان قبول ويا رد دارد.ويا انگاشتي است (گمان وتصوريست ) که درنتيجهً مشاهده وتفکر به دست مي آيد وبه پيش بيني هاي قابل ابطال ويا ابطال منجر مي شود .

اسلاید 244: مثالمثال1- متوسط ميزان استرس در كاركنان رسمي و قرار دادي مدارك پزشكي دانشگاه علوم پزشكي مازندران متفاوت است.مثال2- اندازهً فشارخون بدست آمده از دو بازو يکسان است .مثال3-بين تعداد مراجعين نوع بيمارستان (دولتي و خصوصي ) ارتباط وجود دارد.مثال4- درکرهً مريخ موجود زنده وجود دارد.

اسلاید 245: انواع فرضيهفرض صفر ( اوليه)فرض يك (جايگزين يا محقق)

اسلاید 246: فرض صفراگر فرض صفر مي توانست صحبت کند ميگفت:من بيان ميکنم هيچ ارتباطي بين متغيرهايي که شما مطالعه مي کنيد وجود ندارد.به عبارت ديگرفرض صفر گزاره اي است که نشان دهنده اين است که تغييرات درمشخصه هاي زندگي حقيقي (باورها)و رفتارهاي علمي برابر هستند.

اسلاید 247: اهداف فرض صفرالف-نقطه شروعفرض صفر بصورت نقطه شروع عمل مي کندچون بيان کننده امري است که در غياب هر اطلاعات ديگري پذيرفته شده است.مثال:تفاوتي بين مقادير فشار خون در دست راست 9 نفر با مقادير فشار خون در دست چپ 12 نفر بيماران بستري در بخش جراحي وجود ندارد.

اسلاید 248: ب-محکفرض صفر کمک ميکند تا تعيين کنيم هر تفاوت مشاهده شده بين گروه ها به علت شانس است يا ناشي از عوامل ديگر.

اسلاید 249: فرض يکفرض يک گزاره مشخصي است که ارتباط بين متغير ها را بيان مي کند.مثال:تفاوت بين مقادير فشار خون در دست 9 نفر با مقادير فشار خون در دست چپ 12 نفر بيماران بستري در بخش جراحي وجود دارد.

اسلاید 250: انواع فرض يکدو دامنهبيان کننده تفاوت بين گروه ها است ولي جهت آن معلوم نيست.يک دامنهبيان کننده تفاوت بين گروه ها است و جهت آن معلوم است.

اسلاید 251: بعضي تفاوت در فرض صفر و يک1-دربيان درفرض صفر ميگوييم تفاوت وجو د ندارد ولي در فرض يک مي گوييم وجود دارد. 2-فرض صفر هميشه به جمعيت بر مي گردد ولي فرض يک به نمونه.3- نبايد فرض صفر را جهت دار بيان کرد ولي فرض يک بصورت جهت دار بيان مي شود.

اسلاید 252: فرض خوب چگونه است؟ 1-بصورت خبري بيان شود.2-ارتباط بين متغيرها را ادعا کند.3-مختصر و بيان کننده نکته باشد.4-قابل آزمون باشد.

اسلاید 253: مراقب خطاها باشيد!!!مي دانيم دنياي ما كامل نيست بنابراين هميشه خطا وجود دارد.

اسلاید 254: انواع خطاالف- خطاي نوع اولب-خطاي نوع دوم

اسلاید 255: الف- خطاي نوع اول اگر در آزمون فرضيه به ناحق فرض صفر را رد كنيدشما در تصميم گيري خطا كرده ايد.به اين نوع خطا خطاي نوع اول گويند و با نماد نشان مي دهيم.

اسلاید 256: خطاي نوع دوماگر در آزمون فرضيه به ناحق فرض يك را رد كنيدشما در تصميم گيري خطا كرده ايد.به اين نوع خطا خطاي نوع دوم گويند و با نماد نشان مي دهيم.

اسلاید 257: توجهسطح معني داري همان ميزان خطاي نوع اول است كه محقق با توجه به اين مقدار در مورد رد شدن و يا رد نشدن فرض صفر تصميم گيري مي كند.

اسلاید 258: مقدمه اي بر آزمون معني داري بهترين كاري كه آمار استنباطي انجام مي دهد اين است كه:به شما اجازه مي دهد تا براساس اطلاعات نمونه در مورد جامعه تصميم گيري كنيد.

اسلاید 259: چگونه يك آزمون معني داري كار مي كند؟فرض صفر در ارتباط با نوع مشخصي از آماره است.وهر آماره اي در ارتباط با توزيع خاصي است كه شما با داده هاي به دست آمده از نمونه مقايسه مي كنيد.

اسلاید 260: و در نتيجه مقايسه ي بين مشخصه هاي نمونه شما و مشخصه هاي توزيع آزمون اين امكان را فراهم مي كند كه بتوانيد نتيجه گيري زير را داشته باشيد:آيا تفاوت بين مشخصه هاي نمونه و توزيع جامعه براساس شانس است يا نه؟

اسلاید 261: مراحل انجام آزمون فرضيه1-فرض صفر را بيان كنيد.2-سطح ريسك (سطح معني داري يا خطاي نوع اول) را تعيين كنيد.3-آماره آزمون مناسب را انتخاب كنيد.4-مقدار آماره آزمون (مقدار مشاهده شده) را محاسبه كنيد.

اسلاید 262: ادامه5-مقدار مورد نياز را براي رد فرض صفر از مقادير بحراني جدول مناسب (مقدار بحراني يا جدول) تعيين كنيد.6-مقدار مشاهده شده را با مقدار بحراني مقايسه كنيد.

اسلاید 263: جايي كه زيبايي واقعي آمار استنباطي چشم ها را خيره مي كند.7-اگر مقدار مشاهده شده خيلي بيشتر (كمتر) از مقدار بحراني باشد فرض صفر را ديگر نمي توان پذيرفت. يعنياستفاده از كلمه شانس براي دليل تفاوتها مناسب نيستبه عبارت ديگرتفاوت براساس عواملي غير از شانس است.

اسلاید 264: ادامه8-اگر مقدار مشاهده شده و مقدار بحراني اختلاف زيادي با هم نداشته باشند فرض صفر جذاب ترين توضيح است.به عبارت ديگراگر شما نمي توانيد براي تفاوت به دست آمده دلايل غير از شانس را ارائه دهيد بايد بگوييدتنها دليل تفاوت به خاطر شانس است و نه چيز ديگر.

اسلاید 265: اينجا تصويري است كه هزاران كلمه مي ارزد.

اسلاید 266: توزیع های نمونه ایتوزیع نرمال استانداردتوزیع کای دوتوزیع تی استیودنت tتوزیع فیشر

اسلاید 267: توزیع نرمال استاندارد(توزيع Z)اگر یک نمونه ی تصادفی از توزیع نرمال با میانگین µ و واریانس معلوم باشند در این صورت Zدارای توزیع نرمال استاندارد است:میانگین استاندارد شده نمونه تصادفی نیز دارای توزیع نرمال استاندار است

اسلاید 268:

اسلاید 269: توزیع کای دواگر نرمال استاندارد را به توان دو برسانیم در این صورت مجموع آنها دارای توزیع کای دو با n درجه آزادی خواهند بود.

اسلاید 270: نکتهاگر میانگین جامعه µ معلوم نباشد در این صورت از میانگین نمونه استفاده می کنیم.

اسلاید 271: می دانیمپسبنابراین

اسلاید 272: درجه آزادیمیزان آزادی عمل هر متغیر را درجه آزادی آن گویند.

اسلاید 273: نمودار

اسلاید 274: توزیع تی استیودنت tاگر یک متغیر نرمال استاندارد Z را تقسیم بر جذر یک متغیری که دارای توزیع کای دو می باشد کنیم به طوری که کای دو به درجه آزادی خود تقسیم شده است توزیع t بدست می آید

اسلاید 275: ادامهفرض کنیدمی دانیم بنابراین

اسلاید 276: ادامهو نیز می دانیمتعریف t

اسلاید 277: ادامهحال

اسلاید 278: به طور خلاصهاگر در توزيع نرمال واريانس جامعه مجهول باشد بنابراين بايد از واريانس نمونه استفاده كرد كه در اينصورت توزيع آماره t با n-1 درجه آزادي خواهد بود.

اسلاید 279: t(n= 25)t(n=17)

اسلاید 280: نمودار

اسلاید 281: شباهت Z و t1-هر دو زنگی شکل هستند.2-هر دو متقارن هستند.3-میانگین هر دو صفر است.4-هر دو توزیع میانگین جامعه را معین می کنند.

اسلاید 282: تفاوت Z و t1-واریانس توزیع Z از واریانس توزیع t کوچکتر است.توجهاگر تعداد نمونه و بیشتر 30باشد واریانسها برابر فرض می شوند.

اسلاید 283: ادامه2-توزیع Z در حالت معلوم بودن واریانس جامعه و توزیع در حالت مجهول بودن استفاده می شود که باید از استفاده کرد.3-در حالت n بزرگترمساوی 30 هر دو توزیع یکسان فرض می شود.

اسلاید 284: متغیر تصادفی F (فیشر)اگر دو متغیر تصادفی کای دو را که به درجه آزادی هایشان تقسیم شده اند به هم تقسیم کنیم متغیر تصادفی فیشر با درجه آزادی صورت و مخرج بدست می آید.

اسلاید 285: ادامهفرض کنید

اسلاید 286: ادامهحال

اسلاید 287: نمودار

اسلاید 288: WWW.NUTRON.TKwww.nutron.tk55rouzbeh66@gmail.com