مقدمه‌ای بر تحلیل پوششی داده‌ها (۲)

مقدمه‌ای بر تحلیل پوششی داده‌ها (۲)

اسلاید 1: دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتردانشگاه خوارزمیبه نام یگانه حقیقت هستیمقدمه‌ای بر تحلیل پوششی داده‌ها

اسلاید 2: ABC300100400250800900 𝟗𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 =𝟑 𝟐𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟎 =𝟐.𝟓 𝟖𝟎𝟎 𝟒𝟎𝟎 =𝟐 خروجی ورودی = کارایی مطلق واحد در جامعه کارایی مطلق واحد بزرگترین کارایی مطلق = کارایی نسبی واحدهزینهدرآمد

اسلاید 3: به واحدهایی تصمیم‌گیرنده‌ای که کارایی نسبی آن‌ها برابر با یک می‌باشد، واحدهای کارا می‌گویند.(در واقع این واحدها بزرگترین مقدار کارایی را در جامعه دارند). به واحدهایی که کارایی نسبی آن‌ها کوچک‌تر از یک می‌باشد واحدهای ناکارا می‌گویند. (از این جهت که واحدهای دیگری با کارایی مطلق بالاتر وجود دارند)هدف مشخص ساختن این مطلب است که یک واحد خاص کارا می‌باشد یا نه؟همان هدفی که تحلیل پوششی داده‌ها برای پاسخ به آن شکل گرفت!!!!

اسلاید 4: ABC300100400250800900هزینهدرآمدهزینههزینه20کارمند18کارمند4کارمند

اسلاید 5: تحلیل پوششی داده‌ها تکنیکی بر مبنای برنامه‌ریزی ریاضی جهت ارزیابی عملکرد مجموعه‌ای از واحد‌های تصمیم‌گیرنده‌ی متجانس می‌باشد.منظور از برنامه‌ریزی ریاضی :Optimization 𝒇(𝒙) S.t 𝒙∈𝑺هر واحدی که بتواند با اعمال مدیریت از یک بردار ورودی مانند 𝒙 یک بردار خروجی مانند 𝒚تولید کند، واحد تصمیم‌گیرنده‌ (𝑫𝑴𝑼) نامیده می‌شود.منظور از دو واحد تصمیم‌گیرنده‌‌ی متجانس، واحدهایی می‌باشند که با مصرف ورودی‌های مشابه می‌توانند خروجی‌های مشابه تولید کنند. منظور از ارزیابی عملکرد، همان تشخیص کارایی یا ناکارایی یک واحد است.

اسلاید 6: درآمد!!!!!!پول

اسلاید 7: حال ببینیم تحلیل پوششی داده‌ها چگونه به بررسی کارایی یا ناکارایی واحدهای تصمیم‌گیرنده می‌پردازد؟تحلیل پوششی داده‌ها با در اختیار گرفتن واحدهای تصمیم‌گیرنده مشاهده شده و اصول حاکم بر جامعه، مجموعه‌ای نزدیک به جامعه ساخته و با در دست داشتن این مجموعه مشخص می‌کند که واحد تصمیم‌گیرنده مورد نظر کارا می‌باشد یا خیر.به این مجموعه‌ی نزدیک به جامعه، مجموعه‌ی امکان تولید می‌گویند.مجموعه‌‌ی امکان تولید(PPS) ={بردار ورودی 𝒙 می‌تواند بردار خروجی 𝒚 را تولید کند 𝒙,𝒚 |}

اسلاید 8: اصول حاکم بر جامعه برای یافتن اعضای جامعه مورد استفاده قرار می‌گیرداصل شمول مشاهدات: واحدهای تصمیم‌گیرنده‌ی مشاهده شده، در داخل مجموعه‌ی امکان تولید قرار دارند. اصل تحدب: I𝐟 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 , 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 ∈𝑷𝑷𝑺∀𝜹∈ 𝟎,𝟏 (Interval)𝜹 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 +(𝟏−𝜹) 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 ∈𝑷𝑷𝑺 𝒙 𝒋 , 𝒚 𝒋 ∈𝑷𝑷𝑺 : 𝒋=𝟏,…, 𝒏 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 , 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 ∈𝑷𝑷𝑺 & 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 =𝟏 ,𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏

اسلاید 9: اصل بی‌کرانی اشعه(بازده به مقیاس ثابت):اصل امکان‌پذیری:I𝐟 𝒙,𝒚 ∈𝑷𝑷𝑺∀ 𝒙 , 𝒚 ; 𝒙 ≥𝒙 & 𝒚 ≤𝒚 𝒙 , 𝒚 ∈𝑷𝑷𝑺I𝐟 𝒙,𝒚 ∈𝑷𝑷𝑺∀𝜹>𝟎𝜹 𝒙,𝒚 ∈𝑷𝑷𝑺

اسلاید 10: اصل کمینه درون‌یابی:طبق این اصل مجموعه‌ی امکان تولید، بایستی کوچک‌ترین مجموعه‌ای باشد که اصول حاکم بر جامعه در آن صدق می‌کند.اصل شمول مشاهدات و اصل کمینه‎‌ی درون‌یابی در هر مجموعه‌ی امکان تولیدی برقرار است ولی بسته به اینکه کدام یک از اصول دیگر بر جامعه‌ای حاکم باشد، مجموعه‌های امکان تولید مختلفی تعریف می‌شود.

اسلاید 11: یکی از مهم‌ترین مجموعه‌های‌ امکان تولیدی که به وفور از آن استفاده می‌شود،مجموعه‌ی امکان تولید با بازده به مقیاس ثابت می‌باشد که با 𝑇 𝑐 نشان داده می‌شود.‌هر پنج اصل گفته شده در این مجموعه‌ امکان تولید صدق می‌کند.اگر واحدهای تصمیم‌گیرنده‌ی مشاهده شده به‌صورت زیر باشند: 𝒙 𝒋 , 𝒚 𝒋 𝒋=𝟏,…,𝒏در اینصورت فرم جبری 𝑇 𝑐 به‌صورت زیر خواهد بود: 𝑇 𝑐 ={(𝒙,𝒚)| 𝒙≥ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 , 𝐲≤ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 , 𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 }

اسلاید 12: مجموعه‌ی‌ امکان تولید دیگری که به وفور زیاد مورد استفاده قرار می‌گیرد،مجموعه‌ی امکان تولید با بازده به مقیاس متغیرمی‌باشد که با 𝑇 𝑣 نشان داده می‌شود.‌در این مجموعه‌ امکان تولید اصل شمول مشاهدات، تحدب، امکان‌پذیری و کمینه درون‌یابی صدق می‌کند.برای واحدهای تصمیم‌گیرنده‌ی مشاهده شده به‌صورت 𝒙 𝒋 , 𝒚 𝒋 𝒋=𝟏,…,𝒏 فرم جبری 𝑇 𝑣 به‌صورت زیر خواهد بود: 𝑇 𝑣 ={(𝒙,𝒚)| 𝒙≥ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 , 𝐲≤ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 , 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 =𝟏 ,𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 }

اسلاید 13: نحوه‌ی ساختن مجموعه‌ی امکان تولید اصل شمول مشاهدات 𝑷𝑷𝑺 ={(𝒙,𝒚)| 𝒙≥ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 , 𝐲≤ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 , 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 =𝟏 ,𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 }𝑷𝑷𝑺 = { 𝒙 𝒋 , 𝒚 𝒋 | 𝒋=𝟏,…, 𝒏} 𝑇 𝑣 اصل تحدب𝑷𝑷𝑺= { 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 , 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 | 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 =𝟏 ,𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏}اصل امکانپذیری 𝑇 𝑣 =𝑷𝑷𝑺 اصل کمینه‌ی درون‌یابی

اسلاید 14: { 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 , 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 , 𝒙 𝟑 , 𝒚 𝟑 }={ 𝟐,𝟐 , 𝟏.𝟓,𝟑.𝟓 , 𝟒,𝟒 }𝒙𝒚

اسلاید 15: زمانی که بیش از یک ورودی و یک خروجی داریم، کارا بودن یک واحد تصمیم‌گیرنده تغییر می‌کندگوئیم 𝑫𝑴𝑼 𝟏 = 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 ، 𝑫𝑴𝑼 𝟐 = 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 را مغلوب می‌کند، هرگاه: 𝒙 𝟏 ≤ 𝒙 𝟐 & 𝒚 𝟏 ≥ 𝒚 𝟐 و حداقل یکی از نامساوی‌های بالا اکید باشد 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 را یک واحد تصمیم‌گیرنده‌ی کارا گویند، هرگاه هیچ واحدی در مجموعه‌ی امکان تولید یافت نشود که آن را مغلوب کند.

اسلاید 16: 𝒙𝒚 𝐦𝐢𝐧 𝜽 s.t 𝜽 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝝐 𝑻 𝒗 𝐦𝐚𝐱 𝝋 s.t 𝒙 𝟎 , 𝝋𝒚 𝟎 𝝐 𝑻 𝒗 مدل پوششی BCC در ماهیت ورودیمدل پوششی BCC در ماهیت خروجی 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎

اسلاید 17: 𝐦𝐢𝐧 𝜽 s.t 𝜽 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝝐 𝑻 𝒗 𝐦𝐢𝐧 𝜽 s.t 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 ≤ 𝜽 𝒙 𝟎 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 ≥ 𝒚 𝟎 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 =𝟏 𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 𝑇 𝑣 ={(𝒙,𝒚)| 𝒙≥ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 , 𝐲≤ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 , 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 =𝟏 ,𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 }اگر 𝜃 ∗ <1در این‌صورت 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 یک واحد ناکارا خواهد بود و اگر 𝜃 ∗ =1 ، آن‌گاه 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 یک واحد کارا خواهد بودمدل پوششی BCC در ماهیت ورودی

اسلاید 18: 𝐦𝐚𝐱 𝝋 s.t 𝒙 𝟎 , 𝝋𝒚 𝟎 𝝐 𝑻 𝒗 𝐦𝐚𝐱 𝝋 s.t 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 ≤ 𝒙 𝟎 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 ≥ 𝝋𝒚 𝟎 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 =𝟏 𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 مدل پوششی BCC در ماهیت خروجی

اسلاید 19: 𝐦𝐢𝐧 𝜽 s.t 𝜽 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝝐 𝑻 𝒗 𝐦𝐚𝐱 𝝋 s.t 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 ≤ 𝒙 𝟎 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 ≥ 𝝋𝒚 𝟎 𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 𝐦𝐢𝐧 𝜽 s.t 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 ≤ 𝜽 𝒙 𝟎 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 ≥ 𝒚 𝟎 𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 𝑇 𝑐 ={(𝒙,𝒚)| 𝒙≥ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 , 𝐲≤ 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 , 𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 } 𝐦𝐚𝐱 𝝋 s.t 𝒙 𝟎 , 𝝋𝒚 𝟎 𝝐 𝑻 𝒗 مدل پوششی BCCدر ماهیت خروجیمدل پوششی BCCدر ماهیت ورودیمدل پوششی CCRدر ماهیت ورودی 𝐦𝐢𝐧 𝜽 s.t 𝜽 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝝐 𝑻 𝒄 𝐦𝐚𝐱 𝝋 s.t 𝒙 𝟎 , 𝝋𝒚 𝟎 𝝐 𝑻 𝒄 مدل پوششی CCRدر ماهیت خروجی

اسلاید 20: دوال مدل‌های پوششی مذکور، مدل‌های مضربی نامیده می‌شود. 𝐦𝐢𝐧 𝜽 s.t 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 ≤ 𝜽 𝒙 𝟎 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 ≥ 𝒚 𝟎 𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 مدل پوششی CCRدر ماهیت ورودی 𝐦𝐚𝐱 𝒖 𝒕 𝒚 𝟎 s.t 𝒖 𝒕 𝒚 𝒋 − 𝒗 𝒕 𝒙 𝒋 ≤𝟎 𝒗 𝒕 𝒙 𝟎 =𝟏𝒖≥𝟎, 𝒗≥𝟎, 𝒋=𝟏,…, 𝒏مدل مضربی CCRدر ماهیت ورودی

اسلاید 21: 𝐦𝐢𝐧 𝒗 𝒕 𝒙 𝟎 +𝒘 s.t 𝒖 𝒕 𝒚 𝒋 − 𝒗 𝒕 𝒙 𝒋 −𝒘≤𝟎 𝒖 𝒕 𝒚 𝟎 =𝟏𝒖≥𝟎, 𝒗≥𝟎, 𝒋=𝟏,…, 𝒏 𝐦𝐚𝐱 𝝋 s.t 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒙 𝒋 ≤ 𝒙 𝟎 𝒋=𝟏 𝒏 𝜹 𝒋 𝒚 𝒋 ≥ 𝝋𝒚 𝟎 𝜹 𝒋 ≥𝟎 𝒋=𝟏,…, 𝒏 مدل پوششی CCRدر ماهیت خروجیمدل مضربی CCRدر ماهیت خروجی

اسلاید 22: با تشکر از توجه شما عزیزان